რა პარამეტრი აფასებს მოცემულ ფუნქციას. პარამეტრების ამოცანების ამოხსნა კვადრატული ფუნქციის თვისებების გამოყენებით

1. დავალება.
პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება ( ა - 1)x 2 + 2x + ა- 1 = 0 აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?

1. გადაწყვეტილება.
ზე ა= 1 განტოლებას აქვს ფორმა 2 x= 0 და აშკარად აქვს ერთი ფესვი x= 0. თუ ა No1, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებისთვისაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია. დისკრიმინანტის ნულთან გათანაბრებით, ვიღებთ პარამეტრის განტოლებას ა 4ა 2 - 8ა= 0, საიდანაც ა= 0 ან ა = 2.

1. პასუხი:განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ა O(0; 1; 2).

2. დავალება.
იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0.
2. გადაწყვეტილება.
განტოლება x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0 აქვს ორი განსხვავებული ფესვი თუ და მხოლოდ თუ დ = 16ა 2 -4(8ა+3) > 0. ვიღებთ (4 საერთო კოეფიციენტით შემცირების შემდეგ) 4 ა 2 -8ა-3 > 0, საიდანაც

2. პასუხი:

ა O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) და (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. დავალება.
ცნობილია, რომ
ვ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა ვ 1 (x) ზე ა = 1.
ბ) რა ღირებულებით აფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x) და ვ 2 (x) გაქვთ ერთი საერთო წერტილი?

3. გამოსავალი.
3.ა.მოდით გარდავქმნათ ვ 1 (x) შემდეგნაირად
ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 1 ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.
3.ბ.ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციის გრაფიკები წ = kx+ბდა წ = ნაჯახი 2 +bx+გ (ა No 0) იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კვადრატული განტოლება kx+ბ = ნაჯახი 2 +bx+გაქვს ერთი ფესვი. ხედის გამოყენება ვ 1 of 3.ა, ვაიგივებთ განტოლების დისკრიმინანტს ა = 6x-x 2-6 ნულამდე. 36-24-4 განტოლებიდან ა= 0 ვიღებთ ა= 3. იგივეს გაკეთება მე-2 განტოლებით x-ა = 6x-x 2 -6 პოვნა ა= 2. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ეს პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. პასუხი: ა= 2 ან ა = 3.

4. დავალება.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლის მიხედვითაც უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x 2 -2ნაჯახი-3ა i 0 შეიცავს სეგმენტს.

4. გამოსავალი.
პარაბოლის წვეროს პირველი კოორდინატი ვ(x) = x 2 -2ნაჯახი-3აუდრის x 0 = ა. კვადრატული ფუნქციის თვისებებიდან მდგომარეობა ვ(x) i 0 ინტერვალზე უდრის სამი სისტემის მთლიანობას
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?

5. გადაწყვეტილება.
მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x 2 + (2ა-2)x - 3ა+7 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება, მას აქვს ზუსტად ორი ამონახსნი, თუ მისი დისკრიმინანტი მკაცრად მეტია ნულზე. დისკრიმინანტის გამოთვლით მივიღებთ, რომ ზუსტად ორი ფესვის არსებობის პირობა არის უტოლობის შესრულება. ა 2 +ა-6 > 0. უტოლობის ამოხსნა ვპოულობთ ა < -3 или ა> 2. ცხადია, უტოლობებიდან პირველს არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში, ხოლო მეორის უმცირესი ნატურალური ამონახსნები არის რიცხვი 3.

5. პასუხი: 3.

6. ამოცანა (10 უჯრედი)
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც ფუნქციის გრაფიკი ან აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ა-2 = | 2-ა| . ბოლო განტოლება უდრის უტოლობას ამე 2.

6. პასუხი: ა O , და არ არის დამოკიდებული დისკრიმინანტის ნიშანზე. მოდით გავაკეთოთ სქემატური ნახაზები (D>0-ისთვის)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image020_10.jpg" width="624" height="209 src=">

სამი შემთხვევიდან a), b), c) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა f(t) = t2-8at+7a2

სეგმენტზე მიიღწევა, შესაბამისად, x = 1, x = 2a, x = 1/4 წერტილებში. შემდეგ კითხვაზე პასუხის გაცემა არის სამი სისტემის მთლიანობის ამოხსნა:

1≤4a 1/4<4а<1 4а<1/4

f(1)<0 или f(4а)<0 или f(1/4)<0

a≥1/4 1/16<а<1/4 а≤1/16

1 - 8a + 7a2<0 или 16а2 – 32а2 + 7а2<0 или 1/16 – 2а + 7а2<0.

პასუხი: 1/28<а<1.

სატესტო დავალებები

ერთი). a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის იკვეთება y = 2x – a და y = (a + 1)x2 + 1 ფუნქციების გრაფიკები მხოლოდ ერთ წერტილში?

2). იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის y = (a + 5)x2 - 1 ფუნქციების გრაფიკები და

y \u003d (3a + 15) x - 4 არ გაქვთ საერთო წერტილები?

3). a პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას (a +4)x2 +6x –1 = 0 უნიკალური ამონახსნი?

4). a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას (2a + 8) x2 - (a + 4) x + 3 = 0 უნიკალური ამონახსნი?

5). a პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას ერთზე მეტი ამონახსნი?

ა) (a + 6)x2 - 8x + a \u003d 0

ბ) a (2a + 4) x2 - (a + 2) x - 5a - 10 = 0.

6). იპოვეთ k პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მრუდი y = x2 + kx + 4 ეხება x ღერძს.

7). რა არის k პარამეტრის უმცირესი მთელი მნიშვნელობა კვადრატული ტრინომისთვის

(k–2)x2+8x + k+4 დადებითია x-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის?

რვა). რიცხვები x, y და ისეთია, რომ x + y = a -1, x2 + y2 = 5a2 - 3a + 0.5. a პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე იღებს xy პროდუქტი მაქსიმალურ მნიშვნელობას?

ცხრა). რიცხვები x, y და ისეთია, რომ x + y = a +1, xy = a2 - 3a + 4. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის

და ჯამი x2 + y2 იღებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას?

ათი). იპოვეთ y \u003d 2x2 - 2ax + ფუნქციის უდიდესი და 1 უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

თერთმეტი). იპოვეთ კვადრატული ტრინომის 1 - (a - 2) x - x2 უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

12). პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე არის y = x2 + (a + 4) x + 2a + 3 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა -4-ის ტოლი?

