ამ გაკვეთილზე გავიხსენებთ მრავალწევრის ფაქტორინგის ყველა ადრე შესწავლილ მეთოდს და განვიხილავთ მათი გამოყენების მაგალითებს, გარდა ამისა, შევისწავლით ახალ მეთოდს - სრული კვადრატის მეთოდს და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ იგი სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში.
თემა:მრავალწევრების ფაქტორინგი
გაკვეთილი:მრავალწევრების ფაქტორიზაცია. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი. მეთოდების კომბინაცია
გაიხსენეთ მრავალწევრის ფაქტორინგის ძირითადი მეთოდები, რომლებიც ადრე იყო შესწავლილი:
ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღების მეთოდი, ანუ ფაქტორი, რომელიც არის მრავალწევრის ყველა წევრში. განვიხილოთ მაგალითი:
შეგახსენებთ, რომ მონომი არის ხარისხებისა და რიცხვების ნამრავლი. ჩვენს მაგალითში ორივე წევრს აქვს რამდენიმე საერთო, იდენტური ელემენტი.
მაშ ასე, ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:
;
შეგახსენებთ, რომ გამოყვანილი მულტიპლიკატორის ფრჩხილზე გამრავლებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ რენდერის სისწორე.
დაჯგუფების მეთოდი. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი მრავალწევრში საერთო ფაქტორის ამოღება. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაყოთ მისი წევრები ჯგუფებად ისე, რომ თითოეულ ჯგუფში შეძლოთ საერთო ფაქტორის ამოღება და მისი დაშლა სცადოთ ისე, რომ ჯგუფებში ფაქტორების ამოღების შემდეგ გამოჩნდეს საერთო ფაქტორი. მთელი გამოხატულება და გაფართოება შეიძლება გაგრძელდეს. განვიხილოთ მაგალითი:
დააჯგუფეთ პირველი ტერმინი მეოთხესთან, მეორე მეხუთთან და მესამე მეექვსეთან შესაბამისად:
ავიღოთ საერთო ფაქტორები ჯგუფებში:
გამოთქმას აქვს საერთო ფაქტორი. მოდი ამოვიღოთ:
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება. განვიხილოთ მაგალითი:
;
მოდით დავწეროთ გამოთქმა დეტალურად:
ცხადია, ჩვენ წინ გვაქვს სხვაობის კვადრატის ფორმულა, რადგან არის ორი გამონათქვამის კვადრატების ჯამი და მათ ორმაგ ნამრავლს აკლებენ. მოდით გადავიტანოთ ფორმულით:
დღეს ჩვენ ვისწავლით სხვა გზას - სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდს. იგი ეფუძნება ჯამის კვადრატისა და სხვაობის კვადრატის ფორმულებს. გაიხსენეთ ისინი:
ჯამის კვადრატის ფორმულა (განსხვავება);
ამ ფორმულების თავისებურება ის არის, რომ ისინი შეიცავს ორი გამონათქვამის კვადრატებს და მათ ორმაგ პროდუქტს. განვიხილოთ მაგალითი:
დავწეროთ გამოთქმა:
ასე რომ, პირველი გამოთქმა არის და მეორე.
ჯამის ან სხვაობის კვადრატის ფორმულის შესაქმნელად გამონათქვამების ორმაგი ნამრავლი საკმარისი არ არის. მისი დამატება და გამოკლებაა საჭირო:
მოდით ჩამოვშალოთ ჯამის სრული კვადრატი:
გადავცვალოთ მიღებული გამონათქვამი:
ჩვენ ვიყენებთ კვადრატების სხვაობის ფორმულას, გავიხსენოთ, რომ ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობა არის ნამრავლი და ჯამები მათი განსხვავების მიხედვით:
ასე რომ, ეს მეთოდი, უპირველეს ყოვლისა, შედგება იმაში, რომ აუცილებელია გამოავლინოს a და b გამონათქვამები, რომლებიც კვადრატულია, ანუ იმის დადგენა, თუ რომელი გამონათქვამებია კვადრატში ამ მაგალითში. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა შეამოწმოთ ორმაგი პროდუქტის არსებობა და თუ ის იქ არ არის, შემდეგ დაამატეთ და გამოაკლოთ იგი, ეს არ შეცვლის მაგალითის მნიშვნელობას, მაგრამ პოლინომი შეიძლება ფაქტორირებული იყოს კვადრატისთვის ფორმულების გამოყენებით. კვადრატების ჯამის ან სხვაობისა და სხვაობის, თუ ეს შესაძლებელია.
მოდით გადავიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე.
მაგალითი 1 - ფაქტორიზება:
იპოვნეთ კვადრატული გამონათქვამები:
მოდით დავწეროთ როგორი უნდა იყოს მათი ორმაგი პროდუქტი:
დავამატოთ და გამოვაკლოთ ორმაგი ნამრავლი:
ავკრიფოთ ჯამის სრული კვადრატი და მივცეთ მსგავსი:
ჩვენ დავწერთ კვადრატების სხვაობის ფორმულის მიხედვით:
მაგალითი 2 - ამოხსენით განტოლება:
;
განტოლების მარცხენა მხარეს არის ტრინომიალი. თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ის. ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების კვადრატის ფორმულას:
გვაქვს პირველი გამოხატვის კვადრატი და ორმაგი ნამრავლი, მეორე გამოსახულების კვადრატი აკლია, დავამატოთ და გამოვაკლოთ:
მოდით დავშალოთ სრული კვადრატი და მივცეთ მსგავსი პირობები:
მოდით გამოვიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა:
ასე რომ, ჩვენ გვაქვს განტოლება 
ჩვენ ვიცით, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ამის საფუძველზე ჩვენ დავწერთ განტოლებებს:
მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება:
ამოხსნათ მეორე განტოლება:
პასუხი: ან
;
ჩვენ ვმოქმედებთ წინა მაგალითის მსგავსად - აირჩიეთ სხვაობის კვადრატი.
განმარტება
ისეთ გამონათქვამებს, როგორიცაა 2 x 2 + 3 x + 5, ეწოდება კვადრატული ტრინომი. ზოგად შემთხვევაში, კვადრატული ტრინომი არის a x 2 + b x + c ფორმის გამოხატულება, სადაც a, b, c a, b, c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.
განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი x 2 - 4 x + 5 . მოდით დავწეროთ იგი ამ ფორმით: x 2 - 2 2 x + 5. ამ გამოსახულებას დავუმატოთ 2 2 და გამოვაკლოთ 2 2, მივიღებთ: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. გაითვალისწინეთ, რომ x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, ამიტომ x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . ჩვენ მიერ გაკეთებული ტრანსფორმაცია ჰქვია "სრული კვადრატის შერჩევა კვადრატული ტრინომიდან".
აირჩიეთ სრულყოფილი კვადრატი კვადრატული ტრინომიდან 9 x 2 + 3 x + 1.
გაითვალისწინეთ, რომ 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. შემდეგ `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. მიღებულ გამონათქვამს `(1/2)^2` დავამატოთ და გამოვაკლოთ, მივიღებთ
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
ვნახოთ, როგორ გამოიყენება კვადრატული ტრინომიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდი კვადრატული ტრინომიდან ფაქტორიზაციისთვის.
გაამრავლეთ კვადრატული ტრინომი 4 x 2 - 12 x + 5 .
ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს კვადრატული ტრინომიდან: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . ახლა გამოიყენეთ ფორმულა a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , მივიღებთ: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1).
გაატარეთ კვადრატული ტრინომი - 9 x 2 + 12 x + 5.
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. ახლა შენიშნეთ, რომ 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.
ჩვენ ვამატებთ ტერმინს 2 2 გამოთქმას 9 x 2 - 12 x, მივიღებთ:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კვადრატების სხვაობისთვის, გვაქვს:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
გაზომეთ კვადრატული ტრინომი 3 x 2 - 14 x - 5 .
ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვხატოთ გამოხატულება 3 x 2, როგორც ზოგიერთი გამონათქვამის კვადრატი, რადგან ეს ჯერ არ ვისწავლეთ სკოლაში. ამას მოგვიანებით გაივლით და უკვე No4 ამოცანაში შევისწავლით კვადრატულ ფესვებს. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეგვიძლია მოცემული კვადრატული ტრინომილის ფაქტორიზირება:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება სრული კვადრატის მეთოდი კვადრატული ტრინომის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად.
განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი x 2 - x + 3 . სრული კვადრატის არჩევა:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც `x=1/2` კვადრატული ტრინომის მნიშვნელობა არის `11/4`, ხოლო როდესაც `x!=1/2` დადებითი რიცხვი ემატება `11/4` მნიშვნელობას, ამიტომ ჩვენ მიიღეთ "11/4"-ზე მეტი რიცხვი. ამრიგად, კვადრატული ტრინომის უმცირესი მნიშვნელობა არის `11/4` და ის მიიღება `x=1/2`-ით.
იპოვეთ კვადრატული ტრინომის უდიდესი მნიშვნელობა - 16 2 + 8 x + 6 .
ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს კვადრატული ტრინომიდან: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
`x=1/4`-ით კვადრატული ტრინომილის მნიშვნელობა არის 7, ხოლო `x!=1/4`-ით 7-ს აკლდება დადებითი რიცხვი, ანუ მივიღებთ 7-ზე ნაკლებ რიცხვს. ამრიგად, რიცხვი 7 არის კვადრატული ტრინომის უდიდესი მნიშვნელობა და ის მიიღება `x=1/4`-ით.
„(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)“-ის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორზე შეყვანა და წილადის გაუქმება.
გაითვალისწინეთ, რომ x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 წილადის მნიშვნელი. წილადის მრიცხველს ვანაწილებთ ფაქტორებად კვადრატული ტრინომიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდით. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
ეს წილადი შემცირდა სახით `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` (x - 3-ით) შემცირების შემდეგ მივიღებთ `(x+5)/(x-3 )`.
გაამრავლეთ მრავალწევრი x 4 - 13 x 2 + 36.
მოდით გამოვიყენოთ სრული კვადრატის მეთოდი ამ მრავალწევრზე. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
როგორც უკვე აღვნიშნე, ინტეგრალურ გამოთვლებში არ არსებობს მოსახერხებელი ფორმულა წილადის ინტეგრაციისთვის. და ამიტომ, არსებობს სამწუხარო ტენდენცია: რაც უფრო "ლამაზია" წილადი, მით უფრო რთულია მისგან ინტეგრალის პოვნა. ამ მხრივ, ადამიანმა უნდა მიმართოს სხვადასხვა ხრიკებს, რომლებზეც ახლა ვისაუბრებ. მომზადებულ მკითხველს შეუძლია დაუყოვნებლივ გამოიყენოს სარჩევი:
- მარტივი წილადებისთვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდი
მრიცხველის ხელოვნური ტრანსფორმაციის მეთოდი
მაგალითი 1
სხვათა შორის, განხილული ინტეგრალი ასევე შეიძლება ამოიხსნას ცვლადის მეთოდის ცვლილებით, აღსანიშნავად, მაგრამ ამოხსნა გაცილებით გრძელი იქნება.
მაგალითი 2
იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უნდა აღინიშნოს, რომ აქ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი აღარ იმუშავებს.
ყურადღება მნიშვნელოვანია! მაგალითები No1, 2 ტიპიური და გავრცელებულია. კერძოდ, ასეთი ინტეგრალები ხშირად წარმოიქმნება სხვა ინტეგრალების ამოხსნისას, კერძოდ, ირაციონალური ფუნქციების (ფესვების) ინტეგრირებისას.
ზემოთ მოყვანილი მეთოდი ასევე მუშაობს ამ შემთხვევაში თუ მრიცხველის უმაღლესი ხარისხი მეტია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე.
მაგალითი 3
იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.
დავიწყოთ მრიცხველით.
მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი დაახლოებით ასეთია:
1) მრიცხველში მჭირდება ორგანიზება, მაგრამ იქ. Რა უნდა ვქნა? ვსვამ ფრჩხილებში და ვამრავლებ: .
2) ახლა ვცდილობ გავხსნა ეს ფრჩხილები, რა ხდება? . ჰმ... უკვე უკეთესია, მაგრამ მრიცხველში თავდაპირველად დუი არ არის. Რა უნდა ვქნა? თქვენ უნდა გაამრავლოთ:
3) ფრჩხილების ხელახლა გახსნა: . და აი, პირველი წარმატება! საჭირო აღმოჩნდა! მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დამატებითი ტერმინი გამოჩნდა. Რა უნდა ვქნა? იმისათვის, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს, იგივე უნდა დავამატო ჩემს კონსტრუქციას: 
. ცხოვრება უფრო ადვილი გახდა. შესაძლებელია თუ არა მრიცხველში ხელახლა ორგანიზება?
4) შეგიძლია. Ჩვენ ვცდილობთ: 
. გააფართოვეთ მეორე ტერმინის ფრჩხილები: 
. უკაცრავად, მაგრამ მე რეალურად მქონდა წინა ეტაპზე და არა. Რა უნდა ვქნა? მეორე წევრი უნდა გავამრავლოთ: 
5) ისევ გადამოწმებისთვის ვხსნი ფრჩხილებს მეორე ტერმინში: 
. ახლა ეს ნორმალურია: მიღებულია მე-3 პუნქტის საბოლოო კონსტრუქციიდან! მაგრამ ისევ არის პატარა "მაგრამ", გამოჩნდა დამატებითი ტერმინი, რაც ნიშნავს, რომ ჩემს გამოთქმას უნდა დავამატო: 
თუ ყველაფერი სწორად გაკეთდა, მაშინ ყველა ფრჩხილის გახსნისას უნდა მივიღოთ ინტეგრანტის ორიგინალური მრიცხველი. ჩვენ ვამოწმებთ:
კარგი.
ამრიგად: 
მზადაა. ბოლო ტერმინში გამოვიყენე ფუნქციის დიფერენციალში მოყვანის მეთოდი.
თუ პასუხის წარმოებულს ვიპოვით და გამოსახულებას მივიღებთ საერთო მნიშვნელზე, მაშინ მივიღებთ ზუსტად თავდაპირველ ინტეგრანდს. ჯამად გაფართოების განხილული მეთოდი სხვა არაფერია, თუ არა საპირისპირო მოქმედება გამოხატვის საერთო მნიშვნელამდე მიყვანისთვის.
მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი ასეთ მაგალითებში საუკეთესოდ შესრულებულია მონახაზზე. გარკვეული უნარებით ის გონებრივადაც იმუშავებს. მახსოვს რეკორდული დრო, როდესაც მე გავაკეთე არჩევანი მე-11 ხარისხზე და მრიცხველის გაფართოებამ Werd-ის თითქმის ორი ხაზი დასჭირდა.
მაგალითი 4
იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.
მარტივი წილადებისთვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდი
გადავიდეთ შემდეგი ტიპის წილადებზე.
, , , (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი).
ფაქტობრივად, გაკვეთილზე უკვე გაცურდა რამდენიმე შემთხვევა რკალით და არქტანგენტით ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში. ასეთი მაგალითები იხსნება ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანით და შემდეგ ცხრილის გამოყენებით ინტეგრირებით. აქ არის კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი გრძელი და მაღალი ლოგარითმით:
მაგალითი 5
მაგალითი 6
აქ მიზანშეწონილია აიღოთ ინტეგრალების ცხრილი და მიჰყვეთ რა ფორმულებს და როგორცტრანსფორმაცია ხდება. Შენიშვნა, როგორ და რატომამ მაგალითებში ხაზგასმულია კვადრატები. კერძოდ, მე-6 მაგალითში ჩვენ ჯერ უნდა წარმოვადგინოთ მნიშვნელი როგორც 
, შემდეგ მოიტანეთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ. და ეს ყველაფერი უნდა გააკეთოთ იმისათვის, რომ გამოიყენოთ სტანდარტული ცხრილის ფორმულა 
.
მაგრამ რას უნდა მიხედოთ, შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ მაგალითები No7,8, მით უმეტეს, რომ ისინი საკმაოდ მოკლეა:
მაგალითი 7
მაგალითი 8
იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:
თუ თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს მაგალითები, მაშინ დიდი პატივისცემა არის თქვენი დიფერენცირების უნარი საუკეთესოდ.
სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი
ფორმის ინტეგრალები, 
(კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი) ამოხსნილია სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი, რომელიც უკვე გამოჩნდა გაკვეთილზე გეომეტრიული ნაკვეთის გარდაქმნები.
სინამდვილეში, ასეთი ინტეგრალები მცირდება ცხრილის ოთხი ინტეგრალიდან ერთ-ერთამდე, რომელიც ახლა განვიხილეთ. და ეს მიიღწევა ნაცნობი შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით:
ფორმულები გამოიყენება ამ მიმართულებით, ანუ მეთოდის იდეაა გამონათქვამების ხელოვნურად ორგანიზება მნიშვნელში ან , და შემდეგ მათი გადაქცევა, შესაბამისად, ან .
მაგალითი 9
იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი
ეს არის უმარტივესი მაგალითი, სადაც ტერმინით - ერთეული კოეფიციენტით(და არა რაღაც რიცხვი ან მინუსი).
ჩვენ ვუყურებთ მნიშვნელს, აქ ყველაფერი აშკარად საქმეზეა დაყვანილი. დავიწყოთ მნიშვნელის კონვერტაცია:
ცხადია, თქვენ უნდა დაამატოთ 4. და ისე, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს - იგივე ოთხი და გამოვაკლოთ:
ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:
კონვერტაციის დასრულების შემდეგ ყოველთვისსასურველია შეასრულოთ საპირისპირო მოძრაობა: ყველაფერი კარგადაა, შეცდომები არ არის.
მოცემული მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს: 
მზადაა. "თავისუფალი" რთული ფუნქციის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: , პრინციპში, შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს
მაგალითი 10
იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:
ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.
მაგალითი 11
იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:
რა უნდა გააკეთოს, როდესაც წინ მინუსია? ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ამოიღოთ მინუსი ფრჩხილებიდან და დაალაგოთ პირობები ჩვენთვის საჭირო თანმიმდევრობით:. მუდმივი(ამ შემთხვევაში "ორმაგი") არ შეეხოთ!
ახლა ერთს ვამატებთ ფრჩხილებში. გამონათქვამის გაანალიზებით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ გვჭირდება ერთი ფრჩხილის მიღმა - დაამატეთ:
აქ არის ფორმულა, გამოიყენეთ:
ყოველთვისჩვენ ვამოწმებთ პროექტს:
, რომელიც გადამოწმებული იყო.
მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე გამოიყურება: 
ჩვენ ვართულებთ დავალებას
მაგალითი 12
იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: 
აქ, ტერმინთან ერთად, ის აღარ არის ერთი კოეფიციენტი, არამედ "ხუთი".
(1) თუ მუდმივი არის ნაპოვნი, მაშინ ჩვენ დაუყოვნებლივ ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან.
(2) ზოგადად, ყოველთვის სჯობს, რომ ეს მუდმივი ამოიღოთ ინტეგრალიდან, რათა ხელი არ შეუშალოს.
(3) აშკარაა, რომ ყველაფერი დაიყვანება ფორმულამდე. აუცილებელია ტერმინის გაგება, კერძოდ, "ორი"-ს მიღება.
(4) დიახ, . ასე რომ, ჩვენ ვამატებთ გამოსახულებას და ვაკლებთ იგივე წილადს.
(5) ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატი. ზოგადად, ასევე აუცილებელია გამოთვლა, მაგრამ აქ გვაქვს გრძელი ლოგარითმის ფორმულა 
და მოქმედების შესრულებას აზრი არ აქვს, რატომ - ცოტა დაბლა გაირკვევა.
(6) სინამდვილეში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა 
, მხოლოდ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს, რაც არ უარყოფს ტაბულური ინტეგრალის ნამდვილობას. მკაცრად რომ ვთქვათ, ერთი ნაბიჯი აკლია - ინტეგრაციამდე ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ უნდა ყოფილიყო: 
, მაგრამ, როგორც არაერთხელ აღვნიშნე, ეს ხშირად უგულებელყოფილია.
(7) ძირის ქვეშ მყოფ პასუხში, სასურველია ყველა ფრჩხილის უკან გახსნა:
რთული? ეს არ არის ყველაზე რთული ინტეგრალური გამოთვლებით. თუმცა, განხილული მაგალითები არც ისე რთულია, რამდენადაც ისინი საჭიროებენ გამოთვლის კარგ ტექნიკას.
მაგალითი 13
იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს.
მნიშვნელში არის ინტეგრალები ფესვებით, რომლებიც ჩანაცვლების დახმარებით მცირდება განხილული ტიპის ინტეგრალებზე, მათ შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში რთული ინტეგრალები, მაგრამ ის განკუთვნილია მაღალ მომზადებული სტუდენტებისთვის.
მრიცხველის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ
ეს გაკვეთილის ბოლო ნაწილია, თუმცა ამ ტიპის ინტეგრალები საკმაოდ გავრცელებულია! თუ დაღლილობა დაგროვდა, იქნებ ჯობია ხვალ წავიკითხო? ;)
ინტეგრალები, რომლებსაც განვიხილავთ წინა აბზაცის ინტეგრალების მსგავსია, აქვთ ფორმა: ან 
(კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი).
ანუ მრიცხველში გვაქვს წრფივი ფუნქცია. როგორ ამოხსნათ ასეთი ინტეგრალები?
ონლაინ კალკულატორი.
ბინომის კვადრატის შერჩევა და კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.
ეს მათემატიკური პროგრამა ამოიღებს ბინომის კვადრატს კვადრატული ტრინომიდან, ე.ი. აკეთებს ფორმის ტრანსფორმაციას: \(ax^2+bx+c \მარჯვენა arrow a(x+p)^2+q \) და ამრავლებს კვადრატულ ტრინომს: \(ax^2+bx+c \მარჯვენა ისარი a(x+n)(x+m) \)
იმათ. ამოცანები მცირდება \(p, q \) და \(n, m \) რიცხვების პოვნამდე.
პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაჭრის პროცესს.
ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.
ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში გაიზრდება.
თუ არ იცნობთ კვადრატული ტრინომის შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.
კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესები
ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) და ა.შ.
რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ როგორც მთელი რიცხვები ან წილადები.
უფრო მეტიც, წილადი რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ არა მხოლოდ ათობითი, არამედ ჩვეულებრივი წილადის სახით.
ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში, წილადი ნაწილი მთელი რიცხვიდან შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადები ასე: 2.5x - 3.5x^2
ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.
მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.
რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &
შეყვანა: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
შედეგი: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
გამოხატვის შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში ამოხსნისას ჯერ შემოტანილი გამოთქმა გამარტივებულია.
მაგალითად: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
დეტალური გადაწყვეტის მაგალითი
ბინომის კვადრატის შერჩევა.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \მარჯვნივ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\მარცხნივ (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2 \მარჯვნივ)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\მარცხნივ(x+\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2-\frac(9)(2) $$ პასუხი:$$2x^2+2x-4 = 2\მარცხნივ(x+\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2-\frac(9)(2) $$ ფაქტორიზაცია.$$ ax^2+bx+c \მარჯვნივ arrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\მარცხნივ(x^2+x-2 \მარჯვნივ) = $$
$$ 2 \მარცხნივ(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \მარჯვნივ) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \მარჯვნივ) -1 \მარცხნივ(x +2 \მარჯვნივ ) \მარჯვნივ) = $$ $$ 2 \მარცხნივ(x -1 \მარჯვნივ) \მარცხნივ(x +2 \მარჯვნივ) $$ პასუხი:$$2x^2+2x-4 = 2 \მარცხნივ(x -1 \მარჯვნივ) \მარცხნივ(x +2 \მარჯვნივ) $$
აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.
იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...
Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.
ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:
ცოტა თეორია.
კვადრატული ბინომის ამოღება კვადრატული ტრინომიდან
თუ კვადრატული ტრინომი ax 2 + bx + c წარმოდგენილია როგორც (x + p) 2 + q, სადაც p და q რეალური რიცხვებია, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ კვადრატული ტრინომი, გამოკვეთილია ბინომის კვადრატი.
2x 2 +12x+14 ტრინომიდან გამოვყოთ ორწევრის კვადრატი.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
ამისათვის ჩვენ წარმოვადგენთ 6x-ს, როგორც 2 * 3 * x-ის ნამრავლს, შემდეგ ვამატებთ და ვაკლებთ 3 2-ს. ჩვენ ვიღებთ:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
რომ. ჩვენ კვადრატული ტრინომიდან შეარჩია ბინომის კვადრატიდა აჩვენა, რომ:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია
თუ კვადრატული ტრინომალური ცული 2 +bx+c წარმოდგენილია როგორც a(x+n)(x+m), სადაც n და m რეალური რიცხვებია, მაშინ ამბობენ, რომ ოპერაცია შესრულებულია. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.
მოდით გამოვიყენოთ მაგალითი იმის საჩვენებლად, თუ როგორ ხდება ეს ტრანსფორმაცია.
2x 2 +4x-6 გავამრავლოთ კვადრატული ტრინომი.
ავიღოთ a კოეფიციენტი ფრჩხილებიდან, ე.ი. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
გადავცვალოთ გამონათქვამი ფრჩხილებში.
ამისათვის ჩვენ წარმოვადგენთ 2x, როგორც სხვაობა 3x-1x, და -3 როგორც -1*3. ჩვენ ვიღებთ:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
რომ. ჩვენ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირებადა აჩვენა, რომ:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ამ ტრინომის შესაბამის კვადრატულ განტოლებას ფესვები აქვს.
იმათ. ჩვენს შემთხვევაში, ტრინომის ფაქტორირება 2x 2 +4x-6 შესაძლებელია, თუ კვადრატულ განტოლებას 2x 2 +4x-6 =0 აქვს ფესვები. ფაქტორინგის პროცესში აღმოვაჩინეთ, რომ განტოლებას 2x 2 +4x-6 =0 აქვს ორი ფესვი 1 და -3, რადგან ამ მნიშვნელობებით განტოლება 2(x-1)(x+3)=0 იქცევა ნამდვილ ტოლობაში.
x სახელი -
1.2.3. შემოკლებული გამრავლების იდენტობების გამოყენება
მაგალითი. ფაქტორი x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. მრავალწევრის ფაქტორიზირება მისი ფესვების გამოყენებით
თეორემა. დაე, მრავალწევრს P x ჰქონდეს ფესვი x 1. მაშინ ეს პოლინომი შეიძლება გამრავლდეს შემდეგნაირად: P x x x 1 S x, სადაც S x არის რამდენიმე მრავალწევრი, რომლის ხარისხიც ერთით ნაკლებია
მნიშვნელობს მონაცვლეობით P x-ის გამოხატულებაში. ჩვენ ვიღებთ ამას x 2-ისთვის, თქვენ-
გამოხატულება გადაიქცევა 0-ზე, ანუ P 2 0, რაც ნიშნავს, რომ x 2 არის მრავალჯერადი ფესვი.
წევრი. მრავალწევრი P x გავყოთ x 2-ზე.
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x2412x24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x 3 x 4
1.3. სრული კვადრატის შერჩევა
სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი ეფუძნება ფორმულებს: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
სრული კვადრატის შერჩევა არის ისეთი იდენტური ტრანსფორმაცია, რომელშიც მოცემული ტრინომი წარმოდგენილია როგორც b 2 ბინომის კვადრატის ჯამი ან სხვაობა და ზოგიერთი რიცხვითი ან ლიტერატურული გამოხატულება.
კვადრატული ტრინომი ცვლადის მიმართ არის ფორმის გამოხატულება
ax 2 bx c , სადაც a ,b და c მოცემულია რიცხვები და a 0 . | |||||||||||||
ჩვენ გარდაქმნით კვადრატულ ტრინომულ ცულს 2 bx c შემდეგნაირად. | x2: |
||||||||||||
კოეფიციენტი | |||||||||||||
შემდეგ ჩვენ წარმოვადგენთ გამონათქვამს b x, როგორც 2b x (ორმაგი ნამრავლი
x): a x | ||||||||||||||||
ფრჩხილებში გამოსახულებას დაუმატეთ და გამოაკლეთ რიცხვი
რომელიც არის რიცხვის კვადრატი | შედეგად, ჩვენ ვიღებთ: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ახლა შეამჩნია ეს | მიიღეთ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
მაგალითი. აირჩიეთ სრული კვადრატი. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 4x5 2x2 2x5 | 2x2 2x1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 ა 2,
1.4. პოლინომები რამდენიმე ცვლადში
პოლინომები რამდენიმე ცვლადში, ისევე როგორც მრავალწევრები ერთ ცვლადში, შეიძლება დაემატოს, გამრავლდეს და გაიზარდოს ბუნებრივ ხარისხზე.
პოლინომის მნიშვნელოვანი იდენტურ ტრანსფორმაცია რამდენიმე ცვლადში არის ფაქტორიზაცია. აქ ფაქტორიზაციის ისეთი ტექნიკა გამოიყენება, როგორიცაა საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, დაჯგუფება, შემოკლებული გამრავლების იდენტობების გამოყენება, სრული კვადრატის ხაზგასმა, დამხმარე ცვლადების შემოღება.
1. მრავალწევრის ფაქტორიზაცია P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz ფაქტორიზაცია. გამოიყენეთ დაჯგუფების მეთოდი
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4x3 y5xz.
3. P x ,y x 4 4y 4 ფაქტორიზაცია. მოდით ავირჩიოთ სრული კვადრატი:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. ხარისხის თვისებები ნებისმიერი რაციონალური მაჩვენებლით
ხარისხს ნებისმიერი რაციონალური მაჩვენებლით აქვს შემდეგი თვისებები:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
||||||
სადაც 0;b 0;r 1;r 2 არის თვითნებური რაციონალური რიცხვები.
1. გაამრავლე 8 | x3 12x7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24x23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. ფაქტორიზაცია | a2x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. სავარჯიშოები თვითრეალიზაციისთვის
1. მოქმედებების შესრულება შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით. ერთი) a 52;
2) 3 a 72;
3) a nb n2.
4) 1 x 3;
3 y 3; | |||||
7) 8a 2 8a 2;
8) ა ნბ კა კბ ნა ნბ კა კბ ნ.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2;
10) a 3a 2 3a 9;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. გამოთვალეთ შემოკლებული გამრავლების იდენტობების გამოყენებით:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. დაამტკიცეთ ვინაობა:
ერთი). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;
3) 2 b2 x2 y2 ცული 2 bx ay2 .
4. დააბალანსეთ შემდეგი მრავალწევრები:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3;
6) 24ax38bx12a19b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2;
9) 121 n 2 3n 2t 2;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;
13) 6x3 36x 2 72x 48;
14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;
15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;
19) 1000 t 3 27t 6.
5. გამოთვალეთ უმარტივესი გზით:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. იპოვეთ მრავალწევრის გაყოფის კოეფიციენტი და ნაშთი P x მრავალწევრებით Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2.
7. დაამტკიცეთ, რომ მრავალწევრი x 2 2x 2-ს არ აქვს ნამდვილი ფესვები.
8. იპოვეთ მრავალწევრის ფესვები:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. ფაქტორიზაცია:
1) 6 a 2 a 5 5a 3;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. ამოხსენით განტოლებები სრული კვადრატის არჩევით:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. გამოთვალეთ:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
 
| ||||||||||||||||||||||||