როგორ გავამრავლოთ რიცხვის ძალა სხვადასხვა ფუძეზე. როგორ გავამრავლოთ მაჩვენებლები, გავამრავლოთ მაჩვენებლები სხვადასხვა მაჩვენებლებით

ბოლო ვიდეო გაკვეთილზე გავიგეთ, რომ ფუძის ხარისხი არის გამოხატულება, რომელიც არის ფუძისა და საკუთარი თავის ნამრავლი, აღებული მაჩვენებლის ტოლი რაოდენობით. მოდით ახლა შევისწავლოთ ძალების ზოგიერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება და მოქმედებები.

მაგალითად, გავამრავლოთ ორი განსხვავებული ძალა ერთიდაიგივე ფუძით:

მოდით შევხედოთ ამ ნაწილს მთლიანად:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

ამ გამოთქმის მნიშვნელობის გამოთვლით მივიღებთ რიცხვს 32. მეორეს მხრივ, როგორც ჩანს იგივე მაგალითიდან, 32 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი და იგივე ფუძის (ორი) ნამრავლი, აღებული 5-ჯერ. და მართლაც, თუ ითვლით, მაშინ:

ამრიგად, უსაფრთხოდ შეიძლება დავასკვნათ, რომ:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

ეს წესი წარმატებით მუშაობს ნებისმიერი ინდიკატორისა და ნებისმიერი საფუძველისთვის. ხარისხის გამრავლების ეს თვისება გამომდინარეობს პროდუქტში გარდაქმნების დროს გამონათქვამების მნიშვნელობის შენარჩუნების წესიდან. ნებისმიერი ფუძისთვის, ორი გამონათქვამის (a) x და (a) y ნამრავლი უდრის a (x + y). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნებისმიერი გამონათქვამის წარმოებისას, საბოლოო მონომს აქვს საერთო ხარისხი, რომელიც წარმოიქმნება პირველი და მეორე გამოსახულებების ხარისხის მიმატებით.

წარმოდგენილი წესი ასევე მშვენივრად მუშაობს რამდენიმე გამონათქვამის გამრავლებისას. მთავარი პირობაა, რომ საფუძვლები ყველასთვის ერთნაირი იყოს. Მაგალითად:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

შეუძლებელია გრადუსების დამატება და მართლაც რაიმე ძალის ერთობლივი მოქმედებების განხორციელება გამოხატვის ორი ელემენტით, თუ მათი საფუძვლები განსხვავებულია.
როგორც ჩვენი ვიდეოდან ჩანს, გამრავლებისა და გაყოფის პროცესების მსგავსების გამო, პროდუქტის დროს ძალების დამატების წესები შესანიშნავად გადადის გაყოფის პროცედურაზე. განვიხილოთ ეს მაგალითი:

მოდით ვაწარმოოთ გამონათქვამის ტერმინი-ტერმინის გარდაქმნა სრულ ფორმაში და შევამციროთ იგივე ელემენტები დივიდენდსა და გამყოფში:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

ამ მაგალითის საბოლოო შედეგი არც ისე საინტერესოა, რადგან უკვე მისი ამოხსნის პროცესში ცხადია, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის კვადრატს ორი. და ეს არის დეუზი, რომელიც მიიღება მეორე გამოხატვის ხარისხის პირველის ხარისხს გამოკლებით.

კოეფიციენტის ხარისხის დასადგენად აუცილებელია გამყოფის ხარისხი გამოვაკლოთ დივიდენდის ხარისხს. წესი მუშაობს იგივე საფუძვლით ყველა მისი ღირებულებისთვის და ყველა ბუნებრივი ძალისთვის. აბსტრაქტული ფორმით გვაქვს:

(ა) x / (ა) y = (ა) x - y

ნულოვანი ხარისხის განმარტება გამომდინარეობს იდენტური ფუძეების ძალებთან გაყოფის წესიდან. ცხადია, შემდეგი გამოთქმაა:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

მეორეს მხრივ, თუ უფრო ვიზუალურად გავყოფთ, მივიღებთ:

(ა) 2 / (ა) 2 = (ა) (ა) / (ა) (ა) = 1

წილადის ყველა ხილული ელემენტის შემცირებისას ყოველთვის მიიღება გამოხატულება 1/1, ანუ ერთი. მაშასადამე, ზოგადად მიღებულია, რომ ნებისმიერი ბაზა, რომელიც ამაღლებულია ნულოვან სიმძლავრემდე, უდრის ერთს:

ა-ის ღირებულების მიუხედავად.

