ბუნდოვანი სიმრავლეების და ენობრივი ცვლადების თეორიის ძირითადი ცნებები

1. ბუნდოვანი ნაკრების კონცეფცია და ძირითადი მახასიათებლები

განმარტება 1.1. მოდით X იყოს უნივერსალური ნაკრები. ბუნდოვანი ნაკრები A X სიმრავლეზე (X სიმრავლის ბუნდოვანი ქვესიმრავლე A) არის წყვილთა კრებული

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

სადაც x X ,μ A (x) .X ეწოდება განმარტების სფერობუნდოვანი ნაკრები A , და μ A – წევრობის ფუნქციაეს ნაკრები. წევრობის ფუნქციის μ A (x) მნიშვნელობა კონკრეტული ელემენტისთვის x X ეწოდება წევრობის ხარისხიეს ელემენტი ბუნდოვანი სიმრავლისთვის A.

წევრობის ფუნქციის ინტერპრეტაცია არის სუბიექტური საზომი იმისა, თუ როგორ შეესაბამება x X ელემენტი კონცეფციას, რომლის მნიშვნელობაც ფორმალურია ბუნდოვანი სიმრავლით A. ამ შემთხვევაში, 1-ის ტოლი მნიშვნელობა ნიშნავს სრულ (აბსოლუტურ) შესაბამისობას, 0-ის ტოლი მნიშვნელობა - სრულ (აბსოლუტურ) შეუსაბამობას.

განმარტება 1.2. ბუნდოვანი სიმრავლეები განმარტების დისკრეტული დომენით ეწოდება დისკრეტული ბუნდოვანი კომპლექტები, არა -

მკვეთრი კომპლექტები განსაზღვრების უწყვეტი დომენით არის უწყვეტი

ბუნდოვანი კომპლექტები.

ჩვეულებრივი (მკაფიო) კომპლექტები ასევე შეიძლება ჩაითვალოს ბუნდოვან კონტექსტში. ჩვეულებრივი სიმრავლის წევრობის ფუნქციას შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა: 0, თუ ელემენტი არ ეკუთვნის სიმრავლეს და 1, თუ ელემენტი ეკუთვნის.

ლიტერატურაში შეგიძლიათ იხილოთ ბუნდოვანი კომპლექტების წერის სხვადასხვა ფორმა. დისკრეტული დომენისთვის X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) (ასევე შესაძლებელია n = ∞ შემთხვევა) არის შემდეგი ფორმები:

A = ( , , …, };
A = (μ A (x 1)/x 1, μ A (x 2)/x 2, …,μ A (x n)/x n);
A \u003d μ A (x 1) / x 1 + μ A (x 2) / x 2 + ... + μ A (x n) / x n \u003d∑ μ A (x j) / x j.

j = 1

სადაც ინტეგრალური ნიშანი აზრი აქვს წერტილის გაერთიანება X-ზე. გარდა ამისა, როგორც დისკრეტული, ასევე უწყვეტი შემთხვევებისთვის გამოიყენება განზოგადებული აღნიშვნა:

B = (x x ≈ 2) არის რეალური რიცხვების სიმრავლე, დაახლოებით თანაბარი 2 და C = (x x >> 1) არის რეალური რიცხვების სიმრავლე, on-

1-ზე მეტი. ამ ნაკრების წევრობის ფუნქციების შესაძლო ფორმები სქემატურად არის წარმოდგენილი ნახ. 1.1 და ნახ. 1.2, შესაბამისად.

ბრინჯი. 1.1. წევრობის ფუნქცია							ბრინჯი. 1.2. წევრობის ფუნქცია
რიცხვების ბუნდოვანი ნაკრები,								რიცხვების ბუნდოვანი ნაკრები,
		დაახლოებით 2-ის ტოლია								ბევრად უფრო დიდი 1

როგორც დისკრეტული ბუნდოვანი სიმრავლის მაგალითი, შეგვიძლია განვიხილოთ D = (n n ≈ 1) - 1-თან ახლოს მყოფი მთელი რიცხვების სიმრავლე,

რომლის დავალებების შესაძლო ფორმა ასეთია:

N = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (სხვა ქულებს აქვთ წევრობის ხარისხი ნულოვანი) .

წევრობის ფუნქციის სპეციფიკური ფორმა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მნიშვნელობა ენიჭება კონცეფციას, რომელიც ფორმალიზებულია კონკრეტული ამოცანის პირობებში და ხშირად აქვს სუბიექტური ხასიათი. წევრობის ფუნქციების აგების მეთოდების უმეტესობა გარკვეულწილად ეფუძნება ექსპერტის მიერ მოპოვებული ინფორმაციის დამუშავებას.

შენიშვნა 1. აქ sup (supremum) არის წევრობის ფუნქციის უმცირესი ზედა ზღვარი. თუ X სიმრავლე (დომენი) დახურულია, მაშინ ფუნქციის უმაღლესი ემთხვევა მის მაქსიმუმს.

განმარტება 1.5. თუ h A = 1, მაშინ ბუნდოვანი სიმრავლე A ეწოდება

ნორმალურია, წინააღმდეგ შემთხვევაში (hA< 1) – субнормальным.

განმარტება 1.6. ბუნდოვანი A სიმრავლის მატარებელია სიმრავლე

განმარტების სფეროს ელემენტები, რომლებიც გარკვეულწილად მაინც შეესაბამება ფორმალიზებულ კონცეფციას.

შენიშვნა 2. აღნიშვნები sup და Supp არ უნდა აირიოს. პირველი მოკლეა უმაღლესისთვის, მეორე მოკლეა მხარდაჭერაზე.

განმარტება 1.7. დონე კომპლექტი α (α -cut) fuzzy

ამრიგად, ბუნდოვანი სიმრავლის ბირთვი შეიცავს განმარტების სფეროს ყველა ელემენტს, რომელიც სრულად შეესაბამება ფორმალიზებულ კონცეფციას.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ელემენტი, რომელიც მიეკუთვნება α დონის სიმრავლეს, ასევე ეკუთვნის β ≤α ქვედა დონის ყველა სიმრავლეს.

განმარტება 1.9. მოდით A და B იყოს ბუნდოვანი სიმრავლეები X სიმრავლეზე წევრობის ფუნქციებით μ A და μ B, შესაბამისად. საუბარი -

ვთქვათ, რომ A არის B-ის ბუნდოვანი ქვესიმრავლე (B მოიცავს

ა) თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:

რიცხვითი დომენის მქონე ბუნდოვან სიმრავლეებს შორის ასევე არის ბუნდოვანი რიცხვების კლასი და ბუნდოვანი ინტერვალები. ამ კლასის განსასაზღვრად შემოღებულია ბუნდოვანი სიმრავლეების ამოზნექილობის კონცეფცია.

განმარტება 1.11. რეალური ღერძის ბუნდოვან ქვეჯგუფს A ეწოდება ამოზნექილი, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:

ნახ. 1.3 გვიჩვენებს ამოზნექილი (მარცხნივ) და არაამოზნექილი (მარჯვნივ) ბუნდოვანი სიმრავლეების მაგალითებს.

ბრინჯი. 1.3. ბუნდოვანი სიმრავლის ამოზნექილობის განსაზღვრის შესახებ

ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიის ძირითადი ცნებები

განმარტება 1.12. ბუნდოვანი მანძილი არის ამოზნექილი ნორმალური ბუნდოვანი კომპლექტი განსაზღვრების რიცხვით დომენზე, რომელსაც აქვს უწყვეტი წევრობის ფუნქცია და არა ცარიელი ბირთვი.ბუნდოვანი რიცხვი არის ბუნდოვანი ინტერვალი, რომლის ბირთვი შეიცავს ზუსტად ერთ ელემენტს.

ბუნდოვანი ინტერვალებისა და რიცხვებისთვის არსებობს წარმოდგენის თეორემა, რომლის მიხედვითაც რეალური ღერძის ბუნდოვანი ქვესიმრავლე A არის ბუნდოვანი ინტერვალი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი წევრობის ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

	LA (x), a0 ≤ x< a1 ,
	1, a1 ≤ x≤ b1
	(x)=			(x), ბ< u≤ b

ფუნქციებს L A და R A ეწოდება, შესაბამისად, ბუნდოვანი რიცხვების წევრობის ფუნქციის მარცხენა და მარჯვენა ტოტები. ეს ფუნქციები უწყვეტია, ხოლო L A სეგმენტზე იზრდება L A-დან (a 0) = 0-მდე

L A (a 1 ) = 1, და R A სეგმენტზე მცირდება R A (b 1 ) = 1-დან R A (b 0 ) = 0-მდე (ნახ. 1.4).

ბრინჯი. 1.4. ბუნდოვანი ინტერვალის განსაზღვრებამდე

განმარტება 1.13. დავუშვათ A = (A 1 ,A 2 ,... ,A n ) X დომენზე განსაზღვრული ბუნდოვანი სიმრავლეების ოჯახი. ბუნდოვანი დანაყოფი Xპარამეტრით α (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

x X j (1,… ,n )μ A j (x)≥ α

(ანუ, განსაზღვრების დომენის ნებისმიერი ელემენტი ეკუთვნის Ã ოჯახის ერთ-ერთ სიმრავლეს მაინც α ხარისხით – ნახ. 1.5).

Ანოტაცია: ლექციაზე წარმოდგენილია Mathcad-ის გარემოში საეჭვო სიმრავლეების გამოყენებით ეკონომიკური პრობლემების მოდელირების მეთოდები. წარმოდგენილია ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიის ძირითადი ცნებები. მაგალითები აჩვენებს ოპერაციებს კომპლექტებზე, თვისებების გამოთვლას. განიხილება ორიგინალური პრობლემები, რომლებშიც გადაწყვეტილების მიღების პროცესში გამოიყენება ბუნდოვანი-მრავალჯერადი მიდგომა. მოდელირების ტექნიკა ხორციელდება Mathcad პროგრამის მატრიცების გამოყენებით.

ლექციის მიზანი.წარმოადგინეთ ბუნდოვანი კომპლექტები. ასწავლეთ როგორ დავაყენოთ დავალება ბუნდოვანი-მრავალჯერადი მოდელის შესაქმნელად. აჩვენეთ როგორ ავაშენოთ ბუნდოვანი კომპლექტები და ვიმოქმედოთ მათზე Mathcad-ში. პრობლემების გადაჭრის პროცესში ბუნდოვანი-მრავალჯერადი მოდელის ამოხსნის მეთოდების წარმოდგენა.

6.1 საეჭვო-მრავალჯერადი მოდელირება

რეალური ობიექტების ფართო კლასის მოდელირებისას საჭირო ხდება გადაწყვეტილების მიღება არასრული ბუნდოვანი ინფორმაციის პირობებში. თანამედროვე პერსპექტიული მიმართულება სხვადასხვა ტიპის გაურკვევლობების მოდელირებაში არის ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორია. ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიის ფარგლებში შემუშავებულია ადამიანური მსჯელობის ფორმალიზაციისა და მოდელირების მეთოდები, ისეთი ცნებები, როგორიცაა „მეტ-ნაკლებად მაღალი ინფლაცია“, „სტაბილური პოზიცია ბაზარზე“, „უფრო ღირებული“ და ა.შ.

პირველად, ბუნდოვანი კომპლექტების კონცეფცია შემოგვთავაზა ამერიკელმა მეცნიერმა L.A. Zade-მ (1965). მისი იდეები ემსახურებოდა ბუნდოვანი ლოგიკის განვითარებას. სტანდარტული ლოგიკისაგან განსხვავებით ორი ბინარული მდგომარეობით (1/0, დიახ/არა, მართალია/მცდარი), ბუნდოვანი ლოგიკა საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ შუალედური მნიშვნელობები სტანდარტულ ქულებს შორის. ასეთი შეფასებების მაგალითებია: "უფრო სავარაუდოა, ვიდრე არა", "ალბათ დიახ", "ოდნავ მარჯვნივ", "მკვეთრად მარცხნივ" სტანდარტულისგან განსხვავებით: "მარჯვნივ" ან "მარცხნივ". "დიახ". ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიაში, ბუნდოვანი რიცხვები შემოყვანილია, როგორც სპეციალიზებული ტიპის ბუნდოვანი ქვესიმრავლეები, რომლებიც შეესაბამება დებულებებს, როგორიცაა "ცვლადის მნიშვნელობა დაახლოებით უდრის a". მაგალითად, განვიხილოთ სამკუთხა ბუნდოვანი რიცხვი, სადაც განასხვავებენ სამ წერტილს: ფაქტორის მინიმალური შესაძლო, ყველაზე მოსალოდნელი და მაქსიმალური შესაძლო მნიშვნელობა. სამკუთხა რიცხვები პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოყენებული ბუნდოვანი რიცხვების ტიპია, უფრო მეტიც, ისინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება პარამეტრის პროგნოზირებად მნიშვნელობებად. მაგალითად, მომავალი წლის ინფლაციის მოსალოდნელი ღირებულება. მოდით, ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობა იყოს 10%, მინიმალური შესაძლო მნიშვნელობა იყოს 5%, და მაქსიმალური შესაძლო მნიშვნელობა იყოს 20%, მაშინ ყველა ეს მნიშვნელობა შეიძლება შემცირდეს ბუნდოვანი ქვეჯგუფის ან ბუნდოვანი რიცხვის სახით A: A: ( 5, 10, 20)

ბუნდოვანი რიცხვების შემოღებით, შესაძლებელი გახდა პარამეტრების მომავალი მნიშვნელობების პროგნოზირება, რომლებიც იცვლება დადგენილ გამოთვლილ დიაპაზონში. დანერგილია საეჭვო რიცხვებზე მოქმედებების ნაკრები, რომლებიც მცირდება ალგებრულ ოპერაციებამდე ჩვეულებრივი რიცხვებით, როდესაც მითითებულია გარკვეული ნდობის ინტერვალი (წევრობის დონე). ბუნდოვანი რიცხვების გამოყენება საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ პროგნოზირებული პარამეტრების მნიშვნელობების სავარაუდო დერეფანი. შემდეგ მოსალოდნელი ეფექტი ასევე შეფასებულია ექსპერტის მიერ, როგორც ბუნდოვანი რიცხვი საკუთარი გამოთვლილი გავრცელებით (ბუნდოვანების ხარისხი).

ბუნდოვანი ლოგიკა, როგორც ადამიანის აზროვნების პროცესების მოდელი, ჩაშენებულია ხელოვნური ინტელექტის სისტემებში და ავტომატური დამხმარე ინსტრუმენტებში. გადაწყვეტილების მიღება(კერძოდ, პროცესის კონტროლის სისტემებში).

6.2 ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიის ძირითადი ცნებები

კომპლექტი არის მათემატიკის განუსაზღვრელი ცნება. გეორგ კანტორი (1845 - 1918) - გერმანელი მათემატიკოსი, რომლის ნამუშევარი უდევს საფუძვლად თანამედროვე სიმრავლეების თეორიას, იძლევა შემდეგ კონცეფციას: "... კომპლექტი ბევრია, წარმოდგენაა როგორც ერთი".

კომპლექტს, რომელიც მოიცავს პრობლემაში განხილულ ყველა ობიექტს, ეწოდება უნივერსალური ნაკრები. უნივერსალური კომპლექტიჩვეულებრივ აღინიშნება ასოთი. უნივერსალური კომპლექტიარის მაქსიმალური სიმრავლე იმ გაგებით, რომ ყველა ობიექტი მისი ელემენტებია, ე.ი. პრობლემის შიგნით განცხადება ყოველთვის მართალია. მინიმალური ნაკრები არის ცარიელი ნაკრები– რომელიც არ შეიცავს რაიმე ელემენტს. ყველა სხვა კომპლექტი განსახილველ პრობლემაში არის სიმრავლის ქვესიმრავლეები. შეგახსენებთ, რომ სიმრავლეს ეწოდება სიმრავლის ქვესიმრავლე, თუ ყველა ელემენტი ასევე არის . კომპლექტის მინიჭება არის წესი, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს ცალსახად განსაზღვროს უნივერსალური ნაკრების ნებისმიერი ელემენტის მიმართ, ეკუთვნის თუ არა ის კომპლექტს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის წესი იმის დასადგენად, თუ რომელი განცხადებაა, ან რომელია ჭეშმარიტი და რომელი მცდარი. კომპლექტების განსაზღვრის ერთ-ერთი გზაა დამახასიათებელი ფუნქციის გამოყენება.

სიმრავლის დამახასიათებელი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია უნივერსალურ სიმრავლეზე და იღებს მნიშვნელობას ერთი სიმრავლის იმ ელემენტებზე, რომლებსაც ეკუთვნის და ნულის მნიშვნელობას იმ ელემენტებზე, რომლებიც არ ეკუთვნის:

(6.1)

მაგალითად, განიხილეთ უნივერსალური ნაკრებიდა მისი ორი ქვესიმრავლე: - 7-ზე ნაკლები რიცხვების სიმრავლე და - 7-ზე ოდნავ ნაკლები რიცხვების სიმრავლე. სიმრავლის დამახასიათებელ ფუნქციას აქვს ფორმა.

(6.2)

ნაკრები ამ მაგალითში არის ჩვეულებრივი ნაკრები.

შეუძლებელია ნაკრების დამახასიათებელი ფუნქციის დაწერა მხოლოდ 0 და 1-ის გამოყენებით. მაგალითად, 1 და 2 რიცხვები უნდა იყოს ჩართული? 3-ზე ნაკლებია 7-ზე "ბევრი" თუ "არა ბევრი"? ამ და მსგავს კითხვებზე პასუხების მიღება შესაძლებელია პრობლემის პირობების მიხედვით, რომელშიც ადგენს და გამოიყენება, ასევე სუბიექტური შეხედულების მიხედვით, ვინც ამ პრობლემას წყვეტს. კომპლექტს ბუნდოვანი ნაკრები ეწოდება. ბუნდოვანი სიმრავლის დამახასიათებელი ფუნქციის შედგენისას, პრობლემის ამომხსნელს (ექსპერტს) შეუძლია გამოთქვას თავისი აზრი იმის შესახებ, თუ რამდენად მიეკუთვნება სიმრავლის თითოეული რიცხვი სიმრავლეს. როგორც წევრობის ხარისხი, შეგიძლიათ აირჩიოთ ნებისმიერი ნომერი სეგმენტიდან. ამავდროულად, ეს ნიშნავს ექსპერტის სრულ ნდობას, რომ - ისეთივე სრული ნდობაა, რაც იმას ნიშნავს, რომ ექსპერტს უჭირს პასუხის გაცემა კითხვაზე, ეკუთვნის თუ არა კომპლექტს. თუ , მაშინ ექსპერტი მიდრეკილია მიაწეროს კომპლექტს, მაგრამ თუ , მაშინ ის არ არის მიდრეკილი.

ბუნდოვანი სიმრავლის წევრობის ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც

ასეთ ფუნქციას ე.წ წევრობის ფუნქციაბუნდოვანი ნაკრები. - ნაკრებში არსებული წევრობის ფუნქციის მაქსიმალურ მნიშვნელობას - ზედა ზღვარი - ეწოდება supremum. წევრობის ფუნქციაასახავს სპეციალისტის სუბიექტურ შეხედულებას დავალების შესახებ, მოაქვს ინდივიდუალობა მის გადაწყვეტაში.

ჩვეულებრივი ნაკრების დამახასიათებელი ფუნქცია შეიძლება ჩაითვალოს ამ სიმრავლის წევრობის ფუნქციად, მაგრამ ბუნდოვანი სიმრავლისგან განსხვავებით, ის იღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას: 0 ან 1.

წყვილს ეწოდება ბუნდოვანი ნაკრები, სადაც - უნივერსალური ნაკრები, - წევრობის ფუნქციაბუნდოვანი ნაკრები.

მატარებელი კომპლექტი ან საეჭვო სიმრავლის მატარებელი არის სიმრავლის ქვეჯგუფი, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, რომლებზეც .

ბუნდოვანი სიმრავლის გარდამავალი წერტილი ეწოდება კომპლექტის ელემენტი, რომელზედაც .

განსახილველ მაგალითში, სადაც არის 7-ზე ნაკლები რიცხვების სიმრავლე, არის 7-ზე ოდნავ ნაკლები რიცხვების სიმრავლე, ჩვენ სუბიექტურად ვირჩევთ სიმრავლის მნიშვნელობებს, რომლებიც შეადგენენ წევრობის ფუნქციას. ცხრილში 6.1 ჩამოთვლილია წევრობის ფუნქციები და .

ცხრილი 6.1.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
	0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

ხშირად გამოიყენება სასრული ან თვლადი ბუნდოვანი სიმრავლეების უფრო კომპაქტური აღნიშვნა. ასე რომ, ქვესიმრავლეების და ზემოხსენებული ცხრილის ნაცვლად, ეს ქვესიმრავლეები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად.

ტრადიციულად, მკაფიო კომპლექტები ჩვეულებრივ ილუსტრირებულია წრეებით მკვეთრად კონტურული საზღვრებით. ბუნდოვანი სიმრავლეები არის წრეები, რომლებიც წარმოიქმნება ცალკეული წერტილებით: წრის ცენტრში ბევრი წერტილია და პერიფერიასთან უფრო ახლოს, მათი სიმკვრივე მცირდება ნულამდე; წრე, როგორც ჩანს, დაჩრდილულია კიდეებზე. ასეთი „ბუნდოვანი ნაკრებები“ ჩანს... სასროლეთზე - კედელზე, სადაც სამიზნეებია ჩამოკიდებული. ტყვიის ნიშნების ფორმა შემთხვევითიკომპლექტები, რომელთა მათემატიკა ცნობილია. აღმოჩნდა, რომ შემთხვევითი კომპლექტების დიდი ხნის შემუშავებული აპარატი ვარგისია ბუნდოვანი კომპლექტებით მუშაობისთვის...

ბუნდოვანი სიმრავლის კონცეფცია არის ბუნდოვანი ინფორმაციის მათემატიკური ფორმალიზების მცდელობა, რათა გამოიყენოს იგი რთული სისტემების მათემატიკური მოდელების მშენებლობაში. ეს კონცეფცია ეფუძნება მოსაზრებას, რომ ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მოცემულ სიმრავლეს და აქვთ საერთო თვისება, შეიძლება ჰქონდეთ ეს თვისება სხვადასხვა ხარისხით და, შესაბამისად, მიეკუთვნებიან მოცემულ სიმრავლეს სხვადასხვა ხარისხით.

ბუნდოვანი სიმრავლის მათემატიკურად აღწერის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა სიმრავლეში ელემენტის წევრობის ხარისხის დახასიათება რიცხვით, მაგალითად, ინტერვალიდან. დაე იყოს X- ელემენტების გარკვეული ნაკრები. შემდგომში განვიხილავთ ამ ნაკრების ქვეჯგუფებს.

ბუნდოვანი ნაკრები A X-შიეწოდება ფორმის წყვილთა ერთობლიობა ( x,მ Ნაჯახი)), სადაც xOX,ვარ მაგრამ- ფუნქცია x® , ე.წ წევრობის ფუნქციაბუნდოვანი ნაკრები მაგრამ. მ ღირებულება Ნაჯახი)ეს ფუნქცია კონკრეტულისთვის xეწოდება ამ ელემენტის წევრობის ხარისხი საეჭვო სიმრავლეში მაგრამ.

როგორც ამ განმარტებიდან ჩანს, ბუნდოვანი სიმრავლე სრულად არის აღწერილი მისი წევრობის ფუნქციით, ამიტომ ჩვენ ხშირად ვიყენებთ ამ ფუნქციას, როგორც ბუნდოვანი სიმრავლის აღნიშვნას.

ჩვეულებრივი სიმრავლეები წარმოადგენს ბუნდოვანი სიმრავლეების კლასის ქვეკლასს. მართლაც, ჩვეულებრივი ნაკრების წევრობის ფუნქცია ბÌ Xარის მისი დამახასიათებელი ფუნქცია: მ B(x)=1 თუ xÎ ბდა მ B(x)=0 თუ xÏ ბ.შემდეგ, ბუნდოვანი ნაკრების განმარტების შესაბამისად, ჩვეულებრივი ნაკრები ATასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ფორმის წყვილთა ნაკრები ( x,მ B(x)). ამრიგად, ბუნდოვანი სიმრავლე უფრო ფართო კონცეფციაა, ვიდრე ჩვეულებრივი ნაკრები, იმ გაგებით, რომ საეჭვო სიმრავლის წევრობის ფუნქცია შეიძლება იყოს, ზოგადად, თვითნებური ფუნქცია ან თუნდაც თვითნებური რუქა.

ჩვენ ვლაპარაკობთ ბუნდოვანი ნაკრები. კომპლექტი რა?თანმიმდევრული რომ ვიყოთ, უნდა განვაცხადოთ, რომ ბუნდოვანი სიმრავლის ელემენტია ... ახალი ბუნდოვანი სიმრავლეები და ა.შ. ავიღოთ კლასიკური მაგალითი - მარცვლეულის გროვა. ამ ბუნდოვანი ნაკრების ელემენტი იქნება მილიონი მარცვალი, Მაგალითად. მაგრამ მილიონი მარცვალი არ არის ნათელი ელემენტიდა ახალი ბუნდოვანი ნაკრები. მარცვლების დათვლაც (ხელით თუ ავტომატურად), გასაკვირი არ არის, რომ შეცდომა დაუშვა - მაგალითად, მილიონ 999 997 მარცვლეულის აღება. აქ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ელემენტს 999 997 აქვს "მილიონში" წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობა, უდრის 0,999997. გარდა ამისა, თავად მარცვალი ისევ არ არის ელემენტი, არამედ ახალი ბუნდოვანი ნაკრები: არის სრულფასოვანი მარცვალი, მაგრამ არის ორი შერწყმული მარცვალი, განუვითარებელი მარცვალი ან უბრალოდ ქერქი. მარცვლების დათვლისას ადამიანმა უნდა უარყოს ზოგიერთი, აიღოს ერთზე ორი მარცვალი, მეორე შემთხვევაში კი ერთი მარცვალი ორზე. არც ისე ადვილია ციფრულ კომპიუტერში ბუნდოვანი ნაკრების კლასიკური ენებით ჩასმა: მასივის (ვექტორის) ელემენტები უნდა იყოს მასივების ახალი მასივები (ჩასმული ვექტორები და მატრიცები, თუ ვსაუბრობთ Mathcad). მკაფიო კომპლექტების კლასიკური მათემატიკა (რიცხვთა თეორია, არითმეტიკა და ა.შ.) არის კაუჭი, რომლის საშუალებითაც გონივრული კაციაფიქსირებს (განსაზღვრავს) თავს მოლიპულ და ბუნდოვან გარემომცველ სამყაროში. და კაკალი, როგორც მოგეხსენებათ, საკმაოდ უხეში იარაღია, რომელიც ხშირად აფუჭებს იმას, რასაც ეკიდება. ტერმინები, რომლებიც აჩვენებს ბუნდოვან კომპლექტს, არის "ბევრი", "ოდნავ", "ოდნავ" და ა.შ. და ა.შ. – ძნელია კომპიუტერში „ჩაძვრა“ იმიტომაც კონტექსტი მგრძნობიარე. ერთია იმის თქმა, „მომეცი თესლი“ ადამიანს, რომელსაც აქვს ჭიქა თესლი, მაგრამ მეორეა, როცა მართავს თესლით სავსე სატვირთოს.

ბუნდოვანი ქვეჯგუფი მაგრამკომპლექტი Xახასიათებს წევრობის ფუნქცია მ ა:X→, რომელიც ემთხვევა თითოეულ ელემენტს xÎ Xნომერი მ Ნაჯახი)იმ ინტერვალიდან, რომელიც ახასიათებს ელემენტის წევრობის ხარისხს Xქვეჯგუფი მაგრამ. უფრო მეტიც, 0 და 1 წარმოადგენს, შესაბამისად, ელემენტის კუთვნილების ყველაზე დაბალ და უმაღლეს ხარისხს გარკვეულ ქვეჯგუფთან.

მოდით მივცეთ ძირითადი განმარტებები.

ღირებულება sup მ ა(x) დაურეკა მაღალი ბუნდოვანი ნაკრები ა. ბუნდოვანი ნაკრები ა ჯარიმა თუ მისი სიმაღლეა 1 , ე.ი. მისი წევრობის ფუნქციის ზედა ზღვარი არის 1. სუპისთვის მა(x)<1 ბუნდოვანი ნაკრები ე.წ სუბნორმალური.

ბუნდოვანი ნაკრები ე.წ ცარიელი, თუ მისი წევრობის ფუნქცია ნულის ტოლია მთელ სიმრავლეში X, ე.ი. m0 (x)= 0 " xÎ X.

ბუნდოვანი ნაკრები ცარიელი , თუ " xÎ ე m A ( x)=0 . არა ცარიელი სუბნორმალური ნაკრები შეიძლება ნორმალიზდეს ფორმულით

(ნახ. 1).

ნახ.1. ბუნდოვანი ნაკრების ნორმალიზება წევრობის ფუნქციით. .

გადამზიდავიბუნდოვანი ნაკრები მაგრამ(ნოტაცია სუპ ა) წევრობის ფუნქციით მ Ნაჯახი)ფორმის ერთობლიობა ეწოდება სუპა={x|xÎ x,მ A(x)> 0). პრაქტიკული გამოყენებისთვის, ბუნდოვანი კომპლექტების მხარდაჭერა ყოველთვის შეზღუდულია. ასე რომ, სისტემისთვის დასაშვები რეჟიმების ბუნდოვანი სიმრავლის მატარებელი შეიძლება იყოს მკაფიო ქვესიმრავლე (ინტერვალი), რომლის დასაშვებობის ხარისხი არ არის ნულის ტოლი (ნახ. 2).

ბრინჯი. 3. ბირთვი, მატარებელი და α- ბუნდოვანი ნაკრების მონაკვეთი

მნიშვნელობა α დაურეკა α - დონე. საყრდენი (ბირთვი) შეიძლება ჩაითვალოს ნულზე (ერთეულზე) ბუნდოვანი სიმრავლის მონაკვეთად. α - დონე.

ბრინჯი. 3 ასახავს განმარტებებს გადამზიდავი, ბირთვი,α - სექციები დაα - დონებუნდოვანი ნაკრები.

მკაფიო ნაკრების ან უბრალოდ კომპლექტის ქვეშ, მათ ჩვეულებრივ ესმით ჩვენი ინტუიციისა და ინტელექტის გარკვეული და გამორჩეული ობიექტების გარკვეული ნაკრები, რომელიც წარმოიქმნება როგორც ერთი მთლიანობა. ამ განცხადებაში ჩვენ აღვნიშნავთ შემდეგ პუნქტს: სიმრავლე A არის გარკვეული ობიექტების კოლექცია. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი x-ისთვის შეიძლება ცალსახად ითქვას, ეკუთვნის თუ არა A სიმრავლეს.

პირობა, რომ ელემენტი x ეკუთვნის A სიმრავლეს, შეიძლება დაიწეროს წევრობის ფუნქციის m(x) კონცეფციის გამოყენებით, კერძოდ.

მაშასადამე, ნაკრები შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წყვილების ნაკრები: ელემენტი და მისი წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობა

A = ((x|m(x)) (1)

მაგალითი 1. დეპარტამენტი გთავაზობთ ხუთ არჩევით კურსს x 1 , x 2 , x 3 , x 4 და x 5 . პროგრამის შესაბამისად სამი კურსია საჭირო. სტუდენტმა აირჩია x 2, x 3 და x 5 კურსები. ჩვენ ვწერთ ამ ფაქტს წევრობის ფუნქციის გამოყენებით

სადაც თითოეული წყვილის პირველი ელემენტი ნიშნავს კურსის სახელს, ხოლო მეორე აღწერს იმ ფაქტს, რომ იგი ეკუთვნის ამ სტუდენტის მიერ შერჩეულ ქვეჯგუფს („დიახ“ ან „არა“).

მკაფიო ნაკრების უსაზღვროდ ბევრი მაგალითია: სტუდენტთა სია სასწავლო ჯგუფში, სახლების ნაკრები მოცემულ ქალაქის ქუჩაზე, მოლეკულების ნაკრები წყლის წვეთში და ა.შ.

იმავდროულად, ადამიანის ცოდნის უზარმაზარი რაოდენობა და გარე სამყაროსთან კავშირები მოიცავს ისეთ ცნებებს, რომლებსაც არ შეიძლება ეწოდოს კომპლექტები (1) მნიშვნელობით. ისინი უფრო მეტად უნდა ჩაითვალოს ბუნდოვანი საზღვრების მქონე კლასებად, როდესაც გადასვლა ერთი კლასის კუთვნილებიდან მეორეზე კუთვნილებაზე ხდება თანდათანობით და არა უეცრად. ამრიგად, ვარაუდობენ, რომ ადამიანის მსჯელობის ლოგიკა ემყარება არა კლასიკურ ორფასიან ლოგიკას, არამედ ლოგიკას ბუნდოვანი ჭეშმარიტების მნიშვნელობებით - ბუნდოვანი შეერთებები და ბუნდოვანი დასკვნის წესები. აქ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი: სტატიის სიგრძე დაახლოებით 12 გვერდია, ტერიტორიის უმეტესი ნაწილი, თამაშის აბსოლუტური უპირატესობა, რამდენიმე ადამიანის ჯგუფი.

მოდით შევხედოთ ბოლო მაგალითს. ცხადია, რომ 3, 5 ან 9 კაციან ადამიანთა ჯგუფს ეკუთვნის კონცეფცია: „ადამიანთა ჯგუფი, რომელიც შედგება რამდენიმე ადამიანისგან“. თუმცა, მათთვის იქნება არათანაბარი ნდობა ამ კონცეფციისადმი კუთვნილების მიმართ, რაც დამოკიდებულია სხვადასხვა, მათ შორის სუბიექტურ გარემოებებზე. ეს გარემოებები შეიძლება ფორმალიზებული იყოს, თუ ვივარაუდებთ, რომ წევრობის ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ინტერვალზე. უფრო მეტიც, უკიდურესი მნიშვნელობები ინიშნება იმ შემთხვევაში, თუ ელემენტი, რა თქმა უნდა, არ ეკუთვნის ან ცალსახად ეკუთვნის ამ კონცეფციას. კერძოდ, A ადამიანების ნაკრები რამდენიმე ადამიანისგან შეიძლება აღიწეროს ფორმის გამოხატვით:

A = ((1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)

მოდით მივცეთ ბუნდოვანი სიმრავლის განმარტება, რომელიც მოცემულია ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიის დამფუძნებლის, L.A. Zade-ს მიერ. მოდით x იყოს კონკრეტული უნივერსალური (ე.წ. ძირითადი) სიმრავლის ელემენტი E. მაშინ ბუნდოვანი(ბუნდოვანი) კომპლექტი აგანსაზღვრული საბაზისო კომპლექტზე E არის მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლე

ა= (შუმ ა((x)), "x О E,

სადაც მ ა(X) - წევრობის ფუნქცია, რომელიც ასახავს E სიმრავლეს ერთეულ ინტერვალს , ე.ი. მ ა (x): E ® .

ცხადია, თუ დიაპაზონი მ ა (x) შემოიფარგლება ორი რიცხვით 0 და 1, მაშინ ეს განმარტება დაემთხვევა ჩვეულებრივი (მკაფიო) ნაკრების კონცეფციას.

ბუნდოვანი ნაკრების წევრობის ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ საბაზისო ნაკრების თითოეული ელემენტისთვის მისი ყველა მნიშვნელობის ჩამოთვლით, არამედ ანალიტიკური გამოხატვის სახით. მაგალითად, 2-თან ძალიან ახლოს მყოფი რეალური რიცხვების სიმრავლე შეიძლება იყოს შემდეგი:

ზ= (შუმ ზ(x)), "x О R,

სადაც მ ზ(x) = .

რეალური რიცხვების სიმრავლე Y საკმარისად ახლოს არის რიცხვ 2-თან

ი= (შუმ ი(x)), "x О R,

ᲩᲔᲛᲘ ზ(x) = .

ამ ორი წევრობის ფუნქციის გრაფიკული წარმოდგენა მოცემულია სურათზე 3.9.

განმარტება.ბუნდოვანი ნაკრები აბუნდოვანი ქვესიმრავლე ეწოდება ბ, თუ ადა ბგანისაზღვრება იმავე საბაზისო კომპლექტზე E და „x н E: m ა(x) £ მ ბ(x), რომელიც აღინიშნება როგორც აÌ ბ.

ორი ბუნდოვანი სიმრავლის ტოლობის პირობები ადა ბიგივე საბაზისო ნაკრებზე E განსაზღვრულს აქვს შემდეგი ფორმა

ა = ბან "х н E: m ა(x) = m ბ(x).

კომენტარი. არსებობს გარკვეული მსგავსება „ბზუის“ და „ალბათობის“ ცნებებს შორის, რომლებიც განსხვავებულია თავისი არსით. პირველ რიგში, ეს ცნებები გამოიყენება პრობლემებში, სადაც არის ჩვენი ცოდნის გაურკვევლობა ან უზუსტობა ან გადაწყვეტილების შედეგების ზუსტი პროგნოზირების ფუნდამენტური შეუძლებლობა. მეორეც, ცვლილების ინტერვალები და ალბათობები და წევრობის ფუნქციები იგივეა:

და P О და m ა(x) О .

ამავდროულად, ალბათობა ობიექტური მახასიათებელია და ალბათობის თეორიის გამოყენების საფუძველზე მიღებული დასკვნები, პრინციპში, ექსპერიმენტულად შეიძლება შემოწმდეს.

წევრობის ფუნქცია განისაზღვრება სუბიექტურად, თუმცა ის ჩვეულებრივ ასახავს განხილულ ობიექტებს შორის რეალურ ურთიერთობებს. ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიაზე დაფუძნებული მეთოდების გამოყენების ეფექტურობა ჩვეულებრივ განიხილება კონკრეტული შედეგების მიღების შემდეგ.

თუ ალბათობის თეორიაში ვარაუდობენ, რომ გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია, ე.ი.

მაშინ წევრობის ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის შესაბამისი ჯამი შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა 0-დან ¥-მდე.

ასე რომ, ბუნდოვანი ნაკრების განსაზღვრა ააუცილებელია განვსაზღვროთ E ელემენტების საბაზისო სიმრავლე და ჩამოყალიბდეს წევრობის ფუნქცია m ა(x), რომელიც არის ნდობის სუბიექტური საზომი, რომლითაც თითოეული x ელემენტი E-დან მიეკუთვნება მოცემულ ბუნდოვან სიმრავლეს ა.

თანამედროვე მეცნიერება და ტექნოლოგია წარმოუდგენელია მათემატიკური მოდელირების ფართო გამოყენების გარეშე, რადგან სრულმასშტაბიანი ექსპერიმენტები ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, ისინი ხშირად ძალიან ძვირია და დიდ დროს მოითხოვს, ხშირ შემთხვევაში ისინი დაკავშირებულია რისკთან და მაღალ მასალასთან ან მორალური ხარჯები. მათემატიკური მოდელირების არსი არის რეალური ობიექტის ჩანაცვლება მისი „გამოსახულებით“ - მათემატიკური მოდელით - და მოდელის შემდგომი შესწავლა კომპიუტერებზე დანერგილი გამოთვლითი ლოგიკური ალგორითმების დახმარებით. მათემატიკური მოდელის ყველაზე მნიშვნელოვანი მოთხოვნაა მისი ადეკვატურობის (სწორი შესაბამისობის) პირობა შესასწავლ რეალურ ობიექტთან მისი თვისებების არჩეული სისტემის მიმართ. ამით, უპირველეს ყოვლისა, გასაგებია ობიექტის განხილული თვისებების სწორი რაოდენობრივი აღწერა. ასეთი რაოდენობრივი მოდელების აგება შესაძლებელია მარტივი სისტემებისთვის.

სიტუაცია განსხვავებულია რთული სისტემებით. იმისათვის, რომ მივიღოთ მნიშვნელოვანი დასკვნები რთული სისტემების ქცევის შესახებ, საჭიროა უარი თქვან მაღალი სიზუსტისა და სიმკაცრის მოდელის აგებაში და მის კონსტრუქციაში ჩავრთოთ მიახლოებითი ხასიათის მიდგომები. ერთ-ერთი ასეთი მიდგომა დაკავშირებულია ლინგვისტური ცვლადების დანერგვასთან, რომლებიც აღწერს ადამიანის ბუნდოვან ასახვას მთელს მსოფლიოში. იმისთვის, რომ ლინგვისტური ცვლადი გახდეს სრულფასოვანი მათემატიკური ობიექტი, დაინერგა ბუნდოვანი სიმრავლის ცნება.

კრისპ კომპლექტების თეორიაში გათვალისწინებული იყო კრისპ კომპლექტის დამახასიათებელი ფუნქცია უნივერსალურ სივრცეში , უდრის 1-ს, თუ ელემენტი აკმაყოფილებს თვისებას და, შესაბამისად, ეკუთვნის სიმრავლეს, ხოლო 0-ის ტოლია, წინააღმდეგ შემთხვევაში. ამრიგად, ჩვენ ვსაუბრობდით ნათელ სამყაროზე (ბულის ალგებრა), რომელშიც მოცემული თვისების არსებობა ან არარსებობა განისაზღვრება მნიშვნელობებით 0 ან 1 ("არა" ან "დიახ").

თუმცა, სამყაროში ყველაფერი არ შეიძლება დაიყოს მხოლოდ თეთრად და შავებად, სიმართლედ და ტყუილად. ასე რომ, ბუდამაც კი დაინახა წინააღმდეგობებით სავსე სამყარო, რამ შეიძლება იყოს გარკვეულწილად ჭეშმარიტი და, გარკვეულწილად, მცდარი, ამავე დროს. პლატონმა საფუძველი ჩაუყარა ბუნდოვან ლოგიკას და აღნიშნა, რომ არსებობდა მესამე სფერო (სიმართლისა და სიცრუის მიღმა), სადაც ეს წინააღმდეგობები ფარდობითია.

კალიფორნიის უნივერსიტეტის პროფესორმა ზადემ 1965 წელს გამოაქვეყნა სტატია "Fuzzy Sets", სადაც მან გააფართოვა 0 ან 1-ის ორმნიშვნელოვანი შეფასება 0-ზე და 1-ზე ქვემოთ შეუზღუდავი მრავალმნიშვნელოვანი შეფასებით და პირველად შემოიტანა კონცეფცია. "ბუნდოვანი ნაკრები". ტერმინის „დამახასიათებელი ფუნქციის“ ნაცვლად ზადემ გამოიყენა ტერმინი „წევრობის ფუნქცია“. ბუნდოვანი ნაკრები (იგივე აღნიშვნა შენარჩუნებულია როგორც crisp კომპლექტისთვის) უნივერსალურ სივრცეში
წევრობის ფუნქციის მეშვეობით (იგივე აღნიშვნა, რაც დამახასიათებელი ფუნქციისთვის) განისაზღვრება შემდეგნაირად

წევრობის ფუნქცია ყველაზე ხშირად შემდეგნაირად არის განმარტებული: მნიშვნელობა ნიშნავს ელემენტის წევრობის ხარისხის სუბიექტურ შეფასებას საეჭვო სიმრავლეში, მაგალითად, ეს ნიშნავს, რომ 80% ეკუთვნის. ამიტომ უნდა არსებობდეს „ჩემი წევრობის ფუნქცია“, „თქვენი წევრობის ფუნქცია“, „სპეციალისტური წევრობის ფუნქცია“ და ა.შ. 1. ბუნდოვანი სიმრავლის წევრობის ფუნქციას აქვს ზარის ფორმის გრაფიკი, განსხვავებით მკვეთრი ნაკრების მართკუთხა დამახასიათებელი ფუნქციისგან ნახ. ერთი.

ყურადღება უნდა მიექცეს ნათელ და ბუნდოვან კომპლექტებს შორის ურთიერთობას. დამახასიათებელი ფუნქციის ორი მნიშვნელობა (0,1) ეკუთვნის წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობების დახურულ ინტერვალს. მაშასადამე, crisp კომპლექტი არის ბუნდოვანი ნაკრების განსაკუთრებული შემთხვევა, ხოლო ბუნდოვანი ნაკრების კონცეფცია არის გაფართოებული კონცეფცია, რომელიც მოიცავს მკვეთრი ნაკრების კონცეფციას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, crisp კომპლექტი ასევე ბუნდოვანი ნაკრებია.

ბუნდოვანი ნაკრები მკაცრად არის განსაზღვრული წევრობის ფუნქციის გამოყენებით და არ შეიცავს რაიმე ბუნდოვანებას. ფაქტია, რომ ბუნდოვანი ნაკრები მკაცრად არის განსაზღვრული დახურული ინტერვალის სავარაუდო მნიშვნელობების გამოყენებით და ეს არის წევრობის ფუნქცია. თუ უნივერსალური ნაკრები შედგება ელემენტების დისკრეტული სასრული ნაკრებისგან, მაშინ, პრაქტიკული მიზეზების გამო, მიუთითეთ წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობა და შესაბამისი ელემენტი განცალკევების ნიშნების გამოყენებით / და +. მაგალითად, მოდით, უნივერსალური სიმრავლე შედგებოდეს 10-ზე ნაკლები მთელი რიცხვებისგან, მაშინ ბუნდოვანი სიმრავლე "პატარა რიცხვები" შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

A=1/0 + 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.1/4

აი, მაგალითად, 0.8/2 ნიშნავს. + ნიშანი ნიშნავს კავშირს. ზემოაღნიშნული ფორმით ბუნდოვანი სიმრავლის დაწერისას, უნივერსალური სიმრავლის ელემენტები გამოტოვებულია წევრობის ფუნქციის ნულის ტოლი მნიშვნელობებით. ჩვეულებრივ, უნივერსალური ნაკრების ყველა ელემენტი იწერება წევრობის ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობებით. გამოიყენება ბუნდოვანი სიმრავლის აღნიშვნა, როგორც ალბათობის თეორიაში,

განმარტება.ზოგადად, უნივერსალური სიმრავლის ბუნდოვანი ქვესიმრავლე განისაზღვრება, როგორც მოწესრიგებული წყვილების ნაკრები