ამ სტატიაში ვისაუბრებ იმაზე, თუ როგორ გამოვიყენოთ პოვნის უნარი ფუნქციის შესწავლაში: ვიპოვოთ მისი უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობა. და შემდეგ ჩვენ მოვაგვარებთ რამდენიმე პრობლემას Task B15-დან Open Task Bank-ისგან.

ჩვეულებისამებრ, ჯერ თეორიით დავიწყოთ.

ფუნქციის ნებისმიერი შესწავლის დასაწყისში ჩვენ ვპოულობთ მას

ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოიკვლიოთ რომელ ინტერვალებზე იზრდება ფუნქცია და რომელ მცირდება.

ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული და შეისწავლოთ მისი მუდმივი ნიშნის ინტერვალები, ანუ ის ინტერვალები, რომლებზეც წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს.

ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული დადებითია, არის მზარდი ფუნქციის ინტერვალები.

ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია, არის კლებადი ფუნქციის ინტერვალები.

ერთი . ამოვიხსნათ დავალება B15 (No. 245184)

მის გადასაჭრელად, ჩვენ მივყვებით შემდეგ ალგორითმს:

ა) იპოვეთ ფუნქციის დომენი

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

გ) დააყენეთ ნულის ტოლი.

დ) ვიპოვოთ ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები.

ე) იპოვეთ წერტილი, სადაც ფუნქცია იღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას.

ვ) იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილში.

მე ვამბობ ამ ამოცანის დეტალურ გადაწყვეტას ვიდეო გაკვეთილზე:

სავარაუდოდ თქვენი ბრაუზერი არ არის მხარდაჭერილი. „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდების საათის“ სიმულატორის გამოსაყენებლად, სცადეთ ჩამოტვირთვა
Firefox

2. ამოვიხსნათ დავალება B15 (No. 282862)

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

აშკარაა, რომ ფუნქცია ყველაზე დიდ მნიშვნელობას იღებს სეგმენტზე მაქსიმალურ წერტილში x=2. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე:

პასუხი: 5

3 . ამოვიხსნათ დავალება B15 (No. 245180):

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. საწყისი ფუნქციის ფარგლებიდან title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. მრიცხველი არის ნული ზე. მოდით შევამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა ODZ ფუნქციას. ამისათვის შეამოწმეთ არის თუ არა პირობა title="(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

ასე რომ, წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის ODZ-ს

ჩვენ განვიხილავთ წარმოებულის ნიშანს წერტილის მარჯვნივ და მარცხნივ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია იღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას წერტილში. ახლა ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა:

შენიშვნა 1. გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემაში ჩვენ ვერ ვიპოვეთ ფუნქციის დომენი: დავაფიქსირეთ მხოლოდ შეზღუდვები და შევამოწმეთ, ეკუთვნის თუ არა წერტილი, რომელშიც წარმოებული ნულის ტოლია, ფუნქციის დომენს. ამ პრობლემაში ეს საკმარისი აღმოჩნდა. თუმცა, ეს ყოველთვის ასე არ არის. ეს დამოკიდებულია დავალებაზე.

შენიშვნა 2. რთული ფუნქციის ქცევის შესწავლისას შეიძლება გამოვიყენოთ შემდეგი წესი:

• თუ რთული ფუნქციის გარე ფუნქცია იზრდება, მაშინ ფუნქცია იღებს თავის უდიდეს მნიშვნელობას იმავე წერტილში, სადაც შიდა ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას. ეს გამომდინარეობს მზარდი ფუნქციის განმარტებიდან: ფუნქცია იზრდება I ინტერვალზე, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.
• თუ რთული ფუნქციის გარე ფუნქცია მცირდება, მაშინ ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას იმავე წერტილში, სადაც შიდა ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას. . ეს გამომდინარეობს კლებადი ფუნქციის განმარტებიდან: ფუნქცია მცირდება I ინტერვალზე, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

ჩვენს მაგალითში, გარე ფუნქცია - იზრდება განმარტების მთელ დომენზე. ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის გამოხატულება - კვადრატული ტრინომი, რომელიც უარყოფითი უფროსი კოეფიციენტით იღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას წერტილში. . შემდეგი, ჩვენ ვცვლით x-ის ამ მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში და იპოვნეთ მისი უდიდესი მნიშვნელობა.