თუმცა, აბსურდული იქნება, თუ 0 (რომელიც მაინც იძლევა 0-ს ნებისმიერი გამრავლებისთვის) ერთგვარად უდრის ერთს, ასე რომ, ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა (0) 0 (ნული ნულოვან ხარისხამდე) უბრალოდ აზრი არ აქვს და ფორმულას (a) 0 = 1 დაამატეთ პირობა: "თუ a არ არის 0-ის ტოლი".

მოდით გავაკეთოთ ვარჯიში. მოდით ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

ვინაიდან ბაზა ყველგან ერთნაირია და უდრის 34-ს, საბოლოო მნიშვნელობას ექნება იგივე საფუძველი ხარისხით (ზემოხსენებული წესების მიხედვით):

Სხვა სიტყვებით:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

პასუხი: გამოთქმა უდრის ერთს.

თუ ორი ძალა გამრავლებულია (ან იყოფა), რომლებსაც აქვთ განსხვავებული საფუძვლები, მაგრამ ერთი და იგივე მაჩვენებლები, მაშინ მათი საფუძვლები შეიძლება გამრავლდეს (ან გაიყოს) და შედეგის მაჩვენებლები იგივე დარჩეს, რაც ფაქტორების (ან დივიდენდის და დივიდენდის). გამყოფი).

ზოგადად, მათემატიკური ენაზე ეს წესები იწერება შემდეგნაირად:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

გაყოფისას b არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ანუ მეორე წესი უნდა დაერთოს b ≠ 0 პირობით.

მაგალითები:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

ახლა, ამ კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ იგივე მაჩვენებლების მქონე ხარისხების წესები-თვისებები ჭეშმარიტია. მოდით მოვაგვაროთ ეს მაგალითები, თითქოს არ ვიცოდეთ ძალების თვისებების შესახებ:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

როგორც ვხედავთ, პასუხები ემთხვეოდა მიღებულ პასუხებს წესების გამოყენებისას. ამ წესების ცოდნა საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთვლები.

გაითვალისწინეთ, რომ გამონათქვამი 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 შეიძლება ჩაიწეროს ასე:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

ეს გამოთქმა, თავის მხრივ, არის სხვა რამ, ვიდრე (2 × 3) 3. ანუ 6 3 .

იგივე მაჩვენებლების მქონე გრადუსების განხილული თვისებები შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპირო მიმართულებით. მაგალითად, რა არის 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

გრადუსების თვისებები ასევე გამოიყენება მაგალითების ამოხსნისას:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

ხარისხების დაყოფის წესი. ერთნაირი ფუძით ძალების გაყოფისას ფუძე იგივე რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს. მაგალითები:

სლაიდი 11 პრეზენტაციიდან "ძალათა გაყოფა და გამრავლება"ალგებრის გაკვეთილები თემაზე "ხარისხი"

ზომები: 960 x 720 პიქსელი, ფორმატი: jpg. ალგებრის გაკვეთილზე გამოსაყენებლად სლაიდის უფასოდ ჩამოსატვირთად, დააწკაპუნეთ სურათზე მარჯვენა ღილაკით და დააწკაპუნეთ "Save Image As. ". თქვენ შეგიძლიათ გადმოწეროთ მთელი პრეზენტაცია "powers.ppt დაყოფა და გამრავლება" 1313 KB zip არქივში.

„ხარისხების გაყოფა და გამრავლება“ - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. იპოვეთ a2 და a3 ნამრავლი. 100.2+3. Ხუთჯერ. 64 = 144 = 1 0000 =. ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა. 3 - ჯერ. a2 a3 =.

