სივრცის სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები არის განტოლებები, რომლებიც განსაზღვრავენ სწორ ხაზს, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მიმართულების ვექტორამდე.

მიეცით წერტილი და მიმართულების ვექტორი. თვითნებური წერტილი დევს ხაზზე ლმხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები და არიან კოლინარული, ანუ ისინი აკმაყოფილებენ პირობას:

.

ზემოთ მოყვანილი განტოლებები არის წრფის კანონიკური განტოლებები.

ნომრები მ , ნდა გვარის მიმართულების ვექტორის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე. ვინაიდან ვექტორი არ არის ნულოვანი, მაშინ ყველა რიცხვი მ , ნდა გვარ შეიძლება იყოს ნული ერთდროულად. მაგრამ ერთი ან ორი მათგანი შეიძლება იყოს ნული. მაგალითად, ანალიტიკურ გეომეტრიაში დაშვებულია შემდეგი აღნიშვნა:

,

რაც ნიშნავს, რომ ვექტორის პროექციები ღერძებზე ოიდა ოზინულის ტოლია. მაშასადამე, კანონიკური განტოლებებით მოცემული ვექტორიც და სწორი ხაზიც ღერძებზე პერპენდიკულარულია. ოიდა ოზი, ანუ თვითმფრინავები yOz .

მაგალითი 1შეადგინეთ სიბრტყის პერპენდიკულარულ სივრცეში სწორი ხაზის განტოლებები და გადის ამ სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილში ოზი .

გადაწყვეტილება. იპოვეთ მოცემული სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი ოზი. ღერძის ნებისმიერი წერტილიდან ოზი, აქვს კოორდინატები , მაშინ, სიბრტყის მოცემულ განტოლებაში ვარაუდით x=y= 0, მივიღებთ 4 ზ- 8 = 0 ან ზ= 2. მაშასადამე, მოცემული სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი ოზიაქვს კოორდინატები (0; 0; 2) . ვინაიდან სასურველი ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულია, ის მისი ნორმალური ვექტორის პარალელურია. ამრიგად, ნორმალური ვექტორი შეიძლება იყოს სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი მოცემული თვითმფრინავი.

ახლა ჩვენ ვწერთ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის სასურველ განტოლებებს ა= (0; 0; 2) ვექტორის მიმართულებით:

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებები

სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს მასზე ორი წერტილით და ამ შემთხვევაში, სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი შეიძლება იყოს ვექტორი. შემდეგ წრფის კანონიკური განტოლებები იღებენ ფორმას

.

ზემოაღნიშნული განტოლებები განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში.

მაგალითი 2დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება სივრცეში, რომელიც გადის წერტილებს და .

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის სასურველ განტოლებებს თეორიულ მითითებაში ზემოთ მოცემული ფორმით:

.

ვინაიდან , მაშინ სასურველი ხაზი ღერძის პერპენდიკულარულია ოი .

სწორი, როგორც სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი

სივრცეში სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ორი არაპარალელური სიბრტყის გადაკვეთის წრფე, ანუ, როგორც წერტილების ერთობლიობა, რომელიც აკმაყოფილებს ორი წრფივი განტოლების სისტემას.

სისტემის განტოლებებს ასევე უწოდებენ სივრცეში სწორი ხაზის ზოგად განტოლებებს.

მაგალითი 3ზოგადი განტოლებებით მოცემულ სივრცეში სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებების შედგენა

გადაწყვეტილება. სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებების დასაწერად ან, რაც იგივეა, ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება, თქვენ უნდა იპოვოთ სწორი ხაზის ნებისმიერი ორი წერტილის კოორდინატები. ისინი შეიძლება იყოს სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები ნებისმიერ ორ კოორდინატულ სიბრტყესთან, მაგალითად yOzდა xOz .

წრფის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილი yOzაქვს აბსციზა x= 0. მაშასადამე, განტოლებათა ამ სისტემაში ვარაუდით x= 0, ვიღებთ სისტემას ორი ცვლადით:

მისი გადაწყვეტილება წ = 2 , ზ= 6 ერთად x= 0 განსაზღვრავს წერტილს ასასურველი ხაზის (0; 2; 6). ვივარაუდოთ, რომ მოცემულ განტოლებათა სისტემაში წ= 0, ჩვენ ვიღებთ სისტემას

მისი გადაწყვეტილება x = -2 , ზ= 0 ერთად წ= 0 განსაზღვრავს წერტილს ბ(-2; 0; 0) წრფის გადაკვეთა სიბრტყესთან xOz .

ახლა ჩვენ ვწერთ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებებს ა(0; 2; 6) და ბ (-2; 0; 0) :

,

ან მნიშვნელების -2-ზე გაყოფის შემდეგ:

,

მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი წრფის განტოლება. ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება. კუთხე ორ ხაზს შორის. ორი წრფის პარალელურობის და პერპენდიკულარულობის პირობა. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის განსაზღვრა

1. მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება ა(x 1 , წ 1) მოცემული მიმართულებით, განსაზღვრული ფერდობზე კ,

წ - წ 1 = კ(x - x 1). (1)

ეს განტოლება განსაზღვრავს ხაზების ფანქარს, რომელიც გადის წერტილში ა(x 1 , წ 1), რომელსაც სხივის ცენტრს უწოდებენ.

2. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში: ა(x 1 , წ 1) და ბ(x 2 , წ 2) ასე წერია:

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის დახრილობა განისაზღვრება ფორმულით

3. კუთხე სწორ ხაზებს შორის ადა ბარის კუთხე, რომლითაც უნდა შემობრუნდეს პირველი სწორი ხაზი აამ ხაზების გადაკვეთის წერტილის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით, სანამ ის მეორე ხაზს არ დაემთხვევა ბ. თუ ორი წრფე მოცემულია დახრილობის განტოლებით

წ = კ 1 x + ბ 1 ,

მიეცით ორი ქულა მ(X 1 ,ზე 1) და ნ(X 2,წ 2). ვიპოვოთ ამ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

ვინაიდან ეს ხაზი გადის წერტილში მ, მაშინ (1.13) ფორმულის მიხედვით მის განტოლებას აქვს ფორმა

ზე – ი 1 = კ(X-x 1),

სად კუცნობი ფერდობია.

ამ კოეფიციენტის მნიშვნელობა განისაზღვრება იმ პირობით, რომ სასურველი სწორი ხაზი გაივლის წერტილს ნ, რაც ნიშნავს, რომ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (1.13)

ი 2 – ი 1 = კ(X 2 – X 1),

აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ხაზის დახრილობა:

,

ან კონვერტაციის შემდეგ

(1.14)

ფორმულა (1.14) განსაზღვრავს ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება მ(X 1, ი 1) და ნ(X 2, ი 2).

კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც ქულები მ(ა, 0), ნ(0, ბ), მაგრამ ¹ 0, ბ¹ 0, დაწექი კოორდინატთა ღერძებზე, განტოლება (1.14) უფრო მარტივ ფორმას იღებს

განტოლება (1.15)დაურეკა სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, აქ მაგრამდა ბაღნიშნეთ ღერძებზე სწორი ხაზით მოწყვეტილი სეგმენტები (სურათი 1.6).

სურათი 1.6

მაგალითი 1.10. დაწერეთ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება მ(1, 2) და ბ(3, –1).

. (1.14) მიხედვით, სასურველი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა

2(ი – 2) = -3(X – 1).

ყველა ტერმინის მარცხენა მხარეს გადატანით, საბოლოოდ მივიღებთ სასურველ განტოლებას

3X + 2ი – 7 = 0.

მაგალითი 1.11. დაწერეთ განტოლება წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს მ(2, 1) და ხაზების გადაკვეთის წერტილი X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. ამ განტოლებების ერთად ამოხსნით ვპოულობთ წრფეთა გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს

თუ ამ განტოლებებს ვამატებთ ტერმინით, მივიღებთ 2-ს X+ 1 = 0, საიდანაც . ნაპოვნი მნიშვნელობის ნებისმიერ განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიპოვით ორდინატის მნიშვნელობას ზე:

ახლა დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წერტილებში (2, 1) და:

ან .

ამიტომ ან -5( ი – 1) = X – 2.

საბოლოოდ ვიღებთ სასურველი სწორი ხაზის განტოლებას ფორმაში X + 5ი – 7 = 0.

მაგალითი 1.12. იპოვეთ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება მ(2.1) და ნ(2,3).

ფორმულის გამოყენებით (1.14) ვიღებთ განტოლებას

აზრი არ აქვს, რადგან მეორე მნიშვნელი არის ნული. პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ ორივე წერტილის აბსცისებს ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვთ. აქედან გამომდინარე, საჭირო ხაზი ღერძის პარალელურია OYდა მისი განტოლებაა: x = 2.

კომენტარი . თუ (1.14) ფორმულის მიხედვით სწორი ხაზის განტოლების დაწერისას ერთ-ერთი მნიშვნელი ნულის ტოლი აღმოჩნდება, მაშინ სასურველი განტოლება შეიძლება მივიღოთ შესაბამისი მრიცხველის ნულთან გატოლებით.

განვიხილოთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის დაყენების სხვა გზები.

1. ნულოვანი ვექტორი იყოს მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარული ლდა წერტილი მ 0(X 0, ი 0) დევს ამ ხაზზე (სურათი 1.7).

სურათი 1.7

აღნიშნეთ მ(X, ი) თვითნებური წერტილი ხაზზე ლ. ვექტორები და ორთოგონალური. ამ ვექტორების ორთოგონალურობის პირობების გამოყენებით ვიღებთ ან მაგრამ(X – X 0) + ბ(ი – ი 0) = 0.

