ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი არის ძირითადი არითმეტიკული ცნებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ მარტივად იმუშაოთ ჩვეულებრივ წილადებთან. LCM და ყველაზე ხშირად გამოიყენება რამდენიმე წილადის საერთო მნიშვნელის მოსაძებნად.

Ძირითადი ცნებები

X მთელი რიცხვის გამყოფი არის სხვა მთელი რიცხვი Y, რომლითაც X იყოფა ნაშთის გარეშე. მაგალითად, 4-ის გამყოფი არის 2, ხოლო 36 არის 4, 6, 9. X მთელი რიცხვის ჯერადი არის Y რიცხვი, რომელიც იყოფა X-ზე ნაშთის გარეშე. მაგალითად, 3 არის 15-ის ჯერადი, ხოლო 6 არის 12-ის ჯერადი.

ნებისმიერი წყვილი რიცხვისთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი საერთო გამყოფები და ჯერადები. მაგალითად, 6-ისთვის და 9-ისთვის, საერთო ჯერადი არის 18, ხოლო საერთო გამყოფი არის 3. ცხადია, წყვილებს შეიძლება ჰქონდეთ რამდენიმე გამყოფი და ჯერადი, ამიტომ გამოთვლებში გამოიყენება GCD-ის უდიდესი გამყოფი და LCM-ის უმცირესი ჯერადი. .

უმცირეს გამყოფს აზრი არ აქვს, რადგან ნებისმიერი რიცხვისთვის ის ყოველთვის ერთია. ყველაზე დიდი ჯერადი ასევე უაზროა, რადგან ჯერადების თანმიმდევრობა მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

GCD-ის პოვნა

არსებობს მრავალი მეთოდი უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია:

• გამყოფთა თანმიმდევრული ჩამოთვლა, წყვილისთვის საერთოთა შერჩევა და მათგან ყველაზე დიდის ძიება;
• რიცხვების დაშლა განუყოფელ ფაქტორებად;
• ევკლიდეს ალგორითმი;
• ბინარული ალგორითმი.

დღეს, საგანმანათლებლო დაწესებულებებში, ყველაზე პოპულარული მეთოდები დაშლის პირველ ფაქტორებად და ევკლიდეს ალგორითმად. ეს უკანასკნელი, თავის მხრივ, გამოიყენება დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნისას: საჭიროა GCD-ის ძიება, რათა შეამოწმოს განტოლება მისი მთელი რიცხვებით ამოხსნის შესაძლებლობისთვის.

NOC-ის პოვნა

უმცირესი საერთო ჯერადი ასევე ზუსტად განისაზღვრება განმეორებითი აღრიცხვით ან განუყოფელ ფაქტორებად ფაქტორიზაციით. გარდა ამისა, ადვილია LCM-ის პოვნა, თუ ყველაზე დიდი გამყოფი უკვე განსაზღვრულია. X და Y რიცხვებისთვის, LCM და GCD დაკავშირებულია შემდეგი ურთიერთობით:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

მაგალითად, თუ gcd(15,18) = 3, მაშინ LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM-ის ყველაზე აშკარა გამოყენებაა საერთო მნიშვნელის პოვნა, რომელიც არის უმცირესი საერთო ჯერადი. მოცემული წილადები.

კოპრიმი რიცხვები

თუ რიცხვთა წყვილს არ აქვს საერთო გამყოფები, მაშინ ასეთ წყვილს კოპრიმი ეწოდება. ასეთი წყვილებისთვის GCM ყოველთვის ერთის ტოლია, ხოლო გამყოფებისა და ჯერადების შეერთების საფუძველზე, კოპრიმის GCM უდრის მათ ნამრავლს. მაგალითად, რიცხვები 25 და 28 არის თანაპირველი, რადგან მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები და LCM(25, 28) = 700, რომელიც შეესაბამება მათ ნამრავლს. ნებისმიერი ორი განუყოფელი რიცხვი ყოველთვის იქნება თანაპრომიტი.

საერთო გამყოფი და მრავალჯერადი კალკულატორი

ჩვენი კალკულატორით შეგიძლიათ გამოთვალოთ GCD და LCM ნებისმიერი რაოდენობის ნომრისთვის. საერთო გამყოფებისა და ჯერადების გამოთვლის ამოცანები გვხვდება მე-5 და მე-6 კლასების არითმეტიკაში, თუმცა, GCD და LCM არის მათემატიკის ძირითადი ცნებები და გამოიყენება რიცხვების თეორიაში, პლანიმეტრიასა და კომუნიკაციურ ალგებრაში.