"ორი ძალები" - 1024+. ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე გადატანის წესები. გუსელნიკოვა ე.ვ. სკოლა 130. შინაარსი. ორი ძალების ცხრილი. გადავიყვანოთ რიცხვი 1998 ათწილადიდან ორობითში. კისლიხი ვ.ნ. 11E Zinko K.O. 11E. მასწავლებელი: დასრულებულია: განვიხილოთ ტრანსფორმაციის სქემა მაგალითის გამოყენებით.

"ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით" - ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით. 5 12?3 (27?3). -2. -ერთი. გამოთვალეთ: -3.

”ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით” - თემაზე: ”ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით”. გაკვეთილის მიზნები: I. საორგანიზაციო ნაწილი. საშინაო დავალების შემოწმება 1. მათემატიკური კარნახი 2. მიმოხილვა III.დამოუკიდებელი სამუშაო IV. ზოგადი გაკვეთილი. გაკვეთილების დროს. ტესტისთვის მომზადება V. გაკვეთილის შეჯამება VI. II.

"ძალა მთელი რიცხვის მაჩვენებლით" - გამოხატეთ გამოთქმა სიმძლავრის სახით. X-12. დაალაგეთ კლებადობით. გამოხატეთ x-12, როგორც ორი სიმძლავრის ნამრავლი x ფუძით, თუ ცნობილია ერთი ფაქტორი. გამოთვალეთ. გამარტივება.

„ხარისხის თვისებები“ - ხარისხის თვისებების ბუნებრივი მაჩვენებლით გამოყენების შესახებ ცოდნისა და უნარების განზოგადება. გამოთვლითი პაუზა. ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით. Შეამოწმე შენი თავი! ცოდნის გამოყენება სხვადასხვა სირთულის პრობლემების გადასაჭრელად. ტესტი. ფიზმუტკა. გამძლეობის, გონებრივი აქტივობისა და შემოქმედებითი აქტივობის განვითარება.

ძალაუფლების გაყოფის წესი

1. ორი ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი ტოლია ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლის (იგივე მაჩვენებლით):

(abc…) n = a n b n c n…

მაგალითი 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. მაგალითი 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + ა) 3 (x - ა) 3

პრაქტიკაში, ინვერსიული ტრანსფორმაცია უფრო მნიშვნელოვანია:

a n b n c n … = (abc…) n

იმათ. რამდენიმე სიდიდის ერთი და იგივე სიმძლავრის ნამრავლი უდრის ამ რაოდენობების პროდუქტის ერთსა და იმავე სიმძლავრეს.

მაგალითი 3 მაგალითი 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a + b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. კოეფიციენტის (წილადის) ხარისხი ტოლია გამყოფის ერთი და იგივე ხარისხის გაყოფის გამყოფის იმავე ხარისხზე:

მაგალითი 5 მაგალითი 6

საპირისპირო ტრანსფორმაცია:. მაგალითი 7 . მაგალითი 8 .

3. ერთსა და იმავე ფუძეებთან ხარისხების გამრავლებისას მაჩვენებლები ემატება:

მაგალითი 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. მაგალითი 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. ძალაუფლების ერთი და იგივე ფუძით გაყოფისას გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.

მაგალითი 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. მაგალითი 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. ხარისხის ხარისხზე აწევისას მაჩვენებლები მრავლდება:

მაგალითი 13. (2 3) 2 =2 6 =64. მაგალითი 14

ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა

ძალაუფლების შეკრება და გამოკლება

ცხადია, სიმძლავრის მქონე რიცხვები შეიძლება დაემატოს სხვა რაოდენობებს , სათითაოდ მათი ნიშნების მიყოლებით.

ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4.

შანსები იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.

ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.

ასევე აშკარაა, რომ თუ ავიღებთ ორ კვადრატს a, ან სამ კვადრატს a, ან ხუთ კვადრატს a.

მაგრამ გრადუსები სხვადასხვა ცვლადებიდა სხვადასხვა ხარისხით იდენტური ცვლადები, უნდა დაემატოს მათი ნიშნების დამატებით.

ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.

აშკარაა, რომ a-ს კვადრატი და a-ს კუბი არის არა ორჯერ a-ის კვადრატი, არამედ ორჯერ მეტი a-ის კუბი.

a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .

გამოკლებაუფლებამოსილებები ხორციელდება ისევე, როგორც დამატება, გარდა იმისა, რომ სუბტრაჰენდის ნიშნები შესაბამისად უნდა შეიცვალოს.

ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3სთ 2 ბ 6 - 4 სთ 2 ბ 6 \u003d -h 2 b 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6

სიმძლავრის გამრავლება

სიმძლავრეების მქონე რიცხვები შეიძლება გამრავლდეს, როგორც სხვა სიდიდეები, ჩაწერით ერთმანეთის მიყოლებით, მათ შორის გამრავლების ნიშნით ან მის გარეშე.

ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.

ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ბოლო მაგალითში შედეგი შეიძლება დალაგდეს იგივე ცვლადების დამატებით.
გამოთქმა მიიღებს ფორმას: a 5 b 5 y 3 .

რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი არის რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხი.

ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.

ასე რომ, a n .a m = a m+n.

a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის ხარისხი;

და a m , მიიღება კოეფიციენტად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;

Ამიტომაც, იგივე ფუძეების მქონე სიმძლავრეები შეიძლება გამრავლდეს მაჩვენებლების დამატებით.

ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გავამრავლოთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია − უარყოფითი.

1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ

ორი რიცხვის ჯამის ან სხვაობის გამრავლების შედეგი უდრის მათი კვადრატების ჯამს ან განსხვავებას.

თუ ორი რიცხვის ჯამი და სხვაობა გაიზარდა კვადრატი, შედეგი იქნება ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის ტოლი მეოთხეხარისხი.

ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

უფლებამოსილებების დაყოფა

ძალაუფლების მქონე რიცხვები შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვების მსგავსად გამყოფისგან გამოკლებით, ან წილადის სახით მოთავსებით.

ასე რომ, 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.

5-ის დაწერა სამზე გაყოფილი ჰგავს $\frac-ს $. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოკლებულია..

ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. ანუ $\frac = y$.

და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac = a^n$.

ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

ძალთა გამრავლებისა და გაყოფის კარგად დაუფლება აუცილებელია, ვინაიდან ასეთი ოპერაციები ძალიან ფართოდ გამოიყენება ალგებრაში.

მაგალითების ამოხსნის მაგალითები წილადებით, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac $-ში პასუხი: $\frac $.

2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac$-ში. პასუხი: $\frac $ ან 2x.

3. შეამცირეთ a 2 / a 3 და a -3 / a -4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
a 2 .a -4 არის -2 პირველი მრიცხველი.
a 3 .a -3 არის 0 = 1, მეორე მრიცხველი.
a 3 .a -4 არის -1, საერთო მრიცხველი.
გამარტივების შემდეგ: a -2 /a -1 და 1/a -1 .

4. შეამცირეთ 2a 4 /5a 3 და 2 /a 4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
პასუხი: 2a 3 / 5a 7 და 5a 5 / 5a 7 ან 2a 3 / 5a 2 და 5/5a 2.

5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.

6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.

8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.

ალგებრა - მე-7 კლასი. ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა

გაკვეთილი თემაზე: ”ძალათა გამრავლებისა და გაყოფის წესები ერთი და იგივე და განსხვავებული მაჩვენებლებით. მაგალითები»

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები. ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა

გაკვეთილის მიზანი: ისწავლეთ როგორ შეასრულოთ მოქმედებები რიცხვის ხარისხებით.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ ცნება "რიცხვის ძალა". ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა $\underbrace_$, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $a^n$.

საპირისპირო ასევე მართალია: $a^n= \underbrace_ $.

ამ თანასწორობას ეწოდება "ხარისხის ჩაწერა, როგორც პროდუქტი". ის დაგვეხმარება იმის გარკვევაში, თუ როგორ გავამრავლოთ და გავყოთ ძალები.
გახსოვდეთ:
ა- ხარისხის საფუძველი.
ნ- ექსპონენტი.
Თუ n=1, რაც ნიშნავს რიცხვს ამიღებული ერთხელ და შესაბამისად: $a^n= 1$.
Თუ n=0, შემდეგ $a^0= 1$.

რატომ ხდება ასე, შეგვიძლია გავარკვიოთ, როცა გავეცნობით ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესებს.

გამრავლების წესები

ა) თუ ერთი და იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეები გამრავლებულია.
$a^n * a^m$-ისთვის, ჩვენ ვწერთ გრადუსებს ნამრავლად: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
ნახაზი აჩვენებს, რომ რიცხვი ააიღეს n+mჯერ, შემდეგ $a^n * a^m = a^ $.

მაგალითი.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ეს თვისება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად სამუშაოს გასამარტივებლად, როდესაც რიცხვი დიდ სიმძლავრემდე აწევთ.
მაგალითი.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ბ) თუ სიმძლავრეები მრავლდება განსხვავებული ფუძით, მაგრამ ერთი და იგივე მაჩვენებლით.
$a^n * b^n$-ისთვის ჩვენ ვწერთ ხარისხებს პროდუქტად: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
თუ გავცვლით ფაქტორებს და დავთვლით მიღებულ წყვილებს, მივიღებთ: $\underbrace_ $.

ასე რომ, $a^n * b^n= (a *b)^n$.

მაგალითი.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

გაყოფის წესები

ა) ხარისხის საფუძველი ერთი და იგივეა, მაჩვენებლები განსხვავებული.
განვიხილოთ გრადუსის უფრო დიდი მაჩვენებლით გაყოფა გრადუსის უფრო მცირე მაჩვენებელზე გაყოფით.

ჩვენ ვწერთ ხარისხებს წილადად:

მოხერხებულობისთვის ჩვენ ვწერთ გაყოფას მარტივ წილადად.

ახლა შევამციროთ წილადი.

გამოდის: $\underbrace_ = a^ $.
ნიშნავს, $\frac =a^$ .

ეს თვისება დაგეხმარებათ ახსნათ სიტუაცია რიცხვის ნულამდე აწევით. დავუშვათ, რომ n=m, შემდეგ $a^0= a^ =\frac =1$.

ბ) ხარისხის საფუძვლები განსხვავებულია, მაჩვენებლები ერთი და იგივე.
ვთქვათ, გჭირდებათ $\frac $. რიცხვების ხარისხებს წილადად ვწერთ:

მოხერხებულობისთვის წარმოვიდგინოთ.

წილადების თვისების გამოყენებით დიდ წილადს ვყოფთ პატარების ნამრავლად, მივიღებთ.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
შესაბამისად: $\frac =(\ფრაქ )^n$.

mathematics-tests.com

ხარისხები და ფესვები

ოპერაციები ძალებითა და ფესვებით. ხარისხი უარყოფითით ,

ნულოვანი და წილადი მაჩვენებელი. გამოთქმების შესახებ, რომლებსაც აზრი არ აქვს.

ოპერაციები ხარისხით.

1. ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ემატება:

ვარ · a n = a m + n.

2. იმავე ფუძით გრადუსების დაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოკლებული .

3. ორი ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი ტოლია ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლის.

4. თანაფარდობის (წილადის) ხარისხი უდრის დივიდენდის (მრიცხველის) და გამყოფის (მნიშვნელის) ხარისხების შეფარდებას:

(ა/ბ) n = a n / b n.

5. ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას მათი მაჩვენებლები მრავლდება:

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა იკითხება და სრულდება ორივე მიმართულებით მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

მაგალითი (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

ოპერაციები ფესვებით. ქვემოთ მოცემულ ყველა ფორმულაში სიმბოლო ნიშნავს არითმეტიკული ფესვი(რადიკალური გამოხატულება დადებითია).

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და გამყოფის ფესვების შეფარდებას:

3. ფესვის ძლიერებამდე აწევისას საკმარისია ამ ძალამდე აწევა ფესვის ნომერი:

4. თუ ფესვის ხარისხს გაზრდით m-ჯერ და ერთდროულად აწევთ ფესვის რიცხვს m-ე ხარისხამდე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ ფესვის ხარისხს m-ჯერ შეამცირებთ და ამავდროულად რადიკალური რიცხვიდან ამოიღებთ mth ხარისხის ფესვს, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხის ცნების გაფართოება. ჯერჯერობით ხარისხები მხოლოდ ბუნებრივი მაჩვენებლით განვიხილეთ; მაგრამ ძალებითა და ფესვებით ოპერაციებმა ასევე შეიძლება გამოიწვიოს უარყოფითი, ნულიდა წილადიინდიკატორები. ყველა ეს მაჩვენებელი მოითხოვს დამატებით განმარტებას.

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით. უარყოფითი (მთლიანი) მაჩვენებლის მქონე გარკვეული რიცხვის ხარისხი განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომელსაც ტოლია უარყოფითი მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ახლა ფორმულა ვარ : a n = მ-ნშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ, მეტი ვიდრე ნ, არამედ ზე მ, ნაკლები ვიდრე ნ .

მაგალითი ა 4: ა 7 = ა 4 — 7 = ა — 3 .

თუ ფორმულა გვინდა ვარ : a n = ვარ — ნსამართლიანი იყო m = n, ჩვენ გვჭირდება ნულოვანი ხარისხის განმარტება.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით. ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით არის 1.

მაგალითები. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ რეალური რიცხვი a ავიყვანოთ m/n-მდე, თქვენ უნდა ამოიღოთ n-ე ხარისხის ფესვი ამ რიცხვის m-დან a:

გამოთქმების შესახებ, რომლებსაც აზრი არ აქვს. რამდენიმე ასეთი გამოთქმა არსებობს.

სადაც ა ≠ 0 , არ არსებობს.

მართლაც, თუ ვივარაუდებთ, რომ xარის გარკვეული რიცხვი, მაშინ, გაყოფის ოპერაციის განმარტების შესაბამისად, გვაქვს: ა = 0· x, ე.ი. ა= 0, რომელიც ეწინააღმდეგება პირობას: ა ≠ 0

— ნებისმიერი ნომერი.

მართლაც, თუ ჩავთვლით, რომ ეს გამონათქვამი რაღაც რიცხვის ტოლია x, მაშინ გაყოფის ოპერაციის განსაზღვრის მიხედვით გვაქვს: 0 = 0 x. მაგრამ ეს თანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერი რიცხვი x, რაც დასამტკიცებელი იყო.

0 0 — ნებისმიერი ნომერი.

გამოსავალი. განვიხილოთ სამი ძირითადი შემთხვევა:

1) x = 0 – ეს მნიშვნელობა არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას

2) როდის x> 0 ვიღებთ: x / x= 1, ე.ი. 1 = 1, საიდანაც შემდეგია,

რა x- ნებისმიერი ნომერი; მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ

ჩვენი საქმე x> 0, პასუხი არის x > 0 ;

