საშუალო სკოლაში (მე-9 კლასი) ალგებრის შესწავლისას ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემაა რიცხვითი მიმდევრობების შესწავლა, რომელიც მოიცავს პროგრესირებას - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.
რა არის არითმეტიკული პროგრესია?
ამის გასაგებად აუცილებელია განსახილველი პროგრესიის განმარტება, ასევე ძირითადი ფორმულების მიცემა, რომლებიც შემდგომში იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრაში.
არითმეტიკული ან ალგებრული პროგრესია არის მოწესრიგებული რაციონალური რიცხვების ერთობლიობა, რომლის თითოეული წევრი წინასგან განსხვავდება გარკვეული მუდმივი მნიშვნელობით. ამ მნიშვნელობას სხვაობა ეწოდება. ანუ, რიცხვების მოწესრიგებული სერიის ნებისმიერი წევრის და სხვაობის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მთელი არითმეტიკული პროგრესია.
ავიღოთ მაგალითი. რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა იქნება არითმეტიკული პროგრესია: 4, 8, 12, 16, ..., რადგან სხვაობა ამ შემთხვევაში არის 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). მაგრამ 3, 5, 8, 12, 17 რიცხვების სიმრავლე აღარ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს პროგრესიის განხილულ ტიპს, რადგან სხვაობა მისთვის არ არის მუდმივი მნიშვნელობა (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
მნიშვნელოვანი ფორმულები
ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც საჭირო იქნება არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოცანების გადასაჭრელად. მოდით a n აღვნიშნოთ მიმდევრობის n-ე წევრი, სადაც n არის მთელი რიცხვი. განსხვავება აღინიშნება ლათინური ასოთი d. მაშინ შემდეგი გამონათქვამები მართალია:
- n-ე ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად, შესაფერისია ფორმულა: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- პირველი n წევრის ჯამის დასადგენად: S n = (a n + a 1)*n/2.
არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი მაგალითის გასაგებად მე-9 კლასში ამოხსნით, საკმარისია გახსოვდეთ ეს ორი ფორმულა, რადგან განხილული ტიპის ნებისმიერი პრობლემა აგებულია მათ გამოყენებაზე. ასევე, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ პროგრესირების განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით: d = a n - a n-1 .
მაგალითი #1: უცნობი წევრის პოვნა
ჩვენ ვაძლევთ არითმეტიკული პროგრესიის მარტივ მაგალითს და ფორმულებს, რომლებიც უნდა იქნას გამოყენებული ამოსახსნელად.
მიეცით 10, 8, 6, 4, ... თანმიმდევრობა, აუცილებელია მასში ხუთი წევრის პოვნა.
პრობლემის პირობებიდან უკვე გამომდინარეობს, რომ პირველი 4 ტერმინი ცნობილია. მეხუთე შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:
- ჯერ სხვაობა გამოვთვალოთ. გვაქვს: d = 8 - 10 = -2. ანალოგიურად, შეიძლება ერთმანეთის გვერდით მდგომი ნებისმიერი ორი სხვა ტერმინი. მაგალითად, d = 4 - 6 = -2. ვინაიდან ცნობილია, რომ d \u003d a n - a n-1, შემდეგ d \u003d a 5 - a 4, საიდანაც ვიღებთ: a 5 \u003d a 4 + d. ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- მეორე მეთოდი ასევე მოითხოვს ცოდნას მოცემული პროგრესიის განსხვავების შესახებ, ასე რომ თქვენ ჯერ უნდა დაადგინოთ ის, როგორც ეს ნაჩვენებია ზემოთ (d = -2). იმის ცოდნა, რომ პირველი წევრი a 1 = 10, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მიმდევრობის n რიცხვისთვის. გვაქვს: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. ბოლო გამოსახულებაში n = 5 ჩანაცვლებით, მივიღებთ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
როგორც ხედავთ, ორივე გამოსავალი იწვევს ერთსა და იმავე შედეგს. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში პროგრესიის d სხვაობა უარყოფითია. ასეთ თანმიმდევრობას კლებადი ეწოდება, რადგან ყოველი თანმიმდევრული წევრი წინაზე ნაკლებია.
მაგალითი #2: პროგრესირების განსხვავება
ახლა მოდით ცოტა გავართულოთ დავალება, მივცეთ მაგალითი, თუ როგორ
ცნობილია, რომ ზოგიერთში პირველი წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.
გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . ჩვენ ვცვლით ცნობილ მონაცემებს მდგომარეობიდან მასში, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 \u003d 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ სხვაობა: d = (18 - 6) / 6 = 2. ამრიგად, ამოცანის პირველ ნაწილს გაეცა პასუხი.
მე-7 წევრზე მიმდევრობის აღსადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ალგებრული პროგრესიის განმარტება, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ა.შ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 და 7 = 18.
მაგალითი #3: პროგრესირება
მოდით კიდევ უფრო გავართულოთ პრობლემის მდგომარეობა. ახლა თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა იპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეგვიძლია მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად, 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესიის გაკეთება ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.
ამ პრობლემის გადაჭრის დაწყებამდე აუცილებელია იმის გაგება, თუ რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, შემდეგ 1 \u003d -4 და 5 \u003d 5. ამის დადგენის შემდეგ, ჩვენ ვაგრძელებთ დავალებას, რომელიც მსგავსია წინა. ისევ, მე-n ტერმინისთვის, ვიყენებთ ფორმულას, ვიღებთ: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. აქ განსხვავება არ არის მთელი რიცხვი, არამედ რაციონალური რიცხვია, ამიტომ ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.
ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის დაკარგული წევრები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u რაც პრობლემის მდგომარეობას დაემთხვა.
მაგალითი #4: პროგრესიის პირველი წევრი
ჩვენ ვაგრძელებთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანას ამონახსნით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განიხილეთ სხვა ტიპის პრობლემა: მოდით, ორი რიცხვი იყოს მოცემული, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია გაიგოთ, რომელი რიცხვიდან იწყება ეს თანმიმდევრობა.
აქამდე გამოყენებული ფორმულები გულისხმობს 1 და დ-ის ცოდნას. ამ ციფრების შესახებ პრობლემის პირობებში არაფერია ცნობილი. მიუხედავად ამისა, მოდით დავწეროთ გამონათქვამები თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც გვაქვს ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც არის 2 უცნობი სიდიდე (a 1 და d). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.
მითითებული სისტემა ყველაზე ადვილად ამოსახსნელია, თუ გამოვხატავთ 1-ს თითოეულ განტოლებაში და შემდეგ შეადარებთ მიღებულ გამონათქვამებს. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების გათანაბრებისას მივიღებთ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (მოცემულია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).
იცის d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ზემოთ მოცემული 2 გამოთქმა 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
თუ შედეგზე ეჭვი გეპარებათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ იგი, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესის 43-ე წევრი, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.
მაგალითი #5: ჯამი
ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.
მიეცით შემდეგი ფორმის რიცხვითი პროგრესია: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?
კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების წყალობით ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია, ანუ თანმიმდევრულად შევკრიბოთ ყველა რიცხვი, რასაც კომპიუტერი გააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია გონებრივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია და მისი სხვაობა არის 1. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას „გაუსური“ ჰქვია, რადგან მე-18 საუკუნის დასაწყისში ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლის ასაკში, რამდენიმე წამში შეძლო მისი გონებაში გადაჭრა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ დაამატებთ რიცხვების წყვილებს, რომლებიც მდებარეობს მიმდევრობის კიდეებზე, თქვენ ყოველთვის მიიღებთ იგივე შედეგს, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.
მაგალითი #6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითია შემდეგი: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ რა იქნება მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე.
პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების მოძიებას 8-დან 14-მდე და შემდეგ მათი თანმიმდევრობით შეჯამება. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმარისად შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.
იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ 2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ განსხვავებას ამ ჯამებს შორის და დავუმატებთ ტერმინს a m-ს (განსხვავების აღების შემთხვევაში ის გამოვაკლდება S n-ს ჯამს), მაშინ მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.
როგორც ზემოაღნიშნული ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, ნათლად გაიგოთ რისი პოვნა გსურთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გადაწყვეტა.
კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გამოყენების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შეჩერდეს ფორმულა S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და დაყავით ზოგადი დავალება ცალკეულ ქვეამოცნებებად (ამ შემთხვევაში ჯერ იპოვეთ ტერმინები a n და a).
თუ არსებობს ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მოყვანილ მაგალითში. როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული პროგრესია, გაირკვა. როგორც კი გაარკვიე, არც ისე რთულია.
მათემატიკას აქვს თავისი სილამაზე, ისევე როგორც მხატვრობას და პოეზიას.
რუსი მეცნიერი, მექანიკოსი ნ.ე. ჟუკოვსკი
მათემატიკაში შესასვლელ ტესტებში ძალიან გავრცელებული ამოცანებია არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფციასთან დაკავშირებული ამოცანები. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად აუცილებელია არითმეტიკული პროგრესიის თვისებების კარგად ცოდნა და მათი გამოყენების გარკვეული უნარ-ჩვევები.
ჯერ გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და წარმოგიდგინოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.
განმარტება. რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლებშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინადან ერთი და იგივე რიცხვით განსხვავდება, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. ამავე დროს, ნომერიპროგრესირების განსხვავებას უწოდებენ.
არითმეტიკული პროგრესიისთვის, ფორმულები მოქმედებს
, (1)
სად . ფორმულა (1) ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის საერთო ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) არის არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკას და .
გაითვალისწინეთ, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განხილულ პროგრესიას ეწოდება „არითმეტიკა“.
ზემოთ (1) და (2) ფორმულები შეჯამებულია შემდეგნაირად:
(3)
ჯამის გამოსათვლელადპირველი არითმეტიკული პროგრესიის წევრებიფორმულა ჩვეულებრივ გამოიყენება
(5) სად და .
თუ გავითვალისწინებთ ფორმულას (1), მაშინ ფორმულა (5) გულისხმობს
თუ დავნიშნავთ
სად . ვინაიდან , მაშინ ფორმულები (7) და (8) არის შესაბამისი ფორმულების (5) და (6) განზოგადება.
Კერძოდ , ფორმულიდან (5) გამომდინარეობს, რა
სტუდენტების უმეტესობისთვის ნაკლებად ცნობილი მათ შორის არის არითმეტიკული პროგრესიის თვისება, რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემის საშუალებით.
თეორემა.თუ, მაშინ
მტკიცებულება.თუ, მაშინ
თეორემა დადასტურდა.
Მაგალითად , თეორემის გამოყენებით, ამის ჩვენება შეიძლება
გადავიდეთ ამოცანების ამოხსნის ტიპიური მაგალითების განხილვაზე თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“.
მაგალითი 1დაე და . იპოვე .
გამოსავალი.ფორმულის გამოყენებით (6), ვიღებთ. მას შემდეგ, რაც და, მაშინ ან.
მაგალითი 2დავტოვოთ სამჯერ მეტი და როცა გაყოფთ კოეფიციენტზე გამოდის 2 და ნაშთი არის 8. განვსაზღვროთ და.
გამოსავალი.განტოლებათა სისტემა გამომდინარეობს მაგალითის მდგომარეობიდან
ვინაიდან , , და , მაშინ განტოლებათა სისტემიდან (10) ვიღებთ
ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნია და .
მაგალითი 3იპოვეთ თუ და.
გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (5) გვაქვს ან . თუმცა, ქონების (9) გამოყენებით ვიღებთ .
მას შემდეგ, რაც და, მაშინ თანასწორობიდან განტოლება შემდეგნაირადან .
მაგალითი 4იპოვეთ თუ.
გამოსავალი.ფორმულით (5) გვაქვს
თუმცა, თეორემის გამოყენებით, შეიძლება დაწეროთ
აქედან და ფორმულიდან (11) ვიღებთ.
მაგალითი 5. მოცემული: . იპოვე .
გამოსავალი.Მას შემდეგ . თუმცა , ამიტომ .
მაგალითი 6დაე , და . იპოვე .
გამოსავალი.ფორმულის (9) გამოყენებით ვიღებთ. ამიტომ, თუ , მაშინ ან .
მას შემდეგ, რაც და მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა
რომლის ამოხსნაც მივიღებთ და .
განტოლების ბუნებრივი ფესვიარის .
მაგალითი 7იპოვეთ თუ და.
გამოსავალი.ვინაიდან (3) ფორმულის მიხედვით გვაქვს ეს, მაშინ განტოლებათა სისტემა გამომდინარეობს პრობლემის მდგომარეობიდან
თუ გამონათქვამს შევცვლითსისტემის მეორე განტოლებაში, მაშინ მივიღებთ ან .
კვადრატული განტოლების ფესვებიადა .
განვიხილოთ ორი შემთხვევა.
1. მოდით, მაშინ. მას შემდეგ რაც და მერე.
ამ შემთხვევაში, ფორმულის მიხედვით (6) გვაქვს
2. თუ , მაშინ , და
პასუხი: და.
მაგალითი 8ცნობილია, რომ და იპოვე .
გამოსავალი.ფორმულის (5) და მაგალითის მდგომარეობის გათვალისწინებით ვწერთ და .
ეს გულისხმობს განტოლებათა სისტემას
თუ სისტემის პირველ განტოლებას გავამრავლებთ 2-ზე და შემდეგ დავუმატებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ
ფორმულის მიხედვით (9) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, (12)-დან გამომდინარეობსან .
მას შემდეგ რაც და მერე.
პასუხი:.
მაგალითი 9იპოვეთ თუ და.
გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც და პირობით, მაშინ ან .
ფორმულიდან (5) ცნობილია, რა . Მას შემდეგ .
შესაბამისად, აქ გვაქვს წრფივი განტოლებათა სისტემა
აქედან ვიღებთ და . ფორმულის (8) გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ.
მაგალითი 10ამოხსენით განტოლება.
გამოსავალი.მოცემული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ . დავუშვათ, რომ , და . Ამ შემთხვევაში .
(1) ფორმულის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ან .
ვინაიდან, განტოლებას (13) აქვს უნიკალური შესაფერისი ფესვი.
მაგალითი 11.იპოვეთ მაქსიმალური მნიშვნელობა იმ პირობით, რომ და .
გამოსავალი.მას შემდეგ, განხილული არითმეტიკული პროგრესია მცირდება. ამასთან დაკავშირებით, გამოხატულება იღებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, როდესაც ეს არის პროგრესიის მინიმალური დადებითი წევრის რაოდენობა.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (1) და ფაქტს, რომელიც და . მაშინ მივიღებთ ამას ან.
იმიტომ რომ, მაშინ ან . თუმცა ამ უთანასწორობაშიუდიდესი ბუნებრივი რიცხვი, ამიტომაც .
თუ მნიშვნელობები და ჩანაცვლებულია ფორმულაში (6), მაშინ მივიღებთ.
პასუხი:.
მაგალითი 12.იპოვეთ ყველა ორნიშნა ნატურალური რიცხვის ჯამი, რომლებსაც 6-ზე გაყოფისას აქვთ დარჩენილი 5.
გამოსავალი.აღნიშნეთ ყველა ორმნიშვნელოვანი ნატურალური რიცხვის სიმრავლით, ე.ი. . შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ ქვესიმრავლეს, რომელიც შედგება სიმრავლის იმ ელემენტებისაგან (რიცხვებისგან), რომლებიც 6 რიცხვზე გაყოფისას ნაშთი 5-ს იძლევა.
მარტივი ინსტალაცია, რა . ცხადია, რომ ნაკრების ელემენტებიარითმეტიკული პროგრესიის ფორმირება, რომელშიც და .
ნაკრების კარდინალურობის (ელემენტების რაოდენობა) დასადგენად, ვივარაუდოთ, რომ . ვინაიდან და , მაშინ ფორმულა (1) გულისხმობს ან . ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ.
პრობლემების გადაჭრის ზემოთ მოყვანილი მაგალითები არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება იყოს ამომწურავი. ეს სტატია დაწერილია მოცემულ თემაზე ტიპიური პრობლემების გადაჭრის თანამედროვე მეთოდების ანალიზის საფუძველზე. არითმეტიკული პროგრესიასთან დაკავშირებული ამოცანების გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის მიზანშეწონილია მიმართოთ რეკომენდებული ლიტერატურის ჩამონათვალს.
1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ .: სამყარო და განათლება, 2013. - 608გვ.
2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სასკოლო სასწავლო გეგმის დამატებითი განყოფილებები. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216გვ.
3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. - 208გვ.
გაქვთ რაიმე შეკითხვები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
რა არის ფორმულის არსი?
ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერი მისი ნომრით" n" .
რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ პირველი ტერმინი a 1და პროგრესირების განსხვავება დკარგად, ამ პარამეტრების გარეშე, თქვენ არ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ კონკრეტული პროგრესი.
ამ ფორმულის დამახსოვრება (ან მოტყუება) საკმარისი არ არის. საჭიროა მისი არსის ათვისება და ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა პრობლემაში. დიახ, და არ დაგავიწყდეთ საჭირო დროს, დიახ ...) როგორ არ დაივიწყო- Არ ვიცი. მაგრამ როგორ დაიმახსოვროთსაჭიროების შემთხვევაში, მინიშნებას მოგცემთ. მათთვის, ვინც ბოლომდე ითვისებს გაკვეთილს.)
მაშ ასე, მოდით გაუმკლავდეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას.
რა არის ფორმულა ზოგადად - ჩვენ წარმოვიდგენთ.) რა არის არითმეტიკული პროგრესია, წევრი რიცხვი, პროგრესიის სხვაობა - ნათლად არის ნათქვამი წინა გაკვეთილზე. გადახედე თუ არ გაქვს წაკითხული. იქ ყველაფერი მარტივია. რჩება იმის გარკვევა, თუ რა მე-n წევრი.
ზოგადად პროგრესია შეიძლება დაიწეროს რიცხვების სერიით:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- აღნიშნავს არითმეტიკული პროგრესიის პირველ წევრს, a 3- მესამე წევრი a 4- მეოთხე და ასე შემდეგ. თუ ჩვენ გვაინტერესებს მეხუთე ვადა, ვთქვათ, ვმუშაობთ a 5, თუ ას მეოცე - დან 120.
როგორ განვსაზღვროთ ზოგადად ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის წევრი, ს ნებისმიერინომერი? Ძალიან მარტივი! Ამგვარად:
a n
სწორედ ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი. n ასოს ქვეშ ყველა წევრის რიცხვი იმალება ერთდროულად: 1, 2, 3, 4 და ა.შ.
და რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? უბრალოდ იფიქრეთ, ნომრის ნაცვლად, მათ დაწერეს წერილი ...
ეს აღნიშვნა გვაძლევს მძლავრ ინსტრუმენტს არითმეტიკული პროგრესიებით მუშაობისთვის. ნოტაციის გამოყენებით a n, ჩვენ შეგვიძლია სწრაფად ვიპოვოთ ნებისმიერიწევრი ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესია. და მთელი რიგი ამოცანები გადასაჭრელად პროგრესირებაში. შემდგომში ნახავთ.
არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულაში:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი;
ნ- წევრის ნომერი.
ფორმულა აკავშირებს ნებისმიერი პროგრესირების ძირითად პარამეტრებს: a n ; a 1; დდა ნ. ამ პარამეტრების ირგვლივ, ყველა თავსატეხი პროგრესირებს მოძრაობს.
n-ე ტერმინის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პროგრესიის დასაწერად. მაგალითად, პრობლემაში შეიძლება ითქვას, რომ პროგრესი მოცემულია პირობით:
a n = 5 + (n-1) 2.
ასეთმა პრობლემამ შეიძლება დააბნიოს კიდეც... არ არსებობს სერია, განსხვავება... მაგრამ, მდგომარეობის ფორმულასთან შედარება, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ამ პროგრესირებაში a 1 \u003d 5 და d \u003d 2.
და ეს შეიძლება იყოს კიდევ უფრო გაბრაზებული!) თუ ავიღებთ იგივე პირობას: a n = 5 + (n-1) 2,დიახ, გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი? ჩვენ ვიღებთ ახალ ფორმულას:
an = 3 + 2n.
ის მხოლოდ არა ზოგადი, არამედ კონკრეტული პროგრესისთვის. სწორედ აქ დევს ხაფანგი. ზოგი ფიქრობს, რომ პირველი ტერმინი არის სამი. მიუხედავად იმისა, რომ სინამდვილეში პირველი წევრი არის ხუთი... ცოტა დაბლა, ჩვენ ვიმუშავებთ ასეთი შეცვლილი ფორმულით.
პროგრესირების ამოცანებში არის კიდევ ერთი აღნიშვნა - a n+1. ეს არის, თქვენ წარმოიდგინეთ, პროგრესიის "n პლუს პირველი" ტერმინი. მისი მნიშვნელობა მარტივი და უვნებელია.) ეს არის პროგრესიის წევრი, რომლის რიცხვი აღემატება n რიცხვს ერთით. მაგალითად, თუ რაიმე პრობლემაში ვიღებთ a nმერე მეხუთე ვადა a n+1მეექვსე წევრი იქნება. და ა.შ.
ყველაზე ხშირად აღნიშვნა a n+1ხდება რეკურსიულ ფორმულებში. ნუ შეგეშინდებათ ამ საშინელი სიტყვის!) ეს მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინის გამოხატვის საშუალებაა. წინას მეშვეობით.დავუშვათ, რომ ამ ფორმით მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
მეოთხე - მესამემდე, მეხუთე - მეოთხემდე და ა.შ. და როგორ დავთვალოთ დაუყოვნებლივ, ვთქვათ მეოცე ტერმინი, 20? მაგრამ არავითარ შემთხვევაში!) მიუხედავად იმისა, რომ მე-19 ვადა არ არის ცნობილი, მე-20-ის დათვლა შეუძლებელია. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება რეკურსიულ ფორმულასა და n-ე ტერმინის ფორმულას შორის. რეკურსიული მუშაობს მხოლოდ მეშვეობით წინავადა, ხოლო n-ე ტერმინის ფორმულა - მეშვეობით პირველიდა იძლევა საშუალებას გასწვრივიპოვნეთ რომელიმე წევრი მისი ნომრით. არ ვითვლით რიცხვების მთელ სერიას თანმიმდევრობით.
არითმეტიკული პროგრესიის დროს, რეკურსიული ფორმულა ადვილად გადაიქცევა რეგულარულად. დათვალეთ თანმიმდევრული წყვილი, გამოთვალეთ განსხვავება დ,საჭიროების შემთხვევაში იპოვნეთ პირველი ტერმინი a 1დაწერეთ ფორმულა ჩვეულებრივი ფორმით და იმუშავეთ. GIA– ში ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება.
არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენება.
პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ფორმულის პირდაპირ გამოყენებას. წინა გაკვეთილის ბოლოს იყო პრობლემა:
მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.
ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს ყოველგვარი ფორმულების გარეშე, უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. დაამატეთ, დიახ დაამატეთ ... ერთი ან ორი საათი.)
და ფორმულის მიხედვით, გამოსავალს წუთზე ნაკლები დასჭირდება. შეგიძლიათ დრო.) ჩვენ ვწყვეტთ.
პირობები იძლევა ყველა მონაცემს ფორმულის გამოყენებისთვის: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.გასარკვევია რა ნ.Არაა პრობლემა! ჩვენ უნდა ვიპოვოთ 121. აქ ჩვენ ვწერთ:
Გთხოვთ მიაქციოთ ყურადღება! ინდექსის ნაცვლად ნგამოჩნდა კონკრეტული რიცხვი: 121. რაც სავსებით ლოგიკურია.) ჩვენ გვაინტერესებს არითმეტიკული პროგრესიის წევრი. ნომერი ას ოცდაერთი.ეს იქნება ჩვენი ნ.ეს არის ეს მნიშვნელობა ნ= 121 ჩვენ ჩავანაცვლებთ შემდგომ ფორმულაში, ფრჩხილებში. ჩაანაცვლეთ ყველა რიცხვი ფორმულაში და გამოთვალეთ:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
სულ ეს არის. ისევე სწრაფად შეიძლება იპოვო ხუთას მეათე წევრი და ათას მესამე, ნებისმიერი. ნაცვლად ჩვენ დავაყენებთ ნსასურველი რიცხვი ასოს ინდექსში " ა"და ფრჩხილებში და განვიხილავთ.
ნება მომეცით შეგახსენოთ არსი: ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის ვადა მისი ნომრით" n" .
მოდით, პრობლემა უფრო ჭკვიანურად მოვაგვაროთ. ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პრობლემა:
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი (a n), თუ a 17 =-2; d=-0.5.
თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, მე შემოგთავაზებთ პირველ ნაბიჯს. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!Დიახ დიახ. ჩაწერეთ ხელით, პირდაპირ თქვენს ბლოკნოტში:
| a n = a 1 + (n-1)d |
ახლა კი, ფორმულის ასოებს რომ ვუყურებთ, ვხვდებით, რა მონაცემები გვაქვს და რა აკლია? ხელმისაწვდომია d=-0.5,არის მეჩვიდმეტე წევრი... ყველაფერი? თუ ფიქრობთ, რომ ეს ყველაფერია, მაშინ პრობლემას ვერ გადაჭრით, დიახ...
ნომერიც გვაქვს ნ! მდგომარეობაში a 17 =-2დამალული ორი ვარიანტი.ეს არის როგორც მეჩვიდმეტე წევრის მნიშვნელობა (-2) და მისი რიცხვი (17). იმათ. n=17.ეს „პატარა“ ხშირად სრიალდება თავში და მის გარეშე, („პატარა ნივთის“ გარეშე, არა თავის!) პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. მიუხედავად იმისა, რომ ... და ასევე თავის გარეშე.)
ახლა ჩვენ შეგვიძლია სულელურად ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ფორმულაში:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Კი, a 17ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის -2. კარგი, მოდი ჩავდოთ:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
ეს, არსებითად, არის ყველაფერი. რჩება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის გამოხატვა ფორმულიდან და გამოთვლა. თქვენ მიიღებთ პასუხს: a 1 = 6.
ასეთი ტექნიკა - ფორმულის დაწერა და უბრალოდ ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლება - ბევრს ეხმარება მარტივ ამოცანებში. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ფორმულიდან, მაგრამ რა უნდა გააკეთოთ!? ამ უნარის გარეშე მათემატიკის შესწავლა საერთოდ არ შეიძლება ...
კიდევ ერთი პოპულარული პრობლემა:
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა (a n), თუ a 1 =2; a 15 = 12.
Რას ვაკეთებთ? გაგიკვირდებათ, ჩვენ ვწერთ ფორმულას!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
განვიხილოთ ის, რაც ჩვენ ვიცით: a 1 =2; a 15 =12; და (განსაკუთრებული მომენტი!) n=15. თავისუფლად შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ ფორმულაში:
12=2 + (15-1)დ
მოდით გავაკეთოთ არითმეტიკა.)
12=2 + 14დ
დ=10/14 = 5/7
ეს არის სწორი პასუხი.
ასე რომ, ამოცანები a n, a 1და დგადაწყვიტა. რჩება ვისწავლოთ როგორ მოვძებნოთ ნომერი:
რიცხვი 99 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 =12; d=3. იპოვეთ ამ წევრის ნომერი.
ჩვენ ვცვლით ცნობილ რაოდენობებს n-ე წევრის ფორმულაში:
a n = 12 + (n-1) 3
ერთი შეხედვით, აქ არის ორი უცნობი რაოდენობა: a n და n.მაგრამ a nარის პროგრესის ზოგიერთი წევრი რიცხვით ნ... და პროგრესის ეს წევრი ჩვენ ვიცით! ეს არის 99. ჩვენ არ ვიცით მისი ნომერი. n,ასე რომ, ეს რიცხვიც უნდა მოიძებნოს. ჩაანაცვლეთ პროგრესირების ტერმინი 99 ფორმულაში:
99 = 12 + (n-1) 3
გამოვხატავთ ფორმულიდან ნ, ჩვენ ვფიქრობთ. ვიღებთ პასუხს: n=30.
ახლა კი პრობლემა იმავე თემაზე, მაგრამ უფრო კრეატიული):
დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 117 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
მოდი ისევ დავწეროთ ფორმულა. რა, პარამეტრები არ არის? ჰმ... რატომ გვჭირდება თვალები?) ვხედავთ თუ არა პროგრესის პირველ წევრს? Ჩვენ ვხედავთ. ეს არის -3.6. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ: a 1 \u003d -3.6.განსხვავება დშეიძლება დადგინდეს სერიიდან? ადვილია, თუ იცით, რა განსხვავებაა არითმეტიკული პროგრესიის შორის:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
დიახ, ჩვენ გავაკეთეთ უმარტივესი რამ. რჩება უცნობ რიცხვთან გამკლავება ნდა გაუგებარი რიცხვი 117. წინა პრობლემაში მაინც იყო ცნობილი, რომ სწორედ პროგრესიის ტერმინი იყო მოცემული. მაგრამ აქ ჩვენ არც კი ვიცით, რომ ... როგორ ვიყოთ!? აბა, როგორ ვიყოთ, როგორ ვიყოთ... ჩართეთ თქვენი შემოქმედებითი შესაძლებლობები!)
ჩვენ დავუშვათრომ 117 ბოლოს და ბოლოს ჩვენი პროგრესიის წევრია. უცნობი ნომრით ნ. და, ისევე როგორც წინა პრობლემაში, ვცადოთ ამ ნომრის პოვნა. იმათ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (დიახ-დიახ!)) და ვცვლით ჩვენს ნომრებს:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
ისევ გამოვხატავთ ფორმულიდანნ, ვითვლით და ვიღებთ:
უი! ნომერი აღმოჩნდა წილადი!ასთერთნახევარი. და წილადი რიცხვები პროგრესირებაში შეუძლებელია იყოს.რა დასკვნას ვაკეთებთ? დიახ! ნომერი 117 არ არისჩვენი პროგრესის წევრი. ის სადღაც 101-ე და 102-ე წევრს შორისაა. თუ რიცხვი ბუნებრივი აღმოჩნდა, ე.ი. დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ რიცხვი იქნება პროგრესიის წევრი ნაპოვნი რიცხვით. და ჩვენს შემთხვევაში, პრობლემის პასუხი იქნება: არა.
დავალება GIA-ს რეალურ ვერსიაზე დაფუძნებული:
არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:
a n \u003d -4 + 6.8n
იპოვეთ პროგრესიის პირველი და მეათე წევრი.
აქ პროგრესი უჩვეულო გზით არის დაყენებული. რაღაცნაირი ფორმულა... ეს ხდება.) თუმცა ეს ფორმულა (როგორც ზემოთ დავწერე) - ასევე არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!ის ასევე საშუალებას აძლევს იპოვნეთ პროგრესიის რომელიმე წევრი მისი რიცხვით.
ჩვენ ვეძებთ პირველ წევრს. ვინც ფიქრობს. რომ პირველი ტერმინი არის მინუს ოთხი, სასიკვდილოდ ცდება!) რადგან პრობლემაში ფორმულა შეცვლილია. მასში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი დამალული.არაფერი, ჩვენ ახლა ვიპოვით.)
ისევე, როგორც წინა ამოცანებში, ჩვენ ვანაცვლებთ n=1ამ ფორმულაში:
a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Აქ! პირველი წევრი არის 2.8 და არა -4!
ანალოგიურად, ჩვენ ვეძებთ მეათე ტერმინს:
a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
სულ ეს არის.
ახლა კი მათთვის, ვინც წაიკითხა ეს სტრიქონები, დაპირებული ბონუსი.)
დავუშვათ, GIA-ს ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის რთულ საბრძოლო ვითარებაში დაგავიწყდათ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის სასარგებლო ფორმულა. რაღაც მახსენდება, მაგრამ რატომღაც გაურკვეველია... თუ არა ნიქ, ან n+1, ან n-1...Როგორ უნდა იყოს!?
დამშვიდდი! ეს ფორმულა ადვილად გამოსაყვანია. არ არის ძალიან მკაცრი, მაგრამ აუცილებლად საკმარისია ნდობისთვის და სწორი გადაწყვეტილების მისაღებად!) დასკვნისთვის საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობის გახსენება და დროის ორიოდე წუთი. თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ სურათი. სიცხადისთვის.
ვხატავთ რიცხვით ღერძს და ვნიშნავთ მასზე პირველს. მეორე, მესამე და ა.შ. წევრები. და გაითვალისწინეთ განსხვავება დწევრებს შორის. Ამგვარად:
ვუყურებთ სურათს და ვფიქრობთ: რის ტოლია მეორე წევრი? მეორე ერთი დ:
ა 2 =a 1 + 1 დ
რა არის მესამე ვადა? მესამევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს ორი დ.
ა 3 =a 1 + 2 დ
გესმის? მე ტყუილად არ ვსვამ ზოგიერთ სიტყვებს თამამად. კარგი, კიდევ ერთი ნაბიჯი.)
რა არის მეოთხე ტერმინი? მეოთხევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს სამი დ.
ა 4 =a 1 + 3 დ
დროა გავაცნობიეროთ, რომ ხარვეზების რაოდენობა, ე.ი. დ, ყოველთვის ერთით ნაკლები იმ წევრის რაოდენობაზე, რომელსაც ეძებთ ნ. ანუ რიცხვამდე n, ხარვეზების რაოდენობაიქნება n-1.ასე რომ, ფორმულა იქნება (არჩევნები არ არის!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
ზოგადად, ვიზუალური სურათები ძალიან გვეხმარება მათემატიკაში მრავალი პრობლემის გადაჭრაში. ნუ უგულებელყოფთ სურათებს. მაგრამ თუ ძნელია სურათის დახატვა, მაშინ ... მხოლოდ ფორმულა!) გარდა ამისა, n-ე ტერმინის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ დაუკავშიროთ მათემატიკის მთელი მძლავრი არსენალი ამოხსნას - განტოლებები, უტოლობა, სისტემები და ა.შ. სურათს განტოლებაში ვერ ჩასვამ...
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად.
გასათბობად:
1. არითმეტიკული პროგრესიაში (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. იპოვეთ 3.
მინიშნება: სურათის მიხედვით პრობლემა წყდება 20 წამში... ფორმულის მიხედვით უფრო რთული გამოდის. მაგრამ ფორმულის დაუფლებისთვის ის უფრო გამოდგება.) 555-ე ნაწილში ეს პრობლემა მოგვარებულია როგორც სურათით, ასევე ფორმულით. Იგრძენი განსხვავება!)
და ეს აღარ არის დათბობა.)
2. არითმეტიკული პროგრესიით (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. იპოვე 3.
რა, უხალისობა ნახატის დახატვაზე?) მაინც! ფორმულაში ჯობია, კი...
3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ ამ პროგრესიის ას ოცდამეხუთე წევრი.
ამ ამოცანაში პროგრესი მოცემულია განმეორებითი გზით. ოღონდ ას ოცდამეხუთე ტერმინამდე დათვლა... ყველას არ შეუძლია ასეთი სიკეთის გაკეთება.) მაგრამ n-ე ტერმინის ფორმულა ყველას ძალაშია!
4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი წევრის რიცხვი.
5. მე-4 დავალების პირობის მიხედვით იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი და უდიდესი უარყოფითი წევრების ჯამი.
6. მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე და მეთორმეტე წევრთა ნამრავლია -2,5, ხოლო მესამე და მეთერთმეტე წევრთა ჯამი ნულია. იპოვნეთ 14.
არ არის უმარტივესი ამოცანა, დიახ ...) აქ მეთოდი "თითებზე" არ იმუშავებს. თქვენ უნდა დაწეროთ ფორმულები და ამოხსნათ განტოლებები.
პასუხები (არეულად):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
მოხდა? Კარგია!)
ყველაფერი არ გამოდის? Ხდება ხოლმე. სხვათა შორის, ბოლო ამოცანაში არის ერთი დახვეწილი წერტილი. საჭიროა ყურადღება პრობლემის კითხვისას. და ლოგიკა.
ყველა ამ პრობლემის გადაწყვეტა დეტალურად არის განხილული 555-ე განყოფილებაში. მეოთხე ფენტეზის ელემენტი და მეექვსესთვის დახვეწილი მომენტი და ზოგადი მიდგომები ნებისმიერი ამოცანის გადაჭრისთვის მე-n ტერმინის ფორმულისთვის - ყველაფერი დახატულია. Მე გირჩევ.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ელემენტარულიდან საკმაოდ მყარი.
ჯერ შევეხოთ ჯამის მნიშვნელობას და ფორმულას. და მერე გადავწყვეტთ. საკუთარი სიამოვნებისთვის.) ჯამის მნიშვნელობა დაბლავით მარტივია. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა წევრი. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა ზოგავს.
ჯამის ფორმულა მარტივია:
მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.
S n არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველაწევრებთან ერთად პირველი on ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. დაამატე ზუსტად ყველაწევრები ზედიზედ, ხარვეზებისა და ნახტომების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან ხუთიდან მეოცემდე ტერმინების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებული იქნება.)
a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.
a n- ბოლოპროგრესის წევრი. რიგის ბოლო ნომერი. არ არის ძალიან ნაცნობი სახელი, მაგრამ, როდესაც გამოიყენება თანხა, ეს ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.
ნ არის ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.
მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. შევსების კითხვა: როგორი წევრი იქნება ბოლო,თუ მიცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?
დარწმუნებული პასუხისთვის, თქვენ უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და ... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, სასრული, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის პროგრესიაა მოცემული: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების რიგით თუ n-ე წევრის ფორმულით.
ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რიცხვი, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არაფერი, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს გამოვავლენთ.)
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების მაგალითები.
პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის ამოცანების მთავარი სირთულე არის ფორმულის ელემენტების სწორი განსაზღვრა.
დავალებების ავტორები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მხოლოდ მათი გაშიფვრა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.
1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ პირველი 10 წევრის ჯამი.
Ყოჩაღ. მარტივია.) ფორმულის მიხედვით ოდენობის დასადგენად რა უნდა ვიცოდეთ? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო პერიოდის ნომერი ნ.
სად მივიღოთ ბოლო წევრის ნომერი ნ? დიახ, იქ, მდგომარეობაში! ნათქვამია იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა რიცხვი იქნება ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10, მაგრამ სამაგიეროდ ნ-ათი. ისევ და ისევ, ბოლო წევრის რაოდენობა იგივეა, რაც წევრების რაოდენობა.
რჩება გასარკვევი a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე წევრის ფორმულით, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? ეწვიეთ წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე - არაფერი.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
ა 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
S n = S 10.
ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მათი ჩანაცვლება და დათვლა:
სულ ეს არის. პასუხი: 75.
კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:
2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 \u003d 2.3. იპოვეთ პირველი 15 წევრის ჯამი.
ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:
ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:
a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
რჩება ფორმულის ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის და პასუხის გამოთვლა:
პასუხი: 423.
სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nუბრალოდ ჩაანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულა, მივიღებთ:
ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, ვიღებთ ახალ ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამისთვის:
 |
როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო. a n. ზოგიერთ დავალებაში ეს ფორმულა ძალიან გვეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. და თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა ყველანაირად უნდა ახსოვდეს.)
ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):
3. იპოვნეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.
Როგორ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ ვიცხოვროთ!?
მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. რა არის ორნიშნა რიცხვები - ვიცით. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ბოლო რამორნიშნა ნომერი? 99, რა თქმა უნდა! მას სამნიშნა რიცხვები მოჰყვება...
სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც თანაბრად იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინასგან მკაცრად განსხვავდება სამით. თუ ტერმინს ემატება 2, ან 4, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ გაიყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა გროვამდე: d = 3.სასარგებლო!)
ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:
რა რიცხვი იქნება ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... ნომრები - ისინი ყოველთვის მიდიან ზედიზედ და ჩვენი წევრები ხტებიან სამეულს. ისინი არ ემთხვევა.
აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ დახატოთ პროგრესია, რიცხვების მთელი რიგი და თითით დათვალოთ ტერმინების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ფორმულა გამოიყენება ჩვენს პრობლემაზე, მივიღებთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.
ჩვენ ვუყურებთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:
ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის მდგომარეობიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:
a 1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
რჩება ელემენტარული არითმეტიკა. ჩაანაცვლეთ რიცხვები ფორმულაში და გამოთვალეთ:
პასუხი: 1665 წ
სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხები:
4. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
იპოვეთ წევრთა ჯამი მეოცედან ოცდამეოთხემდე.
ვუყურებთ ჯამის ფორმულას და ... ვნერვიულობთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის ჯამს. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.
თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დახატოთ მთელი პროგრესი ზედიზედ და დააყენოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ ... რატომღაც სულელურად და დიდი ხნის განმავლობაში გამოდის, არა?)
არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით დავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის წევრთა ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესიის ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
ეს გვიჩვენებს, რომ იპოვონ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
განიხილება ორივე ჯამი მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. ვიწყებთ?
ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს დავალების მდგომარეობიდან:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34 წევრი. ჩვენ მათ ვითვლით n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით, როგორც ამოცანა 2-ში:
19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5
a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28
აღარაფერი დარჩა. გამოვაკლოთ 19 წევრის ჯამი 34 წევრის ჯამს:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
პასუხი: 262.5
ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადაჭრაში არის ძალიან სასარგებლო ფუნქცია. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი "ყურებით გამონათქვამი" ხშირად ზოგავს ბოროტ თავსატეხებში.)
ამ გაკვეთილზე განვიხილეთ პრობლემები, რომელთა ამოხსნისთვის საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობა. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)
პრაქტიკული რჩევა:
არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის რაიმე ამოცანის გადაჭრისას, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.
მე-n ტერმინის ფორმულა:
ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ, რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.
ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.
5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.
მაგარია?) მინიშნება დამალულია 4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.
6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ პირველი 24 წევრის ჯამი.
არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი თავსატეხები ხშირად გვხვდება GIA-ში.
7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! მე კი გადავწყვიტე, რომ ყველაზე საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მივცე). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს და დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი ყოველი მომდევნო დღეს, ვიდრე წინა დღეს! სანამ ფული ამოიწურება. რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას ბედნიერებას?
რთულია?) მე-2 დავალების დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.
პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.
ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარია. ასოების ინდექსები, პროგრესიის მე-n წევრი, პროგრესიის სხვაობა - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოვა.)
არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.
არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და გასაგები ცნებაა. ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.
მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:
1, 2, 3, 4, 5, ...
შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს ხაზი? რა რიცხვები წავა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ. უფრო შორს წავა.
დავალება გავართულოთ. მე ვაძლევ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:
2, 5, 8, 11, 14, ...
შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერია და სახელი მეშვიდერიგის ნომერი?
თუ გაარკვიეთ, რომ ეს რიცხვი არის 20 - გილოცავთ! თქვენ არა მარტო გრძნობდით არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი პუნქტები,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ არ გესმით, წაიკითხეთ.
ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)
პირველი საკვანძო წერტილი.
არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ შეჩვეულები ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების აგებას და ამ ყველაფერს... და შემდეგ გავაგრძელოთ სერიები, ვიპოვოთ სერიების რიცხვი...
Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებით. მიეჩვიე.)
მეორე საკვანძო წერტილი.
არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.
პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამჯერ მეტია წინაზე. სინამდვილეში, სწორედ ეს მომენტი გვაძლევს შესაძლებლობას დავიჭიროთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.
მესამე საკვანძო წერტილი.
ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Ის აქაა: თითოეული პროგრესირების ნომერი თავის ადგილზეა.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესიაც გაქრება. ეს მხოლოდ რიცხვების სერიაა.
ამაშია მთელი აზრი.
რა თქმა უნდა, ახალ თემაში ჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნები. მათ უნდა იცოდნენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:
ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2,5.
შთააგონებს?) წერილები, რაღაც ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, ადვილი არ იქნებოდა. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინების მნიშვნელობა და აღნიშვნა. ახლა ამ საკითხს დავეუფლებით და დავალებას დავუბრუნდებით.
პირობები და აღნიშვნები.
არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.
ეს მნიშვნელობა ე.წ . მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ ეს კონცეფცია.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესირების რიცხვი მეტიწინა.
ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი მიიღება დასძინაარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.
რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორერიგის ნომრები, აუცილებელია პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხეკარგად და ა.შ.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაშესაძლოა დადებითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესირებას ე.წ იზრდება.Მაგალითად:
8; 13; 18; 23; 28; .....
აქ არის თითოეული ნომერი დასძინადადებითი რიცხვი, +5 წინას.
განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.
Მაგალითად:
8; 3; -2; -7; -12; .....
აქაც ყველა რიცხვი მიიღება დასძინაწინა, მაგრამ უკვე უარყოფით რიცხვს -5.
სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყოვნებლად დადგენა - იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან გვეხმარება გადაწყვეტილების მიღებისას, გამოავლინოს თქვენი შეცდომები და გამოასწოროს ისინი, სანამ გვიან არ არის.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.
როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)
განვსაზღვროთ, მაგალითად, დმზარდი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:
2, 5, 8, 11, 14, ...
ვიღებთ მწკრივის ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. გამოვაკლოთ მას წინა ნომერიიმათ. რვა:
ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის განსხვავება სამია.
შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რაოდენობის პროგრესირება,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.მაინც სადღაც რიგის დასაწყისში, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მხოლოდ პირველივე ნომრის აღება. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არა წინა.)
სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს ვამატებთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსე რიცხვს ვამატებთ სამს, ვიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.
განვსაზღვროთ დკლებადი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:
8; 3; -2; -7; -12; .....
შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, უნდა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.ჩვენ ვირჩევთ პროგრესირების ნებისმიერ რაოდენობას, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი.
სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.
სერიის თითოეულ რიცხვს უწოდებენ არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.
პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით ...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!
როგორ დავწეროთ პროგრესი ზოგადი ფორმით? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად, როგორც წესი, გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსით. წევრები იწერება გამოყოფილი მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1არის პირველი ნომერი a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი სახიფათო. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს სერია მოკლედ ასე: (n).
არის პროგრესები სასრული და უსასრულო.
საბოლოოპროგრესს ჰყავს წევრების შეზღუდული რაოდენობა. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.
დაუსრულებელიპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიის მეშვეობით, ყველა წევრი და ბოლო წერტილი:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
ან ასე, თუ ბევრი წევრია:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
მოკლე ჩანაწერში დამატებით მოგიწევთ მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:
(a n), n = 20
უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.
ახლა უკვე შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.
არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების მაგალითები.
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ზემოთ მოცემულ დავალებას:
1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.
ჩვენ ვთარგმნით დავალებას გასაგებ ენაზე. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.ცნობილი პროგრესირების განსხვავება: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე წევრები.
სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირველი ექვსი წევრი, სადაც მეორე წევრი ხუთია:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + დ
გამონათქვამში ვცვლით a 2 = 5და d=-2.5. ნუ დაგავიწყდებათ მინუსი!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
მესამე ტერმინი მეორეზე ნაკლებია. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, ამიტომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) განვიხილავთ ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:
a 4 = a 3 + დ
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + დ
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + დ
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
ასე რომ, მესამედან მეექვსემდე ვადები დათვლილია. ამან გამოიწვია სერია:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) აქედან გამომდინარე, არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:
a 1 = a 2 - დ
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
სულ ეს არის. დავალების პასუხი:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
გარდა ამისა, მე აღვნიშნავ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვა ნიშნავს მხოლოდ პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრით.პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზები მოგვიანებით იქნება განხილული.
ამ მარტივი ამოცანიდან ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება.
გახსოვდეთ:
თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.
გახსოვს? ეს მარტივი დასკვნა საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ სასკოლო კურსის პრობლემების უმეტესობა ამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს სამი ძირითადი პარამეტრის გარშემო: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველაფერი.
რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) პროგრესიას თან ერთვის უტოლობა, განტოლებები და სხვა. მაგრამ პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.
მაგალითად, განიხილეთ რამდენიმე პოპულარული დავალება ამ თემაზე.
2. საბოლოო არითმეტიკული პროგრესია ჩაწერეთ რიგით თუ n=5, d=0.4 და a 1=3.6.
აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მოცემულია. თქვენ უნდა გახსოვდეთ, როგორ გამოითვლება არითმეტიკული პროგრესიის წევრები, ითვლიან და ჩაწერენ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები ამოცანის პირობაში: "ფინალური" და " n=5იმისათვის, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
რჩება პასუხის ჩაწერა:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
კიდევ ერთი დავალება:
3. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 7 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?
როგორ-როგ... კი, ჩაწერეთ პროგრესი სერიების სახით და ნახეთ, იქნება თუ არა შვიდი! Ჩვენ გვჯერა:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
ახლა აშკარად ჩანს, რომ ჩვენ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.
პასუხი: არა.
და აქ არის დავალება, რომელიც დაფუძნებულია GIA-ს რეალურ ვერსიაზე:
4. არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი იწერება:
...; თხუთმეტი; X; 9; 6; ...
აქ არის სერია დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. ვნახოთ და ვნახოთ რა შეგვიძლია ცოდნაამ ხაზიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?
წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.
მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელიცნობილი ნომრები? Დიახ აქ არის! ეს არის 9 და 6. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! ექვსს ვაკლებთ წინანომერი, ე.ი. ცხრა:
დარჩენილია ცარიელი ადგილები. რომელი რიცხვი იქნება x-ის წინა? თხუთმეტი. ასე რომ x ადვილად იპოვება მარტივი მიმატებით. 15-ს დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა:
Სულ ეს არის. პასუხი: x=12
ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს თავსატეხები არ არის ფორმულებისთვის. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.) ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვ-ასოების სერიას, ვუყურებთ და ვფიქრობთ.
5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.
6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ ტერმინის ნომერი n.
7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. იპოვეთ 3.
8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:
...; 15.6; X; 3.4; ...
იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.
9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანდათან გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.
პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; ოთხი.
ყველაფერი გამოვიდა? მშვენიერია! თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესი უფრო მაღალ დონეზე შემდეგ გაკვეთილებზე.
ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. 555-ე სპეციალურ განყოფილებაში ყველა ეს პრობლემა დაყოფილია ნაწილებად.) და, რა თქმა უნდა, აღწერილია მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც დაუყოვნებლივ ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, როგორც ხელის გულზე!
სხვათა შორის, მატარებლის შესახებ თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომლებზეც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი - წმინდა პროგრესიით, და მეორე - საერთო ნებისმიერი ამოცანისთვის მათემატიკაში და ფიზიკაშიც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დნომრებზე დაწერეთ სერია, ყველაფერი გადაწყდება.
"თითებზე" გამოსავალი კარგად მუშაობს სერიის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ შეკითხვაში მე-9 პრობლემაშია, შეცვალეთ "ხუთი წუთი"ზე "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა კიდევ უფრო გაუარესდება.)
და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ სრულიად აბსურდული გამოთვლების თვალსაზრისით, მაგალითად:
მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.
და რა, 1/6-ს ბევრ, ბევრჯერ დავამატებთ?! შესაძლებელია თუ არა თავის მოკვლა!?
შეგიძლიათ.) თუ არ იცით მარტივი ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