რეალური ცხოვრების მაგალითები

წილადების საერთო მნიშვნელი

უმცირესი საერთო ჯერადი გამოიყენება რამდენიმე წილადის საერთო მნიშვნელის პოვნისას. მოდით, არითმეტიკული ამოცანისას საჭიროა 5 წილადის ჯამი:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

წილადების დასამატებლად, გამოსახულება უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე, რაც ამცირებს LCM-ის პოვნის პრობლემას. ამისათვის აირჩიეთ კალკულატორში 5 ნომერი და შეიყვანეთ მნიშვნელის მნიშვნელობები შესაბამის უჯრედებში. პროგრამა გამოთვლის LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. ახლა თქვენ უნდა გამოვთვალოთ დამატებითი ფაქტორები თითოეული წილადისთვის, რომელიც განისაზღვრება, როგორც LCM-ის თანაფარდობა მნიშვნელთან. ასე რომ, დამატებითი მულტიპლიკატორები ასე გამოიყურება:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

ამის შემდეგ ყველა წილადს ვამრავლებთ შესაბამის დამატებით კოეფიციენტზე და ვიღებთ:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად დავამატოთ ასეთი წილადები და მივიღოთ შედეგი 159/360 სახით. წილადს ვამცირებთ 3-ით და ვხედავთ საბოლოო პასუხს - 53/120.

წრფივი დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნა

წრფივი დიოფანტინის განტოლებები არის ax + by = d ფორმის გამონათქვამები. თუ თანაფარდობა d / gcd(a, b) არის მთელი რიცხვი, მაშინ განტოლება ამოსახსნელია მთელი რიცხვებით. მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე განტოლება მთელი რიცხვის ამოხსნის შესაძლებლობისთვის. ჯერ შეამოწმეთ განტოლება 150x + 8y = 37. კალკულატორის გამოყენებით ვპოულობთ gcd (150.8) = 2. გაყოფა 37/2 = 18.5. რიცხვი არ არის მთელი რიცხვი, შესაბამისად, განტოლებას არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები.

მოდით შევამოწმოთ განტოლება 1320x + 1760y = 10120. გამოიყენეთ კალკულატორი, რომ იპოვოთ gcd(1320, 1760) = 440. გავყოთ 10120/440 = 23. შედეგად მივიღებთ მთელ რიცხვს, შესაბამისად, დიოფანტინის თანაფარდობის განტოლება. .

დასკვნა

GCD და LCM მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ რიცხვების თეორიაში და თავად ცნებები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სხვადასხვა სფეროში. გამოიყენეთ ჩვენი კალკულატორი ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერი რაოდენობის უდიდესი გამყოფებისა და უმცირესი ჯერადების გამოსათვლელად.

მეორე ნომერი: b=

ციფრების გამყოფიარ არის სივრცის გამყოფი "'

შედეგი:

უდიდესი საერთო გამყოფი gcd( ა,ბ)=6

LCM-ის უმცირესი საერთო ჯერადი( ა,ბ)=468

ყველაზე დიდი ნატურალური რიცხვი, რომლითაც რიცხვები a და b იყოფა ნაშთების გარეშე, ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი(gcd) ამ რიცხვებიდან. აღინიშნება gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ან hcf(a,b).

უმცირესი საერთო ჯერადი(LCM) ორი მთელი რიცხვი a და b არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა a-ზე და b-ზე ნაშთის გარეშე. აღინიშნება LCM(a,b) ან lcm(a,b).

მთელი რიცხვები a და b ეწოდება კოპრაიმითუ მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები გარდა +1 და −1.

უდიდესი საერთო გამყოფი

მიეცით ორი დადებითი რიცხვი ა 1 და ა 2 1). საჭიროა ამ რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნა, ე.ი. იპოვნეთ ასეთი რიცხვი λ , რომელიც ყოფს რიცხვებს ა 1 და ა 2 ერთდროულად. მოდით აღვწეროთ ალგორითმი.

1) ამ სტატიაში სიტყვა რიცხვი ნიშნავს მთელ რიცხვს.

დაე იყოს ა 1 ≥ ა 2 და ნება

სადაც მ 1 , ა 3 არის რამდენიმე მთელი რიცხვი, ა 3 <ა 2 (ნარჩენი გაყოფიდან ა 1-ზე ა 2 ნაკლები უნდა იყოს ა 2).

მოდი ვიჩვენოთ, რომ λ ყოფს ა 1 და ა 2, მაშინ λ ყოფს მ 1 ა 2 და λ ყოფს ა 1 −მ 1 ა 2 =ა 3 (სტატიის მე-2 მტკიცება „ რიცხვთა გაყოფა. გაყოფის ნიშანი“). აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 არის საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3 . საპირისპირო ასევე მართალია თუ λ საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3, მაშინ მ 1 ა 2 და ა 1 =მ 1 ა 2 +ა 3 ასევე იყოფა λ . აქედან მოდის საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3 ასევე არის საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2. როგორც ა 3 <ა 2 ≤ა 1 , მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნის ამოცანის ამოხსნა ა 1 და ა 2 დაყვანილია რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნის მარტივ ამოცანამდე ა 2 და ა 3 .

Თუ ა 3 ≠0, მაშინ შეგვიძლია გავყოთ ა 2-ზე ა 3 . მერე

,

სადაც მ 1 და ა 4 არის რამდენიმე მთელი რიცხვი, ( აგაყოფის 4 დარჩენილი ა 2-ზე ა 3 (ა 4 <ა 3)). მსგავსი მსჯელობით მივდივართ დასკვნამდე, რომ რიცხვების საერთო გამყოფები ა 3 და ა 4 იგივეა, რაც რიცხვების საერთო გამყოფები ა 2 და ა 3 და ასევე საერთო გამყოფებით ა 1 და ა 2. როგორც ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4, ... რიცხვები, რომლებიც გამუდმებით მცირდება, და რადგან არსებობს მთელი რიცხვების სასრული რაოდენობა ა 2 და 0, შემდეგ რაღაც საფეხურზე ნ, დაყოფის დარჩენილი ნაწილი ა n-ზე ა n+1 ტოლი იქნება ნულის ( ა n+2=0).

.

ყველა საერთო გამყოფი λ ნომრები ა 1 და ა 2 ასევე არის რიცხვების გამყოფი ა 2 და ა 3 , ა 3 და ა 4 , .... ა n და ა n+1 . საპირისპირო ასევე მართალია, რიცხვების საერთო გამყოფები ა n და ა n+1 ასევე რიცხვების გამყოფია ა n−1 და ა n, ...., ა 2 და ა 3 , ა 1 და ა 2. მაგრამ საერთო გამყოფი ა n და ა n+1 არის რიცხვი ა n+1, რადგან ა n და ა n+1 იყოფა ა n+1 (გაიხსენეთ ა n+2=0). აქედან გამომდინარე ა n+1 ასევე არის რიცხვების გამყოფი ა 1 და ა 2 .

გაითვალისწინეთ, რომ ნომერი ა n+1 არის უდიდესი რიცხვის გამყოფი ა n და ა n+1 , რადგან უდიდესი გამყოფი ა n+1 არის თავად ა n+1 . Თუ ა n + 1 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მთელი რიცხვების ნამრავლი, მაშინ ეს რიცხვები ასევე არის რიცხვების საერთო გამყოფები ა 1 და ა 2. ნომერი ა n+1 ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფინომრები ა 1 და ა 2 .

ნომრები ა 1 და ა 2 შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვები. თუ რომელიმე რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი უდრის მეორე რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. ნულოვანი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არ არის განსაზღვრული.

ზემოთ მოყვანილი ალგორითმი ე.წ ევკლიდეს ალგორითმიიპოვონ ორი მთელი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი.

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნის მაგალითი

იპოვეთ ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი 630 და 434.

• ნაბიჯი 1. რიცხვი 630 გაყავით 434-ზე. დარჩენილი არის 196.
• ნაბიჯი 2. რიცხვი 434 გაყავით 196-ზე. დარჩენილი არის 42.
• ნაბიჯი 3. რიცხვი 196 გაყავით 42-ზე. დარჩენილი არის 28.
• ნაბიჯი 4. რიცხვი 42 გაყავით 28-ზე. დარჩენილი არის 14.
• ნაბიჯი 5. რიცხვი 28 გაყავით 14-ზე. დარჩენილი არის 0.

მე-5 საფეხურზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის 0. მაშასადამე, 630 და 434 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის 14. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 2 და 7 ასევე 630 და 434 რიცხვების გამყოფია.

კოპრიმი რიცხვები

განმარტება 1. მოდით რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 უდრის ერთს. შემდეგ ამ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვებირომლებსაც არ აქვთ საერთო გამყოფი.

თეორემა 1. Თუ ა 1 და ა 2 შედარებით მარტივი რიცხვი და λ ზოგიერთი რიცხვი, შემდეგ რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი λa 1 და ა 2 ასევე არის რიცხვების საერთო გამყოფი λ და ა 2 .

მტკიცებულება. განვიხილოთ ევკლიდეს ალგორითმი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნისთვის ა 1 და ა 2 (იხ. ზემოთ).

.

თეორემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 და ამიტომ ა n და ა n+1 არის 1. ე.ი. ა n+1=1.

მოდით გავამრავლოთ ყველა ეს თანასწორობა λ , მაშინ

.

მოდით საერთო გამყოფი ა 1 λ და ა 2 არის δ . მერე δ შედის როგორც ფაქტორი ა 1 λ , მ 1 ა 2 λ და ში ა 1 λ -მ 1 ა 2 λ =ა 3 λ (იხ. „რიცხვების გაყოფა“, დებულება 2). Უფრო δ შედის როგორც ფაქტორი ა 2 λ და მ 2 ა 3 λ , და, შესაბამისად, შედის როგორც ფაქტორი ა 2 λ -მ 2 ა 3 λ =ა 4 λ .

ამგვარად მსჯელობით ვრწმუნდებით, რომ δ შედის როგორც ფაქტორი ა n−1 λ და მ n−1 ან λ და, შესაბამისად, შიგნით ა n−1 λ −მ n−1 ან λ =ა n+1 λ . როგორც ა n+1 =1, მაშინ δ შედის როგორც ფაქტორი λ . აქედან რიცხვი δ არის რიცხვების საერთო გამყოფი λ და ა 2 .

განვიხილოთ თეორემა 1-ის განსაკუთრებული შემთხვევები.

შედეგი 1. დაე იყოს ადა გმარტივი რიცხვები შედარებითია ბ. შემდეგ მათი პროდუქტი აწარის მარტივი რიცხვი მიმართ ბ.

მართლა. თეორემა 1-დან აწდა ბაქვთ იგივე საერთო გამყოფები, რაც გდა ბ. მაგრამ ნომრები გდა ბკოპრაიმი, ე.ი. აქვს ერთი საერთო გამყოფი 1. მაშინ აწდა ბასევე აქვთ ერთი საერთო გამყოფი 1. აქედან გამომდინარე აწდა ბორმხრივ მარტივი.

შედეგი 2. დაე იყოს ადა ბთანაპრიმა რიცხვები და მოდით ბყოფს აკ. მერე ბყოფს და კ.

მართლა. მტკიცების პირობიდან აკდა ბაქვს საერთო გამყოფი ბ. თეორემა 1-ის ძალით, ბუნდა იყოს საერთო გამყოფი ბდა კ. აქედან გამომდინარე ბყოფს კ.

დასკვნა 1 შეიძლება განზოგადდეს.

შედეგი 3. 1. მოდით ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3 , ..., ა m რიცხვთან შედარებით მარტივია ბ. მერე ა 1 ა 2 , ა 1 ა 2 · ა 3 , ..., ა 1 ა 2 ა 3 ··· ა m , ამ რიცხვების ნამრავლი არის მარტივი რიცხვის მიმართ ბ.

2. მივიღოთ რიცხვების ორი მწკრივი

ისე, რომ პირველი რიგის ყველა რიცხვი არის მარტივი მეორე რიგის ყველა რიცხვთან მიმართებაში. შემდეგ პროდუქტი

საჭიროა ისეთი რიცხვების პოვნა, რომლებიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე.

თუ რიცხვი იყოფა ა 1, მაშინ ასე გამოიყურება სა 1, სადაც სრაღაც ნომერი. Თუ ქარის რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2, მაშინ

სადაც ს 1 არის გარკვეული მთელი რიცხვი. მერე

არის რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 და ა 2 .

ა 1 და ა 2 თანაპირველი, შემდეგ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 და ა 2:

იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვების ნებისმიერი ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 უნდა იყოს რიცხვების ჯერადი ε და ა 3 და პირიქით. მოდით რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ε და ა 3 არის ε ერთი . გარდა ამისა, რიცხვების მრავალჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4 უნდა იყოს რიცხვების ჯერადი ε 1 და ა 4 . მოდით რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ε 1 და ა 4 არის ε 2. ამრიგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ რიცხვების ყველა ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m ემთხვევა რაიმე კონკრეტული რიცხვის ჯერადებს ε n , რომელსაც ეწოდება მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

კონკრეტულ შემთხვევაში, როცა ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m თანაპირველი, მაშინ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 , ა 2, როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები, აქვს ფორმა (3). შემდგომ, მას შემდეგ ა 3 მარტივი რიცხვების მიმართ ა 1 , ა 2, მაშინ ა 3 არის მარტივი შედარებითი რიცხვი აერთი · ა 2 (დასკვნა 1). ასე რომ, რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 ,ა 2 ,ა 3 არის რიცხვი აერთი · ა 2 · ა 3 . ანალოგიურად კამათით მივდივართ შემდეგ მტკიცებებამდე.

განცხადება 1. თანაპირდაპირი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m უდრის მათ ნამრავლს აერთი · ა 2 · ა 3 ··· ამ .

განცხადება 2. ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თანაპირ რიცხვზე ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m ასევე იყოფა მათ ნამრავლზე აერთი · ა 2 · ა 3 ··· ამ .

ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ ორი ან ნებისმიერი სხვა რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი.

კალკულატორი GCD და NOC-ის საპოვნელად

იპოვეთ GCD და NOC

GCD და NOC ნაპოვნია: 5806

როგორ გამოვიყენოთ კალკულატორი

• შეიყვანეთ ნომრები შეყვანის ველში
• არასწორი სიმბოლოების შეყვანის შემთხვევაში, შეყვანის ველი მონიშნული იქნება წითლად
• დააჭირეთ ღილაკს "იპოვეთ GCD და NOC"

როგორ შეიყვანოთ ნომრები

• რიცხვები შეიყვანება ერთმანეთისგან გამოყოფილი ინტერვალით, წერტილებით ან მძიმეებით
• შეყვანილი ნომრების სიგრძე შეზღუდული არ არისასე რომ, გრძელი რიცხვების gcd და lcm-ის პოვნა რთული არ იქნება

რა არის NOD და NOK?

უდიდესი საერთო გამყოფირამდენიმე რიცხვი არის უდიდესი ბუნებრივი მთელი რიცხვი, რომლითაც ყველა საწყისი რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე. ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შემოკლებულია როგორც GCD.
უმცირესი საერთო ჯერადირამდენიმე რიცხვი არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თავდაპირველ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი შემოკლებულია როგორც NOC.

როგორ შევამოწმოთ, იყო თუ არა რიცხვი სხვა რიცხვზე ნაშთის გარეშე?

იმის გასარკვევად, იყო თუ არა ერთი რიცხვი მეორეზე ნაშთის გარეშე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი თვისება. შემდეგ მათი შერწყმით შეიძლება შემოწმდეს ზოგიერთი მათგანის გაყოფა და მათი კომბინაციები.

რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი ნიშანი

1. რიცხვის 2-ზე გაყოფის ნიშანი
იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი ორზე (ლუწია თუ არა), საკმარისია გადავხედოთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრს: თუ ის უდრის 0-ს, 2-ს, 4-ს, 6-ს ან 8-ს, მაშინ რიცხვი ლუწია. რაც ნიშნავს, რომ ის იყოფა 2-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 2-ზე.
გადაწყვეტილება:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ორზე.

2. რიცხვის 3-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 3-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე. ამრიგად, იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ციფრების ჯამი და შეამოწმოთ იყო თუ არა ის 3-ზე. მაშინაც კი, თუ ციფრების ჯამი ძალიან დიდი აღმოჩნდა, შეგიძლიათ იგივე პროცესი გაიმეოროთ. ისევ.
მაგალითი:დაადგინეთ არის თუ არა რიცხვი 34938 3-ზე.
გადაწყვეტილება:ჩვენ ვითვლით ციფრების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 3-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა სამზე.

3. რიცხვის 5-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 5-ზე, როდესაც მისი ბოლო ციფრი არის ნული ან ხუთი.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 5-ზე.
გადაწყვეტილება:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი არ იყოფა ხუთზე.

4. რიცხვის 9-ზე გაყოფის ნიშანი
ეს ნიშანი ძალიან ჰგავს სამზე გაყოფის ნიშანს: რიცხვი იყოფა 9-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ, იყო თუ არა რიცხვი 34938 9-ზე.
გადაწყვეტილება:ვიანგარიშებთ ციფრების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 9-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ცხრაზე.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD და LCM

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის გამოსათვლელად უმარტივესი გზაა ამ რიცხვების ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და მათგან ყველაზე დიდის არჩევა.

განვიხილოთ ეს მეთოდი GCD(28, 36) პოვნის მაგალითის გამოყენებით:

1. ვანაწილებთ ორივე რიცხვს: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. ჩვენ ვპოულობთ საერთო ფაქტორებს, ანუ მათ, რაც ორივე რიცხვს აქვს: 1, 2 და 2.
3. ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფაქტორების ნამრავლს: 1 2 2 \u003d 4 - ეს არის 28 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის LCM

არსებობს ორი ყველაზე გავრცელებული გზა ორი რიცხვის უმცირესი ჯერადის მოსაძებნად. პირველი გზა არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადები და შემდეგ აირჩიოთ მათ შორის ისეთი რიცხვი, რომელიც იქნება საერთო ორივე რიცხვისთვის და ამავე დროს ყველაზე პატარა. და მეორე არის ამ რიცხვების GCD-ის პოვნა. მოდით უბრალოდ განვიხილოთ.

LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ორიგინალური რიცხვების ნამრავლი და შემდეგ გაყოთ იგი ადრე ნაპოვნი GCD-ზე. ვიპოვოთ LCM იგივე 28 და 36 რიცხვებისთვის:

1. იპოვეთ 28 და 36 რიცხვების ნამრავლი: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) უკვე ცნობილია, რომ არის 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

იპოვეთ GCD და LCM მრავალი რიცხვისთვის

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის საძიებელი რიცხვები იყოფა მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ მოიძებნება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი. ასევე, რამდენიმე რიცხვის GCD-ის საპოვნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მიმართება: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

ანალოგიური მიმართება ასევე ვრცელდება რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადზე: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

მაგალითი:იპოვეთ GCD და LCM 12, 32 და 36 ნომრებისთვის.

1. ჯერ გავამრავლოთ რიცხვები: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები: 1, 2 და 2.
3. მათი პროდუქტი მისცემს gcd: 1 2 2 = 4
4. ახლა ვიპოვოთ LCM: ამისათვის ჩვენ ჯერ ვიპოვით LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. სამივე რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288.

ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი პირდაპირ კავშირშია ამ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფთან. ეს კავშირი GCD-სა და NOC-ს შორისგანისაზღვრება შემდეგი თეორემით.

თეორემა.

ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი a და b უდრის a და b რიცხვების ნამრავლს გაყოფილი a და b რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე, ანუ, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

მტკიცებულება.

დაე იყოს M არის a და b რიცხვების რამდენიმე ჯერადი. ანუ M იყოფა a-ზე და გაყოფის განმარტებით არის გარკვეული k რიცხვი ისეთი, რომ ტოლობა M=a·k მართალია. მაგრამ M ასევე იყოფა b-ზე, შემდეგ a k იყოფა b-ზე.

აღნიშნეთ gcd(a, b) როგორც d. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ ტოლობები a=a 1 ·d და b=b 1 ·d, და a 1 =a:d და b 1 =b:d იქნება თანაპირდაპირი რიცხვები. მაშასადამე, წინა აბზაცში მიღებული პირობა, რომ k იყოფა b-ზე, შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: a 1 d k იყოფა b 1 d-ზე და ეს, გაყოფადობის თვისებებიდან გამომდინარე, უდრის იმ პირობას, რომ a 1 k. იყოფა b ერთზე.

ჩვენ ასევე უნდა ჩამოვწეროთ ორი მნიშვნელოვანი დასკვნა განხილული თეორემიდან.

ორი რიცხვის საერთო ჯერადი იგივეა, რაც მათი უმცირესი საერთო ჯერადი.

ეს ასეა, რადგან M რიცხვების ნებისმიერი საერთო ჯერადი a და b განისაზღვრება ტოლობით M=LCM(a, b) t ზოგიერთი მთელი რიცხვისთვის t .

თანაპირდაპირი დადებითი რიცხვების a და b უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია.