მივიღეთ წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება მ 0 არის ვექტორის პერპენდიკულარული. ამ ვექტორს ე.წ ნორმალური ვექტორი სწორ ხაზზე ლ. შედეგად მიღებული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

ოჰ + ვუ + თან= 0, სადაც თან = –(მაგრამX 0 + ავტორი 0), (1.16),

სად მაგრამდა ATარის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

ვიღებთ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას პარამეტრული ფორმით.

2. სიბრტყეზე წრფე შეიძლება განვსაზღვროთ შემდეგნაირად: არა ნულოვანი ვექტორი იყოს მოცემული წრფის პარალელურად. ლდა წერტილი მ 0(X 0, ი 0) დევს ამ ხაზზე. კიდევ ერთხელ, მიიღეთ თვითნებური წერტილი მ(X, y) სწორ ხაზზე (სურათი 1.8).

სურათი 1.8

ვექტორები და კოლინარული.

ჩამოვწეროთ ამ ვექტორების კოლინარობის პირობა: , სად თარის თვითნებური რიცხვი, რომელსაც ეწოდება პარამეტრი. დავწეროთ ეს ტოლობა კოორდინატებში:

ეს განტოლებები ე.წ პარამეტრული განტოლებები პირდაპირ. ამ განტოლებიდან გამოვრიცხოთ პარამეტრი თ:

ეს განტოლებები შეიძლება დაიწეროს ფორმით

. (1.18)

შედეგად მიღებული განტოლება ე.წ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება. ვექტორული ზარი მიმართულების ვექტორი სწორი .

კომენტარი . ადვილი მისახვედრია, რომ თუ არის წრფის ნორმალური ვექტორი ლ, მაშინ მისი მიმართულების ვექტორი შეიძლება იყოს ვექტორი , ვინაიდან , ე.ი.

მაგალითი 1.13. დაწერეთ წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება მ 0(1, 1) მე-3 წრფის პარალელურად X + 2ზე– 8 = 0.

გადაწყვეტილება . ვექტორი არის ნორმალური ვექტორი მოცემული და სასურველი ხაზებისთვის. გამოვიყენოთ წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება მ 0 მოცემული ნორმალური ვექტორით 3( X –1) + 2(ზე- 1) = 0 ან 3 X + 2 წ- 5 \u003d 0. მივიღეთ სასურველი სწორი ხაზის განტოლება.

ეს სტატია აგრძელებს სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლების თემას: განიხილეთ განტოლების ისეთი ტიპი, როგორიცაა სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება. განვსაზღვროთ თეორემა და დავამტკიცოთ იგი; მოდით გავარკვიოთ, რა არის სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლება და როგორ განვახორციელოთ გადასვლები ზოგადი განტოლებიდან სხვა ტიპის სწორი ხაზის განტოლებაზე. ჩვენ გავაერთიანებთ მთელ თეორიას ილუსტრაციებით და პრაქტიკული პრობლემების გადაწყვეტით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სიბრტყეზე მოცემული იყოს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y.

თეორემა 1

პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება, რომელსაც აქვს ფორმა A x + B y + C \u003d 0, სადაც A, B, C არის რამდენიმე რეალური რიცხვი (A და B ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი) განსაზღვრავს სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე. თავის მხრივ, სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ნებისმიერი ხაზი განისაზღვრება განტოლებით, რომელსაც აქვს ფორმა A x + B y + C = 0 მნიშვნელობების გარკვეული ნაკრებისთვის A, B, C.

მტკიცებულება

ეს თეორემა ორი წერტილისგან შედგება, თითოეულ მათგანს დავამტკიცებთ.

1. დავამტკიცოთ, რომ განტოლება A x + B y + C = 0 განსაზღვრავს წრფეს სიბრტყეზე.

იყოს რაღაც წერტილი M 0 (x 0 , y 0), რომლის კოორდინატები შეესაბამება A x + B y + C = 0 განტოლებას. ამრიგად: A x 0 + B y 0 + C = 0. გამოვაკლოთ განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს A x + B y + C \u003d 0 განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომელიც ჰგავს A-ს. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . ის უდრის A x + B y + C = 0-ს.

მიღებული განტოლება A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 არის აუცილებელი და საკმარისი პირობა n → = (A, B) და M 0 M → = (x - x ვექტორების პერპენდიკულარულობისთვის. 0, y - y 0). ამრიგად, M (x, y) წერტილების სიმრავლე განსაზღვრავს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში n → = (A, B) ვექტორის მიმართულების პერპენდიკულარულ სწორ ხაზს. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ეს ასე არ არის, მაგრამ მაშინ ვექტორები n → = (A, B) და M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) არ იქნება პერპენდიკულარული და ტოლობა A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 არ იქნება მართალი.

ამრიგად, განტოლება A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 განსაზღვრავს გარკვეულ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და, შესაბამისად, ექვივალენტური განტოლება A x + B y + C \u003d 0. განსაზღვრავს იგივე ხაზს. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემის პირველი ნაწილი.

1. დავამტკიცოთ, რომ სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მივიღოთ პირველი ხარისხის A x + B y + C = 0 განტოლებით.

სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში დავსახოთ სწორი ხაზი a; წერტილი M 0 (x 0 , y 0), რომლითაც გადის ეს წრფე, ისევე როგორც ამ წრფის ნორმალური ვექტორი n → = (A , B) .

ასევე არსებობდეს M (x, y) წერტილი - წრფის მცურავი წერტილი. ამ შემთხვევაში ვექტორები n → = (A , B) და M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და მათი სკალარული ნამრავლი არის ნული:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

გადავწეროთ განტოლება A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , განვსაზღვროთ C: C = - A x 0 - B y 0 და ბოლოს მივიღოთ განტოლება A x + B y + C = 0 .

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემის მეორე ნაწილი და დავამტკიცეთ მთელი თეორემა მთლიანობაში.

განმარტება 1

განტოლება, რომელიც ჰგავს A x + B y + C = 0 - ეს სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებამართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზეO x y.

დადასტურებული თეორემის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სწორკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე მოცემული სწორი ხაზი და მისი ზოგადი განტოლება განუყოფლად არის დაკავშირებული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველი ხაზი შეესაბამება მის ზოგად განტოლებას; სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება შეესაბამება მოცემულ სწორ ხაზს.

თეორემის დადასტურებიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ კოეფიციენტები A და B x და y ცვლადებისთვის არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, რომელიც მოცემულია A x + B y + სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებით. C = 0.

განვიხილოთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების კონკრეტული მაგალითი.

მოცემული იყოს განტოლება 2 x + 3 y - 2 = 0, რომელიც შეესაბამება სწორ ხაზს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. ამ ხაზის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n → = (2, 3). დახაზეთ მოცემული სწორი ხაზი ნახაზზე.

ასევე შეიძლება ვიკამათოთ: სწორი ხაზი, რომელსაც ნახატზე ვხედავთ, განისაზღვრება ზოგადი განტოლებით 2 x + 3 y - 2 = 0, ვინაიდან მოცემული სწორი ხაზის ყველა წერტილის კოორდინატები შეესაბამება ამ განტოლებას.

ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ განტოლება λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ზოგადი სწორი ხაზის განტოლების ორივე მხარის არანულოვანი რიცხვით λ-ზე გამრავლებით. შედეგად მიღებული განტოლება ორიგინალური ზოგადი განტოლების ექვივალენტურია, შესაბამისად, იგი აღწერს იმავე ხაზს სიბრტყეში.

განმარტება 2

სწორი ხაზის სრული ზოგადი განტოლება- A x + B y + C \u003d 0 წრფის ასეთი ზოგადი განტოლება, რომელშიც რიცხვები A, B, C არ არის ნულოვანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება არის არასრული.

მოდით გავაანალიზოთ სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლების ყველა ვარიაცია.

1. როდესაც A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ზოგადი განტოლება ხდება B y + C \u003d 0. ასეთი არასრული ზოგადი განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y, რომელიც პარალელურია O x ღერძის, ვინაიდან x-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის, ცვლადი y მიიღებს მნიშვნელობას. - C B. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, A x + B y + C \u003d 0 წრფის ზოგადი განტოლება, როდესაც A \u003d 0, B ≠ 0, განსაზღვრავს წერტილების ადგილს (x, y), რომელთა კოორდინატები ტოლია იმავე რიცხვისა. - C B.
2. თუ A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ზოგადი განტოლება ხდება y \u003d 0. ასეთი არასრული განტოლება განსაზღვრავს x-ღერძს O x.
3. როდესაც A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, ჩვენ ვიღებთ არასრულ ზოგად განტოლებას A x + C \u003d 0, რომელიც განსაზღვრავს y-ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს.
4. მოდით A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, მაშინ არასრული ზოგადი განტოლება მიიღებს x \u003d 0 ფორმას და ეს არის O y კოორდინატთა ხაზის განტოლება.
5. დაბოლოს, როდესაც A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, არასრული ზოგადი განტოლება იღებს ფორმას A x + B y \u003d 0. და ეს განტოლება აღწერს სწორ ხაზს, რომელიც გადის საწყისზე. მართლაც, რიცხვების წყვილი (0, 0) შეესაბამება ტოლობას A x + B y = 0, ვინაიდან A · 0 + B · 0 = 0.

მოდით გრაფიკულად გამოვხატოთ სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლების ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ტიპი.

მაგალითი 1

ცნობილია, რომ მოცემული სწორი ხაზი y-ღერძის პარალელურია და გადის 2 7 , - 11 წერტილში. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

სწორი ხაზი y-ღერძის პარალელურად მოცემულია A x + C \u003d 0 ფორმის განტოლებით, რომელშიც A ≠ 0. პირობა ასევე განსაზღვრავს იმ წერტილის კოორდინატებს, რომლითაც გადის ხაზი და ამ წერტილის კოორდინატები შეესაბამება არასრული ზოგადი განტოლების პირობებს A x + C = 0, ე.ი. თანასწორობა სწორია:

A 2 7 + C = 0

მისგან C-ის დადგენა შესაძლებელია A-ს არა-ნულოვანი მნიშვნელობის მიცემით, მაგალითად, A = 7. ამ შემთხვევაში ვიღებთ: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. ჩვენ ვიცით ორივე კოეფიციენტი A და C, შევცვალოთ ისინი განტოლებაში A x + C = 0 და მივიღოთ წრფის საჭირო განტოლება: 7 x - 2 = 0.