დაუშვით ფუნქცია y=ვ(X)უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ]. როგორც ცნობილია, ასეთი ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ სეგმენტზე. ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ეს მნიშვნელობები სეგმენტის შიდა წერტილში [ ა, ბ], ან სეგმენტის საზღვარზე.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა ინტერვალზე [ ა, ბ] აუცილებელი:

1) იპოვნეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები ინტერვალში ( ა, ბ);

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილებში;

3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში, ანუ ამისთვის x=ადა x = ბ;

4) ფუნქციის ყველა გამოთვლილი მნიშვნელობიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

მაგალითი.იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

სეგმენტზე.

კრიტიკული წერტილების პოვნა:

ეს წერტილები დევს სეგმენტის შიგნით; წ(1) = ‒ 3; წ(2) = ‒ 4; წ(0) = ‒ 8; წ(3) = 1;

წერტილში x= 3 და წერტილში x= 0.

ამოზნექილობისა და დახრის წერტილის ფუნქციის გამოკვლევა.

ფუნქცია წ = ვ (x) დაურეკა ამოზნექილიშორის (ა, ბ) , თუ მისი გრაფიკი დევს ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში დახატული ტანგენტის ქვეშ და ე.წ ამოზნექილი ქვემოთ (ჩაზნექილი)თუ მისი გრაფიკი ტანგენსზე მაღლა დგას.

გადასვლის წერტილს, რომლის მეშვეობითაც ამოზნექილი ჩაზნექილი იცვლება ან პირიქით, ე.წ. დახრის წერტილი.

ამოზნექილობისა და დახრის წერტილის შესწავლის ალგორითმი:

1. იპოვეთ მეორე სახის კრიტიკული წერტილები, ანუ ის წერტილები, რომლებშიც მეორე წარმოებული ტოლია ან არ არსებობს.

2. დააყენეთ კრიტიკული წერტილები რიცხვით წრფეზე, დაყავით იგი ინტერვალებად. იპოვეთ მეორე წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე; თუ , მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ, თუ, მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ქვევით.

3. თუ მეორე სახის კრიტიკულ წერტილში გავლისას ის იცვლის ნიშანს და ამ დროს მეორე წარმოებული ნულის ტოლია, მაშინ ეს წერტილი არის დახრის წერტილის აბსცისა. იპოვეთ მისი ორდინატი.

ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები. ფუნქციის გამოკვლევა ასიმპტოტებად.

განმარტება.ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი ეწოდება სწორი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ დიაგრამის ნებისმიერი წერტილიდან ამ წრფემდე მანძილი ნულისკენ მიისწრაფვის გრაფის წერტილის საწყისიდან შეუზღუდავი ამოღებით.

არსებობს სამი სახის ასიმპტოტები: ვერტიკალური, ჰორიზონტალური და დახრილი.

განმარტება.დაურეკა პირდაპირ ვერტიკალური ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)თუ ფუნქციის ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც უდრის უსასრულობას, ეს არის

სად არის ფუნქციის შეწყვეტის წერტილი, ანუ ის არ განეკუთვნება განსაზღვრების სფეროს.

მაგალითი.

დ( წ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - წყვეტის წერტილი.

განმარტება.პირდაპირ y=ადაურეკა ჰორიზონტალური ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)ზე, თუ

მაგალითი.

x
წ

განმარტება.პირდაპირ y=კx +ბ (კ≠ 0) ეწოდება ირიბი ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)სად

ფუნქციების შესწავლისა და შედგენის ზოგადი სქემა.

ფუნქციების კვლევის ალგორითმიy = f(x) :

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი დ (წ).

2. იპოვნეთ (თუ შესაძლებელია) გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან (ერთად x= 0 და ზე წ = 0).

3. გამოიკვლიეთ ლუწი და კენტი ფუნქციები ( წ (‒ x) = წ (x) ‒ პარიტეტი; წ(‒ x) = ‒ წ (x) ‒ უცნაური).

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

5. იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები.

6. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

7. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის (ჩაზნექის) და გადახრის წერტილები.