ცამეტი). პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზეა y \u003d x2 - (a + 2) x + a2 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა [-1; 1] 4-ის ტოლი?

თოთხმეტი). პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზეა a არის ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა

f (x) \u003d - (1 / a) x + (7 / a) 3-x - 3a2 სეგმენტზე [-1; 0] უარყოფითია?

პასუხები სატესტო დავალებაზე

1) a=-2, a=-1, a=0.

2) –19/3<а≤-5.

3) a=-4, a=-13.

5) ა) -8<а<-6 и -6<а<2

ბ) a=-2; -1/40 0.

10) თუ ა<-2, то наименьшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

თუ -2≤a<0, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

თუ 0≤a<2, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а;

თუ a≥2, მაშინ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა x= 1-ზე და უდრის 3–2a, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა x=-1-ზე და უდრის 3+2a-ს;

11) თუ a≤0, მაშინ -6a2-a+2, თუ 0<а<8/5, то 2- 6а +а2/4, если а ≥8/5, то 19а-6а2 -14

13) a=-2 ან a=(1+√21)/2

14) |a|>(7√3)/12.

კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა

განვიხილოთ რიგი ტიპიური ამოცანები, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატული ტრინომალური ax2 + bx + c ფესვების მდებარეობასთან. ჩვენ განვახორციელებთ ყველა მსჯელობას > 0-ის დაშვებით. Თუ<0,то рассуждения проводятся аналогично.

დავალება ნომერი 1.

რა პირობებშია კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი ax2 + bx + c = 0 (აუცილებლად განსხვავებული) მეტია რომელიმე მოცემულ k რიცხვზე?

გადაწყვეტილება.

ვაშენებთ კვადრატული ტრინომის ფუნქციის სქემატურ გრაფიკებს y= ax2+bx+c, სადაც x1 და x2 აკმაყოფილებს პირობებს: x1>k, x2>k. ვთქვათ f(x)=ax2+bx+c. გრაფიკი y= f(x) ან კვეთს OX ღერძს (D>0) ან ეხება მას (D=0). მაშინ აუცილებელია პირობის შესრულება: х>к, y(к)>0. Თუ< 0 условие: х1>k, x2>k განისაზღვრება უტოლობების სისტემით:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image023_20.gif" width="14" height="86">

ნახ.4

დავალება 11.იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლების ყველა ფესვი

x2–6ax+2–2a+9a2 = 0–ით მეტი 3–ზე.

გადაწყვეტილება.

საჭირო პირობის დაკმაყოფილების შემთხვევაში შესაძლებელია პარაბოლის შემდეგი პოზიციები, რომელიც წარმოადგენს f(x)= x2–6ax+2–2a+9a2 ფუნქციის გრაფიკს.

ნახ.5

მოდით გადავჭრათ უტოლობათა სისტემა:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image026_8.jpg" align="left" width="324" height="239 src=">

საკმარისია პირობის შესრულება: y(k)<0, если а >0.როცა ა<0, y(к) > 0.

ბრინჯი. 6

დავალება 12.იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც 1 მდებარეობს x2–2ax+3–4a+2a2=0 განტოლების ფესვებს შორის.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან წამყვანი კოეფიციენტი დადებითია, საკმარისია f(1) პირობის დასაკმაყოფილებლად.<0, где f(х)=х2–2ах+3–4а+2а2

4–6a+2a2<0, 1<а<2.

პასუხი: 1<а<2

დავალება ნომერი 3.რა პირობებში დევს კვადრატული განტოლების ზუსტად ერთი ფესვი ax2 + bx + c = 0, რომელსაც განსხვავებული ფესვები აქვს (k, e) ინტერვალზე?

მოდით, სქემატურად ავაშენოთ გრაფიკები y = ax2 + bx + c ამ ამოცანის პირობის მიხედვით a > 0-ისთვის.

https://pandia.ru/text/78/525/images/image028_8.jpg" width="623" height="246 src=">

ამოხსენით უტოლობა: f(1) f(2)<0.

(a2+8a+7)(a2+14a+16)<0

7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

პასუხი: -7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

დავალება 14.იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებას 2cos(2x)+2asin(x)+a-1=0 აქვს უნიკალური ამონახსნები ინტერვალზე (-π/2;0).

გადაწყვეტილება.

2cos(2x)+2a sinx+a-1=0

2(1–2 sin2х)+ 2a sinx+a–1=0

4 sin2х–2а sinx –a–1=0

მოდით sinx=t ვინაიდან -π/2<х<0, то -1< t <0

იპოვეთ a პარამეტრის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლებას 4t2– 2at–a–1=0 აქვს უნიკალური ამონახსნები ინტერვალზე (-1; 0).

განტოლებას 4t2– 2at–a–1=0 აქვს უნიკალური ამონახსნები ინტერვალზე (-1; 0), თუ:

ერთი). D \u003d 0 D / 4 \u003d (a + 2) 2 D \u003d 0 \u003d -2-ისთვის.

2). განვიხილოთ ფუნქცია f(t)= 4t2– 2at–a–1

ჩვენ ვაშენებთ y=f(t) ფუნქციის სქემატურ გრაფიკს

https://pandia.ru/text/78/525/images/image030_16.gif" width="14" height="50 src=">

f(0) f(1) ≤0 a≤-3; a≥-1

პასუხი: a≤-3; a≥-1; a=-2.

დავალება ნომერი 4.რა პირობებში დევს ax2 + bx + c კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი (აუცილებლად განსხვავებული) [k; ე]. განვიხილოთ პირობით a>0. იყოს ფუნქცია f(x)= ax2+bx+c

https://pandia.ru/text/78/525/images/image032_14.gif" width="14" height="110"> D≥0

კ≤ ჰო≤ ე

დავალება 15. იპოვეთ a პარამეტრის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც არის განტოლების ყველა ფესვი

х2- 2(а–3)х–а +3=0 დევს ინტერვალში (-3; 0).

გადაწყვეტილება.

იმ პირობით, რომ მინიმუმ ერთი ფესვი არსებობს, ფუნქციის გრაფიკი f (x) \u003d x2- 2 (a-3) x-a + 3 შეიძლება სქემატურად განთავსდეს ორიდან ერთი გზით.

https://pandia.ru/text/78/525/images/image034_12.gif" width="14" height="110"> D≥0 4(а – 3)(а – 2) ≥0

3<хо<0 3<а – 3 <0 1,2<а≤2.

f(-3) >0 5а – 6>0

f(0) >0 -а+3>0

განტოლება sin x - 1 + a = sin x - 2 . sin x − 2 sin x − 3 ამოხსნა. დაყენებით t = sin x, ჩვენ ვამცირებთ განტოლებას ფორმამდე at2 − 5at + 6a − 1 = 0. თუ a = 0, მაშინ ამონახსნები არ არის. a = 0-ისთვის და a ∈ (−∞; −4] ∪ (0; +∞) √ 2 + 4a პირობით, ვიღებთ t1,2 = 5a ± 2aa განტოლების ფესვებს. ვინაიდან f პარაბოლის წვერო. (t) = at2 − 5at + 6a − 1 მდებარეობს tv = 2 წერტილში, 5 პირობა |t|1 ყველაზე პატარა ფესვისთვის დაკმაყოფილდება, თუ ფუნქციას აქვს სხვადასხვა ნიშნები სეგმენტის ბოლოებზე [− 1; 1]: f (−1) f (1) 0 ან (2a−1)(12a−1) 0. ბოლო 1 უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი a ∈ 12 ;1 .2 √ a2 პასუხი: თუ a. f (x) = 8ax − sin 6x − 7x − sin 5x იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე და არ აქვს კრიტიკული წერტილები? ამოხსნა f (x) ფუნქცია დიფერენცირებადია a და f (x) = 8a − 6a cos 6x − 7 − 5 cos 5x ამოცანა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: რისთვისაც a არის უტოლობა 6a cos 6x + 5 cos 5x< 8a − 7 справедливо для любого x? Так как последнее неравенство должно выполняться для любого значения x, оно должно быть справедливо и для x = 0, от- куда 6a + 5 < 8a − 7 или a >6. ახლა იმის გათვალისწინებით, რომ 6a cos 6x + 5 cos 5x 6|a| +5< 8a − 7, приходим к выводу, что при a >6 უტოლობა მოქმედებს ნებისმიერი x-ისთვის. პასუხი: a > 6. ამოცანები დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის ამოცანა 6.8. (SGAU) a პარამეტრის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე ამოხსენით განტოლება cos4 x − (a + 2) cos2 x √ a − 3 = 0. − პასუხი: თუ a ∈ [−3; −2] : x = arccos a + 3 + πk, k ∈ Z, თუ a ∈ [−3; −2]: გამოსავალი არ არის. პრობლემა 6.9. (SGAU) a პარამეტრის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე ამოხსენით განტოლება sin4 x + cos4 x + sin 2x + a = 0. 61 √ პასუხი: თუ a ∈ − 3 ; 2: x = 1 (−1)k რკალი (1− 2a−3) + πk, 2 1 2 3; 1: არ არის გადაწყვეტილებები. თუ a ∈ − 2 2 k ∈ Z, ამოცანა 6.10. (SGAU) a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება (a2 +8a+16)(2−2 cos x− sin2 x)+(32+2a2 +16a)(cos x−1)+3a+10 =0 გამოსავალი? პასუხი: ა< − 10 ; −3 < a < −2. 3 Задача 6.11. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga−2 17 + cos x − sin x = 3 8 имеет решение? √ 2 3 Ответ: a ∈ 2 5 ; 3 ∪ 3; 2 + 26 . 2 Задача 6.12. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga+1 25 + cos x − 2 sin x = 3 8 2 имеет решение? √3 37 Ответ: a ∈ − 1 ; 0 ∪ 0; 2 − 1 . 2 Задача 6.13. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x·(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x? √ √ Ответ: a ∈ −2 10; 2 10 . Задача 6.14. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 3 + sin x · (2 sin x + a cos x) будет равно −1 хотя бы при одном значении x? √ √ Ответ: a ∈ −∞; −4 6 ∪ 4 6; +∞ . Задача 6.15. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a сумма loga (sin x + 2) и loga (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x? Ответ: a ∈ [ 2; 12 ]. Задача 6.16. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 4 sin x · sin y · cos(x + y) − 0,5 = 0 x−y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. 62 Ответ: Если α = 2πn: x = ±π 6 + π(k+n) π y = ±6 + π(k−n); если α = π+2πn: x = ±π 3 + π + π(k+n) 2 y = ±π 3 − π + π(k−n), 2 n, k ∈ Z. Задача 6.17. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 2 sin x · cos y · sin(x − y) + 0,25 = 0 x+y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. Ответ: Если α = π +2πn: x = (−1)k+1 π + π + π (2n+k) 2 12 4 2 k π + π + π (2n−k); y = (−1) 12 4 2 если α = − 2 π +2πn: x = (−1)k π − π + π (2n+k) 12 4 2 y = (−1) k+1 π − π + π (2n−k), 12 4 2 n, k ∈ Z. Задача 6.18. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ 2 2 (sin x − cos x) − a + 7 log 2a+34 15 <0 35 выполняется для любых значений x? 1 Ответ: a ∈ (−17; −12) ∪ 2 ; 3 . Задача 6.19. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ log 3−2a 3 sin x + 3 3 cos x − 2a − 12 >0 23 28 მოქმედებს x-ის ნებისმიერ მნიშვნელობებზე? პასუხი: a ∈ (−∞; −23) ∪ (−10; −9). პრობლემა 6.20. a პარამეტრის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე ამოხსენით cos x 2 − a2 უტოლობა. პასუხი: |ა| √ : x ∈ R, 1 1<|a| √3: x ∈ arccos(2−a2)+2πk; π− arccos(2−a2)+2πk , |a|>3: გამოსავალი არ არის. k∈Z ამოცანა 6.21. a პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის tg x (a + 1) tg2 x − 2 cos x + a = 0 განტოლებას არ აქვს ამონახსნები? პასუხი: a -3; a 1. 63 სასწავლო გზამკვლევი პრობლემა პარამეტრებთან შედგენილი: ეფიმოვი ევგენი ალექსანდროვიჩ კოლომიეც ლუდმილა ვადიმოვნა კომპიუტერის აკრეფა და განლაგება ე.ა. ეფიმოვის სამარას სახელმწიფო კოსმოსური უნივერსიტეტი აკადემიკოს ს.პ. Დედოფალი. 443086, სამარა, მოსკოვის გზატკეცილი, 34. - რიო სამარას სახელმწიფო აეროკოსმოსური უნივერსიტეტი აკადემიკოს ს.პ. Დედოფალი. 443086, სამარა, მოსკოვის გზატკეცილი, 34.

სამარას რეგიონის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

სპეციალისტთა დამატებითი პროფესიული განათლების (კვალიფიკაციის განვითარების) სახელმწიფო ავტონომიური საგანმანათლებლო დაწესებულება

სამარას პროფესიული განვითარების რეგიონალური ინსტიტუტი

და საგანმანათლებლო მუშაკთა გადამზადება

საბოლოო სამუშაო

მოწინავე სასწავლო კურსებზე

WB IOCH-ის მიხედვით

"სწავლების მეთოდოლოგიური მახასიათებლები პარამეტრით პრობლემების გადასაჭრელად ახალ საგანმანათლებლო სტანდარტებზე გადასვლის კონტექსტში"

(15.06 - 19.06.2015)

დავალებების მრავალ დონის სისტემის შემუშავება თემის პარამეტრით:

"წარმოებული"

Შესრულებული:

ვალიევა ფ.გ.,

მათემატიკის მასწავლებელი

GBOU საშუალო სკოლა მათ. მ.კ. ოვსიანიკოვა

თან. ისაკლა

სამარა

2015 წელი

განმარტებითი შენიშვნა

სრული სახელი (სრული სახელი)

ვალიევა ფაუნზია გალიმზიანოვნა

სამუშაო ადგილი

GBOU საშუალო სკოლა მათ. მ.კ. ისაკლის სოფელი ოვსიანიკოვა,

ისაკლინსკის ოლქი, სამარას ოლქი

თანამდებობა

მათემატიკის მასწავლებელი

რამ

მათემატიკა

Კლასი

მიზნები:

შპს ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის მოთხოვნების შესრულება თემის შესწავლისას: "წარმოებული"
ცოდნისა და აქტივობის მეთოდების განზოგადება და სისტემატიზაცია თემაზე „წარმოებული“; პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის უნარების ჩამოყალიბება.
კვლევითი და შემეცნებითი აქტივობების განვითარება.

რუსეთის მოქალაქის პიროვნების სულიერი და მორალური განვითარებისა და განათლების კონცეფციაარის ზოგადი განათლების ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის შემუშავებისა და განხორციელების მეთოდოლოგიური საფუძველი.

ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტი ძირითადი ზოგადი განათლების შესახებ მათემატიკის სასკოლო კურსზე.

სტანდარტი ეფუძნებასისტემა-აქტივობის მიდგომა.

სტანდარტი ადგენს მოთხოვნებს საბაზო ზოგადი განათლების ძირითადი საგანმანათლებლო პროგრამის სტუდენტების მიერ დაუფლების შედეგებზე:

პირადი;

მეტასაგანი ;

საგანი .

Დავალებები:

- საგანმანათლებლო: ამოცანის ტექსტის გაანალიზება და გაგება, შემეცნებითი მიზნის დამოუკიდებლად იდენტიფიცირება და ჩამოყალიბება, მდგომარეობის ხელახალი ფორმულირება, მსჯელობის ლოგიკური ჯაჭვის აგება, მიღებული პასუხის კრიტიკულად შეფასება, მეტყველების განცხადების შეგნებული და თვითნებური აგება, ამოხსნის ყველაზე ეფექტური ხერხის არჩევა. პრობლემები, პრობლემის ჩამოყალიბება და ფორმულირება, ჰიპოთეზების წამოყენება და მათი დასაბუთება, სემანტიკური კითხვა;

- განვითარებადი: მიზნების დასახვა, მათი საქმიანობის დაგეგმვა კონკრეტული პირობებიდან გამომდინარე; მოქმედების მეთოდებისა და პირობების ასახვა, პროცესისა და საქმიანობის შედეგების კონტროლი და შეფასება, თვითრეგულირება,პრობლემის გადაჭრის გზით, განავითაროს მოსწავლეთა შემოქმედებითი და გონებრივი აქტივობა, ინტელექტუალური თვისებები: პრობლემის „დანახვის“ უნარი, შეფასებითი მოქმედებები, დამოუკიდებლობა, აზროვნების მოქნილობა;

- საგანმანათლებლო: გრძნობის ჩამოყალიბება, მოსმენისა და დიალოგის, პრობლემების კოლექტიურ განხილვაში მონაწილეობის, პასუხისმგებლობისა და სიზუსტის გამომუშავების უნარი.

Დავალებები პარამეტრებით - ეს არის არასტანდარტული ამოცანები, ე.ი.უჩვეულო როგორც ფორმულირებით და შინაარსით, ასევე გადაწყვეტის მეთოდებით. როლი ასეთიამოცანები, მათი მნიშვნელობა და სარგებელი ლოგიკური აზროვნების, ინტუიციის განვითარებისთვის,მოსწავლეთა შემოქმედებითი შესაძლებლობები, მათი მაღალი მათემატიკის ფორმირებაკულტურები ძალიან დიდია. ცნობილია, რომ აღმზრდელებს სერიოზული წინაშე დგანანმეთოდოლოგიური პრობლემები სწავლებაში ასეთი პრობლემების გადაჭრაში, მიუხედავად არსებობისა,საკმაოდ დიდი რაოდენობით გაკვეთილები და ჟურნალის სტატიები. ამის მიზეზი საკმაოდ აშკარაა: მათემატიკური განათლების მთავარი სტრატეგია სკოლაში არის გარკვეული სტანდარტული ამოცანების ამოხსნის უნარებისა და შესაძლებლობების განვითარება, რომელთა უმეტესობა დაკავშირებულია ალგებრული გარდაქმნების ტექნიკასთან. პარამეტრებთან განტოლებები (უტოლობა) ეხება სხვადასხვა ტიპის ამოცანებს - ამოცანებს, რომელთა გადაწყვეტისთვის, პირველ რიგში, აუცილებელია - ზოგჯერ საკმაოდ განშტოებული - ლოგიკური კონსტრუქციების და კვლევის უნარი.

პარამეტრებით ამოცანების გადაჭრა მოითხოვს კვლევას, მაშინაც კი, თუ ეს სიტყვა არ არის ნახსენები პრობლემის განცხადებაში. ფორმულების მექანიკური გამოყენება არ არის საკმარისი, საჭიროა შაბლონების გაგება, კონკრეტული შემთხვევის ანალიზის უნარი ობიექტის ცნობილ ზოგად თვისებებზე დაყრდნობით, ხსნარში თანმიმდევრულობა და თანმიმდევრულობა, განხილული კონკრეტული შემთხვევების გაერთიანების უნარი. ერთ შედეგში. ეს გამოწვეულია იმ სირთულეებით, რაც სტუდენტებს აქვთ მსგავსი პრობლემების გადაჭრაში.

ამჟამად საკმაოდ გავრცელებულია სწავლის პრობლემების გადაჭრის სწავლის შერწყმის იდეა მათი დიზაინის სწავლასთან. დავალების აგებით გავიგებთ ახალი ამოცანის შექმნის პროცესს. პრობლემის აგება ეფუძნება კვადრატული ტრინომის შედგენის უნარს. ამ შემთხვევაში გამოიყენება სხვადასხვა ტექნიკა: ანალოგია, კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტების ცვალებადობა, ახალი ცვლადის ვარიაცია, ამოცანების მოთხოვნების ცვალებადობა. უფრო რთულ ფუნქციებს შეუძლიათ იმოქმედონ როგორც კოეფიციენტები და ახალი ცვლადი. ამრიგად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ასეთი კვადრატული ტრინომი, რომელიც დაგეხმარებათ უფრო რთული ფუნქციების გამეორების ორგანიზებაში: ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული. ერთის მხრივ, თქვენ უნდა იცოდეთ კვადრატული ტრინომის თვისებები, ხოლო მეორეს მხრივ, ფუნქციის თვისებები მეორდება, რითაც მიიღწევა პრობლემის ერთობლიობა.

პრობლემის არჩევა მათი გადაწყვეტისა და დიზაინის სწავლების პარამეტრებთან შეიძლება აიხსნას შემდეგი გარემოებებით:

პარამეტრებთან პრობლემების გადაჭრისას ხდება გამეორება და შედეგად, პროგრამის საკითხების უფრო ღრმა, მყარი ასიმილაცია;

პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნა აფართოებს მათემატიკურ ჰორიზონტს, აძლევს ახალ მიდგომებს ამოცანების ამოხსნისას;

ვითარდება მათემატიკური, ლოგიკური აზროვნება, ანალიზის, შედარების, განზოგადების უნარი;

შეძენილია კვლევითი მუშაობის უნარ-ჩვევები;

დახმარება გამოცდებისთვის მომზადებაში;

იქმნება ისეთი პიროვნული თვისებების ფორმირება, როგორიცაა შრომისმოყვარეობა, მიზანდასახულობა, შეუპოვრობა, ნებისყოფა, სიზუსტე.

ჩამოყალიბდა UUD ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის ფარგლებში, პარამეტრების პრობლემების გადაჭრისას:

პრობლემის გადაჭრის ეტაპები

ჩამოყალიბდა UUD

მდგომარეობის ანალიზი(წერილების შესავალი)

მიზნების დასახვა;
მატერიალური ინფორმაციის ხაზგასმა;
პრობლემის ფორმულირება და გადაწყვეტილებების პროგნოზირება;
აბსტრაქცია;
ანალოგი;
კლასიფიკაცია (ტიპოლოგია);
სიმბოლური მოქმედებები.

პრობლემის მდგომარეობის სქემატური ჩანაწერი ცხრილის, დიაგრამის, გრაფიკის სახითშეყვანილი ასოებით

დაგეგმვა;
სისტემატიზაცია;
სიმბოლური მოქმედებები;
მოდელირება.

მოდელის აგება(ანალოგის ძიება, ცნობილი კანონის მოზიდვა მათემატიკიდან ან ფიზიკიდან)

ზალაჩის ამოხსნის მეთოდის შექმნა;
მდგომარეობის კორექტირება;
მოდელირება გრაფიკული ფორმით.

განტოლებების, სისტემების ამოხსნა და ა.შ.(მოძებნე უცნობი)

მატერიალური ინფორმაციის ანალიზი და ამოცნობა;
შედეგების მოპოვება;
მსჯელობის ჯაჭვის აგება;
ჰიპოთეზების შემუშავება და ტესტირება;
მოდელის ტრანსფორმაცია.

მოდელის ინტერპრეტაცია(ხსნარების, ფესვების გადამოწმება და შეფასება)

ანალიზი;
შედეგების მოპოვება;
სპეციფიკაცია;
სიმბოლური მოქმედება (ინტერპრეტაცია).

Სწავლა(პრობლემის განზოგადება ან მისი გადაჭრის მეთოდი შეცვლილი პირობებისთვის, გადაჭრის სხვა მიდგომები)

ანალიზი;
სინთეზი;
ანალოგების ძიება;
მსჯელობის ჯაჭვის აგება;
შინაარსის მოკლედ გადმოცემის უნარი;
უნარების დიაგრამები, სიმბოლოები, მოდელები;
საძიებო, შემოქმედებითი ხასიათის პრობლემების გადაჭრის გზების შექმნა.

ანარეკლი

მნიშვნელობის ფორმირება;
დაგეგმვა;
კონტროლი;
კორექტირება;
შეფასება;
ნებაყოფლობითი თვითრეგულირება;
მზადყოფნა თვითგანვითარებისთვის, თვითგანათლებისთვის;
მათი მომზადების მიზნების დამოუკიდებლად განსაზღვრის უნარი;
დააყენეთ და ჩამოაყალიბეთ ახალი ამოცანები თქვენთვის;
განავითარონ თავიანთი საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივები და ინტერესები.

მრავალ დონის დავალების სისტემა

დავალებების მრავალ დონის სისტემაზე დაფუძნებული სწავლების მეთოდოლოგიის საფუძველია მისი მატრიცის ბლოკების თანდათანობითი განვითარება. ამ ტექნიკის მთავარი მახასიათებელია ის, რომ თითოეულ დონეზე, ე.ი. მატრიცის შესაბამისი სვეტის დაუფლებისას მოსწავლე ყოველ ჯერზე აწყდება სამივე ტიპის სასწავლო სიტუაციებს, რომლებიც წარმოიქმნება პრობლემების გადაჭრისას.

კურსის თითოეული თემისთვის დავალებების მრავალდონიანი სისტემა იქმნება მისი მატრიცული წარმოდგენის გამოყენებით, ხაზს უსვამს განათლების შინაარსის ძირითადი ელემენტების რანჟირებულ სიას და მათ შესაბამის ძირითად ამოცანებს, ერთი მხრივ, და სწავლის დონეებს. რაც ასახავს ნაცნობი, შეცვლილი და უცნობი ამოცანების გადაჭრის უნარს, მეორეს მხრივ.

თემის ამოცანების სისტემის ასეთი მატრიცა შეიცავს 3 რიგს, რომლებიც შეესაბამება სამი ტიპის სასწავლო სიტუაციებს, რომლებიც წარმოიქმნება პრობლემების გადაჭრისას, დან სვეტები, რომლებიც ასახავს თემის ძირითადი ამოცანების რაოდენობას. თემის ამოცანების სისტემის ასეთი ტაბულური (მატრიცული) წარმოდგენა ხელს უწყობს სრულფასოვანი შევსების განხორციელებას მისი მათემატიკური და აქტივობის (UUD-ის ფორმირება) კომპონენტების თითოეულ დონეზე და ამით განხორციელებაში.საგნისა და აქტივობის სისრულის კრიტერიუმები (იგულისხმება კოგნიტური UUD) საგანმანათლებლო ამოცანების ჩამოყალიბებული სისტემა. ამავდროულად, თუ სისტემაში ძირითადი ამოცანები ასრულებენ საგნობრივ-შიგთავსის კომპონენტის ერთგვარი ინტეგრატორის როლს, მაშინ სასწავლო პროცესის შემუშავებისა და განხორციელებისას მსგავსი როლი უნდა შეასრულოს უნივერსალური სასწავლო აქტივობებით (ზოგადი მეთოდები და აქტივობის ტექნიკა) შერჩეულ სიტუაციებში.

მატრიცის პირველ სტრიქონში შემავალი პრობლემების გადაჭრაში საგანმანათლებლო საქმიანობა რეპროდუქციული ხასიათისაა (ასეთი ზოგადი საგანმანათლებლო მოქმედებები, როგორიცაა კლასიფიკაცია, კონცეფციის შეჯამება, შედეგების მიღება, მოქმედებები, მსჯელობის ლოგიკური ჯაჭვის აგება, მტკიცებულება და ა.შ. ) გამოყენებულია. ჩართული ამოცანები განსხვავებულია.აშკარა კავშირები მონაცემებსა და საჭირო (ცნობილ და უცნობ) ელემენტებს შორის. მოსწავლე ამოიცნობს (ამოიცნობს ნაცნობ ამოცანებს რიგ მსგავსებში), ასახავს შესწავლილ მეთოდებს ან ქმედებების ალგორითმებს, პრაქტიკაში იყენებს მიღებულ ცოდნას დავალებების ზოგიერთი ცნობილი კლასისთვის და იღებს ახალ ინფორმაციას ნასწავლი აქტივობის მოდელის გამოყენების საფუძველზე. .

მეორე ხაზის ამოცანების გადაჭრისას, რეპროდუქციული სასწავლო აქტივობა გაერთიანებულია რეკონსტრუქციულ აქტივობასთან, რომლის დროსაც აქტივობის ნიმუშები არ არის უბრალოდ რეპროდუცირებული მეხსიერებიდან, არამედ რეკონსტრუქცია ხდება გარკვეულწილად შეცვლილ პირობებში (აქ, ისეთი ზოგადი საგანმანათლებლო მოქმედებები, როგორიცაა შერჩევა და ფორმულირება. კოგნიტური მიზანი, საჭირო ინფორმაციის მოძიება და შერჩევა, სიმბოლური სიმბოლური მოქმედებები, მათ შორის მათემატიკური მოდელირება, ცოდნის სტრუქტურირება).

დაბოლოს, მესამე ხაზის პრობლემების გადაჭრისას საგანმანათლებლო საქმიანობა კვლევითი შემოქმედებითი ხასიათისაა. მოსწავლეს უნდა შეეძლოს ახალ სიტუაციებში ნავიგაცია და მოქმედების ფუნდამენტურად ახალი პროგრამების შემუშავება (ჰიპოთეზის წამოყენება, შემოწმება: დასაბუთება ან უარყოფა, ახლის წამოყენება და ა.შ., კვლევითი აქტივობების განხორციელება). შესაბამისი ბლოკის ამოცანების გადაჭრა მოითხოვს სტუდენტს ჰქონდეს დადასტურებული და სწრაფად განლაგებული ალგორითმების ვრცელი ფონდი; ინფორმაციის სწრაფად გადაკოდის უნარი ნიშან-სიმბოლური ფორმიდან გრაფიკულში და, პირიქით, გრაფიკულიდან ნიშან-სიმბოლურში; კურსის სისტემური ხედვა. ამავდროულად, ის არ გულისხმობს მხოლოდ ძველი ალგორითმების გამოყენებას ახალ პირობებში და ტექნიკური სირთულის მატებას, არამედ გამოირჩევა აპლიკაციისა და შესწავლილი ალგორითმების კომბინაციით. ამ დონის ამოცანებს აქვს რთული ლოგიკური სტრუქტურა და ხასიათდება ყოფნითფარული კავშირები მონაცემებსა და ელემენტებს შორის, რომლებსაც ეძებთ. ასეთ დავალებებს ჩვეულებრივ სთავაზობენ, როგორც ყველაზე რთულ შესასვლელ გამოცდებს უნივერსიტეტებში, რომლებსაც აქვთ მაღალი მოთხოვნები აპლიკანტთა მათემატიკური მომზადებისთვის და KIM USE-ის 17, 18, 20, 21 ამოცანებში.

დავალებების მრავალდონიანი სისტემა თემაზე "წარმოებული"

№ პ/პ

დავალების სახელი

დავალების ტიპი

წარმოებული გამოთვლა განმარტებით.

MOH

ჯამების, პროდუქტების, კერძო ფუნქციების წარმოებულების მოძიება

MOH

ფუნქციის ერთფეროვნების გამოკვლევა

ფუნქცია იზრდება მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ?

MOH

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეფუნქცია მცირდება ყველა ღირებულებისთვის ?

იპოვეთ a ყველა რიცხვის სიმრავლე, რომელთაგან თითოეული ფუნქციაავ(x) = ცოდვა 2 x – 8(ა + 1) სინქსი + (4 ა 2 + 8 ა – 14) xიზრდება მთელ რეალურ ხაზზე და არ აქვს კრიტიკული წერტილები.

ექსტრემალური წერტილების პოვნა

აქვს ერთი ფიქსირებული წერტილი?

MOH

განსაზღვრეთ პარამეტრის რა მნიშვნელობით ფუნქცია მაქსიმუმარის 9

პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის ფუნქციავ(x) = (ა 2 – 3 ა + 2) (cos 2 – ცოდვა 2 + (ა – 1) x + ცოდვა1 არ აქვს კრიტიკული წერტილები?

უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა ინტერვალზე და დიფერენცირებადი ინტერვალზე

გაარკვიეთ პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვისა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობაწ = x 2 -12 x + ა სეგმენტზე არის ნული.

MOH

პარამეტრის რა მნიშვნელობაზე ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობაუდრის

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეფუნქცია იღებს 5-ზე ნაკლებ მნიშვნელობებს ნებისმიერისთვის

სრული გამოკვლევა და შეთქმულება

3+3x2

MOH

a პარამეტრის რომელ მნიშვნელობაზე არის f(x) = ax ფუნქციის მინიმუმი 2 - 6ax + a 2 - 9 უდრის 1-ს?

მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლება

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზესწორი არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი ?

MOH

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ფუნქციის გრაფიკის tangent პირველი მეოთხედიდან წყვეტს ტოლფერდა სამკუთხედს ფართობით

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსი დახატულია ღერძთან მისი გადაკვეთის წერტილებში, შექმენით კუთხე

წარმოებულის გამოყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ეკონომიკის ამოცანების ამოხსნაში

როგორი უნდა იყოს მართკუთხედის გვერდები პერიმეტრითპმაქსიმალურად გაზარდოს მისი ფართობი?

MOH

ფანჯარას აქვს მართკუთხედის ფორმა, რომელიც ზემოდან შემოიფარგლება ნახევარწრით (სურათი 3). ფანჯრის პერიმეტრი არის P. განვსაზღვროთ R ნახევარწრის რადიუსი, რომელზეც ფანჯრის ფართობი ყველაზე დიდია.

a სიმაღლის სურათი ისეა დაკიდებული კედელზე, რომ მისი ქვედა კიდე h ერთეული იყოს დამკვირვებლის თვალის დონიდან. რა მანძილზე უნდა იყოს x კედლიდან დამკვირვებელი, რომ ნახატის ხედვის კუთხე იყოს ყველაზე დიდი (სურათი 7a)?

გადაწყვეტილებები

გადაწყვეტილება :

1. ფუნქცია f(x) მცირდება x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, თუ წარმოებული

f′(x) = 6ax 2 + 18ax + 30a = 6a(x 2 + 3x + 5)< 0

ყველა x.

2. აქედან ვხვდებით, რომ ა< 0.

3 . პასუხი: ა (–∞; 0).

იპოვეთ a რიცხვების სიმრავლე, რომელთაგან თითოეულისთვის ფუნქცია f (x) \u003d sin 2x - 8 (a + 1) sinx + (4a 2 + 8a - 14) x იზრდება მთელ რეალურ წრფეზე და არა აქვს კრიტიკული წერტილები.

1. ნებისმიერი ფიქსირებული a-სთვის ეს ფუნქცია დიფერენცირებადია რეალური ხაზის ყველა წერტილში.

2. ვინაიდან f(x) ფუნქცია იზრდება, უტოლობა f′(x) ≥ 0 უნდა იყოს ყოველ x წერტილში.

3. ვინაიდან, უფრო მეტიც, f(x)-ს არ აქვს კრიტიკული წერტილები, მაშინ ნებისმიერი x-ისთვის უნდა შენარჩუნდეს უტოლობა f′(x) ≠ 0.

4. ამგვარად, თუ ფუნქცია აკმაყოფილებს ამოცანის პირობას, მაშინ x ყველასთვის უნდა დაკმაყოფილდეს უტოლობა f (x) > 0.

5. მეორე მხრივ, თუ უტოლობა f′(x) > 0 მოქმედებს ყველა x-ზე, მაშინ ფუნქციას აშკარად არ აქვს კრიტიკული წერტილები და იზრდება.

6. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული:

ვ′( x) = 2 cos 2 x – 8( ა + 1) cosx + 4 ა 2 + 8 ა – 14.

ახლა პრობლემის გადაფორმება შესაძლებელია შემდეგნაირად: იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული, ნებისმიერი x-ისთვის, უტოლობა

cos 2x – 4(a + 1) cos x + 2a 2 + 4a – 7 > 0.(1)

7. იმის გათვალისწინებით, რომ cos 2x = 2 cos 2 x – 1, და დავაყენოთ cos x = t, სადაც –1 ≤ t ≤ 1, ჩვენ ვწერთ უტოლობას (1) შემდეგნაირად:

2ტ 2 – 1 – 4(a + 1)t + 2a 2 + 4a – 7 > 0,

ან

ტ 2 – 2(a + 1)t + a 2 + 2a – 4 > 0. (2)

8. უტოლობის მარცხენა მხარეს (2) ფუნქციას ϕ(t)-ით აღვნიშნავთ, ვაძლევთ თავდაპირველი ამოცანის ახალ ფორმულირებას: იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის ϕ(t) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა. უ) ინტერვალზე [–1; 1] დადებითია.

9. წარმოებული ϕ′(t) = 2t – 2(a + 1) ქრება t-ზე 0 = a + 1.

10. ϕ(t) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა [–1; 1] არის:

ϕ (–1) = ა 2 + 4a – 1,თუa + 1 ≤ –1;

ϕ (a + 1) = -5,თუ –1 < a + 1 < 1;

ϕ(1) = a 2 – 5 თუ a + 1 ≥ 1.

11. ვინაიდან ϕ(t) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე [–1; 1] უნდა იყოს დადებითი, მაშინ პარამეტრის მნიშვნელობები, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის მდგომარეობას, ეკუთვნის ორ ინტერვალს: a ≤ –2 და a ≥ 0.

12. თუ a ≤ –2, მაშინ a პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს a უტოლობას. 2 + 4a – 1 > 0.

13. თუ a ≥ 0, მაშინ a პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს a უტოლობას 2 – 5 > 0.

14. შესაბამისად, სასურველი მნიშვნელობების სიმრავლე a არის უტოლობების ორი სისტემის ამონახსნების გაერთიანება:

(3)

a ≥ 0

ა 2 -5 > 0 (4)

15. (3) სისტემის ამონახსნთა სიმრავლე არის –∞ ინტერვალი< a < –2 –√5 , а множество решений системы (4)- промежуток a >√5 .

16. პასუხი: ა (–∞; –2 –√5) (√5; +∞).

1. ვინაიდან ეს ფუნქცია დიფერენცირებადია მთელ რეალურ წრფეზე, f(x) ფუნქციის კრიტიკული წერტილები არის ის წერტილები, რომლებშიც წარმოებული f′(x) = 0.

2. ამ შემთხვევაში გვაქვს f (x) =(ა – 1)(ა – 2) (–ცოდვა+ (a – 1).

3. ცხადია, თუ a = 1, მაშინ f (x) = 0 ნებისმიერი x-ისთვის რ, ე.ი.

მოცემული ფუნქციისთვის, თითოეული წერტილი x R არის კრიტიკული.

4. დავუშვათ, რომ ა 1. შემდეგ ფორმას იღებს განტოლება f (x) = 0

(ა - 2) ცოდვა = 2. (1)

აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ |a – 2|< 2, т. е. если a (0; 1) (1; 4),

მაშინ განტოლებას (1) არ აქვს ფესვები და, შესაბამისად, a-ს მითითებული მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციას f(x) არ აქვს კრიტიკული წერტილები.

5 . პასუხი: ა (0; 1) (1; 4).

მრიცხველის უმცირესი მნიშვნელობა და მნიშვნელის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა x-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებზე. ამიტომ, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად მოსახერხებელია წარმოებულის გამოყენება. მოდით გადავწეროთ უტოლობა ფორმაში

სადტ=3- cos 2 x, ტ

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობავ( ტ) = , სეგმენტზე. ვინაიდან წარმოებულივ "( ტ) = უარყოფითი ზეტმაშინვმცირდება და იღებს უმცირეს მნიშვნელობასტ=3, ვ სახელი = f(3) = .

პასუხი:ა

რა არის უმცირესი ბუნებრივი k, რომლის განტოლებაც x 3+3x2 – 45x + k = 0 აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?

1. ააგეთ y ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი 1 = x 3 + 3x 2 – 45x და დაადგინეთ k-ის უმცირესი ბუნებრივი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ეს გრაფიკი კვეთს y წრფეს 2 = –k ზუსტად ერთ წერტილში.

2. ა) D(y 1 ) = R;

ბოუ 1 / = 3x 2 + 6x - 45; 1 / ინტერვალებში (–∞; –5), (–5; 3) და (3; +∞) ილუსტრირებულია ნახ. 1. ნახ. 2 არის y ფუნქციის გრაფიკის სქემატური წარმოდგენა 1 .

3. ცხადია, ამ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი, თუ –k > 175 ან –k< –81, т. е. k < –175 или k >81. კ-ის უმცირესი ბუნებრივი მნიშვნელობა არის 82.

4. პასუხი: k = 82.

a პარამეტრის რომელ მნიშვნელობაზე არის f(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9 ფუნქციის მინიმალური ტოლი 1-ის?

1. f′(x) = –6x 2 + 6x + 12.

2. y′ = 0 x-ისთვის 1 = 2.

6. პასუხი: a = 2.

a პარამეტრის რომელ მნიშვნელობაზე არის f(x) = –2x ფუნქციის მინიმუმი 3 + 3x 2 + 12x + 4a არის 1?

a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის y=ax-2 წრფე tangent y=1+ln⁡ x ფუნქციის გრაფიკზე?

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე a პარამეტრის ტანგენსი y=a-x^2 ფუნქციის გრაფიკზე წყვეტს ტოლფეროვან სამკუთხედს 9/32 ფართობით პირველი მეოთხედიდან.

როგორც , პირობით ტანგენსმა უნდა გადაკვეთოს ფუნქცია შიგნითმეოთხედი ნიშნავს. ტოლფერდა სამკუთხედი არის მართკუთხა სამკუთხედი, ამიტომ სხვა კუთხეები ტოლია, მაგრამსაიდანაც ტანგენსი იღებს ფორმას X ღერძის გასწვრივ ტანგენსის შეხების წერტილი გრაფიკთან ტოლია . გრაფიკის ტანგენტის ფორმულის მიხედვით რადგან სამკუთხედის ფართობი უნდა იყოს , მაშინ როგორც მეოთხედი.სად

a პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე აყალიბებს მათ შორის 60°-იან კუთხეს y=4x^2-|a|x ფუნქციის y=4x^2-|a|x ფუნქციის ტანგენტები, რომლებიც შედგენილია x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებში.

როგორი უნდა იყოს მართკუთხედის გვერდები P პერიმეტრით, რომ მისი ფართობი იყოს მაქსიმალური?

ლიტერატურა

აზაროვი A.I., Barvenov S.A., Fedosenko V.S.პარამეტრებით ამოცანების გადაჭრის მეთოდები. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის. მინსკი: "ავერსევი", 2003 წ.

ვ.ს. ვისოცკი, ამოცანები გამოცდისთვის მომზადების პარამეტრებით

გორშტეინი P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. ამოცანები პარამეტრებით. - კ.: რია "ტექსტი"; დეპუტატი "OKO", 1992. -290გვ.

კაჩალოვა G. A. საგანმანათლებლო მოდულში "მათემატიკის საფუძვლები" შინაარსობრივ-მეთოდური ხაზის "პრობლემები პარამეტრებთან" ჩართვის აუცილებლობის შესახებ //მატერიაł yMię ძინაროდოვეი ნაუკოვი- PraktycznejkonferencjiPostę გვó wwnauce. Nowepoglą დი, პრობლემური, innowacje. 29.07.2012. - 31.07.2012. część 2. - Łoდź, 2012. - S. 67–70.

Kozko A. I., Panferov V. S., Sergeev I. N., Chirsky V. G. USE 2011. მათემატიკა. ამოცანა C5. ამოცანები პარამეტრით / ედ. A.L. Semenova და I.V. Yashchenko. - M.: MTsNMO, 2011.-144 გვ.

როდიონოვი ე.მ. პრობლემების გადაჭრა პარამეტრებით. მ.: დეპუტატი "რუს-90", 1995 წ

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ნახ.4

ნახ.5

გადაწყვეტილებები

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