ჩუვაშეთის რესპუბლიკის განათლებისა და ახალგაზრდული პოლიტიკის სამინისტრო

ჩუვაშეთის რესპუბლიკის ავტონომიური ინსტიტუტი

"ცივილსკის აგრარული და ტექნოლოგიური კოლეჯი"

მიმართულება - ფიზიკურ-მათემატიკური და საინფორმაციო ტექნოლოგიები

Კვლევა:

კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა

დასრულებული სამუშაო:

I კურსის სტუდენტი გრ.14 ბ

სპეციალობა "ეკონომიკა"

ხელმძღვანელი:

ეშმეიკინი

ირინა ანატოლიევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

ცივილსკი 2012 წ

1. შესავალი.

2. თეორიული ნაწილი

2.1. კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა.

2.2. კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის ათი წესი

3. პრაქტიკული ნაწილი

3.1. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

3.2. ფესვების მდებარეობა ერთ წერტილთან შედარებით.

3.3. ფესვების მდებარეობა ორ ან მეტ წერტილთან შედარებით.

4. დასკვნები.

5. გამოყენებული ლიტერატურა.

6. აპლიკაციები

შესავალი

აქტუალობა: GIA-ს (ნაწილი 2) და მათემატიკაში USE-ის ამოცანები დეტალური პასუხით (ნაწილი C), არის დავალებები პარამეტრებით, რომლებიც ხშირად დიდ სირთულეებს უქმნის მოსწავლეებს. უფრო მეტიც, მოსწავლეებს ხშირად ექმნებათ ფსიქოლოგიური პრობლემები, ეშინიათ ასეთი ამოცანების, რადგან სკოლაში და ტექნიკუმში პარამეტრის შემცველ პრობლემებს დიდად არ წყვეტენ.

პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის სირთულეები განპირობებულია იმით, რომ პარამეტრის არსებობა გვაიძულებს პრობლემის გადაჭრას არა შაბლონის მიხედვით, არამედ განვიხილოთ სხვადასხვა შემთხვევები, რომელთაგან თითოეულში გადაწყვეტის მეთოდები მნიშვნელოვნად განსხვავდება ერთმანეთისგან.

პარამეტრებთან დაკავშირებული მრავალი პრობლემა მცირდება კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის შესწავლით მოცემულ წერტილთან ან მოცემულ ინტერვალთან (სეგმენტი, ინტერვალი, სხივი).

სამუშაოს მიზანი: კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის გამოკვლევა მოცემულ წერტილთან ან მოცემულ ინტერვალთან მიმართებაში.

შეაგროვეთ მასალა ამ თემაზე. განვიხილოთ კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის წესები. ამოცანების ამოხსნა კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის წესების გამოყენებით.

კვლევის ობიექტი: კვადრატული ტრინომი და მისი ფესვების მდებარეობა.

1. ძიება - კოლექტიური.

პრაქტიკული მნიშვნელობა: ეს მასალა დაეხმარება სტუდენტებს, რომლებსაც სურთ სწავლის გაგრძელება უნივერსიტეტში გამოცდისთვის მომზადებაში.

თეორიული ნაწილი

2.1. კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა

პარამეტრებთან დაკავშირებული მრავალი პრობლემა მცირდება მოცემულ წერტილთან ან მოცემულ ინტერვალთან შედარებით კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის შესწავლით:

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზეა კვადრატული განტოლების ფესვები (ან ფესვები) მეტი (ნაკლები, არც მეტი, არც ნაკლები) მოცემულ რიცხვზე; მდებარეობს ორ მოცემულ რიცხვს შორის; არ მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალებს და ა.შ და ა.შ.

y \u003d ax² + in + c კვადრატული ფუნქციის გრაფიკს აქვს შემდეგი მდებარეობები x ღერძთან მიმართებაში.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202"> კვადრატული განტოლება x²+px+q=0 თუ არა აქვს გამოსავალი (D ფორმის პარაბოლა), ან აქვს ერთი ან ორი დადებითი ფესვი (C), ან აქვს ერთი ან ორი უარყოფითი ფესვი (A), ან აქვს სხვადასხვა ნიშნის ფესვები (B).

გავაანალიზოთ პარაბოლა C. იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს ფესვები, აუცილებელია, რომ დისკრიმინანტი D ≥ 0. ვინაიდან განტოლების ორივე ფესვი კონსტრუქციით დადებითი უნდა იყოს, პარაბოლის წვერის აბსციზა, რომელიც მდებარეობს შორის ფესვები, დადებითია, xb > 0.

f(xv) წვერის ორდინატი ≤ 0 იმის გამო, რომ ჩვენ მოვითხოვეთ ფესვების არსებობა.

თუ საჭიროა პირობა f(0) > 0, მაშინ, შესწავლილი ფუნქციის უწყვეტობის გამო, არის წერტილი x1(0;xb) ისეთი, რომ f(x1) = 0. ცხადია, ეს არის უფრო პატარა ფესვი. განტოლების. ასე რომ, ყველა პირობის ერთად შეგროვებით მივიღებთ: კვადრატულ განტოლებას x² + px + q \u003d 0 აქვს ორი ფესვი, რომელიც შეიძლება იყოს ჯერადი x1, x2>

ანალოგიურად არგუმენტირებულად გამოვიყვანთ კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის შემდეგ წესებს.

2.2. კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის ათი წესი

წესი 1კვადრატულ განტოლებას ax2 + bx + c = 0 (a ≠ არ აქვს ამონახსნები მაშინ

და მხოლოდ მაშინ, როცა დ< 0.

წესი 2.1.კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ,

როდესაც D > 0.

წესი 2.2.კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი, შესაძლოა მრავალი ფესვი, შემდეგ და

მხოლოდ მაშინ, როდესაც D ≥ 0.

წესი 3.1.კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი ფესვი x1< М и х2 >M მაშინ და მხოლოდ

https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> მხოლოდ მაშინ

წესი 4.1.კვადრატულ განტოლებას x2 + px + q = 0 a ≠ 0) აქვს ორი

სხვადასხვა ფესვები x1, x2 > M თუ და მხოლოდ თუ

სად =

წესი 4.2.კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი შესაძლო მრავალჯერადი ფესვი

x1, x2 > M თუ და მხოლოდ თუ

წესი 4.3.კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ფესვი x1, x2 ≥ M შემდეგ და

მხოლოდ მაშინ

https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">

წესი 4.4.კვადრატულ განტოლებას აქვს 2, შეიძლება იყოს მრავალი ფესვი

x1, x2 ≥ M თუ და მხოლოდ თუ

https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">

წესი 5.1.კვადრატულ განტოლებას აქვს 2 განსხვავებული ფესვი x1, x2< М тогда и

მხოლოდ მაშინ

წესი 6.1. < N < M < х2 тогда и

მხოლოდ მაშინ

https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">

წესი 6.2.კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვები x1 = N< М < х2

თუ და მხოლოდ თუ

წესი 6.3.კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვები x1< N < M = х2

თუ და მხოლოდ თუ

წესი 7.1.კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვები x1< m < x2 < M тогда и только

მაშინ როცა

https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48">

წესი 7.2. რომკვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვები N< x1 < M < x2 тогда и только

მაშინ როცა

წესი 8.1. ნ < x1 < x2 < M (может быть

მრავალი ფესვი ნ< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98">

წესი 8.3.კვადრატულ განტოლებას (1) განსხვავებული ფესვები აქვს ნ≤ x1< x2 ≤ M (может

იყოს ნ-ის მრავალი ფესვი< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда

წესი 8.4.კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს განსხვავებული ფესვები N ≤ x1< x2 ≤ M (может

იყოს მრავალი ფესვი N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) თუ და მხოლოდ მაშინ

https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">

წესი 9კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ინტერვალის შიგნით (N; M),

ხოლო მეორე მდებარეობს ამ ინტერვალის გარეთ, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში

f(N) f(M)< 0.

წესი 10კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს უნიკალური ამონახსნი x1 = x2 > M

(x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда

პრაქტიკული ნაწილი

3.1. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

მაგალითი 1. განტოლების რა მნიშვნელობებისთვის x² - 2ax + a² + 2a - 3 = 0

ა) არ აქვს ფესვები; ბ) აქვს სხვადასხვა ნიშნის ფესვები;

გ) აქვს დადებითი ფესვები; დ) აქვს ორი განსხვავებული უარყოფითი ფესვი?

ამოხსნა: ა) 1 წესის მიხედვით, არ არსებობს ამონახსნები, როდესაც დისკრიმინანტი D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2.

ბ) 3.1 წესის მიხედვით М = 0-სთვის გვაქვს f(0)=a² + 2a - 3< 0, откуда а(-3;1).

გ) 4.2 წესის მიხედვით М=0

სად .

დ) 5.1 წესის მიხედვით М=0

სადაც ა< - 3.

3.2. ფესვების მდებარეობა ერთ წერტილთან შედარებით.

მაგალითი 2 a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის, განტოლების ფესვები x² + 2(a + 1) x + a² + a + 1 = 0 დევს სხივზე (-2; + ∞).

მოდით გავაკეთოთ პრობლემის გრაფიკული ანალიზი. პრობლემის პირობის მიხედვით, მხოლოდ შემდეგი ორი შემთხვევაა ფუნქციის გრაფიკის მდებარეობა f (x) \u003d x² + 2 (a + 1) x + a² + a + 1 x \u003d წერტილის მიმართ. -2 შესაძლებელია.

xv \u003d - a - 1

ორივე ეს შემთხვევა ანალიტიკურად არის აღწერილი პირობებით

ეს ნიშნავს, რომ 0 ≤ a< .

მაგალითი 3 . იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც კვადრატული ტრინომის ფესვები x² + x + a განსხვავებულია და არ აღემატება a-ს. (დანართი 1)

3.3. ფესვების მდებარეობა ორ ან მეტ წერტილთან შედარებით.

მაგალითი 4. m პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლების ფესვები x² - 2 mx + m² -1= 0 ჩასმულია -2 და 4 რიცხვებს შორის.

განტოლების დისკრიმინანტი D = 4m² - 4m² + 4 = 4 არის სრულყოფილი კვადრატი. ვიპოვოთ განტოლების ფესვები: x1 = m + 1, x2 = m - 1. ეს ფესვები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობას, თუ

პასუხი: m(-1;3)-სთვის.

მაგალითი 5 a პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე აქვს განტოლებას 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 განსხვავებული ფესვები, რომლებიც აკმაყოფილებს უტოლობას ‌│x-1│>2. (დანართი 2)

პარამეტრებთან კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს Ax² + Bx + C კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობასთან დაკავშირებული ამოცანების შესასწავლად.

შემთხვევის შესწავლა A = 0 (თუ ეს დამოკიდებულია პარამეტრებზე).

1. დისკრიმინანტის პოვნა A≠0 შემთხვევაში.

2. თუ D არის რომელიმე გამონათქვამის სრული კვადრატი, მაშინ იპოვეთ x1, x2 ფესვები და დაუქვემდებარეთ ამოცანის პირობებს.

3. თუ D-ის კვადრატული ფესვი არ არის ამოღებული, მაშინ პრობლემის გრაფიკული ანალიზი.

