ამოცანები, რომელთა გადაწყვეტაც არის ლოგარითმული გამონათქვამების კონვერტაცია, საკმაოდ ხშირად გვხვდება გამოცდაზე.

იმისათვის, რომ წარმატებით გაუმკლავდეთ მათ დროის მინიმალურ ხარჯვას, ძირითადი ლოგარითმული იდენტობების გარდა, აუცილებელია იცოდეთ და სწორად გამოიყენოთ კიდევ რამდენიმე ფორმულა.

ეს არის: a log a b = b, სადაც a, b > 0, a ≠ 1 (ეს პირდაპირ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან).

log a b = log c b / log c a ან log a b = 1/log b a
სადაც a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |ბ|
სადაც a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
სადაც a, b, c > 0 და a, b, c ≠ 1

მეოთხე ტოლობის მართებულობის საჩვენებლად ვიღებთ a ფუძეში მარცხენა და მარჯვენა მხარის ლოგარითმს. ვიღებთ log a (a log c b) = log a (b log c a) ან log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); შესვლა b = შესვლა b-ით.

ჩვენ დავამტკიცეთ ლოგარითმების ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ლოგარითმების ქვეშ გამოსახულებებიც ტოლია. ფორმულა 4 დადასტურებულია.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ 81 log 27 5 log 5 4 .

გადაწყვეტილება.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. ამიტომ,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

შემდეგ 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

თქვენ შეგიძლიათ თავად შეასრულოთ შემდეგი დავალება.

გამოთვალეთ (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.

როგორც მინიშნება, 0.2 = 1/5 = 5 -1; ჟურნალი 0.2 5 = -1.

პასუხი: 5.

მაგალითი 2

გამოთვლა (√11) ჟურნალი √3 9 ლოგი 121 81 .

გადაწყვეტილება.

მოდით შევცვალოთ გამონათქვამები: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, ჟურნალი 121 81 = 2 ჟურნალი 11 3 (გამოყენებული იყო ფორმულა 3).

შემდეგ (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ჟურნალი 2 24 / ჟურნალი 96 2 - ჟურნალი 2 192 / ჟურნალი 12 2.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ შევცვლით მაგალითში მოცემულ ლოგარითმებს ლოგარითმებით მე-2 ფუძით.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

ჟურნალი 2 192 = ჟურნალი 2 (2 6 3) = (ლოგი 2 2 6 + ჟურნალი 2 3) = (6 + ჟურნალი 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

შემდეგ log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + ჟურნალი 2 3)) =

= (3 + ჟურნალი 2 3) (5 + ჟურნალი 2 3) – (6 + ჟურნალი 2 3) (2 + ჟურნალი 2 3).

ფრჩხილების გახსნის და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3. (გამოსახულების გამარტივებისას log 2 3 შეიძლება აღვნიშნოთ n-ით და გავამარტივოთ გამოხატულება

(3 + n) (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).

პასუხი: 3.

თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი დამოუკიდებლად:

გამოთვლა (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

აქ აუცილებელია ლოგარითმებზე გადასვლა მე-3 ბაზაზე და დაშლა დიდი რიცხვების პირველ ფაქტორებად.

პასუხი: 1/2

მაგალითი 4

მოცემულია სამი რიცხვი A \u003d 1 / (log 3 0.5), B \u003d 1 / (log 0.5 3), C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. დაალაგეთ ისინი ზრდადი თანმიმდევრობით.

გადაწყვეტილება.

მოდით გადავცვალოთ რიცხვები A \u003d 1 / (log 3 0.5) \u003d log 0.5 3; C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3 \u003d log 0.5 12/3 \u003d log 0.5 4 \u003d -2.

მოდით შევადაროთ ისინი

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 და log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

ან 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

უპასუხე. მაშასადამე, რიცხვების განლაგების თანმიმდევრობა: C; მაგრამ; AT.

მაგალითი 5

რამდენი მთელი რიცხვია ინტერვალში (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

გადაწყვეტილება.

მოდით განვსაზღვროთ, თუ რა ძალებს შორისაა რიცხვი 3 რიცხვი 1/16. ჩვენ ვიღებთ 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

ვინაიდან ფუნქცია y \u003d log 3 x იზრდება, მაშინ log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). შეადარეთ ჟურნალი 6 (4/3) და 1/5. ამისათვის ჩვენ შევადარებთ რიცხვებს 4/3 და 6 1/5. აწიეთ ორივე რიცხვი მე-5 ხარისხამდე. ჩვენ ვიღებთ (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

ჟურნალი 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

აქედან გამომდინარე, ინტერვალი (log 3 1 / 16 ; log 6 48) მოიცავს ინტერვალს [-2; 4] და მასზე მოთავსებულია მთელი რიცხვები -2; - ერთი; 0; ერთი; 2; 3; 4.

პასუხი: 7 მთელი რიცხვი.

მაგალითი 6

გამოთვალეთ 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

გადაწყვეტილება.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

შემდეგ 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

პასუხი: -1.

მაგალითი 7

ცნობილია, რომ log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. იპოვეთ ჟურნალი 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

გადაწყვეტილება.

ნომრები (√3 + 1) და (√3 - 1); (√6 - 2) და (√6 + 2) კონიუგატებია.

მოდით განვახორციელოთ გამონათქვამების შემდეგი ტრანსფორმაცია

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

შემდეგ ჟურნალი 2 (√3 – 1) + ჟურნალი 2 (√6 + 2) = ჟურნალი 2 (2/(√3 + 1)) + ჟურნალი 2 (2/(√6 – 2)) =

ჟურნალი 2 2 – ჟურნალი 2 (√3 + 1) + ჟურნალი 2 2 – ჟურნალი 2 (√6 – 2) = 1 – ჟურნალი 2 (√3 + 1) + 1 – ჟურნალი 2 (√6 – 2) =

2 - ჟურნალი 2 (√3 + 1) - ჟურნალი 2 (√6 - 2) = 2 - ა.

პასუხი: 2 - ა.

მაგალითი 8.

გაამარტივეთ და იპოვეთ გამოხატვის სავარაუდო მნიშვნელობა (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ყველა ლოგარითმს ვამცირებთ საერთო ფუძემდე 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (lg 2-ის სავარაუდო მნიშვნელობა შეგიძლიათ იხილოთ ცხრილის, სლაიდების წესის ან კალკულატორის გამოყენებით).

პასუხი: 0.3010.

მაგალითი 9.

გამოთვალეთ log a 2 b 3 √(a 11 b -3), თუ log √ a b 3 = 1. (ამ მაგალითში, a 2 b 3 არის ლოგარითმის საფუძველი).

გადაწყვეტილება.

თუ log √ a b 3 = 1, მაშინ 3/(0.5 log a b = 1. და log a b = 1/6.

შემდეგ ჩაწერეთ a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a 11 + log a b -3) / (2(log a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) რომ log და b = 1/6 ვიღებთ (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

პასუხი: 2.1.

თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი დამოუკიდებლად:

გამოთვალეთ ჟურნალი √3 6 √2.1 თუ ჟურნალი 0.7 27 = a.

პასუხი: (3 + ა) / (3ა).

მაგალითი 10

გამოთვალეთ 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

გადაწყვეტილება.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (ფორმულა 4))

ჩვენ ვიღებთ 9 + 6 = 15.

პასუხი: 15.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ იპოვოთ ლოგარითმული გამოხატვის მნიშვნელობა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ლოგარითმული გამონათქვამები, მაგალითების ამოხსნა. ამ სტატიაში განვიხილავთ ლოგარითმების ამოხსნასთან დაკავშირებულ პრობლემებს. ამოცანები სვამს კითხვას გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმის კონცეფცია გამოიყენება ბევრ ამოცანაში და ძალიან მნიშვნელოვანია მისი მნიშვნელობის გაგება. რაც შეეხება USE-ს, ლოგარითმი გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას, გამოყენებითი ამოცანებისას და ასევე ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებულ ამოცანებში.

აქ მოცემულია მაგალითები ლოგარითმის მნიშვნელობის გასაგებად:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ:

*ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ფაქტორების ლოგარითმების ჯამის.

* * *

* კოეფიციენტის (წილადის) ლოგარითმი ტოლია ფაქტორების ლოგარითმების სხვაობის.

* * *

* ხარისხის ლოგარითმი ტოლია მაჩვენებლისა და მისი ფუძის ლოგარითმის ნამრავლის.

* * *

* ახალ ბაზაზე გადასვლა

* * *

მეტი თვისებები:

* * *

ლოგარითმების გამოთვლა მჭიდრო კავშირშია ექსპონენტების თვისებების გამოყენებასთან.

ჩვენ ჩამოვთვლით ზოგიერთ მათგანს:

ამ თვისების არსი ის არის, რომ მრიცხველის მნიშვნელზე გადატანისას და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. Მაგალითად:

ამ ქონების შედეგი:

* * *

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება.

* * *

როგორც ხედავთ, ლოგარითმის კონცეფცია მარტივია. მთავარია კარგი პრაქტიკა იყოს საჭირო, რაც გარკვეულ უნარს იძლევა. რა თქმა უნდა, ფორმულების ცოდნა სავალდებულოა. თუ ელემენტარული ლოგარითმების გარდაქმნის უნარი არ არის ჩამოყალიბებული, მაშინ მარტივი ამოცანების ამოხსნისას შეიძლება ადვილად დაუშვათ შეცდომა.

ივარჯიშეთ, ჯერ მათემატიკის კურსიდან ამოხსენით უმარტივესი მაგალითები, შემდეგ გადადით უფრო რთულებზე. სამომავლოდ აუცილებლად ვაჩვენებ, როგორ იხსნება "მახინჯი" ლოგარითმები, გამოცდაზე ასეთი არ იქნება, მაგრამ საინტერესოა, არ გამოტოვოთ!

Სულ ეს არის! Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

ჩამოთვლილი თანასწორობები ლოგარითმებით გამონათქვამების კონვერტაციისას გამოიყენება როგორც მარჯვნიდან მარცხნივ, ასევე მარცხნიდან მარჯვნივ.

აღსანიშნავია, რომ არ არის აუცილებელი თვისებების შედეგების დამახსოვრება: გარდაქმნების განხორციელებისას შეგიძლიათ გაეცნოთ ლოგარითმების ძირითად თვისებებს და სხვა ფაქტებს (მაგალითად, b≥0), საიდანაც შესაბამისია. შედეგები მოჰყვება. ამ მიდგომის "გვერდითი ეფექტი" მხოლოდ ის არის, რომ გამოსავალი ცოტათი გრძელი იქნება. მაგალითად, იმისათვის, რომ გავაკეთოთ შედეგის გარეშე, რაც გამოიხატება ფორმულით და მხოლოდ ლოგარითმების ძირითადი თვისებებიდან დაწყებული, თქვენ მოგიწევთ შემდეგი ფორმის გარდაქმნების ჯაჭვის განხორციელება: .

იგივე შეიძლება ითქვას ზემოაღნიშნული სიიდან ბოლო თვისებაზე, რომელიც შეესაბამება ფორმულას , ვინაიდან ის ასევე გამომდინარეობს ლოგარითმების ძირითადი თვისებებიდან. მთავარია გავიგოთ, რომ ყოველთვის შესაძლებელია დადებითი რიცხვის ხარისხი, რომელსაც აქვს ლოგარითმი მაჩვენებელში, შეცვალოს ხარისხის საფუძველი და რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. სამართლიანობისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მაგალითები, რომლებიც დაკავშირებულია ამ ტიპის ტრანსფორმაციების განხორციელებასთან, პრაქტიკაში იშვიათია. ქვემოთ მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს.

რიცხვითი გამონათქვამების გადაქცევა ლოგარითმებით

ჩვენ გავიხსენეთ ლოგარითმების თვისებები, ახლა დროა ვისწავლოთ როგორ გამოვიყენოთ ისინი პრაქტიკაში გამონათქვამების გარდაქმნისთვის. ბუნებრივია, რომ დავიწყოთ რიცხვითი გამონათქვამების ტრანსფორმაციით და არა ცვლადებით გამოსახულებებით, რადგან უფრო მოსახერხებელი და მარტივია მათზე საფუძვლების სწავლა. ასე რომ, ჩვენ ამას გავაკეთებთ და დავიწყებთ ძალიან მარტივი მაგალითებით, რათა ვისწავლოთ როგორ ავირჩიოთ ლოგარითმის სასურველი თვისება, მაგრამ თანდათან გავართულებთ მაგალითებს, იქამდე, სანამ რამდენიმე თვისების გამოყენება დაგჭირდებათ. მწკრივი საბოლოო შედეგის მისაღებად.

ლოგარითმების სასურველი თვისების შერჩევა

ლოგარითმების თვისებები არც თუ ისე ცოტაა და გასაგებია, რომ მათგან შესაბამისის არჩევის საშუალება უნდა გქონდეთ, რაც ამ კონკრეტულ შემთხვევაში სასურველ შედეგამდე მიგვიყვანს. როგორც წესი, ამის გაკეთება რთული არ არის ლოგარითმის ან გამოსახულებების ფორმის შედარება ფორმულების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ტიპებთან, რომლებიც გამოხატავენ ლოგარითმების თვისებებს. თუ რომელიმე ფორმულის მარცხენა ან მარჯვენა მხარე ემთხვევა მოცემულ ლოგარითმს ან გამონათქვამს, მაშინ დიდი ალბათობით სწორედ ეს თვისება უნდა იქნას გამოყენებული ტრანსფორმაციის დროს. შემდეგი მაგალითები ნათლად აჩვენებს ამას.

დავიწყოთ გამონათქვამების გარდაქმნის მაგალითებით ლოგარითმის განმარტების გამოყენებით, რომელიც შეესაბამება ფორმულას a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

მაგალითი.

გამოთვალეთ, თუ შესაძლებელია: ა) 5 log 5 4 , ბ) 10 log (1+2 π) , გ) , დ) 2 log 2 (−7) , e) .

გადაწყვეტილება.

მაგალითში ასო a) ნათლად აჩვენებს სტრუქტურას a log a b, სადაც a=5, b=4. ეს რიცხვები აკმაყოფილებს a>0, a≠1, b>0 პირობებს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გამოიყენოთ ტოლობა a log a b =b. გვაქვს 5 ჟურნალი 5 4=4 .

ბ) აქ a=10 , b=1+2 π , პირობები a>0 , a≠1 , b>0 შესრულებულია. ამ შემთხვევაში ხდება ტოლობა 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

გ) და ამ მაგალითში საქმე გვაქვს a log a b ფორმის ხარისხთან, სადაც და b=ln15. Ისე .

მიუხედავად იმისა, რომ მიეკუთვნება იგივე ფორმას a log a b (აქ a=2 , b=−7 ), ასო d) გამოსახულება არ შეიძლება გარდაიქმნას a log a b =b ფორმულით. მიზეზი ის არის, რომ მას არ აქვს აზრი, რადგან შეიცავს უარყოფით რიცხვს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. მეტიც, რიცხვი b=−7 არ აკმაყოფილებს b>0 პირობას, რაც შეუძლებელს ხდის a log a b =b ფორმულის გამოყენებას, ვინაიდან ის მოითხოვს a>0, a≠1, b>0 პირობებს. ასე რომ, ჩვენ არ შეგვიძლია ვისაუბროთ მნიშვნელობის გამოთვლაზე 2 log 2 (−7) . ამ შემთხვევაში 2 log 2 (−7) = −7 ჩაწერა შეცდომა იქნება.

ანალოგიურად, ე) ასოს ქვეშ არსებულ მაგალითში შეუძლებელია ფორმის ამოხსნის მიცემა , რადგან ორიგინალურ გამოთქმას აზრი არ აქვს.

პასუხი:

ა) 5 log 5 4 =4, ბ) 10 log (1+2 π) =1+2 π , გ) , დ), ე) გამოთქმებს აზრი არ აქვს.

ხშირად სასარგებლოა დადებითი რიცხვის გადაქცევა, როგორც პოზიტიური არაერთი რიცხვის ხარისხში, მაჩვენებელში ლოგარითმით. იგი ეფუძნება ლოგარითმის იგივე განმარტებას a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , მაგრამ ფორმულა გამოიყენება მარჯვნიდან მარცხნივ, ანუ b=a log a b სახით. მაგალითად, 3=e ln3 ან 5=5 log 5 5 .

მოდით გადავიდეთ ლოგარითმების თვისებების გამოყენებაზე გამონათქვამების გარდაქმნისთვის.

მაგალითი.

იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: ა) log −2 1, ბ) log 1 1, გ) log 0 1, დ) log 7 1, ე) ln1, ვ) lg1, გ) log 3.75 1, თ) log 5 π 7 1 .

გადაწყვეტილება.

ა), ბ) და გ ასოების მაგალითებში მოცემულია გამოთქმები log −2 1 , log 1 1 , log 0 1, რომლებსაც აზრი არ აქვს, რადგან ლოგარითმის ფუძე არ უნდა შეიცავდეს უარყოფით რიცხვს. ნული ან ერთი, რადგან ლოგარითმი განვსაზღვრეთ მხოლოდ დადებითი და არაერთეულოვანი ფუძისთვის. მაშასადამე, ა) - გ) მაგალითებში არ შეიძლება დადგეს გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა.

ყველა სხვა ამოცანებში, ცხადია, ლოგარითმების ფუძეებში არის დადებითი და არაერთეულოვანი რიცხვები შესაბამისად 7, e, 10, 3.75 და 5 π 7, ხოლო ერთეულები ყველგან ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ არიან. ჩვენ ვიცით ერთიანობის ლოგარითმის თვისება: log a 1=0 ნებისმიერი a>0 , a≠1 . ამრიგად, ბ) - ვ) გამონათქვამების მნიშვნელობები ნულის ტოლია.

პასუხი:

ა), ბ), გ) გამოთქმებს აზრი არ აქვს, დ) log 7 1=0, ე) ln1=0, ვ) log1=0, გ) log 3.75 1=0, თ) log 5 e 7 1 =0.

მაგალითი.

გამოთვალეთ: ა) , ბ) lne , გ) lg10 , დ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), ე) log −3 (−3) , ვ) log 1 1 .

გადაწყვეტილება.

გასაგებია, რომ ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფუძის ლოგარითმის თვისება, რომელიც შეესაბამება ფორმულას log a=1 a>0, a≠1-ისთვის. მართლაც, ყველა ასოს დავალებაში, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს. ამრიგად, დაუყოვნებლივ მინდა ვთქვა, რომ თითოეული მოცემული გამონათქვამის მნიშვნელობა არის 1. ამასთან, ნუ იჩქარებთ დასკვნების გამოტანას: ა) - დ) ასოების ქვეშ მყოფ ამოცანებში გამონათქვამების მნიშვნელობები ნამდვილად უდრის ერთს, ხოლო ამოცანებში ე) და ვ) თავდაპირველ გამონათქვამებს აზრი არ აქვს, ამიტომ არ შეიძლება. შეიძლება ითქვას, რომ ამ გამონათქვამების მნიშვნელობები უდრის 1-ს.

პასუხი:

ა) , ბ) lne=1, გ) lg10=1, დ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, ე), ვ) გამოთქმებს აზრი არ აქვს.

მაგალითი.

იპოვეთ მნიშვნელობა: ა) log 3 3 11 , ბ) , გ) , დ) ლოგი −10 (−10) 6 .

გადაწყვეტილება.

ცხადია, ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ არის ფუძის გარკვეული ხარისხი. ამის საფუძველზე ჩვენ გვესმის, რომ ფუძის ხარისხის თვისება აქ სასარგებლოა: log a a p =p, სადაც a>0, a≠1 და p არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამის გათვალისწინებით, გვაქვს შემდეგი შედეგები: ა) log 3 3 11 =11 , ბ) , შიგნით) . შესაძლებელია თუ არა მაგალითისთვის მსგავსი ტოლობის დაწერა log −10 (−10) 6 =6 დ) ასოს ქვეშ? არა, არ შეგიძლია, რადგან log −10 (−10) 6 აზრი არ აქვს.

პასუხი:

ა) ჟურნალი 3 3 11 =11, ბ) , შიგნით) დ) გამოთქმას აზრი არ აქვს.

მაგალითი.

გამოხატეთ გამოთქმა იმავე ფუძის ლოგარითმების ჯამის ან სხვაობის სახით: ა) , ბ) , გ) log((−5) (−12)) .

გადაწყვეტილება.

ა) ნამრავლი არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ჩვენ ვიცით ნამრავლის ლოგარითმის თვისება log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . ჩვენს შემთხვევაში, რიცხვი ლოგარითმის საფუძველში და რიცხვები ნამრავლში დადებითია, ანუ ისინი აკმაყოფილებენ არჩეული თვისების პირობებს, შესაბამისად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გამოვიყენოთ იგი: .

ბ) აქ ვიყენებთ კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისებას, სადაც a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . ჩვენს შემთხვევაში, ლოგარითმის საფუძველი არის დადებითი რიცხვი e, მრიცხველი და მნიშვნელი π დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ისინი აკმაყოფილებენ თვისების პირობებს, ამიტომ ჩვენ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ არჩეული ფორმულა: .

გ) პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულებას lg((−5) (−12)) აქვს აზრი. მაგრამ ამავე დროს, ჩვენ არ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ ნაწარმოების ლოგარითმის ფორმულა log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , ვინაიდან −5 და −12 რიცხვები უარყოფითია და არ აკმაყოფილებს x>0 , y>0 პირობებს. ანუ შეუძლებელია ასეთი ტრანსფორმაციის განხორციელება: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). მაგრამ რა უნდა გააკეთოს? ასეთ შემთხვევებში, ორიგინალური გამოხატულება წინასწარ უნდა გარდაიქმნას უარყოფითი რიცხვების თავიდან ასაცილებლად. ჩვენ დეტალურად ვისაუბრებთ უარყოფითი რიცხვებით გამონათქვამების გადაქცევის მსგავს შემთხვევებზე ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ერთ-ერთში, მაგრამ ახლა ჩვენ მივცემთ ამ მაგალითს, რომელიც წინასწარ ნათელია და ახსნის გარეშე: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

პასუხი:

ა) , ბ) , გ) lg((−5) (−12))=lg5+lg12.

მაგალითი.

გაამარტივეთ გამოთქმა: ა) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, ბ) .

გადაწყვეტილება.

აქ დაგვეხმარება პროდუქტის ლოგარითმის ყველა იგივე თვისება და კოეფიციენტის ლოგარითმი, რომელიც გამოვიყენეთ წინა მაგალითებში, მხოლოდ ახლა გამოვიყენებთ მათ მარჯვნიდან მარცხნივ. ანუ ლოგარითმების ჯამს გადავიყვანთ ნამრავლის ლოგარითმში, ხოლო ლოგარითმების სხვაობას კოეფიციენტის ლოგარითმში. Ჩვენ გვაქვს
ა) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
ბ) .

პასუხი:

ა) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2, ბ) .

მაგალითი.

მოიშორეთ ხარისხი ლოგარითმის ნიშნით: ა) log 0.7 5 11, ბ) , გ) log 3 (−5) 6 .

გადაწყვეტილება.

ადვილი მისახვედრია, რომ საქმე გვაქვს გამონათქვამებთან, როგორიცაა log a b p. ლოგარითმის შესაბამისი თვისებაა log a b p =p log a b , სადაც a>0 , a≠1 , b>0 , p არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ანუ a>0 , a≠1 , b>0 log a b p ხარისხების ლოგარითმიდან შეიძლება გადავიდეთ p·log a b ნამრავლზე. განვახორციელოთ ეს ტრანსფორმაცია მოცემული გამონათქვამებით.

ა) ამ შემთხვევაში a=0.7 , b=5 და p=11 . ასე რომ log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 .

ბ) აქ შესრულებულია პირობები a>0, a≠1, b>0. Ისე

გ) გამონათქვამს log 3 (−5) 6 აქვს იგივე აგებულება log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . მაგრამ b-სთვის პირობა b>0 არ არის დაკმაყოფილებული, რაც შეუძლებელს ხდის ფორმულის გამოყენებას log a b p =p log a b . მაშ, რატომ ვერ ასრულებთ საქმეს? შესაძლებელია, მაგრამ საჭიროა გამონათქვამის წინასწარი ტრანსფორმაცია, რომელსაც დეტალურად განვიხილავთ ქვემოთ აბზაცში სათაურის ქვეშ. გამოსავალი იქნება ასეთი: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

პასუხი:

ა) log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5,
ბ)
გ) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

ხშირად, გარდაქმნების განხორციელებისას ხარისხის ლოგარითმის ფორმულა უნდა იქნას გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ სახით p log a b \u003d log a b p (ამისთვის საჭიროა იგივე პირობები a, b და p). მაგალითად, 3 ln5=ln5 3 და lg2 log 2 3=log 2 3 lg2.

მაგალითი.

ა) გამოთვალეთ log 2 5-ის მნიშვნელობა, თუ ცნობილია, რომ lg2≈0.3010 და lg5≈0.6990. ბ) დაწერეთ წილადი ლოგარითმის სახით მე-3 ფუძემდე.

გადაწყვეტილება.

ა) ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ ეს ლოგარითმი, როგორც ათობითი ლოგარითმების თანაფარდობა, რომელთა მნიშვნელობები ჩვენთვის ცნობილია: . რჩება მხოლოდ გათვლების განხორციელება, გვაქვს .

ბ) აქ საკმარისია გამოვიყენოთ ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა და გამოიყენოთ იგი მარჯვნიდან მარცხნივ, ანუ ფორმაში . ვიღებთ .

პასუხი:

ა) log 2 5≈2.3223, ბ) .

ამ ეტაპზე ჩვენ საკმაოდ სკრუპულოზურად განვიხილეთ უმარტივესი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ლოგარითმების ძირითადი თვისებებისა და ლოგარითმის განმარტების გამოყენებით. ამ მაგალითებში ჩვენ უნდა გამოგვეყენებინა ერთი ქონება და სხვა არაფერი. ახლა, სუფთა სინდისით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ მაგალითებზე, რომელთა ტრანსფორმაცია მოითხოვს ლოგარითმების რამდენიმე თვისების გამოყენებას და სხვა დამატებით გარდაქმნებს. მათ შემდეგ აბზაცში შევეხებით. მანამდე კი მოკლედ ვისაუბროთ ლოგარითმების ძირითადი თვისებების შედეგების გამოყენების მაგალითებზე.

მაგალითი.

ა) მოიშორეთ ფესვი ლოგარითმის ნიშნით. ბ) წილადის გადაქცევა ფუძე 5 ლოგარითმად. გ) მოიშორეთ ძალაუფლებები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ფუძეზე. დ) გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა . ე) გამოთქმა ჩაანაცვლეთ 3-იანი ფუძით.

გადაწყვეტილება.

ა) თუ გავიხსენებთ დასკვნას ხარისხის ლოგარითმის თვისებიდან მაშინვე შეგიძლიათ უპასუხოთ: .

ბ) აქ ვიყენებთ ფორმულას მარჯვნიდან მარცხნივ გვაქვს .

გ) ამ შემთხვევაში ფორმულა იწვევს შედეგს . ვიღებთ .

დ) და აქ საკმარისია გამოვიყენოთ დასკვნა, რომელსაც შეესაბამება ფორმულა . Ისე .

ე) ლოგარითმის თვისება საშუალებას გვაძლევს მივაღწიოთ სასურველ შედეგს: .

პასუხი:

ა) . ბ) . in) . გ) . ე) .

მრავალი თვისების თანმიმდევრული გამოყენება

ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით გამონათქვამების გარდაქმნის რეალური ამოცანები ჩვეულებრივ უფრო რთულია, ვიდრე წინა აბზაცში განხილული. მათში, როგორც წესი, შედეგი არ მიიღება ერთი ნაბიჯით, მაგრამ გამოსავალი უკვე შედგება ერთი თვისების თანმიმდევრული გამოყენებაში მეორის მიყოლებით, დამატებით იდენტურ გარდაქმნებთან ერთად, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების შემცირება, წილადების შემცირება და ა.შ. . მოდით უფრო ახლოს მივუდგეთ ასეთ მაგალითებს. ამაში არაფერია რთული, მთავარია ვიმოქმედოთ ფრთხილად და თანმიმდევრულად, დაიცვან მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა.

მაგალითი.

გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

გადაწყვეტილება.

ფრჩხილებში ლოგარითმების სხვაობა კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისებით შეიძლება შეიცვალოს ლოგარითმის log 3 (15:5) , და შემდეგ გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობა log 3 (15:5)=log 3 3=1 . ხოლო გამოხატვის 7 log 7 5 მნიშვნელობა ლოგარითმის განმარტებით არის 5 . ამ შედეგების ორიგინალურ გამოსახულებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

აქ არის გამოსავალი ახსნა-განმარტების გარეშე:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= ჟურნალი 3 3 5=1 5=5 .

პასუხი:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

მაგალითი.

რა არის რიცხვითი გამოხატვის log 3 log 2 2 3 −1 მნიშვნელობა?

გადაწყვეტილება.

ჯერ გადავცვალოთ ლოგარითმი, რომელიც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება, ხარისხის ლოგარითმის ფორმულის მიხედვით: log 2 2 3 =3. ასე რომ log 3 log 2 2 3 =log 3 3 და შემდეგ log 3 3=1 . ასე რომ log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

პასუხი:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

მაგალითი.

გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება.

ლოგარითმის ახალ ფუძეზე გადაყვანის ფორმულა იძლევა საშუალებას, რომ ლოგარითმების თანაფარდობა ერთ ფუძესთან იყოს log 3 5 . ამ შემთხვევაში, ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს ფორმას. ლოგარითმის განმარტებით 3 log 3 5 =5 , ანუ , და მიღებული გამოხატვის მნიშვნელობა, ლოგარითმის იგივე განმარტების ძალით, უდრის ორს.

აქ არის გადაწყვეტის მოკლე ვერსია, რომელიც ჩვეულებრივ მოცემულია: .

პასუხი:

.

შემდეგი აბზაცის ინფორმაციაზე შეუფერხებლად გადასვლისთვის, მოდით შევხედოთ გამონათქვამებს 5 2+log 5 3 და lg0.01. მათი სტრუქტურა არ შეესაბამება ლოგარითმების არცერთ თვისებას. რა მოხდება, თუ მათი გარდაქმნა შეუძლებელია ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით? შესაძლებელია, თუ განახორციელებთ წინასწარ გარდაქმნებს, რომლებიც ამზადებენ ამ გამონათქვამებს ლოგარითმების თვისებების გამოსაყენებლად. Ისე 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, და lg0,01=lg10 −2 = −2 . შემდგომ ჩვენ დეტალურად გავიგებთ, თუ როგორ ხდება გამონათქვამების ასეთი მომზადება.

გამონათქვამების მომზადება ლოგარითმების თვისებების გამოსაყენებლად

გარდაქმნილ გამოსახულებაში ლოგარითმები ძალიან ხშირად განსხვავდება აღნიშვნის სტრუქტურაში ფორმულების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებისგან, რომლებიც შეესაბამება ლოგარითმების თვისებებს. მაგრამ ისევე ხშირად, ამ გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გულისხმობს ლოგარითმების თვისებების გამოყენებას: მათი გამოყენება მხოლოდ წინასწარ მომზადებას მოითხოვს. და ეს მომზადება მოიცავს გარკვეული იდენტური გარდაქმნების განხორციელებას, რომლებიც ლოგარითმებს მოაქვს თვისებების გამოსაყენებლად მოსახერხებელ ფორმამდე.

სამართლიანობისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გამონათქვამების თითქმის ნებისმიერი ტრანსფორმაცია შეიძლება იმოქმედოს როგორც წინასწარი გარდაქმნები, მსგავსი ტერმინების ბანალური შემცირებიდან ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებამდე. ეს გასაგებია, რადგან გარდაქმნილი გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ მათემატიკურ ობიექტს: ფრჩხილებს, მოდულებს, წილადებს, ფესვებს, გრადუსებს და ა.შ. ამრიგად, ადამიანი მზად უნდა იყოს ნებისმიერი საჭირო ტრანსფორმაციის შესასრულებლად, რათა შემდგომ ისარგებლოს ლოგარითმების თვისებებით.

