გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "განტოლებათა სისტემები. ჩანაცვლების მეთოდი, შეკრების მეთოდი, ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-9 კლასისთვის
სიმულატორი სახელმძღვანელოებისთვის Atanasyan L.S. სიმულატორი სახელმძღვანელოებისთვის Pogorelova A.V.

უტოლობების სისტემის ამოხსნის გზები

ბიჭებო, ჩვენ შევისწავლეთ განტოლებების სისტემები და ვისწავლეთ მათი ამოხსნა გრაფიკების გამოყენებით. ახლა ვნახოთ, რა სხვა გზები არსებობს სისტემების გადასაჭრელად?
მათი გადაჭრის თითქმის ყველა გზა არ განსხვავდება იმისგან, რაც მე-7 კლასში ვისწავლეთ. ახლა ჩვენ გვჭირდება გარკვეული კორექტირება განტოლებების მიხედვით, რომელთა ამოხსნაც ვისწავლეთ.
ამ გაკვეთილზე აღწერილი ყველა მეთოდის არსი არის სისტემის ჩანაცვლება ექვივალენტური სისტემით უფრო მარტივი ფორმით და ამოხსნის მეთოდით. ბიჭებო, გახსოვდეთ რა არის ეკვივალენტური სისტემა.

ჩანაცვლების მეთოდი

ჩვენთვის კარგად არის ცნობილი ორი ცვლადით განტოლებათა სისტემების ამოხსნის პირველი გზა - ეს არის ჩანაცვლების მეთოდი. ჩვენ გამოვიყენეთ ეს მეთოდი წრფივი განტოლებების ამოსახსნელად. ახლა ვნახოთ, როგორ ამოვიცნოთ განტოლებები ზოგად შემთხვევაში?

როგორ უნდა მოიქცეს გადაწყვეტილების მიღებისას?
1. გამოთქვით ერთი ცვლადი მეორის მიხედვით. განტოლებებში გამოყენებული ყველაზე გავრცელებული ცვლადებია x და y. ერთ-ერთ განტოლებაში ჩვენ გამოვხატავთ ერთ ცვლადს მეორის თვალსაზრისით. რჩევა: ამოხსნის დაწყებამდე კარგად დააკვირდით ორივე განტოლებას და აირჩიეთ ის, სადაც ცვლადის გამოხატვა უფრო ადვილი იქნება.
2. მიღებული გამოხატულება ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში, ნაცვლად გამოხატული ცვლადისა.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება.
4. მიღებული ამონახსნი ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში. თუ რამდენიმე გამოსავალია, მაშინ აუცილებელია მათი თანმიმდევრულად ჩანაცვლება ისე, რომ არ დაკარგოთ რამდენიმე გამოსავალი.
5. შედეგად მიიღებთ $(x;y)$ რიცხვების წყვილს, რომელიც პასუხის სახით უნდა დაიწეროს.

მაგალითი.
ამოხსენით სისტემა ორი ცვლადით ჩანაცვლების მეთოდით: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end (cases)$.

გამოსავალი.
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს განტოლებებს. ცხადია, y-ის გამოხატვა x-ით პირველ განტოლებაში ბევრად უფრო ადვილია.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
ჩაანაცვლეთ პირველი გამოხატულება მეორე განტოლებით $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
ცალ-ცალკე გადავჭრათ მეორე განტოლება:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
მივიღეთ მეორე განტოლების ორი ამონახსნი $x_1=2$ და $x_2=3$.
ზედიზედ ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში.
თუ $x=2$ მაშინ $y=3$. თუ $x=3$ მაშინ $y=2$.
პასუხი იქნება ორი წყვილი რიცხვი.
პასუხი: $(2;3)$ და $(3;2)$.

ალგებრული მიმატების მეთოდი

ეს მეთოდი მე-7 კლასშიც შევისწავლეთ.
ცნობილია, რომ რაციონალური განტოლება ორ ცვლადში შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერ რიცხვზე, გვახსოვდეს, რომ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე. ჩვენ გავამრავლეთ ერთ-ერთი განტოლება გარკვეულ რიცხვზე ისე, რომ როდესაც მიღებული განტოლება სისტემის მეორე განტოლებას დაემატება, ერთ-ერთი ცვლადი განადგურდეს. შემდეგ განტოლება გადაწყდა დარჩენილი ცვლადისთვის.
ეს მეთოდი ჯერ კიდევ მუშაობს, თუმცა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ერთ-ერთი ცვლადის განადგურება. მაგრამ ეს საშუალებას იძლევა მნიშვნელოვნად გაამარტივოს ერთ-ერთი განტოლების ფორმა.

მაგალითი.
ამოხსენით სისტემა: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

გამოსავალი.
გავამრავლოთ პირველი განტოლება 2-ზე.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
გამოვაკლოთ მეორე პირველ განტოლებას.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
როგორც ხედავთ, მიღებული განტოლების ფორმა გაცილებით მარტივია, ვიდრე ორიგინალი. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
გამოვსახოთ x-დან y-მდე მიღებულ განტოლებაში.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end (cases)$.
მივიღე $y=-1$ და $y=-3$.
ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები თანმიმდევრულად პირველ განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ რიცხვების ორ წყვილს: $(1;-1)$ და $(-1;-3)$.
პასუხი: $(1;-1)$ და $(-1;-3)$.

ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი

ჩვენ ასევე შევისწავლეთ ეს მეთოდი, მაგრამ მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მას.

მაგალითი.
ამოხსენით სისტემა: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

გამოსავალი.
მოდით წარმოვიდგინოთ ჩანაცვლება $t=\frac(x)(y)$.
გადავიწეროთ პირველი განტოლება ახალი ცვლადით: $t+\frac(2)(t)=3$.
მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლება:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
მივიღე $t=2$ ან $t=1$. მოდით შემოვიტანოთ საპირისპირო ცვლილება $t=\frac(x)(y)$.
მივიღე: $x=2y$ და $x=y$.

თითოეული გამონათქვამისთვის ორიგინალური სისტემა ცალკე უნდა გადაწყდეს:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
მივიღეთ ოთხი წყვილი ხსნარი.
პასუხი: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

მაგალითი.
ამოხსენით სისტემა: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\ბოლო(შემთხვევები)$.

გამოსავალი.
ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $z=\frac(2)(x-3y)$ და $t=\frac(3)(2x+y)$.
მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური განტოლებები ახალი ცვლადებით:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
გამოვიყენოთ ალგებრული შეკრების მეთოდი:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end (cases)$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
პასუხი: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

ამოცანები განტოლებათა სისტემებზე დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის

სისტემების ამოხსნა:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ დასასრული(შემთხვევები)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

ჯერ გავიხსენოთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნის განმარტება ორ ცვლადში.

განმარტება 1

რიცხვთა წყვილს ეწოდება ამონახსნი განტოლებათა სისტემის ორი ცვლადით, თუ მათი ჩანაცვლებისას განტოლებაში სწორი ტოლობა მიიღება.

შემდეგში განვიხილავთ ორი განტოლების სისტემას ორი ცვლადით.

არსებობს განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ოთხი ძირითადი გზა: ჩანაცვლების მეთოდი, დამატების მეთოდი, გრაფიკული მეთოდი, ცვლადების მართვის ახალი მეთოდი. მოდით შევხედოთ ამ მეთოდებს კონკრეტული მაგალითებით. პირველი სამი მეთოდის გამოყენების პრინციპის აღსაწერად განვიხილავთ ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორი უცნობით:

ჩანაცვლების მეთოდი

ჩანაცვლების მეთოდი ასეთია: აღებულია რომელიმე ამ განტოლებიდან და $y$ გამოიხატება $x$-ით, შემდეგ $y$ ჩანაცვლებულია სისტემის განტოლებაში, საიდანაც გვხვდება $x.$ ცვლადი. ამის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ $y.$ ცვლადი

მაგალითი 1

მოდით გამოვხატოთ მეორე განტოლებიდან $y$ $x$-ით:

ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში, იპოვეთ $x$:

\ \ \

იპოვეთ $y$:

პასუხი: $(-2,\ 3)$

დამატების მეთოდი.

განვიხილოთ ეს მეთოდი მაგალითით:

მაგალითი 2

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end (მასივი) \მარჯვნივ.\]

გავამრავლოთ მეორე განტოლება 3-ზე, მივიღებთ:

\[\ მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

ახლა დავუმატოთ ორივე განტოლება:

\ \ \

იპოვეთ $y$ მეორე განტოლებიდან:

\[-6-y=-9\] \

პასუხი: $(-2,\ 3)$

შენიშვნა 1

გაითვალისწინეთ, რომ ამ მეთოდით აუცილებელია ერთი ან ორივე განტოლების გამრავლება ისეთ რიცხვებზე, რომ ერთ-ერთი ცვლადის დამატებისას „გაქრეს“.

გრაფიკული გზა

გრაფიკული მეთოდი ასეთია: სისტემის ორივე განტოლება გამოსახულია კოორდინატულ სიბრტყეზე და ნაპოვნია მათი გადაკვეთის წერტილი.

მაგალითი 3

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end (მასივი) \მარჯვნივ.\]

მოდით გამოვხატოთ $y$ ორივე განტოლებიდან $x$-ით:

\[\ მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

მოდით დავხატოთ ორივე გრაფიკი ერთ სიბრტყეზე:

სურათი 1.

პასუხი: $(-2,\ 3)$

როგორ შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები

ამ მეთოდს განვიხილავთ შემდეგ მაგალითში:

მაგალითი 4

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(მასივი)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(მაივი) \მარჯვნივ .\]

გამოსავალი.

ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(მაივი) \ მართალია.\]

მოდით, $2^x=u\ (u>0)$ და $3^y=v\ (v>0)$, მივიღებთ:

\[\მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

მიღებულ სისტემას ვხსნით დამატების მეთოდით. დავამატოთ განტოლებები:

\ \

შემდეგ მეორე განტოლებიდან მივიღებთ ამას

ჩანაცვლებას რომ დავუბრუნდეთ, ჩვენ ვიღებთ ექსპონენციალური განტოლებების ახალ სისტემას:

\[\მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ ვიღებთ:

\[\მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც განტოლებათა რაოდენობა უდრის ცვლადების რაოდენობას, ე.ი. m = n. მაშინ სისტემის მატრიცა არის კვადრატი და მის განმსაზღვრელს სისტემის დეტერმინანტი ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი

ზოგადად განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა AX = B არაერთგულოვანი კვადრატული მატრიცით A. ამ შემთხვევაში არსებობს შებრუნებული მატრიცა A -1. გავამრავლოთ ორივე მხარე A -1-ზე მარცხნივ. ჩვენ ვიღებთ A -1 AX \u003d A -1 B. აქედან EX \u003d A -1 B და

ბოლო ტოლობა არის მატრიცული ფორმულა განტოლებათა ასეთი სისტემების ამონახსნების საპოვნელად. ამ ფორმულის გამოყენებას ეწოდება ინვერსიული მატრიცის მეთოდი

მაგალითად, გამოვიყენოთ ეს მეთოდი შემდეგი სისტემის გადასაჭრელად:

;

სისტემის ამოხსნის ბოლოს, შემოწმება შეიძლება მოხდეს ნაპოვნი მნიშვნელობების სისტემის განტოლებებში ჩანაცვლებით. ამ შემთხვევაში ისინი ნამდვილ თანასწორებად უნდა იქცეს.

ამ მაგალითისთვის შევამოწმოთ:

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდი კვადრატული მატრიცით კრამერის ფორმულების გამოყენებით

მოდით n=2:

თუ პირველი განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლებულია 22-ზე, ხოლო მეორის ორივე ნაწილი (-a 12-ზე) და შემდეგ მიღებული განტოლებები დაემატება, მაშინ სისტემიდან გამოვრიცხავთ ცვლადს x 2. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ აღმოფხვრათ ცვლადი x 1 (პირველი განტოლების ორივე მხარის (-a 21-ზე) და მეორის ორივე მხარის 11-ზე გამრავლებით). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

გამოხატულება ფრჩხილებში არის სისტემის განმსაზღვრელი

აღნიშნეთ

შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

შედეგად მიღებული სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის 0, მაშინ სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განსაზღვრული. მისი უნიკალური გადაწყვეტა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულებით:

თუ = 0, a 1 0 და/ან  2 0, მაშინ სისტემის განტოლებები მიიღებს 0*х 1 = 2 და/ან 0*х 1 = 2 ფორმას. ამ შემთხვევაში, სისტემა არათანმიმდევრული იქნება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც = 1 = 2 = 0, სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი (მას ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა), რადგან მიიღებს ფორმას:

კრამერის თეორემა(ჩვენ გამოვტოვებთ მტკიცებულებას). თუ  განტოლებათა სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც განისაზღვრება ფორმულებით:

,

სადაც  j არის A მატრიციდან მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი j-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით.

ზემოთ მოყვანილი ფორმულები ე.წ კრამერის ფორმულები.

მაგალითად, მოდით გამოვიყენოთ ეს მეთოდი სისტემის ამოსახსნელად, რომელიც ადრე იყო ამოხსნილი ინვერსიული მატრიცის მეთოდით:

განხილული მეთოდების ნაკლოვანებები:

1) მნიშვნელოვანი სირთულე (დეტერმინანტების გამოთვლა და შებრუნებული მატრიცის პოვნა);

2) შეზღუდული ფარგლები (კვადრატული მატრიცის მქონე სისტემებისთვის).

რეალური ეკონომიკური სიტუაციები ხშირად მოდელირებულია სისტემებით, რომლებშიც განტოლებებისა და ცვლადების რაოდენობა საკმაოდ მნიშვნელოვანია და უფრო მეტი განტოლებაა ვიდრე ცვლადი, ამიტომ პრაქტიკაში უფრო გავრცელებულია შემდეგი მეთოდი.

გაუსის მეთოდი (ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი)

ეს მეთოდი გამოიყენება m წრფივი განტოლებების სისტემის გადასაჭრელად n ცვლადით ზოგადი გზით. მისი არსი მდგომარეობს გაფართოებულ მატრიცაზე ეკვივალენტური გარდაქმნების სისტემის გამოყენებაში, რომლის დახმარებით განტოლებათა სისტემა გარდაიქმნება ფორმაში, როდესაც მისი ამონახსნები ადვილად მოსაძებნი ხდება (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

ეს არის ისეთი ხედი, რომელშიც სისტემის მატრიცის ზედა მარცხენა ნაწილი იქნება საფეხურიანი მატრიცა. ეს მიიღწევა იმავე ტექნიკის გამოყენებით, რომელიც გამოყენებული იყო საფეხურიანი მატრიცის მისაღებად რანგის დასადგენად. ამ შემთხვევაში, ელემენტარული გარდაქმნები გამოიყენება გაფართოებულ მატრიცაზე, რაც საშუალებას მისცემს მიიღონ განტოლებათა ექვივალენტური სისტემა. ამის შემდეგ, გაძლიერებული მატრიცა მიიღებს ფორმას:

ასეთი მატრიცის მიღებას ე.წ სწორ ხაზზეგაუსის მეთოდი.

ცვლადების მნიშვნელობების პოვნა განტოლებათა შესაბამისი სისტემიდან ეწოდება უკუღმაგაუსის მეთოდი. განვიხილოთ.

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო (m – r) განტოლებები მიიღებს ფორმას:

თუ ერთი რიცხვი მაინც
არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა იქნება მცდარი და მთელი სისტემა არათანმიმდევრული.

ამიტომ, ნებისმიერი ერთობლივი სისტემისთვის
. ამ შემთხვევაში, ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობის ბოლო (m – r) განტოლებები იქნება იდენტობები 0 = 0 და მათი იგნორირება შესაძლებელია სისტემის ამოხსნისას (უბრალოდ გადააგდეთ შესაბამისი რიგები).

ამის შემდეგ სისტემა ასე გამოიყურება:

ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც r=n. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

სისტემის ბოლო განტოლებიდან შეიძლება ცალსახად იპოვოთ x r.

ვიცით x r, შეგიძლიათ ცალსახად გამოხატოთ x r -1 მისგან. შემდეგ წინა განტოლებიდან, ვიცით x r და x r -1 , შეგვიძლია გამოვხატოთ x r -2 და ა.შ. x 1-მდე.

ასე რომ, ამ შემთხვევაში, სისტემა იქნება თანამშრომლობითი და გარკვეული.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც რ ძირითადი(ძირითადი) და დანარჩენი - არასაბაზისო(მცირე, უფასო). სისტემის ბოლო განტოლება ასე გამოიყურება:

ამ განტოლებიდან შეგვიძლია გამოვხატოთ ძირითადი ცვლადი x r არაძირითადი ცვლადების მიხედვით:

ბოლო განტოლება ასე გამოიყურება:

მიღებული გამოსახულების ჩანაცვლებით x r-ის ნაცვლად, შესაძლებელი იქნება ძირითადი ცვლადის x r -1 გამოხატვა არასაბაზისო ცვლადის მეშვეობით. და ა.შ. ცვლადამდე x 1 . სისტემის ამოხსნის მისაღებად, შეგიძლიათ არასაბაზისო ცვლადები გაუტოლოთ თვითნებურ მნიშვნელობებს და შემდეგ გამოთვალოთ ძირითადი ცვლადები მიღებული ფორმულების გამოყენებით. ამრიგად, ამ შემთხვევაში, სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი (აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).

მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლებათა სისტემა:

ძირითადი ცვლადების ნაკრები გამოიძახება საფუძველისისტემები. ასევე დაერქმევა მათთვის კოეფიციენტების სვეტების სიმრავლეს საფუძველი(ძირითადი სვეტები), ან ძირითადი მცირესისტემის მატრიცები. სისტემის ის ამონახსნი, რომელშიც ყველა არაძირითადი ცვლადი ნულის ტოლია, გამოიძახება ძირითადი გადაწყვეტა.

წინა მაგალითში ძირითადი ამოხსნა იქნება (4/5; -17/5; 0; 0) (ცვლადები x 3 და x 4 (c 1 და c 2) დაყენებულია ნულზე, ხოლო ძირითადი ცვლადები x 1 და x 2 გამოითვლება მათი მეშვეობით) . არაძირითადი ამონახსნის მაგალითის მისაცემად აუცილებელია x 3 და x 4 (c 1 და c 2) გავათანაბროთ თვითნებური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი და დანარჩენი ცვლადების გამოთვლა მათ. მაგალითად, c 1 = 1 და c 2 = 0, ვიღებთ არასაბაზისო ამოხსნას - (4/5; -12/5; 1; 0). ჩანაცვლებით, ადვილია იმის დადასტურება, რომ ორივე გამოსავალი სწორია.

ცხადია, არაძირითადი ამონახსნების განუსაზღვრელი სისტემაში შეიძლება იყოს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. რამდენი ძირითადი გამოსავალი შეიძლება იყოს? გარდაქმნილი მატრიცის თითოეული მწკრივი უნდა შეესაბამებოდეს ერთ ძირითად ცვლადს. საერთო ჯამში, პრობლემაში არის n ცვლადი და r ძირითადი რიგები. აქედან გამომდინარე, ძირითადი ცვლადების შესაძლო კომპლექტების რაოდენობა არ შეიძლება აღემატებოდეს კომბინაციების რაოდენობას n-დან 2-მდე. ეს შეიძლება იყოს ნაკლები , რადგან ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სისტემის გადაქცევა ისეთ ფორმაში, რომ ცვლადების ეს კონკრეტული ნაკრები იყოს საფუძველი.

როგორია ეს? ეს ის ფორმაა, როდესაც ამ ცვლადების კოეფიციენტების სვეტებიდან წარმოქმნილი მატრიცა იქნება ეტაპობრივი და ამ შემთხვევაში შედგება რიგებისაგან. იმათ. ამ ცვლადების კოეფიციენტების მატრიცის რანგი უნდა იყოს r-ის ტოლი. ის არ შეიძლება იყოს უფრო დიდი, რადგან სვეტების რაოდენობა უდრის r. თუ აღმოჩნდება, რომ ის r-ზე ნაკლებია, მაშინ ეს მიუთითებს სვეტების ხაზოვან დამოკიდებულებაზე ცვლადებთან. ასეთი სვეტები ვერ შექმნიან საფუძველს.

მოდით განვიხილოთ, რა სხვა ძირითადი გადაწყვეტილებები შეიძლება მოიძებნოს ზემოთ მოცემულ მაგალითში. ამისათვის განიხილეთ ოთხი ცვლადის ყველა შესაძლო კომბინაცია ორ ძირითადთან. ასეთი კომბინაციები იქნება
, და ერთი მათგანი (x 1 და x 2) უკვე განიხილება.

ავიღოთ x 1 და x 3 ცვლადები. იპოვეთ მათთვის კოეფიციენტების მატრიცის რანგი:

ვინაიდან ის უდრის ორს, ისინი შეიძლება იყოს ძირითადი. არასაბაზისო ცვლადებს x 2 და x 4 ვატოლებთ ნულს: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. შემდეგ x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 \u003d 4/5 და x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ძირითად ამოხსნას (4/5; 0; 17/5; 0).

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ ძირითადი ამონახსნები ძირითადი ცვლადებისთვის x 1 და x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 და x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 და x 4 - (0; 0; 9; 4).

ცვლადები x 2 და x 3 ამ მაგალითში არ შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც ძირითადი, რადგან შესაბამისი მატრიცის წოდება უდრის ერთს, ე.ი. ორზე ნაკლები:

.

შესაძლებელია კიდევ ერთი მიდგომა იმის დასადგენად, შესაძლებელია თუ არა საფუძვლის შექმნა ზოგიერთი ცვლადიდან. მაგალითის ამოხსნისას, სისტემის მატრიცის საფეხურზე გადაყვანის შედეგად, მან მიიღო ფორმა:

ცვლადების წყვილის არჩევით შესაძლებელი გახდა ამ მატრიცის შესაბამისი მინორების გამოთვლა. ადვილი მისახვედრია, რომ ყველა წყვილისთვის, გარდა x 2-ისა და x 3-ისა, ისინი არ არიან ნულის ტოლი, ე.ი. სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია. და მხოლოდ სვეტებისთვის x 2 და x 3 ცვლადებით
, რაც მიუთითებს მათ წრფივ დამოკიდებულებაზე.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა

ასე რომ, ბოლო მატრიცის მესამე მწკრივის შესაბამისი განტოლება არათანმიმდევრულია - ამან გამოიწვია არასწორი თანასწორობა 0 = -1, შესაბამისად, ეს სისტემა არათანმიმდევრულია.

ჟორდანი-გაუსის მეთოდი 3 არის გაუსის მეთოდის განვითარება. მისი არსი იმაში მდგომარეობს, რომ სისტემის გაფართოებული მატრიცა გარდაიქმნება ფორმაში, როდესაც ცვლადების კოეფიციენტები ქმნიან იდენტურობის მატრიცას 4 სტრიქონების ან სვეტების პერმუტაციამდე (სად არის სისტემის მატრიცის რანგი).

მოდით გადავჭრათ სისტემა ამ მეთოდის გამოყენებით:

განვიხილოთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

ამ მატრიცაში ჩვენ ვირჩევთ პირადობის ელემენტს. მაგალითად, კოეფიციენტი x 2-ზე მესამე შეზღუდვაში არის 5. დავრწმუნდეთ, რომ ამ სვეტის დარჩენილ რიგებში არის ნულები, ე.ი. გააკეთეთ სვეტი ერთი. გარდაქმნების პროცესში ამას დავარქმევთ სვეტიდასაშვები(წამყვანი, გასაღები). მესამე შეზღუდვა (მესამე სიმებიანი) ასევე დაერქმევა დასაშვები. მე თვითონ ელემენტი, რომელიც დგას დასაშვები მწკრივისა და სვეტის კვეთაზე (აქ ეს არის ერთეული), ასევე ე.წ. დასაშვები.

პირველი ხაზი ახლა შეიცავს კოეფიციენტს (-1). მის ადგილას ნულის მისაღებად, მესამე მწკრივი გავამრავლოთ (-1) და გამოვაკლოთ შედეგი პირველ სტრიქონს (ე.ი. უბრალოდ დაამატეთ პირველი მწკრივი მესამეს).

მეორე სტრიქონი შეიცავს კოეფიციენტს 2. მის ადგილას ნულის მისაღებად მესამე სტრიქონი გავამრავლოთ 2-ზე და გამოვაკლოთ შედეგი პირველ ხაზს.

გარდაქმნების შედეგი ასე გამოიყურება:

ეს მატრიცა ნათლად აჩვენებს, რომ პირველი ორი შეზღუდვიდან ერთი შეიძლება წაიშალოს (შესაბამისი სტრიქონები პროპორციულია, ანუ ეს განტოლებები ერთმანეთისგან მიჰყვება). გადავკვეთოთ მეორე:

ასე რომ, ახალ სისტემაში ორი განტოლებაა. მიიღება ერთი სვეტი (მეორე) და აქ ერთეული მეორე რიგშია. გავიხსენოთ, რომ ძირითადი ცვლადი x 2 შეესატყვისება ახალი სისტემის მეორე განტოლებას.

მოდით ავირჩიოთ ძირითადი ცვლადი პირველი რიგისთვის. ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი ცვლადი x 3-ის გარდა (რადგან x 3-ზე პირველ შეზღუდვას აქვს ნულოვანი კოეფიციენტი, ანუ x 2 და x 3 ცვლადების ნაკრები აქ არ შეიძლება იყოს ძირითადი). შეგიძლიათ აიღოთ პირველი ან მეოთხე ცვლადი.

ავირჩიოთ x ​​1. მაშინ გადამწყვეტი ელემენტი იქნება 5 და ამოხსნის განტოლების ორივე მხარე უნდა გაიყოს ხუთზე, რათა მივიღოთ ერთი პირველი რიგის პირველ სვეტში.

მოდით დავრწმუნდეთ, რომ დანარჩენ სტრიქონებს (ანუ მეორე სტრიქონს) პირველ სვეტში აქვს ნულები. ვინაიდან ახლა მეორე სტრიქონი შეიცავს არა ნულს, არამედ 3-ს, აუცილებელია მეორე სტრიქონიდან გამოვაკლოთ გარდაქმნილი პირველი ხაზის ელემენტები, გამრავლებული 3-ზე:

ერთი ძირითადი ამონახსნის პირდაპირი ამოღება შესაძლებელია მიღებული მატრიციდან არასაბაზისო ცვლადების ნულთან გათანაბრებით, ხოლო ძირითადი ცვლადების თავისუფალ წევრებთან შესაბამის განტოლებებში: (0.8; -3.4; 0; 0). თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ ზოგადი ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს ძირითად ცვლადებს არასაბაზისო ცვლადების საშუალებით: x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. ეს ფორმულები აღწერს სისტემის ამონახსნების მთელ უსასრულო კომპლექტს (x 3 და x 4 თვითნებურ რიცხვებთან ტოლობით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ x 1 და x 2).

გაითვალისწინეთ, რომ ჟორდანია-გაუსის მეთოდის თითოეულ ეტაპზე გარდაქმნების არსი შემდეგი იყო:

1) დასაშვები სტრიქონი იყოფა ნებადართული ელემენტით, რათა მის ადგილას ერთეული მიეღო,

2) ყველა სხვა მწკრივს, გარდაქმნილი გადაწყვეტის ძალა გამრავლებული იმ ელემენტზე, რომელიც იყო მოცემულ ხაზში, ამომრჩეველ სვეტში, გამოაკლოთ ამ ელემენტის ნაცვლად ნულის მისაღებად.

კიდევ ერთხელ განვიხილოთ სისტემის გარდაქმნილი გაძლიერებული მატრიცა:

ამ ჩანაწერიდან ჩანს, რომ A სისტემის მატრიცის რანგია r.

ზემოაღნიშნული მსჯელობის დროს დავადგინეთ, რომ სისტემა თანმიმდევრულია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში
. ეს ნიშნავს, რომ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

ნულოვანი რიგების უგულებელყოფით, მივიღებთ, რომ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის r-ს.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა. წრფივი განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი უდრის ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგს.

შეგახსენებთ, რომ მატრიცის წოდება უდრის მისი ხაზოვანი დამოუკიდებელი რიგების მაქსიმალურ რაოდენობას. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ გაფართოებული მატრიცის რანგი ნაკლებია განტოლებათა რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის განტოლებები წრფივია დამოკიდებული და ერთი ან რამდენიმე მათგანი შეიძლება გამოირიცხოს სისტემიდან (რადგან ისინი წრფივია. სხვების კომბინაცია). განტოლებათა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გაფართოებული მატრიცის რანგი უდრის განტოლებათა რაოდენობას.

უფრო მეტიც, ხაზოვანი განტოლებების თანმიმდევრული სისტემებისთვის შეიძლება ითქვას, რომ თუ მატრიცის რანგი უდრის ცვლადების რაოდენობას, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი და თუ ის ნაკლებია ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემა განუსაზღვრელია და აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

1 მაგალითად, დავუშვათ, რომ მატრიცაში არის ხუთი მწკრივი (მწკრივის საწყისი რიგი არის 12345). ჩვენ უნდა შევცვალოთ მეორე და მეხუთე ხაზი. იმისათვის, რომ მეორე სტრიქონი მოხვდეს მეხუთე ადგილზე, "გადავიდეს" ქვემოთ, ჩვენ თანმიმდევრულად ვცვლით მიმდებარე ხაზებს სამჯერ: მეორე და მესამე (13245), მეორე და მეოთხე (13425) და მეორე და მეხუთე. (13452). შემდეგ, იმისთვის, რომ მეხუთე რიგი მოხვდეს თავდაპირველ მატრიცაში მეორის ადგილზე, საჭიროა მეხუთე რიგის „გადატანა“ მხოლოდ ორი თანმიმდევრული ცვლილებით: მეხუთე და მეოთხე რიგები (13542) და მეხუთე და. მესამე (15342).

2 კომბინაციების რაოდენობა n-დან r-მდე n-ელემენტების სიმრავლის ყველა განსხვავებული r-ელემენტის ქვესიმრავლეების რაოდენობას ეწოდება (განსხვავებული სიმრავლე არის ის, რომელსაც აქვს ელემენტების განსხვავებული შემადგენლობა, შერჩევის თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი). იგი გამოითვლება ფორმულით:
. გაიხსენეთ ნიშნის მნიშვნელობა "!" (ფაქტორული):
0!=1.)

3 ვინაიდან ეს მეთოდი უფრო გავრცელებულია, ვიდრე ადრე განხილული გაუსის მეთოდი და არსებითად წარმოადგენს გაუსის წინა და საპირისპირო მეთოდის ერთობლიობას, მას ასევე ზოგჯერ უწოდებენ გაუსის მეთოდს და გამოტოვებს სახელის პირველ ნაწილს.

4 მაგალითად,
.

5 სისტემის მატრიცაში ერთეულები რომ არ არსებობდეს, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა, მაგალითად, პირველი განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ ორზე და მაშინ პირველი კოეფიციენტი გახდეს ერთიანობა; ან მსგავსი.

ამ მათემატიკური პროგრამით შეგიძლიათ ამოხსნათ ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი ცვლადით ჩანაცვლების მეთოდისა და მიმატების მეთოდის გამოყენებით.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ იძლევა დეტალურ გადაწყვეტას ამოხსნის ეტაპების ახსნა-განმარტებით ორი გზით: ჩანაცვლების მეთოდით და დამატების მეთოდით.

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში იზრდება.

განტოლებათა შეყვანის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) და ა.შ.

განტოლებების შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, განტოლებები ჯერ გამარტივებულია. გამარტივების შემდეგ განტოლებები უნდა იყოს წრფივი, ე.ი. ax+by+c=0 ფორმის ელემენტების რიგის სიზუსტით.
მაგალითად: 6x+1 = 5(x+y)+2

განტოლებებში შეგიძლიათ გამოიყენოთ არა მხოლოდ მთელი რიცხვები, არამედ წილადი რიცხვები ათობითი და ჩვეულებრივი წილადების სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში მთელი და წილადი ნაწილები შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად: 2.1n + 3.5m = 55

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.
მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.
რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &

მაგალითები.
-1&2/3წ + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი ბევრია, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. ჩანაცვლების მეთოდი

ჩანაცვლების მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნის მოქმედებების თანმიმდევრობა:
1) სისტემის ზოგიერთი განტოლებიდან ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის თვალსაზრისით;
2) ამ ცვლადის ნაცვლად შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება სისტემის სხვა განტოლებაში;

$$ \left\( \begin(მასივი)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

გამოვსახოთ პირველი განტოლებიდან y x-მდე: y = 7-3x. გამოთქმა 7-3x y-ის ნაცვლად მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ სისტემას:
$$ \left\( \begin(მასივი)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

ადვილია იმის ჩვენება, რომ პირველ და მეორე სისტემებს აქვთ იგივე გადაწყვეტილებები. მეორე სისტემაში მეორე განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს. მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \მარჯვენა-5x+14-6x=3 \მარჯვენა-11x=-11 \მარჯვენა ისარი x=1 $$

რიცხვის 1-ის ნაცვლად x-ის ნაცვლად y=7-3x განტოლებაში ვპოულობთ y-ის შესაბამის მნიშვნელობას:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

წყვილი (1;4) - სისტემის ამოხსნა

განტოლებათა სისტემები ორ ცვლადში, რომლებსაც აქვთ იგივე ამონახსნები, ეწოდება ექვივალენტი. სისტემები, რომლებსაც არ აქვთ გადაწყვეტილებები, ასევე განიხილება ეკვივალენტურად.

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მიმატებით

განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა - მიმატების მეთოდი. სისტემების ამ გზით ამოხსნისას, ისევე როგორც ჩანაცვლების მეთოდით ამოხსნისას, მოცემული სისტემიდან გადავდივართ მის ეკვივალენტურ სისტემაზე, რომელშიც ერთ-ერთი განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს.

მოქმედებების თანმიმდევრობა წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას დამატების მეთოდით:
1) გაამრავლეთ სისტემის განტოლებები ტერმინებით, შეარჩიეთ ფაქტორები ისე, რომ ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებად იქცეს;
2) ვამატებთ სისტემის განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს ტერმინით;
3) მიღებული განტოლების ამოხსნა ერთი ცვლადით;
4) იპოვეთ მეორე ცვლადის შესაბამისი მნიშვნელობა.

მაგალითი. მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა:
$$ \left\( \begin(მასივი)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

ამ სისტემის განტოლებებში y-ის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებია. განტოლებათა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ტერმინით ვამატებით მივიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით 3x=33. შევცვალოთ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება, მაგალითად პირველი, განტოლებით 3x=33. ავიღოთ სისტემა
$$ \left\( \begin(მასივი)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

3x=33 განტოლებიდან ვხვდებით, რომ x=11. ამ x მნიშვნელობის ჩანაცვლებით განტოლებაში \(x-3y=38 \) მივიღებთ განტოლებას y ცვლადით: \(11-3y=38 \). მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება:
\(-3y=27 \მარჯვენა ისარი y=-9 \)

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი მიმატებით: \(x=11; y=-9 \) ან \((11; -9) \)

ისარგებლეთ იმით, რომ სისტემის განტოლებებში y-ის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებია, ჩვენ მისი ამონახსნები შევამცირეთ ეკვივალენტური სისტემის ამონახსნით (პირველი სიმემის თითოეული განტოლების ორივე ნაწილის შეჯამებით), რომელშიც ერთი განტოლებები შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს.

წიგნები (სახელმძღვანელოები) აბსტრაქტები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და OGE ტესტების ონლაინ თამაშები, თავსატეხები ფუნქციების გრაფიკა რუსული ენის ორთოგრაფიული ლექსიკონი ახალგაზრდული ჟარგონის ლექსიკონი რუსული სკოლების კატალოგი რუსეთის საშუალო სკოლების კატალოგი რუსეთის უნივერსიტეტების კატალოგი ამოცანების ჩამონათვალი

უფრო საიმედო ვიდრე წინა პარაგრაფში განხილული გრაფიკული მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი

ეს მეთოდი მე-7 კლასში გამოვიყენეთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად. მე-7 კლასში შემუშავებული ალგორითმი საკმაოდ შესაფერისია ნებისმიერი ორი განტოლების სისტემების გადასაჭრელად (არ არის აუცილებელი წრფივი) ორი ცვლადით x და y (რა თქმა უნდა, ცვლადები შეიძლება აღვნიშნოთ სხვა ასოებით, რაც არ აქვს მნიშვნელობა). ფაქტობრივად, ეს ალგორითმი გამოვიყენეთ წინა აბზაცში, როდესაც ორნიშნა რიცხვის პრობლემამ გამოიწვია მათემატიკური მოდელი, რომელიც არის განტოლებათა სისტემა. ჩვენ გადავწყვიტეთ ზემოთ განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით (იხ. მაგალითი 1 § 4-დან).

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ალგორითმი ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისას ორი ცვლადით x, y.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან გამოხატეთ y x-ის მიხედვით.
2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.
4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.
5. ჩაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y), რომლებიც ნაპოვნი იქნა, შესაბამისად, მესამე და მეოთხე საფეხურზე.

4) თავის მხრივ შეცვალეთ y-ის ნაპოვნი თითოეული მნიშვნელობა ფორმულაში x \u003d 5 - Zy. თუ მაშინ
5) განტოლებათა მოცემული სისტემის წყვილები (2; 1) და ამონახსნები.

პასუხი: (2; 1);

ალგებრული მიმატების მეთოდი

ეს მეთოდი, ისევე როგორც ჩანაცვლების მეთოდი, თქვენთვის ცნობილია მე-7 კლასის ალგებრის კურსიდან, სადაც იგი გამოიყენებოდა წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოსახსნელად. ჩვენ ვიხსენებთ მეთოდის არსს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 2განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

ჩვენ ვამრავლებთ სისტემის პირველი განტოლების ყველა წევრს 3-ზე და ვტოვებთ მეორე განტოლებას უცვლელად:
გამოვაკლოთ სისტემის მეორე განტოლება მის პირველ განტოლებას:

თავდაპირველი სისტემის ორი განტოლების ალგებრული შეკრების შედეგად მიღებული იქნა განტოლება, რომელიც უფრო მარტივია, ვიდრე მოცემული სისტემის პირველი და მეორე განტოლება. ამ მარტივი განტოლებით ჩვენ გვაქვს უფლება შევცვალოთ მოცემული სისტემის ნებისმიერი განტოლება, მაგალითად, მეორე. შემდეგ განტოლებათა მოცემული სისტემა შეიცვლება უფრო მარტივი სისტემით:

ეს სისტემა შეიძლება გადაწყდეს ჩანაცვლების მეთოდით. მეორე განტოლებიდან ჩვენ ვპოულობთ ამ გამოხატვის y-ის ნაცვლად სისტემის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

რჩება x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში

თუ x = 2 მაშინ

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ სისტემის ორი გამოსავალი:

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი

მე-8 კლასის ალგებრის კურსში ერთი ცვლადით რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ახალი ცვლადის შემოტანის მეთოდს გაეცანით. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ამ მეთოდის არსი იგივეა, მაგრამ ტექნიკური თვალსაზრისით არის რამდენიმე მახასიათებელი, რომელსაც შემდეგ მაგალითებში განვიხილავთ.

მაგალითი 3განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, შემდეგ სისტემის პირველი განტოლება შეიძლება გადავიწეროთ უფრო მარტივი ფორმით: მოდით გადავჭრათ ეს განტოლება t ცვლადის მიმართ:

ორივე ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს პირობას და, შესაბამისად, არის რაციონალური განტოლების ფესვები t ცვლადით. მაგრამ ეს ნიშნავს ან საიდან ვპოულობთ, რომ x = 2y, ან
ამრიგად, ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ, თითქოსდა, სისტემის პირველი განტოლება, რომელიც საკმაოდ რთულია გარეგნულად, ორ მარტივ განტოლებად „სტრატიფიცირება“ გავხადეთ:

x = 2 y; y - 2x.

Რა არის შემდეგი? შემდეგ კი მიღებული ორი მარტივი განტოლებიდან თითოეული თავის მხრივ უნდა განიხილებოდეს სისტემაში განტოლებით x 2 - y 2 \u003d 3, რომელიც ჯერ არ გვახსოვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პრობლემა მცირდება განტოლებების ორი სისტემის ამოხსნით:

აუცილებელია იპოვოთ გადაწყვეტილებები პირველი სისტემისთვის, მეორე სისტემისთვის და პასუხში შევიტანოთ მნიშვნელობების ყველა წყვილი. მოდით ამოხსნათ განტოლების პირველი სისტემა:

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი, მით უმეტეს, რომ აქ ყველაფერი მზად არის: სისტემის მეორე განტოლებაში ვცვლით გამოხატულებას x-ის ნაცვლად 2y. მიიღეთ

x \u003d 2y-დან შესაბამისად ვპოულობთ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. ამრიგად, მიიღება მოცემული სისტემის ორი ამონახსნი: (2; 1) და (-2; -1). გადავწყვიტოთ განტოლების მეორე სისტემა:

ისევ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის მეორე განტოლებაში y-ის ნაცვლად გამოსახულებას ვცვლით 2x. მიიღეთ

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები. ამრიგად, პასუხში მხოლოდ პირველი სისტემის გადაწყვეტილებები უნდა იყოს შეტანილი.

პასუხი: (2; 1); (-2;-1).

ორი ცვლადით ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისას ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი გამოიყენება ორ ვერსიაში. პირველი ვარიანტი: შემოდის ერთი ახალი ცვლადი და გამოიყენება სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებაში. ეს არის ზუსტად ის, რაც მოხდა მე-3 მაგალითში. მეორე ვარიანტი: ორი ახალი ცვლადი შემოტანილია და ერთდროულად გამოიყენება სისტემის ორივე განტოლებაში. ასე იქნება მე-4 მაგალითში.

მაგალითი 4განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ორი ახალი ცვლადი:

ამას მაშინ ვიგებთ

ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ მოცემული სისტემა ბევრად უფრო მარტივი ფორმით, მაგრამ ახალი a და b ცვლადების მიმართ:

ვინაიდან a \u003d 1, შემდეგ განტოლებიდან a + 6 \u003d 2 ვპოულობთ: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. ამრიგად, a და b ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

x და y ცვლადებს დავუბრუნდეთ, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ სისტემის ამოსახსნელად ვიყენებთ ალგებრული მიმატების მეთოდს:

მას შემდეგ 2x + y = 3 განტოლებიდან ვპოულობთ:
ამრიგად, x და y ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

მოდით დავასრულოთ ეს ნაწილი მოკლე, მაგრამ საკმაოდ სერიოზული თეორიული განხილვით. თქვენ უკვე მიიღეთ გარკვეული გამოცდილება სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას: წრფივი, კვადრატული, რაციონალური, ირაციონალური. თქვენ იცით, რომ განტოლების ამოხსნის მთავარი იდეა არის ეტაპობრივი გადასვლა ერთი განტოლებიდან მეორეზე, უფრო მარტივი, მაგრამ მოცემულის ექვივალენტური. წინა განყოფილებაში ჩვენ შემოვიღეთ ეკვივალენტობის ცნება ორი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის. ეს კონცეფცია ასევე გამოიყენება განტოლებათა სისტემებისთვის.

განმარტება.

განტოლების ორ სისტემას x და y ცვლადებით ეწოდება ეკვივალენტური, თუ მათ აქვთ იგივე ამონახსნები ან თუ ორივე სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

სამივე მეთოდი (ჩანაცვლება, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების შემოღება), რომლებიც განვიხილეთ ამ ნაწილში, აბსოლუტურად სწორია ეკვივალენტობის თვალსაზრისით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ მეთოდების გამოყენებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებათა ერთ სისტემას სხვა, უფრო მარტივი, მაგრამ ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური სისტემით.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

ჩვენ უკვე ვისწავლეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ისეთი საერთო და საიმედო გზებით, როგორიცაა ჩანაცვლების მეთოდი, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების დანერგვა. ახლა კი გავიხსენოთ მეთოდი, რომელიც უკვე შეისწავლეთ წინა გაკვეთილზე. ანუ გავიმეოროთ ის, რაც იცით გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის შესახებ.

განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნის მეთოდი არის გრაფიკის აგება თითოეული კონკრეტული განტოლებისთვის, რომლებიც შედის ამ სისტემაში და არის იმავე კოორდინატულ სიბრტყეში, ასევე სადაც საჭიროა ამ გრაფიკების წერტილების კვეთის პოვნა. . განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად არის ამ წერტილის კოორდინატები (x; y).

უნდა გვახსოვდეს, რომ განტოლებათა გრაფიკულ სისტემას ჩვეულებრივ აქვს ან ერთი სწორი ამონახსნი, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ან საერთოდ არ აქვს ამონახსნები.

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ამ გადაწყვეტას. ასე რომ, განტოლებათა სისტემას შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური ამონახსნი, თუ ხაზები, რომლებიც სისტემის განტოლებების გრაფიკებია, იკვეთება. თუ ეს წრფეები პარალელურია, მაშინ განტოლებათა ასეთ სისტემას აბსოლუტურად არ აქვს ამონახსნები. სისტემის განტოლებების პირდაპირი გრაფიკების დამთხვევის შემთხვევაში, ასეთი სისტემა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მრავალი ამონახსნები.

ახლა მოდით შევხედოთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის ალგორითმს 2 უცნობით:

ჯერ პირველ რიგში ვაშენებთ 1-ლი განტოლების გრაფიკს;
მეორე ნაბიჯი იქნება გრაფიკის დახატვა, რომელიც ეხება მეორე განტოლებას;
მესამე, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.
და შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თითოეული გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც იქნება განტოლებების სისტემის ამოხსნა.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად მაგალითით. ჩვენ გვეძლევა გადასაჭრელ განტოლებათა სისტემა:

განტოლებების ამოხსნა

1. ჯერ ავაშენებთ ამ განტოლების გრაფიკს: x2+y2=9.

მაგრამ უნდა აღინიშნოს, რომ განტოლებების ეს გრაფიკი იქნება საწყისზე ორიენტირებული წრე და მისი რადიუსი სამის ტოლი იქნება.

2. ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი იქნება განტოლების გამოსახვა, როგორიცაა: y = x - 3.

ამ შემთხვევაში უნდა ავაგოთ წრფე და ვიპოვოთ წერტილები (0;−3) და (3;0).

3. ვნახოთ რა მივიღეთ. ჩვენ ვხედავთ, რომ წრფე კვეთს წრეს მის ორ წერტილში A და B.

ახლა ჩვენ ვეძებთ ამ წერტილების კოორდინატებს. ჩვენ ვხედავთ, რომ კოორდინატები (3;0) შეესაბამება A წერტილს, ხოლო კოორდინატები (0;−3) - B წერტილს.

და რას მივიღებთ შედეგად?

სწორი წრფის წრის გადაკვეთაზე მიღებული რიცხვები (3;0) და (0;−3) სწორედ სისტემის ორივე განტოლების ამონახსნებია. და აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს რიცხვები ასევე არის ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნები.

ანუ ამ ამოხსნის პასუხი არის რიცხვები: (3;0) და (0;−3).