4. პარაბოლის მდებარეობის შესაფერისი შემთხვევების ანალიტიკური აღწერა, რისთვისაც გათვალისწინებულია:

Ø კოეფიციენტის ნიშანი (მნიშვნელობა) x²-ზე;

Ø დისკრიმინანტის ნიშანი (ღირებულება);

Ø შესასწავლ წერტილებში კვადრატული ფუნქციის ნიშნები (მნიშვნელობები);

Ø პარაბოლას ზედა მდებარეობა შესასწავლ წერტილებთან მიმართებაში.

4. ზოგიერთი უტოლობის (სისტემის) გაერთიანება.

5. მიღებული სისტემების ამოხსნა.

მე ვიპოვე კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის 10 წესი. ამოჭრილი პრობლემები ფესვების მდებარეობის შესახებ ერთ წერტილთან მიმართებაში; ფესვების მდებარეობა ორ ან მეტ წერტილთან შედარებით.

პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნის ტექნიკის ფლობა შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკის ძირითადი სექციების, მათემატიკური და ლოგიკური აზროვნების დონის და მათემატიკური კულტურის ცოდნის კრიტერიუმად.

ცნობები

1. მოჩალოვი და უტოლობები პარამეტრებთან / , .-

ჩებოქსარი: ჩუვაშური გამომცემლობა. უნივერსიტეტი, 200 წ.

2. კოჟუხოვი, პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნის მეთოდები / // მათემატიკა სკოლაში.- 1998. - No6.

3. გაზეთ „პირველი სექტემბრის“ „მათემატიკა“ No18, 2002 წ., ყოველკვირეული სასწავლო და მეთოდური ჩანართი.

დანართი 1

მაგალითი 3 . იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც კვადრატული ტრინომის ფესვები x² + x + a განსხვავებულია და არ აღემატება a-ს.

xv = -1/2

იპოვეთ დისკრიმინანტი D = 1 - 4a. იმის გათვალისწინებით, რომ ის არ არის ამოღებული, მოდით, მაგალითი გრაფიკულად გადავჭრათ.

მოდით გავაკეთოთ გრაფიკული ანალიზი. ვინაიდან f(x) = x² + x + a ფუნქციის x1, x2 ფესვები განსხვავებულია და x1 ≤ a, x2 ≤ a, მის გრაფიკს შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ შემდეგი მდებარეობები.

მოდით აღვწეროთ ეს გრაფიკები ანალიტიკურად.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">

ჩვენ ვხვდებით, რომელ a-სთვის არის განსხვავებული განტოლების ფესვები, ანუ დისკრიმინანტი D = a²-16a დადებითია და ან ორივე არის -1-ზე ნაკლები, ან ორივე მეტია 3-ზე, ან ერთი მათგანი -1-ზე ნაკლები. , და მეორე არის 3-ზე მეტი. f( x) ფუნქციის გრაფიკი \u003d 2x² + (a-4) x + a + 2 ამ შემთხვევებში აქვს შემდეგი მდებარეობები:

ანალიტიკურად, ეს გრაფიკები აღწერილია პირობებით

ყველაზე ძლიერი ინსტრუმენტი პარამეტრებით რთული ამოცანების გადასაჭრელად არის ვიეტას თეორემა. მაგრამ აქ თქვენ უნდა იყოთ უკიდურესად ყურადღებიანი ფორმულირების მიმართ.

ეს ორი თეორემა (პირდაპირი და შებრუნებული)

თეორემა ვიეტა

თუ განტოლებას აქვს ფესვები და ; მაშინ თანასწორობები დაკმაყოფილებულია.

თეორემის მახასიათებლები:

Პირველი . თეორემა მართალია მხოლოდ განტოლებისთვის და არ შეესაბამება სიმართლეს

ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, თქვენ ჯერ უნდა გაყოთ განტოლების ორივე ნაწილი არანულოვანი კოეფიციენტით a x 2-ზე და შემდეგ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

მეორე. თეორემის შედეგების გამოსაყენებლად აუცილებელია განტოლებათა ფესვების არსებობის ფაქტი, ე.ი. არ დაგავიწყდეთ პირობის დაწესება D>0

უკუ

ვიეტას თეორემა

თუ არსებობს თვითნებური რიცხვები და მაშინ ისინი განტოლების ფესვებია

ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა, პრობლემის გადაჭრის ხელშემწყობი: შებრუნებული თეორემა გარანტიებიგანტოლებაში ფესვების არსებობა, რაც საშუალებას გაძლევთ არ აერიოთ დისკრიმინანტს. ამ შემთხვევაში ის ავტომატურად არ არის უარყოფითი.

	პირობები ფესვებისთვის	ეკვივალენტური პირობა a, b, c და დისკრიმინატორ D კოეფიციენტებზე
	ფესვები არსებობს (და განსხვავებულია)
	ფესვები არსებობს და თანაბარია
	ფესვები არსებობს და
	ფესვები არსებობს და
	ფესვები არსებობს და განსხვავებულია
	ფესვები არსებობს, ერთი ფესვი არის ნული და მეორე >0

ერთი). დააყენეთ პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლება

ფესვები არ აქვს.

თუ განტოლებას არ აქვს ფესვები, მაშინ აუცილებელია და საკმარისია დისკრიმინანტი

აქვს სხვადასხვა დადებითი ფესვები.

ვინაიდან არსებობს ფესვები, მაშინ თუ ისინი ორივე დადებითია, მაშინ ვიყენებთ Vieta ფორმულას, შემდეგ ამ განტოლებისთვის

⟹

აქვს სხვადასხვა უარყოფითი ფესვები

აქვს სხვადასხვა ნიშნის ფესვები

აქვს შესაბამისი ფესვები

2). პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აკვადრატული განტოლების ორივე ფესვი დადებითი იქნება?

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან მოცემული განტოლება კვადრატულია, მაშინ მისი ორივე ფესვი (ტოლი ან განსხვავებული) დადებითი იქნება, თუ დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, ხოლო ფესვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია, ე.ი.

როგორც, და ვიეტას თეორემით,

შემდეგ მივიღებთ უტოლობათა სისტემას

3). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა არაპოზიტიურები არიან.

ვინაიდან მოცემული განტოლება კვადრატულია, მაშინ . მისი ორივე ფესვი (ტოლი ან განსხვავებული) იქნება უარყოფითი ან ნულის ტოლი, თუ დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, ფესვების ჯამი უარყოფითია ან ნულის ტოლი, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის არაუარყოფითი, ე.ი.

და ვიეტას თეორემით

მაშინ ვიღებთ უტოლობათა სისტემას.

სადაც

4) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ა უდრის 22,5-ს?

პირველ რიგში შემოგთავაზებთ „გადაწყვეტას“, რომელსაც არაერთხელ მოგვიწია შეხვედრა.

იმიტომ რომ შემდეგ ვიღებთ "პასუხს" თუმცა, ნაპოვნი მნიშვნელობით ათავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

ამ გადაწყვეტაში ჩვენ შევხვდით ერთ-ერთ "ყველაზე პოპულარულ" შეცდომას, რომელიც დაკავშირებულია ვიეტას თეორემის გამოყენებასთან:

ისაუბრეთ ფესვებზე ისე, რომ ჯერ არ გაარკვიოთ ისინი არსებობენ თუ არა.

ამრიგად, ამ მაგალითში, უპირველეს ყოვლისა, საჭირო იყო იმის დადგენა, რომ მხოლოდ მაშინ, როდესაც თავდაპირველ განტოლებას ფესვები აქვს. მხოლოდ ამის შემდეგ შეიძლება მივმართოთ ზემოთ მოცემულ გამოთვლებს.

პასუხი: ასეთი აარ არსებობს.

5). განტოლების ფესვები ისეთია, რომ განსაზღვრეთ

გადაწყვეტილება.ვიეტას თეორემის მიხედვით მოდი პირველი ტოლობის ორივე ნაწილის კვადრატში გავითვალისწინოთ და მივიღებთ ან შემოწმება აჩვენებს, რომ მნიშვნელობები აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას.

უპასუხე:

6) პარამეტრის რა მნიშვნელობაზე აგანტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი იღებს უმცირეს მნიშვნელობას:

იპოვეთ ამ განტოლების დისკრიმინანტი. ჩვენ გვაქვს აქ მნიშვნელოვანია არ გამოვიტანოთ მცდარი დასკვნა, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს რომელიმესთვის ა. მას ნამდვილად აქვს ორი ფესვი ნებისმიერისთვის, მაგრამ დასაშვებია ა, ე.ი. საათზე

ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვწერთ

ამრიგად, პასუხის მისაღებად, რჩება კვადრატული ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა

გადასაღებ მოედანზე

წლიდან და ზე მაშინ ფუნქცია მითითებულ კომპლექტზე იღებს უმცირეს მნიშვნელობას წერტილში

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

ერთი). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რისთვისაც კვადრატული განტოლების ფესვები

არაუარყოფითი

2). გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა, სადაც არის განტოლების ფესვები

3). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც განტოლების ნამდვილი ფესვების კვადრატების ჯამი 6-ზე მეტი.

პასუხი:

4) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აქვს განტოლება ax 2 -4x + a \u003d 0:

ა) დადებითი ფესვები

ბ) უარყოფითი ფესვები

კვადრატული ფუნქციის ფესვების მდებარეობა შედარებით

მოცემული ქულები.

ასეთი პრობლემებისთვის დამახასიათებელია შემდეგი ფორმულირება: პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის ფესვები (მხოლოდ ერთი ფესვი) მეტია (ნაკლები, არც მეტი, არც ნაკლები) მოცემული A რიცხვიდან; ფესვები განლაგებულია A და B რიცხვებს შორის; ფესვები არ მიეკუთვნება A და B წერტილების ბოლოების ინტერვალს და ა.შ.

კვადრატულ ტრინომთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას

ხშირად გვიწევს შემდეგ სტანდარტულ სიტუაციებთან (რომლებსაც „კითხვა-პასუხის“ სახით ჩამოვაყალიბებთ.

კითხვა 1. დაე, რიცხვი იყოს მოცემული (1) მისი ორივე ფესვიდა მეტი იმათ. ?

უპასუხე. კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტები (7) უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს

სადაც - პარაბოლის ზედა ნაწილის აბსციზა.

ნათქვამის მართებულობა გამომდინარეობს ნახ. 1, რომელიც ცალ-ცალკე წარმოგიდგენთ შემთხვევებს და გაითვალისწინეთ, რომ ორი პირობა და მაინც არ არის საკმარისი იმისათვის, რომ ფესვები იყოს უფრო დიდი. 1 ტირე აჩვენებს პარაბოლას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ ორ პირობას, მაგრამ მისი ფესვები უფრო მცირეა, თუმცა თუ მითითებულ ორ პირობას დავუმატებთ, რომ პარაბოლის წვეროს აბსციზა უფრო დიდია, მაშინ ფესვები მეტი იქნება ვიდრე

კითხვა 2. დაე, რიცხვი იყოს მოცემული რა პირობებში კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტებზე (1) მისი ფესვები და დაწექი მოპირდაპირე მხარესიმათ. ?

უპასუხე. კვადრატული ტრინომალური კოეფიციენტები (1) უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას

ნათქვამის მართებულობა გამომდინარეობს ნახ. 2, სადაც შემთხვევები და ცალ-ცალკეა წარმოდგენილი.გაითვალისწინეთ, რომ აღნიშნული პირობა იძლევა გარანტიას ორი განსხვავებული ფესვისა და კვადრატული ტრინომის (1) არსებობის შესახებ.

კითხვა 3. რა პირობებში კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტებზე (1) მისი ფესვები და ისინი განსხვავდებიან და მათგან მხოლოდ ერთი დევს მოცემულ ინტერვალში

უპასუხე. კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტები (1) უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას

კითხვა 4. რა პირობებში კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტებზე (1) მისი ფესვების ნაკრები ცარიელი არ არის და მთელი მისი ფესვები და იტყუება მოცემულ ინტერვალში იმათ.

უპასუხე. კვადრატული ტრინომის (1) კოეფიციენტები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს

ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად სასარგებლოა ქვემოთ მოცემულ ცხრილში მუშაობა.

პოლინომიური ფესვები

.

მემორანდუმი "მე-15 საშუალო სკოლა"

მიჩურინსკი, ტამბოვის რეგიონი

ალგებრის გაკვეთილი მე-9 კლასში

"კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა პარამეტრის მნიშვნელობიდან გამომდინარე"

განვითარებული

1 კატეგორიის მათემატიკის მასწავლებელი

ბორტნიკოვა მ.ბ.

მიჩურინსკი - სამეცნიერო ქალაქი 2016 წელიწადი

გაკვეთილი არის 2 საათი.

ძვირფასო ბიჭებო! მრავალი ფიზიკური და გეომეტრიული კანონის შესწავლა ხშირად იწვევს პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრას. ზოგიერთი უნივერსიტეტი ასევე შეიცავს განტოლებებს, უტოლობებს და მათ სისტემებს საგამოცდო ბილეთებში, რომლებიც ხშირად ძალიან რთულია და ამოხსნის არასტანდარტულ მიდგომას მოითხოვს. სკოლაში, ალგებრის სასკოლო კურსის ეს ერთ-ერთი ყველაზე რთული განყოფილება განიხილება მხოლოდ რამდენიმე არჩევით ან საგნობრივ კურსში.
ჩემი აზრით, ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი პარამეტრით განტოლებების ამოხსნის მოსახერხებელი და სწრაფი გზაა.

გაკვეთილის მიზნები: 1. გააფართოვეთ კვადრატული განტოლებების იდეა 2. ისწავლეთ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობის პოვნა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლების ამონახსნები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობებს. 3. განავითარეთ ინტერესი საგნის მიმართ.

გაკვეთილების დროს:

1. რა არის პარამეტრი

ფორმის გამოხატვა აჰ 2 + bx + cსკოლის ალგებრის კურსს უწოდებენ კვადრატულ ტრინომს მიმართX,სადაც ა, ბ,c მოცემულია რეალური რიცხვები, უფრო მეტიც,ა=/= 0. x ცვლადის მნიშვნელობებს, რომლებზეც გამოთქმა ქრება, ეწოდება კვადრატული ტრინომის ფესვები. კვადრატული ტრინომის ფესვების საპოვნელად საჭიროა კვადრატული განტოლების ამოხსნააჰ 2 + bx + c =0.
გავიხსენოთ ძირითადი განტოლებები:ცული + ბ = 0;
ax2 + bx + c = 0.მათი ფესვების ძიებისას, ცვლადების მნიშვნელობებიa, b, c,განტოლებაში შეტანილი ითვლება ფიქსირებულად და მოცემულად. თავად ცვლადებს პარამეტრებს უწოდებენ.

განმარტება.პარამეტრი არის დამოუკიდებელი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობა პრობლემაში მიჩნეულია მოცემული ფიქსირებული ან თვითნებური რეალური რიცხვი, ან რიცხვი, რომელიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ სიმრავლეს.

2. პარამეტრებით ამოცანების გადაჭრის ძირითადი ტიპები და მეთოდები

პარამეტრების მქონე ამოცანებს შორის შეიძლება განვასხვავოთ დავალებების შემდეგი ძირითადი ტიპები.

განტოლებები გადასაჭრელია ან პარამეტრი(ებ)ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ან პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ კომპლექტს. Მაგალითად. განტოლებების ამოხსნა:ცული = 1 , (ა - 2) x = a 2 – 4.

განტოლებები, რომლებისთვისაც გსურთ განსაზღვროთ ამონახსნების რაოდენობა პარამეტრის (პარამეტრების) მნიშვნელობიდან გამომდინარე. Მაგალითად.

აგანტოლება 4 X 2 – 4 ცული + 1 = 0აქვს ერთი ფესვი?

განტოლებები, რომლებისთვისაც, პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის, ამონახსნების ნაკრები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობებს განმარტების სფეროში.

მაგალითად, იპოვნეთ პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც არის განტოლების ფესვები (ა - 2) X 2 – 2 ცული + a + 3 = 0 დადებითი.
პრობლემის გადაჭრის ძირითადი გზები პარამეტრით: ანალიტიკური და გრაფიკული.

ანალიტიკური- ეს არის ეგრეთ წოდებული პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდი, რომელიც იმეორებს სტანდარტულ პროცედურებს პრობლემების პარამეტრის გარეშე პასუხის მოსაძებნად. განვიხილოთ ასეთი დავალების მაგალითი.

დავალება #1

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლებაX 2 – 2 ცული + ა 2 – 1 = 0 აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (1; 5)?

გამოსავალი

X 2 – 2 ცული + ა 2 – 1 = 0.
ამოცანის პირობის მიხედვით, განტოლებას უნდა ჰქონდეს ორი განსხვავებული ფესვი და ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ პირობით: D > 0.
გვაქვს: D = 4ა 2 – 2(ა 2 – 1) = 4. როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ არის დამოკიდებული a-ზე, შესაბამისად, განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ფესვი a პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ვიპოვოთ განტოლების ფესვები:X 1 = ა + 1, X 2 = ა – 1
განტოლების ფესვები უნდა ეკუთვნოდეს ინტერვალს (1; 5), ე.ი.
ასე რომ, 2-ზე< ა < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

პასუხი: 2< ა < 4.
განხილული ტიპის პრობლემების გადაჭრის ასეთი მიდგომა შესაძლებელია და რაციონალურია იმ შემთხვევებში, როდესაც კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არის „კარგი“, ე.ი. არის ნებისმიერი რიცხვის ან გამონათქვამის ზუსტი კვადრატი, ან განტოლების ფესვები შეიძლება მოიძებნოს შებრუნებული ვიეტას თეორემით. მაშინ, და ფესვები არ არის ირაციონალური გამონათქვამები. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრა ტექნიკური თვალსაზრისით საკმაოდ რთულ პროცედურებთან არის დაკავშირებული. და ირაციონალური უთანასწორობების ამოხსნა თქვენგან ახალ ცოდნას მოითხოვს.

გრაფიკული- ეს არის მეთოდი, რომელშიც გრაფიკები გამოიყენება კოორდინატულ სიბრტყეში (x; y) ან (x; a). გადაწყვეტის ამ მეთოდის ხილვადობა და სილამაზე ხელს უწყობს პრობლემის გადაჭრის სწრაფი გზის პოვნას. მოდით გადავჭრათ პრობლემა ნომერი 1 გრაფიკულად.
მოგეხსენებათ, კვადრატული განტოლების ფესვები (კვადრატული ტრინომი) არის შესაბამისი კვადრატული ფუნქციის ნულები: y =X 2 – 2 ოჰ + ა 2 – 1. ფუნქციის გრაფიკი პარაბოლაა, ტოტები მიმართულია ზემოთ (პირველი კოეფიციენტი 1-ის ტოლია). გეომეტრიული მოდელი, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის ყველა მოთხოვნას, ასე გამოიყურება.

ახლა რჩება პარაბოლის "დაფიქსირება" სასურველ მდგომარეობაში საჭირო პირობებით.

1. ვინაიდან პარაბოლას აქვს ღერძთან გადაკვეთის ორი წერტილიX, შემდეგ D > 0.

   პარაბოლის წვერო მდებარეობს ვერტიკალურ ხაზებს შორის.X= 1 და X= 5, აქედან გამომდინარეობს პარაბოლის x წვეროს აბსცისაშესახებ ეკუთვნის ინტერვალს (1; 5), ე.ი.
   1 < Xშესახებ< 5.

   ჩვენ ამას ვამჩნევთ ზე(1) > 0, ზე(5) > 0.

ასე რომ, პრობლემის გეომეტრიული მოდელიდან ანალიტიკურზე გადასვლისას, ვიღებთ უტოლობათა სისტემას.

პასუხი: 2< ა < 4.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, განსახილველი ტიპის პრობლემების გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი შესაძლებელია იმ შემთხვევაში, როდესაც ფესვები „ცუდია“, ე.ი. შეიცავდეს პარამეტრს რადიკალური ნიშნის ქვეშ (ამ შემთხვევაში, განტოლების დისკრიმინანტი არ არის სრულყოფილი კვადრატი).
მეორე ამონახსნში ვიმუშავეთ განტოლების კოეფიციენტებით და ფუნქციის დიაპაზონითზე = X 2 – 2 ოჰ + ა 2 – 1.
ამოხსნის ამ მეთოდს არ შეიძლება ეწოდოს მხოლოდ გრაფიკული, რადგან. აქ ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობების სისტემა. უფრო სწორად ეს მეთოდი კომბინირებულია: ფუნქციურ-გრაფიკული. ამ ორი მეთოდიდან ეს უკანასკნელი არა მხოლოდ ელეგანტურია, არამედ ყველაზე მნიშვნელოვანიც, რადგან გვიჩვენებს ურთიერთობას ყველა ტიპის მათემატიკური მოდელის შორის: პრობლემის სიტყვიერი აღწერა, გეომეტრიული მოდელი - კვადრატული ტრინომის გრაფიკი, ანალიტიკური მოდელი - გეომეტრიული მოდელის აღწერა უტოლობათა სისტემით.
ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ პრობლემა, რომელშიც კვადრატული ტრინომის ფესვები აკმაყოფილებს მოცემულ პირობებს განსაზღვრის სფეროში პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის.

და რა სხვა შესაძლო პირობებს შეიძლება დააკმაყოფილოს კვადრატული ტრინომის ფესვები პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის?

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

3. კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის გამოკვლევა პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობების მიხედვით ა.

დავალება ნომერი 2.

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა კვადრატული განტოლების ფესვები

x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 არის ერთზე მეტი?

გადაწყვეტილება.

განვიხილოთ ფუნქცია: y = x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5)

ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ.

მოდი, სქემატურად გამოვსახოთ პარაბოლა (პრობლემის გეომეტრიული მოდელი).

ახლა გადავიდეთ აგებული გეომეტრიული მოდელიდან ანალიტიკურზე, ე.ი. მოდით აღვწეროთ ეს გეომეტრიული მოდელი მისთვის ადეკვატური პირობების სისტემით.

არის პარაბოლის გადაკვეთის (ან შეხების წერტილი) წერტილები x ღერძთან, შესაბამისად, D≥0, ე.ი. 16+4(a-1)(a-5)≥0.

ვამჩნევთ, რომ პარაბოლას წვერო მდებარეობს მარჯვენა ნახევარსიბრტყეში x=1 სწორი წრფის მიმართ, ე.ი. მისი აბსციზა 1-ზე მეტია, ე.ი. 2>1 (შესრულებულია a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობისთვის).

გაითვალისწინეთ, რომ y(1)>0, ე.ი. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5)>0

შედეგად, ჩვენ მივდივართ უთანასწორობის სისტემამდე.

;

პასუხი: 2<а<4.

დავალება ნომერი 3.

X 2 + ცული - 2 = 0 ერთზე მეტი?

გადაწყვეტილება.

განვიხილოთ ფუნქცია: y = -x 2 + აჰ - 2

ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვემოთ. მოდით გამოვსახოთ განხილული პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

U (1)

შევქმნათ უტოლობების სისტემა.

, არანაირი გადაწყვეტილებები

უპასუხე. ასეთი პარამეტრის მნიშვნელობები არ არსებობს.

No2 და No3 ამოცანების პირობებს, რომლებშიც კვადრატული ტრინომის ფესვები აღემატება გარკვეულ რიცხვს a პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობებისთვის, ვაყალიბებთ შემდეგნაირად.

ზოგადი შემთხვევა #1.

პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის კვადრატული ტრინომის ფესვები

ვ(x) = ცული 2 + in + c მეტია ზოგიერთ k რიცხვზე, ე.ი. რომ<х 1 ≤x 2.

გამოვსახოთ ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი და ჩამოვწეროთ უტოლობების შესაბამისი სისტემა.

ცხრილი 1. მოდელი - სქემა.

დავალება ნომერი 4.

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზეა კვადრატული განტოლების ფესვები

X 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0-ით ნაკლები ერთზე?

გადაწყვეტილება.

განვიხილოთ ფუნქცია: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)

ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ. ამოცანის პირობის მიხედვით ფესვები 1-ზე ნაკლებია, შესაბამისად პარაბოლა კვეთს x ღერძს (ან ეხება x ღერძს სწორი ხაზის მარცხნივ x=1).

მოდი, სქემატურად გამოვსახოთ პარაბოლა (პრობლემის გეომეტრიული მოდელი).

y(1)

გადავიდეთ გეომეტრიული მოდელიდან ანალიტიკურზე.

ვინაიდან არის პარაბოლას x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, მაშინ D≥0.

პარაბოლას წვერო მდებარეობს x=1 სწორი ხაზის მარცხნივ, ე.ი. მისი აბსციზა x 0 <1.

გაითვალისწინეთ, რომ y(1)>0, ე.ი. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.

ჩვენ მივდივართ უთანასწორობის სისტემამდე.

;

პასუხი: -0.5<а<2.

ზოგადი შემთხვევა #2.

პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის ტრინომის ორივე ფესვივ(x) = ცული 2 + in + c ნაკლები იქნება ზოგიერთ k რიცხვზე: x 1 ≤x 2<к.

გეომეტრიული მოდელი და უტოლობების შესაბამისი სისტემა წარმოდგენილია ცხრილში. გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ არის პრობლემები, სადაც კვადრატული ტრინომის პირველი კოეფიციენტი დამოკიდებულია a პარამეტრზე. შემდეგ კი პარაბოლას ტოტები შეიძლება მიმართული იყოს როგორც ზემოთ, ასევე ქვევით, პარამეტრის a მნიშვნელობიდან გამომდინარე. ამ ფაქტს გავითვალისწინებთ ზოგადი სქემის შექმნისას.

ცხრილი ნომერი 2.

f(k)

ანალიტიკური მოდელი

(პირობების სისტემა).

ანალიტიკური მოდელი

(პირობების სისტემა).

დავალება ნომერი 5.

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა 2 -2ax+a=0 ეკუთვნის ინტერვალს (0;3)?

გადაწყვეტილება.

განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი y(x) = x 2 -2ax + a.

გრაფიკი არის პარაბოლა. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ.

ნახატზე ნაჩვენებია განსახილველი პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

ზე

Y(0)

U (3)

0 x 1 x 0 x 1 3 x

აგებული გეომეტრიული მოდელიდან გადავიდეთ ანალიტიკურზე, ე.ი. ჩვენ აღვწერთ მას უტოლობების სისტემით.

არსებობს პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები x ღერძთან (ან შეხების წერტილთან), შესაბამისად, D≥0.

პარაბოლის ზევით არის x=0 და x=3 წრფეებს შორის, ე.ი. პარაბოლას x აბსციზა 0 ეკუთვნის ინტერვალს (0;3).

გაითვალისწინეთ, რომ y(0)>0 და ასევე y(3)>0.

ჩვენ მივდივართ სისტემაში.

;

პასუხი: ა

ზოგადი შემთხვევა #3.

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებს მიეკუთვნება კვადრატული ტრინომის ფესვები ინტერვალს (კ; მ), ე.ი. კ<х 1 ≤х 2 < მ

ცხრილი No3. მოდელი - სქემა.

ვ(x)

ვ(კ)

ვ(მ)

კ x 1 x 0 x 2 მx

f(x)

0kx 1 x 0 x 2 მ

f(k)

f(m)

პრობლემის ანალიტიკური მოდელი

პრობლემის ანალიტიკური მოდელი

დავალება #6.

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებში არის x კვადრატული განტოლების მხოლოდ მცირე ფესვი 2 +2ax+a=0 ეკუთვნის X ინტერვალს (0;3).

გადაწყვეტილება.

2 -2ax + a

გრაფიკი არის პარაბოლა. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ. მოდით x 1 კვადრატული ტრინომის უფრო მცირე ფესვი. პრობლემის პირობის მიხედვით x 1 ეკუთვნის ინტერვალს (0;3). მოდით გამოვსახოთ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს.

ი(x)

ი(0)

0 x 1 3 x 0 x 2 x

ი(3)

გადავიდეთ უტოლობათა სისტემაზე.

1) გაითვალისწინეთ, რომ y(0)>0 და y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. მაშასადამე, ამ პირობის ჩაწერა არ არის საჭირო უტოლობათა სისტემაში.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ უტოლობების შემდეგ სისტემას:

პასუხი: ა >1,8.

ზოგადი შემთხვევა #4.

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებს მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს კვადრატული ტრინომის უფრო მცირე ფესვი (კ; მ), ე.ი. კ<х 1 < მ<х 2 .

ცხრილი No. 4 . მოდელი - სქემა.

f(k)

kx 1 0 მ x 2

f(m)

F(x)

f(m)

kx 1 mx 2 x

f(k)

ანალიტიკური მოდელი

ანალიტიკური მოდელი

დავალება #7.

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზეა მხოლოდ კვადრატული განტოლების უფრო დიდი ფესვი x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 ეკუთვნის ინტერვალს [-1;0).

გადაწყვეტილება.

განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).

გრაფიკი არის პარაბოლა. ტოტები მიმართულია ზემოთ.

მოდით გამოვსახოთ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი. მოდით x 2 არის განტოლების უფრო დიდი ფესვი. პრობლემის პირობით, მხოლოდ უფრო დიდი ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს.

წ(X)

წ(0)

x 1 -1 x 2 0 x

წ(-1)

გაითვალისწინეთ, რომ y(0)>0 და y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

შევქმნათ უტოლობათა სისტემა და მოვაგვაროთ იგი.

პასუხი:

ზოგადი საქმე #5.

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებს მიეკუთვნება კვადრატული ტრინომის უფრო დიდი ფესვი მოცემულ ინტერვალს (კ; მ), ე.ი. x 1< კ<х 2 < მ.

ცხრილი No5. მოდელი - სქემა.

f(x)

f(m)

0 x 1 kx 2 mx

f(k)

f(x)

f(k)

x 1 0kx 2 მ

f(m)

ანალიტიკური მოდელი

ანალიტიკური მოდელი

ვ ADACHA No8.

პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე არის სეგმენტი [-1; 3] მთლიანად განლაგებული x კვადრატული განტოლების ფესვებს შორის. 2 -(2a+1)x+a-11=0?

გადაწყვეტილება.

განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11

გრაფიკი არის პარაბოლა.

ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი ნაჩვენებია ფიგურაში.

ი(x)

X 1 -1 0 3 x 2 x

ი(-1)

ი(3)

ამ პირობებში, D>0, რადგან პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ.

პასუხი: ა

ზოგადი საქმე #6.

პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის კვადრატული ტრინომის ფესვები მოცემული ინტერვალის მიღმა (კ; მ), ე.ი. x 1< კ < მ<х 2 .

x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 დევს რიცხვის მოპირდაპირე მხარეს 3 რიცხვიდან?

გადაწყვეტილება.

განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.

გრაფიკი არის პარაბოლა, ტოტები მიმართულია ზემოთ (პირველი კოეფიციენტი არის 1). მოდით გამოვსახოთ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

X 1 3 x 2 x

ი(3)

გადავიდეთ გეომეტრიული მოდელიდან ანალიტიკურზე.

1. ჩვენ ვამჩნევთ, რომ y (3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 ავტომატურად.+in+c ნაკლებია ზოგიერთ k რიცხვზე: x 1 ≤ x 2 <к

   3. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის a კვადრატული ტრინომალური ცულის ფესვები 2 +in+c ეკუთვნის ინტერვალს (k, t) to<х 1 ≤x 2 <т

   4. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის a კვადრატული ტრინომალური ცულის მხოლოდ პატარა ფესვი 2 +in+c ეკუთვნის მოცემულ ინტერვალს (k, t), ანუ k<х 1 <т<х 2

   1. გამოსახეთ ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

   2. ჩამოწერეთ პირობების სისტემა, რომლებზეც დაყვანილია ამ პრობლემის გადაწყვეტა

   1. გამოსახეთ ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

   2. ჩამოწერეთ პირობების სისტემა, რომლებზეც დაყვანილია ამ პრობლემის გადაწყვეტა

   1. გამოსახეთ ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

   2. ჩამოწერეთ პირობების სისტემა, რომლებზეც დაყვანილია ამ პრობლემის გადაწყვეტა

   x კვადრატული განტოლების ფესვები 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, 1-ზე მეტი.

   პასუხი: 2<а<4

   x კვადრატული განტოლების ფესვები 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, 1-ზე ნაკლები.

   პასუხი:

   -0,5<а<2

   x კვადრატული განტოლების ფესვები 2 -2ax+a=0, ეკუთვნის ინტერვალს (0;3).

   პასუხი: 1≤a< 9 / 5

   მხოლოდ x განტოლების უფრო მცირე ფესვი 2 -2ax+a=0, ეკუთვნის ინტერვალს (0;3).

   პასუხი: 1≤a< 9 / 5

   1. გამოსახეთ ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

   2. ჩამოწერეთ პირობების სისტემა, რომლებზეც დაყვანილია ამ პრობლემის გადაწყვეტა

   1. გამოსახეთ ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

   2. ჩამოწერეთ პირობების სისტემა, რომლებზეც დაყვანილია ამ პრობლემის გადაწყვეტა

   1. გამოსახეთ ამ პრობლემის გეომეტრიული მოდელი.

   2. ჩამოწერეთ პირობების სისტემა, რომლებზეც დაყვანილია ამ პრობლემის გადაწყვეტა

   x განტოლების მხოლოდ უდიდესი ფესვი 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, ეკუთვნის ინტერვალს [-1;0).

   პასუხი:(-5;-4]U[-2;-1)

   სეგმენტი [-1; 3] მთლიანად არის x კვადრატული განტოლების ფესვებს შორის 2 -(2a+1)x+a-11=0.

   პასუხი: -1<а<3

   x კვადრატული განტოლების ფესვები 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, დაწექი 3 რიცხვის მოპირდაპირე მხარეს.

   პასუხი ( 10 / 7 ;∞)

   მადლობა ბიჭებო გაკვეთილისთვის!

კვადრატული ტრინომია სასკოლო მათემატიკის მთავარი ფუნქციაა - სხვათა შორის, არა ყველაზე პრიმიტიული. პრობლემების გადასაჭრელად მის მიერ მოწოდებული რესურსების გამოყენების უნარი დიდწილად ახასიათებს სკოლის ალგებრის მოსწავლის მათემატიკური აზროვნების დონეს. ამ ნაშრომში ჩვენ ვამტკიცებთ ამ თეზისს და ვაძლევთ მაგალითებს კვადრატული ფუნქციის თვისებების კონკრეტული გამოყენების შესახებ. მასტიმულირებელი ფაქტორია ის ფაქტი, რომ ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას პარამეტრებით, ადრე თუ გვიან საჭიროა (და წარმატებას მიაღწევს) პრობლემის გადაფორმება კვადრატული ტრინომის მიხედვით და მისი გადაჭრა ამ უნივერსალური ფუნქციის თვისებების გამოყენებით.

კვადრატული ტრინომის შესწავლა

განმარტება. კვადრატული ტრინომიალი x-ის მიმართარის ფორმის გამოხატულება f(x) = ax 2 + bx + c (1), სადაც a, b, cR, a0.

კვადრატული ტრინომი არის მე-2 ხარისხის ჩვეულებრივი პოლინომი. კვადრატული ტრინომის მიხედვით ჩამოყალიბებული კითხვების დიაპაზონი მოულოდნელად უკიდურესად ფართოა. იმის გამო, რომ კვადრატული ტრინომის შესწავლასთან დაკავშირებული ამოცანები ტრადიციულად საპატიო და თვალსაჩინო ადგილს იკავებს სკოლის და უნივერსიტეტის მისაღები გამოცდების წერილობით, ძალიან მნიშვნელოვანია სტუდენტს (მომავალ განმცხადებელს) ასწავლოს არაფორმალური (ანუ შემოქმედებითი) ფლობა. ასეთი კვლევის სხვადასხვა ტექნიკა და მეთოდი. ამ მეთოდურ განვითარებაში ფიქსირდება ძირითადი დებულებები კვადრატული ტრინომის შესახებ (ვიეტას თეორემა, ფესვების მდებარეობა რიცხვითი ღერძის მოცემულ წერტილებთან მიმართებაში, დისკრიმინანტის დამუშავების ტექნიკა), სხვადასხვა ტიპის პრობლემები და სირთულის სხვადასხვა დონე. მოგვარებულია. მთავარი იდეოლოგიური დასკვნა არის ის, რომ სასკოლო მათემატიკაში არის ღრმა შინაარსით მდიდარი ფრაგმენტები, რომლებიც ხელმისაწვდომია მოსწავლისთვის და არ საჭიროებს მათემატიკური ანალიზის გამოყენებას და ე.წ. „უმაღლესი მათემატიკის“ სხვა მონაკვეთებს.

ტრინომის (1) გრაფიკი არის პარაბოლა; 0 - ზევით. პარაბოლის მდებარეობა Ox ღერძთან მიმართებაში დამოკიდებულია დისკრიმინანტის მნიშვნელობაზე D = b 2 - 4ac: D>0-ისთვის არის პარაბოლის გადაკვეთის ორი წერტილი Ox ღერძთან (ტრინომის ორი განსხვავებული რეალური ფესვი) ; D=0-ზე - ერთი წერტილი (ორმაგი ნამდვილი ფესვი); D 0-ზე - Ox ღერძის ზემოთ). სტანდარტული ხრიკი არის ტრინომის შემდეგი წარმოდგენა (სრული კვადრატის შერჩევის გამოყენებით):

f(x) = ax2 + bx + c = = . ეს წარმოდგენა აადვილებს გრაფიკის აგებას y=x 2 ფუნქციის გრაფიკის წრფივი გარდაქმნების მეშვეობით; პარაბოლას წვეროს კოორდინატები: .

იგივე ტრანსფორმაცია შესაძლებელს ხდის დაუყოვნებლივ გადაჭრას უმარტივესი ექსტრემალური პრობლემა: ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი (0-ისთვის) მნიშვნელობა (1); უკიდურესი მნიშვნელობა მიიღწევა წერტილში და უდრის .

ერთ-ერთი მთავარი განსჯა კვადრატული ტრინომის შესახებ -

თეორემა 1 (ვიეტა). თუ x 1, x 2 არის ტრინომის ფესვები (1), მაშინ

(ვიეტას ფორმულები).

ვიეტას თეორემის დახმარებით მრავალი პრობლემის გადაჭრაა შესაძლებელი, კერძოდ, ის, რომლებშიც საჭიროა ჩამოყალიბდეს პირობები, რომლებიც განსაზღვრავენ ფესვების ნიშნებს. შემდეგი ორი თეორემა არის ვიეტას თეორემის პირდაპირი შედეგი.

თეორემა 2. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) ფესვები იყოს რეალური და ჰქონდეს იგივე ნიშნები, აუცილებელია და საკმარისი იყოს შემდეგი პირობების დაცვა:

D \u003d b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 \u003d\u003e 0,

ორივე ფესვი დადებითია x 1 + x 2 = > 0,

და ორივე ფესვი უარყოფითია x 1 + x 2 =-ზე

თეორემა 3. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) ფესვები იყოს რეალური და ჰქონდეს განსხვავებული ნიშნები, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი პირობების დაცვა:

D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 =

ამ შემთხვევაში, დადებით ფესვს აქვს უფრო დიდი მოდული x 1 + x 2 \u003d\u003e 0,

და უარყოფით ფესვს აქვს უფრო დიდი მოდული x 1 + x 2 =

ქვემოთ დადასტურებული თეორემები და დასკვნები შეიძლება (და ამიტომ უნდა) ეფექტურად იქნას გამოყენებული პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად.

თეორემა 4. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) ორივე ფესვი იყოს M რიცხვზე ნაკლები, ანუ რეალურ წრფეზე ფესვები დევს M წერტილის მარცხნივ, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი პირობების დაკმაყოფილება. :

ან, პირობების გაერთიანებით,

(ნახ. 1a და 1b).

მტკიცებულება.

საჭიროება. თუ ტრინომს (1) აქვს ნამდვილი ფესვები x 1 და x 2 (შეიძლება იგივე), x 1 x 2 და x 1, (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. ვიეტას ფორმულების მიხედვით მაშასადამე, ან და ა.შ.

ადეკვატურობა- პირობასთან წინააღმდეგობა. თუ , მაშინ (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, საიდანაც , af(M) 0 - ისევ წინააღმდეგობა პირობასთან; რჩება მხოლოდ შესაძლებლობა x 1

თეორემა 5. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) ერთ-ერთი ფესვი იყოს M რიცხვზე ნაკლები, ხოლო მეორე მეტი M რიცხვზე, ანუ წერტილი M მდებარეობს ფესვებს შორის ინტერვალში, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი პირობების დაკმაყოფილება:

, ან, პირობების გაერთიანება, af(M)

(ნახ. 2a და 2b).

მტკიცებულება.

საჭიროება. თუ ტრინომს (1) აქვს ნამდვილი ფესვები x 1 და x 2 , x 1 M , მაშინ (x 1 - M) (x 2 - M), შესაბამისად , ან af(M)

ადეკვატურობა. მოდით af(M) , ან , შემდეგ (x 1 - M) (x 2 - M)0,

x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, საიდანაც , af(M)0 - პირობასთან წინააღმდეგობა; ერთადერთი შესაძლებლობა რჩება, რაც დასამტკიცებელია. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 6. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) ორივე ფესვი იყოს M რიცხვზე დიდი, ანუ რეალურ წრფეზე ფესვები დევს M წერტილის მარჯვნივ, აუცილებელია და საკმარისია შემდეგი პირობების დაცვა. :

ან, პირობების გაერთიანებით,

(ნახ. 3a და 3b).

მტკიცებულება. საჭიროება. თუ ტრინომილს (1) აქვს ნამდვილი ფესვები x 1 და x 2 (შესაძლოა ემთხვევა), x 1 x 2 და x 1 > M, x 2 > M, მაშინ, (x 1 -M)(x 2 -M)> 0 , x1 + x2 > 2M; წინააღმდეგ შემთხვევაში x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M, შესაბამისად, ან და ა.შ.

ადეკვატურობა. იყოს . ჩვენ საპირისპიროს ვამტკიცებთ. დავუშვათ, რომ, მაშინ - პირობასთან წინააღმდეგობა. თუ , მაშინ (x 1 - M) (x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, საიდანაც , af(M) 0 - ისევ წინააღმდეგობა პირობასთან; რჩება მხოლოდ შესაძლებლობა x 1 > M, x 2 > M, რაც დასამტკიცებელია. თეორემა დადასტურდა.

დასკვნა 1. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) ორივე ფესვი იყოს M რიცხვზე დიდი, მაგრამ N რიცხვზე ნაკლები (M)

ან, პირობების გაერთიანებით,

(ნახ. 4a და 4b).

შედეგი 2. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) მხოლოდ უდიდესი ფესვი მიეკუთვნებოდეს ინტერვალს (M,N), სადაც M

ან, პირობების გაერთიანებით,

პატარა ფესვი დევს სეგმენტის გარეთ

(ნახ. 5ა და 5ბ).

დასკვნა 3. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის (1) მხოლოდ მცირე ფესვი მიეკუთვნებოდეს ინტერვალს (M,N), სადაც M

, ან, პირობების გაერთიანება, ;

უფრო დიდი ფესვი დევს სეგმენტის გარეთ

(ნახ. 6a და 6b).

შედეგი 4. იმისათვის, რომ კვადრატული ტრინომის ერთ-ერთი ფესვი (1) იყოს M-ზე ნაკლები, ხოლო მეორე მეტი N-ზე (M)

ან, პირობების გაერთიანებით,

(ნახ. 7, ა და 7, ბ).

რა თქმა უნდა, თეორემების 4-6 და დასკვნა 1-4 შედეგების ანალიტიკური და გეომეტრიული ინტერპრეტაციები ეკვივალენტურია და სტრატეგიული მიზანია ერთი ენიდან მეორეზე ზუსტი თარგმნის უნარების გამომუშავება. განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია იმის დემონსტრირება, თუ როგორ ეხმარება „ვიზუალიზაცია“ („გრაფიკული ხედი“) ზუსტად ჩამოწეროს ფორმალური პირობები, რომლებიც აუცილებელია და საკმარისია დავალების მოთხოვნების შესასრულებლად.

მივუთითოთ ტიპიური ამოცანები, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია დადასტურებული თეორემების (უფრო ზოგადად, კვადრატული ტრინომის თვისებების მიხედვით მათი ამოხსნის) დახმარებით.

დავალება 1. იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებებს x 2 +ax+1=0 და x 2 +x+a=0 აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი.

გამოსავალი. ორივე განტოლებას აქვს ზუსტად იგივე ფესვები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შესაბამისი კვადრატული ტრინომების კოეფიციენტები ერთნაირია (მეორე ხარისხის მრავალწევრი მთლიანად განისაზღვრება მისი ორი ფესვით და ამ მრავალწევრების შესაბამისი კოეფიციენტები ტოლია), აქედან გამომდინარე მივიღებთ a= 1. თუმცა, თუ მხედველობაში მიიღება მხოლოდ რეალური ფესვები, მაშინ a=1-ისთვის არ არსებობს (შესაბამისი ტრინომის დისკრიმინანტი უარყოფითია). a1-სთვის ჩვენ ვამტკიცებთ შემდეგნაირად: თუ x 0 არის ორივე განტოლების ფესვი f(x)=0 და g(x)=0, მაშინ x 0 იქნება f(x)-g(x) განტოლების ფესვი. =0 (ეს მხოლოდ აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობაა ორი განტოლების საერთო ფესვის არსებობისთვის f(x)=0 და g(x)=0, ვინაიდან განტოლება f(x) - g(x) =0 არის მათი შედეგი); გამოვაკლოთ მეორე პირველ განტოლებას და მიიღეთ

(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, საიდანაც a1, x=1. Ამგვარად, თუმოცემული განტოლებებს აქვთ საერთო ფესვი, მაშინ ის უდრის 1-ს. ჩაანაცვლეთ x = 1 პირველ განტოლებაში: 1 + a + 1 = 0 და a = -2.

უპასუხე. a = -2.

დავალება 2. რა a-ზე იქნება x 2 - ცული + a - 1 = 0 განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი ყველაზე პატარა?

გამოსავალი. ავტორი ვიეტას თეორემა, x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. გვაქვს:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 და = 1 a=1-ისთვის.

უპასუხე. a = 1.

დავალება 3. არსებობს თუ არა ისეთი, რომ f(x)=x 2 +2x+a მრავალწევრის ფესვები იყოს რეალური, განსხვავებული და ორივე იყოს -1 და 1 შორის?

გამოსავალი. იმისთვის, რომ f (x) ტრინომის ორივე ფესვი x 1 და x 2 ჩასმული იყოს -1-სა და 1-ს შორის, აუცილებელია, რომ ამ ფესვების საშუალო არითმეტიკული იყოს -1-სა და 1-ს შორის: ; მაგრამ ზე ვიეტას თეორემა, , Ამიტომაც

უპასუხე. არა.

დავალება 4. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი x 2 + (2a + 6)x + 4a + 12 = 0 რეალური და ორივე -1-ზე მეტია?

გამოსავალი. თეორემა 6იძლევა:

, , , .

უპასუხე. .

დავალება 5. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 რეალური და ორივე -1-ზე ნაკლები?

გამოსავალი. თეორემა 4იძლევა:

, , , a>1.

უპასუხე. a > 1.

დავალება 6. პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის არის a კვადრატული განტოლების ერთი ფესვი f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 3-ზე მეტი, ხოლო მეორე 2-ზე ნაკლები. ?

გამოსავალი. დაუყოვნებლივ გაითვალისწინეთ, რომ a2 (წინააღმდეგ შემთხვევაში განტოლებას მხოლოდ ერთი ფესვი ექნება). გამოიყენება დასკვნა 4(აქ M=2, N=3):

, , , 2

უპასუხე. a (2; 5).

დავალება 7. რისთვის აქვს a განტოლებას (a-1)x 2 -(2a-1)x+a+5 = 0 (2) რეალური ფესვები? გამოიკვლიეთ ამ ფესვების ნიშნები.

გამოსავალი. თუ a = 1, განტოლება (2) წრფივია: -x + 6 = 0, x = 6 > 0.

თუ a1, მაშინ განტოლება (2) არის კვადრატული და აქვს რეალური ფესვები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ D=(2a-1) 2 -4(a-1)(a+5)0, . ორივე ფესვი დადებითია (თეორემა 6), სადაც

და ;

ორივე ფესვი უარყოფითია (თეორემა 4) - გადაწყვეტილებების ამ სისტემას არ გააჩნია; ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ (a-1)(a+5) თეორემა 5-ში, ანუ -5

უპასუხე.

ორივე ფესვი დადებითია; a=-5-ისთვის ერთ-ერთი ფესვი არის 0.

a = 1-ისთვის - ერთადერთი დადებითი ფესვი x=6.

გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

დავალება 8. იპოვეთ a-ს ყველა რეალური მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის ტრინომი

(a 2 -1)x 2 + 2(a-1)x + 1 დადებითია ყველა რეალური x-სთვის.

გამოსავალი. a 2 =1-ით მივიღებთ 2(a-1)x+1 ბინომალს; a=1-ისთვის ამოცანის პირობა შესრულებულია, a=-1-ისთვის - არა. თუ არის 2 1, მაშინ უტოლობის დასაკმაყოფილებლად

(a 2 -1)x 2 +2(a-1)x+1>0 ყველა xR საჭირო და საკმარისია

,

საიდანაც ვპოულობთ a>1.

უპასუხე. a 1.

განტოლებები

დავალება 9. რა პირობებში აქვს განტოლებას x 2 +px+q=0 (3), სადაც x=sint, ამონახსნები აქვს t? იპოვნეთ ყველა ეს გამოსავალი.

გამოსავალი. 1. განტოლებას (3) აქვს ფესვი x 1 =-1, ან sint=-1, ან t= , თუ 1-p+q=0. მეორე ფესვი უდრის x 2 =1-p; მაშასადამე, თუ , მაშინ განტოლებას sin 2 t +psint+q=0 (4) აქვს, მითითებულთა გარდა, ფესვები (p=2-სთვის, ფესვების ორივე სერია ემთხვევა).

2. განტოლებას (3) აქვს ფესვი x 1 =1, ან sint=1, ან t= , თუ

1+p+q=0. ამ შემთხვევაში მეორე ფესვი უდრის x 2 =-1-p; მაშასადამე, თუ , მაშინ განტოლებას (4) აქვს, გარდა მითითებულის, ფესვები (p=-2-ისთვის, ფესვების ორივე სერია ემთხვევა).

3. ფესვები (3) უდრის ერთმანეთს p 2 -4q=0; შემდეგ x 1 =x 2 =-p/2; თუ მეტიც, , მაშინ , ხოლო p2-სთვის ფესვები არ არის. თუ p=2, მაშინ q=1, x 2 +2x+1=0, x=-1, t=, და თუ p=-2, მაშინ x=1, t=.

I შემთხვევა ჩნდება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 1-p+q>0, 1+p+q დასკვნა 3), ან p-1.

შემთხვევა II ხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ 1-p+q 0 ( დასკვნა 2), ან -p-1.

III შემთხვევა ხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ p 2 >4q, -2+p 0, 1-p+q>0, 1+p+q>0 ( შედეგი 1), ან 2

სადაც .

სხვა შემთხვევაში განტოლებას sin 2 t +psint+q=0 ამონახსნები არ აქვს.

დავალება 10. რომელი aR-სთვის აქვს ამონახსნები განტოლებას sin 4 x+cos 4 x+sin2x+a=0 (5)? იპოვეთ ეს გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი. ვინაიდან sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2sin 2 xcos 2 x + cos 4 x - 2sin 2 xcos 2 x =

(sin 2 x+cos 2 x) 2 - 4sin 2 xcos 2 x = 1 - sin 2 2x, განტოლება (5) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

1 - sin 2 2x + sin2x + a = 0, sin 2 2x - 2sin2x - 2 - 2a = 0; მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება y=sin2x:

y 2 - 2y - 2 - 2a = 0 (6).

განტოლებას (6) აქვს რეალური ფესვები, თუ D=3+2a. მოდით y 1 , y 2 იყოს (6) ფესვები. განტოლებას (5) აქვს ფესვები ერთ-ერთ შემდეგ შემთხვევაში:

1. ერთი ფესვი მაინც უდრის 1-ს. მაშინ 1-2-2-2a=0, a=; განტოლება (6) იღებს y 2 -2y+1=0 ფორმას და მეორე ფესვიც უდრის 1-ს; ამიტომ, a= sin2x=1, 2x= .

2. ერთი ფესვი მაინც უდრის -1-ს. მაშინ 1+2-2-2a=0, a=; განტოლება (6) იღებს ფორმას y 2 -2y-3=0, ხოლო მეორე ფესვი არის 3; მაგრამ ფესვი y=3 არ არის შესაფერისი, ამიტომ a= sin2x=-1, 2x= .

3. -1 : 3+2a>0, a>-, (-1) 2 -2(-1)-2-2a>0, 2(-1)-2

1 2 -21-2-2a>0, 21-2>0 - წინააღმდეგობრივი სისტემა (0=2-2>0).

4. y 1: (-1) 2 -2(-1)-2-2a1-2-2a>0 არის წინააღმდეგობა.

5. -1 დასკვნა 3: ამ შემთხვევაში 1 2 -21-2-2a (-1)-2-2a>0 და . (6)-ის ფესვებია y 1 =1-, y 2 =1+ და მხოლოდ . მერე

4. კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა პარამეტრიდან გამომდინარე

ხშირად არის პრობლემები იმ პარამეტრებთან, რომლებშიც საჭიროა კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის დადგენა რეალურ ღერძზე. წინა პუნქტის ძირითადი დებულებებისა და აღნიშვნის საფუძველზე განიხილეთ შემდეგი შემთხვევები:

1. მიეცეს კვადრატული ტრინომი, სადაც
და წერტილი მღერძზე ოქსი. მერე ორივე ცხენი
კვადრატული ტრინომიალი
იქნება მკაცრად ნაკლები მ

ან

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათებში 3.1 და 3.2.

2. მოცემულია კვადრატული ტრინომი, სად და წერტილი მღერძზე ოქსი. უთანასწორობა
მოქმედებს მხოლოდ მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვები ადა
აქვს სხვადასხვა ნიშნები, ანუ
(ნახ. 4.1 და 4.2.)

3. მიეცეს კვადრატული ტრინომი, სად და წერტილი მღერძზე ოქსი. მერე ორივე ცხენი
კვადრატული ტრინომიალი იქნება მკაცრად უფრო დიდი მთუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

ან

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათებში 5.1 და 5.2.

4. მოცემულია კვადრატული ტრინომი, სად და ინტერვალი (მ, მ) მაშინ კვადრატული ტრინომის ორივე ფესვი მიეკუთვნება მითითებულ ინტერვალს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

ან

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათებში 6.1 და 6.2.

5. მიეცეს კვადრატული ტრინომი, სადაც არის მისი ფესვები და სეგმენტი
. სეგმენტი დევს ინტერვალში
თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია 7.1 და 7.2 სურათებზე.

მაგალითი.იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობაა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლების ორივე ფესვი
-2-ზე მეტი.

გადაწყვეტილება.იგი მითითებულია ამოცანის პირობაში. რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს, ასე რომ. განსახილველი სიტუაცია აღწერილია მე-3 შემთხვევაში და ნაჩვენებია სურათზე 5.1. და 5.2.

მოდი ვიპოვოთ,
,

ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ ორი სისტემის კომპლექტს:

ან

ამ ორი სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ.

უპასუხე.თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის აუფსკრულიდან, განტოლების ორივე ფესვი მეტია -2-ზე.

მაგალითი.პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეაუთანასწორობა
შესრულებული ნებისმიერი
?

გადაწყვეტილება.თუ კომპლექტი Xარის ამ უტოლობის ამოხსნა, მაშინ პრობლემის პირობა ნიშნავს, რომ ინტერვალი
უნდა იყოს ნაკრების ფარგლებში X, ე.ი

.

განვიხილოთ პარამეტრის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა ა.

1.თუ a=0, მაშინ უტოლობა იღებს ფორმას
და მისი ამოხსნა იქნება ინტერვალი
. ამ შემთხვევაში პირობა დაკმაყოფილებულია და a=0არის პრობლემის გადაწყვეტა.

2.თუ
, მაშინ უტოლობის მარჯვენა მხარის გრაფიკი არის კვადრატული ტრინომი, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. უტოლობის ამოხსნა დამოკიდებულია ნიშანზე.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც
. მაშინ, იმისთვის, რომ უტოლობა დარჩეს ყველასთვის, საჭიროა, რომ კვადრატული ტრინომის ფესვები იყოს -1-ზე ნაკლები, ანუ:

ან

ამ სისტემის გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ
.

Თუ
, მაშინ პარაბოლა დევს ღერძის ზემოთ ოx, და უტოლობის ამოხსნა იქნება ნებისმიერი რიცხვი რეალური რიცხვების სიმრავლიდან, ინტერვალის ჩათვლით. მოდი ვიპოვოთ ასეთი ამდგომარეობიდან:

ან

ამ სისტემის გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ
.

3.თუ
, შემდეგ ზე
უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი , რომელიც არ შეიძლება შეიცავდეს ინტერვალს და თუ
ამ უთანასწორობას გამოსავალი არ აქვს.

ყველა ნაპოვნი მნიშვნელობის გაერთიანება ა, პასუხს ვიღებთ.

უპასუხე.ნებისმიერი პარამეტრის მნიშვნელობისთვის ინტერვალიდან
უთანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერისთვის.

მაგალითი.პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის სეგმენტი ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები
?

გადაწყვეტილება. 1. თუ
, მაშინ

ა) ზე a = 1 ფუნქცია მიიღებს ფორმას წ = 2 და მისი მნიშვნელობების ნაკრები შედგება ერთი წერტილისგან 2 და არ შეიცავს სეგმენტს;

ბ) როდის a =-1 ფუნქცია მიიღებს ფორმას წ = -2 x+2 . მისი მნიშვნელობების ნაკრები
შეიცავს სეგმენტს, ასე რომ a =-1 არის პრობლემის გადაწყვეტა.

2.თუ
, მაშინ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას პარაბოლის წვეროზე
:

,
.

ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის ინტერვალი
, რომელიც შეიცავს სეგმენტს
თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

.

3. თუ
, მაშინ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვევით, ფუნქცია იღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას პარაბოლის წვეროზე
. ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის ინტერვალი
, რომელიც შეიცავს სეგმენტს, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

ამ უტოლობათა სისტემის ამოხსნით, ვიღებთ
.

გადაწყვეტილებების გაერთიანებით, ჩვენ ვიღებთ
.

უპასუხე.ზე
ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები შეიცავს სეგმენტს.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1. კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლის გარეშე
, პოვნა

ა)
, ბ)
, შიგნით)

2. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე

ა)
, ბ)
, შიგნით)
, გ)

3. განტოლებების ამოხსნა

ა)
, ბ)

4. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლების ორივე ფესვი
დაწოლა ინტერვალზე (-5, 4)?

5. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აუთანასწორობა მოქმედებს ყველა მნიშვნელობისთვის x?

6. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა

სეგმენტზე
არის -1?

7. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება
ფესვები აქვს?

კარპოვა ირინა ვიქტოროვნა

მათემატიკის არჩევითი კურსის პროგრამა და საგანმანათლებლო მასალები 8-9 კლასის მოსწავლეებისთვის "ალბათობის თეორიის ელემენტები და მათემატიკური სტატისტიკა"

განმარტებითი შენიშვნა

ამჟამად აშკარა ხდება ალბათურ-სტატისტიკური კანონების უნივერსალურობა, ისინი გახდა საფუძველი მსოფლიოს მეცნიერული სურათის აღწერისთვის. ალბათურ-სტატისტურ საფუძველზე ვითარდება თანამედროვე ფიზიკა, ქიმია, ბიოლოგია, დემოგრაფია, ლინგვისტიკა, ფილოსოფია, სოციალურ-ეკონომიკური მეცნიერებათა მთელი კომპლექსი.

ბავშვი თავის ცხოვრებაში ყოველდღიურად ხვდება სავარაუდო სიტუაციებს. ალბათობისა და სანდოობის ცნებების ურთიერთკავშირის გაგებასთან დაკავშირებული საკითხების სპექტრი, რამდენიმე გადაწყვეტილებიდან საუკეთესოს არჩევის პრობლემა, რისკის ხარისხისა და წარმატების შანსების შეფასება - ეს ყველაფერი ფორმირების რეალური ინტერესების სფეროშია და. ინდივიდის თვითგანვითარება.

ყოველივე ზემოთქმული აუცილებელს ხდის ბავშვის ალბათურ-სტატისტიკური შაბლონების გაცნობას.

კურსის მიზანი:გააცნოს მოსწავლეებს მონაცემთა დამუშავების ზოგიერთი თეორიული და ალბათური ნიმუში და სტატისტიკური მეთოდები.

კურსის მიზნები

გააცნოს სტუდენტებს ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეპტუალური აპარატი.

ისწავლეთ მოვლენების ალბათობის განსაზღვრა კლასიკური ტესტის სქემაში.

სტატისტიკური მონაცემების პირველადი დამუშავების მეთოდების გაცნობა.

მოთხოვნები კურსის შინაარსის დაუფლების დონეზე

კურსის პროგრამის დაუფლების შედეგად სტუდენტებმა უნდა ვიცით:

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები: ტესტი, ტესტის შედეგი, ელემენტარული მოვლენათა სივრცე, შემთხვევითი, გარკვეული, შეუძლებელი მოვლენები, ერთობლივი და შეუთავსებელი მოვლენები;

კლასიკური ტესტის სქემის პირობები და მოვლენის ალბათობის განსაზღვრა კლასიკურ ტესტის სქემაში;

მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირისა და სტატისტიკური ალბათობის დადგენა;

ვარიაციის სერიის და მისი ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლების განსაზღვრა.

კურსის განმავლობაში სტუდენტებმა უნდა შეიძინონ უნარები:

განსაზღვროს ტესტის ყველა შესაძლო შედეგი, მოვლენების თავსებადობა და შეუთავსებლობა;

კლასიკურ ტესტის სქემაში ალბათობის გამოთვლის თეორიული და ალბათური ამოცანების ამოხსნა;

მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირის გამოთვლა;

გააკეთეთ ნიმუშის სტატისტიკური განაწილება და გამოთვალეთ მისი რიცხვითი მახასიათებლები.

პროგრამა გულისხმობს სტუდენტების განვითარებას უნარები:

არსებული ალგორითმების გამოყენება და საჭიროების შემთხვევაში მათი შემოქმედებითი დამუშავება პრობლემის კონკრეტულ პირობებში;

პრობლემის დამოუკიდებელი გადაჭრა;

ძირითადი განმარტებებისა და ფორმულების შემცველი განზოგადებული სქემების ამოცანების ამოხსნაში გამოყენება.

კურსის ფარგლები: შემოთავაზებული კურსი 20 საათია

თემატური დაგეგმვა

	გაკვეთილის თემები	საათების რაოდენობა
	ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები.
	კლასიკური ტესტის სქემა. ალბათობის განსაზღვრა კლასიკურ ტესტის სქემაში.
	სიხშირე აბსოლუტური და ფარდობითია.
	ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება.
	ზოგადი და სანიმუშო პოპულაციები.
	ნიმუშის სტატისტიკური განაწილება.
	სტატისტიკური განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები.
	სტატისტიკური შეფასება და პროგნოზი.

სახელმძღვანელო ტექსტი

ბევრს უყვარს მათემატიკა მისი მარადიული ჭეშმარიტებისთვის: ორჯერ ორი ყოველთვის ოთხია, ლუწი რიცხვების ჯამი ლუწია, ხოლო მართკუთხედის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს. ნებისმიერ პრობლემაზე, რომელიც მათემატიკის გაკვეთილზე გადაჭრით, ყველა ერთნაირი პასუხს იღებდა - თქვენ უბრალოდ არ უნდა დაუშვათ შეცდომები ამოხსნაში.

რეალური ცხოვრება არც ისე მარტივი და ცალსახაა. ბევრი ფენომენის შედეგების წინასწარ პროგნოზირება შეუძლებელია, რაც არ უნდა სრული ინფორმაცია გვქონდეს მათ შესახებ. შეუძლებელია, მაგალითად, დანამდვილებით იმის თქმა, თუ რომელ მხარეს დაეშვება გადაყრილი მონეტა, როდის მოვა პირველი თოვლი მომავალ წელს ან რამდენ ადამიანს მოუნდება ქალაქში სატელეფონო ზარი მომდევნო საათში. ასეთ არაპროგნოზირებად მოვლენებს ე.წ შემთხვევითი.

თუმცა, საქმესაც აქვს თავისი კანონები, რომლებიც იწყებენ გამოვლენას შემთხვევითი ფენომენების განმეორებით. თუ მონეტას 1000-ჯერ გადააგდებთ, მაშინ "არწივი" დაახლოებით ნახევარზე ამოვარდება, რაც არ შეიძლება ითქვას ორ ან თუნდაც ათ სროლაზე. ყურადღება მიაქციეთ სიტყვას "დაახლოებით" - კანონი არ წერს, რომ "არწივების" რიცხვი იქნება ზუსტად 500 ან დაეცემა 490-დან 510-მდე. ის საერთოდ არაფერს ამბობს კონკრეტულად, მაგრამ გარკვეულ დარწმუნებას იძლევა, რომ ზოგიერთი მოხდება შემთხვევითი მოვლენა.. ასეთ კანონზომიერებებს სწავლობს მათემატიკის სპეციალური ფილიალი - ალბათობის თეორია.

ალბათობის თეორია განუყოფლად არის დაკავშირებული ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებასთან. ეს იძლევა შესანიშნავ შესაძლებლობას ემპირიულად დაადგინოს ბევრი ალბათური კანონი, შემთხვევითი ექსპერიმენტების განმეორებით განმეორებით. ამ ექსპერიმენტების მასალები ყველაზე ხშირად იქნება ჩვეულებრივი მონეტა, კამათელი, დომინოს ნაკრები, რულეტის ბორბალი და კარტების დასტაც კი. თითოეული ეს ელემენტი, ასე თუ ისე, დაკავშირებულია თამაშებთან. ფაქტია, რომ საქმე აქ ყველაზე სუფთა სახით ჩნდება და პირველი ალბათური პრობლემები დაკავშირებული იყო მოთამაშეების გამარჯვების შანსების შეფასებასთან.

თანამედროვე ალბათობის თეორია აზარტული თამაშებისგან ისევე შორს წავიდა, როგორც გეომეტრია მიწის მართვის პრობლემებისგან, მაგრამ მათი რეკვიზიტები მაინც ყველაზე მარტივი და საიმედო წყაროა. რულეტის ბორბალითა და კალათით ვარჯიშით, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ გამოთვალოთ შემთხვევითი მოვლენების ალბათობა რეალურ ცხოვრებაში, რაც საშუალებას მოგცემთ შეაფასოთ თქვენი წარმატების შანსები, შეამოწმოთ ჰიპოთეზები და მიიღოთ გადაწყვეტილებები არა მხოლოდ თამაშებსა და ლატარიებში.

მათემატიკური სტატისტიკა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის მასობრივ შემთხვევით ფენომენებზე დაკვირვების შედეგების შეგროვების, სისტემატიზაციისა და დამუშავების მეთოდებს არსებული შაბლონების იდენტიფიცირების მიზნით.

გარკვეული გაგებით, მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემები საპირისპიროა ალბათობის თეორიის პრობლემებთან შედარებით: საქმე ეხება მხოლოდ შემთხვევითი ცვლადების ექსპერიმენტულად მიღებულ მნიშვნელობებს, სტატისტიკა მიზნად ისახავს წამოაყენოს და შეამოწმოს ჰიპოთეზები ამ შემთხვევითი ცვლადების განაწილების შესახებ და შეაფასოს პარამეტრების პარამეტრები. მათი განაწილება.

1. შემთხვევითი მოვლენები. როგორ შევადაროთ მოვლენები?

მათემატიკის ნებისმიერ სხვა დარგის მსგავსად, ალბათობის თეორიას აქვს საკუთარი კონცეპტუალური აპარატი, რომელიც გამოიყენება განმარტებების ფორმულირების, თეორემების დასამტკიცებლად და ფორმულების გამოყვანისას. მოდით განვიხილოთ ცნებები, რომლებსაც გამოვიყენებთ თეორიის შემდგომ ექსპოზიციაში.

სასამართლო პროცესი- პირობების დანერგვა.

ტესტის შედეგი (დაწყებითი მოვლენა)- ნებისმიერი შედეგი, რომელიც შეიძლება მოხდეს ტესტის დროს.

მაგალითები.

1) საცდელი:

Ტესტის პასუხები:ω 1 - ერთი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა სახეზე;

ω 2 – ორი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა სახეზე;

ω 3 – სამი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა ნაწილზე;

ω 4 – კუბის ზედა სახეზე ოთხი წერტილი გამოჩნდა;

ω 5 – კუბის ზედა სახეზე ხუთი წერტილი გამოჩნდა;

ω 6 - ექვსი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა ნაწილზე.

საერთო ჯამში, შესაძლებელია 6 ტესტის შედეგი (ან 6 ელემენტარული მოვლენა).

2) საცდელი:სტუდენტი აბარებს გამოცდას.

Ტესტის პასუხები:ω 1 - სტუდენტმა მიიღო დუი;

ω 2 - სტუდენტმა მიიღო სამი;

ω 3 - სტუდენტმა მიიღო ოთხი;

ω 4 - სტუდენტმა მიიღო ხუთეული.

საერთო ჯამში შესაძლებელია 4 ტესტის შედეგი (ან 4 ელემენტარული მოვლენა).

კომენტარი. აღნიშვნა ω არის ელემენტარული მოვლენის სტანდარტული აღნიშვნა, შემდეგში ჩვენ გამოვიყენებთ ამ აღნიშვნას.

ჩვენ ვუწოდებთ ამ ტესტის შედეგებს თანაბრად შესაძლებელიათუ ცდის შედეგებს აქვს იგივე შანსი გამოჩნდეს.

ელემენტარული მოვლენების სივრცე- ყველა ელემენტარული მოვლენის ნაკრები (ტესტის შედეგები), რომელიც შეიძლება გამოჩნდეს ტესტის დროს.

მაგალითებში, რომლებიც ზემოთ განვიხილეთ, რეალურად იყო აღწერილი ამ ტესტების ელემენტარული მოვლენების სივრცეები.

კომენტარი.პუნქტების რაოდენობა ელემენტარული მოვლენების სივრცეში (PES), ე.ი. ელემენტარული მოვლენების რაოდენობა აღინიშნა ასოთი ნ.

მოდით განვიხილოთ მთავარი კონცეფცია, რომელსაც გამოვიყენებთ შემდეგში.

განმარტება 1.1.ღონისძიება არის გარკვეული რაოდენობის TEC ქულების შეგროვება.

მომავალში ჩვენ აღვნიშნავთ მოვლენებს დიდი ლათინური ასოებით: A, B, C.

განმარტება 1.2.მოვლენას, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის დროს, შემთხვევით მოვლენას უწოდებენ.

ლატარიის ბილეთის შეძენით შეიძლება მოვიგოთ ან არ მოვიგოთ; მომავალ არჩევნებზე მმართველმა პარტიამ შეიძლება გაიმარჯვოს ან არ მოიგოს; გაკვეთილზე შეიძლება დაგიძახონ დაფაზე, ან არ დაგირეკონ და ა.შ. ეს არის შემთხვევითი მოვლენების მაგალითები, რომლებიც იმავე პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის დროს.

კომენტარი.ნებისმიერი ელემენტარული მოვლენა ასევე შემთხვევითი მოვლენაა.

განმარტება 1.3.მოვლენას, რომელიც ხდება ცდის ნებისმიერი შედეგისთვის, ეწოდება გარკვეული მოვლენა.

განმარტება 1.4.მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს ტესტის რაიმე შედეგის მიხედვით, შეუძლებელი მოვლენა ეწოდება.

მაგალითი.

1) საცდელი:კამათელი იყრება.

ღონისძიება A:ქულების ლუწი რაოდენობა დაეცა კუბის ზედა ნაწილზე;

მოვლენა B:კვარცხლბეკის ზედა მხარეს ამოვარდა რამდენიმე ქულა, 3-ის ჯერადი;

ღონისძიება C: 7 ქულა დაეცა კვარცხლბეკის ზედა ნაწილზე;

ღონისძიება D: 7-ზე ნაკლები ქულების რაოდენობა დაეცა კვარცხლბეკის ზედა ნაწილზე.

Ივენთი მაგრამდა ATშეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის დროს, ამიტომ ეს არის შემთხვევითი მოვლენები.

ღონისძიება FROMვერასოდეს მოხდება, ამიტომ შეუძლებელი მოვლენაა.

ღონისძიება დხდება ტესტის ნებისმიერი შედეგით, მაშინ ეს საიმედო მოვლენაა.

ჩვენ ვთქვით, რომ შემთხვევითი მოვლენები ერთსა და იმავე პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. ამავდროულად, ზოგიერთ შემთხვევით მოვლენას აქვს უფრო მეტი შანსი, რომ მოხდეს (რაც ნიშნავს, რომ ისინი უფრო სავარაუდოა - უფრო ახლოს არიან სანდოსთან), ხოლო სხვებს აქვთ ნაკლები შანსი (ისინი ნაკლებად სავარაუდოა - უფრო ახლოს არის შეუძლებელთან). ამიტომ, როგორც პირველი მიახლოება, შესაძლებელია განვსაზღვროთ ალბათობა, როგორც მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხი.

ნათელია, რომ უფრო სავარაუდო მოვლენები უფრო ხშირად მოხდება, ვიდრე ნაკლებად სავარაუდო. ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ შეადაროთ ალბათობები მოვლენების სიხშირის მიხედვით.

შევეცადოთ შემდეგი მოვლენები განვათავსოთ ალბათობის სპეციალურ შკალაზე მათი გაჩენის ალბათობის გაზრდის მიზნით.

ღონისძიება A:მომავალ წელს პირველი თოვლი ხაბაროვსკში კვირას მოვა;

მოვლენა B:მაგიდიდან გადმოვარდნილი სენდვიჩი კარაქით ჩამოვარდა;

ღონისძიება C:კამათლის სროლისას 6 ქულა ამოვარდება;

ღონისძიება D:კამათლის სროლისას ქულების ლუწი რაოდენობა ამოვარდება;

ღონისძიება E:კამათლის სროლისას 7 ქულა ამოვარდა;

ღონისძიება F:როდესაც კამათელი დაგორდება, 7-ზე ნაკლები ქულა გამოვა.

ასე რომ, ჩვენი მასშტაბის საწყის წერტილში განვათავსებთ შეუძლებელ მოვლენებს, რადგან მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხი (ალბათობა) თითქმის 0-ის ტოლია. ამრიგად, ეს იქნება მოვლენა. ე. ჩვენი მასშტაბის ბოლო წერტილში, ჩვენ ვათავსებთ საიმედო მოვლენებს - ფ. ყველა სხვა მოვლენა შემთხვევითია, შევეცადოთ განვათავსოთ ისინი მასშტაბით მათი წარმოშობის ხარისხის გაზრდის მიზნით. ამისათვის ჩვენ უნდა გავარკვიოთ, რომელი მათგანი ნაკლებად სავარაუდოა და რომელი უფრო სავარაუდოა. დავიწყოთ ღონისძიებით დ: როდესაც კამათელს ვაგდებთ, 6 სახიდან თითოეულს აქვს თანაბარი შანსი ზევით ყოფნის. ლუწი რაოდენობა - კუბის სამ სახეზე, დანარჩენ სამზე - კენტი. ასე რომ, ზუსტად ნახევარი შანსი (6-დან 3) რომ მოვლენაა დმოხდება. ამიტომ ვათავსებთ ღონისძიებას დჩვენი მასშტაბის შუაში.

ღონისძიებაზე FROMმხოლოდ ერთი შანსი 6-ში, სანამ ღონისძიებას აქვს დ- სამი შანსი 6-დან (როგორც გავარკვიეთ). Ისე FROMნაკლებად სავარაუდოა და განთავსდება ღონისძიების მარცხნივ შკალაზე დ.

ღონისძიება მაგრამნაკლებად სავარაუდოა, ვიდრე FROM, რადგან კვირაში 7 დღეა და ნებისმიერ მათგანში პირველი თოვლი შეიძლება ჩამოვიდეს თანაბარი ალბათობით, ამიტომ მოვლენას აქვს მაგრამერთი შანსი 7. ღონისძიებაში მაგრამ, ამრიგად, განთავსდება კიდევ უფრო მარცხნივ, ვიდრე მოვლენა FROM.

ყველაზე რთული სასწორზე განთავსება მოვლენაა AT. აქ შანსების ზუსტად გამოთვლა შეუძლებელია, მაგრამ დასახმარებლად შეგიძლიათ მიმართოთ ცხოვრებისეულ გამოცდილებას: სენდვიჩი უფრო ხშირად ეცემა იატაკზე კარაქით (არსებობს თუნდაც „სენდვიჩის კანონი“), ასე რომ მოვლენა ATბევრად უფრო სავარაუდოა, ვიდრე დ, ასე რომ, სასწორზე ვათავსებთ მას მარჯვნივ ვიდრე დ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ მასშტაბს:

E A C D B F

შეუძლებელია შემთხვევითი გარკვეული

აგებული ალბათობის მასშტაბი არ არის საკმაოდ რეალური - მას არ აქვს რიცხვითი ნიშნები, დაყოფა. ჩვენ წინაშე დგას ამოცანა, ვისწავლოთ როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის დადგომის (ალბათობის) შესაძლებლობის ხარისხი.