უსაფრთხოების წესები უთოთან მუშაობისას უსაფრთხოების წესები უთოთან მუშაობისას. 1. უთო ქსელთან შეერთებამდე შეამოწმეთ სადენის იზოლაცია და უთო პოზიცია სადგამზე. 2. ჩართვა და […]
წყლის გადასახადის სახელმწიფო პრობლემები, ანალიზი და წყლის გადასახადის გაუმჯობესების პრობლემები, როდესაც წყალი ამოღებულია დადგენილ კვარტალურ (წლიურ) წყალსარგებლობის ლიმიტებზე მეტი, გადასახადის განაკვეთები ასეთი ჭარბი [...]
როგორ შევადგინოთ ბრძანება 223 fz-დან 44 fz-ზე გადასვლის სერგეი ანტონოვი 30 უპასუხა ერთი წლის წინ პროფესორი 455 უპასუხა ერთი წლის წინ მაგალითად: ბრძანება შესყიდვების რეგულაციის გამოყენების გაუქმების შესახებ. პასუხის ქულა: 0 დაამატეთ […]
უარყოფითი რიცხვების გაყოფა როგორ გავყოთ უარყოფითი რიცხვები მარტივი გასაგებია, გვახსოვდეს, რომ გაყოფა არის გამრავლების ინვერსია. თუ "a" და "b" დადებითი რიცხვებია, მაშინ რიცხვი "a" გაყავით რიცხვზე " […]
რეზოლუციები D1, 960H, 720P, 960P, 1080P სათვალთვალო სისტემები სულ უფრო და უფრო ფართოვდება მთელ მსოფლიოში. აღჭურვილობა მუდმივად იხვეწება და ეს სფერო მუდმივად ვითარდება. როგორც ნებისმიერ […]
რუსეთის ფედერაციის კონსტიტუციური კანონი. ბაგლაი მ.ვ. მე-6 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - მ.: ნორმა, 200 7 . - 7 84 გვ. ეს სახელმძღვანელო, რომელიც არის მეექვსე შესწორებული და დამატებული გამოცემა, დაწერილია ცნობილი […]

ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4 .

შანსები იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.

ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.

ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.

a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .

ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6

სიმძლავრის გამრავლება

ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.

ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებისას დავინახავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი იქნება რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხი.

ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.

ასე რომ, a n .a m = a m+n.

a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის ხარისხი;

და a m , მიიღება კოეფიციენტად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;

ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გავამრავლოთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია - უარყოფითი.

1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ

ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

უფლებამოსილებების დაყოფა

ასე რომ, 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.

ან:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ის დაწერა 3-ზე გაყოფილი $\frac(a^5)(a^3)$-ს ჰგავს. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.

ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. ანუ $\frac(yyyy)(yy) = y$.

და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

მაგალითების ამოხსნის მაგალითები წილადებით, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(5a^4)(3a^2)$-ში პასუხი: $\frac(5a^2)(3)$.

2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(6x^6)(3x^5)$-ში. პასუხი: $\frac(2x)(1)$ ან 2x.

5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.

6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.

8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.

9. გაყავით (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

დენის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აროდესაც:

ოპერაციები ხარისხით.

1. გრადუსების გამრავლება ერთიდაიგივე ფუძით, მათი მაჩვენებლები ჯამდება:

ვარa n = a m + n.

2. იმავე ფუძის მქონე გრადუსების დაყოფისას მათ ინდიკატორებს აკლებენ:

3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:

(abc…) n = a n b n c n…

4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:

(a/b) n = a n / b n .

5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:

(am) n = a m n .

ზემოთ მოყვანილი თითოეული ფორმულა სწორია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

Მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ოპერაციები ფესვებით.

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:

3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა:

4. თუ გავზრდით ფესვის ხარისხს ში ნერთხელ და ამავე დროს ამაღლება ნ th ძალა არის ძირეული რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ დავაკლებთ ფესვის ხარისხს ში ნ root ამავე დროს ნრადიკალური რიცხვიდან th ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.გარკვეული რიცხვის ხარისხი არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლით განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომლის მაჩვენებლით ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ფორმულა ვარ:a n = a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ ზე მ< ნ.

Მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ფორმულამდე ვარ:a n = a m - nსამართლიანი გახდა m=n, საჭიროა ნულოვანი ხარისხის არსებობა.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით.ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულოვანი მაჩვენებლით უდრის ერთს.

Მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მამ რიცხვის ე ძალა ა.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ძალაუფლების გაყოფის წესი

ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა

ძალაუფლების შეკრება და გამოკლება

სიმძლავრის გამრავლება

უფლებამოსილებების დაყოფა

მაგალითების ამოხსნის მაგალითები წილადებით, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

ალგებრა - მე-7 კლასი. ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა

ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა

გამრავლების წესები

გაყოფის წესები

ხარისხები და ფესვები

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა იკითხება და სრულდება ორივე მიმართულებით მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

სიმძლავრის გამრავლება

უფლებამოსილებების დაყოფა

მაგალითების ამოხსნის მაგალითები წილადებით, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