8. ჩატარებული კვლევის საფუძველზე ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ ფუნქცია და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

1) დ (წ) =

x= 4 - წყვეტის წერტილი.

2) როდის x = 0,

(0; – 5) – გადაკვეთის წერტილი ოი.

ზე წ = 0,

3) წ(‒ x)= ზოგადი ფუნქცია (არც ლუწი და არც კენტი).

4) ჩვენ ვიკვლევთ ასიმპტოტებს.

ა) ვერტიკალური

ბ) ჰორიზონტალური

გ) იპოვეთ ირიბი ასიმპტოტები სად

‒ირიბი ასიმპტოტის განტოლება

5) ამ განტოლებაში არ არის საჭირო ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალების პოვნა.

6)

ეს კრიტიკული წერტილები ანაწილებენ ფუნქციის მთელ დომენს ინტერვალზე (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) და (10; +∞). მოსახერხებელია მიღებული შედეგების წარმოდგენა შემდეგი ცხრილის სახით.

მოდი ვნახოთ, როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია გრაფიკის გამოყენებით. გამოდის, რომ გრაფიკის დათვალიერებისას შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს, კერძოდ:

• ფუნქციის ფარგლები
• ფუნქციის დიაპაზონი
• ფუნქცია ნულები
• ზრდისა და შემცირების პერიოდები
• მაღალი და დაბალი წერტილები
• სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

მოდით დავაზუსტოთ ტერმინოლოგია:

აბსციზაარის წერტილის ჰორიზონტალური კოორდინატი.
ორდინატი- ვერტიკალური კოორდინატი.
აბსცისი- ჰორიზონტალური ღერძი, რომელსაც ყველაზე ხშირად უწოდებენ ღერძს.
Y-ღერძი- ვერტიკალური ღერძი, ან ღერძი.

არგუმენტიარის დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელზედაც დამოკიდებულია ფუნქციის მნიშვნელობები. ყველაზე ხშირად მითითებულია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ, ჩავნაცვლებთ ფუნქციის ფორმულაში და ვიღებთ.

დომენიფუნქციები - არგუმენტის იმ (და მხოლოდ იმ) მნიშვნელობების ნაკრები, რომლისთვისაც არსებობს ფუნქცია.
აღინიშნება: ან .

ჩვენს ფიგურაში ფუნქციის დომენი არის სეგმენტი. სწორედ ამ სეგმენტზეა დახატული ფუნქციის გრაფიკი. მხოლოდ აქ არის ეს ფუნქცია.

ფუნქციის დიაპაზონიარის მნიშვნელობების ნაკრები, რომელსაც იღებს ცვლადი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის სეგმენტი - ყველაზე დაბალიდან უმაღლეს მნიშვნელობამდე.

ფუნქცია ნულები- წერტილები, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ე.ი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის პუნქტები და .

ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითიასად . ჩვენს ფიგურაში ეს არის ინტერვალები და .
ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითიასად . ჩვენ გვაქვს ეს ინტერვალი (ან ინტერვალი) დან.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებები - მზარდი და შემცირების ფუნქციარაღაც კომპლექტზე. როგორც ნაკრები, შეგიძლიათ აიღოთ სეგმენტი, ინტერვალი, ინტერვალების გაერთიანება ან მთელი რიცხვითი ხაზი.

ფუნქცია იზრდება

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო მეტი, მით მეტი, ანუ გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ზემოთ.

ფუნქცია მცირდებასიმრავლეზე თუ რომელიმესთვის და სიმრავლის კუთვნილება უტოლობა გულისხმობს უტოლობას.

კლებადი ფუნქციისთვის, უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო მცირე მნიშვნელობას. გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ქვევით.

ჩვენს ფიგურაში ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალებზე და .

მოდით განვსაზღვროთ რა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

მაქსიმალური ქულა- ეს არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა მეტია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მაქსიმალური წერტილი არის ისეთი წერტილი, ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელშიც მეტივიდრე მეზობელებში. ეს არის ადგილობრივი "გორაკი" გრაფიკზე.

ჩვენს ფიგურაში - მაქსიმალური ქულა.

დაბალი წერტილი- განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
ანუ მინიმალური წერტილი ისეთია, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მეზობელებში. გრაფიკზე, ეს არის ადგილობრივი "ხვრელი".