ამ ფაქტის დასაბუთება საკმაოდ აშკარაა. ვინაიდან a და b არის თანაპრიმიტეტები, მაშინ gcd(a, b)=1, შესაბამისად, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრულ პოვნამდე. როგორ კეთდება ეს ნაჩვენებია შემდეგ თეორემაში: a 1, a 2,…, a k ემთხვევა m k-1 და a k რიცხვების საერთო ჯერადებს, შესაბამისად, ემთხვევა m k-ის ჯერადებს. და რადგან m k რიცხვის უმცირესი დადებითი ჯერადი არის თავად m k რიცხვი, მაშინ a 1, a 2, …, a k რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის m k.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
• მიხელოვიჩ შ.ხ. რიცხვების თეორია.
• კულიკოვი ლ.ია. და სხვა ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელო ფიზ.-მატ. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ LCM, ჯერ უნდა დაადგინოთ ტერმინი "მრავალჯერადი".

A-ს ჯერადი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა A-ზე ნაშთების გარეშე.ამგვარად, 15, 20, 25 და ასე შემდეგ შეიძლება ჩაითვალოს 5-ის ჯერადად.

შეიძლება იყოს გარკვეული რაოდენობის გამყოფების შეზღუდული რაოდენობა, მაგრამ არის უსასრულო რაოდენობის ჯერადი.

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე ნაშთის გარეშე.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი

რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) (ორი, სამი ან მეტი) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც თანაბრად იყოფა ყველა ამ რიცხვზე.

NOC-ის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მეთოდი.

მცირე რიცხვებისთვის მოსახერხებელია ამ რიცხვების ყველა ჯერადი ჩაწერა სტრიქონში, სანამ მათ შორის საერთო არ იქნება. მრავლობითი ჩანაწერში აღინიშნება დიდი ასო K-ით.

მაგალითად, 4-ის ჯერადი შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

ამრიგად, თქვენ ხედავთ, რომ 4 და 6 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი 24. ეს ჩანაწერი შესრულებულია შემდეგნაირად:

LCM(4, 6) = 24

თუ რიცხვები დიდია, იპოვეთ სამი ან მეტი რიცხვის საერთო ჯერადი, მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ სხვა გზა LCM-ის გამოსათვლელად.

დავალების შესასრულებლად საჭიროა შემოთავაზებული რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად.

ჯერ უნდა დაწეროთ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი გაფართოება სტრიქონში, ხოლო მის ქვემოთ - დანარჩენი.

თითოეული რიცხვის გაფართოებისას შეიძლება არსებობდეს ფაქტორების განსხვავებული რაოდენობა.

მაგალითად, 50 და 20 რიცხვები გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად.

უფრო მცირე რიცხვის გაფართოებისას ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს ის ფაქტორები, რომლებიც აკლია პირველი უდიდესი რიცხვის გაფართოებას და შემდეგ დაუმატოს ისინი. წარმოდგენილ მაგალითში დუი აკლია.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ 20-ისა და 50-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

ამრიგად, დიდი რიცხვის უბრალო და მეორე რიცხვის ფაქტორების ნამრავლი, რომლებიც არ შედის დიდი რიცხვის დაშლაში, იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, ყველა მათგანი უნდა დაიშალოს პირველ ფაქტორებად, როგორც წინა შემთხვევაში.

მაგალითად, შეგიძლიათ იპოვოთ 16, 24, 36 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

ამრიგად, თექვსმეტის დაშლის მხოლოდ ორი დეუზა არ იყო ჩართული უფრო დიდი რიცხვის ფაქტორიზაციაში (ერთი არის ოცდაოთხის დაშლაში).

ამრიგად, ისინი უნდა დაემატოს უფრო დიდი რიცხვის დაშლას.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

არის უმცირესი საერთო ჯერადის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევები. ასე რომ, თუ რომელიმე რიცხვი ნარჩენის გარეშე შეიძლება გაიყოს მეორეზე, მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო დიდი იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

მაგალითად, თორმეტი და ოცდაოთხი NOCs იქნება ოცდაოთხი.

თუ საჭიროა ვიპოვოთ თანაპირდაპირი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, რომლებსაც არ აქვთ ერთი და იგივე გამყოფები, მაშინ მათი LCM ტოლი იქნება მათი ნამრავლის.

მაგალითად, LCM(10, 11) = 110.