მოდით, დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ ამ განყოფილებაში ჩვენ არ დავსვათ დავალება, დავახარისხოთ და გავაანალიზოთ ყველა სავარაუდო წინასწარი ტრანსფორმაცია, რომელიც საშუალებას მოგვცემს გამოვიყენოთ ლოგარითმის თვისებები ან ლოგარითმის განმარტება მომავალში. აქ მხოლოდ ოთხ მათგანზე გავამახვილებთ ყურადღებას, რომლებიც ყველაზე დამახასიათებელი და პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გვხვდება.

ახლა კი დეტალურად თითოეული მათგანის შესახებ, რის შემდეგაც, ჩვენი თემის ფარგლებში, რჩება მხოლოდ გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ცვლადებით ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ.

ძალაუფლების შერჩევა ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაში

დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით. მოდით გვქონდეს ლოგარითმი. ცხადია, ამ ფორმით, მისი სტრუქტურა არ უწყობს ხელს ლოგარითმების თვისებების გამოყენებას. შესაძლებელია თუ არა ამ გამოთქმის როგორმე ტრანსფორმირება მისი გამარტივების მიზნით, ან კიდევ უკეთ გამოთვალოს მისი მნიშვნელობა? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ნომრებს 81 და 1/9 ჩვენი მაგალითის კონტექსტში. აქ ადვილი მისახვედრია, რომ ეს რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 3-ის ხარისხად, მართლაც, 81=3 4 და 1/9=3 −2. ამ შემთხვევაში ორიგინალური ლოგარითმი წარმოდგენილია სახით და შესაძლებელი ხდება ფორმულის გამოყენება . Ისე, .

გაანალიზებული მაგალითის ანალიზი წარმოშობს შემდეგ იდეას: თუ ეს შესაძლებელია, შეგიძლიათ სცადოთ ხაზგასმით აღვნიშნოთ ხარისხი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაზე, რათა გამოიყენოთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება ან მისი შედეგი. რჩება მხოლოდ იმის გარკვევა, თუ როგორ უნდა გამოვყოთ ეს ხარისხი. ჩვენ მივცემთ რამდენიმე რეკომენდაციას ამ საკითხთან დაკავშირებით.

ზოგჯერ სავსებით აშკარაა, რომ რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და/ან მის ბაზაში წარმოადგენს გარკვეულ მთელ ძალას, როგორც ზემოთ განხილულ მაგალითში. თითქმის მუდმივად გექნებათ საქმე ორი ძალებთან, რომლებიც კარგად არის ნაცნობი: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . იგივე შეიძლება ითქვას სამეულის ხარისხებზე: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... ზოგადად, არ მტკივა თუ არის ნატურალური რიცხვების ძალაუფლების ცხრილიათი ფარგლებში. ასევე არ არის რთული ათი, ასეული, ათასი და ა.შ.

მაგალითი.

გამოთვალეთ მნიშვნელობა ან გაამარტივეთ გამოთქმა: ა) log 6 216 , ბ) , გ) log 0,000001 0,001 .

გადაწყვეტილება.

ა) ცხადია, 216=6 3, ამიტომ log 6 216=log 6 6 3 =3.

ბ) ნატურალური რიცხვების ხარისხების ცხრილი საშუალებას გვაძლევს 343 და 1/243 რიცხვები წარმოვადგინოთ შესაბამისად 7 3 და 3 −4 ხარისხებად. ამრიგად, შესაძლებელია მოცემული ლოგარითმის შემდეგი ტრანსფორმაცია:

გ) ვინაიდან 0,000001=10 −6 და 0,001=10 −3, მაშინ log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

პასუხი:

ა) log 6 216=3, ბ) , გ) ლოგი 0,000001 0,001=1/2 .

უფრო რთულ შემთხვევებში, რიცხვების ძალების ხაზგასასმელად, თქვენ უნდა მიმართოთ.

მაგალითი.

შეცვალეთ გამოხატვა უფრო მარტივი ფორმით log 3 648 log 2 3 .

გადაწყვეტილება.

ვნახოთ, რა არის 648 რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად:

ანუ 648=2 3 3 4 . ამრიგად, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

ახლა ჩვენ გადავიყვანთ პროდუქტის ლოგარითმს ლოგარითმების ჯამში, რის შემდეგაც ვიყენებთ ხარისხის ლოგარითმის თვისებებს:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 ჟურნალი 3 2+4) ჟურნალი 2 3 .

ხარისხის ლოგარითმის თვისების დასკვნის საფუძველზე, რომელიც შეესაბამება ფორმულას , პროდუქტი log32 log23 არის პროდუქტი და ცნობილია, რომ ტოლია ერთი. ამის გათვალისწინებით მივიღებთ 3 ჟურნალი 3 2 ჟურნალი 2 3+4 ჟურნალი 2 3=3 1+4 ჟურნალი 2 3=3+4 ჟურნალი 2 3.

პასუხი:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

ხშირად, გამონათქვამები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ფუძეში არის ზოგიერთი რიცხვის ფესვების ან/და სიძლიერის პროდუქტები ან თანაფარდობები, მაგალითად, , . მსგავსი გამონათქვამები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ხარისხით. ამისათვის ხდება ფესვებიდან ხარისხებამდე გადასვლა და გამოიყენება. ეს გარდაქმნები საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ გრადუსები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაში, შემდეგ კი გამოიყენოთ ლოგარითმის თვისებები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ: ა) , ბ).

გადაწყვეტილება.

ა) ლოგარითმის საფუძველში გამოსახულება არის იგივე ფუძეების მქონე ძალების ნამრავლი, ჩვენ გვაქვს ძალაუფლების შესაბამისი თვისებით. 5 2 5 −0.5 5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

ახლა გადავიყვანოთ წილადი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ: გადავიტანოთ ფესვიდან ხარისხზე, რის შემდეგაც გამოვიყენებთ გრადუსთა თანაფარდობის თვისებას იმავე საფუძვლებით: .

რჩება მიღებული შედეგების ორიგინალურ გამოხატულებაში ჩანაცვლება, გამოიყენეთ ფორმულა და დაასრულეთ ტრანსფორმაცია:

ბ) ვინაიდან 729=3 6 , და 1/9=3 −2 , ორიგინალური გამოხატულება შეიძლება გადაიწეროს როგორც .

შემდეგ გამოიყენეთ მაჩვენებლის ფესვის თვისება, გადადით ფესვიდან მაჩვენებელზე და გამოიყენეთ ხარისხების თანაფარდობის თვისება ლოგარითმის ფუძის ხარისხად გადასაყვანად: .

ბოლო შედეგის გათვალისწინებით გვაქვს .

პასუხი:

ა) , ბ).

ნათელია, რომ ზოგადად, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაზე ძალების მისაღებად, შეიძლება საჭირო გახდეს სხვადასხვა გამონათქვამების სხვადასხვა ტრანსფორმაციები. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი.

რა მნიშვნელობა აქვს გამოთქმას: ა) , ბ) .

გადაწყვეტილება.

გარდა ამისა, აღვნიშნავთ, რომ მოცემულ გამოსახულებას აქვს ფორმა log A B p, სადაც A=2, B=x+1 და p=4. ჩვენ გადავცვალეთ ამ სახის რიცხვითი გამონათქვამები log a b p \u003d p log a b ხარისხის ლოგარითმის თვისების მიხედვით, ამიტომ, მოცემული გამოსახულებით, იგივე მინდა გავაკეთო და ჟურნალიდან 2 (x + 1) 4 წავიდე. 4-მდე ჟურნალი 2 (x + 1) . ახლა კი გამოვთვალოთ ორიგინალური გამოხატვისა და ტრანსფორმაციის შემდეგ მიღებული გამოსახულების მნიშვნელობა, მაგალითად, x=−2-ით. გვაქვს log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , და 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- უაზრო გამოთქმა. ეს ბადებს ლეგიტიმურ კითხვას: „რა დავაშავეთ“?

და მიზეზი შემდეგია: ჩვენ შევასრულეთ ტრანსფორმაციის ჟურნალი 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) ფორმულის საფუძველზე log a b p =p log a b, მაგრამ ჩვენ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ მხოლოდ ეს ფორმულა. თუ პირობები a >0, a≠1, b>0, p - ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ანუ ჩვენ მიერ გაკეთებული ტრანსფორმაცია ხდება თუ x+1>0 , რაც იგივეა x>−1 (A და p-სთვის პირობები დაკმაყოფილებულია). თუმცა, ჩვენს შემთხვევაში, x ცვლადის ODZ თავდაპირველი გამოსახულებისთვის შედგება არა მხოლოდ x> −1, არამედ x ინტერვალისგან.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

ODZ-ის გათვალისწინების აუცილებლობა

მოდით გავაგრძელოთ ჩვენ მიერ არჩეული გამოთქმის log 2 (x+1) 4 ტრანსფორმაციის ანალიზი და ახლა ვნახოთ რა დაემართება ODZ-ს 4 log 2 (x+1) გამოხატვაზე გადასვლისას. წინა აბზაცში ვიპოვეთ ორიგინალური გამოხატვის ODZ - ეს არის სიმრავლე (−∞, −1)∪(−1, +∞) . ახლა ვიპოვოთ x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების ფართობი 4 log 2 (x+1) გამოსახულებისთვის. იგი განისაზღვრება x+1>0 პირობით, რომელიც შეესაბამება სიმრავლეს (−1, +∞). აშკარაა, რომ log 2 (x+1) 4-დან 4·log 2-მდე (x+1) გადასვლისას დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი ვიწროვდება. და ჩვენ შევთანხმდით, რომ თავიდან ავიცილოთ რეფორმები, რომლებიც იწვევს ODZ-ის შევიწროებას, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს სხვადასხვა უარყოფითი შედეგები.

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ სასარგებლოა ODZ-ის კონტროლი ტრანსფორმაციის ყოველ საფეხურზე და არ დაუშვას მისი შევიწროება. და თუ მოულოდნელად ტრანსფორმაციის რომელიმე ეტაპზე მოხდა ODZ-ის შევიწროება, მაშინ ღირს ყურადღებით დავაკვირდეთ, დასაშვებია თუ არა ეს ტრანსფორმაცია და გვქონდა თუ არა მისი განხორციელების უფლება.

სამართლიანად, ჩვენ ვამბობთ, რომ პრაქტიკაში ჩვეულებრივ უნდა ვიმუშაოთ გამონათქვამებთან, რომლებშიც ცვლადების ODZ ისეთია, რომ საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ ლოგარითმების თვისებები შეზღუდვების გარეშე ჩვენთვის უკვე ცნობილი სახით, როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ, ტრანსფორმაციების განხორციელებისას. თქვენ სწრაფად ეჩვევით ამას და იწყებთ გარდაქმნების მექანიკურად განხორციელებას, იმის ფიქრის გარეშე, შესაძლებელი იყო თუ არა მათი განხორციელება. და ასეთ მომენტებში, როგორც იღბლიანი იქნება, უფრო რთული მაგალითები იშლება, რომლებშიც ლოგარითმების თვისებების არაზუსტი გამოყენება იწვევს შეცდომებს. ასე რომ, თქვენ ყოველთვის უნდა იყოთ მზადყოფნაში და დარწმუნდით, რომ ODZ-ის შევიწროება არ არის.

არ ავნებს ცალ-ცალკე გამოვყოთ ძირითადი გარდაქმნები, რომლებიც დაფუძნებულია ლოგარითმების თვისებებზე, რაც ძალიან ფრთხილად უნდა განხორციელდეს, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და, შედეგად, შეცდომები:

გამოთქმების ზოგიერთმა ტრანსფორმაციამ ლოგარითმების თვისებების მიხედვით შეიძლება გამოიწვიოს საპირისპირო - ODZ-ის გაფართოება. მაგალითად, 4 log 2-დან (x+1) log 2-ზე გადასვლა (x+1) 4 აფართოებს ODZ სიმრავლიდან (−1, +∞) (−∞, −1)∪(−1, +∞). ) . ასეთი ტრანსფორმაციები მოხდება, თუ თქვენ დარჩებით ODZ-ში ორიგინალური გამოხატვისთვის. ასე რომ, ტრანსფორმაცია ახლახან ნახსენები 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 ხდება ODZ ცვლადზე x ორიგინალური გამოსახულებისთვის 4 log 2 (x+1), ანუ, როდესაც x+1> 0 , რაც იგივეა, რაც (−1, +∞) .

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ ნიუანსები, რომლებსაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით ცვლადებით გამონათქვამების გადაქცევისას, რჩება იმის გარკვევა, თუ როგორ უნდა განხორციელდეს ეს კონვერტაციები სწორად.

X+2>0. მუშაობს ჩვენს შემთხვევაში? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით გადავხედოთ x ცვლადის DPV-ს. იგი განისაზღვრება უტოლობების სისტემით , რომელიც უდრის x+2>0 პირობას (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია უტოლობების სისტემების ამოხსნა). ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გამოვიყენოთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება.

Ჩვენ გვაქვს
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

თქვენ შეგიძლიათ სხვაგვარად იმოქმედოთ, რადგან ODZ საშუალებას გაძლევთ ამის გაკეთება, მაგალითად, ასე:

პასუხი:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

და რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც ლოგარითმების თვისებებთან დაკავშირებული პირობები არ არის დაცული ODZ-ზე? ამას მაგალითებით შევეხებით.

მოდით, მოგვთხოვონ გამონათქვამის გამარტივება lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . ამ გამოხატვის ტრანსფორმაცია, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, არ იძლევა ხარისხის ლოგარითმის თვისების თავისუფალ გამოყენებას. რატომ? x ცვლადის ODZ ამ შემთხვევაში არის ორი ინტერვალის x>−2 და x კავშირი<−2 . При x>−2 შეგვიძლია უსაფრთხოდ გამოვიყენოთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება და ვიმოქმედოთ როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). მაგრამ ODZ შეიცავს სხვა ინტერვალს x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2და შემდგომ, lg|x+2|-ის სიმძლავრის თვისებების გამო 4−lg|x+2| 2. შედეგად მიღებული გამოხატულება შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხის ლოგარითმის თვისების მიხედვით, ვინაიდან |x+2|>0 ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. Ჩვენ გვაქვს ჟურნალი|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 ჟურნალი|x+2|−2 ჟურნალი|x+2|=2 ჟურნალი|x+2|. ახლა თქვენ შეგიძლიათ მოშორდეთ მოდულს, რადგან მან თავისი საქმე გააკეთა. ვინაიდან ჩვენ გარდაქმნით x+2-ზე<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

მოდი განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი მოდულებთან მუშაობის გასაცნობად. გამოთქმიდან წარმოვიდგინოთ გადავიდეს x−1 , x−2 და x−3 წრფივი ბინომების ლოგარითმების ჯამს და განსხვავებას. ჯერ ვპოულობთ ODZ-ს:

ინტერვალზე (3, +∞), x−1, x−2 და x−3 გამონათქვამების მნიშვნელობები დადებითია, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გამოვიყენოთ ჯამისა და სხვაობის ლოგარითმის თვისებები:

ხოლო ინტერვალზე (1, 2), გამოხატვის x−1 მნიშვნელობები დადებითია, ხოლო x−2 და x−3 გამოსახულებების მნიშვნელობები უარყოფითი. მაშასადამე, განსახილველ ინტერვალზე ჩვენ წარმოვადგენთ x−2 და x−3 მოდულის გამოყენებით, როგორც −|x−2| და −|x−3| შესაბამისად. სადაც

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნამრავლის ლოგარითმის და კოეფიციენტის თვისებები, ვინაიდან განხილულ ინტერვალზე (1, 2) გამოსახულებების მნიშვნელობები x−1 , |x−2| და |x−3| - დადებითი.

Ჩვენ გვაქვს

მიღებული შედეგები შეიძლება გაერთიანდეს:

ზოგადად, მსგავსი მსჯელობა საშუალებას იძლევა, პროდუქტის ლოგარითმის, თანაფარდობის და ხარისხის ფორმულებზე დაყრდნობით, მივიღოთ სამი პრაქტიკულად სასარგებლო შედეგი, რომლებიც საკმაოდ მოსახერხებელია გამოსაყენებლად:

• log a (X·Y) ფორმის ორი თვითნებური გამონათქვამის X და Y ნამრავლის ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს ლოგარითმების ჯამით log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• სპეციალური ლოგარითმის log a (X:Y) შეიძლება შეიცვალოს ლოგარითმების სხვაობით log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X და Y არის თვითნებური გამონათქვამები.
• ზოგიერთი B გამოხატვის ლოგარითმიდან log a B p ფორმის ლუწი p ხარისხამდე, შეიძლება გადავიდეს p log a |B| , სადაც a>0 , a≠1 , p არის ლუწი რიცხვი და B არის თვითნებური გამოხატულება.

მსგავსი შედეგები მოცემულია, მაგალითად, ინსტრუქციებში ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ინსტრუქციებში მათემატიკაში ამოცანების კრებულში უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის, რედაქტორი M. I. Skanavi.

მაგალითი.

გამოხატვის გამარტივება .

გადაწყვეტილება.

კარგი იქნება ხარისხის, ჯამის და სხვაობის ლოგარითმის თვისებების გამოყენება. მაგრამ შეგვიძლია ამის გაკეთება აქ? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ ODZ.

მოდით განვსაზღვროთ:

აშკარაა, რომ x+4, x−2 და (x+4) 13 ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების დიაპაზონში გამოსახულებებს შეუძლიათ მიიღონ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები. ამიტომ მოგვიწევს მოდულების მეშვეობით მუშაობა.

მოდულის თვისებები საშუალებას გაძლევთ გადაწეროთ როგორც , ასე

ასევე, არაფერი გიშლით ხელს, გამოიყენოთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება და შემდეგ მოიტანოთ მსგავსი ტერმინები:

გარდაქმნების სხვა თანმიმდევრობა იწვევს იმავე შედეგს:

და რადგან გამოხატულებას x−2 შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები ODZ-ზე, ლუწი მაჩვენებლის 14 აღებისას

გაკვეთილის ტიპი:ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილი

მიზნები:

• განაახლოს სტუდენტების ცოდნა ლოგარითმებისა და მათი თვისებების შესახებ განზოგადებული გამეორებისა და გამოცდისთვის მომზადების ფარგლებში;
• ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარებას, სავარჯიშოების შესრულებისას თეორიული ცოდნის გამოყენების უნარ-ჩვევებს;
• ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა პიროვნული თვისებების განვითარებას, თვითკონტროლის უნარებს და მათი საქმიანობის თვითშეფასებას; განავითარეთ შრომისმოყვარეობა, მოთმინება, შეუპოვრობა, დამოუკიდებლობა.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, პრეზენტაცია (დანართი 1), ბარათები საშინაო დავალებით (შეგიძლიათ დაურთოთ ფაილი დავალება ელექტრონულ დღიურში).

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი. გამარჯობა, მოემზადეთ გაკვეთილისთვის.

II. საშინაო დავალების განხილვა.

III. შეტყობინება გაკვეთილის თემისა და მიზნის შესახებ. Მოტივაცია.(სლაიდი 1) პრეზენტაცია.

ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკის კურსის განზოგადებულ გამეორებას გამოცდისთვის მოსამზადებლად. დღეს კი გაკვეთილზე ვისაუბრებთ ლოგარითმებზე და მათ თვისებებზე.

ლოგარითმების გამოთვლისა და ლოგარითმული გამონათქვამების გარდაქმნის ამოცანები აუცილებლად წარმოდგენილია როგორც ძირითადი, ისე პროფილის დონის საკონტროლო და საზომ მასალებში. ამიტომ, ჩვენი გაკვეთილის მიზანია აღვადგინოთ იდეები „ლოგარითმის“ ცნების მნიშვნელობის შესახებ და ლოგარითმული გამონათქვამების გარდაქმნის უნარების განახლება. ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა რვეულებში.

IV. ცოდნის განახლება.

1. /ზეპირად/ჯერ გავიხსენოთ რას ჰქვია ლოგარითმი. (სლაიდი 2)

(დადებითი b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე (სადაც a > 0, a? 1) არის მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა აწიოთ რიცხვი a, რომ მიიღოთ რიცხვი b)

შესვლა a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

ასე რომ, "LOGARIFM" არის "ექსპონენტი"!

(სლაიდი 3) შემდეგ a n = b შეიძლება გადაიწეროს როგორც = b არის მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თუ საფუძველი a \u003d 10, მაშინ ლოგარითმს ეწოდება ათობითი და აღინიშნება lgb.

თუ a \u003d e, მაშინ ლოგარითმს ეწოდება ბუნებრივი და აღინიშნება lnb.

2. /დაწერილი/ (სლაიდი 4)შეავსეთ ხარვეზები სწორი ტოლობის მისაღებად:

ჟურნალი? x + შესვლა a ? = ჟურნალი? (? y)

შესვლა ? - ჟურნალი? y = ჟურნალი? (x/?)

შესვლა x ? = pLog? (?)

გამოცდა:

ერთი; ერთი; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

ეს არის ლოგარითმების თვისებები. და თვისებების კიდევ ერთი ჯგუფი: (სლაიდი 5)

გამოცდა:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a, x, b; ა, 1, ბ.

V. ზეპირი ნაშრომი

(სლაიდი 6) No1. გამოთვალეთ:

ა ბ გ დ) ; ე) .

პასუხები : ა) 4; ბ) - 2; 2-ში; დ) 7; ე) 27.

(სლაიდი 7) No2. იპოვე X:

ა) ; ბ) (პასუხები: ა) 1/4; ბ) 9).

No3. აქვს თუ არა აზრი ასეთი ლოგარითმის განხილვას:

ა) ; ბ) ; შიგნით)? (არა)

VI. დამოუკიდებელი მუშაობა ჯგუფებში, ძლიერი სტუდენტები - კონსულტანტები. (სლაიდი 8)

#1 გამოთვალეთ: .

#2 გამარტივება:

No 3. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა თუ

#4 გაამარტივე გამოთქმა:

#5 გამოთვალეთ:

#6 გამოთვალეთ:

#7 გამოთვალეთ:

#8 გამოთვალეთ:

დასრულების შემდეგ - გადამოწმება და განხილვა მომზადებულ ხსნარზე ან დოკუმენტის კამერის დახმარებით.

VII. გაზრდილი სირთულის ამოცანის ამოხსნა(დაფაზე ძლიერი მოსწავლეა, დანარჩენი რვეულებში) (სლაიდი 9)

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

VIII. საშინაო დავალება (ბარათებზე) დიფერენცირებულია.(სლაიდი 10)

No1. გამოთვალეთ:

ინსტრუქცია

ჩაწერეთ მოცემული ლოგარითმული გამოხატულება. თუ გამოთქმა იყენებს 10-ის ლოგარითმს, მაშინ მისი აღნიშვნა მცირდება და ასე გამოიყურება: lg b არის ათობითი ლოგარითმი. თუ ლოგარითმს საფუძვლად აქვს რიცხვი e, მაშინ გამოთქმა იწერება: ln b არის ბუნებრივი ლოგარითმი. გასაგებია, რომ ნებისმიერის შედეგი არის ძალა, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს საბაზისო რიცხვი, რომ მიიღოთ რიცხვი b.

ორი ფუნქციის ჯამის პოვნისას თქვენ უბრალოდ უნდა განასხვავოთ ისინი სათითაოდ და დაამატოთ შედეგები: (u+v)" = u"+v";

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებულის პოვნისას აუცილებელია პირველი ფუნქციის წარმოებული გავამრავლოთ მეორეზე და დავუმატოთ მეორე ფუნქციის წარმოებული, გამრავლებული პირველ ფუნქციაზე: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, საჭიროა დივიდენდის წარმოებულის ნამრავლს გამყოფი ფუნქციით გამოვაკლოთ გამყოფის წარმოებულის ნამრავლი გამრავლებულ ფუნქციაზე და გავყოთ. ეს ყველაფერი გამყოფი ფუნქციის კვადრატში. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

თუ რთული ფუნქციაა მოცემული, მაშინ აუცილებელია შიდა ფუნქციის წარმოებულის და გარედან წარმოებულის გამრავლება. მოდით y=u(v(x)), შემდეგ y"(x)=y"(u)*v"(x).

ზემოაღნიშნულის გამოყენებით შეგიძლიათ განასხვავოთ თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია. ასე რომ, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ასევე არსებობს დავალებები წარმოებულის გამოთვლის წერტილში. მოცემული იყოს ფუნქცია y=e^(x^2+6x+5), თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x=1 წერტილში.
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში y"(1)=8*e^0=8

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

ისწავლეთ ელემენტარული წარმოებულების ცხრილი. ეს დაზოგავს დიდ დროს.

წყაროები:

• მუდმივი წარმოებული

მაშ, რა განსხვავებაა ირაციონალურ განტოლებასა და რაციონალურ განტოლებას შორის? თუ უცნობი ცვლადი არის კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ, მაშინ განტოლება ითვლება ირაციონალურად.

ინსტრუქცია

ასეთი განტოლებების ამოხსნის მთავარი მეთოდია ორივე მხარის ამაღლების მეთოდი განტოლებებიმოედანზე. თუმცა. ეს ბუნებრივია, პირველი ნაბიჯი არის ნიშნის მოშორება. ტექნიკურად, ეს მეთოდი არ არის რთული, მაგრამ ზოგჯერ შეიძლება გამოიწვიოს პრობლემები. მაგალითად, განტოლება v(2x-5)=v(4x-7). ორივე მხარის კვადრატში მიიღებთ 2x-5=4x-7. ასეთი განტოლება არ არის რთული ამოსახსნელი; x=1. მაგრამ ნომერი 1 არ იქნება მოცემული განტოლებები. რატომ? შეცვალეთ ერთეული განტოლებაში x მნიშვნელობის ნაცვლად და მარჯვენა და მარცხენა მხარეები შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებსაც აზრი არ აქვს, ანუ. ასეთი მნიშვნელობა არ მოქმედებს კვადრატული ფესვისთვის. მაშასადამე, 1 არის უცხო ფესვი და, შესაბამისად, ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

ასე რომ, ირაციონალური განტოლება ამოხსნილია მისი ორივე ნაწილის კვადრატის მეთოდით. და განტოლების ამოხსნის შემდეგ, აუცილებელია ზედმეტი ფესვების ამოჭრა. ამისათვის შეცვალეთ ნაპოვნი ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში.

განიხილეთ კიდევ ერთი.
2x+vx-3=0
რა თქმა უნდა, ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია იმავე განტოლების გამოყენებით, როგორც წინა. გადაცემის ნაერთები განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ კვადრატული ფესვი, მარჯვნივ და შემდეგ გამოიყენეთ კვადრატის მეთოდი. ამოხსნათ მიღებული რაციონალური განტოლება და ფესვები. მაგრამ კიდევ ერთი, უფრო ელეგანტური. შეიყვანეთ ახალი ცვლადი; vx=y. შესაბამისად, თქვენ მიიღებთ განტოლებას, როგორიცაა 2y2+y-3=0. ეს არის ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება. იპოვნეთ მისი ფესვები; y1=1 და y2=-3/2. შემდეგი, გადაწყვიტეთ ორი განტოლებები vx=1; vx \u003d -3/2. მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს, პირველიდან ვხვდებით, რომ x=1. არ დაივიწყოთ ფესვების შემოწმების აუცილებლობა.

პირადობის ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. ეს მოითხოვს იდენტური გარდაქმნების განხორციელებას მიზნის მიღწევამდე. ამრიგად, უმარტივესი არითმეტიკული ოპერაციების დახმარებით, ამოცანა გადაიჭრება.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• -კალამი.

ინსტრუქცია

უმარტივესი ასეთი გარდაქმნებია ალგებრული შემოკლებული ნამრავლები (როგორიცაა ჯამის კვადრატი (განსხვავება), კვადრატების სხვაობა, ჯამი (განსხვავება), ჯამის კუბი (განსხვავება)). გარდა ამისა, არსებობს მრავალი ტრიგონომეტრიული ფორმულა, რომლებიც არსებითად იგივე იდენტობებია.

მართლაც, ორი წევრის ჯამის კვადრატი უდრის პირველის კვადრატს დამატებული პირველის ნამრავლის ორჯერ და მეორეს პლუს მეორის კვადრატს, ანუ (a+b)^2= (a+b). )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

გაამარტივეთ ორივე

გადაწყვეტის ზოგადი პრინციპები

გაიმეორეთ მათემატიკური ანალიზის ან უმაღლესი მათემატიკის სახელმძღვანელოდან, რომელიც განსაზღვრული ინტეგრალია. მოგეხსენებათ, განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნა არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული მისცემს ინტეგრანდს. ამ ფუნქციას ანტიდერივატი ეწოდება. ამ პრინციპის მიხედვით აგებულია ძირითადი ინტეგრალები.
განსაზღვრეთ ინტეგრადის ფორმით, ცხრილის რომელი ინტეგრალია შესაფერისი ამ შემთხვევაში. ამის დაუყოვნებლივ დადგენა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ხშირად, ტაბულური ფორმა შესამჩნევი ხდება მხოლოდ რამდენიმე გარდაქმნის შემდეგ, ინტეგრადის გასამარტივებლად.

ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი

თუ ინტეგრადი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის რამდენიმე პოლინომი, მაშინ სცადეთ გამოიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი. ამისათვის შეცვალეთ პოლინომი ინტეგრადის არგუმენტში ახალი ცვლადით. ახალ და ძველ ცვლადს შორის თანაფარდობიდან გამომდინარე, განსაზღვრეთ ინტეგრაციის ახალი საზღვრები. ამ გამონათქვამის დიფერენცირებით, იპოვნეთ ახალი დიფერენციალი . ამრიგად, თქვენ მიიღებთ ძველი ინტეგრალის ახალ ფორმას, ახლოს ან თუნდაც რომელიმე ცხრილის შესაბამისს.

მეორე სახის ინტეგრალების ამოხსნა

თუ ინტეგრალი არის მეორე ტიპის ინტეგრალი, ინტეგრანტის ვექტორული ფორმა, მაშინ დაგჭირდებათ ამ ინტეგრალებიდან სკალარზე გადასვლის წესების გამოყენება. ერთ-ერთი ასეთი წესია ოსტროგრადსკი-გაუსის თანაფარდობა. ეს კანონი შესაძლებელს ხდის რომელიმე ვექტორული ფუნქციის როტორული ნაკადიდან გადავიდეს სამმაგ ინტეგრალზე მოცემული ვექტორული ველის დივერგენციაზე.

ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება

ანტიდერივატივის პოვნის შემდეგ აუცილებელია ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება. პირველ რიგში, შეცვალეთ ზედა ზღვრის მნიშვნელობა ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში. მიიღებთ რაღაც ნომერს. შემდეგ, გამოკლეთ მიღებულ რიცხვს სხვა რიცხვი, შედეგად ქვედა ზღვარი ანტიწარმოებულს. თუ ინტეგრაციის ერთ-ერთი ლიმიტი არის უსასრულობა, მაშინ მისი ანტიდერივატიულ ფუნქციაში ჩანაცვლებისას აუცილებელია ზღვარზე გადასვლა და იმის პოვნა, რისკენ მიდრეკილია გამოხატულება.
თუ ინტეგრალი არის ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი, მაშინ თქვენ მოგიწევთ წარმოადგინოთ ინტეგრაციის გეომეტრიული საზღვრები, რათა გაიგოთ როგორ გამოვთვალოთ ინტეგრალი. მართლაც, მაგალითად, სამგანზომილებიანი ინტეგრალის შემთხვევაში, ინტეგრაციის საზღვრები შეიძლება იყოს მთლიანი სიბრტყეები, რომლებიც ზღუდავს ინტეგრირებულ მოცულობას.