ჩვენს ფიგურაში - მინიმალური ქულა.

წერტილი არის საზღვარი. ეს არ არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი და, შესაბამისად, არ შეესაბამება მაქსიმალური წერტილის განმარტებას. ბოლოს და ბოლოს, მას მეზობლები არ ჰყავს მარცხენა მხარეს. ანალოგიურად, არ შეიძლება იყოს მინიმალური წერტილი ჩვენს გრაფიკზე.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები იწოდება ერთობლივად ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის და .

მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ, მაგალითად, ფუნქციის მინიმუმიჭრილზე? ამ შემთხვევაში პასუხი ასეთია: რადგან ფუნქციის მინიმუმიარის მისი მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში.

ანალოგიურად, ჩვენი ფუნქციის მაქსიმალური არის . ის მიღწეულია წერტილში.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის უკიდურესობები ტოლია და .

ზოგჯერ ამოცანებში უნდა იპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიმოცემულ სეგმენტზე. ისინი სულაც არ ემთხვევა უკიდურესობებს.

ჩვენს შემთხვევაში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობაინტერვალზე ტოლია და ემთხვევა ფუნქციის მინიმუმს. მაგრამ მისი უდიდესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტზე უდრის . იგი მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში.

ნებისმიერ შემთხვევაში, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე?

Ამისთვის ჩვენ მივყვებით ცნობილ ალგორითმს:

1 . ჩვენ ვპოულობთ ODZ ფუნქციებს.

2 . ფუნქციის წარმოებულის პოვნა

3 . წარმოებულის გაუტოლება ნულს

4 . ჩვენ ვპოულობთ ინტერვალებს, რომლებზეც წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს და მათგან განვსაზღვრავთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებს:

თუ I ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} იზრდება ამ ინტერვალით.

თუ I ინტერვალზე არის ფუნქციის წარმოებული, მაშინ ფუნქცია მცირდება ამ ინტერვალით.

5 . Ჩვენ ვიპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

AT ფუნქცია მაქსიმალური წერტილი, წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-"-ზე.

AT ფუნქციის მინიმალური წერტილიწარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+"-მდე.

6 . ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებში,

• შემდეგ ვადარებთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებში და მაქსიმალურ წერტილებში და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი, თუ გჭირდებათ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის პოვნა
• ან ვადარებთ ფუნქციის მნიშვნელობას სეგმენტის ბოლოებზე და მინიმალურ წერტილებზე და აირჩიეთ მათგან ყველაზე პატარა, თუ გჭირდებათ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა

თუმცა, იმისდა მიხედვით, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია ინტერვალზე, ეს ალგორითმი შეიძლება მნიშვნელოვნად შემცირდეს.

განიხილეთ ფუნქცია . ამ ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

მოდით განვიხილოთ პრობლემების გადაჭრის რამდენიმე მაგალითი Open Task Bank-ისგან

ერთი . ამოცანა B15 (#26695)

ჭრილზე.

1. ფუნქცია განისაზღვრება x-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის

ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები და წარმოებული დადებითია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. მაშასადამე, ფუნქცია იზრდება და იღებს უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარჯვენა ბოლოში, ანუ x=0-ზე.

პასუხი: 5.

2 . დავალება B15 (No. 26702)

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

1.ODZ ფუნქცია title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

წარმოებული არის ნული ზე, თუმცა ამ წერტილებში ის არ ცვლის ნიშანს:

ამიტომ, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} იზრდება და იღებს უდიდეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარჯვენა ბოლოს, ზე.

იმის გასაგებად, თუ რატომ არ ცვლის წარმოებული ნიშანს, ჩვენ გარდაქმნის წარმოებულს შემდეგნაირად:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

პასუხი: 5.

3 . ამოცანა B15 (#26708)

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე.

1. ODZ ფუნქციები: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ამ განტოლების ფესვები დავდოთ ტრიგონომეტრიულ წრეზე.

ინტერვალი შეიცავს ორ რიცხვს: და

დავდოთ ნიშნები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშანს x=0 წერტილში: . წერტილებისა და წარმოებულის გავლისას ცვლის ნიშანი.

გამოვსახოთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნების ცვლილება კოორდინატთა ხაზზე:

ცხადია, წერტილი არის მინიმალური წერტილი (სადაც წარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+"-მდე), და იმისათვის, რომ იპოვოთ ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა სეგმენტზე, თქვენ უნდა შეადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები მინიმალური წერტილი და სეგმენტის მარცხენა ბოლოს, .

სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის პროცესი მოგვაგონებს მომხიბლავ ფრენას ობიექტის ირგვლივ (ფუნქციის გრაფიკი) ვერტმფრენზე შორი მანძილის ქვემეხიდან სროლით გარკვეულ წერტილებზე და არჩევით. ეს წერტილები ძალიან სპეციალური წერტილებია საკონტროლო დარტყმებისთვის. ქულები შეირჩევა გარკვეული წესით და გარკვეული წესებით. რა წესებით? ამაზე შემდგომში ვისაუბრებთ.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ] , შემდეგ ის აღწევს ამ სეგმენტზე სულ მცირე და უმაღლესი ღირებულებები . ეს შეიძლება მოხდეს ექსტრემალური წერტილებიან სეგმენტის ბოლოებში. ამიტომ, რომ იპოვოთ სულ მცირე და ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობები , უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ], თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობები ყველაში კრიტიკული წერტილებიდა სეგმენტის ბოლოებში, შემდეგ კი აირჩიეთ მათგან ყველაზე პატარა და უდიდესი.

მოდით, მაგალითად, საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობის განსაზღვრა ვ(x) სეგმენტზე [ ა, ბ] . ამისათვის იპოვნეთ მისი ყველა კრიტიკული წერტილი, რომელიც მდებარეობს [ ა, ბ] .

კრიტიკული წერტილი ეწოდება წერტილი, სადაც ფუნქცია განსაზღვრულია, და ის წარმოებულიარის ნული ან არ არსებობს. შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში. და ბოლოს, უნდა შევადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში ( ვ(ა) და ვ(ბ) ). ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი იქნება სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [ა, ბ] .

პოვნის პრობლემა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობები .

ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 2] .

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს. გაუტოლეთ წარმოებული ნულს () და მიიღეთ ორი კრიტიკული წერტილი: და . მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად საკმარისია მისი მნიშვნელობების გამოთვლა სეგმენტის ბოლოებში და წერტილში, რადგან წერტილი არ ეკუთვნის სეგმენტს [-1, 2] . ეს ფუნქციის მნიშვნელობები შემდეგია: , , . Აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა(ქვემოთ გრაფიკზე მონიშნულია წითლად), ტოლია -7, მიიღწევა სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში - წერტილში, და უდიდესი(გრაფიკაზე ასევე წითელი), უდრის 9-ს, - კრიტიკულ წერტილში.

თუ ფუნქცია უწყვეტია გარკვეულ ინტერვალში და ეს ინტერვალი არ არის სეგმენტი (მაგრამ არის, მაგალითად, ინტერვალი; განსხვავება ინტერვალსა და სეგმენტს შორის: ინტერვალის სასაზღვრო წერტილები არ შედის ინტერვალში, მაგრამ სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები შედის სეგმენტში), მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის შეიძლება არ იყოს ყველაზე პატარა და უდიდესი. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ სურათზე გამოსახული ფუნქცია უწყვეტია ]-∞, +∞[-ზე და არ აქვს უდიდესი მნიშვნელობა.

თუმცა, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (დახურული, ღია ან უსასრულო) მოქმედებს უწყვეტი ფუნქციების შემდეგი თვისება.

მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 3] .

გამოსავალი. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ, როგორც კოეფიციენტის წარმოებულს:

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რაც გვაძლევს ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის [-1, 3] ინტერვალს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

მოდით შევადაროთ ეს ღირებულებები. დასკვნა: -5/13-ის ტოლია, წერტილში და უდიდესი ღირებულებაუდრის 1 წერტილში.

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების ძიებას

არიან მასწავლებლები, რომლებიც ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის თემაზე არ აძლევენ მოსწავლეებს უფრო რთულ მაგალითებს, ვიდრე ახლახან განვიხილეთ, ანუ ისეთები, რომლებშიც ფუნქცია არის მრავალწევრი ან წილადი, მრიცხველი. და რომლის მნიშვნელიც არის მრავალწევრები. მაგრამ ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ასეთი მაგალითებით, რადგან მასწავლებლებს შორის არიან მასწავლებლები, რომლებსაც მოსწონთ მოსწავლეების სრული დაფიქრება (წარმოებულების ცხრილი). ამიტომ გამოყენებული იქნება ლოგარითმი და ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი 6. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ როგორც პროდუქტის წარმოებული :

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რომელიც იძლევა ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

ყველა მოქმედების შედეგი: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას 0-ის ტოლი, წერტილში და წერტილში და უდიდესი ღირებულებატოლია ე² , წერტილში .

მაგალითი 7. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს:

გამოიტანეთ წარმოებული ნულთან:

ერთადერთი კრიტიკული წერტილი ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

დასკვნა: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას, ტოლია , წერტილში და უდიდესი ღირებულება, ტოლია , წერტილში .

გამოყენებული ექსტრემალური პრობლემების დროს, ფუნქციის უმცირესი (ყველაზე დიდი) მნიშვნელობების პოვნა, როგორც წესი, მიდის მინიმუმის (მაქსიმუმის) პოვნამდე. მაგრამ უფრო დიდი პრაქტიკული ინტერესი არ არის თვით მინიმუმები ან მაქსიმუმები, არამედ არგუმენტების მნიშვნელობები, რომლითაც ისინი მიიღწევა. გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას წარმოიქმნება დამატებითი სირთულე - ფუნქციების შედგენა, რომელიც აღწერს განსახილველ ფენომენს ან პროცესს.

მაგალითი 8 4 ცალი ტევადობის ავზი, რომელსაც აქვს კვადრატული ფუძის მქონე პარალელეპიპედის ფორმა და ზემოდან ღია, უნდა იყოს დაკონსერვებული. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები, რომ დაფაროს იგი მინიმალური რაოდენობით?

გამოსავალი. დაე x- ბაზის მხარე თ- ავზის სიმაღლე, ს- მისი ზედაპირის ფართობი საფარის გარეშე, ვ- მისი მოცულობა. ავზის ზედაპირის ფართობი გამოიხატება ფორმულით, ე.ი. არის ორი ცვლადის ფუნქცია. გამოხატოს სერთი ცვლადის ფუნქციად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ , საიდან . ნაპოვნი გამონათქვამის ჩანაცვლება თფორმულაში შევიდა ს:

მოდით განვიხილოთ ეს ფუნქცია ექსტრემისთვის. ის ყველგან არის განსაზღვრული და დიფერენცირებადი ]0, +∞[ და

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს () და ვპოულობთ კრიტიკულ წერტილს. გარდა ამისა, როდესაც წარმოებული არ არსებობს, მაგრამ ეს მნიშვნელობა არ შედის განმარტების დომენში და, შესაბამისად, არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი. ასე რომ, - ერთადერთი კრიტიკული წერტილი. მოდით შევამოწმოთ ის ექსტრემის არსებობაზე მეორე საკმარისი ნიშნის გამოყენებით. ვიპოვოთ მეორე წარმოებული. როდესაც მეორე წარმოებული მეტია ნულზე (). ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ფუნქცია მიაღწევს მინიმუმს . რადგან ეს მინიმალური - ამ ფუნქციის ერთადერთი ექსტრემი, ეს არის მისი ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. ასე რომ, ავზის ძირის მხარე უნდა იყოს 2 მ, ხოლო მისი სიმაღლე.

მაგალითი 9აბზაციდან ა, მდებარეობს რკინიგზის ხაზზე, წერტილამდე FROM, მისგან დაშორებით ლ, საქონლის ტრანსპორტირება უნდა მოხდეს. წონის ერთეულის გადაზიდვის ღირებულება ერთეულ მანძილზე რკინიგზით უდრის, ხოლო გზატკეცილი უდრის. რომელ წერტილამდე მრკინიგზის ხაზი უნდა იყოს მაგისტრალი ტვირთების გადასაზიდად მაგრამ in FROMყველაზე ეკონომიური იყო ABვარაუდობენ, რომ რკინიგზა სწორია)?