სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ როგორ ამოხსნათ წილადებიმარტივი ნათელი მაგალითებით. მოდით გავიგოთ რა არის წილადი და განვიხილოთ წილადების ამოხსნა!

შინაარსი წილადებიშეყვანილია მათემატიკის კურსში საშუალო სკოლის მე-6 კლასიდან.

წილადები ასე გამოიყურება: ±X / Y, სადაც Y არის მნიშვნელი, ის გვიჩვენებს რამდენ ნაწილად იყო დაყოფილი მთელი და X არის მრიცხველი, ის გვიჩვენებს, თუ რამდენი ასეთი ნაწილი იქნა აღებული. სიცხადისთვის, ავიღოთ მაგალითი ტორტით:

პირველ შემთხვევაში ნამცხვარი თანაბრად ჭრიდნენ და აიღეს ნახევარი, ე.ი. 1/2. მეორე შემთხვევაში ნამცხვარი გაჭრეს 7 ნაწილად, საიდანაც აიღეს 4 ნაწილი, ე.ი. 4/7.

თუ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფის ნაწილი არ არის მთელი რიცხვი, იწერება წილადად.

მაგალითად, გამოთქმა 4:2 \u003d 2 იძლევა მთელ რიცხვს, მაგრამ 4:7 არ არის ბოლომდე გაყოფილი, ამიტომ ეს გამონათქვამი იწერება წილადად 4/7.

Სხვა სიტყვებით წილადიარის გამონათქვამი, რომელიც აღნიშნავს ორი რიცხვის ან გამონათქვამის გაყოფას და რომელიც იწერება ხაზებით.

თუ მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია, წილადი სწორია, თუ პირიქით, არასწორია. წილადი შეიძლება შეიცავდეს მთელ რიცხვს.

მაგალითად, 5 მთელი 3/4.

ეს ჩანაწერი ნიშნავს, რომ მთელი 6-ის მისაღებად, ოთხის ერთი ნაწილი საკმარისი არ არის.

თუ გინდა გაიხსენე როგორ ამოხსნათ წილადები მე-6 კლასისთვისთქვენ უნდა გესმოდეთ ეს წილადების ამოხსნაძირითადად რამდენიმე მარტივი რამის გაგებაზე მოდის.

• წილადი არსებითად წილადის გამოხატულებაა. ანუ რიცხვითი გამოხატულება იმისა, თუ რა ნაწილია მოცემული მნიშვნელობა ერთი მთლიანიდან. მაგალითად, წილადი 3/5 გამოხატავს, რომ თუ რაღაც მთლიანს გავყოფთ 5 ნაწილად და ამ მთლიანის ნაწილების ან ნაწილების რაოდენობა იქნება სამი.
• წილადი შეიძლება იყოს 1-ზე ნაკლები, მაგალითად 1/2 (ან არსებითად ნახევარი), მაშინ ის სწორია. თუ წილადი 1-ზე მეტია, მაგალითად 3/2 (სამი ნახევარი ან ერთი და ნახევარი), მაშინ ის არასწორია და ამონახსნის გასამარტივებლად უმჯობესია შევარჩიოთ მთელი ნაწილი 3/2= 1 მთელი 1. /2.
• წილადები იგივე რიცხვებია, რაც 1, 3, 10 და თუნდაც 100, მხოლოდ რიცხვები არ არის მთელი, არამედ წილადი. მათთან ერთად შეგიძლიათ შეასრულოთ ყველა იგივე ოპერაცია, როგორც ნომრებით. წილადების დათვლა არ არის უფრო რთული და ამას შემდგომში გაჩვენებთ კონკრეტული მაგალითებით.

როგორ ამოხსნათ წილადები. მაგალითები.

წილადებზე გამოიყენება სხვადასხვა არითმეტიკული მოქმედებები.

წილადის მიყვანა საერთო მნიშვნელთან

მაგალითად, თქვენ უნდა შეადაროთ წილადები 3/4 და 4/5.

პრობლემის გადასაჭრელად ჯერ ვპოულობთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელს, ე.ი. უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ნაშთების გარეშე წილადების თითოეულ მნიშვნელზე

უმცირესი საერთო მნიშვნელი (4.5) = 20

მაშინ ორივე წილადის მნიშვნელი მცირდება ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე

პასუხი: 15/20

წილადების შეკრება და გამოკლება

თუ საჭიროა ორი წილადის ჯამის გამოთვლა, ისინი ჯერ მიიღება საერთო მნიშვნელთან, შემდეგ ემატება მრიცხველები, ხოლო მნიშვნელი უცვლელი რჩება. წილადების სხვაობა განიხილება ანალოგიურად, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მრიცხველები გამოკლებულია.

მაგალითად, თქვენ უნდა იპოვოთ წილადების ჯამი 1/2 და 1/3

ახლა იპოვნეთ განსხვავება წილადებს შორის 1/2 და 1/4

წილადების გამრავლება და გაყოფა

აქ წილადების ამოხსნა მარტივია, აქ ყველაფერი საკმაოდ მარტივია:

• გამრავლება - წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები ერთმანეთში მრავლდება;
• გაყოფა - ჯერ ვიღებთ წილადს, მეორე წილადის საპასუხო, ე.ი. შევცვალოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი, რის შემდეგაც ვამრავლებთ მიღებულ წილადებს.

Მაგალითად:

ამის შესახებ როგორ ამოხსნათ წილადები, ყველა. თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა წილადების ამოხსნარაღაც გაუგებარია მაშინ დაწერეთ კომენტარებში და გიპასუხებთ.

თუ მასწავლებელი ხართ, მაშინ შესაძლებელია ჩამოტვირთოთ პრეზენტაცია დაწყებითი სკოლისთვის (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), რომელიც გამოგადგებათ.

ეს სტატია არის ზოგადი მიმოხილვა წილადებთან მოქმედებებზე. აქ ჩვენ ვაყალიბებთ და ვამართლებთ A/B ზოგადი ფორმის წილადების შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფისა და ხარისხამდე აწევის წესებს, სადაც A და B არის ზოგიერთი რიცხვი, რიცხვითი გამოსახულებები ან გამოსახულებები ცვლადებით. ჩვეულებისამებრ, მასალას მივაწვდით განმარტებით მაგალითებს გადაწყვეტილებების დეტალური აღწერით.

გვერდის ნავიგაცია.

ზოგადი ფორმის რიცხვითი წილადებით მოქმედებების შესრულების წესები

მოდით შევთანხმდეთ გავიგოთ ზოგადი ფორმის წილადები, როგორც წილადები, რომლებშიც მრიცხველი და/ან მნიშვნელი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი არა მხოლოდ ნატურალური რიცხვებით, არამედ სხვა რიცხვებით ან რიცხვითი გამოსახულებებით. სიცხადისთვის, აქ მოცემულია ასეთი წილადების რამდენიმე მაგალითი: .

ჩვენ ვიცით წესები, რომლითაც. იგივე წესებით, შეგიძლიათ შეასრულოთ ოპერაციები ზოგადი ფორმის ფრაქციებით:

წესების დასაბუთება

ზოგადი რიცხვითი წილადებით მოქმედებების შესრულების წესების მართებულობის დასაბუთებლად, შეიძლება დავიწყოთ შემდეგი პუნქტებიდან:

• წილადი ზოლი არსებითად გაყოფის ნიშანია,
• გაყოფა ზოგიერთ არანულოვან რიცხვზე შეიძლება ჩაითვალოს გამრავლებად გამყოფის ორმხრივად (ეს დაუყოვნებლივ ხსნის წილადების გაყოფის წესს),
• რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებები,
• და მისი განზოგადებული გაგება,

ისინი საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ შემდეგი გარდაქმნები, რომლებიც ამართლებს წილადების შეკრების, გამოკლების წესებს იგივე და განსხვავებული მნიშვნელებით, აგრეთვე წილადების გამრავლების წესს:

მაგალითები

მოვიყვანოთ წინა აბზაცში ნასწავლი წესების მიხედვით ზოგადი ფორმის წილადებით მოქმედების შესრულების მაგალითები. დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ ჩვეულებრივ, წილადებთან ოპერაციების შესრულების შემდეგ, მიღებული წილადი მოითხოვს გამარტივებას და წილადის გამარტივების პროცესი ხშირად უფრო რთულია, ვიდრე წინა მოქმედებების შესრულება. ჩვენ არ შევჩერდებით წილადების გამარტივებაზე (შესაბამისი გარდაქმნები განხილულია სტატიაში წილადების ტრანსფორმაცია), რათა არ განვშორდეთ ჩვენთვის საინტერესო თემს.

დავიწყოთ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითებით. დავიწყოთ წილადების და . ცხადია, მნიშვნელები ტოლია. შესაბამისი წესის მიხედვით ვწერთ წილადს, რომლის მრიცხველი ტოლია თავდაპირველი წილადების მრიცხველთა ჯამის და მნიშვნელს იგივე ვტოვებთ, გვაქვს . დამატება შესრულებულია, რჩება მიღებული ფრაქციის გამარტივება: . Ისე, .

შესაძლებელი იყო გადაწყვეტილების სხვაგვარად განხორციელება: ჯერ ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა და შემდეგ შეკრება. ამ მიდგომით გვაქვს .

ახლა გამოვაკლოთ წილადს წილადი . წილადების მნიშვნელები ტოლია, ამიტომ ჩვენ ვმოქმედებთ ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლების წესის მიხედვით:

გადავიდეთ სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითებზე. აქ მთავარი სირთულე მდგომარეობს წილადების საერთო მნიშვნელამდე მიყვანაში. ზოგადი ფორმის ფრაქციებისთვის ეს საკმაოდ ვრცელი თემაა, მას დეტალურად გავაანალიზებთ ცალკეულ სტატიაში. წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე. ამ დროისთვის ჩვენ შემოვიფარგლებით რამდენიმე ზოგადი რეკომენდაციით, რადგან ამ დროისთვის ჩვენ უფრო მეტად გვაინტერესებს ფრაქციებთან მოქმედებების შესრულების ტექნიკა.

ზოგადად, პროცესი ჰგავს ჩვეულებრივი წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირებას. ანუ მნიშვნელები წარმოდგენილია პროდუქტებად, შემდეგ იღებენ ყველა ფაქტორს პირველი წილადის მნიშვნელიდან და მათ ემატება გამოტოვებული ფაქტორები მეორე წილადის მნიშვნელიდან.

როდესაც დამატებული ან გამოკლებული წილადების მნიშვნელებს არ აქვთ საერთო ფაქტორები, მაშინ ლოგიკურია მათი ნამრავლის საერთო მნიშვნელად აღება. ავიღოთ მაგალითი.

ვთქვათ, უნდა დავამატოთ წილადები და 1/2. აქ, როგორც საერთო მნიშვნელი, ლოგიკურია ავიღოთ საწყისი წილადების მნიშვნელების ნამრავლი, ანუ . ამ შემთხვევაში, პირველი წილადის დამატებითი კოეფიციენტი იქნება 2. მრიცხველისა და მნიშვნელის მასზე გამრავლების შემდეგ, წილადი მიიღებს ფორმას. ხოლო მეორე წილადისთვის დამატებითი ფაქტორი არის გამოხატულება. მისი დახმარებით, წილადი 1/2 მცირდება ფორმამდე. რჩება მიღებული წილადების იმავე მნიშვნელების დამატება. აქ არის მთლიანი გადაწყვეტის შეჯამება:

ზოგადი ფორმის წილადების შემთხვევაში აღარ ვსაუბრობთ უმცირეს საერთო მნიშვნელზე, რომელზეც ჩვეულებრივ მცირდება ჩვეულებრივი წილადები. თუმცა ამ საკითხში მაინც სასურველია გარკვეული მინიმალიზმისკენ სწრაფვა. ამით ჩვენ გვინდა ვთქვათ, რომ არ არის აუცილებელი დაუყოვნებლივ მივიღოთ საწყისი წილადების მნიშვნელების ნამრავლი საერთო მნიშვნელად. მაგალითად, სულაც არ არის საჭირო წილადებისა და ნამრავლის საერთო მნიშვნელის აღება . აქ, როგორც საერთო მნიშვნელი, შეგვიძლია ავიღოთ .

ჩვენ მივმართავთ ზოგადი ფორმის წილადების გამრავლების მაგალითებს. გაამრავლე წილადები და . ამ მოქმედების შესრულების წესი გვეუბნება, რომ დავწეროთ წილადი, რომლის მრიცხველი არის საწყისი წილადების მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. Ჩვენ გვაქვს . აქ, როგორც ბევრ სხვა შემთხვევაში, წილადების გამრავლებისას, შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი: .

წილადების გაყოფის წესი საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ გაყოფიდან გამრავლებაზე ორმხრივად. აქ თქვენ უნდა გახსოვდეთ, რომ იმისათვის, რომ მიიღოთ წილადის საპასუხო წილადი, თქვენ უნდა შეცვალოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. აქ მოცემულია ზოგადი წილადების გაყოფიდან გამრავლებაზე გადასვლის მაგალითი: . რჩება გამრავლების შესრულება და მიღებული წილადის გამარტივება (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ირაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაცია):

ამ აბზაცის ინფორმაციის დასასრულს, გავიხსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი ან რიცხვითი გამოხატულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით მნიშვნელით 1, შესაბამისად, რიცხვისა და წილადის შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც შესაბამისი მოქმედების შესრულება. წილადები, რომელთაგან ერთს აქვს ერთეული მნიშვნელში. მაგალითად, გამონათქვამში ჩანაცვლება სამი წილადის ფესვი, ჩვენ გადავალთ წილადის რიცხვზე გამრავლებიდან ორი წილადის გამრავლებამდე: .

ცვლადების შემცველი წილადებით მოქმედებების შესრულება

ამ მუხლის პირველი ნაწილის წესები ასევე ეხება მოქმედებების შესრულებას წილადებით, რომლებიც შეიცავს ცვლადებს. ჩვენ ვამართლებთ პირველ მათგანს - ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესს, დანარჩენი ზუსტად ასე მტკიცდება.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი გამოსახულებისთვის A , C და D (D იდენტურად არ არის ნული) გვაქვს ტოლობა ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების მის დიაპაზონზე.

ავიღოთ ცვლადების რამდენიმე ნაკრები ODZ-დან. მოდით გამონათქვამებმა A, C და D მიიღოს მნიშვნელობები a 0, c 0 და d 0 ცვლადების ამ მნიშვნელობებისთვის. შემდეგ შერჩეული ნაკრებიდან ცვლადების მნიშვნელობების გამოსახულებაში ჩანაცვლება მას აქცევს რიცხვითი წილადების ჯამად (განსხვავებულად) ფორმის იგივე მნიშვნელებით, რაც, რიცხვითი წილადების დამატების (გამოკლების) წესის მიხედვით. იგივე მნიშვნელები, უდრის . მაგრამ არჩეული ნაკრებიდან ცვლადების მნიშვნელობების გამოსახულებაში ჩანაცვლება მას იმავე წილადად აქცევს. ეს ნიშნავს, რომ ODZ-დან ცვლადი მნიშვნელობების შერჩეული ნაკრებისთვის, გამონათქვამების მნიშვნელობები და ტოლია. ცხადია, რომ მითითებული გამონათქვამების მნიშვნელობები ტოლი იქნება ODZ-დან ცვლადების მნიშვნელობების ნებისმიერი სხვა ნაკრებისთვის, რაც ნიშნავს, რომ გამონათქვამები და იდენტურად ტოლია, ანუ დადასტურებული თანასწორობა მართალია. .

წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითები ცვლადებით

როდესაც შეკრებილი ან გამოკლებული წილადების მნიშვნელები ერთნაირია, მაშინ ყველაფერი საკმაოდ მარტივია - მრიცხველები ემატება ან კლდება, მნიშვნელი კი იგივე რჩება. ნათელია, რომ ამის შემდეგ მიღებული ფრაქცია გამარტივებულია საჭიროების შემთხვევაში და შესაძლებელია.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგჯერ წილადების მნიშვნელები განსხვავდება მხოლოდ ერთი შეხედვით, მაგრამ სინამდვილეში ისინი იდენტური თანაბარი გამონათქვამებია, როგორიცაა, მაგალითად, და , ან და . ზოგჯერ საკმარისია საწყისი წილადების გამარტივება ისე, რომ მათი იდენტური მნიშვნელები "გამოჩნდეს".

მაგალითი.

, ბ) , შიგნით) .

გადაწყვეტილება.

ა) უნდა გამოვაკლოთ წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით. შესაბამისი წესით მნიშვნელს იგივე ვტოვებთ და გამოვაკლებთ მრიცხველებს, გვაქვს . მოქმედება შესრულებულია. მაგრამ მაინც შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები მრიცხველში და მოიტანოთ მსგავსი ტერმინები: .

ბ) ცხადია, დამატებული წილადების მნიშვნელები ერთნაირია. ამიტომ ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს იგივე: . დამატება დასრულდა. მაგრამ ადვილი მისახვედრია, რომ მიღებული ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. მართლაც, მიღებული წილადის მრიცხველი შეიძლება შემცირდეს ჯამის კვადრატით, როგორც (lgx + 2) 2 (იხილეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები), ასე რომ ხდება შემდეგი გარდაქმნები: .

გ) წილადები ჯამში აქვს სხვადასხვა მნიშვნელი. მაგრამ, ერთ-ერთი წილადის გარდაქმნით, შეგიძლიათ გააგრძელოთ იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება. ჩვენ ვაჩვენებთ ორ გამოსავალს.

პირველი გზა. პირველი წილადის მნიშვნელის გაანგარიშება შესაძლებელია კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ კი ამ წილადის შემცირება: . ამრიგად, . წილადის მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორება არ არის ცუდი: .

მეორე გზა. მეორე წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება (ეს გამოთქმა არ ქრება x ცვლადის არცერთი მნიშვნელობისთვის DPV-დან თავდაპირველი გამოსახულებისთვის) საშუალებას გაძლევთ მიაღწიოთ ერთდროულად ორ მიზანს: მოიშოროთ ირაციონალურობა და გადახვიდეთ დამატებაზე. წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით. Ჩვენ გვაქვს

პასუხი:

ა) , ბ) , შიგნით) .

ბოლო მაგალითმა მიგვიყვანა წილადების საერთო მნიშვნელთან მიყვანის საკითხამდე. იქ თითქმის შემთხვევით მივედით ერთსა და იმავე მნიშვნელებთან, რაც გავამარტივეთ დამატებული წილადებიდან. მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას, მიზანმიმართულად უნდა მივიყვანოთ წილადები საერთო მნიშვნელამდე. ამისათვის წილადების მნიშვნელები, როგორც წესი, წარმოდგენილია როგორც პროდუქცია, ყველა ფაქტორი აღებულია პირველი წილადის მნიშვნელიდან და მათ ემატება გამოტოვებული ფაქტორები მეორე წილადის მნიშვნელიდან.

მაგალითი.

შეასრულეთ მოქმედებები წილადებთან: ა) , ბ) , გ) .

გადაწყვეტილება.

ა) არაფრის გაკეთება არ არის საჭირო წილადების მნიშვნელებთან. როგორც საერთო მნიშვნელი, ჩვენ ვიღებთ პროდუქტს . ამ შემთხვევაში, პირველი წილადისთვის დამატებითი ფაქტორი არის გამოხატულება, ხოლო მეორე წილადისთვის - რიცხვი 3. ეს დამატებითი ფაქტორები წილადებს მიჰყავს საერთო მნიშვნელამდე, რაც შემდგომში გვაძლევს საშუალებას შევასრულოთ ის მოქმედება, რაც ჩვენ გვჭირდება.

ბ) ამ მაგალითში მნიშვნელები უკვე წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი და არ არის საჭირო დამატებითი ტრანსფორმაციები. ცხადია, მნიშვნელებში ფაქტორები განსხვავდებიან მხოლოდ მაჩვენებლებში, ამიტომ, როგორც საერთო მნიშვნელი, ვიღებთ ყველაზე დიდი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების ნამრავლს, ე.ი. . მაშინ პირველი წილადის დამატებითი კოეფიციენტი იქნება x 4, ხოლო მეორესთვის - ln(x+1) . ახლა ჩვენ მზად ვართ გამოვაკლოთ წილადები:

გ) და ამ შემთხვევაში, დასაწყისისთვის, ვიმუშავებთ წილადების მნიშვნელებთან. კვადრატებისა და ჯამის კვადრატის სხვაობის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ საწყისი ჯამიდან გამოსახულებამდე . ახლა ცხადია, რომ ეს წილადები შეიძლება შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე . ამ მიდგომით, გამოსავალი ასე გამოიყურება:

პასუხი:

ა)

ბ)

in)

წილადების ცვლადებთან გამრავლების მაგალითები

წილადების გამრავლება იძლევა წილადს, რომლის მრიცხველი არის ორიგინალური წილადების მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. აქ, როგორც ხედავთ, ყველაფერი ნაცნობი და მარტივია და შეგვიძლია მხოლოდ დავამატოთ, რომ ამ მოქმედების შედეგად მიღებული წილადი ხშირად მცირდება. ამ შემთხვევებში ის მცირდება, თუ, რა თქმა უნდა, ეს აუცილებელი და გამართლებული არ არის.

ეს სტატია ეხება წილადებზე მოქმედებებს. ჩამოყალიბდება და გამართლდება A B ფორმის წილადების შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის ან გამრავლების წესები, სადაც A და B შეიძლება იყოს რიცხვები, რიცხვითი გამოსახულებები ან გამოსახულებები ცვლადებით. დასასრულს, განხილული იქნება გადაწყვეტილებების მაგალითები დეტალური აღწერილობით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ზოგადი ფორმის რიცხვითი წილადებით მოქმედებების შესრულების წესები

ზოგადი ფორმის რიცხვით წილადებს აქვთ მრიცხველი და მნიშვნელი, რომლებშიც არის ნატურალური რიცხვები ან რიცხვითი გამონათქვამები. თუ განვიხილავთ ისეთ წილადებს, როგორიცაა 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0, 5 ln 3, მაშინ ცხადია, რომ მრიცხველს და მნიშვნელს შეიძლება ჰქონდეს არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ განსხვავებული გეგმის გამოსახულებებიც.

განმარტება 1

არსებობს წესები, რომლითაც მოქმედებები სრულდება ჩვეულებრივი წილადებით. იგი ასევე შესაფერისია ზოგადი ფორმის ფრაქციებისთვის:

• ერთი და იგივე მნიშვნელებით წილადების გამოკლებისას ემატება მხოლოდ მრიცხველები, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება, კერძოდ: a d ± c d \u003d a ± c d, a, c და d ≠ 0 მნიშვნელობები არის რამდენიმე რიცხვი ან რიცხვითი გამონათქვამები.
• სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრების ან გამოკლებისას საჭიროა საერთოზე შემცირება, შემდეგ კი მიღებული წილადების დამატება ან გამოკლება იგივე მაჩვენებლებით. სიტყვასიტყვით ასე გამოიყურება a b ± c d = a p ± c r s , სადაც მნიშვნელობები a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 არის რეალური რიცხვები და b p = d r = ს. როდესაც p = d და r = b, მაშინ a b ± c d = a d ± c d b d.
• წილადების გამრავლებისას მოქმედება სრულდება მრიცხველებით, რის შემდეგაც მნიშვნელებით, შემდეგ ვიღებთ a b c d \u003d a c b d, სადაც a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 მოქმედებს როგორც რეალური რიცხვები.
• წილადის წილადზე გაყოფისას პირველს ვამრავლებთ მეორე ორმხრივად, ანუ ვცვლით მრიცხველს და მნიშვნელს: a b: c d \u003d a b d c.

წესების დასაბუთება

განმარტება 2

არსებობს შემდეგი მათემატიკური პუნქტები, რომლებსაც უნდა დაეყრდნოთ გაანგარიშებისას:

• წილადი ბარი ნიშნავს გაყოფის ნიშანს;
• რიცხვზე გაყოფა განიხილება, როგორც გამრავლება მის ორმხრივად;
• რეალური რიცხვებით მოქმედებათა თვისების გამოყენება;
• წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება და რიცხვითი უტოლობები.

მათი დახმარებით შეგიძლიათ გააკეთოთ ფორმის ტრანსფორმაციები:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

მაგალითები

წინა აბზაცში ითქვა წილადებთან მოქმედებებზე. სწორედ ამის შემდეგ საჭიროა წილადის გამარტივება. ეს თემა დეტალურად იყო განხილული წილადების გარდაქმნის განყოფილებაში.

ჯერ განვიხილოთ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითი.

მაგალითი 1

მოცემულია წილადები 8 2 , 7 და 1 2 , 7 , მაშინ წესის მიხედვით აუცილებელია მრიცხველის დამატება და მნიშვნელის გადაწერა.

გადაწყვეტილება

შემდეგ მივიღებთ 8 + 1 2, 7 ფორმის წილადს. შეკრების შესრულების შემდეგ ვიღებთ 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 ფორმის წილადს. ასე რომ 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

პასუხი: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

გადაჭრის სხვა გზა არსებობს. დასაწყისისთვის, ხდება გადასვლა ჩვეულებრივი წილადის ფორმაზე, რის შემდეგაც ვასრულებთ გამარტივებას. ეს ასე გამოიყურება:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

მაგალითი 2

გამოვაკლოთ 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 წილადები 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

ვინაიდან მოცემულია ტოლი მნიშვნელები, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიანგარიშებთ წილადს იგივე მნიშვნელით. ჩვენ ამას მივიღებთ

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

არსებობს წილადების გამოთვლის მაგალითები სხვადასხვა მნიშვნელით. მნიშვნელოვანი პუნქტია საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. ამის გარეშე ჩვენ ვერ შევძლებთ შემდგომი მოქმედებების შესრულებას წილადებით.

პროცესი დისტანციურად მოგვაგონებს საერთო მნიშვნელამდე შემცირებას. ანუ ხდება მნიშვნელში უმცირესი საერთო გამყოფის ძიება, რის შემდეგაც გამოტოვებული ფაქტორები ემატება წილადებს.

თუ დამატებულ წილადებს არ აქვთ საერთო ფაქტორები, მაშინ მათი პროდუქტი შეიძლება გახდეს ერთი.

მაგალითი 3

განვიხილოთ 2 3 5 + 1 და 1 2 წილადების დამატების მაგალითი.

გადაწყვეტილება

ამ შემთხვევაში, საერთო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. შემდეგ მივიღებთ, რომ 2 · 3 5 + 1. შემდეგ დამატებითი ფაქტორების დაყენებისას გვაქვს, რომ პირველ წილადს ის უდრის 2-ს, ხოლო მეორეს 3 5 + 1-ს. გამრავლების შემდეგ წილადები მცირდება 4 2 3 5 + 1 ფორმამდე. გენერალური მსახიობი 1 2 იქნება 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . ჩვენ ვამატებთ მიღებულ წილადურ გამოსახულებებს და ვიღებთ ამას

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

პასუხი: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

როდესაც საქმე გვაქვს ზოგადი ფორმის წილადებთან, მაშინ უმცირესი საერთო მნიშვნელი, როგორც წესი, ასე არ არის. წამგებიანია მრიცხველთა ნამრავლის მნიშვნელად აღება. ჯერ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი, რომელიც მათ პროდუქტზე ნაკლებია.

მაგალითი 4

განვიხილოთ მაგალითი 1 6 2 1 5 და 1 4 2 3 5, როდესაც მათი ნამრავლი უდრის 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . შემდეგ საერთო მნიშვნელად ვიღებთ 12 · 2 3 5.

განვიხილოთ ზოგადი ფორმის წილადების გამრავლების მაგალითები.

მაგალითი 5

ამისათვის აუცილებელია 2 + 1 6 და 2 · 5 3 · 2 + 1 გამრავლება.

გადაწყვეტილება

წესის დაცვით აუცილებელია მრიცხველთა ნამრავლის გადაწერა და მნიშვნელად ჩაწერა. მივიღებთ, რომ 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. როდესაც წილადი მრავლდება, შეიძლება შემცირდეს მისი გამარტივება. შემდეგ 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

გაყოფიდან გამრავლებაზე გადასვლის წესის გამოყენებით ვიღებთ მოცემულის საპასუხო ნაწილს. ამისათვის მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებულია. მოდით შევხედოთ მაგალითს:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

ამის შემდეგ მათ უნდა შეასრულონ გამრავლება და გაამარტივონ მიღებული ფრაქცია. საჭიროების შემთხვევაში მოიშორეთ მნიშვნელობის ირაციონალურობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

პასუხი: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

ეს პუნქტი გამოიყენება, როდესაც რიცხვი ან რიცხვითი გამოსახულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით 1-ის ტოლი მნიშვნელით, მაშინ ოპერაცია ასეთი წილადით განიხილება ცალკეულ აბზაცად. მაგალითად, გამოხატულება 1 6 7 4 - 1 3 აჩვენებს, რომ 3-ის ფესვი შეიძლება შეიცვალოს სხვა 3 1 გამოსახულებით. მაშინ ეს ჩანაწერი ჰგავს 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 ფორმის ორი წილადის ნამრავლს.

ცვლადების შემცველი წილადებით მოქმედების შესრულება

პირველ სტატიაში განხილული წესები გამოიყენება ცვლადების შემცველი წილადების ოპერაციებისთვის. განვიხილოთ გამოკლების წესი, როდესაც მნიშვნელები იგივეა.

აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ A , C და D (D არ არის ნულის ტოლი) შეიძლება იყოს ნებისმიერი გამონათქვამი, ხოლო ტოლობა A D ± C D = A ± C D არის მისი მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის ექვივალენტური.

აუცილებელია ODZ ცვლადების ნაკრების აღება. შემდეგ A, C, D უნდა აიღოს შესაბამისი მნიშვნელობები a 0, c 0 და d0. A D ± C D ფორმის ჩანაცვლება იწვევს 0 d 0 ± c 0 d 0 ფორმის განსხვავებას, სადაც, დამატების წესის მიხედვით, ვიღებთ ფორმულას a 0 ± c 0 d 0 . თუ ჩავანაცვლებთ A ± C D გამოსახულებას, მაშინ მივიღებთ 0 ± c 0 d 0 ფორმის იგივე წილადს. აქედან დავასკვნათ, რომ არჩეული მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს ODZ, A ± C D და A D ± C D, ითვლება ტოლად.

ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ეს გამონათქვამები ტოლი იქნება, ანუ მათ იდენტურად ტოლი ეწოდება. ეს ნიშნავს, რომ ეს გამოთქმა მიჩნეულია A D ± C D = A ± C D ფორმის დასამტკიცებლად ტოლობად.

წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითები ცვლადებით

როდესაც ერთი და იგივე მნიშვნელებია, საჭიროა მხოლოდ მრიცხველების დამატება ან გამოკლება. ეს ფრაქცია შეიძლება გამარტივდეს. ზოგჯერ თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებიც იდენტურია, მაგრამ ერთი შეხედვით ეს არ არის შესამჩნევი, რადგან გარკვეული გარდაქმნები უნდა შესრულდეს. მაგალითად, x 2 3 x 1 3 + 1 და x 1 3 + 1 2 ან 1 2 sin 2 α და sin a cos a. ყველაზე ხშირად, ორიგინალური გამოხატვის გამარტივებაა საჭირო, რათა დაინახოს იგივე მნიშვნელები.

მაგალითი 6

გამოთვალეთ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

გადაწყვეტილება

1. გამოთვლების გასაკეთებლად, თქვენ უნდა გამოკლოთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები. შემდეგ მივიღებთ, რომ x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. ამის შემდეგ შეგიძლიათ ფრჩხილების გახსნა მსგავსი პირობების შემცირებით. მივიღებთ, რომ x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. ვინაიდან მნიშვნელები იგივეა, რჩება მხოლოდ მრიცხველების დამატება, მნიშვნელის დატოვება: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   დამატება დასრულებულია. ჩანს, რომ ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. მისი მრიცხველი შეიძლება დაიკეცოს ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ მივიღებთ (l g x + 2) 2 შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან. მაშინ მივიღებთ ამას
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. მოცემულია x - 1 x - 1 + x x + 1 ფორმის წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით. ტრანსფორმაციის შემდეგ, შეგიძლიათ გააგრძელოთ დამატება.

განვიხილოთ ორმხრივი გამოსავალი.

პირველი მეთოდი არის ის, რომ პირველი წილადის მნიშვნელი ექვემდებარება ფაქტორიზაციას კვადრატების გამოყენებით და მისი შემდგომი შემცირებით. ვიღებთ ფორმის ნაწილს

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

ასე რომ x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

ამ შემთხვევაში აუცილებელია მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორება.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

მეორე გზა არის მეორე წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის x-1-ზე გამრავლება. ამრიგად, ჩვენ ვიშორებთ ირაციონალურობას და ვაგრძელებთ იმავე მნიშვნელის მქონე წილადის დამატებას. მერე

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

პასუხი: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = ლ გ x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

ბოლო მაგალითში აღმოვაჩინეთ, რომ საერთო მნიშვნელამდე შემცირება გარდაუვალია. ამისათვის თქვენ უნდა გაამარტივოთ წილადები. დასამატებლად ან გამოკლებისთვის, თქვენ ყოველთვის უნდა მოძებნოთ საერთო მნიშვნელი, რომელიც ჰგავს მნიშვნელების ნამრავლს მრიცხველებისთვის დამატებითი ფაქტორების დამატებით.

მაგალითი 7

გამოთვალეთ წილადების მნიშვნელობები: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

გადაწყვეტილება

1. მნიშვნელი არ საჭიროებს რაიმე რთულ გამოთვლებს, ასე რომ თქვენ უნდა აირჩიოთ მათი ნამრავლი ფორმის 3 x 7 + 2 2, შემდეგ პირველ წილადზე x 7 + 2 2 არჩეულია დამატებით კოეფიციენტად, ხოლო 3 მეორეზე. გამრავლებისას მივიღებთ x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. ჩანს, რომ მნიშვნელები წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი, რაც ნიშნავს, რომ დამატებითი გარდაქმნები არასაჭიროა. საერთო მნიშვნელი იქნება x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ფორმის ნამრავლი. აქედან x 4 არის პირველი წილადის დამატებითი ფაქტორი და ln (x + 1) მეორემდე. შემდეგ გამოვაკლებთ და ვიღებთ:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. ეს მაგალითი აზრი აქვს წილადების მნიშვნელებთან მუშაობისას. აუცილებელია გამოვიყენოთ კვადრატებისა და ჯამის კვადრატის სხვაობის ფორმულები, რადგან ისინი შესაძლებელს გახდის გადავიდეს 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ფორმის გამოხატვაზე). ) 2 . ჩანს, რომ წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე. ჩვენ ვიღებთ, რომ cos x - x cos x + x 2.

მაშინ მივიღებთ ამას

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

პასუხი:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

წილადების ცვლადებთან გამრავლების მაგალითები

წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მრიცხველზე და მნიშვნელი მნიშვნელზე. შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემცირების თვისება.

მაგალითი 8

გაამრავლე წილადები x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

გადაწყვეტილება

თქვენ უნდა გააკეთოთ გამრავლება. ჩვენ ამას მივიღებთ

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

რიცხვი 3 გადადის პირველ ადგილზე გამოთვლების მოხერხებულობისთვის და თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი x 2-ით, შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

პასუხი: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x) .

განყოფილება

წილადების გაყოფა გამრავლების მსგავსია, რადგან პირველი წილადი მრავლდება მეორე ორმხრივად. თუ მაგალითად ავიღოთ წილადი x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და გავყოთ 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, მაშინ ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , შემდეგ ჩაანაცვლეთ x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ფორმის ნამრავლით 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x)

ექსპონენტაცია

მოდით გადავიდეთ ზოგადი ფორმის წილადებთან მოქმედების განხილვაზე. თუ არსებობს ხარისხი ბუნებრივი ინდექსით, მაშინ მოქმედება განიხილება, როგორც იდენტური წილადების ნამრავლი. მაგრამ რეკომენდებულია ზოგადი მიდგომის გამოყენება ძალაუფლების თვისებებზე დაყრდნობით. ნებისმიერი გამონათქვამი A და C, სადაც C არ არის ნულის იდენტურად ტოლი და ნებისმიერი რეალური r ODZ-ზე A C r ფორმის გამოხატვისთვის, ტოლობა A Cr = A r Cr არის ჭეშმარიტი. შედეგი არის წილადი გაზრდილი სიმძლავრემდე. მაგალითად, განიხილეთ:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

წილადებთან მოქმედებების თანმიმდევრობა

წილადებზე მოქმედებები ხორციელდება გარკვეული წესების მიხედვით. პრაქტიკაში, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე წილადს ან წილადურ გამოსახულებას. შემდეგ აუცილებელია ყველა მოქმედების შესრულება მკაცრი თანმიმდევრობით: ამაღლება ხარისხზე, გამრავლება, გაყოფა, შემდეგ დამატება და გამოკლება. თუ არის ფრჩხილები, პირველი მოქმედება მათში სრულდება.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x.

გადაწყვეტილება

ვინაიდან ერთი და იგივე მნიშვნელი გვაქვს, მაშინ 1 - x cos x და 1 c o s x, მაგრამ წესის მიხედვით გამოკლება შეუძლებელია, ჯერ ფრჩხილებში მოქმედებები სრულდება, რის შემდეგაც გამრავლება, შემდეგ შეკრება. შემდეგ, გაანგარიშებისას, ჩვენ ვიღებთ ამას

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

გამონათქვამის ორიგინალში ჩანაცვლებისას მივიღებთ, რომ 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. წილადების გამრავლებისას გვაქვს: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . ყველა ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . ახლა თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი. ჩვენ ვიღებთ:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

პასუხი: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ინსტრუქცია

შემცირება საერთო მნიშვნელამდე.

მოცემული იყოს a/b და c/d წილადები.

პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება LCM / b-ზე

მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება LCM/d-ზე

მაგალითი ნაჩვენებია ფიგურაში.

წილადების შესადარებლად მათ უნდა ჰქონდეთ საერთო მნიშვნელი, შემდეგ შეადაროთ მრიცხველები. მაგალითად, 3/4< 4/5, см. .

წილადების შეკრება და გამოკლება.

ორი ჩვეულებრივი წილადის ჯამის საპოვნელად ისინი უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ დავამატოთ მრიცხველები, მნიშვნელი უცვლელია. 1/2 და 1/3 წილადების დამატების მაგალითი ნაჩვენებია ნახატზე.

წილადთა სხვაობაც ანალოგიურად გვხვდება, საერთო მნიშვნელის პოვნის შემდეგ წილადების მრიცხველებს აკლებს, იხილეთ ნახაზი.

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებისას მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება ერთად.

ორი წილადის გასაყოფად საჭიროა მეორე წილადის წილადი, ე.ი. შეცვალეთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ გაამრავლეთ მიღებული წილადები.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

• წილადები მე-5 კლასის მაგალითით
• ძირითადი ამოცანები წილადებისთვის

მოდულიწარმოადგენს გამოხატვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. ფრჩხილები გამოიყენება მოდულის აღსანიშნავად. მათში შემავალი მნიშვნელობები აღებულია მოდულით. მოდულის გამოსავალი არის ფრჩხილების გახსნა გარკვეული წესების მიხედვით და გამოთქმის მნიშვნელობების ნაკრების პოვნა. უმეტეს შემთხვევაში, მოდული გაფართოვდება ისე, რომ ქვემოდულის გამოხატულება იღებს დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობების სერიას, მათ შორის ნულს. მოდულის ამ თვისებებზე დაყრდნობით, თავდაპირველი გამოხატვის შემდგომი განტოლებები და უტოლობა შედგენილია და ამოხსნილია.

ინსტრუქცია

ჩაწერეთ ორიგინალური განტოლება . ამისათვის გახსენით მოდული. განვიხილოთ თითოეული ქვემოდულის გამოხატულება. განსაზღვრეთ მასში შემავალი უცნობი რაოდენობების რა მნიშვნელობით ქრება გამოთქმა მოდულურ ფრჩხილებში.

ამისთვის ქვემოდულის გამოხატულება გავატოლოთ ნულთან და იპოვეთ მიღებული განტოლება. ჩაწერეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები. ანალოგიურად, განსაზღვრეთ უცნობი ცვლადის მნიშვნელობები მოცემულ განტოლებაში თითოეული მოდულისთვის.

დახაზეთ რიცხვითი ხაზი და დახაზეთ მასზე მიღებული მნიშვნელობები. ნულოვანი მოდულში ცვლადის მნიშვნელობები იქნება შეზღუდვები მოდულური განტოლების ამოხსნისას.

თავდაპირველ განტოლებაში, თქვენ უნდა გახსნათ მოდულები, შეცვალოთ ნიშანი ისე, რომ ცვლადის მნიშვნელობები შეესაბამებოდეს რიცხვთა ხაზში გამოსახულ მნიშვნელობებს. ამოხსენით მიღებული განტოლება. შეამოწმეთ ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობა მოდულის მიერ დაყენებული შეზღუდვის წინააღმდეგ. თუ გამოსავალი აკმაყოფილებს პირობას, ეს მართალია. ფესვები, რომლებიც არ აკმაყოფილებს შეზღუდვებს, უნდა განადგურდეს.

ანალოგიურად, გააფართოვეთ ორიგინალური გამოხატვის მოდულები, ნიშნის გათვალისწინებით და გამოთვალეთ მიღებული განტოლების ფესვები. ჩამოწერეთ ყველა მიღებული ფესვი, რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვის უტოლობას.

წილადი რიცხვები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ რაოდენობის ზუსტი მნიშვნელობა სხვადასხვა გზით. წილადებით შეგიძლიათ შეასრულოთ იგივე მათემატიკური მოქმედებები, როგორც მთელი რიცხვებით: გამოკლება, შეკრება, გამრავლება და გაყოფა. ვისწავლოთ როგორ გადაწყვიტოთ წილადები, აუცილებელია გავიხსენოთ მათი ზოგიერთი მახასიათებელი. ისინი დამოკიდებულია ტიპზე წილადები, მთელი ნაწილის არსებობა, საერთო მნიშვნელი. ზოგიერთი არითმეტიკული ოპერაცია შესრულების შემდეგ მოითხოვს შედეგის წილადი ნაწილის შემცირებას.

დაგჭირდებათ

• - კალკულატორი

ინსტრუქცია

ყურადღებით დააკვირდით ციფრებს. თუ წილადებს შორის არის ათწილადები და არარეგულარული რიცხვები, ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია ჯერ ათწილადების მოქმედებების შესრულება და შემდეგ მათი არასწორ ფორმაში გადაყვანა. შეგიძლია თარგმნო წილადებიამ ფორმით თავდაპირველად, ჩაწერეთ მნიშვნელობა ათწილადის შემდეგ მრიცხველში და ჩადეთ 10 მნიშვნელში. საჭიროების შემთხვევაში შეამცირეთ წილადი ზემოთ და ქვემოთ მოცემული რიცხვების ერთ გამყოფზე გაყოფით. წილადები, რომლებშიც მთელი ნაწილი გამოირჩევა, მივყავართ არასწორ ფორმამდე მის მნიშვნელზე გამრავლებით და შედეგზე მრიცხველის მიმატებით. ეს მნიშვნელობა გახდება ახალი მრიცხველი წილადები. მთლიანი ნაწილის ამოღება თავდაპირველად არასწორიდან წილადები, გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. დაწერე მთელი შედეგი წილადები. და გაყოფის დარჩენილი ნაწილი ხდება ახალი მრიცხველი, მნიშვნელი წილადებიხოლო არ იცვლება. მთელი რიცხვის მქონე წილადებისთვის შესაძლებელია მოქმედებების ცალ-ცალკე შესრულება ჯერ მთელი, შემდეგ კი წილადი ნაწილებისთვის. მაგალითად, 1 2/3 და 2 ¾-ის ჯამი შეიძლება გამოითვალოს:
- წილადების არასწორ ფორმაში გადაყვანა:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- ტერმინების მთელი და წილადი ნაწილების ცალკე შეჯამება:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

ხაზის ქვემოთ მნიშვნელობებით იპოვეთ საერთო მნიშვნელი. მაგალითად, 5/9 და 7/12-ისთვის საერთო მნიშვნელი იქნება 36. ამისათვის პირველის მრიცხველი და მნიშვნელი. წილადებითქვენ უნდა გაამრავლოთ 4-ზე (ეს გამოვა 28/36), ხოლო მეორე - 3-ზე (გამოვა 15/36). ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამოთვლები.

თუ თქვენ აპირებთ წილადების ჯამის ან სხვაობის გამოთვლას, ჯერ ჩამოწერეთ ნაპოვნი საერთო მნიშვნელი წრფის ქვეშ. შეასრულეთ საჭირო მოქმედებები მრიცხველებს შორის და დაწერეთ შედეგი ახალი ხაზის ზემოთ წილადები. ამრიგად, ახალი მრიცხველი იქნება საწყისი წილადების სხვაობა ან მრიცხველების ჯამი.

წილადების ნამრავლის გამოსათვლელად გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და დაწერეთ შედეგი საბოლოო მრიცხველის ნაცვლად. წილადები. იგივე გააკეთე მნიშვნელებისთვის. ერთის გაყოფისას წილადებიდაწერეთ ერთი წილადი მეორეზე და შემდეგ გაამრავლეთ მისი მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე. ამავე დროს, პირველის მნიშვნელი წილადებიგამრავლებული შესაბამისად მეორეს მრიცხველზე. ამავდროულად, მეორეს ერთგვარი უკუღმართობა წილადები(გამყოფი). საბოლოო წილადი იქნება ორივე წილადის მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლების შედეგები. მარტივი სწავლა წილადები, პირობით დაწერილი "ოთხსართულიანი" სახით. წილადები. თუ გამოყოფს ორს წილადები, გადაწერეთ ისინი ":" დელიმიტერით და გააგრძელეთ ნორმალური გაყოფა.

საბოლოო შედეგის მისაღებად, შეამცირეთ მიღებული წილადი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფით ერთ მთელ რიცხვზე, რაც შეიძლება ყველაზე დიდი ამ შემთხვევაში. ამ შემთხვევაში, ხაზის ზემოთ და ქვემოთ უნდა იყოს მთელი რიცხვები.

შენიშვნა

არ გააკეთოთ არითმეტიკა წილადებით, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ. აირჩიეთ ისეთი რიცხვი, რომ როდესაც თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე გავამრავლებთ, შედეგად, ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი იყოს.

სასარგებლო რჩევა

წილადი რიცხვების წერისას დივიდენდი იწერება ხაზის ზემოთ. ამ რაოდენობას მოიხსენიებენ, როგორც წილადის მრიცხველს. წრფის ქვეშ იწერება წილადის გამყოფი ან მნიშვნელი. მაგალითად, ერთი და ნახევარი კილოგრამი ბრინჯი წილადის სახით დაიწერება შემდეგნაირად: 1 ½ კგ ბრინჯი. თუ წილადის მნიშვნელი არის 10, მას ეწოდება ათობითი წილადი. ამ შემთხვევაში მრიცხველი (დივიდენდი) იწერება მძიმით გამოყოფილი მთელი ნაწილის მარჯვნივ: 1,5 კგ ბრინჯი. გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ასეთი ფრაქცია ყოველთვის შეიძლება ჩაიწეროს არასწორი ფორმით: 1 2/10 კგ კარტოფილი. გამარტივების მიზნით, შეგიძლიათ შეამციროთ მრიცხველის და მნიშვნელის მნიშვნელობები მათი ერთ მთლიან რიცხვზე გაყოფით. ამ მაგალითში შესაძლებელია გაყოფა 2-ზე, შედეგი არის 1 1/5 კგ კარტოფილი. დარწმუნდით, რომ რიცხვები, რომლებითაც არითმეტიკას აპირებთ, იგივე ფორმაშია.

ინსტრუქცია

ერთხელ დააწკაპუნეთ მენიუს "ჩასმა" პუნქტზე, შემდეგ აირჩიეთ "სიმბოლო". ეს არის ჩასმის ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზა წილადებიტექსტზე. იგი შედგება შემდეგში. მზა პერსონაჟების ნაკრები აქვს წილადები. მათი რაოდენობა, როგორც წესი, მცირეა, მაგრამ თუ თქვენ გჭირდებათ ტექსტში დაწეროთ ½ და არა 1/2, მაშინ ეს ვარიანტი თქვენთვის ყველაზე ოპტიმალური იქნება. გარდა ამისა, წილადის სიმბოლოების რაოდენობა შეიძლება დამოკიდებული იყოს შრიფტზე. მაგალითად, Times New Roman შრიფტისთვის ოდნავ ნაკლები წილადია, ვიდრე იგივე Arial-ისთვის. შეცვალეთ შრიფტები, რომ იპოვოთ საუკეთესო ვარიანტი, როდესაც საქმე ეხება მარტივ გამონათქვამებს.

დააწკაპუნეთ მენიუს პუნქტზე „ჩასმა“ და აირჩიეთ ქვეპუნქტი „ობიექტი“. თქვენ დაინახავთ ფანჯარას, სადაც შეგიძლიათ ჩასვათ შესაძლო ობიექტები. აირჩიეთ მათ შორის Microsoft Equation 3.0. ეს აპლიკაცია დაგეხმარებათ აკრიფოთ წილადები. და არა მარტო წილადები, არამედ რთული მათემატიკური გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს სხვადასხვა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და სხვა ელემენტებს. ორჯერ დააწკაპუნეთ ამ ობიექტზე მაუსის მარცხენა ღილაკით. თქვენ ნახავთ ფანჯარას, რომელიც შეიცავს ბევრ სიმბოლოს.

წილადის დასაბეჭდად აირჩიეთ სიმბოლო, რომელიც წარმოადგენს წილადს ცარიელი მრიცხველით და მნიშვნელით. დააწკაპუნეთ მასზე ერთხელ მაუსის მარცხენა ღილაკით. გამოჩნდება დამატებითი მენიუ, რომელშიც მითითებულია სქემა წილადები. შეიძლება რამდენიმე ვარიანტი იყოს. აირჩიეთ თქვენთვის ყველაზე შესაფერისი და დააწკაპუნეთ მასზე ერთხელ მაუსის მარცხენა ღილაკით.

მოქმედებები წილადებთან. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ მაგალითებს, ყველაფერი დეტალურად არის აღწერილი განმარტებებით. განვიხილავთ ჩვეულებრივ წილადებს. მომავალში ჩვენ გავაანალიზებთ ათწილადებს. გირჩევთ ნახოთ მთლიანად და თანმიმდევრულად ისწავლოთ.

1. წილადთა ჯამი, წილადთა სხვაობა.

წესი: ტოლი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრებისას მიღებულია წილადი - რომლის მნიშვნელი იგივე რჩება, მისი მრიცხველი კი წილადების მრიცხველთა ჯამის ტოლი იქნება.

წესი: ერთნაირი მნიშვნელების მქონე წილადების სხვაობის გამოთვლისას ვიღებთ წილადს - მნიშვნელი იგივე რჩება, მეორის მრიცხველი კი პირველი წილადის მრიცხველს აკლდება.

თანაბარი მნიშვნელების მქონე წილადების ჯამისა და სხვაობის ოფიციალური აღნიშვნა:

მაგალითები (1):

გასაგებია, რომ როდესაც ჩვეულებრივი წილადები მოცემულია, მაშინ ყველაფერი მარტივია, მაგრამ თუ ისინი შერეულია? არაფერი რთული...

ვარიანტი 1- შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ისინი ჩვეულებრივად და შემდეგ გამოთვალოთ ისინი.

ვარიანტი 2- შეგიძლიათ ცალ-ცალკე „იმუშაოთ“ მთელი და წილადი ნაწილებით.

მაგალითები (2):

მეტი:

და თუ მოცემულია ორი შერეული წილადის სხვაობა და პირველი წილადის მრიცხველი ნაკლებია მეორის მრიცხველზე? ის ასევე შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით.

მაგალითები (3):

* გადათარგმნა ჩვეულებრივ წილადებად, გამოთვალა სხვაობა, მიღებული არასათანადო წილადი გადააკეთა შერეულ წილადად.

* დაყავით მთელ და წილად ნაწილებად, მიიღეთ სამი, შემდეგ წარმოადგინეთ 3, როგორც 2-ისა და 1-ის ჯამი, ერთეული წარმოდგენილი იყო როგორც 11/11, შემდეგ იპოვეთ სხვაობა 11/11-სა და 7/11-ს შორის და გამოთვალეთ შედეგი. ზემოაღნიშნული გარდაქმნების მნიშვნელობა არის ერთეულის აღება (არჩევა) და წილადის სახით წარმოდგენა ჩვენთვის საჭირო მნიშვნელით, შემდეგ ამ წილადს უკვე შეგვიძლია გამოვაკლოთ მეორე.

Სხვა მაგალითი:

დასკვნა: არსებობს უნივერსალური მიდგომა - თანაბარი მნიშვნელების მქონე შერეული წილადების ჯამის (განსხვავების) გამოსათვლელად, ისინი ყოველთვის შეიძლება გადაკეთდეს არასწორად, შემდეგ შეასრულოს საჭირო მოქმედება. ამის შემდეგ, თუ შედეგად მივიღებთ არასწორ წილადს, ვთარგმნით შერეულ წილადად.

ზემოთ, ჩვენ გადავხედეთ წილადების მაგალითებს, რომლებსაც აქვთ თანაბარი მნიშვნელები. რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავდება? ამ შემთხვევაში წილადები მცირდება იმავე მნიშვნელზე და შესრულებულია მითითებული მოქმედება. წილადის შესაცვლელად (ტრანსფორმირებისთვის) გამოიყენება წილადის ძირითადი თვისება.

განვიხილოთ მარტივი მაგალითები:

ამ მაგალითებში ჩვენ მაშინვე ვხედავთ, თუ როგორ შეიძლება ერთი წილადის გარდაქმნა ტოლი მნიშვნელების მისაღებად.

თუ ჩვენ გამოვყოფთ წილადების ერთ მნიშვნელამდე შემცირების გზებს, მაშინ ეს დაერქმევა მეთოდი 1.

ანუ, წილადის „შეფასებისას“ დაუყოვნებლივ უნდა გაარკვიოთ იმუშავებს თუ არა ასეთი მიდგომა - ჩვენ ვამოწმებთ, იყო თუ არა უფრო დიდი მნიშვნელი პატარაზე. ხოლო თუ იყოფა, მაშინ ვასრულებთ გარდაქმნას - ვამრავლებთ მრიცხველსა და მნიშვნელს ისე, რომ ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი გახდეს.

ახლა შეხედეთ ამ მაგალითებს:

ეს მიდგომა მათ არ ეხება. არსებობს წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირების სხვა გზები, განიხილეთ ისინი.

მეთოდი SECOND.

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი პირველის მნიშვნელზე:

*ფაქტობრივად, წილადებს მივყავართ ფორმაში, როცა მნიშვნელები ტოლი გახდება. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ მორცხვი ტოლი მნიშვნელებით დამატების წესს.

მაგალითი:

*ამ მეთოდს შეიძლება ვუწოდოთ უნივერსალური და ის ყოველთვის მუშაობს. ერთადერთი უარყოფითი ის არის, რომ გამოთვლების შემდეგ, შეიძლება აღმოჩნდეს ფრაქცია, რომელიც კიდევ უფრო შემცირდება.

განვიხილოთ მაგალითი:

ჩანს, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა 5-ზე:

მეთოდი მესამე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). ეს იქნება საერთო მნიშვნელი. რა არის ეს ნომერი? ეს არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ რიცხვზე.

შეხედე, აქ არის ორი რიცხვი: 3 და 4, არის ბევრი რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე - ეს არის 12, 24, 36, ... მათგან ყველაზე პატარა არის 12. ან 6 და 15, 30, 60, 90 არის იყოფა მათზე .... მინიმუმ 30. კითხვა - როგორ განვსაზღვროთ ეს უმცირესი საერთო ჯერადი?

არსებობს მკაფიო ალგორითმი, მაგრამ ხშირად ეს შეიძლება გაკეთდეს დაუყოვნებლივ, გათვლების გარეშე. მაგალითად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითების მიხედვით (3 და 4, 6 და 15) ალგორითმი არ არის საჭირო, ავიღეთ დიდი რიცხვები (4 და 15), გავაორმაგეთ და დავინახეთ, რომ ისინი იყოფა მეორე რიცხვზე, მაგრამ რიცხვების წყვილი. შეიძლება იყოს სხვები, როგორიცაა 51 და 119.

ალგორითმი. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის დასადგენად, თქვენ უნდა:

- დაშალეთ თითოეული რიცხვი მარტივ ფაქტორებად

- ჩაწერეთ მათგან უფრო დიდის დაშლა

- გაამრავლეთ იგი სხვა რიცხვების გამოტოვებულ ფაქტორებზე

განვიხილოთ მაგალითები:

50 და 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას ერთი ხუთი აკლია

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 და 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას ორი და სამი აკლია

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* ორი მარტივი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია

Კითხვა! და რატომ არის სასარგებლო უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, რადგან შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეორე მეთოდი და უბრალოდ შეამციროთ მიღებული წილადი? დიახ, შეგიძლიათ, მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი. შეხედეთ მნიშვნელს 48 და 72 რიცხვებისთვის, თუ მათ უბრალოდ გაამრავლებთ 48∙72 = 3456. დამეთანხმებით, რომ უფრო სასიამოვნოა უფრო მცირე რიცხვებთან მუშაობა.

განვიხილოთ მაგალითები:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას სამმაგი აკლია

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

და ახლა ჩვენ ვიყენებთ პირველ მეთოდს:

* შეხედეთ განსხვავებას გამოთვლებში, პირველ შემთხვევაში არის მათი მინიმუმი, ხოლო მეორეში ცალკე უნდა იმუშაოთ ფურცელზე და ის წილადიც კი, რომელიც მიიღეთ, უნდა შემცირდეს. LCM-ის პოვნა მნიშვნელოვნად ამარტივებს მუშაობას.

მეტი მაგალითები:

* მეორე მაგალითში უკვე ცხადია, რომ უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა 40-ზე და 60-ზე, არის 120.

სულ! ზოგადი გაანგარიშების ალგორითმი!

- წილადებს ვატანთ ჩვეულებრივებს, თუ არის მთელი რიცხვი.

- წილადებს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან (ჯერ ვნახოთ, იყოფა თუ არა ერთი მნიშვნელი მეორეზე, იყო თუ არა, მაშინ ვამრავლებთ ამ მეორე წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს; თუ ის არ იყოფა, ვიმოქმედებთ მნიშვნელობით. ზემოთ მითითებული სხვა მეთოდები).

- თანაბარი მნიშვნელის მქონე წილადების მიღების შემდეგ, ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს (შეკრება, გამოკლება).

- საჭიროების შემთხვევაში, შედეგს ვამცირებთ.

- საჭიროების შემთხვევაში, აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

2. წილადების ნამრავლი.

წესი მარტივია. წილადების გამრავლებისას მათი მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება:

მაგალითები: