ზოგიერთი ერთგვარი ალგებრული მაგალითს შეუძლია შეაშინოს სკოლის მოსწავლეები. გრძელი გამონათქვამები არა მხოლოდ დამაშინებელია, არამედ ძალიან რთული გამოსათვლელია. ცდილობს დაუყოვნებლივ გაიგოს რა მოჰყვება და რა მოჰყვება, დიდხანს არ იბნეოდეს. სწორედ ამ მიზეზით, მათემატიკოსები ყოველთვის ცდილობენ მაქსიმალურად გაამარტივონ „საშინელი“ ამოცანა და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელონ მისი ამოხსნა. უცნაურად საკმარისია, რომ ასეთი ხრიკი მნიშვნელოვნად აჩქარებს პროცესს.

გამარტივება ერთ-ერთი ფუნდამენტური წერტილია ალგებრაში. თუ მარტივ ამოცანებში ამის გაკეთება ჯერ კიდევ შესაძლებელია, მაშინ მაგალითების გამოთვლა უფრო რთული შეიძლება იყოს "ზედმეტად მკაცრი". ეს არის ის, სადაც ეს უნარები გამოდგება! უფრო მეტიც, რთული მათემატიკური ცოდნა არ არის საჭირო: საკმარისი იქნება მხოლოდ დაიმახსოვროთ და ისწავლოთ, თუ როგორ გამოიყენოთ რამდენიმე ძირითადი ტექნიკა და ფორმულა.

მიუხედავად გამოთვლების სირთულისა, ნებისმიერი გამონათქვამის ამოხსნისას მნიშვნელოვანია დაიცავით მოქმედებების თანმიმდევრობა რიცხვებით:

1. ფრჩხილები;
2. ექსპონენტაცია;
3. გამრავლება;
4. გაყოფა;
5. დამატება;
6. გამოკლება.

ბოლო ორი ქულის უსაფრთხოდ გაცვლა შესაძლებელია და ეს არანაირად არ იმოქმედებს შედეგზე. მაგრამ ორი მეზობელი რიცხვის დამატება, როდესაც ერთ-ერთი მათგანის გვერდით არის გამრავლების ნიშანი, აბსოლუტურად შეუძლებელია! პასუხი, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, არასწორია. ამიტომ, თქვენ უნდა გახსოვდეთ თანმიმდევრობა.

გამოყენება ასეთი

ასეთი ელემენტები მოიცავს რიცხვებს, რომლებსაც აქვთ იგივე რიგის ან იმავე ხარისხის ცვლადი. ასევე არსებობენ ეგრეთ წოდებული თავისუფალი წევრები, რომლებსაც გვერდით არ აქვთ უცნობი ასოს აღნიშვნა.

დასკვნა ის არის, რომ ფრჩხილების არარსებობის შემთხვევაში თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გამოხატვა ლაიქების დამატებით ან გამოკლებით.

რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითი:

• 8x 2 და 3x 2 - ორივე რიცხვს აქვს ერთი და იგივე მეორე რიგის ცვლადი, ამიტომ ისინი მსგავსია და მიმატებისას გამარტივდება (8+3)x 2 =11x 2, ხოლო გამოკლებისას გამოდის (8-3)x. 2 =5x2;
• 4x 3 და 6x - და აქ "x"-ს განსხვავებული ხარისხი აქვს;
• 2y 7 და 33x 7 - შეიცავს სხვადასხვა ცვლადებს, ამიტომ, როგორც წინა შემთხვევაში, ისინი არ მიეკუთვნებიან მსგავსებს.

რიცხვის ფაქტორინგი

ეს პატარა მათემატიკური ხრიკი, თუ ისწავლით მის სწორად გამოყენებას, დაგეხმარებათ მომავალში არაერთხელ გაუმკლავდეთ რთულ პრობლემას. და ადვილი გასაგებია, თუ როგორ მუშაობს "სისტემა": დაშლა არის რამდენიმე ელემენტის პროდუქტი, რომელთა გაანგარიშება იძლევა თავდაპირველ მნიშვნელობას. ამრიგად, 20 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ან სხვაგვარად.

შენიშვნაზე: მამრავლები ყოველთვის იგივეა, რაც გამყოფები. ასე რომ, თქვენ უნდა მოძებნოთ სამუშაო „წყვილი“ გაფართოებისთვის იმ რიცხვებს შორის, რომლითაც ორიგინალი იყოფა ნაშთების გარეშე.

თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ასეთი ოპერაცია როგორც თავისუფალი წევრებით, ასევე ცვლადზე მიმაგრებული ციფრებით. მთავარია ეს უკანასკნელი არ დაკარგოთ გამოთვლების დროს - თანაც დაშლის შემდეგ უცნობი ვერ აიღებს და „არსად წავა“. ის რჩება ერთ-ერთ ფაქტორზე:

• 15x=3(5x);
• 60წ 2 \u003d (15წ 2) 4.