პასუხი: 7 x - 2 = 0

მაგალითი 2

ნახატზე ნაჩვენებია სწორი ხაზი, აუცილებელია მისი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

მოცემული ნახაზი საშუალებას გვაძლევს მარტივად ავიღოთ საწყისი მონაცემები პრობლემის გადასაჭრელად. ნახაზზე ვხედავთ, რომ მოცემული წრფე პარალელურია O x ღერძისა და გადის წერტილში (0, 3).

სწორი ხაზი, რომელიც აბსცისის პარალელურია, განისაზღვრება არასრული ზოგადი განტოლებით B y + С = 0. იპოვეთ B და C მნიშვნელობები. წერტილის კოორდინატები (0, 3), ვინაიდან მასში მოცემული სწორი ხაზი გადის, დააკმაყოფილებს B y + С = 0 სწორი ხაზის განტოლებას, მაშინ ტოლობა მოქმედებს: В · 3 + С = 0. მოდით დავაყენოთ B ნულის გარდა სხვა მნიშვნელობაზე. ვთქვათ B \u003d 1, ამ შემთხვევაში, B · 3 + C \u003d 0 ტოლობიდან შეგვიძლია ვიპოვოთ C: C \u003d - 3. B და C ცნობილი მნიშვნელობების გამოყენებით ვიღებთ სწორი ხაზის საჭირო განტოლებას: y - 3 = 0.

პასუხი: y - 3 = 0.

სიბრტყის მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება

მოცემულმა წრფემ გაიაროს M 0 (x 0, y 0) წერტილი, მაშინ მისი კოორდინატები შეესაბამება წრფის ზოგად განტოლებას, ე.ი. ტოლობა მართალია: A x 0 + B y 0 + C = 0 . გამოვაკლოთ ამ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები სწორი ხაზის ზოგადი სრული განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. ვიღებთ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ეს განტოლება უდრის თავდაპირველ ზოგადს, გადის M 0 წერტილში (x 0, y 0) და აქვს ნორმალური ვექტორი n → \u003d (A, B) .

ჩვენ მიერ მიღებული შედეგი საშუალებას იძლევა დავწეროთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორის ცნობილი კოორდინატებისთვის და ამ სწორი ხაზის გარკვეული წერტილის კოორდინატებისთვის.

მაგალითი 3

მოცემულია წერტილი M 0 (- 3, 4), რომლითაც გადის წრფე და ამ წრფის ნორმალური ვექტორი n → = (1 , - 2) . აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

საწყისი პირობები საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ განტოლების შედგენისთვის საჭირო მონაცემები: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. შემდეგ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრა შეიძლებოდა. სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა A x + B y + C = 0. მოცემული ნორმალური ვექტორი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ A და B კოეფიციენტების მნიშვნელობები, შემდეგ:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ახლა ვიპოვოთ C-ის მნიშვნელობა ამოცანის პირობით მოცემული წერტილის M 0 (- 3, 4) გამოყენებით, რომლითაც გადის წრფე. ამ წერტილის კოორდინატები შეესაბამება განტოლებას x - 2 · y + C = 0, ე.ი. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. აქედან გამომდინარე, C = 11. საჭირო სწორი ხაზის განტოლება იღებს ფორმას: x - 2 · y + 11 = 0 .

პასუხი: x - 2 y + 11 = 0.

მაგალითი 4

მოცემულია ხაზი 2 3 x - y - 1 2 = 0 და წერტილი M 0, რომელიც დევს ამ წრფეზე. ამ წერტილის მხოლოდ აბსციზაა ცნობილი და ის უდრის - 3-ს. აუცილებელია მოცემული პუნქტის ორდინატის განსაზღვრა.

გადაწყვეტილება

მოდით დავაყენოთ M 0 წერტილის კოორდინატების აღნიშვნა x 0 და y 0 . საწყისი მონაცემები მიუთითებს, რომ x 0 \u003d - 3. ვინაიდან წერტილი მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მაშინ მისი კოორდინატები შეესაბამება ამ წრფის ზოგად განტოლებას. მაშინ შემდეგი თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

განსაზღვრეთ y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

პასუხი: - 5 2

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან გადასვლა სწორი ხაზის განტოლებათა სხვა ტიპებზე და პირიქით

როგორც ვიცით, სიბრტყეში ერთი და იგივე სწორი ხაზის განტოლების რამდენიმე ტიპი არსებობს. განტოლების ტიპის არჩევანი დამოკიდებულია პრობლემის პირობებზე; შესაძლებელია აირჩიოს ის, რომელიც უფრო მოსახერხებელია მისი გადაწყვეტისთვის. სწორედ აქ გამოდგება ერთი სახის განტოლების სხვა სახის განტოლებად გადაქცევის უნარი.

ჯერ განვიხილოთ A x + B y + C = 0 ფორმის ზოგადი განტოლებიდან გადასვლა კანონიკურ განტოლებაზე x - x 1 a x = y - y 1 a y .

თუ A ≠ 0, მაშინ B y ტერმინს გადავიტანთ ზოგადი განტოლების მარჯვენა მხარეს. მარცხენა მხარეს ვიღებთ A-ს ფრჩხილებიდან. შედეგად მივიღებთ: A x + C A = - B y .

ეს ტოლობა შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად: x + C A - B = y A .

თუ B ≠ 0, ზოგადი განტოლების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ ტერმინს A x, დანარჩენებს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ: A x \u003d - B y - C. ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ - B, შემდეგ: A x \u003d - B y + C B.

გადავიწეროთ ტოლობა პროპორციულად: x - B = y + C B A .

რა თქმა უნდა, არ არის საჭირო მიღებული ფორმულების დამახსოვრება. საკმარისია ვიცოდეთ მოქმედებების ალგორითმი ზოგადი განტოლებიდან კანონიკურზე გადასვლისას.

მაგალითი 5

მოცემულია 3 y - 4 = 0 წრფის ზოგადი განტოლება. ის უნდა გარდაიქმნას კანონიკურ განტოლებად.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას, როგორც 3 y - 4 = 0. შემდეგი, ჩვენ ვმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით: ტერმინი 0 x რჩება მარცხენა მხარეს; ხოლო მარჯვენა მხარეს ამოვიღებთ - 3 ფრჩხილიდან; ვიღებთ: 0 x = - 3 y - 4 3 .

მიღებული ტოლობა ჩავწეროთ პროპორციულად: x - 3 = y - 4 3 0 . ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კანონიკური ფორმის განტოლება.

პასუხი: x - 3 = y - 4 3 0.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების პარამეტრულებად გადაქცევისთვის, ჯერ ხდება კანონიკურ ფორმაზე გადასვლა, შემდეგ კი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებიდან პარამეტრულ განტოლებაზე გადასვლა.

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით 2 x - 5 y - 1 = 0. ჩაწერეთ ამ წრფის პარამეტრული განტოლებები.

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიდეთ ზოგადი განტოლებიდან კანონიკურზე:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ახლა ავიღოთ მიღებული კანონიკური განტოლების ორივე ნაწილი λ-ის ტოლი, მაშინ:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

პასუხი:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ზოგადი განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას სწორხაზოვან განტოლებად y = k x + b დახრილობით, მაგრამ მხოლოდ მაშინ, როდესაც B ≠ 0. მარცხენა მხარეს გადასასვლელად ვტოვებთ ტერმინს B y, დანარჩენი გადადის მარჯვნივ. ვიღებთ: B y = - A x - C . მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ B-ზე, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან: y = - A B x - C B .

მაგალითი 7

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება მოცემულია: 2 x + 7 y = 0 . თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ეს განტოლება დახრილობის განტოლებად.

გადაწყვეტილება

შევასრულოთ საჭირო მოქმედებები ალგორითმის მიხედვით:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

პასუხი: y = - 2 7 x .

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან საკმარისია უბრალოდ მივიღოთ განტოლება x a + y b \u003d 1 ფორმის სეგმენტებში. ასეთი გადასვლისთვის გადავიტანთ C რიცხვს ტოლობის მარჯვენა მხარეს, ვყოფთ მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილს - С-ზე და ბოლოს, x და y ცვლადების კოეფიციენტებს გადავცემთ მნიშვნელებს:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

მაგალითი 8

აუცილებელია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება x - 7 y + 1 2 = 0 გადავიტანოთ სწორი ხაზის განტოლებად სეგმენტებში.

გადაწყვეტილება

გადავიტანოთ 1 2 მარჯვენა მხარეს: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

გაყავით -1/2-ზე განტოლების ორივე მხარე: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

პასუხი: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

ზოგადად, საპირისპირო გადასვლა ასევე მარტივია: სხვა ტიპის განტოლებიდან ზოგადზე.

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში და განტოლება ფერდობთან შეიძლება ადვილად გარდაიქმნას ზოგად განტოლების მარცხენა მხარეს ყველა ტერმინის უბრალოდ შეგროვებით:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

კანონიკური განტოლება გარდაიქმნება ზოგადში შემდეგი სქემის მიხედვით:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

პარამეტრულიდან გადასასვლელად ჯერ ხდება კანონიკურზე გადასვლა, შემდეგ კი ზოგადზე:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

მაგალითი 9

მოცემულია x = - 1 + 2 · λ y = 4 სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებები. აუცილებელია ამ ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიდეთ პარამეტრული განტოლებიდან კანონიკურზე:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

გადავიდეთ კანონიკურიდან ზოგადზე:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

პასუხი: y - 4 = 0

მაგალითი 10

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში x 3 + y 1 2 = 1 მოცემულია. აუცილებელია განტოლების ზოგად ფორმაზე გადასვლა.

გადაწყვეტილება:

მოდით, უბრალოდ გადავიწეროთ განტოლება საჭირო ფორმით:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

პასუხი: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შედგენა

ზემოთ ვთქვით, რომ ზოგადი განტოლება შეიძლება დაიწეროს ნორმალური ვექტორის ცნობილი კოორდინატებით და იმ წერტილის კოორდინატებით, რომლითაც გადის წრფე. ასეთი სწორი ხაზი განისაზღვრება განტოლებით A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . იმავე ადგილას გავაანალიზეთ შესაბამისი მაგალითი.

ახლა მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითებს, რომლებშიც, პირველ რიგში, აუცილებელია ნორმალური ვექტორის კოორდინატების დადგენა.

მაგალითი 11

მოცემულია წრფე პარალელურად 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . ასევე ცნობილია წერტილი M 0 (4 , 1), რომლითაც გადის მოცემული წრფე. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

საწყისი პირობები გვეუბნება, რომ წრფეები პარალელურია, შემდეგ, როგორც წრფის ნორმალური ვექტორი, რომლის განტოლებაც უნდა დაიწეროს, ვიღებთ n წრფის მიმართულ ვექტორს → = (2, - 3) : 2 x - 3 y. + 3 3 = 0. ახლა ჩვენ ვიცით ყველა საჭირო მონაცემი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შესაქმნელად:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

პასუხი: 2 x - 3 y - 5 = 0.

მაგალითი 12

მოცემული წრფე გადის x - 2 3 = y + 4 5 წრფის პერპენდიკულარულ საწყისზე. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების დაწერა.

გადაწყვეტილება

მოცემული წრფის ნორმალური ვექტორი იქნება x - 2 3 = y + 4 5 წრფის ვექტორი.

შემდეგ n → = (3 , 5) . სწორი ხაზი გადის საწყისზე, ე.ი. O წერტილის გავლით (0, 0). მოდით შევადგინოთ მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

უპასუხე: 3 x + 5 y = 0 .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გაკვეთილი სერიიდან "გეომეტრიული ალგორითმები"

გამარჯობა ძვირფასო მკითხველო!

დღეს ჩვენ დავიწყებთ გეომეტრიასთან დაკავშირებული ალგორითმების შესწავლას. ფაქტია, რომ კომპიუტერულ მეცნიერებაში უამრავი ოლიმპიადის პრობლემაა დაკავშირებული გამოთვლით გეომეტრიასთან და ასეთი ამოცანების გადაწყვეტა ხშირად იწვევს სირთულეებს.

რამდენიმე გაკვეთილზე განვიხილავთ უამრავ ელემენტარულ ქვეპრობლემას, რომლებზეც დაფუძნებულია გამოთვლითი გეომეტრიის ამოცანების უმეტესობის ამოხსნა.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ დავწერთ პროგრამას სწორი ხაზის განტოლების პოვნამოცემულის გავლით ორი წერტილი. გეომეტრიული ამოცანების გადასაჭრელად ჩვენ გვჭირდება გარკვეული ცოდნა გამოთვლითი გეომეტრიის შესახებ. გაკვეთილის ნაწილს მივუძღვნით მათ გაცნობას.

ინფორმაცია გამოთვლითი გეომეტრიიდან

გამოთვლითი გეომეტრია არის კომპიუტერული მეცნიერების ფილიალი, რომელიც სწავლობს გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრის ალგორითმებს.

ასეთი ამოცანების საწყისი მონაცემები შეიძლება იყოს სიბრტყეზე წერტილების სიმრავლე, სეგმენტების სიმრავლე, მრავალკუთხედი (მოცემულია, მაგალითად, მისი წვეროების სიით საათის ისრის მიმართულებით) და ა.შ.

შედეგი შეიძლება იყოს პასუხი რომელიმე კითხვაზე (მაგალითად, ეკუთვნის თუ არა წერტილი სეგმენტს, იკვეთება თუ არა ორი სეგმენტი, ...), ან რაიმე გეომეტრიული ობიექტი (მაგალითად, მოცემული წერტილების დამაკავშირებელი ყველაზე პატარა ამოზნექილი პოლიგონი, ფართობი. მრავალკუთხედი და ა.შ.).

გამოთვლითი გეომეტრიის ამოცანებს განვიხილავთ მხოლოდ სიბრტყეზე და მხოლოდ დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორები და კოორდინატები

გამოთვლითი გეომეტრიის მეთოდების გამოსაყენებლად აუცილებელია გეომეტრიული გამოსახულებების თარგმნა რიცხვების ენაზე. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სიბრტყეზე მოცემულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც ბრუნის მიმართულებას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ეწოდება დადებითი.

ახლა გეომეტრიული ობიექტები იღებენ ანალიტიკურ გამოსახულებას. ასე რომ, წერტილის დასაყენებლად საკმარისია მისი კოორდინატების მითითება: რიცხვების წყვილი (x; y). სეგმენტის დაზუსტება შესაძლებელია მისი ბოლოების კოორდინატების მითითებით, სწორი ხაზის დაზუსტება შესაძლებელია მისი წერტილების წყვილის კოორდინატების მითითებით.

მაგრამ პრობლემების გადაჭრის მთავარი ინსტრუმენტი იქნება ვექტორები. მაშასადამე, შეგახსენებთ მათ შესახებ რამდენიმე ინფორმაციას.

ხაზის სეგმენტი AB, რომელსაც აქვს წერტილი მაგრამგანიხილება დასაწყისი (გამოყენების წერტილი) და წერტილი AT- დასასრულს ვექტორი ეწოდება ABდა აღინიშნება ან , ან თამამი პატარა ასოებით, მაგალითად ა .

ვექტორის სიგრძის (ანუ შესაბამისი სეგმენტის სიგრძის) აღსანიშნავად გამოვიყენებთ მოდულის სიმბოლოს (მაგალითად, ).

თვითნებურ ვექტორს ექნება კოორდინატები ტოლი სხვაობისა მისი დასასრულისა და დასაწყისის შესაბამის კოორდინატებს შორის:

,

წერტილები აქ ადა ბ აქვს კოორდინატები შესაბამისად.

გამოთვლებისთვის, ჩვენ გამოვიყენებთ კონცეფციას ორიენტირებული კუთხე, ანუ კუთხე, რომელიც ითვალისწინებს ვექტორების ფარდობით პოზიციას.

ორიენტირებული კუთხე ვექტორებს შორის ა და ბ დადებითი, თუ როტაცია მოშორებულია ვექტორისგან ა ვექტორამდე ბ კეთდება დადებითი მიმართულებით (საათის ისრის საწინააღმდეგოდ) და უარყოფითად სხვა შემთხვევაში. იხილეთ სურ.1ა, სურ.1ბ. ასევე ნათქვამია, რომ ვექტორების წყვილი ა და ბ დადებითად (ნეგატიურად) ორიენტირებული.

ამრიგად, ორიენტირებული კუთხის მნიშვნელობა დამოკიდებულია ვექტორების ჩამოთვლის თანმიმდევრობაზე და შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები ინტერვალში.

გამოთვლითი გეომეტრიის მრავალი პრობლემა იყენებს ვექტორების ვექტორული (დახრილი ან ფსევდოკალარული) პროდუქტების კონცეფციას.

a და b ვექტორების ვექტორული ნამრავლი არის ამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის სინუსის ნამრავლი:

.

ვექტორების ნამრავლი კოორდინატებში:

გამოთქმა მარჯვნივ არის მეორე რიგის განმსაზღვრელი:

ანალიტიკურ გეომეტრიაში მოცემული განმარტებისგან განსხვავებით, ეს არის სკალარი.

ჯვარედინი პროდუქტის ნიშანი განსაზღვრავს ვექტორების პოზიციას ერთმანეთთან შედარებით:

ა და ბ დადებითად ორიენტირებული.

თუ მნიშვნელობა არის , მაშინ ვექტორების წყვილი ა და ბ უარყოფითად ორიენტირებული.

არანულოვანი ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი კოლინარულია ( ). ეს ნიშნავს, რომ ისინი ერთსა და იმავე ხაზზე ან პარალელურ ხაზებზე დგანან.

მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მარტივი ამოცანა, რომელიც აუცილებელია უფრო რთული ამოცანების გადასაჭრელად.

განვსაზღვროთ სწორი ხაზის განტოლება ორი წერტილის კოორდინატებით.

ორ სხვადასხვა წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც მოცემულია მათი კოორდინატებით.

წრფეზე მოყვანილია ორი შეუსაბამო წერტილი: კოორდინატებით (x1;y1) და კოორდინატებით (x2; y2). შესაბამისად, ვექტორს, რომლის დასაწყისია წერტილი და ბოლო წერტილი, აქვს კოორდინატები (x2-x1, y2-y1). თუ P(x, y) არის თვითნებური წერტილი ჩვენს წრფეზე, მაშინ ვექტორის კოორდინატებია (x-x1, y - y1).

ჯვარედინი ნამრავლის დახმარებით ვექტორების კოლინარობის პირობა და შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

იმათ. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

ჩვენ ვწერთ ბოლო განტოლებას შემდეგნაირად:

ცული + by + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

ასე რომ, სწორი ხაზი შეიძლება იყოს მოცემული ფორმის (1) განტოლებით.

ამოცანა 1. მოცემულია ორი წერტილის კოორდინატები. იპოვეთ მისი გამოსახულება სახით ax + by + c = 0.

ამ გაკვეთილზე გავეცანით გარკვეულ ინფორმაციას გამოთვლითი გეომეტრიიდან. ჩვენ გადავწყვიტეთ წრფის განტოლების პოვნის ამოცანა ორი წერტილის კოორდინატებით.

შემდეგ გაკვეთილზე დავწერთ პროგრამას ჩვენი განტოლებით მოცემული ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად.