კუთვნილების ნიშნები კარგად არის ცნობილი პლანიმეტრიის კურსიდან. ჩვენი ამოცანაა განვიხილოთ ისინი გეომეტრიული ობიექტების პროგნოზებთან მიმართებაში.

წერტილი მიეკუთვნება სიბრტყეს, თუ იგი ეკუთვნის ამ სიბრტყეში მდებარე წრფეს.

სწორი სიბრტყის კუთვნილება განისაზღვრება ორიდან ერთი ნიშნით:

ა) წრფე გადის ამ სიბრტყეში მდებარე ორ წერტილში;

ბ) წრფე გადის წერტილში და პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე წრფეების.

ამ თვისებების გამოყენებით, ჩვენ მოვაგვარებთ პრობლემას, როგორც მაგალითი. დაე, სიბრტყე იყოს მოცემული სამკუთხედით ABC. საჭიროა დაკარგული პროექციის აშენება დ 1 ქულა დამ თვითმფრინავს ეკუთვნის. კონსტრუქციების თანმიმდევრობა ასეთია (ნახ. 2.5).

ბრინჯი. 2.5. სიბრტყის კუთვნილი წერტილის პროექციების ასაგებად

წერტილის მეშვეობით დ 2 ჩვენ ვასრულებთ სწორი ხაზის პროექციას დიწვა თვითმფრინავში  ABCსამკუთხედისა და წერტილის ერთ-ერთი გვერდის გადაკვეთა მაგრამ 2. მაშინ წერტილი 1 2 ეკუთვნის ხაზებს მაგრამ 2 დ 2 და C 2 AT 2. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ მიიღოთ მისი ჰორიზონტალური პროექცია 1 1-ზე C 1 AT 1 საკომუნიკაციო ხაზზე. 1 1 წერტილების შეერთებით და მაგრამ 1, ვიღებთ ჰორიზონტალურ პროექციას დერთი . გასაგებია, რომ საქმე დ 1 ეკუთვნის მას და დევს წერტილთან პროექციის კავშირის ხაზზე დ 2 .

საკმაოდ მარტივია ამოცანების ამოხსნა, რათა დადგინდეს, მიეკუთვნება თუ არა წერტილი ან სწორი ხაზი სიბრტყეს. ნახ. 2.6 გვიჩვენებს ასეთი პრობლემების გადაჭრის კურსს. პრობლემის წარმოდგენის სიცხადისთვის სიბრტყე დაყენებულია სამკუთხედით.

ბრინჯი. 2.6. ამოცანები წერტილისა და სწორი სიბრტყის კუთვნილების დასადგენად.

იმის დასადგენად, ეკუთვნის თუ არა წერტილი ეთვითმფრინავი  ABC, დახაზეთ სწორი ხაზი მისი შუბლის პროექციის E 2-ში ა 2. ვივარაუდოთ, რომ a ხაზი სიბრტყეს ეკუთვნის  ABCააგეთ მისი ჰორიზონტალური პროექცია ა 1 გადაკვეთის წერტილებზე 1 და 2. როგორც ხედავთ (ნახ. 2.6, ა), სწორი ხაზი ა 1 წერტილი არ გადის ეერთი . აქედან გამომდინარეობს წერტილი ე ABC.

ხაზის კუთვნილების პრობლემაში inსამკუთხედის თვითმფრინავი ABC(ნახ. 2.6, ბ), საკმარისია სწორი ხაზის ერთ-ერთი პროექციისთვის in 2 ავაშენე მეორე in 1 * იმის გათვალისწინებით, რომ in ABC. როგორც ვხედავთ, in 1 * და in 1 არ ემთხვევა. ამიტომ, სწორი ხაზი in   ABC.

2.4. თვითმფრინავის დონის ხაზები

დონის ხაზების განმარტება ადრე იყო მოცემული. მოცემულ სიბრტყეს კუთვნილი დონის ხაზები ეწოდება მთავარი . ეს ხაზები (სწორი ხაზები) მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ აღწერითი გეომეტრიის რიგი ამოცანების გადაჭრაში.

განვიხილოთ დონის ხაზების აგება სამკუთხედით მითითებულ სიბრტყეში (ნახ. 2.7).

ბრინჯი. 2.7. სამკუთხედით განსაზღვრული სიბრტყის ძირითადი ხაზების აგება

თვითმფრინავის კონტური  ABCვიწყებთ მისი ფრონტალური პროექციის დახატვით თ 2, რომელიც ცნობილია ღერძის პარალელურად ოჰ. ვინაიდან ეს ჰორიზონტალური ხაზი მიეკუთვნება მოცემულ სიბრტყეს, ის გადის სიბრტყის ორ წერტილში  ABC, კერძოდ, ქულები მაგრამდა 1. მათი შუბლის პროექცია მაგრამ 2 და 1 2, საკომუნიკაციო ხაზის გასწვრივ ვიღებთ ჰორიზონტალურ პროგნოზებს ( მაგრამ 1 უკვე არსებობს) 1 1 . წერტილების შეერთებით მაგრამ 1 და 1 1, გვაქვს ჰორიზონტალური პროექცია თ 1 ჰორიზონტალური სიბრტყე  ABC. პროფილის პროექცია თ 3 თვითმფრინავის კონტური  ABCღერძის პარალელურად იქნება ოჰა-პრიორიტეტი.

თვითმფრინავის წინ  ABCაგებულია ანალოგიურად (ნახ. 2.7) მხოლოდ იმ განსხვავებით, რომ მისი ნახაზი იწყება ჰორიზონტალური პროექციათ. ვ 1, ვინაიდან ცნობილია, რომ ის პარალელურია OX ღერძის. პროფილის პროექცია ვ 3 ფრონტი უნდა იყოს OZ ღერძის პარალელურად და გაიაროს პროგნოზები თან 3, 2 3 იგივე ქულა თანდა 2.

თვითმფრინავის პროფილის ხაზი  ABCაქვს ჰორიზონტალური რ 1 და წინა რღერძების პარალელურად 2 პროექცია OYდა უნციადა პროფილის პროექცია რ 3-ზე წვდომა შესაძლებელია ფრონტალურად გადაკვეთის წერტილების გამოყენებით ATდა 3 წმ  ABC.

თვითმფრინავის ძირითადი ხაზების აგებისას უნდა გახსოვდეთ მხოლოდ ერთი წესი: პრობლემის გადასაჭრელად ყოველთვის უნდა მიიღოთ მოცემულ სიბრტყესთან გადაკვეთის ორი წერტილი. სხვაგვარად მოცემულ თვითმფრინავში მოთავსებული ძირითადი ხაზების აგება არ არის უფრო რთული, ვიდრე ზემოთ განხილული. ნახ. 2.8 გვიჩვენებს სიბრტყის ჰორიზონტალური და შუბლის კონსტრუქციას, რომელიც მოცემულია ორი გადამკვეთი ხაზით ადა in.

ბრინჯი. 2.8. სწორი ხაზების გადაკვეთით მოცემული სიბრტყის ძირითადი ხაზების აგება.

წერტილი და ხაზი არის მთავარი გეომეტრიული ფიგურები სიბრტყეზე.

წერტილისა და სწორი ხაზის განმარტება არ არის დანერგილი გეომეტრიაში; ეს ცნებები განიხილება ინტუიციურ კონცეპტუალურ დონეზე.

ქულები მითითებულია დიდი (დიდი, დიდი) ლათინური ასოებით: A, B, C, D, ...

სწორი ხაზები აღინიშნება ერთი პატარა (პატარა) ლათინური ასოთი, მაგალითად,

- სწორი ხაზი ა.

სწორი ხაზი შედგება უსასრულო რაოდენობის წერტილებისგან და არ აქვს არც დასაწყისი და არც დასასრული. ფიგურა ასახავს სწორი ხაზის მხოლოდ ნაწილს, მაგრამ გასაგებია, რომ იგი ვრცელდება უსასრულოდ შორს სივრცეში და გრძელდება განუსაზღვრელი ვადით ორივე მიმართულებით.

წერტილები, რომლებიც დევს ხაზზე, ამბობენ, რომ ამ ხაზზეა. წევრობა აღინიშნება ∈ ნიშნით. ხაზს მიღმა წერტილები ამბობენ, რომ არ ეკუთვნის ამ ხაზს. ნიშანი "არ ეკუთვნის" არის ∉.

მაგალითად, წერტილი B ეკუთვნის a ხაზს (იწერება: B∈a),

წერტილი F არ ეკუთვნის a წრფეს, (წერენ: F∉a).

სიბრტყეზე წერტილებისა და ხაზების წევრობის ძირითადი თვისებები:

როგორიც არ უნდა იყოს ხაზი, არის წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის ამ წრფეს და წერტილები, რომლებიც მას არ ეკუთვნის.

შესაძლებელია სწორი ხაზის დახაზვა ნებისმიერი ორი წერტილიდან და მხოლოდ ერთი.

ხაზები ასევე აღინიშნება ორი დიდი ლათინური ასოებით, იმ წერტილების სახელების მიხედვით, რომლებიც დევს ხაზზე.

- სწორი ხაზი AB.

- ამ ხაზს შეიძლება ეწოდოს MK ან MN ან NK.

ორი ხაზი შეიძლება იკვეთოს ან არ იკვეთოს. თუ ხაზები არ იკვეთება, მათ არ აქვთ საერთო წერტილები. თუ ხაზები იკვეთება, მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი. გადაკვეთის ნიშანი - ∩ .

მაგალითად, a და b წრფეები იკვეთება O წერტილში

(დაწერე ∩ b=O).

ხაზები c და d ასევე იკვეთება, თუმცა მათი გადაკვეთის წერტილი ნახატზე არ არის ნაჩვენები.

ბრინჯი. 3.2ხაზების ურთიერთმოწყობა

სივრცეში ხაზებმა შეიძლება დაიკავონ სამი პოზიციიდან ერთ-ერთი ერთმანეთთან შედარებით:

1) იყოს პარალელური;

2) იკვეთება;

3) შეჯვარება.

პარალელურადეწოდება სწორი ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.

თუ ხაზები ერთმანეთის პარალელურია, მაშინ მათი ამავე სახელწოდების პროგნოზები CC-ზეც პარალელურია (იხ. სექ. 1.2).

იკვეთებაეწოდება სწორი ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და აქვთ ერთი საერთო წერტილი.

CC-ზე გადამკვეთი ხაზებისთვის, ამავე სახელწოდების პროგნოზები იკვეთება წერტილის პროგნოზებში. მაგრამ. უფრო მეტიც, ამ წერტილის შუბლის () და ჰორიზონტალური () პროგნოზები უნდა იყოს იმავე საკომუნიკაციო ხაზზე.

შეჯვარებაეწოდება სწორი ხაზები, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.

თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ CC-ზე მათი ამავე სახელწოდების პროგნოზები შეიძლება იკვეთებოდეს, მაგრამ ამავე სახელწოდების პროგნოზების გადაკვეთის წერტილები არ იქნება იმავე საკომუნიკაციო ხაზზე.

ნახ. 3.4 ქულა თანხაზს ეკუთვნის ბდა წერტილი დ- სწორი ა. ეს წერტილები იმავე მანძილზეა შუბლის პროექციის სიბრტყიდან. ანალოგიურად წერტილები ედა ფმიეკუთვნება სხვადასხვა ხაზებს, მაგრამ არიან იმავე მანძილზე ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყიდან. ამიტომ, მათი შუბლის პროგნოზები ემთხვევა CC-ზე.

არის ორი შემთხვევა, როდესაც წერტილი მდებარეობს სიბრტყესთან შედარებით: წერტილი შეიძლება ეკუთვნოდეს სიბრტყეს ან არ იყოს (ნახ. 3.5).

წერტილისა და სწორი სიბრტყის კუთვნილების ნიშანი:

წერტილი ეკუთვნის თვითმფრინავს, თუ იგი ეკუთვნის ამ სიბრტყეში მდებარე ხაზს.

ხაზი თვითმფრინავს ეკუთვნის, თუ მას ორი საერთო წერტილი აქვს მასთან ან აქვს ერთი საერთო წერტილი და პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე სხვა წრფისა.

ნახ. 3.5 გვიჩვენებს სიბრტყეს და წერტილებს დდა ე. Წერტილი დეკუთვნის თვითმფრინავს, რადგან ის ეკუთვნის ხაზს ლ, რომელსაც აქვს ორი საერთო წერტილი ამ სიბრტყესთან - 1 და მაგრამ. Წერტილი ეარ ეკუთვნის თვითმფრინავს, რადგან შეუძლებელია მასში სწორი ხაზის გავლება, რომელიც დევს მოცემულ სიბრტყეში.

ნახ. 3.6 გვიჩვენებს სიბრტყეს და სწორ ხაზს ტიწვა ამ თვითმფრინავში, რადგან მას აქვს საერთო წერტილი 1 და ხაზის პარალელურად ა.

დეკარტის ნამრავლზე, სადაც M არის პუნქტების სიმრავლე, შემოგვაქვს 3 ადგილიანი მიმართება d. თუ წერტილების მოწესრიგებული სამეული (A, B, C) მიეკუთვნება ამ მიმართებას, მაშინ ვიტყვით, რომ წერტილი B მდებარეობს A და C წერტილებს შორის და გამოვიყენებთ აღნიშვნას: A-B-C. შემოღებული მიმართება უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ აქსიომებს:

თუ B წერტილი მდებარეობს A და C წერტილებს შორის, მაშინ A, B, C არის სამი განსხვავებული წერტილი იმავე წრფეზე, ხოლო B მდებარეობს C და A-ს შორის.

როგორიც არ უნდა იყოს A და B წერტილები, არის მინიმუმ ერთი წერტილი C ისეთი, რომ B მდებარეობს A და C-ს შორის.

ხაზის ნებისმიერ სამ წერტილს შორის არის მაქსიმუმ ერთი, რომელიც დევს დანარჩენ ორს შორის.

მეორე ჯგუფის ბოლო, მეოთხე აქსიომის ჩამოსაყალიბებლად მოსახერხებელია შემდეგი ცნების შემოტანა.

განმარტება 3.1. სეგმენტში (ჰილბერტის მიხედვით) ვგულისხმობთ AB წერტილების წყვილს. A და B წერტილებს დაერქმევა სეგმენტის ბოლოები, წერტილები, რომლებიც მდებარეობს მის ბოლოებს შორის - სეგმენტის შიდა წერტილები, ან უბრალოდ სეგმენტის წერტილები და AB წრფის წერტილები, რომლებიც არ მდებარეობს A ბოლოებს შორის. და B - სეგმენტის გარე წერტილები.

. (ფაშას აქსიომა) დავუშვათ A, B და C სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, ხოლო l იყოს ABC სიბრტყის ხაზი, რომელიც არ გადის ამ წერტილებს. მაშინ, თუ l წრფე გადის AB სეგმენტის წერტილს, მაშინ ის შეიცავს ან AC სეგმენტის წერტილს ან BC სეგმენტის წერტილს.

პირველი და მეორე ჯგუფის აქსიომებიდან გამომდინარეობს წერტილების, წრფეებისა და სეგმენტების საკმაოდ ბევრი გეომეტრიული თვისება. შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნებისმიერ სეგმენტს აქვს მინიმუმ ერთი შიდა წერტილი, წრფის სამ წერტილს შორის ყოველთვის არის ერთი და მხოლოდ ერთი დევს დანარჩენ ორს შორის, წრფის ორ წერტილს შორის ყოველთვის არის უსასრულოდ ბევრი წერტილი, რაც იმას ნიშნავს, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი წერტილია ხაზზე. ასევე შეიძლება დადასტურდეს, რომ პასჩის აქსიომის დებულება ასევე მოქმედებს იმავე წრფეზე მდებარე წერტილებზე: თუ A, B და C წერტილები ერთსა და იმავე წრფეს მიეკუთვნება, l წრფე არ გადის ამ წერტილებს და კვეთს ერთ-ერთ წერტილს. სეგმენტები, მაგალითად, AB შიდა წერტილში, შემდეგ ის კვეთს შიდა წერტილში ან სეგმენტს AC ან სეგმენტს BC. გაითვალისწინეთ ისიც, რომ პირველი და მეორე ჯგუფის აქსიომებიდან არ გამომდინარეობს, რომ წრფის წერტილთა სიმრავლე უთვალავია. ჩვენ არ წარმოვადგენთ ამ განცხადებების მტკიცებულებებს. მკითხველს შეუძლია მათი გაცნობა სახელმძღვანელოებით და. მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ ძირითად გეომეტრიულ ცნებებზე, კერძოდ სხივზე, ნახევრად სიბრტყეზე და ნახევარსივრცეში, რომლებიც შემოტანილია წევრობისა და რიგის აქსიომების გამოყენებით.

შემდეგი განცხადება მართალია:

l წრფის O წერტილი ყოფს ამ წრფის სხვა წერტილების სიმრავლეს ორ ცარიელ ქვეჯგუფად ისე, რომ ნებისმიერი ორი A და B წერტილისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება იმავე ქვესიმრავლეს, O წერტილი არის AB სეგმენტის გარე წერტილი და ნებისმიერი ორი C და D წერტილისთვის, რომლებიც მიეკუთვნებიან სხვადასხვა ქვესიმრავლეს, O წერტილი არის CD სეგმენტის შიდა წერტილი.

თითოეულ ამ ქვეჯგუფს ე.წ სხივი l ხაზი საწყისით O წერტილში. სხივები აღინიშნა h, l, k, …OA, OB, OC,…, სადაც O არის სხივის დასაწყისი, ხოლო A, B და C არის წერტილები. სხივი. ამ მტკიცების დადასტურება მოგვიანებით, მე-7 განყოფილებაში იქნება მოცემული, მაგრამ სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის სხვა აქსიომატიკის გამოყენებით. სხივის კონცეფცია საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ყველაზე მნიშვნელოვანი გეომეტრიული ობიექტი - კუთხე.

განმარტება 3.2.კუთხეში (ჰილბერტის მიხედვით) ვგულისხმობთ h და k სხივების წყვილს, რომლებსაც აქვთ საერთო საწყისი O და არ დევს ერთ სწორ ხაზზე.

O წერტილს კუთხის წვერო ეწოდება, ხოლო h და k სხივები მისი გვერდებია. კუთხეებისთვის ჩვენ გამოვიყენებთ აღნიშვნას . განვიხილოთ ელემენტარული გეომეტრიის ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფცია - ნახევრად სიბრტყის ცნება.

თეორემა 3.1.a სიბრტყეში მყოფი a წრფე ყოფს თავის წერტილთა სიმრავლეს, რომლებიც არ ეკუთვნის წრფეს ორ ცარიელ ქვეჯგუფად, ასე რომ, თუ A და B წერტილები ერთსა და იმავე ქვესიმრავლეს ეკუთვნის, მაშინ AB სეგმენტს არ აქვს საერთო წერტილები. l წრფე და თუ A და B B წერტილები განსხვავებულ ქვესიმრავლეს ეკუთვნის, მაშინ AB სეგმენტი კვეთს l წრფეს მის შიდა წერტილში.

მტკიცებულება.მტკიცებულებაში გამოვიყენებთ ეკვივალენტურობის მიმართების შემდეგ თვისებას. თუ რომელიმე სიმრავლეში შემოტანილია ორობითი მიმართება, რომელიც არის ეკვივალენტური მიმართება, ე.ი. აკმაყოფილებს რეფლექსურობის, სიმეტრიისა და ტრანზიტულობის პირობებს, შემდეგ მთელი სიმრავლე იყოფა არგამკვეთ ქვესიმრავლებად - ეკვივალენტურ კლასებად და ნებისმიერი ორი ელემენტი მიეკუთვნება ერთსა და იმავე კლასს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი ეკვივალენტურია.

განვიხილოთ სიბრტყეში წერტილების სიმრავლე, რომლებიც არ მიეკუთვნება a წრფეს. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ორი წერტილი A და B არის ბინარულ მიმართებაში d: AdB თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ AB სეგმენტზე არ არის შიდა წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება a წრფეს. ჩვენ ასევე განვიხილავთ ვთქვათ, რომ ნებისმიერი წერტილი ორობით კავშირშია d თავისთან. ვაჩვენოთ, რომ ნებისმიერი A წერტილისთვის, რომელიც არ მიეკუთვნება a წრფეს, არის A-სგან განსხვავებული წერტილები, რომლებიც არიან და არ არიან მასთან ორობით მიმართებაში. ჩვენ ვირჩევთ a სწორი ხაზის თვითნებურ წერტილს P (იხ. სურ. 6). შემდეგ, აქსიომის მიხედვით, არსებობს AP წრფის B წერტილი ისეთი, რომ P-A-B. AB წრფე კვეთს a-ს P წერტილში, რომელიც არ არის A და B წერტილებს შორის, ამიტომ A და B წერტილები მიმართულია d-სთან. ამავე აქსიომის მიხედვით, არსებობს C წერტილი ისეთი, რომ A-P-C. ამიტომ წერტილი P მდებარეობს A-სა და C-ს შორის, A და C წერტილები არ არის დაკავშირებული d-თან.

დავამტკიცოთ, რომ მიმართება d არის ეკვივალენტური მიმართება. რეფლექსურობის პირობა აშკარად დაკმაყოფილებულია ბინარული მიმართების d: AdA განმარტებით. დავუშვათ A და B წერტილები d-სთან მიმართებაში. მაშინ არ არის a წრფის წერტილები AB სეგმენტზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ BA სეგმენტზე არ არის a სწორი ხაზის წერტილები, შესაბამისად BdA, სიმეტრიის მიმართება დაკმაყოფილებულია. დაბოლოს, მივცეთ სამი წერტილი A, B და C ისე, რომ AdB და BdC. ვაჩვენოთ, რომ A და C წერტილები d ბინარულ მიმართებაშია. დავუშვათ, პირიქით, AC სეგმენტზე არის a სწორი ხაზის წერტილი P (ნახ. 7). შემდეგ, ფაშას აქსიომის მიხედვით, წრფე a კვეთს BC სეგმენტს ან AB მონაკვეთს (ნახ. 7-ში წრფე a კვეთს BC მონაკვეთს). ჩვენ მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან AdB და BdC პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ a ხაზი არ კვეთს ამ სეგმენტებს. ამრიგად, მიმართება d არის ეკვივალენტური მიმართება და ის ყოფს სიბრტყის წერტილების სიმრავლეს, რომლებიც არ მიეკუთვნება a წრფეს ეკვივალენტურ კლასებად.

მოდით შევამოწმოთ, რომ არსებობს ზუსტად ორი ასეთი ეკვივალენტობის კლასი. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ თუ A და C და B და C წერტილები არ არის ეკვივალენტური, მაშინ A და B წერტილები თავის მხრივ ეკვივალენტურია ერთმანეთის. ვინაიდან A და C და B და C წერტილები არ არიან d ეკვივალენტურ მიმართებაში, a წრფე კვეთს AC და BC სეგმენტებს P და Q წერტილებში (იხ. სურ. 7). მაგრამ შემდეგ, ფაშას აქსიომის ძალით, ეს წრფე ვერ კვეთს AB სეგმენტს. ამიტომ წერტილები A და B ერთმანეთის ექვივალენტურია. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 3.2-ში განსაზღვრული ეკვივალენტობის თითოეულ კლასს ეწოდება ნახევრად თვითმფრინავი.ამრიგად, თვითმფრინავის ნებისმიერი სწორი ხაზი ყოფს მას ორ ნახევრად სიბრტყეზე, რისთვისაც ის ემსახურება საზღვარი.

ნახევრად სიბრტყის ცნების მსგავსად შემოღებულია ნახევრად სივრცის ცნება. დადასტურებულია თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ სივრცის ნებისმიერი სიბრტყე ყოფს სივრცის წერტილებს ორ სიმრავლედ. სეგმენტს, რომლის ბოლოები ერთი სიმრავლის წერტილებია, არ აქვს საერთო წერტილები a სიბრტყესთან. თუ სეგმენტის ბოლო წერტილები მიეკუთვნება სხვადასხვა სიმრავლეს, მაშინ ასეთ სეგმენტს აქვს სიბრტყის შიდა წერტილი a. ამ მტკიცების მტკიცებულება მსგავსია თეორემა 3.2-ის დადასტურებისა; ჩვენ მას აქ არ წარმოვადგენთ.

მოდით განვსაზღვროთ კუთხის შიდა წერტილის კონცეფცია. მიეცით კუთხე. განვიხილოთ ხაზი OA, რომელიც შეიცავს OA სხივს, ამ კუთხის მხარეს. ცხადია, რომ OB სხივის წერტილები მიეკუთვნება იგივე a ნახევარ სიბრტყეს OA წრფის მიმართ. ანალოგიურად, OA სხივის წერტილები, მოცემული კუთხის გვერდები, მიეკუთვნება იმავე b ნახევარ სიბრტყეს, რომლის საზღვარი არის პირდაპირი OB (ნახ. 8). a და b ნახევრად სიბრტყეების გადაკვეთის კუთვნილ წერტილებს უწოდებენ შიდა წერტილებიკუთხე. მე-8 სურათზე წერტილი M არის შიდა წერტილი. კუთხის ყველა შიდა წერტილის სიმრავლეს მისი ეწოდება შიდა რეგიონი. სხივი, რომლის წვერო ემთხვევა კუთხის წვეროს და რომლის ყველა წერტილი შიგნითაა, ეწოდება შიდა სხივიკუთხე. სურათი 8 გვიჩვენებს AOB კუთხის შიდა სხივს h.

შემდეგი მტკიცებულებები მართალია.

ათი . თუ კუთხის წვეროზე წარმოშობილი სხივი შეიცავს მის შიდა წერტილებიდან სულ მცირე ერთ წერტილს, მაშინ ეს არის ამ კუთხის შიდა სხივი.

20 . თუ სეგმენტის ბოლოები განლაგებულია კუთხის ორ სხვადასხვა მხარეს, მაშინ სეგმენტის ნებისმიერი შიდა წერტილი არის კუთხის შიდა წერტილი.

ოცდაათი . კუთხის ნებისმიერი შიდა სხივი კვეთს სეგმენტს, რომლის ბოლოები კუთხის გვერდებზეა.

ამ განცხადებების მტკიცებულებებს განვიხილავთ მოგვიანებით, მე-5 ნაწილში. მეორე ჯგუფის აქსიომების გამოყენებით განვსაზღვრავთ გატეხილი ხაზის, სამკუთხედის, მრავალკუთხედის ცნებებს, მარტივი მრავალკუთხედის ინტერიერის ცნებას და ვამტკიცებთ, რომ მარტივი პოლიგონი ყოფს სიბრტყეს ორ რეგიონად, მის მიმართ შიდა და გარე.

სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ჰილბერტის აქსიომების მესამე ჯგუფი არის ეგრეთ წოდებული კონგრუენტობის აქსიომები. მოდით S იყოს სეგმენტების სიმრავლე, A კუთხეების სიმრავლე. დეკარტისეულ პროდუქტებზე და შემოგთავაზებთ ორობით კავშირებს, რომლებსაც დავარქმევთ კონგრუენციის მიმართებას.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გზით შემოღებული მიმართება არ არის განხილული აქსიომატიკის ძირითადი ობიექტების მიმართება, ე.ი. ხაზების და სიბრტყეების წერტილები. აქსიომების მესამე ჯგუფის შემოღება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როცა განისაზღვრება სეგმენტის და კუთხის ცნებები, ე.ი. წარმოდგენილია ჰილბერტის აქსიომების პირველი და მეორე ჯგუფი.

ჩვენ ასევე თანახმა ვართ, რომ თანმიმდევრულ მონაკვეთებს ან კუთხეებს ვუწოდოთ გეომეტრიულად თანაბარი ან უბრალოდ ტოლი სეგმენტები ან კუთხეები, ტერმინი "კონგრუენტი", იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს არ გამოიწვევს გაუგებრობას, შეიცვლება ტერმინით "ტოლი" და აღინიშნება სიმბოლო. "=".