ინსტრუქცია

დამატების მეთოდი.
თქვენ უნდა დაწეროთ ორი მკაცრად ერთმანეთის ქვეშ:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
თვითნებურად არჩეულ (სისტემიდან) განტოლებაში ჩასვით რიცხვი 11 უკვე ნაპოვნი „თამაშის“ ნაცვლად და გამოთვალეთ მეორე უცნობი:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
განტოლებათა ამ სისტემის პასუხი: x=116, y=11.

გრაფიკული გზა.
იგი შედგება იმ წერტილის კოორდინატების პრაქტიკულ პოვნაში, სადაც ხაზები მათემატიკურად იწერება განტოლებათა სისტემაში. თქვენ უნდა დახაზოთ ორივე ხაზის გრაფიკები ცალ-ცალკე ერთსა და იმავე კოორდინატულ სისტემაში. ზოგადი ხედი: - y \u003d kx + b. სწორი ხაზის ასაგებად საკმარისია ორი წერტილის კოორდინატების პოვნა და x არჩეულია თვითნებურად.
მიეცით სისტემა: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
სწორი ხაზი აგებულია პირველის მიხედვით, მოხერხებულობისთვის ის უნდა ჩაიწეროს: y \u003d 2x-4. გამოიტანეთ (უფრო მარტივი) მნიშვნელობები x-ისთვის, ჩაანაცვლეთ იგი განტოლებაში, ამოხსენით, იპოვეთ y. მიიღება ორი წერტილი, რომლის გასწვრივ სწორი ხაზია აგებული. (იხილეთ სურათი.)
x 0 1

y -4 -2
სწორი ხაზი აგებულია მეორე განტოლების მიხედვით: y \u003d -3x + 1.
ასევე შექმენით ხაზი. (იხილეთ სურათი.)

1-5
იპოვეთ გრაფიკზე ორი აგებული წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები (თუ წრფეები არ იკვეთება, მაშინ განტოლებათა სისტემას არ აქვს - ასე).

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

თუ განტოლებათა ერთი და იგივე სისტემა ამოხსნილია სამი განსხვავებული გზით, პასუხი იგივე იქნება (თუ ამონახსნი სწორია).

წყაროები:

• ალგებრა მე-8 კლასი
• გადაჭრით განტოლება ორი უცნობით ონლაინ
• ხაზოვანი განტოლების სისტემების ამოხსნის მაგალითები ორით

სისტემა განტოლებებიარის მათემატიკური ჩანაწერების კრებული, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ცვლადების გარკვეულ რაოდენობას. მათი გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს.

დაგჭირდებათ

• -სახაზავი და ფანქარი;
• - კალკულატორი.

ინსტრუქცია

განვიხილოთ სისტემის ამოხსნის თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება წრფივი განტოლებისგან, რომლებსაც აქვთ ფორმა: a1x + b1y = c1 და a2x + b2y = c2. სადაც x და y უცნობი ცვლადებია და b,c თავისუფალი წევრები. ამ მეთოდის გამოყენებისას თითოეული სისტემა არის თითოეული განტოლების შესაბამისი წერტილების კოორდინატები. პირველ რიგში, თითოეულ შემთხვევაში, გამოხატეთ ერთი ცვლადი მეორის თვალსაზრისით. შემდეგ დააყენეთ x ცვლადი ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობებზე. ორი საკმარისია. შეაერთეთ განტოლებაში და იპოვეთ y. ააგეთ კოორდინატთა სისტემა, მონიშნეთ მასზე მიღებული წერტილები და გაავლეთ სწორი ხაზი. მსგავსი გამოთვლები უნდა განხორციელდეს სისტემის სხვა ნაწილებისთვის.

სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, თუ აგებული ხაზები იკვეთება და აქვთ ერთი საერთო წერტილი. შეუსაბამოა, თუ ისინი ერთმანეთის პარალელურია. და მას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, როდესაც ხაზები ერწყმის ერთმანეთს.

ეს მეთოდი ითვლება ძალიან მკაფიოდ. მთავარი მინუსი არის ის, რომ გამოთვლილ უცნობებს აქვთ სავარაუდო მნიშვნელობები. უფრო ზუსტ შედეგს იძლევა ე.წ. ალგებრული მეთოდები.

განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი შესამოწმებელია. ამისათვის შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობები ცვლადების ნაცვლად. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მისი გამოსავალი რამდენიმე გზით. თუ სისტემის გამოსავალი სწორია, მაშინ ყველა ერთნაირი უნდა აღმოჩნდეს.

ხშირად არის განტოლებები, რომლებშიც ერთ-ერთი ტერმინი უცნობია. განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ და შეასრულოთ მოქმედებების გარკვეული ნაკრები ამ რიცხვებით.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• - კალამი ან ფანქარი.

ინსტრუქცია

წარმოიდგინეთ, რომ თქვენს წინ 8 კურდღელი გყავთ და მხოლოდ 5 სტაფილო გაქვთ. იფიქრეთ, რომ მეტი სტაფილო უნდა იყიდოთ, რათა თითოეულმა კურდღელმა მიიღოს სტაფილო.

გამოვსახოთ ეს პრობლემა განტოლების სახით: 5 + x = 8. ჩავანაცვლოთ რიცხვი 3 x-ით. მართლაც, 5 + 3 = 8.

როდესაც თქვენ ჩაანაცვლეთ რიცხვი x-ით, თქვენ აკეთებდით იგივე ოპერაციას, რასაც 8-ს გამოაკლოთ 5. ამრიგად, იპოვეთ უცნობიტერმინი, გამოაკლეთ ცნობილი ტერმინი ჯამს.

ვთქვათ, გყავთ 20 კურდღელი და მხოლოდ 5 სტაფილო. მოდით შევადგინოთ. განტოლება არის თანასწორობა, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ მასში შემავალი ასოების გარკვეულ მნიშვნელობებზე. ასოებს, რომელთა მნიშვნელობებიც გსურთ იპოვოთ, ეწოდება. დაწერეთ განტოლება ერთი უცნობით, დავარქვით x. კურდღლების შესახებ ჩვენი ამოცანის ამოხსნისას მიიღება შემდეგი განტოლება: 5 + x = 20.

ვიპოვოთ განსხვავება 20-სა და 5-ს შორის. გამოკლებისას მცირდება რიცხვი, რომელსაც აკლებს. რიცხვს, რომელიც გამოკლებულია, ეწოდება , ხოლო საბოლოო შედეგს სხვაობა. ასე რომ, x = 20 - 5; x = 15. თქვენ უნდა შეიძინოთ 15 სტაფილო კურდღლისთვის.

გააკეთეთ შემოწმება: 5 + 15 = 20. განტოლება სწორია. რა თქმა უნდა, როდესაც საქმე ეხება ასეთ მარტივს, შემოწმება არ არის საჭირო. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება განტოლებებს სამნიშნა, ოთხნიშნა და ა.შ., აუცილებელია შეასრულოთ შემოწმება, რათა აბსოლუტურად დარწმუნებული იყოთ თქვენი მუშაობის შედეგში.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად აუცილებელია სხვაობის გამოკლება მინუენდისგან.

რჩევა 4: როგორ ამოხსნათ სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით

სამი უცნობის მქონე სამი განტოლების სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, მიუხედავად განტოლებების საკმარისი რაოდენობისა. შეგიძლიათ სცადოთ მისი გადაჭრა ჩანაცვლების მეთოდით ან კრამერის მეთოდით. კრამერის მეთოდი, გარდა სისტემის ამოხსნისა, საშუალებას აძლევს ადამიანს შეაფასოს არის თუ არა სისტემა ამოსახსნელი უცნობის მნიშვნელობების პოვნამდე.

ინსტრუქცია

ჩანაცვლების მეთოდი შედგება თანმიმდევრობით ერთი უცნობიდან ორი სხვას მეშვეობით და მიღებული შედეგის ჩანაცვლება სისტემის განტოლებებში. მოდით, სამი განტოლების სისტემა მოცემულია ზოგადი ფორმით:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

გამოხატეთ x პირველი განტოლებიდან: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - და ჩაანაცვლეთ მეორე და მესამე განტოლებაში, შემდეგ გამოხატეთ y მეორე განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ მესამეში. სისტემის განტოლებების კოეფიციენტების მეშვეობით მიიღებთ z-ის წრფივ გამოხატულებას. ახლა გადადით "უკან": შეაერთეთ z მეორე განტოლებაში და იპოვეთ y, შემდეგ შეაერთეთ z და y პირველ განტოლებაში და იპოვეთ x. პროცესი ზოგადად ნაჩვენებია სურათზე, სანამ z არ მოიძებნება. გარდა ამისა, ჩანაწერი ზოგადი ფორმით ძალიან რთული იქნება, პრაქტიკაში, ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ სამივე უცნობი.

კრამერის მეთოდი შედგება სისტემის მატრიცის შედგენაში და ამ მატრიცის დეტერმინანტის, ასევე კიდევ სამი დამხმარე მატრიცის გამოთვლაში. სისტემის მატრიცა შედგება კოეფიციენტებისგან განტოლებების უცნობ წევრებზე. სვეტი, რომელიც შეიცავს რიცხვებს განტოლებების მარჯვენა მხარეს, სვეტი მარჯვენა მხარეს. ის არ გამოიყენება სისტემაში, მაგრამ გამოიყენება სისტემის ამოხსნისას.

Მსგავსი ვიდეოები

შენიშვნა

სისტემის ყველა განტოლებამ უნდა მიაწოდოს დამატებითი ინფორმაცია სხვა განტოლებისგან დამოუკიდებლად. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემა არასაკმარისად იქნება განსაზღვრული და ცალსახა გადაწყვეტის პოვნა ვერ მოხერხდება.

სასარგებლო რჩევა

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის შემდეგ, შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები თავდაპირველ სისტემაში და შეამოწმეთ, რომ ისინი აკმაყოფილებენ ყველა განტოლებას.

Თავისით განტოლებასამთან ერთად უცნობიაქვს მრავალი ამონახსნი, ამიტომ ყველაზე ხშირად მას ავსებს კიდევ ორი ​​განტოლება ან პირობა. დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის საწყისი მონაცემები, გადაწყვეტილების კურსი დიდწილად იქნება დამოკიდებული.

დაგჭირდებათ

• - სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

ინსტრუქცია

თუ სამი სისტემიდან ორს აქვს სამი უცნობიდან მხოლოდ ორი, შეეცადეთ გამოხატოთ ზოგიერთი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩართოთ ისინი განტოლებასამთან ერთად უცნობი. ამით თქვენი მიზანია გადააქციოთ ის ნორმალურად განტოლებაუცნობთან. თუ ეს ასეა, შემდგომი გამოსავალი საკმაოდ მარტივია - შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა სხვა განტოლებით და იპოვეთ ყველა სხვა უცნობი.

განტოლების ზოგიერთი სისტემა შეიძლება გამოკლდეს ერთ განტოლებას მეორეზე. ნახეთ, შესაძლებელია თუ არა ერთის გამრავლება ან ცვლადზე ისე, რომ ორი უცნობი ერთდროულად შემცირდეს. თუ არსებობს ასეთი შესაძლებლობა, გამოიყენეთ იგი, სავარაუდოდ, შემდგომი გადაწყვეტილება არ იქნება რთული. არ დაგავიწყდეთ, რომ რიცხვზე გამრავლებისას უნდა გაამრავლოთ როგორც მარცხენა, ასევე მარჯვენა მხარე. ანალოგიურად, განტოლებების გამოკლებისას გახსოვდეთ, რომ მარჯვენა მხარეც უნდა გამოკლდეს.

თუ წინა მეთოდები არ დაგვეხმარა, გამოიყენეთ ზოგადი მეთოდი ნებისმიერი განტოლების სამით ამოხსნისთვის უცნობი. ამისათვის გადაწერეთ განტოლებები სახით a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. ახლა გააკეთეთ კოეფიციენტების მატრიცა x-ზე (A), უცნობის მატრიცა (X) და თავისუფალის მატრიცა (B). ყურადღება მიაქციეთ, გავამრავლოთ კოეფიციენტების მატრიცა უცნობების მატრიცით, მიიღებთ მატრიცას, თავისუფალი წევრების მატრიცას, ანუ A * X \u003d B.

იპოვეთ მატრიცა A სიმძლავრის (-1) პოვნის შემდეგ, გაითვალისწინეთ, რომ ის არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამის შემდეგ მიღებული მატრიცა გაამრავლეთ B მატრიცით, შედეგად მიიღებთ სასურველ X მატრიცას, ყველა მნიშვნელობის მითითებით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ გამოსავალი სამი განტოლებისგან შემდგარი სისტემისთვის კრამერის მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის იპოვეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი Δ, რომელიც შეესაბამება სისტემის მატრიცას. შემდეგ თანმიმდევრულად იპოვნეთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი ∆1, ∆2 და ∆3, ჩაანაცვლეთ უფასო ტერმინების მნიშვნელობები შესაბამისი სვეტების მნიშვნელობების ნაცვლად. ახლა იპოვეთ x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

წყაროები:

• სამი უცნობის მქონე განტოლების ამონახსნები

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის დაწყებით, გაარკვიეთ რა არის ეს განტოლებები. კარგად არის შესწავლილი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. არაწრფივი განტოლებები ყველაზე ხშირად არ წყდება. არსებობს მხოლოდ ერთი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელთაგან თითოეული პრაქტიკულად ინდივიდუალურია. ამიტომ ამოხსნის მეთოდების შესწავლა უნდა დაიწყოს წრფივი განტოლებებით. ასეთი განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია თუნდაც წმინდა ალგორითმულად.

ინსტრუქცია

დაიწყეთ სასწავლო პროცესი იმით, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით X და Y ამოღების გზით. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). განტოლებების კოეფიციენტები მითითებულია მათი მდებარეობის აღმნიშვნელი ინდექსებით. ასე რომ, კოეფიციენტი a21 ხაზს უსვამს იმ ფაქტს, რომ იგი პირველ რიგში იწერება მეორე განტოლებაში. ზოგადად მიღებული აღნიშვნით, სისტემა იწერება ერთმანეთის ქვემოთ განლაგებული განტოლებით, რომლებიც ერთობლივად აღინიშნება ხვეული ფრჩხილით მარჯვნივ ან მარცხნივ (დაწვრილებით იხილეთ ნახ. 1a).

განტოლებების ნუმერაცია თვითნებურია. აირჩიეთ უმარტივესი, მაგალითად, როდესაც ერთ-ერთ ცვლადს წინ უსწრებს 1-ის კოეფიციენტი, ან თუნდაც მთელი რიცხვი. თუ ეს არის განტოლება (1), მაშინ კიდევ გამოხატეთ, ვთქვათ, უცნობი Y X-ის მიხედვით (Y-ის აღმოფხვრის შემთხვევა). ამისათვის გადააქციეთ (1) ფორმაში a12*Y=b1-a11*X (ან a11*X=b1-a12*Y თუ X გამორიცხულია)) და შემდეგ Y=(b1-a11*X)/a12 . ამ უკანასკნელის ჩანაცვლება განტოლებით (2) ჩაწერეთ a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. ამოხსენით ეს განტოლება X-სთვის.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) ან X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Y-სა და X-ს შორის ნაპოვნი კავშირის გამოყენებით, საბოლოოდ მიიღეთ მეორე უცნობი Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

თუ სისტემა მოცემულია კონკრეტული რიცხვითი კოეფიციენტებით, მაშინ გამოთვლები ნაკლებად რთული იქნებოდა. მეორეს მხრივ, ზოგადი გადაწყვეტა შესაძლებელს ხდის განიხილოს ის ფაქტი, რომ აღმოჩენილი უცნობისთვის ისინი ზუსტად იგივეა. დიახ, და მრიცხველებზე ჩანს მათი კონსტრუქციის ზოგიერთი ნიმუში. თუ განტოლებათა სისტემის განზომილება ორზე მეტი იქნებოდა, მაშინ აღმოფხვრის მეთოდი გამოიწვევს ძალიან რთულ გამოთვლებს. მათ თავიდან ასაცილებლად, შემუშავებულია წმინდა ალგორითმული გადაწყვეტილებები. მათგან უმარტივესი არის კრამერის ალგორითმი (კრამერის ფორმულები). ამისთვის უნდა ვისწავლოთ n განტოლებათა განტოლების ზოგადი სისტემა.

n წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემას n უცნობით აქვს ფორმა (იხ. სურ. 1a). მასში aij არის სისტემის კოეფიციენტები,
хj – უცნობი, ბი – თავისუფალი წევრები (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). ასეთი სისტემა კომპაქტურად შეიძლება ჩაიწეროს AX=B მატრიცის სახით. აქ A არის სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა, X არის უცნობის სვეტის მატრიცა, B არის თავისუფალი ტერმინების სვეტის მატრიცა (იხ. ნახ. 1ბ). კრამერის მეთოდის მიხედვით, თითოეული უცნობი xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). კოეფიციენტთა მატრიცის განმსაზღვრელს Δ-ს ეწოდება მთავარი განმსაზღვრელი, ხოლო ∆i - დამხმარე. თითოეული უცნობისთვის, დამხმარე განმსაზღვრელი მოიძებნება მთავარი განმსაზღვრელი i-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. კრამერის მეთოდი მეორე და მესამე რიგის სისტემების შემთხვევაში დეტალურად არის წარმოდგენილი ნახ. 2.

სისტემა არის ორი ან მეტი თანასწორობის გაერთიანება, რომელთაგან თითოეულს აქვს ორი ან მეტი უცნობი. სასკოლო სასწავლო გეგმაში გამოყენებული წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ორი ძირითადი გზა არსებობს. ერთ მათგანს მეთოდს უწოდებენ, მეორეს - დამატების მეთოდს.

ორი განტოლების სისტემის სტანდარტული ფორმა

სტანდარტული ფორმით, პირველი განტოლება არის a1*x+b1*y=c1, მეორე განტოლება არის a2*x+b2*y=c2 და ა.შ. მაგალითად, სისტემის ორი ნაწილის შემთხვევაში ორივე მოცემულ a1, a2, b1, b2, c1, c2 არის გარკვეული რიცხვითი კოეფიციენტები წარმოდგენილი კონკრეტულ განტოლებებში. თავის მხრივ, x და y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობები უნდა განისაზღვროს. სასურველი მნიშვნელობები ორივე განტოლებას ერთდროულად აქცევს ნამდვილ თანასწორებად.

სისტემის ამოხსნა დამატების მეთოდით

სისტემის გადასაჭრელად, ანუ x-ისა და y-ის იმ მნიშვნელობების პოვნა, რომლებიც მათ ნამდვილ ტოლებად აქცევს, თქვენ უნდა გადადგათ რამდენიმე მარტივი ნაბიჯი. პირველი მათგანი არის ნებისმიერი განტოლების ისე გარდაქმნა, რომ x ან y ცვლადის რიცხვითი კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში ემთხვევა აბსოლუტურ მნიშვნელობას, მაგრამ განსხვავდება ნიშნით.

მაგალითად, მიეცით სისტემა, რომელიც შედგება ორი განტოლებისგან. მათგან პირველს აქვს ფორმა 2x+4y=8, მეორეს აქვს ფორმა 6x+2y=6. დავალების შესრულების ერთ-ერთი ვარიანტია მეორე განტოლების გამრავლება -2 კოეფიციენტზე, რაც მიგვიყვანს ფორმამდე -12x-4y=-12. კოეფიციენტის სწორი არჩევანი ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა სისტემის მიმატების მეთოდით ამოხსნის პროცესში, რადგან ის განსაზღვრავს უცნობების პოვნის პროცედურის მთელ შემდგომ კურსს.

ახლა აუცილებელია სისტემის ორი განტოლების დამატება. ცხადია, თანაბარი მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნის კოეფიციენტების მქონე ცვლადების ურთიერთ განადგურება მიგვიყვანს ფორმამდე -10x=-4. ამის შემდეგ აუცილებელია ამ მარტივი განტოლების ამოხსნა, საიდანაც ცალსახად გამოდის, რომ x=0.4.

ამოხსნის პროცესის ბოლო ნაბიჯი არის ერთ-ერთი ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება სისტემაში არსებული ნებისმიერი საწყისი ტოლობით. მაგალითად, x=0.4 ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში, შეგიძლიათ მიიღოთ გამოხატულება 2*0.4+4y=8, საიდანაც y=1.8. ამრიგად, x=0.4 და y=1.8 არის მაგალითში ნაჩვენები სისტემის ფესვები.

იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ფესვები სწორად იქნა ნაპოვნი, სასარგებლოა მისი შემოწმება სისტემის მეორე განტოლებაში ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში მიიღება 0.4 * 6 + 1.8 * 2 = 6 ფორმის ტოლობა, რაც სწორია.

Მსგავსი ვიდეოები

ორი ცვლადის მქონე წრფივ განტოლებას აქვს ზოგადი ფორმა ax + by + c = 0. მასში a, b და c არის კოეფიციენტები - ზოგიერთი რიცხვი; და x და y არის ცვლადები - უცნობი რიცხვები უნდა მოიძებნოს.

ორი ცვლადის მქონე წრფივი განტოლების ამონახსნი არის x და y რიცხვების წყვილი, რომლისთვისაც ax + by + c = 0 არის ჭეშმარიტი ტოლობა.

კონკრეტულ წრფივ განტოლებას ორი ცვლადით (მაგალითად, 3x + 2y - 1 = 0) აქვს ამონახსნთა სიმრავლე, ანუ რიცხვების წყვილი, რომლებისთვისაც განტოლება მართალია. წრფივი განტოლება ორი ცვლადით გარდაიქმნება y = kx + m ფორმის წრფივ ფუნქციად, რომელიც არის წრფე კოორდინატულ სიბრტყეზე. ამ წრფეზე მდებარე ყველა წერტილის კოორდინატები არის წრფივი განტოლების ამონახსნები ორ ცვლადში.

თუ მოცემულია ორი წრფივი განტოლება ax + by + c = 0 და საჭიროა იპოვოთ x და y ისეთი მნიშვნელობები, რომლებზეც ორივეს ექნება ამონახსნები, მაშინ ამბობენ, რომ აუცილებელია. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა. განტოლებათა სისტემა იწერება საერთო ხვეული ფრჩხილის ქვეშ. მაგალითი:

განტოლებათა სისტემას არ შეიძლება ჰქონდეს ამონახსნი, თუ წრფეები, რომლებიც შესაბამისი წრფივი ფუნქციების გრაფიკებია, არ იკვეთება (ანუ ისინი ერთმანეთის პარალელურები არიან). იმისათვის, რომ დავასკვნათ, რომ ამონახსნობა არ არსებობს, საკმარისია ორივე წრფივი განტოლება გადავიტანოთ ორი ცვლადით ფორმაში y = kx + m. თუ k არის ერთი და იგივე რიცხვი ორივე განტოლებაში, მაშინ სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

თუ განტოლებათა სისტემა აღმოჩნდება, რომ შედგება ორი იდენტური განტოლებისგან (რომელიც შეიძლება არ იყოს აშკარა დაუყოვნებლივ, მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ), მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსაუბრობთ გაურკვევლობაზე.

ყველა სხვა შემთხვევაში, სისტემას აქვს ერთი გამოსავალი. ეს დასკვნა შეიძლება გამოვიტანოთ იქიდან, რომ ნებისმიერი ორი არაპარალელური წრფე შეიძლება გადაიკვეთოს მხოლოდ ერთ წერტილში. სწორედ გადაკვეთის ეს წერტილი იქნება როგორც პირველი, ასევე მეორე ხაზი, ანუ ეს იქნება როგორც პირველი განტოლების, ასევე მეორის ამონახსნი. ამიტომ, იყოს განტოლებათა სისტემის ამონახსნი. ამასთან, აუცილებელია განისაზღვროს სიტუაციები, როდესაც გარკვეული შეზღუდვები დაწესებულია x და y მნიშვნელობებზე (ჩვეულებრივ, პრობლემის პირობით). მაგალითად, x > 0, y > 0. ამ შემთხვევაში, განტოლებათა სისტემას რომც ჰქონდეს ამონახსნი, მაგრამ ის არ აკმაყოფილებს პირობას, დასკვნა გამოდის, რომ განტოლებათა სისტემას მოცემულ პირობებში ამონახსნები არ აქვს.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის სამი გზა არსებობს:

1. შერჩევის მეთოდი. უმეტეს შემთხვევაში, ამის გაკეთება ძალიან რთულია.
2. გრაფიკული მეთოდი. როცა კოორდინატულ სიბრტყეზე ორი წრფეა დახაზული (შესაბამისი განტოლებების ფუნქციების გრაფიკები) და აღმოჩენილია მათი გადაკვეთის წერტილი. ამ მეთოდმა შეიძლება გამოიწვიოს არაზუსტი შედეგები, თუ გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები წილადი რიცხვებია.
3. ალგებრული მეთოდები. ისინი მრავალმხრივი და საიმედოა.

ჩვენ უკვე ვიცნობთ ორ უცნობში წრფივი განტოლების კონცეფციას. განტოლებები შეიძლება იყოს ერთ პრობლემაში, როგორც ცალკე, ასევე რამდენიმე განტოლებაში ერთდროულად. ასეთ შემთხვევებში, განტოლებები გაერთიანებულია განტოლებათა სისტემაში.

რა არის წრფივი განტოლებათა სისტემა

განტოლებათა სისტემაარის ორი ან მეტი განტოლება, რომლებისთვისაც აუცილებელია მათი ყველა საერთო ამონახსნის პოვნა. ჩვეულებრივ, განტოლებათა სისტემის დასაწერად, ისინი იწერება სვეტში და იხატება ერთი საერთო ხვეული ფრჩხილი. ქვემოთ მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემა.

(4x + 3y = 6
(2x + y = 4

ეს ჩანაწერი ნიშნავს, რომ მოცემულია ორი განტოლების სისტემა, ორი ცვლადით. თუ სისტემაში სამი განტოლება იქნებოდა, მაშინ ეს იქნებოდა სამი განტოლების სისტემა. ასე რომ, ნებისმიერი რაოდენობის განტოლებისთვის.

თუ სისტემაში არსებული ყველა განტოლება წრფივია, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემა. ზემოთ მოყვანილ მაგალითში წარმოდგენილია ორი წრფივი განტოლების სისტემა. როგორც ზემოთ აღინიშნა, სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ზოგადი გადაწყვეტილებები. ქვემოთ განვიხილავთ ტერმინს „ზოგადი გადაწყვეტა“.

Რა არის გამოსავალი?

ორი უცნობის მქონე ორი განტოლების სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი (x, y), რომ თუ ეს რიცხვები ჩანაცვლდება სისტემის განტოლებებში, მაშინ სისტემის თითოეული განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

მაგალითად, გვაქვს ორი წრფივი განტოლების სისტემა. პირველი განტოლების ამონახსნი იქნება ყველა წყვილი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

მეორე განტოლებისთვის გამოსავალი იქნება რიცხვების წყვილი, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ განტოლებას. თუ არსებობს რიცხვების ისეთი წყვილი, რომელიც აკმაყოფილებს როგორც პირველ, ასევე მეორე განტოლებას, მაშინ რიცხვების ეს წყვილი იქნება ამონახსნი ორი წრფივი განტოლების სისტემისთვის ორი უცნობით.

გრაფიკული გადაწყვეტა

გრაფიკულად, წრფივი განტოლების ამოხსნა არის სიბრტყეზე რაიმე წრფის ყველა წერტილი.

წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის გვექნება რამდენიმე წრფე (განტოლებათა რაოდენობის მიხედვით). და განტოლებათა სისტემის ამონახსნი იქნება წერტილი, სადაც ყველა წრფე იკვეთება. თუ ასეთი წერტილი არ არსებობს, მაშინ სისტემას არ ექნება გადაწყვეტილებები. წერტილი, სადაც ყველა წრფე იკვეთება, ეკუთვნის თითოეულ ამ წრფეს, ამიტომ ამონახსნებს ზოგადი ეწოდება.

სხვათა შორის, სისტემის განტოლებების გამოსახვა და მათი საერთო წერტილის პოვნა განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი გზაა. ამ მეთოდს გრაფიკული ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ამოხსნის სხვა გზები

არსებობს წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვა გზები ორი ცვლადით. ორი უცნობი წრფივი განტოლების სისტემების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

ჩვენ გავაანალიზებთ განტოლებების ამოხსნის ორ ტიპს:

1. სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.
2. სისტემის ამოხსნა სისტემის განტოლებათა თანმიმდევრობით შეკრებით (გამოკლებით).

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიზნით ჩანაცვლების მეთოდითქვენ უნდა შეასრულოთ მარტივი ალგორითმი:
1. გამოვხატავთ. ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ ცვლადს.
2. შემცვლელი. გამოხატული ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებაში ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას.
3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

Მოგვარება სისტემა ტერმინით შეკრებით (გამოკლებით)საჭიროა:
1. აირჩიეთ ცვლადი, რომლისთვისაც იგივე კოეფიციენტებს გავაკეთებთ.
2. ვამატებთ ან ვაკლებთ განტოლებებს, შედეგად ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.
3. ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

სისტემის ამოხსნა არის ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ სისტემების გადაწყვეტა მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი #1:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2x+5y=1 (1 განტოლება)
x-10y=3 (მე-2 განტოლება)

1. ექსპრესი
ჩანს, რომ მეორე განტოლებაში არის x ცვლადი კოეფიციენტით 1, აქედან გამომდინარე გამოდის, რომ ყველაზე ადვილია x ცვლადის გამოხატვა მეორე განტოლებიდან.
x=3+10y

2. გამოსახვის შემდეგ პირველ განტოლებაში ვცვლით 3 + 10y-ს x ცვლადის ნაცვლად.
2(3+10y)+5y=1

3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით.
2(3+10y)+5y=1 (ღია ფრჩხილები)
6+20წ+5წ=1
25წ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ x და y, რადგან გადაკვეთის წერტილი შედგება x და y-სგან, ვიპოვოთ x, პირველ აბზაცში სადაც გამოვხატეთ, იქ ვცვლით y-ს.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

მიღებულია პირველ რიგში ქულების ჩაწერა, ვწერთ x ცვლადს, ხოლო მეორე ადგილზე y ცვლადს.
პასუხი: (1; -0.2)

მაგალითი #2:

ამოხსნათ ვადით-გამოკლებით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით

3x-2y=1 (1 განტოლება)
2x-3y=-10 (მე-2 განტოლება)

1. აირჩიეთ ცვლადი, ვთქვათ ვირჩევთ x. პირველ განტოლებაში x ცვლადს აქვს კოეფიციენტი 3, მეორეში - 2. კოეფიციენტები უნდა გავხადოთ იგივე, ამისთვის გვაქვს უფლება გავამრავლოთ განტოლებები ან გავყოთ ნებისმიერ რიცხვზე. პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 2-ზე, ხოლო მეორეს 3-ზე და მივიღებთ ჯამურ კოეფიციენტს 6-ზე.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. პირველი განტოლებიდან გამოვაკლოთ მეორე, რათა მოვიშოროთ x ცვლადი. ამოხსენით წრფივი განტოლება.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. იპოვე x. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი y-ს რომელიმე განტოლებაში, ვთქვათ პირველ განტოლებაში.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

გადაკვეთის წერტილი იქნება x=4,6; y=6.4
პასუხი: (4.6; 6.4)

გსურთ უფასოდ მოემზადოთ გამოცდებისთვის? დამრიგებელი ონლაინ უფასოდ. Არ ვხუმრობ.

უფრო საიმედო ვიდრე წინა პარაგრაფში განხილული გრაფიკული მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი

ეს მეთოდი მე-7 კლასში გამოვიყენეთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად. მე-7 კლასში შემუშავებული ალგორითმი საკმაოდ შესაფერისია ნებისმიერი ორი განტოლების სისტემების გადასაჭრელად (არ არის აუცილებელი წრფივი) ორი ცვლადით x და y (რა თქმა უნდა, ცვლადები შეიძლება აღვნიშნოთ სხვა ასოებით, რაც არ აქვს მნიშვნელობა). ფაქტობრივად, ეს ალგორითმი გამოვიყენეთ წინა აბზაცში, როდესაც ორნიშნა რიცხვის პრობლემამ გამოიწვია მათემატიკური მოდელი, რომელიც არის განტოლებათა სისტემა. ჩვენ გადავწყვიტეთ ზემოთ განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით (იხ. მაგალითი 1 § 4-დან).

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ალგორითმი ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისას ორი ცვლადით x, y.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან y გამოხატეთ x-ის მიხედვით.
2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.
4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.
5. ჩაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y), რომლებიც ნაპოვნი იქნა, შესაბამისად, მესამე და მეოთხე საფეხურზე.

4) თავის მხრივ შეცვალეთ y-ის ნაპოვნი თითოეული მნიშვნელობა ფორმულაში x \u003d 5 - Zy. თუ მაშინ
5) განტოლებათა მოცემული სისტემის წყვილები (2; 1) და ამონახსნები.

პასუხი: (2; 1);

ალგებრული მიმატების მეთოდი

ეს მეთოდი, ისევე როგორც ჩანაცვლების მეთოდი, თქვენთვის ცნობილია მე-7 კლასის ალგებრის კურსიდან, სადაც იგი გამოიყენებოდა წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოსახსნელად. ჩვენ ვიხსენებთ მეთოდის არსს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 2განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

ჩვენ ვამრავლებთ სისტემის პირველი განტოლების ყველა წევრს 3-ზე და ვტოვებთ მეორე განტოლებას უცვლელად:
გამოვაკლოთ სისტემის მეორე განტოლება მის პირველ განტოლებას:

თავდაპირველი სისტემის ორი განტოლების ალგებრული შეკრების შედეგად მიღებული იქნა განტოლება, რომელიც უფრო მარტივია, ვიდრე მოცემული სისტემის პირველი და მეორე განტოლებები. ამ მარტივი განტოლებით ჩვენ გვაქვს უფლება შევცვალოთ მოცემული სისტემის ნებისმიერი განტოლება, მაგალითად, მეორე. შემდეგ განტოლებათა მოცემული სისტემა შეიცვლება უფრო მარტივი სისტემით:

ეს სისტემა შეიძლება გადაწყდეს ჩანაცვლების მეთოდით. მეორე განტოლებიდან ჩვენ ვპოულობთ ამ გამოხატვის y-ის ნაცვლად სისტემის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

რჩება x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში

თუ x = 2 მაშინ

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ სისტემის ორი გამოსავალი:

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი

მე-8 კლასის ალგებრის კურსში ერთი ცვლადით რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ახალი ცვლადის შემოტანის მეთოდს გაეცანით. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ამ მეთოდის არსი იგივეა, მაგრამ ტექნიკური თვალსაზრისით არსებობს რამდენიმე მახასიათებელი, რომელსაც შემდეგ მაგალითებში განვიხილავთ.

მაგალითი 3განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, შემდეგ სისტემის პირველი განტოლება შეიძლება გადავიწეროთ უფრო მარტივი ფორმით: მოდით გადავჭრათ ეს განტოლება t ცვლადის მიმართ:

ორივე ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს პირობას და, შესაბამისად, არის რაციონალური განტოლების ფესვები t ცვლადით. მაგრამ ეს ნიშნავს ან საიდან ვპოულობთ, რომ x = 2y, ან
ამრიგად, ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის დახმარებით, ჩვენ შევძელით, თითქოსდა, სისტემის პირველი განტოლება, რომელიც საკმაოდ რთულია გარეგნულად, ორ მარტივ განტოლებად „სტრატიფიცირება“ გავხადეთ:

x = 2 y; y - 2x.

Რა არის შემდეგი? შემდეგ კი მიღებული ორი მარტივი განტოლებიდან თითოეული თავის მხრივ უნდა განიხილებოდეს სისტემაში განტოლებით x 2 - y 2 \u003d 3, რომელიც ჯერ არ გვახსოვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პრობლემა მცირდება განტოლებების ორი სისტემის ამოხსნით:

აუცილებელია იპოვოთ გადაწყვეტილებები პირველი სისტემისთვის, მეორე სისტემისთვის და პასუხში შევიტანოთ მნიშვნელობების ყველა წყვილი. მოდით ამოხსნათ განტოლების პირველი სისტემა:

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი, მით უმეტეს, რომ აქ ყველაფერი მზად არის: სისტემის მეორე განტოლებაში ვცვლით გამოხატულებას x-ის ნაცვლად 2y. მიიღეთ

x \u003d 2y-დან შესაბამისად ვპოულობთ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. ამრიგად, მიიღება მოცემული სისტემის ორი ამონახსნი: (2; 1) და (-2; -1). გადავწყვიტოთ განტოლების მეორე სისტემა:

ისევ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის მეორე განტოლებაში y-ის ნაცვლად გამოსახულებას ვცვლით 2x. მიიღეთ

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები. ამრიგად, პასუხში მხოლოდ პირველი სისტემის გადაწყვეტილებები უნდა იყოს შეტანილი.

პასუხი: (2; 1); (-2;-1).

ორი ცვლადით ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისას ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი გამოიყენება ორ ვერსიაში. პირველი ვარიანტი: შემოდის ერთი ახალი ცვლადი და გამოიყენება სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებაში. ეს არის ზუსტად ის, რაც მოხდა მე-3 მაგალითში. მეორე ვარიანტი: ორი ახალი ცვლადი შემოტანილია და ერთდროულად გამოიყენება სისტემის ორივე განტოლებაში. ასე იქნება მე-4 მაგალითში.

მაგალითი 4განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ორი ახალი ცვლადი:

ამას მაშინ ვიგებთ

ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ მოცემული სისტემა ბევრად უფრო მარტივი ფორმით, მაგრამ ახალი a და b ცვლადების მიმართ:

ვინაიდან a \u003d 1, შემდეგ განტოლებიდან a + 6 \u003d 2 ვპოულობთ: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. ამრიგად, a და b ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

x და y ცვლადებს დავუბრუნდეთ, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ სისტემის ამოსახსნელად ვიყენებთ ალგებრული მიმატების მეთოდს:

მას შემდეგ 2x + y = 3 განტოლებიდან ვპოულობთ:
ამრიგად, x და y ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

მოდით დავასრულოთ ეს ნაწილი მოკლე, მაგრამ საკმაოდ სერიოზული თეორიული განხილვით. თქვენ უკვე მიიღეთ გარკვეული გამოცდილება სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას: წრფივი, კვადრატული, რაციონალური, ირაციონალური. თქვენ იცით, რომ განტოლების ამოხსნის მთავარი იდეა არის ეტაპობრივი გადასვლა ერთი განტოლებიდან მეორეზე, უფრო მარტივი, მაგრამ მოცემულის ექვივალენტური. წინა განყოფილებაში ჩვენ შემოვიღეთ ეკვივალენტობის ცნება ორი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის. ეს კონცეფცია ასევე გამოიყენება განტოლებათა სისტემებისთვის.

განმარტება.

განტოლების ორ სისტემას x და y ცვლადებით ეწოდება ეკვივალენტური, თუ მათ აქვთ იგივე ამონახსნები ან თუ ორივე სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

სამივე მეთოდი (ჩანაცვლება, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების შემოღება), რომლებიც განვიხილეთ ამ ნაწილში, აბსოლუტურად სწორია ეკვივალენტობის თვალსაზრისით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ მეთოდების გამოყენებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებათა ერთ სისტემას სხვა, უფრო მარტივი, მაგრამ ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური სისტემით.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

ჩვენ უკვე ვისწავლეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ისეთი ჩვეულებრივი და საიმედო გზებით, როგორიცაა ჩანაცვლების მეთოდი, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების შემოღება. ახლა კი გავიხსენოთ მეთოდი, რომელიც უკვე შეისწავლეთ წინა გაკვეთილზე. ანუ გავიმეოროთ ის, რაც იცით გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის შესახებ.

განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნის მეთოდი არის გრაფიკის აგება თითოეული კონკრეტული განტოლებისთვის, რომლებიც შედის ამ სისტემაში და არის იმავე კოორდინატულ სიბრტყეში, ასევე სადაც საჭიროა ამ გრაფიკების წერტილების კვეთის პოვნა. . განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად არის ამ წერტილის კოორდინატები (x; y).

უნდა გვახსოვდეს, რომ განტოლებათა გრაფიკული სისტემისთვის ჩვეულებრივია იყოს ან ერთი სწორი ამონახსნები, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ან საერთოდ არ გვქონდეს ამონახსნები.

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ამ გადაწყვეტას. ასე რომ, განტოლებათა სისტემას შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური ამონახსნი, თუ ხაზები, რომლებიც სისტემის განტოლებების გრაფიკებია, იკვეთება. თუ ეს წრფეები პარალელურია, მაშინ განტოლებათა ასეთ სისტემას აბსოლუტურად არ აქვს ამონახსნები. სისტემის განტოლებების პირდაპირი გრაფიკების დამთხვევის შემთხვევაში, ასეთი სისტემა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მრავალი ამონახსნები.

ახლა მოდით შევხედოთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის ალგორითმს 2 უცნობით:

ჯერ პირველ რიგში ვაშენებთ 1-ლი განტოლების გრაფიკს;
მეორე ნაბიჯი იქნება გრაფიკის დახატვა, რომელიც ეხება მეორე განტოლებას;
მესამე, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.
და შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თითოეული გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც იქნება განტოლებების სისტემის ამოხსნა.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად მაგალითით. ჩვენ გვეძლევა გადასაჭრელ განტოლებათა სისტემა:

განტოლებების ამოხსნა

1. ჯერ ავაშენებთ ამ განტოლების გრაფიკს: x2+y2=9.

მაგრამ უნდა აღინიშნოს, რომ განტოლებების ეს გრაფიკი იქნება საწყისზე ორიენტირებული წრე და მისი რადიუსი სამის ტოლი იქნება.

2. ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი იქნება განტოლების გამოსახვა, როგორიცაა: y = x - 3.

ამ შემთხვევაში უნდა ავაგოთ წრფე და ვიპოვოთ წერტილები (0;−3) და (3;0).

3. ვნახოთ რა მივიღეთ. ჩვენ ვხედავთ, რომ წრფე კვეთს წრეს მის ორ წერტილში A და B.

ახლა ჩვენ ვეძებთ ამ წერტილების კოორდინატებს. ჩვენ ვხედავთ, რომ კოორდინატები (3;0) შეესაბამება A წერტილს, ხოლო კოორდინატები (0;−3) - B წერტილს.

და რას მივიღებთ შედეგად?

სწორი წრფის წრის გადაკვეთაზე მიღებული რიცხვები (3;0) და (0;−3) სწორედ სისტემის ორივე განტოლების ამონახსნებია. და აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს რიცხვები ასევე არის ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნები.

ანუ ამ ამოხსნის პასუხი არის რიცხვები: (3;0) და (0;−3).