მარტივი რიცხვები, რომლებიც შეიძლება გაიყოს მხოლოდ საკუთარ თავზე ან 1 არასოდეს ფაქტორი - აზრი არ აქვს..

გამარტივების ძირითადი მეთოდები

პირველი რაც იპყრობს თვალს:

• ფრჩხილების არსებობა;
• წილადები;
• ფესვები.

სასკოლო სასწავლო გეგმაში ალგებრული მაგალითები ხშირად შედგენილია იმ ვარაუდით, რომ მათი ლამაზად გამარტივება შესაძლებელია.

ბრეკეტის გამოთვლები

ყურადღება მიაქციეთ ნიშანს ფრჩხილების წინ!გამრავლება ან გაყოფა გამოიყენება თითოეულ ელემენტზე შიგნით, და მინუს - აბრუნებს არსებულ "+" ან "-" ნიშნებს.

ფრჩხილები გამოითვლება წესების მიხედვით ან შემოკლებული გამრავლების ფორმულების მიხედვით, რის შემდეგაც მოცემულია მსგავსი.

ფრაქციების შემცირება

წილადების შემცირებაასევე ადვილია. ისინი თვითონ "ნებით გარბიან" დროდადრო, ღირს ასეთი წევრების მოყვანით ოპერაციების გაკეთება. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ მაგალითი აქამდეც: ყურადღება მიაქციეთ მრიცხველს და მნიშვნელს. ისინი ხშირად შეიცავს აშკარა ან ფარულ ელემენტებს, რომლებიც შეიძლება ურთიერთშემცირდეს. მართალია, თუ პირველ შემთხვევაში თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ ზედმეტის წაშლა, მეორეში მოგიწევთ ფიქრი, გამოთქმის ნაწილი ფორმაში მიტანა გამარტივებისთვის. გამოყენებული მეთოდები:

• მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის ძიება და ფრჩხილებში შეყვანა;
• თითოეული ზედა ელემენტის გაყოფა მნიშვნელზე.

როდესაც გამონათქვამი ან მისი ნაწილი ფესვის ქვეშ არის, პირველადი გამარტივების პრობლემა თითქმის იგივეა, რაც წილადების შემთხვევაში. აუცილებელია მოძებნოთ გზები, რათა სრულად მოიცილოთ იგი ან, თუ ეს შეუძლებელია, მინიმუმამდე დაიყვანოთ ნიშანი, რომელიც ხელს უშლის გამოთვლებს. მაგალითად, შეუმჩნეველი √(3) ან √(7).

რადიკალური გამოხატვის გამარტივების უტყუარი გზაა მისი ფაქტორების გარჩევის მცდელობა, რომელთაგან ზოგიერთი ნიშანს მიღმაა. საილუსტრაციო მაგალითი: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

სხვა პატარა ხრიკები და ნიუანსი:

• ეს გამარტივების ოპერაცია შეიძლება განხორციელდეს წილადებით, ამოიღოთ იგი როგორც მთლიანობაში, ასევე ცალკე, როგორც მრიცხველი ან მნიშვნელი;
• შეუძლებელია ჯამის ან სხვაობის ნაწილის დაშლა და ამოღება ფესვის მიღმა;
• ცვლადებთან მუშაობისას აუცილებლად გავითვალისწინეთ მისი ხარისხი, ის უნდა იყოს ფესვის ტოლი ან მრავლობითი გაცემის შესაძლებლობისთვის: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• ზოგჯერ დასაშვებია რადიკალური ცვლადის მოშორება წილადის ხარისხზე აწევით: √ (y 3)=y 3/2.

ძალის გამოხატვის გამარტივება

თუ მარტივი გამოთვლების შემთხვევაში მინუს ან პლუსზე მაგალითები გამარტივებულია მსგავსის მოყვანით, მაშინ რა შეიძლება ითქვას სხვადასხვა სიმძლავრის მქონე ცვლადების გამრავლების ან გაყოფისას? მათი მარტივად გამარტივება შესაძლებელია ორი ძირითადი პუნქტის გახსენებით:

1. თუ ცვლადებს შორის არის გამრავლების ნიშანი, ემატება მაჩვენებლები.
2. როდესაც ისინი იყოფა ერთმანეთზე, ერთი და იგივე მნიშვნელი კლებულობს მრიცხველის ხარისხს.

ასეთი გამარტივების ერთადერთი პირობაა, რომ ორივე ტერმინს ჰქონდეს ერთი და იგივე საფუძველი. მაგალითები სიცხადისთვის:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ცვლადების წინ რიცხვითი მნიშვნელობებით ოპერაციები ხდება ჩვეულებრივი მათემატიკური წესების მიხედვით. და თუ კარგად დააკვირდებით, ირკვევა, რომ გამოხატვის ძალის ელემენტები "მუშაობენ" ანალოგიურად:

• წევრის ძლიერებამდე აყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას გარკვეულ რაოდენობაზე, ანუ x 2 \u003d x × x;
• გაყოფა მსგავსია: თუ გააფართოვებთ მრიცხველის და მნიშვნელის ხარისხს, მაშინ ზოგიერთი ცვლადი შემცირდება, ხოლო დანარჩენი "შეგროვდება", რაც გამოკლების ტოლფასია.

როგორც ნებისმიერ ბიზნესში, ალგებრული გამონათქვამების გამარტივებისას საჭიროა არა მხოლოდ საფუძვლების ცოდნა, არამედ პრაქტიკაც. სულ რამდენიმე გაკვეთილის შემდეგ, მაგალითები, რომლებიც ოდესღაც რთული ჩანდა, დიდი სირთულის გარეშე შემცირდება, გადაიქცევა მოკლე და ადვილად ამოხსნად.

ვიდეო

ეს ვიდეო დაგეხმარებათ გაიგოთ და დაიმახსოვროთ როგორ გამარტივებულია გამონათქვამები.

არ მიგიღიათ პასუხი თქვენს კითხვაზე? შესთავაზეთ თემა ავტორებს.

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მულტისეტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. მათემატიკას ავხსნით, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები სხვა ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ თქვენ მიიღებთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მართკუთხედის ფართობის მეტრებში და სანტიმეტრებში განსაზღვრისას.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს არის მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებული ზომის ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

პირველი დონე

გამოხატვის კონვერტაცია. დეტალური თეორია (2019)

გამოხატვის კონვერტაცია

ხშირად გვესმის ეს უსიამოვნო ფრაზა: „გამოთქმის გამარტივება“. ჩვეულებრივ, ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვყავს ასეთი სახის მონსტრი:

”დიახ, ბევრად უფრო ადვილია”, - ვამბობთ ჩვენ, მაგრამ ასეთი პასუხი ჩვეულებრივ არ მუშაობს.

ახლა გასწავლით, არ შეგეშინდეთ ასეთი ამოცანების. უფრო მეტიც, გაკვეთილის ბოლოს, თქვენ თვითონ გაამარტივებთ ამ მაგალითს (უბრალოდ!) ჩვეულებრივ რიცხვს (დიახ, ამ ასოებით).

მაგრამ სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებდეთ, თქვენ უნდა შეძლოთ წილადების და ფაქტორების მრავალწევრების მართვა. ამიტომ, პირველ რიგში, თუ ეს აქამდე არ გაგიკეთებიათ, აუცილებლად დაეუფლეთ თემებს "" და "".

წაიკითხეთ? თუ კი, მაშინ მზად ხართ.

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები

ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ტექნიკას, რომლებიც გამოიყენება გამონათქვამების გასამარტივებლად.

მათგან ყველაზე მარტივია

1. მსგავსის მოტანა

რა მსგავსია? თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში, როდესაც რიცხვების ნაცვლად მათემატიკაში ასოები პირველად გამოჩნდა. მსგავსია ტერმინები (მონომები) ერთი და იგივე ასო ნაწილით. მაგალითად, ჯამში მსგავსი ტერმინები არის და.

Გაიხსენა?

მსგავსი ტერმინების მოტანა ნიშნავს ერთმანეთს რამდენიმე მსგავსი ტერმინის დამატებას და ერთი ტერმინის მიღებას.

მაგრამ როგორ შეგვიძლია ასოების შეკრება? - გეკითხებით.

ამის გაგება ძალიან ადვილია, თუ წარმოიდგენთ, რომ ასოები რაღაც საგნებია. მაგალითად, წერილი არის სკამი. მაშინ რა არის გამოხატულება? ორ სკამს პლუს სამი სკამი, რამდენი იქნება? მართალია, სკამები: .

ახლა სცადეთ ეს გამოთქმა:

იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, მოდით, სხვადასხვა ასო აღნიშნავს სხვადასხვა ობიექტს. მაგალითად, - ეს არის (ჩვეულებისამებრ) სკამი და - ეს არის მაგიდა. შემდეგ:

სკამები მაგიდები სკამი მაგიდები სკამები სკამები მაგიდები

რიცხვები, რომლებითაც მრავლდება ასოები ასეთ ტერმინებში, ეწოდება კოეფიციენტები. მაგალითად, მონომში კოეფიციენტი ტოლია. და ის თანაბარია.

ასე რომ, მსგავსების შემოტანის წესი:

მაგალითები:

მოიყვანეთ მსგავსი:

პასუხები:

2. (და მსგავსია, ვინაიდან, მაშასადამე, ამ ტერმინებს აქვთ იგივე ასო ნაწილი).

2. ფაქტორიზაცია

ეს, როგორც წესი, ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაწილია გამონათქვამების გამარტივებაში. მას შემდეგ, რაც თქვენ მიიღებთ მსგავსებს, ყველაზე ხშირად მიღებული გამონათქვამი უნდა იყოს ფაქტორირებული, ანუ წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია წილადებში: ბოლოს და ბოლოს, წილადის შესამცირებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა იყოს წარმოდგენილი ნამრავლის სახით.

თქვენ გაიარეთ გამონათქვამების ფაქტორინგის დეტალური მეთოდები თემაში "", ასე რომ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ის, რაც ისწავლეთ. ამისათვის გადაწყვიტეთ რამდენიმე მაგალითები(გამოირიცხება):

გადაწყვეტილებები:

3. წილადის შემცირება.

აბა, რა შეიძლება იყოს იმაზე ლამაზი, ვიდრე მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაწილის გადაკვეთა და მათი ცხოვრებიდან გადაგდება?

ეს არის აბრევიატურის სილამაზე.

Ეს მარტივია:

თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფაქტორებს, ისინი შეიძლება შემცირდეს, ანუ ამოღებულ იქნეს წილადიდან.

ეს წესი გამომდინარეობს წილადის ძირითადი თვისებიდან:

ანუ შემცირების ოპერაციის არსი ისაა წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვყოფთ იმავე რიცხვზე (ან იგივე გამოსახულებით).

წილადის შესამცირებლად საჭიროა:

1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება

2) თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საერთო ფაქტორები, მათი წაშლა შესაძლებელია.

პრინციპი, ვფიქრობ, გასაგებია?

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო ერთ ტიპურ შეცდომაზე შემოკლებით. მართალია ეს თემა მარტივია, მაგრამ ბევრი ადამიანი ყველაფერს არასწორად აკეთებს, ამას ვერ ხვდება გაჭრა- ეს ნიშნავს გაყოფამრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივე რიცხვით.

არ არის შემოკლებები, თუ მრიცხველი ან მნიშვნელი არის ჯამი.

მაგალითად: თქვენ გჭირდებათ გამარტივება.

ზოგი ამას აკეთებს: რაც აბსოლუტურად არასწორია.

კიდევ ერთი მაგალითი: შემცირება.

"ყველაზე ჭკვიანი" ამას გააკეთებს:.

მითხარი რა არის აქ? როგორც ჩანს: - ეს არის მულტიპლიკატორი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ.

მაგრამ არა: - ეს არის მხოლოდ ერთი ტერმინის კოეფიციენტი მრიცხველში, მაგრამ თავად მრიცხველი მთლიანობაში არ იშლება ფაქტორებად.

აი კიდევ ერთი მაგალითი: .

ეს გამონათქვამი იყოფა ფაქტორებად, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ, ანუ გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ:

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ:

ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, გახსოვდეთ მარტივი გზა იმის დასადგენად, არის თუ არა გამოხატვის ფაქტორი:

არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას არის "მთავარი". ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვაქვს ნამრავლი (გამოხატვა იშლება ფაქტორებად). თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორირებული (და შესაბამისად არ შეიძლება შემცირდეს).

გამოსასწორებლად, თავად მოაგვარეთ რამდენიმე მაგალითები:

პასუხები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება ცნობილი ოპერაციაა: ჩვენ ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს. გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და არიან თანაპირველი, ანუ არ აქვთ საერთო ფაქტორები. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ, უპირველეს ყოვლისა, ვაქცევთ შერეულ წილადებს არასწორად, შემდეგ კი - ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ მარტივი:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ ფაქტორზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში და შეაფასოთ ისინი:

თავად სცადე:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

შემდეგ ჩვენ ერთხელ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს;

და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, ჩვენ პირველ რიგში ვყოფთ მათ მარტივ ფაქტორებად:

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა ჩვენ ერთხელ ვწერთ საერთო ფაქტორებს და ვუმატებთ ყველა არაჩვეულებრივ (ხაზგასმული) ფაქტორებს:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იმავე გზით:

მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად;

საერთო (იდენტური) მამრავლების განსაზღვრა;

ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

ჩვენ მათ ვამრავლებთ ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) მნიშვნელების დაშლა ფაქტორებად:

2) განსაზღვრეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, საერთო მნიშვნელი აქ არის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველა განსხვავებული მაჩვენებლით. საერთო მნიშვნელი იქნება:

რამდენადაც

რამდენადაც

რამდენადაც

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გავაკეთო წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად ნათქვამია, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ არ არის სიმართლე!

იხილეთ თქვენთვის: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . რა ისწავლეს?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როცა წილადებს მიიყვანთ საერთო მნიშვნელთან, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რა გჭირდებათ გასამრავლებლად მისაღებად?

აქ და გაამრავლე. და გავამრავლოთ:

გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, ეწოდება "ელემენტარული ფაქტორები". მაგალითად, ელემენტარული ფაქტორია. - ძალიან. მაგრამ - არა: ის იშლება ფაქტორებად.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული:

(ფაქტორიზაციის შესახებ უკვე წაიკითხეთ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის იმ მარტივი ფაქტორების ანალოგი, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენ იგივეს გავაკეთებთ მათთან ერთად.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს ფაქტორი. ძალაუფლებაში საერთო მნიშვნელზე წავა (გახსოვს რატომ?).

მამრავლი ელემენტარულია და მათ არ აქვთ საერთო, რაც ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკურად გაამრავლებთ, უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ როგორ მოახდინოთ ისინი? ორივე მათგანი წარმოადგენს:

კარგად! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით, ისინი უკვე ძალიან ჰგვანან... და სიმართლე ისაა:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა ჩვენ მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

Გავიგე? ახლა შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ უნდა გვახსოვდეს კიდევ ერთი რამ - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება:

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი გაორმაგებული ნამრავლი. ჯამის არასრული კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა მოხდება, თუ უკვე არის სამი წილადი?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ მნიშვნელებში ფაქტორების მაქსიმალური რაოდენობა იგივეა:

ყურადღება მიაქციეთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, ნიშანი წილადის წინ იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ უკუბრუნდება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

პირველ მნიშვნელს სრულად ვწერთ საერთო მნიშვნელში და შემდეგ ვამატებთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ დაწერილა, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ ასე მიდის:

ჰმ... წილადებით, გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დეუზა ხდება წილადი! გახსოვდეთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის უმარტივესი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია რიცხვითი გამოხატვის გამოთვლის პროცედურა? გახსოვდეთ, გაითვალისწინეთ ასეთი გამონათქვამის მნიშვნელობა:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

ასე რომ, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად არის რამდენიმე გამრავლება და გაყოფა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოსახული გამონათქვამი შეფასებულია უწესრიგოდ!

თუ რამდენიმე ფრჩხილი გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ ვაფასებთ გამონათქვამს თითოეულ ფრჩხილში და შემდეგ ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში არის სხვა ფრჩხილები? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. რა არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ გამოხატვის შეფასებისას? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოაღნიშნული გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება მონიშნულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ეს ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს არ არის იგივე, რაც ასოებით გამოხატვა, არა?

არა, იგივეა! მხოლოდ არითმეტიკული ოპერაციების ნაცვლად საჭიროა ალგებრული მოქმედებების შესრულება, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი ოპერაციები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ i ან უბრალოდ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.

როგორც წესი, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება, როგორც პროდუქტი ან კოეფიციენტი.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) ჯერ ვამარტივებთ ფრჩხილებში გამოსახულებას. აქ გვაქვს წილადების სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლის ან კოეფიციენტის სახით. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია, აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ რას ნიშნავს ეს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

Ის არის. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

პირველ რიგში განვსაზღვროთ პროცედურა. ჯერ ფრჩხილებში დავამატოთ წილადები, ორი წილადის ნაცვლად ერთი გამოვა. შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგად, ჩვენ ვამატებთ შედეგს ბოლო წილადით. მე სქემატურად ჩამოვთვლი ნაბიჯებს:

ახლა მე გაჩვენებთ მთელ პროცესს, მიმდინარე მოქმედებას წითლად ვღებავ:

ბოლოს ორ სასარგებლო რჩევას მოგცემთ:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რომელ მომენტშიც არ უნდა გვქონდეს მსგავსი, მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ მოვიტანოთ ისინი.

2. იგივე ეხება წილადების შემცირებას: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა იქნას გამოყენებული. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც დაამატებთ ან აკლებთ: თუ მათ ახლა აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება უნდა დატოვოთ მოგვიანებით.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და დაპირდა თავიდანვე:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ ჩათვალეთ, რომ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამოხატვის კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• ფრაქციების შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ იმავე არანულოვანი რიცხვით, საიდანაც წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ არის საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;

ხშირად ამოცანებში საჭიროა გამარტივებული პასუხის გაცემა. მიუხედავად იმისა, რომ ორივე გამარტივებული და არამარტივი პასუხი სწორია, თქვენმა ინსტრუქტორმა შეიძლება შეამციროს თქვენი შეფასება, თუ თქვენ არ გაამარტივებთ პასუხს. უფრო მეტიც, გამარტივებულ მათემატიკური გამოხატულებასთან მუშაობა ბევრად უფრო ადვილია. აქედან გამომდინარე, ძალიან მნიშვნელოვანია ვისწავლოთ როგორ გავამარტივოთ გამონათქვამები.

ნაბიჯები

მათემატიკური მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობა

1. დაიმახსოვრეთ მათემატიკური მოქმედებების შესრულების სწორი თანმიმდევრობა.მათემატიკური გამოთქმის გამარტივებისას უნდა დაიცვან გარკვეული წესრიგი, რადგან ზოგიერთი მათემატიკური მოქმედებები უპირატესობას ანიჭებს სხვებს და პირველ რიგში უნდა შესრულდეს (ფაქტობრივად, მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობის შეუსრულებლობა არასწორ შედეგამდე მიგიყვანთ). დაიმახსოვრეთ მათემატიკური მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობა: გამოხატულება ფრჩხილებში, სიძლიერე, გამრავლება, გაყოფა, შეკრება, გამოკლება.

   • გაითვალისწინეთ, რომ მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობის ცოდნა საშუალებას მოგცემთ გაამარტივოთ უმარტივესი გამონათქვამები, მაგრამ პოლინომის გასამარტივებლად (გამოსახულება ცვლადით) თქვენ უნდა იცოდეთ სპეციალური ხრიკები (იხილეთ შემდეგი განყოფილება).

2. დაიწყეთ ფრჩხილებში გამოსახულების ამოხსნით.მათემატიკაში, ფრჩხილებში მითითებულია, რომ თანდართული გამოხატულება ჯერ უნდა შეფასდეს. ამიტომ, ნებისმიერი მათემატიკური გამოთქმის გამარტივებისას, დაიწყეთ ფრჩხილებში ჩასმული გამოხატვის ამოხსნით (არ აქვს მნიშვნელობა რა ოპერაციების შესრულება გჭირდებათ ფრჩხილებში). მაგრამ დაიმახსოვრეთ, რომ ფრჩხილებში ჩასმული გამოხატულებასთან მუშაობისას უნდა დაიცვათ მოქმედებების თანმიმდევრობა, ანუ ფრჩხილებში მოცემული ტერმინები ჯერ მრავლდება, იყოფა, ემატება, აკლდება და ა.შ.

   • მაგალითად, გავამარტივოთ გამოთქმა 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). აქ ვიწყებთ ფრჩხილებში გამოსახულებებით: 5 + 2 = 7 და 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • ფრჩხილების მეორე წყვილის გამოხატულება გამარტივებულია 5-მდე, რადგან 4/2 ჯერ უნდა გაიყოს (მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობის მიხედვით). თუ ამ თანმიმდევრობას არ დაიცავთ, მაშინ მიიღებთ არასწორ პასუხს: 3 + 4 = 7 და 7 ÷ 2 = 7/2.
   • თუ ფრჩხილებში არის კიდევ ერთი წყვილი ფრჩხილებში, დაიწყეთ გამარტივება შიდა ფრჩხილებში გამოსახულების ამოხსნით და შემდეგ გადადით გარე ფრჩხილებში გამოსახულების ამოხსნაზე.

3. ამაღლება ძალამდე.ფრჩხილებში გამოსახულებების ამოხსნის შემდეგ გადადით ხარისხზე ამაღლებაზე (გახსოვდეთ, რომ ხარისხს აქვს მაჩვენებლები და საფუძველი). აწიეთ შესაბამისი გამოხატულება (ან რიცხვი) ხარისხზე და შეცვალეთ შედეგი თქვენთვის მოცემული გამოსახულებით.

   • ჩვენს მაგალითში ერთადერთი გამოხატულება (რიცხვი) ძალაში არის 3 2: 3 2 = 9. თქვენ მოცემულ გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ 9 3 2-ის ნაცვლად და მიიღებთ: 2x + 4(7) + 9 - 5. .

4. გაამრავლე.გახსოვდეთ, რომ გამრავლების ოპერაცია შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი სიმბოლოებით: "x", "∙" ან "*". მაგრამ თუ რიცხვსა და ცვლადს შორის არ არის სიმბოლოები (მაგალითად, 2x) ან რიცხვსა და რიცხვს შორის ფრჩხილებში (მაგალითად, 4(7)), მაშინ ეს ასევე გამრავლების ოპერაციაა.

   • ჩვენს მაგალითში არის ორი გამრავლების ოპერაცია: 2x (ორჯერ x) და 4(7) (ოთხჯერ შვიდი). ჩვენ არ ვიცით x-ის მნიშვნელობა, ამიტომ გამონათქვამს 2x დავტოვებთ ისე, როგორც არის. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადაწეროთ თქვენთვის მოცემული გამოთქმა ასე: 2x + 28 + 9 - 5.

5. გაყოფა.გახსოვდეთ, რომ გაყოფის ოპერაცია შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგი სიმბოლოებით: "/", "÷" ან "-" (ბოლო სიმბოლო შეგიძლიათ ნახოთ წილადებში). მაგალითად, 3/4 არის სამი გაყოფილი ოთხზე.

   • ჩვენს მაგალითში აღარ არის გაყოფა, რადგან თქვენ უკვე გაყავით 4 2-ზე (4/2) ფრჩხილებში გამოსახული გამოსახულების ამოხსნისას. ამიტომ, შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემდეგ ეტაპზე. გახსოვდეთ, რომ გამონათქვამების უმეტესობას არ აქვს ყველა მათემატიკური მოქმედება ერთდროულად (მხოლოდ ზოგიერთ მათგანს).

6. დაკეცეთ.გამოხატვის ტერმინების დამატებისას, შეგიძლიათ დაიწყოთ ყველაზე გარე (მარცხენა) ტერმინით, ან შეგიძლიათ ჯერ დაამატოთ ის ტერმინები, რომლებიც ადვილად გროვდება. მაგალითად, გამოხატულებაში 49 + 29 + 51 +71 ჯერ უფრო ადვილია 49 + 51 = 100, შემდეგ 29 + 71 = 100 და ბოლოს 100 + 100 = 200. ასე შეკრება გაცილებით რთულია. : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • ჩვენს 2x + 28 + 9 + 5 მაგალითში არის ორი მიმატების ოპერაცია. დავიწყოთ ყველაზე უკიდურესი (მარცხენა) ტერმინით: 2x + 28; თქვენ არ შეგიძლიათ დაამატოთ 2x და 28, რადგან არ იცით x-ის მნიშვნელობა. ამიტომ დაამატეთ 28 + 9 = 37. ახლა გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: 2x + 37 - 5.

7. გამოკლება.ეს არის ბოლო ოპერაცია სწორი შეკვეთაშეასრულოს მათემატიკური მოქმედებები. ამ ეტაპზე ასევე შეგიძლიათ დაამატოთ უარყოფითი რიცხვები, ან შეგიძლიათ ეს გააკეთოთ წევრების დამატების ეტაპზე - ეს არანაირად არ იმოქმედებს საბოლოო შედეგზე.

   • ჩვენს მაგალითში 2x + 37 - 5, არსებობს მხოლოდ ერთი გამოკლების ოპერაცია: 37 - 5 = 32.

8. ამ ეტაპზე, ყველა მათემატიკური ოპერაციის შესრულების შემდეგ, თქვენ უნდა მიიღოთ გამარტივებული გამოხატულება.მაგრამ თუ თქვენთვის მოცემული გამოხატულება შეიცავს ერთ ან მეტ ცვლადს, მაშინ გახსოვდეთ, რომ ცვლადის მქონე წევრი დარჩება ისეთი, როგორიც არის. ცვლადით გამოხატვის ამოხსნა (და არა გამარტივება) გულისხმობს ამ ცვლადის მნიშვნელობის პოვნას. ზოგჯერ ცვლადის მქონე გამონათქვამები შეიძლება გამარტივდეს სპეციალური მეთოდების გამოყენებით (იხილეთ შემდეგი განყოფილება).

   • ჩვენს მაგალითში, საბოლოო პასუხი არის 2x + 32. თქვენ არ შეგიძლიათ დაამატოთ ორი წევრი, სანამ არ იცით x-ის მნიშვნელობა. მას შემდეგ რაც გეცოდინებათ ცვლადის მნიშვნელობა, შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ ეს ბინომი.

   რთული გამონათქვამების გამარტივება

   1. მსგავსი ტერმინების დამატება.გახსოვდეთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ გამოკლოთ და დაამატოთ მსგავსი ტერმინები, ანუ ტერმინები იგივე ცვლადით და იგივე მაჩვენებლით. მაგალითად, შეგიძლიათ დაამატოთ 7x და 5x, მაგრამ არ შეგიძლიათ დაამატოთ 7x და 5x 2 (რადგან მაჩვენებლები აქ განსხვავებულია).

      • ეს წესი ასევე ვრცელდება რამდენიმე ცვლადის მქონე წევრებზე. მაგალითად, შეგიძლიათ დაამატოთ 2xy 2 და -3xy 2, მაგრამ არ შეგიძლიათ დაამატოთ 2xy 2 და -3x 2 y ან 2xy 2 და -3y 2.
      • განვიხილოთ მაგალითი: x 2 + 3x + 6 - 8x. აქ მსგავსი ტერმინები არის 3x და 8x, ასე რომ მათი დამატება შესაძლებელია. გამარტივებული გამოხატულება ასე გამოიყურება: x 2 - 5x + 6.

   2. რიცხვის გამარტივება.ასეთ წილადში მრიცხველიც და მნიშვნელიც შეიცავს რიცხვებს (ცვლადის გარეშე). რიცხვითი წილადი გამარტივებულია რამდენიმე გზით. პირველ რიგში, უბრალოდ გაყავით მნიშვნელი მრიცხველზე. მეორე, აკრიფეთ მრიცხველი და მნიშვნელი და გააუქმეთ იგივე ფაქტორები (რადგან როცა რიცხვს თავის თავზე ყოფთ, მიიღებთ 1-ს). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ერთი და იგივე კოეფიციენტი აქვს, შეგიძლიათ გადააგდოთ იგი და მიიღოთ გამარტივებული წილადი.

      • მაგალითად, განვიხილოთ წილადი 36/60. კალკულატორის გამოყენებით გაყავით 36 60-ზე და მიიღეთ 0.6. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ ამ წილადის სხვაგვარად გამარტივება მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორინგით: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 \u003d 1-დან, შემდეგ გამარტივებული წილადი: 1 x 6/10 \u003d 6/10. მაგრამ ეს ფრაქცია ასევე შეიძლება გამარტივდეს: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. თუ ფრაქცია შეიცავს ცვლადს, შეგიძლიათ შეამციროთ იგივე ფაქტორები ცვლადთან ერთად.აკრიფეთ როგორც მრიცხველი, ასევე მნიშვნელი და გააუქმეთ ერთი და იგივე ფაქტორები მაშინაც კი, თუ ისინი შეიცავენ ცვლადს (გახსოვდეთ, რომ აქ იგივე ფაქტორები შეიძლება შეიცავდეს ან არ შეიცავდეს ცვლადს).

      • განვიხილოთ მაგალითი: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს (ფაქტორირებული) როგორც: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). ვინაიდან 3x წევრი არის როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, ის შეიძლება შემცირდეს, რათა მოგცეთ გამარტივებული გამოხატულება: (x + 1)/(5 - x). განვიხილოთ სხვა მაგალითი: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გააუქმოთ ნებისმიერი ტერმინი - გაუქმებულია მხოლოდ იგივე ფაქტორები, რომლებიც წარმოდგენილია როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში. მაგალითად, გამოსახულებაში (x(x + 2))/x ცვლადი (გამრავლება) „x“ არის მრიცხველშიც და მნიშვნელშიც, ამიტომ „x“ შეიძლება შემცირდეს და მიიღება გამარტივებული გამოხატულება: (x + 2) / 1 = x + 2. თუმცა გამონათქვამში (x + 2)/x ცვლადი „x“ ვერ შემცირდება (რადგან მრიცხველში „x“ არ არის ფაქტორი).

   4. გახსენით ფრჩხილები.ამისათვის გაამრავლეთ ფრჩხილის გარეთ არსებული ტერმინი ფრჩხილებში თითოეულ ტერმინზე. ზოგჯერ ეს ხელს უწყობს რთული გამოხატვის გამარტივებას. ეს ეხება როგორც პირველ რიცხვებს, ასევე წევრებს, რომლებიც შეიცავს ცვლადს.

      • მაგალითად, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 და 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ წილადის გამონათქვამებში ფრჩხილების გახსნა არ არის საჭირო, თუ მრიცხველიც და მნიშვნელიც ერთსა და იმავე ფაქტორს შეიცავს. მაგალითად, გამოხატულებაში (3(x 2 + 8)) / 3x, თქვენ არ გჭირდებათ ფრჩხილების გაფართოება, რადგან აქ შეგიძლიათ შეამციროთ ფაქტორი 3 და მიიღოთ გამარტივებული გამოხატულება (x 2 + 8) / x. ამ გამოთქმასთან მუშაობა უფრო ადვილია; თუ გააფართოვებთ ფრჩხილებს, მიიღებთ შემდეგ რთულ გამონათქვამს: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. მრავალწევრების ფაქტორიზაცია.ამ მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ გაამარტივოთ ზოგიერთი გამონათქვამი და მრავალწევრი. ფაქტორინგი არის ფრჩხილების გაფართოების საპირისპირო, ანუ გამონათქვამი იწერება როგორც ორი გამონათქვამის პროდუქტი, რომელთაგან თითოეული ჩასმულია ფრჩხილებში. ზოგიერთ შემთხვევაში, ფაქტორინგი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ იგივე გამოხატულება. განსაკუთრებულ შემთხვევებში (ჩვეულებრივ, კვადრატული განტოლებებით), ფაქტორინგი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ განტოლება.

      • განვიხილოთ გამონათქვამი x 2 - 5x + 6. ის იშლება ფაქტორებად: (x - 3) (x - 2). ამრიგად, თუ, მაგალითად, მოცემულია გამოხატულება (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), მაშინ შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი როგორც (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), შეამცირეთ გამოხატულება (x - 2) და მიიღეთ გამარტივებული გამოხატულება (x - 3) / 2.
      • მრავალწევრების ფაქტორინგი გამოიყენება განტოლებების გადასაჭრელად (ძირების მოსაძებნად (განტოლება არის 0-ის ტოლი მრავალწევრი). მაგალითად, განიხილეთ განტოლება x 2 - 5x + 6 \u003d 0. მისი ფაქტორების გაანგარიშებით, თქვენ მიიღებთ (x - 3) (x - 2) \u003d 0. ვინაიდან 0-ზე გამრავლებული ნებისმიერი გამოხატულება არის 0, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ იგი ასე : x - 3 = 0 და x - 2 = 0. ამრიგად, x = 3 და x = 2, ანუ თქვენ იპოვეთ თქვენთვის მოცემული განტოლების ორი ფესვი.

ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონონომები ასევე მოიხსენიება როგორც მრავალწევრები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.

ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის პოლინომი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

უკან მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.

ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები

ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ ამ გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციას შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.