2 ცვლადის ფუნქციის გრაფიკი z = f(x,y) არის ზედაპირი, რომელიც დაპროექტებულია XOY სიბრტყეზე D ფუნქციის დომენში.
განიხილეთ ზედაპირი σ , მოცემული განტოლებით z = f(x,y) , სადაც f(x,y) დიფერენცირებადი ფუნქციაა და M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) იყოს ფიქსირებული წერტილი σ ზედაპირზე, ე.ი. z0 = f(x0,y0). დანიშვნა. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია საპოვნელად ტანგენტური სიბრტყისა და ზედაპირის ნორმალური განტოლებები. გადაწყვეტილება მიიღება Word ფორმატში. თუ თქვენ გჭირდებათ მრუდის ტანგენსის განტოლების პოვნა (y = f(x)), მაშინ უნდა გამოიყენოთ ეს სერვისი.

ფუნქციის შესვლის წესები:

ფუნქციის შესვლის წესები:

1. ყველა ცვლადი გამოიხატება x,y,z-ებით

ზედაპირის ტანგენტი σ მის წერტილში მ 0 არის სიბრტყე, რომელშიც დევს ზედაპირზე დახატული ყველა მრუდის ტანგენტები σ წერტილის გავლით მ 0 .
ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას, რომელიც მოცემულია განტოლებით z = f(x,y) M 0 წერტილში (x 0 ,y 0 ,z 0) აქვს ფორმა:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f' y (x 0, y 0) (y - y 0)

ვექტორს ეწოდება ზედაპირული ნორმალური ვექტორი σ M 0 წერტილში. ნორმალური ვექტორი არის ტანგენტის სიბრტყის პერპენდიკულარული.
ნორმალურია ზედაპირზე σ წერტილში მ 0 არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ამ წერტილში და აქვს N ვექტორის მიმართულება.
ზედაპირის ნორმალურის კანონიკური განტოლებები, რომლებიც მოცემულია განტოლებით z = f(x,y) M 0 წერტილში (x 0 ,y 0 ,z 0), სადაც z 0 = f(x 0 ,y 0), აქვს ფორმა:

მაგალითი #1. ზედაპირი მოცემულია განტოლებით x 3 +5y. იპოვეთ ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლება M 0 წერტილში (0;1).
გადაწყვეტილება. დავწეროთ ტანგენტების განტოლებები ზოგადი ფორმით: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0 )
ამოცანის პირობით x 0 = 0, y 0 = 1, შემდეგ z 0 = 5
იპოვეთ z = x^3+5*y ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0.1) წერტილში ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ M 0 წერტილში ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ან -5 y + z = 0

მაგალითი #2. ზედაპირი მოცემულია ირიბად y 2 -1/2*x 3 -8z. იპოვეთ ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლება M 0 (1;0;1) წერტილში.
გადაწყვეტილება. ვპოულობთ ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს. ვინაიდან ფუნქცია მოცემულია იმპლიციტური ფორმით, ჩვენ ვეძებთ წარმოებულებს ფორმულით:

ჩვენი ფუნქციისთვის:

შემდეგ:

M 0 (1,0,1) წერტილში ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას ზედაპირზე M 0 წერტილში: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) ან 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0

მაგალითი. ზედაპირი σ მოცემული განტოლებით ზ= y/x + xy – 5x 3 . იპოვეთ ტანგენტის სიბრტყის და ზედაპირის ნორმალური განტოლება σ წერტილში მ 0 (x 0 ,წ 0 ,ზ 0) მის კუთვნილება თუ x 0 = –1, წ 0 = 2.
ვიპოვოთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ზ= ვ(x,წ) = y/x + xy – 5x 3:
f x'( x,წ) = (y/x + xy – 5x 3)' x \u003d - y / x 2 + წ – 15x 2 ;
ვ ( x,წ) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Წერტილი მ 0 (x 0 ,წ 0 ,ზ 0) ეკუთვნის ზედაპირს σ , ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ზ 0, მოცემულის ჩანაცვლება x 0 = -1 და წ 0 = 2 ზედაპირის განტოლებაში:

ზ= y/x + xy – 5x 3

ზ 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
წერტილში მნაწილობრივი წარმოებულების 0 (–1, 2, 1) მნიშვნელობები:
f x'( მ 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( მ 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
ფორმულის გამოყენებით (5) ვიღებთ ზედაპირზე ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას σ წერტილში მ 0:
ზ – 1= –15(x + 1) – 2(წ – 2) ზ – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2წ + ზ + 10 = 0.
ფორმულის გამოყენებით (6) ვიღებთ ზედაპირის ნორმალურის კანონიკურ განტოლებებს σ წერტილში მ 0: .
პასუხები: ტანგენტის სიბრტყის განტოლება: 15 x + 2წ + ზ+ 10 = 0; ნორმალური განტოლებები: .

მაგალითი #1. მოცემულია ფუნქცია z \u003d f (x, y) და ორი წერტილი A (x 0, y 0) და B (x 1, y 1). საჭიროა: 1) გამოთვალეთ ფუნქციის z 1 მნიშვნელობა B წერტილში; 2) გამოთვალეთ B წერტილის ფუნქციის z 1-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა A წერტილის ფუნქციის z 0 მნიშვნელობის საფუძველზე, A წერტილიდან B წერტილზე გადასვლისას ფუნქციის ნამატის შეცვლა დიფერენციალურით; 3) შეადგინეთ ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლება z = f(x,y) C(x 0 ,y 0 ,z 0) წერტილში.
გადაწყვეტილება.
ტანგენტების განტოლებებს ვწერთ ზოგადი ფორმით:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
ამოცანის პირობის მიხედვით x 0 = 1, y 0 = 2, შემდეგ z 0 = 25
იპოვეთ z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
M 0 (1.2) წერტილში ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ M 0 წერტილში ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
ან
-26x-36y+z+73 = 0

მაგალითი #2. ჩაწერეთ ტანგენტის სიბრტყისა და ელიფსური პარაბოლოიდის ნორმალურის განტოლებები z = 2x 2 + y 2 წერტილში (1;-1;3).

ზედაპირი განისაზღვრება, როგორც წერტილების ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლების გარკვეულ ტიპს:

F (x, y, z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

თუ ფუნქცია F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))არის უწყვეტი რაღაც მომენტში და აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები, რომელთაგან ერთი მაინც არ ქრება, მაშინ ამ წერტილის სიახლოვეს (1) განტოლებით მოცემული ზედაპირი იქნება სწორი ზედაპირი.

გარდა ზემოაღნიშნულისა დაყენების იმპლიციტური გზა, ზედაპირი შეიძლება განისაზღვროს ნათლად, თუ ერთ-ერთი ცვლადი, მაგალითად, z, შეიძლება გამოიხატოს სხვების მიხედვით:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

უფრო მკაცრად, მარტივი ზედაპირი არის ერთეული კვადრატის ინტერიერის ჰომეომორფული რუკის გამოსახულება (ანუ ერთი-ერთზე და ორმხრივ უწყვეტი რუკა). ამ განმარტებას შეიძლება მიეცეს ანალიტიკური გამოხატულება.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემით u და v სიბრტყეზე მოცემული იყოს კვადრატი, რომლის შიდა წერტილების კოორდინატები აკმაყოფილებს 0 უტოლობას.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Მაგალითი მარტივი ზედაპირიარის ნახევარსფერო. მთელი ტერიტორია არ არის მარტივი ზედაპირი. ეს მოითხოვს ზედაპირის კონცეფციის შემდგომ განზოგადებას.

სივრცის ქვესიმრავლე, რომელშიც თითოეულ წერტილს აქვს სამეზობლო, რომელიც არის მარტივი ზედაპირი, ეწოდება სწორი ზედაპირი .

ზედაპირი დიფერენციალურ გეომეტრიაში

ჰელიკოიდი

კატენოიდი

მეტრიკა ცალსახად არ განსაზღვრავს ზედაპირის ფორმას. მაგალითად, ჰელიკოიდისა და კატენოიდის მეტრიკა, რომელიც პარამეტრირებულია სათანადო წესით, ემთხვევა, ანუ მათ რეგიონებს შორის არსებობს შესაბამისობა, რომელიც ინარჩუნებს ყველა სიგრძეს (იზომეტრია). თვისებებს, რომლებიც შენარჩუნებულია იზომეტრული გარდაქმნების ქვეშ, ეწოდება შიდა გეომეტრიაზედაპირები. შიდა გეომეტრია არ არის დამოკიდებული ზედაპირის პოზიციაზე სივრცეში და არ იცვლება დაძაბულობისა და შეკუმშვის გარეშე მოხრილობისას (მაგალითად, როდესაც ცილინდრი იხრება კონუსში).

მეტრული კოეფიციენტები E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G)განსაზღვრეთ არა მხოლოდ ყველა მრუდის სიგრძე, არამედ ზოგადად ზედაპირის შიგნით ყველა გაზომვის შედეგები (კუთხეები, ფართობები, გამრუდება და ა.შ.). აქედან გამომდინარე, ყველაფერი, რაც დამოკიდებულია მხოლოდ მეტრიკაზე, ეხება შიდა გეომეტრიას.

ნორმალური და ნორმალური განყოფილება

ნორმალური ვექტორები ზედაპირის წერტილებში

ზედაპირის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელია მისი ნორმალური- ერთეული ვექტორი პერპენდიკულარული ტანგენტის სიბრტყეზე მოცემულ წერტილში:

m = [ r u ′, r v ′ ] | [r u ′, r v ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

ნორმალურის ნიშანი დამოკიდებულია კოორდინატების არჩევანზე.

ზედაპირის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც შეიცავს ზედაპირის ნორმალურს მოცემულ წერტილში, ქმნის გარკვეულ მრუდს, რომელიც ე.წ. ნორმალური განყოფილებაზედაპირები. ნორმალური მონაკვეთის ძირითადი ნორმა ემთხვევა ზედაპირულ ნორმას (ნიშანამდე).

თუ ზედაპირზე მრუდი არ არის ნორმალური მონაკვეთი, მაშინ მისი ძირითადი ნორმა აყალიბებს კუთხეს ზედაპირთან ნორმალურთან θ (\displaystyle \theta). შემდეგ გამრუდება k (\displaystyle k)მრუდი დაკავშირებულია გამრუდებასთან k n (\displaystyle k_(n))ნორმალური მონაკვეთი (იგივე ტანგენტით) მენიეს ფორმულა:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

ნორმალური ვექტორის კოორდინატები ზედაპირის დაზუსტების სხვადასხვა გზებისთვის მოცემულია ცხრილში:

	ნორმალური კოორდინატები ზედაპირის წერტილში
იმპლიციტური დავალება	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\ frac (\ მარცხნივ(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\ნაწილი F)(\ნაწილი z))\მარჯვნივ)^(2)))))
აშკარა დავალება	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\ჩვენების სტილი (\frac (\left(-(\frac (\ნაწილობრივი f )(\ ნაწილობრივი x));\,-(\frac (\ნაწილობრივი f)(\ნაწილობრივი y));\,1\მარჯვნივ))(\sqrt (\ მარცხნივ((\frac (\ნაწილობრივი f)(\ ნაწილობრივი x))\მარჯვნივ)^(2)+\მარცხენა((\frac (\ნაწილობრივი f)(\ნაწილობრივი y))\მარჯვნივ)^(2)+1))))
პარამეტრული დავალება	(D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z, x) D (u, v)) 2 + (D (x, y) D (u, v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\მარჯვნივ))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\მარჯვნივ)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\მარჯვნივ)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\მარჯვნივ)^(2)))))

Აქ D (y, z) D (u, v) = | y u " y v " z u " z v " | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u " x v " y u " y v " | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ დასაწყისი (vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

ყველა წარმოებული აღებულია წერტილში (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

გამრუდება

ზედაპირის მოცემულ წერტილში სხვადასხვა მიმართულებისთვის მიიღება ნორმალური მონაკვეთის განსხვავებული გამრუდება, რომელსაც ე.წ. ნორმალური გამრუდება; მას ენიჭება პლუს ნიშანი, თუ მრუდის ძირითადი ნორმა მიდის იმავე მიმართულებით, როგორც ნორმალური ზედაპირისკენ, ან მინუს ნიშანი, თუ ნორმალების მიმართულებები საპირისპიროა.

ზოგადად, ზედაპირის ყველა წერტილში ორი პერპენდიკულარული მიმართულებაა e 1 (\displaystyle e_(1))და e 2 (\displaystyle e_(2)), რომელშიც ნორმალური გამრუდება იღებს მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს; ამ მიმართულებებს უწოდებენ მთავარი. გამონაკლისი არის შემთხვევა, როდესაც ნორმალური გამრუდება ყველა მიმართულებით ერთნაირია (მაგალითად, სფეროსთან ან რევოლუციის ელიფსოიდის ბოლოს), მაშინ ყველა მიმართულება წერტილში არის ძირითადი.

ზედაპირები უარყოფითი (მარცხნივ), ნული (ცენტრი) და დადებითი (მარჯვნივ) მრუდი.

ძირითადი მიმართულებების ნორმალური მრუდები ეწოდება ძირითადი მრუდები; აღვნიშნოთ ისინი κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))და κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). ზომა:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

განმარტება.წერტილი, რომელიც დევს მეორე რიგის ზედაპირზე, რომელიც მოცემულია ზოგადი განტოლებით (1) ODSC-სთან მიმართებაში, ეწოდება არაერთგულოვანი, თუ სამ რიცხვს შორის: არის ერთი მაინც, რომელიც არ არის ნულის ტოლი.

ამრიგად, წერტილი, რომელიც მდებარეობს მეორე რიგის ზედაპირზე, არ არის სინგულარული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის მისი ცენტრია, წინააღმდეგ შემთხვევაში, როდესაც ზედაპირი კონუსურია, ხოლო წერტილი არის ამ ზედაპირის წვერო.

განმარტება.მეორე რიგის ზედაპირის ტანგენტი მოცემულ არაერთგულ წერტილში არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ამ წერტილში, რომელიც კვეთს მეორე რიგის ზედაპირს ორმაგ წერტილში, ან წარმოადგენს ზედაპირის სწორხაზოვან გენერატრიქსს.

თეორემა 3.მეორე რიგის ზედაპირის ტანგენტური ხაზები მასზე მოცემულ არაერთგულ წერტილში დევს იმავე სიბრტყეში, რომელსაც ეწოდება ზედაპირის ტანგენსი განსახილველ წერტილში. ტანგენტის სიბრტყის განტოლება აქვს

მტკიცებულება. მოდით , , იყოს სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები, რომელიც გადის (1) განტოლებით მოცემული მეორე რიგის ზედაპირის არაერთგულ წერტილში. ჩანაცვლებით განტოლებაში (1) , , , , , , ნაცვლად, მივიღებთ:

ვინაიდან წერტილი დევს ზედაპირზე (1), ჩვენ ასევე ვპოულობთ განტოლებას (3) (ეს მნიშვნელობა შეესაბამება წერტილს). იმისათვის, რომ ხაზის გადაკვეთის წერტილი (1) ზედაპირთან ორმაგი იყოს, ან ხაზი მთლიანად ზედაპირზე იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ თანასწორობა დაკმაყოფილდეს:

თუ ამავე დროს:

მაშინ სწორი ხაზის (1) ზედაპირთან გადაკვეთის წერტილი ორმაგია. Და თუ:

შემდეგ ხაზი მთლიანად ზედაპირზე დევს (1).

(4) და , მიმართებებიდან გამომდინარეობს, რომ კოორდინატები , , ნებისმიერი წერტილის, რომელიც მდებარეობს ზედაპირზე (1) ნებისმიერ ტანგენსზე, აკმაყოფილებს განტოლებას:

პირიქით, თუ ამ განტოლების გარდა სხვა წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ, მაშინ ვექტორის კოორდინატები , , აკმაყოფილებენ მიმართებას (4), რაც ნიშნავს, რომ ხაზი ტანგენსია განსახილველ ზედაპირზე.

ვინაიდან წერტილი არის ზედაპირის არაერთგულოვანი წერტილი (1), მაშინ რიცხვებს შორის , , არის მინიმუმ ერთი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი; ასე რომ, განტოლება (5) არის პირველი ხარისხის განტოლება . ეს არის ზედაპირის (1) ტანგენტის სიბრტყის განტოლება მასზე მოცემულ არაერთგულ წერტილში.

მეორე რიგის ზედაპირების კანონიკური განტოლებების საფუძველზე ადვილია ელიფსოიდზე, ჰიპერბოლოიდზე და ა.შ. ტანგენტის სიბრტყეების განტოლებების შედგენა. მათზე მოცემულ წერტილში.

ერთი). ელიფსოიდთან ტანგენტური სიბრტყე:

2). ტანგენტური სიბრტყე ერთ და ორ ფურცლიან ჰიპერბოლოიდებზე:

3). ტანგენტური სიბრტყე ელიფსურ და ჰიპერბოლურ პარაბოლოიდებზე:

§ 161. ტანგენტური სიბრტყის გადაკვეთა მეორე რიგის ზედაპირთან.

ჩვენ ვიღებთ მეორე რიგის ზედაპირის არაერთგულ წერტილს, როგორც ODSC-ის კოორდინატების წარმოშობას, ღერძს და ვათავსებთ მას წერტილში ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყეში. მაშინ ზედაპირის ზოგად განტოლებაში (1) თავისუფალი წევრი უდრის ნულს: , ხოლო სიბრტყის განტოლება, რომელიც ზედაპირს ეხება საწყისზე, უნდა გამოიყურებოდეს: .

მაგრამ საწყისზე გამავალი სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა: .

და, ვინაიდან ეს განტოლება უნდა იყოს განტოლების ექვივალენტი, მაშინ , , .

ასე რომ, არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში ზედაპირის განტოლება (1) უნდა გამოიყურებოდეს:

პირიქით, თუ , მაშინ განტოლება (6) არის ზედაპირის განტოლება, რომელიც გადის კოორდინატების საწყისზე, ხოლო სიბრტყე არის ამ ზედაპირის ტანგენსი წერტილში. იმ წრფის განტოლებას, რომლის გასწვრივ ზედაპირზე ტანგენსი სიბრტყე კვეთს ზედაპირს (6) აქვს ფორმა:

Თუ . ეს არის ინვარიანტობა ინვარიანტულ თეორიაში მეორე რიგის ხაზებისთვის. განტოლება (7)

ეს არის მეორე ხაზი. ამ ხაზის სახით, უცვლელი არის, შესაბამისად:

იყიდება, აქ არის ორი წარმოსახვითი გადამკვეთი ხაზი.

როდის - ორი რეალური გადამკვეთი ხაზი.

თუ , მაგრამ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ გადაკვეთის წრფე (7) არის ორი თანხვედრილი ხაზი.

და ბოლოს, თუ , მაშინ თვითმფრინავი

არის მოცემული ზედაპირის ნაწილი და თავად ზედაპირი იშლება, შესაბამისად, წყვილ სიბრტყეში

§ 162. მეორე რიგის ზედაპირის ელიფსური, ჰიპერბოლური ან პარაბოლური წერტილები.

1. მეორე რიგის ზედაპირის ტანგენსმა წერტილმა გადაკვეთოს იგი ორი წარმოსახვითი გადამკვეთი სწორი ხაზის გასწვრივ. ამ შემთხვევაში, წერტილს ზედაპირის ელიფსური წერტილი ეწოდება.

2. მეორე რიგის ზედაპირის ტანგენსმა ერთ წერტილში გადაკვეთოს იგი შეხების წერტილში გადამკვეთი ორი რეალური ხაზის გასწვრივ. ამ შემთხვევაში, წერტილს ზედაპირის ჰიპერბოლური წერტილი ეწოდება.

3. მეორე რიგის ზედაპირის ტანგენსმა ერთ წერტილში გადაკვეთოს მას ორი დამთხვევა სწორი ხაზის გასწვრივ. ამ შემთხვევაში, წერტილს ზედაპირის პარაბოლური წერტილი ეწოდება.

თეორემა 4.მოდით მეორე რიგის ზედაპირი ODSC-თან მიმართებაში მოცემული იყოს განტოლებით (1) და ეს განტოლება (1) იყოს მეორე რიგის რეალური არადამშლელი ზედაპირის განტოლება. მაშინ თუ; მაშინ ზედაპირის ყველა წერტილი ელიფსურია.

მტკიცებულება. მოდით შემოვიტანოთ ახალი კოორდინატთა სისტემა, კოორდინატების დასაწყისად ვირჩევთ მოცემული ზედაპირის ნებისმიერ არაერთმნიშვნელოვან წერტილს და მოვათავსოთ ღერძები და წერტილის ზედაპირზე ტანგენტის სიბრტყეში. განტოლება (1) ახალ კოორდინატულ სისტემაში გარდაიქმნება ფორმაში:

სად . მოდით გამოვთვალოთ ინვარიანტობა ამ განტოლებისთვის.

ვინაიდან ნიშანი არ იცვლება ერთი ODSC-დან მეორეზე გადასვლისას, ნიშნები და საპირისპიროა, შესაბამისად, თუ , მაშინ ; და, როგორც კლასიფიკაციიდან გამომდინარეობს (იხ. § 161), ზედაპირის ტანგენტური სიბრტყე წერტილში კვეთს ზედაპირს ორი წარმოსახვითი გადამკვეთი ხაზის გასწვრივ, ე.ი. არის ელიფსური წერტილი.

2) ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი და ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი შედგება ჰიპერბოლური წერტილებისგან.

3) მეორე რიგის უძრავი კონუსი (წვერო გამორიცხულია), ელიფსური (რეალური), ჰიპერბოლური და პარაბოლური ცილინდრები შედგება პარაბოლური წერტილებისგან.

პარაბოლური ცილინდრი.

პარაბოლური ცილინდრის ადგილმდებარეობის დასადგენად საკმარისია ვიცოდეთ:

1) სიმეტრიის სიბრტყე ცილინდრის გენერატორების პარალელურად;

2) ცილინდრის ტანგენტური სიბრტყე, სიმეტრიის ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული;

3) ვექტორი პერპენდიკულარული ამ ტანგენტის სიბრტყეზე და მიმართულია ცილინდრის ჩაზნექილისკენ.

თუ ზოგადი განტოლება განსაზღვრავს პარაბოლურ ცილინდრს, ის შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ავირჩიოთ მისე რომ თვითმფრინავი

იქნება ორმხრივი პერპენდიკულარული:

ამ ღირებულებით მთვითმფრინავი

იქნება სიმეტრიის სიბრტყე ცილინდრის გენერატორების პარალელურად.

თვითმფრინავი

იქნება ცილინდრის ტანგენტური სიბრტყე, სიმეტრიის მითითებულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული და ვექტორი

აღმოჩენილი ტანგენტის სიბრტყეზე პერპენდიკულარული იქნება და მიმართულია ცილინდრის ჩაზნექილისაკენ.

ნორმალური სიბრტყის განტოლება

1.

4.

ტანგენტის სიბრტყე და ზედაპირი ნორმალურია

მიეცით ზოგიერთი ზედაპირი, A არის ზედაპირის ფიქსირებული წერტილი და B არის ზედაპირის ცვლადი წერტილი,

(ნახ. 1).

არანულოვანი ვექტორი

→

ნ

დაურეკა ნორმალური ვექტორიზედაპირზე A წერტილში თუ

ლიმი B→A j = π 2 .

ზედაპირის წერტილს F (x, y, z) = 0 ეწოდება ჩვეულებრივი, თუ ამ წერტილში

1. ნაწილობრივი წარმოებულები F " x , F " y , F " z უწყვეტია;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

თუ ამ პირობებიდან ერთი მაინც დაირღვა, ზედაპირზე წერტილი ეწოდება ზედაპირის ცალკეული წერტილი .

თეორემა 1.თუ M(x 0 , y 0 , z 0 ) არის ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი F (x , y , z) = 0 , შემდეგ ვექტორი

→ ნ \u003d ხარისხი F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0) → მე + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → ჯ + F"z (x 0 , y 0 , z 0 ) → კ

(1)

ნორმალურია ამ ზედაპირისთვის M წერტილში (x 0 , y 0 , z 0 ) .

მტკიცებულებაწიგნში მოცემული ი.მ. პეტრუშკო, ლ.ა. კუზნეცოვა, ვ.ი. პროხორენკო, ვ.ფ. საფონოვა `` უმაღლესი მათემატიკის კურსი: ინტეგრალური გაანგარიშება. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები. დიფერენციალური განტოლებები. მ.: გამომცემლობა MEI, 2002 (გვ. 128).

ნორმალურია ზედაპირზერაღაც მომენტში ეწოდება წრფე, რომლის მიმართულების ვექტორი ნორმალურია ზედაპირის მიმართ ამ წერტილში და რომელიც გადის ამ წერტილში.

კანონიკური ნორმალური განტოლებებიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

x − x0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y − y0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z−z0 F"z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

ტანგენტური თვითმფრინავიზედაპირს რაღაც მომენტში ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ამ წერტილში პერპენდიკულურად ამ წერტილის ზედაპირის ნორმალურზე.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ტანგენტური სიბრტყის განტოლებაროგორც ჩანს:

(3)

თუ წერტილი ზედაპირზე არის სინგულარული, მაშინ ამ დროს შეიძლება არ არსებობდეს ზედაპირის ნორმალური ვექტორი და, შესაბამისად, ზედაპირს არ ჰქონდეს ნორმალური და ტანგენტური სიბრტყე.

ორი ცვლადის ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა

დაე, ფუნქცია z = f (x, y) იყოს დიფერენცირებადი a წერტილში (x 0 , y 0 ) . მისი გრაფიკი არის ზედაპირი

f (x, y) − z = 0.

დავდოთ z 0 = f (x 0 , y 0 ) . მაშინ წერტილი A (x 0 , y 0 , z 0 ) ეკუთვნის ზედაპირს.

F (x , y , z) = f (x , y) − z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები არის

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

და A წერტილში (x 0 , y 0 , z 0 )

1. ისინი უწყვეტია;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

მაშასადამე, A არის F ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი (x, y, z) და ამ წერტილში არის ზედაპირზე ტანგენტური სიბრტყე. (3) მიხედვით, ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

f "x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

წერტილის ვერტიკალური გადაადგილება ტანგენტის სიბრტყეზე a (x 0, y 0) წერტილიდან p (x, y) თვითნებურ წერტილზე გადასვლისას არის B Q (ნახ. 2). შესაბამისი აპლიკაციის მატება არის

(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

აქ მარჯვენა მხარეს არის დიფერენციალი დ z ფუნქციის z = f (x, y) a წერტილში (x 0 , x 0 ). აქედან გამომდინარე,
დ f (x 0 , y 0 ). არის f (x, y) ფუნქციის გრაფიკზე სიბრტყის წერტილის აპლიკაციის აპლიკაციის ნამატი (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).

დიფერენციალური განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მანძილი ფუნქციის გრაფიკზე P წერტილსა და ტანგენს სიბრტყეზე Q წერტილს შორის არის უსასრულოდ მცირე უფრო მაღალი რიგით, ვიდრე მანძილი p წერტილიდან a წერტილამდე.

რაღაც მომენტში და აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები, რომელთაგან ერთი მაინც არ ქრება, მაშინ ამ წერტილის სიახლოვეს (1) განტოლებით მოცემული ზედაპირი იქნება სწორი ზედაპირი.

გარდა ზემოაღნიშნულისა დაყენების იმპლიციტური გზაზედაპირის დადგენა შესაძლებელია ნათლად, თუ ერთ-ერთი ცვლადი, მაგალითად z, შეიძლება გამოიხატოს სხვების მიხედვით:

ასევე არსებობს პარამეტრულიდავალების მეთოდი. ამ შემთხვევაში, ზედაპირი განისაზღვრება განტოლებების სისტემით:

მარტივი ზედაპირის კონცეფცია

Უფრო ზუსტად, მარტივი ზედაპირი არის ერთეული კვადრატის ინტერიერის ჰომეომორფული რუკის გამოსახულება (ანუ ერთი-ერთზე და ორმხრივ უწყვეტი რუკა). ამ განმარტებას შეიძლება მიეცეს ანალიტიკური გამოხატულება.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემით u და v სიბრტყეზე მოცემული იყოს კვადრატი, რომლის შიდა წერტილების კოორდინატები აკმაყოფილებს 0 უტოლობას.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Მაგალითი მარტივი ზედაპირიარის ნახევარსფერო. მთელი ტერიტორია არ არის მარტივი ზედაპირი. ეს მოითხოვს ზედაპირის კონცეფციის შემდგომ განზოგადებას.

სივრცის ქვესიმრავლე, რომელშიც თითოეულ წერტილს აქვს სამეზობლო, რომელიც არის მარტივი ზედაპირი, ეწოდება სწორი ზედაპირი .

ზედაპირი დიფერენციალურ გეომეტრიაში

ჰელიკოიდი

კატენოიდი

მეტრიკა ცალსახად არ განსაზღვრავს ზედაპირის ფორმას. მაგალითად, ჰელიკოიდისა და კატენოიდის მეტრიკა, რომელიც პარამეტრირებულია სათანადო წესით, ემთხვევა, ანუ მათ რეგიონებს შორის არსებობს შესაბამისობა, რომელიც ინარჩუნებს ყველა სიგრძეს (იზომეტრია). თვისებებს, რომლებიც შენარჩუნებულია იზომეტრული გარდაქმნების ქვეშ, ეწოდება შიდა გეომეტრიაზედაპირები. შიდა გეომეტრია არ არის დამოკიდებული ზედაპირის პოზიციაზე სივრცეში და არ იცვლება დაძაბულობისა და შეკუმშვის გარეშე მოხრილობისას (მაგალითად, როდესაც ცილინდრი იხრება კონუსში).

მეტრული კოეფიციენტები განსაზღვრავს არა მხოლოდ ყველა მრუდის სიგრძეს, არამედ ზოგადად ზედაპირის შიგნით ყველა გაზომვის შედეგებს (კუთხეები, ფართობები, გამრუდება და ა.შ.). აქედან გამომდინარე, ყველაფერი, რაც დამოკიდებულია მხოლოდ მეტრიკაზე, ეხება შიდა გეომეტრიას.

ნორმალური და ნორმალური განყოფილება

ნორმალური ვექტორები ზედაპირის წერტილებში

ზედაპირის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელია მისი ნორმალური- ერთეული ვექტორი პერპენდიკულარული ტანგენტის სიბრტყეზე მოცემულ წერტილში:

.

ნორმალურის ნიშანი დამოკიდებულია კოორდინატების არჩევანზე.

სიბრტყის ზედაპირის მონაკვეთი, რომელიც შეიცავს ნორმალურს (მოცემულ წერტილში) ქმნის გარკვეულ მრუდი ზედაპირზე, რომელიც ე.წ. ნორმალური განყოფილებაზედაპირები. ნორმალური მონაკვეთის ძირითადი ნორმა ემთხვევა ზედაპირულ ნორმას (ნიშანამდე).

თუ ზედაპირზე მრუდი არ არის ნორმალური მონაკვეთი, მაშინ მისი ძირითადი ნორმა ქმნის θ კუთხეს ზედაპირთან ნორმალურად. შემდეგ გამრუდება კმრუდი დაკავშირებულია გამრუდებასთან კ ნნორმალური მონაკვეთი (იგივე ტანგენტით) მენიეს ფორმულა:

ნორმალური ვექტორის კოორდინატები ზედაპირის დაზუსტების სხვადასხვა გზებისთვის მოცემულია ცხრილში:

	ნორმალური კოორდინატები ზედაპირის წერტილში
იმპლიციტური დავალება
აშკარა დავალება
პარამეტრული დავალება

გამრუდება

ზედაპირის მოცემულ წერტილში სხვადასხვა მიმართულებისთვის მიიღება ნორმალური მონაკვეთის განსხვავებული გამრუდება, რომელსაც ე.წ. ნორმალური გამრუდება; მას ენიჭება პლუს ნიშანი, თუ მრუდის ძირითადი ნორმა მიდის იმავე მიმართულებით, როგორც ნორმალური ზედაპირისკენ, ან მინუს ნიშანი, თუ ნორმალების მიმართულებები საპირისპიროა.

ზოგადად, ზედაპირის ყველა წერტილში ორი პერპენდიკულარული მიმართულებაა ე 1 და ე 2, რომელშიც ნორმალური გამრუდება იღებს მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს; ამ მიმართულებებს უწოდებენ მთავარი. გამონაკლისი არის შემთხვევა, როდესაც ნორმალური გამრუდება ყველა მიმართულებით ერთნაირია (მაგალითად, სფეროსთან ან რევოლუციის ელიფსოიდის ბოლოს), მაშინ ყველა მიმართულება წერტილში არის ძირითადი.

ზედაპირები უარყოფითი (მარცხნივ), ნული (ცენტრი) და დადებითი (მარჯვნივ) მრუდი.

ძირითადი მიმართულებების ნორმალური მრუდები ეწოდება ძირითადი მრუდები; ავღნიშნოთ ისინი κ 1 და κ 2-ით. ზომა:

კ= κ 1 κ 2

დაურეკა გაუსის გამრუდება, სრული გამრუდებაან უბრალოდ გამრუდებაზედაპირები. არის ტერმინიც გამრუდების სკალარი, რაც გულისხმობს გამრუდების ტენზორის კონვოლუციის შედეგს; ამ შემთხვევაში, მრუდის სკალარი ორჯერ დიდია, ვიდრე გაუსის მრუდი.

გაუსის გამრუდება შეიძლება გამოითვალოს მეტრიკის მიხედვით და, შესაბამისად, ის არის ზედაპირების შინაგანი გეომეტრიის ობიექტი (გაითვალისწინეთ, რომ ძირითადი მრუდები არ მიეკუთვნება შინაგან გეომეტრიას). სიმრუდის ნიშნის მიხედვით შეგიძლიათ დაახარისხოთ ზედაპირის წერტილები (იხ. სურათი). თვითმფრინავის გამრუდება ნულის ტოლია. R რადიუსის სფეროს გამრუდება ყველგან უდრის. ასევე არსებობს მუდმივი უარყოფითი გამრუდების ზედაპირი - ფსევდოსფერო.

გეოდეზიური ხაზები, გეოდეზიური გამრუდება

ზედაპირზე მრუდი ე.წ გეოდეზიური ხაზი, ან უბრალოდ გეოდეზიური, თუ მის ყველა წერტილში მრუდის მთავარი ნორმა ემთხვევა ზედაპირის ნორმალურს. მაგალითი: სიბრტყეზე გეოდეზიკა იქნება სწორი ხაზები და ხაზოვანი სეგმენტები, სფეროზე - დიდი წრეები და მათი სეგმენტები.

ეკვივალენტური განმარტება: გეოდეზიური ხაზისთვის მისი მთავარი ნორმალის პროექცია მიმდებარე სიბრტყეზე არის ნულოვანი ვექტორი. თუ მრუდი არ არის გეოდეზიური, მაშინ მითითებული პროექცია არ არის ნულოვანი; მის სიგრძეს უწოდებენ გეოდეზიური გამრუდება კ გმრუდი ზედაპირზე. არსებობს კავშირი:

,

სადაც კარის ამ მრუდის გამრუდება, კ ნ- მისი ნორმალური მონაკვეთის გამრუდება იგივე ტანგენტით.

გეოდეზიური ხაზები ეხება შიდა გეომეტრიას. ჩვენ ჩამოვთვლით მათ ძირითად თვისებებს.

• ერთი და მხოლოდ ერთი გეოდეზიური გადის ზედაპირზე მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით.
• ზედაპირის საკმარისად მცირე ფართობზე ორი წერტილი ყოველთვის შეიძლება იყოს დაკავშირებული გეოდეზიურით და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი. ახსნა: სფეროზე საპირისპირო პოლუსები დაკავშირებულია მერიდიანების უსასრულო რაოდენობით და ორი ახლო წერტილი შეიძლება იყოს დაკავშირებული არა მხოლოდ დიდი წრის სეგმენტით, არამედ მისი სრულ წრესთან დამატებით, ასე რომ, უნიკალურობა მხოლოდ შეინიშნება. პატარაში.
• გეოდეზიური ყველაზე მოკლეა. უფრო მკაცრად: ზედაპირის მცირე ნაწილზე, მოცემულ წერტილებს შორის უმოკლესი გზა დევს გეოდეზიის გასწვრივ.

მოედანი

ზედაპირის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ატრიბუტი არის მისი კვადრატი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით: