ჩვენ ჩამოვთვლით ელემენტარული ფუნქციების ინტეგრალებს, რომლებსაც ზოგჯერ ტაბულურს უწოდებენ:

ნებისმიერი ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა შეიძლება დადასტურდეს მარჯვენა მხარის წარმოებულის აღებით (შედეგად მიიღება ინტეგრანი).

ინტეგრაციის მეთოდები

მოდით განვიხილოთ ინტეგრაციის რამდენიმე ძირითადი მეთოდი. Ესენი მოიცავს:

1. დაშლის მეთოდი(პირდაპირი ინტეგრაცია).

ეს მეთოდი ეფუძნება ცხრილის ინტეგრალების პირდაპირ გამოყენებას, ასევე განუსაზღვრელი ინტეგრალის მე-4 და მე-5 თვისებების გამოყენებას (ანუ მუდმივი ფაქტორის ამოღება ფრჩხილიდან და/ან ინტეგრადის წარმოდგენა ფუნქციების ჯამად - ინტეგრანტის გაფართოება ტერმინებად).

მაგალითი 1მაგალითად, (dx/x 4)-ის საპოვნელად შეგიძლიათ პირდაპირ გამოიყენოთ ცხრილის ინტეგრალი x n dx-ისთვის. მართლაც, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2საპოვნელად ვიყენებთ იგივე ინტეგრალს:

მაგალითი 3რომ იპოვოთ თქვენ უნდა აიღოთ

მაგალითი 4საპოვნელად, ჩვენ წარმოვადგენთ ინტეგრანდს ფორმაში და გამოიყენეთ ცხრილის ინტეგრალი ექსპონენციალური ფუნქციისთვის:

განვიხილოთ მუდმივი ფაქტორის ბრეკეტინგის გამოყენება.

მაგალითი 5მოდი ვიპოვოთ, მაგალითად . ამის გათვალისწინებით მივიღებთ

მაგალითი 6მოდი ვიპოვოთ. Იმდენად, რამდენადაც , ვიყენებთ ცხრილის ინტეგრალს მიიღეთ

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები და ცხრილის ინტეგრალები შემდეგ ორ მაგალითში:

მაგალითი 7

(ჩვენ ვიყენებთ და );

მაგალითი 8

(ჩვენ ვიყენებთ და ).

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითებს, რომლებიც იყენებენ ჯამის ინტეგრალს.

მაგალითი 9მაგალითად, ვიპოვოთ
. მრიცხველში გაფართოების მეთოდის გამოსაყენებლად ვიყენებთ ჯამის კუბის ფორმულას , შემდეგ კი მიღებულ მრავალწევრს ვყოფთ ტერმინებზე მნიშვნელზე.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

უნდა აღინიშნოს, რომ ამოხსნის ბოლოს იწერება ერთი საერთო მუდმივი C (და არა ცალკეული ყოველი წევრის ინტეგრირებისას). სამომავლოდ ასევე შემოთავაზებულია მუდმივების გამოტოვება ცალკეული ტერმინების ინტეგრაციიდან ამოხსნის პროცესში, სანამ გამონათქვამი შეიცავს მინიმუმ ერთ განუსაზღვრელ ინტეგრალს (ერთ მუდმივას დავწერთ ამოხსნის ბოლოს).

მაგალითი 10მოდი ვიპოვოთ . ამ პრობლემის გადასაჭრელად, მრიცხველის ფაქტორიზირებას ვაკეთებთ (ამის შემდეგ შეგვიძლია შევამციროთ მნიშვნელი).

მაგალითი 11.მოდი ვიპოვოთ. აქ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტრიგონომეტრიული იდენტობები.

ზოგჯერ გამონათქვამის ტერმინებად დასაშლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ უფრო რთული ტექნიკა.

მაგალითი 12.მოდი ვიპოვოთ . ინტეგრანდში ვირჩევთ წილადის მთელ ნაწილს . მერე

მაგალითი 13მოდი ვიპოვოთ

2. ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი (ჩანაცვლების მეთოდი)

მეთოდი ეფუძნება შემდეგ ფორმულას: f(x)dx=f((t))`(t)dt, სადაც x =(t) არის ფუნქცია, რომელიც დიფერენცირებადია განხილულ ინტერვალზე.

მტკიცებულება. ვიპოვოთ წარმოებულები t ცვლადის მიმართ ფორმულის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებიდან.

გაითვალისწინეთ, რომ მარცხენა მხარეს არის რთული ფუნქცია, რომლის შუალედური არგუმენტია x = (t). მაშასადამე, t-ის მიმართ მისი დიფერენცირებისთვის ჯერ განვასხვავებთ ინტეგრალს x-ის მიმართ, შემდეგ კი ვიღებთ შუალედური არგუმენტის წარმოებულს t-ის მიმართ.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

მარჯვენა მხარის წარმოებული:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

ვინაიდან ეს წარმოებულები ტოლია, ლაგრანგის თეორემის დასკვნის მიხედვით, დადასტურებული ფორმულის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები განსხვავდება გარკვეული მუდმივით. ვინაიდან განუსაზღვრელი ინტეგრალები თავად განსაზღვრულია განუსაზღვრელი მუდმივი ვადით, ეს მუდმივი შეიძლება გამოტოვდეს საბოლოო აღნიშვნაში. დადასტურებული.

ცვლადის წარმატებული ცვლილება საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ თავდაპირველი ინტეგრალი და უმარტივეს შემთხვევაში შევიყვანოთ იგი ცხრილამდე. ამ მეთოდის გამოყენებისას განასხვავებენ წრფივი და არაწრფივი ჩანაცვლების მეთოდებს.

ა) ხაზოვანი ჩანაცვლების მეთოდიმოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 1
. Lett= 1 – 2x, მაშინ

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

უნდა აღინიშნოს, რომ ახალი ცვლადი არ უნდა იყოს მკაფიოდ ჩამოწერილი. ასეთ შემთხვევებში საუბარია ფუნქციის ტრანსფორმაციაზე დიფერენციალური ნიშნით, ან მუდმივებისა და ცვლადების შეყვანაზე დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ, ე.ი. შესახებ იმპლიციტური ცვლადის ჩანაცვლება.

მაგალითი 2მაგალითად, ვიპოვოთ cos(3x + 2)dx. დიფერენციალური თვისებებით dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), შემდეგcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

ორივე განხილულ მაგალითში ინტეგრალების საპოვნელად გამოყენებული იქნა წრფივი ჩანაცვლება t=kx+b(k0).

ზოგადად, შემდეგი თეორემა მოქმედებს.

წრფივი ჩანაცვლების თეორემა. მოდით F(x) იყოს ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის. მაშინf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, სადაც k და b არის გარკვეული მუდმივები,k0.

მტკიცებულება.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C ინტეგრალის განმარტებით. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. განუყოფელი ნიშნისთვის ვიღებთ მუდმივ ფაქტორს k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. ახლა შეგვიძლია ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები გავყოთ k-ზე და მივიღოთ დასამტკიცებელი მტკიცება მუდმივი წევრის აღნიშვნამდე.

ამ თეორემაში ნათქვამია, რომ თუ გამონათქვამი (kx+b) ჩანაცვლებულია f(x)dx= F(x) + C ინტეგრალის განმარტებაში, მაშინ ეს გამოიწვევს დამატებითი ფაქტორის 1/k გამოჩენას წინ. ანტიდერივატივის.

დადასტურებული თეორემის გამოყენებით ვხსნით შემდეგ მაგალითებს.

მაგალითი 3

მოდი ვიპოვოთ . აქ kx+b= 3 –x, ანუ k= -1,b= 3. მაშინ

მაგალითი 4

მოდი ვიპოვოთ. აქ kx+b= 4x+ 3, ანუ k= 4,b= 3. მაშინ

მაგალითი 5

მოდი ვიპოვოთ . აქ kx+b= -2x+ 7, ანუ k= -2,b= 7. მაშინ

.

მაგალითი 6მოდი ვიპოვოთ
. აქ kx+b= 2x+ 0, ანუ k= 2,b= 0.

.

მიღებული შედეგი შევადაროთ მაგალით 8-ს, რომელიც ამოხსნილია დაშლის მეთოდით. იგივე პრობლემის გადაჭრა სხვა მეთოდით, მივიღეთ პასუხი
. შევადაროთ შედეგები: ამრიგად, ეს გამონათქვამები განსხვავდება ერთმანეთისგან მუდმივი ვადით , ე.ი. მიღებული პასუხები არ ეწინააღმდეგება ერთმანეთს.

მაგალითი 7მოდი ვიპოვოთ
. მნიშვნელში ვირჩევთ სრულ კვადრატს.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ცვლადის ცვლილება არ ამცირებს ინტეგრალს პირდაპირ ცხრილამდე, მაგრამ მას შეუძლია ამონახსნის გამარტივება იმით, რომ შესაძლებელი გახდება დაშლის მეთოდის გამოყენება შემდეგ ეტაპზე.

მაგალითი 8მაგალითად, ვიპოვოთ . ჩაანაცვლეთ t=x+ 2, შემდეგ dt=d(x+ 2) =dx. მერე

,

სადაც C \u003d C 1 - 6 (t გამოსახულების ნაცვლად (x + 2) ჩანაცვლებისას, პირველი ორი წევრის ნაცვლად, ვიღებთ ½x 2 -2x - 6).

მაგალითი 9მოდი ვიპოვოთ
. მოდით t= 2x+ 1, შემდეგ dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

t-ის ნაცვლად ვცვლით გამონათქვამს (2x + 1), ვხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავსებს.

გაითვალისწინეთ, რომ გარდაქმნების პროცესში ჩვენ გადავედით სხვა მუდმივ ტერმინზე, რადგან გარდაქმნების პროცესში მუდმივი ტერმინების ჯგუფი შეიძლება გამოტოვდეს.

ბ) არაწრფივი ჩანაცვლების მეთოდიმოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 1
. მოდით t= -x 2 . გარდა ამისა, შეიძლება x გამოვხატოთ t-ით, შემდეგ იპოვონ dx-ის გამოხატულება და განახორციელონ ცვლადის ცვლილება სასურველ ინტეგრალში. მაგრამ ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია სხვაგვარად გაკეთება. იპოვეთ dt=d(-x 2) = -2xdx. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება xdx არის სასურველი ინტეგრალის ინტეგრატის ფაქტორი. გამოვხატავთ მას მიღებული ტოლობიდან xdx= - ½dt. მერე

ინტეგრაციის ძირითადი ფორმულები და მეთოდები. ჯამის ან სხვაობის ინტეგრაციის წესი. მუდმივის ამოღება ინტეგრალური ნიშნიდან. ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი. ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა. პრობლემის გადაჭრის მაგალითი.

ინტეგრაციის ოთხი ძირითადი მეთოდი ჩამოთვლილია ქვემოთ.

1) ჯამის ან სხვაობის ინტეგრაციის წესი.
.
აქ და ქვემოთ, u, v, w არის ინტეგრაციის x ცვლადის ფუნქციები.

2) მუდმივის ამოღება ინტეგრალური ნიშნიდან.
მოდით c იყოს x-ისგან დამოუკიდებელი მუდმივი. მაშინ მისი ამოღება შესაძლებელია ინტეგრალური ნიშნიდან.

3) ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.
განვიხილოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.
თუ შესაძლებელია ასეთი ფუნქციის φ არჩევა (x) x-დან, ასე რომ
,
შემდეგ t = φ(x) ცვლადის შეცვლის შემდეგ გვაქვს
.

4) ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა.
,
სადაც u და v არის ინტეგრაციის ცვლადის ფუნქციები.

განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლის საბოლოო მიზანია გარდაქმნების გზით მოცემული ინტეგრალის მიყვანა უმარტივეს ინტეგრალებამდე, რომლებსაც ტაბულური ინტეგრალები ეწოდება. ცხრილის ინტეგრალები გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით ცნობილი ფორმულების გამოყენებით.
იხილეთ ინტეგრალების ცხრილი >>>

მაგალითი

გამოთვალეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

გადაწყვეტილება

გაითვალისწინეთ, რომ ინტეგრანტი არის სამი წევრის ჯამი და განსხვავება:
, და .
ჩვენ ვიყენებთ მეთოდს 1 .

გარდა ამისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ახალი ინტეგრალების ინტეგრატები მრავლდება მუდმივებზე 5, 4, და 2 , შესაბამისად. ჩვენ ვიყენებთ მეთოდს 2 .

ინტეგრალების ცხრილში ვპოულობთ ფორმულას
.
პარამეტრი n = 2 , ვპოულობთ პირველ ინტეგრალს.

გადავიწეროთ მეორე ინტეგრალი ფორმაში
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ. მერე

გამოვიყენოთ მესამე მეთოდი. ვაკეთებთ t = φ ცვლადის ცვლილებას (x) = ჟურნალი x.
.
ინტეგრალების ცხრილში ვპოულობთ ფორმულას

ვინაიდან ინტეგრაციის ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი ასოთი, მაშინ

მესამე ინტეგრალი გადავწეროთ ფორმაში
.
ჩვენ ვიყენებთ ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულას.
დაე .
მერე
;
;

;
;
.

ამ გვერდზე თქვენ ნახავთ:

1. რეალურად, ანტიდერივატივების ცხრილი - მისი ჩამოტვირთვა შესაძლებელია PDF ფორმატში და დაბეჭდვა;

2. ვიდეო ამ ცხრილის გამოყენების შესახებ;

3. ანტიწარმოებულის გამოთვლის მაგალითების თაიგული სხვადასხვა სახელმძღვანელოებიდან და ტესტებიდან.

თავად ვიდეოში ჩვენ გავაანალიზებთ უამრავ პრობლემას, სადაც საჭიროა ანტიდერივატიული ფუნქციების გამოთვლა, ხშირად საკმაოდ რთული, მაგრამ რაც მთავარია, ისინი არ არიან ძალაუფლების კანონი. ზემოთ შემოთავაზებულ ცხრილში შეჯამებული ყველა ფუნქცია ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი, როგორც წარმოებულები. მათ გარეშე ინტეგრალების შემდგომი შესწავლა და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად შეუძლებელია.

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ პრიმიტივებთან და გადავდივართ ოდნავ უფრო რთულ თემაზე. თუ ბოლო დროს განვიხილეთ ანტიდერივატივები მხოლოდ ძალაუფლების ფუნქციებიდან და ოდნავ უფრო რთული სტრუქტურებიდან, დღეს გავაანალიზებთ ტრიგონომეტრიას და ბევრად უფრო მეტს.

როგორც წინა გაკვეთილზე ვთქვი, ანტიდერივატივები, წარმოებულებისგან განსხვავებით, არასოდეს იხსნება "ცარიელი" რაიმე სტანდარტული წესების გამოყენებით. უფრო მეტიც, ცუდი ამბავი ის არის, რომ წარმოებულისგან განსხვავებით, ანტიდერივატი შეიძლება საერთოდ არ განიხილებოდეს. თუ ჩვენ დავწერთ სრულიად შემთხვევით ფუნქციას და ვცდილობთ ვიპოვოთ მისი წარმოებული, მაშინ წარმატებას მივაღწევთ ძალიან დიდი ალბათობით, მაგრამ ანტიდერივატი ამ შემთხვევაში თითქმის არასოდეს გამოითვლება. მაგრამ არის ასევე კარგი ამბავი: არსებობს ფუნქციების საკმაოდ დიდი კლასი, რომელსაც ეწოდება ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა ანტიდერივატივები ძალიან ადვილია გამოთვლა. და ყველა სხვა უფრო რთული კონსტრუქცია, რომელიც მოცემულია სხვადასხვა საკონტროლო, დამოუკიდებელ და გამოცდებზე, ფაქტობრივად, შედგება ამ ელემენტარული ფუნქციებისგან შეკრების, გამოკლების და სხვა მარტივი მოქმედებების გზით. ასეთი ფუნქციების ანტიდერივატივები დიდი ხანია გამოითვლება და შეჯამებულია სპეციალურ ცხრილებში. სწორედ ასეთი ფუნქციებითა და ცხრილებით ვიმუშავებთ დღეს.

მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც ყოველთვის, გამეორებით: გახსოვდეთ, რა არის ანტიწარმოებული, რატომ არის მათი უსასრულო რაოდენობა და როგორ განვსაზღვროთ მათი ზოგადი ფორმა. ამისათვის მე ავირჩიე ორი მარტივი დავალება.

მარტივი მაგალითების ამოხსნა

მაგალითი #1

დაუყოვნებლივ გაითვალისწინეთ, რომ $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ და $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ მაშინვე მიგვითითებს, რომ ფუნქციის საჭირო ანტიდერივატი დაკავშირებულია ტრიგონომეტრიასთან. და მართლაც, თუ გადავხედავთ ცხრილს, აღმოვაჩენთ, რომ $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ სხვა არაფერია, თუ არა $\text(arctg)x$. ასე რომ დავწეროთ:

იმისათვის, რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა დაწეროთ შემდეგი:

\[\frac(\pi)(6)=\ტექსტი(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

მაგალითი #2

Აქ ასევე ჩვენ ვსაუბრობთტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესახებ. თუ ცხრილს გადავხედავთ, მაშინ, მართლაც, ასე გამოვა:

ანტიდერივატივების მთელ კომპლექტს შორის უნდა ვიპოვოთ ის, რომელიც გადის მითითებულ წერტილში:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

მოდი ბოლოს ჩავწეროთ:

ეს ასე მარტივია. ერთადერთი პრობლემა ის არის, რომ მარტივი ფუნქციების ანტიწარმოებულების დასათვლელად, თქვენ უნდა ისწავლოთ ანტიწარმოებულების ცხრილი. თუმცა, შენთვის წარმოებულების ცხრილის სწავლის შემდეგ, ვფიქრობ, რომ ეს პრობლემა არ იქნება.

ექსპონენციალური ფუნქციის შემცველი ამოცანების ამოხსნა

დავიწყოთ შემდეგი ფორმულების დაწერით:

\[((e)^(x))\ to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\n a)\]

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი პრაქტიკაში.

მაგალითი #1

თუ გადავხედავთ ფრჩხილების შიგთავსს, შევამჩნევთ, რომ ანტიწარმოებულთა ცხრილში არ არის ისეთი გამოხატულება, რომ $((e)^(x))$ იყოს კვადრატში, ამიტომ ეს კვადრატი უნდა გაიხსნას. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ გამრავლების შემოკლებულ ფორმულებს:

მოდით ვიპოვოთ ანტიწარმოებული თითოეული ტერმინისთვის:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \მარჯვნივ))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \მარჯვნივ))^(x))\to \frac(((\left((e) )^(-2)) \მარჯვნივ))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

ახლა ჩვენ ვაგროვებთ ყველა ტერმინს ერთ გამონათქვამში და ვიღებთ საერთო ანტიწარმოებულს:

მაგალითი #2

ამჯერად, მაჩვენებელი უკვე დიდია, ამიტომ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა საკმაოდ რთული იქნება. მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

ახლა შევეცადოთ ავიღოთ ჩვენი ფორმულის ანტიდერივატი ამ კონსტრუქციიდან:

როგორც ხედავთ, ექსპონენციალური ფუნქციის ანტიდერივატებში არაფერია რთული და ზებუნებრივი. ყველა ერთი გამოითვლება ცხრილებით, თუმცა ყურადღებიანი სტუდენტები აუცილებლად შეამჩნევენ, რომ ანტიწარმოებული $((e)^(2x))$ ბევრად უფრო ახლოს არის $((e)^(x))$-თან, ვიდრე $((a)-სთან. )^(x))$. ასე რომ, იქნებ არსებობს უფრო სპეციალური წესი, რომელიც საშუალებას იძლევა, რომ იცოდეთ ანტიდერივატი $((e)^(x))$, იპოვოთ $((e)^(2x))$? დიახ, ასეთი წესი არსებობს. და, უფრო მეტიც, ეს არის ანტიდერივატების ცხრილთან მუშაობის განუყოფელი ნაწილი. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ მას იგივე გამონათქვამების გამოყენებით, რომლებთანაც ახლახან ვიმუშავეთ, როგორც მაგალითი.

ანტიდერივატების ცხრილთან მუშაობის წესები

მოდით გადავწეროთ ჩვენი ფუნქცია:

წინა შემთხვევაში, ჩვენ გამოვიყენეთ შემდეგი ფორმულა ამოსახსნელად:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ოპერატორის სახელი(lna))\]

მაგრამ ახლა მოდით ეს ცოტა განსხვავებულად მოვიქცეთ: დაიმახსოვრეთ რის საფუძველზე $((e)^(x))\ to ((e)^(x))$-მდე. როგორც უკვე ითქვა, რადგან $((e)^(x))$-ის წარმოებული სხვა არაფერია, თუ არა $((e)^(x))$, ამიტომ მისი ანტიდერივატი იგივე $((e) ^( x))$. მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ ჩვენ გვაქვს $((e)^(2x))$ და $((e)^(-2x))$. ახლა ვცადოთ ვიპოვოთ წარმოებული $((e)^(2x))$:

\[((\ left(((e)^(2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\ left(2x \მარჯვნივ))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

მოდით ხელახლა გადავწეროთ ჩვენი კონსტრუქცია:

\[((\ left(((e)^(2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

და ეს ნიშნავს, რომ $((e)^(2x))$ ანტიდერივატივის პოვნისას, ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

\[((e)^(2x))\ to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

როგორც ხედავთ, ჩვენ მივიღეთ იგივე შედეგი, როგორც ადრე, მაგრამ ჩვენ არ გამოვიყენეთ ფორმულა $((a)^(x))$-ის საპოვნელად. ახლა ეს შეიძლება სულელურად ჩანდეს: რატომ ართულებს გამოთვლებს, როდესაც არსებობს სტანდარტული ფორმულა? თუმცა, ოდნავ უფრო რთულ გამონათქვამებში ნახავთ, რომ ეს ტექნიკა ძალიან ეფექტურია, ე.ი. წარმოებულების გამოყენებით ანტიწარმოებულების საპოვნელად.

მოდით, როგორც გახურება, ვიპოვოთ $((e)^(2x))$-ის ანტიწარმოებული ანალოგიურად:

\[((\left(((e)^(-2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

გაანგარიშებისას ჩვენი კონსტრუქცია ჩაიწერება შემდეგნაირად:

\[((e)^(-2x))\ to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\ to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

ზუსტად იგივე შედეგი მივიღეთ, მაგრამ სხვა გზით წავედით. ეს არის ის გზა, რომელიც ახლა ცოტა უფრო რთულად გვეჩვენება, მომავალში უფრო ეფექტური იქნება უფრო რთული ანტიდერივატიების გამოსათვლელად და ცხრილების გამოყენებით.

Შენიშვნა! ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი: ანტიდერივატივები, ისევე როგორც წარმოებულები, შეიძლება დაითვალოს სხვადასხვა გზით. თუმცა, თუ ყველა გამოთვლა და გამოთვლა თანაბარია, მაშინ პასუხი იგივე იქნება. ჩვენ უბრალოდ დავრწმუნდით ამაში $((e)^(-2x))$-ის მაგალითში - ერთის მხრივ, ჩვენ გამოვთვალეთ ეს ანტიწარმოებული „მთელი“, განმარტების გამოყენებით და მისი გამოთვლა გარდაქმნების დახმარებით, მეორე მხრივ, ჩვენ გვახსოვდა, რომ $ ((e)^(-2x))$ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $((\left(((e)^(-2)) \მარჯვნივ))^(x))$ და შემდეგ გამოიყენეთ ანტიდერივატი $((a)^(x))$ ფუნქციისთვის. თუმცა, ყველა გარდაქმნის შემდეგ, შედეგი იგივეა, რაც მოსალოდნელია.

ახლა კი, როცა ეს ყველაფერი გავიგეთ, დროა გადავიდეთ უფრო არსებითზე. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ორ მარტივ კონსტრუქციას, თუმცა, ტექნიკა, რომელიც ჩამოყალიბდება მათი ამოხსნისას, უფრო მძლავრი და სასარგებლო ინსტრუმენტია, ვიდრე უბრალო „გაშვება“ მეზობელ ანტიდერივატებს შორის ცხრილიდან.

პრობლემის გადაჭრა: იპოვნეთ ფუნქციის ანტიდერივატი

მაგალითი #1

მიეცით რაოდენობა, რომელიც არის მრიცხველებში, დაშალეთ სამ ცალკეულ წილადად:

ეს საკმაოდ ბუნებრივი და გასაგები გადასვლაა - სტუდენტების უმეტესობას მასთან პრობლემები არ აქვს. მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა შემდეგნაირად:

ახლა გავიხსენოთ ეს ფორმულა:

ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ მივიღებთ შემდეგს:

ყველა ამ სამსართულიანი წილადისგან თავის დასაღწევად, მე გთავაზობთ შემდეგის გაკეთებას:

მაგალითი #2

წინა წილადისგან განსხვავებით, მნიშვნელი არის არა ნამრავლი, არამედ ჯამი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვეღარ გავყოფთ ჩვენს წილადს რამდენიმე მარტივი წილადის ჯამზე, მაგრამ როგორმე უნდა ვეცადოთ დავრწმუნდეთ, რომ მრიცხველი შეიცავს დაახლოებით იგივე გამონათქვამს, რასაც მნიშვნელი. ამ შემთხვევაში, ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია:

ასეთი აღნიშვნა, რომელსაც მათემატიკის ენაზე ეწოდება "ნულის დამატება", მოგვცემს საშუალებას კვლავ გავყოთ წილადი ორ ნაწილად:

ახლა ვიპოვოთ რასაც ვეძებდით:

სულ ეს არის გათვლები. მიუხედავად წინა პრობლემის აშკარად დიდი სირთულისა, გამოთვლების რაოდენობა კიდევ უფრო მცირე აღმოჩნდა.

ხსნარის ნიუანსი

და სწორედ აქ მდგომარეობს ტაბულურ პრიმიტივებთან მუშაობის მთავარი სირთულე, ეს განსაკუთრებით შესამჩნევია მეორე ამოცანაში. ფაქტია, რომ იმისთვის, რომ შევარჩიოთ რამდენიმე ელემენტი, რომლებიც ადვილად ითვლიან ცხრილის საშუალებით, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ, რას ვეძებთ ზუსტად და სწორედ ამ ელემენტების ძიებაში შედგება ანტიდერივატების მთელი გაანგარიშება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საკმარისი არ არის მხოლოდ ანტიწარმოებულების ცხრილის დამახსოვრება - თქვენ უნდა ნახოთ ის, რაც ჯერ არ არის, მაგრამ რას გულისხმობდა ამ პრობლემის ავტორი და შემდგენელი. ამიტომ ბევრი მათემატიკოსი, მასწავლებელი და პროფესორი გამუდმებით კამათობს: „რა არის ანტიწარმოებულების მიღება ან ინტეგრაცია - ეს მხოლოდ ინსტრუმენტია თუ ნამდვილი ხელოვნება? სინამდვილეში, ჩემი პირადი აზრით, ინტეგრაცია სულაც არ არის ხელოვნება – მასში არაფერია ამაღლებული, უბრალოდ პრაქტიკაა და ისევ პრაქტიკა. და პრაქტიკაში, მოდით გადავჭრათ კიდევ სამი უფრო სერიოზული მაგალითი.

ივარჯიშეთ ინტეგრაცია პრაქტიკაში

დავალება #1

დავწეროთ შემდეგი ფორმულები:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\\ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\text(arctg)x\]

მოდით დავწეროთ შემდეგი:

დავალება #2

გადავიწეროთ შემდეგნაირად:

მთლიანი ანტიდერივატი ტოლი იქნება:

დავალება #3

ამ ამოცანის სირთულე მდგომარეობს იმაში, რომ წინა ფუნქციებისგან განსხვავებით, ზემოთ არ არის $x$ ცვლადი, ე.ი. ჩვენთვის გაუგებარია რა დავამატოთ, გამოვაკლოთ, რომ მივიღოთ მაინც რაღაც მსგავსი, რაც ქვემოთ არის. თუმცა, ფაქტობრივად, ეს გამონათქვამი ითვლება უფრო მარტივზე, ვიდრე წინა კონსტრუქციების ნებისმიერი გამონათქვამი, რადგან ეს ფუნქცია შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ახლა შეგიძლიათ იკითხოთ: რატომ არის ეს ფუნქციები თანაბარი? მოდით შევამოწმოთ:

მოდით კიდევ ერთხელ გადავწეროთ:

ცოტა შევცვალოთ გამოთქმა:

და როცა ამ ყველაფერს ჩემს სტუდენტებს ავუხსნი, თითქმის ყოველთვის ერთი და იგივე პრობლემა ჩნდება: პირველი ფუნქციით ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია, მეორე ფუნქციითაც შეგიძლია გაარკვიო იღბლით ან პრაქტიკით, მაგრამ როგორი ალტერნატიული ცნობიერება. გჭირდებათ მესამე მაგალითის გადასაჭრელად? სინამდვილეში, ნუ გეშინია. ტექნიკას, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ ბოლო ანტიდერივატივის გამოთვლისას, ეწოდება "ფუნქციის დაშლა უმარტივესად" და ეს ძალიან სერიოზული ტექნიკაა და მას ცალკე ვიდეო გაკვეთილი დაეთმობა.

იმავდროულად, მე ვთავაზობ დავუბრუნდეთ იმას, რაც ახლახან შევისწავლეთ, კერძოდ, ექსპონენციალურ ფუნქციებს და გარკვეულწილად გავართულოთ დავალებები მათი შინაარსით.

უფრო რთული ამოცანები ანტიდერივატიული ექსპონენციალური ფუნქციების ამოხსნისთვის

დავალება #1

გაითვალისწინეთ შემდეგი:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \მარჯვნივ))^(x))=((10)^(x) )\]

ამ გამოხატვის ანტიდერივატივის საპოვნელად უბრალოდ გამოიყენეთ სტანდარტული ფორმულა $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\n a)$.

ჩვენს შემთხვევაში, პრიმიტიული იქნება ასეთი:

რა თქმა უნდა, იმ კონსტრუქციის ფონზე, რომელიც ჩვენ ახლახან მოვაგვარეთ, ეს უფრო მარტივი ჩანს.

დავალება #2

კიდევ ერთხელ, ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ფუნქციის დაყოფა ადვილია ორ ცალკეულ წევრად - ორ ცალკეულ წილადად. გადავიწეროთ:

რჩება თითოეული ამ ტერმინის ანტიდერივატივის პოვნა ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით:

მიუხედავად ექსპონენციალური ფუნქციების აშკარა უფრო დიდი სირთულისა, სიმძლავრის ფუნქციებთან შედარებით, გამოთვლებისა და გამოთვლების საერთო რაოდენობა გაცილებით მარტივი აღმოჩნდა.

რასაკვირველია, მცოდნე სტუდენტებისთვის ის, რასაც ახლა შევეხეთ (განსაკუთრებით იმ ფონზე, რაც ადრე გვქონდა შეხებული) შეიძლება ელემენტარულ გამოთქმად ჩანდეს. თუმცა, დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილისთვის ამ ორი ამოცანის არჩევისას, მე არ დამისახავს მიზნად მოგიყვეთ კიდევ ერთი რთული და ლამაზი ხრიკი - რაც მინდოდა გაჩვენოთ, არის ის, რომ არ უნდა შეგეშინდეთ სტანდარტული ალგებრის ხრიკების გამოყენება ორიგინალური ფუნქციების გარდაქმნისთვის. .

"საიდუმლო" ტექნიკის გამოყენებით

დასასრულს, მინდა გავაანალიზო კიდევ ერთი საინტერესო ტექნიკა, რომელიც, ერთი მხრივ, სცილდება იმას, რაც ჩვენ ძირითადად დღეს გავაანალიზეთ, მაგრამ, მეორე მხრივ, ის, პირველ რიგში, არავითარ შემთხვევაში არ არის რთული, ე.ი. ახალბედა სტუდენტებსაც კი შეუძლიათ დაეუფლონ მას და, მეორეც, საკმაოდ ხშირად გვხვდება ყველა სახის კონტროლისა და დამოუკიდებელ მუშაობაში, ე.ი. ამის ცოდნა ძალიან სასარგებლო იქნება ანტიწარმოებულების ცხრილის ცოდნის გარდა.

დავალება #1

ცხადია, ჩვენ გვაქვს რაღაც ძალიან მსგავსი დენის ფუნქციასთან. როგორ მოვიქცეთ ამ შემთხვევაში? მოდით დავფიქრდეთ: $x-5$ განსხვავდება $x$-ისგან არც ისე დიდად - უბრალოდ დამატებულია $5$. მოდით დავწეროთ ასე:

\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

შევეცადოთ ვიპოვოთ $((\left(x-5 \right))^(5))$-ის წარმოებული:

\[((\ left((\ left(x-5 \მარჯვნივ))^(5)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=5\cdot ((\ left(x-5 \მარჯვნივ)) ^(4))\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ)) ^(\prime ))=5\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(4))\]

ეს გულისხმობს:

\[((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \მარჯვნივ))^(5)))(5) \ მარჯვენა))^(\prime ))\]

ცხრილში ასეთი მნიშვნელობა არ არის, ამიტომ ახლა ჩვენ თვითონ გამოვიყვანეთ ეს ფორმულა დენის ფუნქციის სტანდარტული ანტიდერივატიული ფორმულის გამოყენებით. მოდით დავწეროთ პასუხი ასე:

დავალება #2

ბევრ სტუდენტს, ვინც პირველ გამოსავალს უყურებს, შეიძლება მოეჩვენოს, რომ ყველაფერი ძალიან მარტივია: საკმარისია შეცვალოს $x$ სიმძლავრის ფუნქციაში წრფივი გამოსახულებით და ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება. სამწუხაროდ, ყველაფერი არც ისე მარტივია და ახლა ამას დავინახავთ.

პირველი გამონათქვამის ანალოგიით, ჩვენ ვწერთ შემდეგს:

\[((x)^(9))\ to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(10)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=10\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ)) ^(9))\cdot ((\მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(9)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)=-30\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ)) ^ (9))\]

ჩვენს წარმოებულს რომ დავუბრუნდეთ, შეგვიძლია დავწეროთ:

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(10)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=-30\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ) )^(9))\]

\[((\მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \მარჯვნივ))^(10)))(-30) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

აქედან ის დაუყოვნებლივ მოდის:

ხსნარის ნიუანსი

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ ბოლო დროს, ფაქტობრივად, არაფერი შეცვლილა, მაშინ მეორე შემთხვევაში, -10$-ის ნაცვლად, გამოჩნდა -30$. რა განსხვავებაა $10$-სა და $30$-ს შორის? ცხადია, $-3$-ის ფაქტორით. კითხვა: საიდან გაჩნდა? თუ ყურადღებით დავაკვირდებით, ხედავთ, რომ იგი აღებულია რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლის შედეგად - კოეფიციენტი, რომელიც $x$-ზე იყო, გამოჩნდება ქვემოთ მოცემულ ანტიწარმოებულში. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი წესი, რომლის ანალიზს თავიდან საერთოდ არ ვგეგმავდი დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილზე, მაგრამ ამის გარეშე ტაბულური ანტიდერივატიების პრეზენტაცია არასრული იქნებოდა.

ასე რომ, მოდი ისევ გავაკეთოთ. მოდით იყოს ჩვენი მთავარი დენის ფუნქცია:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ახლა კი $x$-ის ნაცვლად ჩავანაცვლოთ გამოთქმა $kx+b$. რა მოხდება მერე? ჩვენ უნდა ვიპოვოთ შემდეგი:

\[((\ left(kx+b \მარჯვნივ))^(n))\ to \frac(((\left(kx+b \მარჯვნივ))^(n+1)))(\ left(n+ 1 \მარჯვნივ)\cdot k)\]

რის საფუძველზე ვამტკიცებთ ამას? Ძალიან მარტივი. მოდი ვიპოვოთ ზემოთ დაწერილი კონსტრუქციის წარმოებული:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \მარჯვნივ))^(n+1)))(\left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot k) \მარჯვნივ))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot k)\cdot \left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot ((\left(kx+b \მარჯვნივ))^ (n))\cdot k=((\მარცხნივ(kx+b \მარჯვნივ))^(n))\]

ეს არის იგივე გამოთქმა, რაც თავდაპირველად იყო. ამრიგად, ეს ფორმულა ასევე სწორია და ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ანტიწარმოებულების ცხრილის შესავსებად, მაგრამ უმჯობესია უბრალოდ დაიმახსოვროთ მთელი ცხრილი.

დასკვნები "საიდუმლოდან: მიღება:

• ორივე ფუნქცია, რომელიც ახლახან განვიხილეთ, ფაქტობრივად, შეიძლება შევამციროთ ცხრილში მითითებულ ანტიწარმოებულებამდე ხარისხების გახსნით, მაგრამ თუ მეტ-ნაკლებად შევძლებთ როგორმე გავუმკლავდეთ მეოთხე ხარისხს, მაშინ მე საერთოდ არ გავაკეთებდი მეცხრე ხარისხს. გაბედა გამოავლინოს.
• თუ ჩვენ გავხსნით ხარისხებს, მაშინ მივიღებდით გამოთვლების ისეთ მოცულობას, რომ მარტივი დავალების შესრულება არაადეკვატურ დროს დაგვჭირდება.
• ამიტომ ისეთ ამოცანებს, რომლებშიც არის წრფივი გამონათქვამები, არ საჭიროებს „ცარიელის“ ამოხსნას. როგორც კი შეხვდებით ანტიწარმოებულს, რომელიც ცხრილისგან განსხვავდება მხოლოდ გამოთქმის $kx+b$ არსებობით შიგნით, მაშინვე გაიხსენეთ ზემოთ დაწერილი ფორმულა, ჩაანაცვლეთ იგი თქვენს ტაბულურ ანტიწარმოებულში და ყველაფერი ბევრად გამოვა. უფრო სწრაფად და მარტივად.

ბუნებრივია, ამ ტექნიკის სირთულისა და სერიოზულობის გამო, ჩვენ არაერთხელ დავუბრუნდებით მის განხილვას მომავალ ვიდეო გაკვეთილებში, მაგრამ დღეისთვის ყველაფერი მაქვს. იმედი მაქვს, ეს გაკვეთილი ნამდვილად დაეხმარება იმ სტუდენტებს, რომლებსაც სურთ გაიგონ ანტიდერივატივები და ინტეგრაცია.

ინტეგრაციის სწავლა არ არის რთული. ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა ისწავლოთ გარკვეული, საკმაოდ მცირე წესების ნაკრები და განავითაროთ ერთგვარი ნიჭი. რა თქმა უნდა, წესებისა და ფორმულების სწავლა მარტივია, მაგრამ საკმაოდ რთულია იმის გაგება, სად და როდის გამოიყენო ინტეგრაციისა თუ დიფერენცირების ესა თუ ის წესი. ეს, ფაქტობრივად, არის ინტეგრაციის უნარი.

1. ანტიდერივატი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ვარაუდობენ, რომ ამ სტატიის წაკითხვის მომენტისთვის მკითხველს უკვე აქვს გარკვეული დიფერენცირების უნარები (ანუ წარმოებულების პოვნა).

განმარტება 1.1:ფუნქციას ანტიდერივატი ეწოდება, თუ თანასწორობა მოქმედებს:

კომენტარები:> სიტყვა „პირველადი“ სტრესი შეიძლება განთავსდეს ორი გზით: შესახებშეწუხებული ან ორიგინალური აიცის.

საკუთრება 1:თუ ფუნქცია არის ფუნქციის ანტიდერივატი, მაშინ ფუნქცია ასევე არის ფუნქციის ანტიდერივატი.

მტკიცებულება:ეს დავამტკიცოთ ანტიწარმოებულის განმარტებიდან. ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

პირველი ტერმინი ქ განმარტება 1.1უდრის, ხოლო მეორე წევრი არის მუდმივის წარმოებული, რომელიც უდრის 0-ს.

.

შეაჯამეთ. დავწეროთ თანასწორობის ჯაჭვის დასაწყისი და დასასრული:

ამრიგად, ფუნქციის წარმოებული ტოლია და, შესაბამისად, განსაზღვრებით არის მისი ანტიდერივატი. ქონება დადასტურებულია.

განმარტება 1.2:ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის ამ ფუნქციის ანტიწარმოებულების მთელი ნაკრები. იგი აღინიშნება ასე:

.

დეტალურად განიხილეთ ჩანაწერის თითოეული ნაწილის სახელები:

არის ინტეგრალის ზოგადი აღნიშვნა,

არის ინტეგრანდული (ინტეგრანდული) გამოხატულება, ინტეგრირებადი ფუნქცია.

არის დიფერენციალური და ასოს შემდეგ გამოსახულებას, ამ შემთხვევაში, ეწოდება ინტეგრაციის ცვლადი.

კომენტარები:ამ განმარტებაში საკვანძო სიტყვებია „მთელი ნაკრები“. იმათ. თუ მომავალში ეს "პლუს C" არ ჩაიწერება პასუხში, მაშინ ინსპექტორს აქვს სრული უფლება არ დაასახელოს ეს დავალება, რადგან აუცილებელია ანტიწარმოებულების მთელი ნაკრების პოვნა და თუ C არ არის, მაშინ მხოლოდ ერთი გვხვდება.

დასკვნა:იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, არის თუ არა ინტეგრალი სწორად გამოთვლილი, აუცილებელია შედეგის წარმოებულის პოვნა. ის უნდა შეესაბამებოდეს ინტეგრანდს.
მაგალითი:
ვარჯიში:გამოთვალეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი და შეამოწმეთ.

გადაწყვეტილება:

ამ ინტეგრალის გამოთვლას ამ შემთხვევაში მნიშვნელობა არ აქვს. დავუშვათ, ეს არის ზემოდან გამოცხადება. ჩვენი ამოცანაა ვაჩვენოთ, რომ გამოცხადებამ არ მოგვატყუა და ეს შეიძლება გაკეთდეს გადამოწმების დახმარებით.

გამოცდა:

შედეგის დიფერენცირებისას მიიღეს ინტეგრანტი, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად იყო გათვლილი.

2. დაწყება. ინტეგრალების ცხრილი.

ინტეგრაციისთვის არ არის საჭირო ყოველ ჯერზე იმ ფუნქციის დამახსოვრება, რომლის წარმოებული უდრის მოცემულ ინტეგრანდს (ე.ი. ინტეგრალის განმარტების გამოყენება პირდაპირ). ამოცანების თითოეული კრებული ან მათემატიკური ანალიზის სახელმძღვანელო შეიცავს ინტეგრალების თვისებების ჩამონათვალს და უმარტივეს ინტეგრალების ცხრილს.

ჩამოვთვალოთ თვისებები.

Თვისებები:
1.
დიფერენციალური ინტეგრალი ინტეგრაციის ცვლადის ტოლია.
2. , სადაც არის მუდმივი.
მუდმივი მულტიპლიკატორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან.

3.
ჯამის ინტეგრალი ინტეგრალების ჯამის ტოლია (თუ წევრთა რაოდენობა სასრულია).
ინტეგრალური ცხრილი:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

ყველაზე ხშირად, ამოცანაა გამოკვლეული ინტეგრალი შევიყვანოთ ცხრილამდე, თვისებებისა და ფორმულების გამოყენებით.

მაგალითი:

[გამოვიყენოთ ინტეგრალების მესამე თვისება და ჩავწეროთ სამი ინტეგრალის ჯამის სახით.]

[გამოვიყენოთ მეორე თვისება და ამოიღოთ მუდმივები ინტეგრაციის ნიშნიდან.]

[ პირველ ინტეგრალში ვიყენებთ ცხრილის ინტეგრალს No1 (n=2), მეორეში - იგივე ფორმულას, მაგრამ n=1, ხოლო მესამე ინტეგრალისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე ცხრილის ინტეგრალი, მაგრამ n=0, ან პირველი თვისება. ]
.
მოდით შევამოწმოთ დიფერენციაციის მიხედვით:

მიღებულ იქნა ორიგინალური ინტეგრანტი, შესაბამისად, ინტეგრაცია შესრულდა შეცდომების გარეშე (და თვითნებური მუდმივი C-ის დამატებაც კი არ დავიწყებია).

ტაბულური ინტეგრალები ზეპირად უნდა ვისწავლოთ ერთი მარტივი მიზეზის გამო - იმისთვის, რომ ვიცოდეთ რისკენ უნდა ისწრაფოდეთ, ე.ი. იცოდეს მოცემული გამონათქვამის გარდაქმნის მიზანი.

აქ არის კიდევ რამდენიმე მაგალითი:
1)
2)
3)

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

სავარჯიშო 1.გამოთვალეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

+ მინიშნების #1 ჩვენება/დამალვა.

1) გამოიყენეთ მესამე თვისება და წარმოადგინეთ ეს ინტეგრალი, როგორც სამი ინტეგრალის ჯამი.

+ აჩვენე/დამალე მინიშნება #2.

+ აჩვენე/დამალე მინიშნება #3.

3) პირველი ორი ტერმინისთვის გამოიყენეთ პირველი ცხრილის ინტეგრალი, ხოლო მესამესთვის - მეორე ცხრილის ინტეგრალი.

+ გადაჭრის ჩვენება/დამალვა და პასუხი.

4) გამოსავალი:

პასუხი:

ძირითადი ინტეგრალები, რომლებიც ყველა სტუდენტმა უნდა იცოდეს

ჩამოთვლილი ინტეგრალები არის საფუძველი, საფუძველი. ეს ფორმულები, რა თქმა უნდა, უნდა გვახსოვდეს. უფრო რთული ინტეგრალების გამოთვლისას, მათი მუდმივად გამოყენება მოგიწევთ.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ფორმულებს (5), (7), (9), (12), (13), (17) და (19). ინტეგრირებისას არ დაგავიწყდეთ პასუხის C თვითნებური მუდმივის დამატება!

მუდმივის ინტეგრალი

∫ A d x = A x + C (1)

დენის ფუნქციის ინტეგრაცია

სინამდვილეში, შეიძლება შემოიფარგლოთ ფორმულებით (5) და (7), მაგრამ ამ ჯგუფის დანარჩენი ინტეგრალები იმდენად გავრცელებულია, რომ ღირს მათზე მცირე ყურადღების მიქცევა.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ჟურნალი | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

ექსპონენციალური და ჰიპერბოლური ფუნქციების ინტეგრალები

რა თქმა უნდა, ფორმულა (8) (შესაძლოა დასამახსოვრებლად ყველაზე მოსახერხებელი) შეიძლება ჩაითვალოს (9) ფორმულის განსაკუთრებულ შემთხვევად. ჰიპერბოლური სინუსის და ჰიპერბოლური კოსინუსების ინტეგრალების ფორმულები (10) და (11) ადვილად მიღებულია ფორმულიდან (8), მაგრამ უმჯობესია უბრალოდ დაიმახსოვროთ ეს მიმართებები.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი ინტეგრალები

შეცდომა, რომელსაც მოსწავლეები ხშირად უშვებენ: ისინი ერთმანეთში ურევენ (12) და (13) ფორმულების ნიშნებს. გავიხსენოთ, რომ სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის, რატომღაც ბევრს მიაჩნია, რომ sinx ფუნქციის ინტეგრალი უდრის cosx-ს. Ეს არ არის სიმართლე! სინუსის ინტეგრალი არის "მინუს კოსინუსი", მაგრამ cosx-ის ინტეგრალი არის "უბრალოდ სინუსი":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

ინტეგრალები შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებამდე შემცირებით

ფორმულა (16), რომელიც მივყავართ რკალის ტანგენსამდე, ბუნებრივია (17) ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევაა a=1-ისთვის. ანალოგიურად, (18) არის (19) განსაკუთრებული შემთხვევა.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

უფრო რთული ინტეგრალები

ამ ფორმულების დამახსოვრებაც სასურველია. ისინი ასევე საკმაოდ ხშირად გამოიყენება და მათი გამომუშავება საკმაოდ დამღლელია.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 რკალი x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

ინტეგრაციის ზოგადი წესები

1) ორი ფუნქციის ჯამის ინტეგრალი უდრის შესაბამისი ინტეგრალების ჯამს: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) ორი ფუნქციის სხვაობის ინტეგრალი უდრის შესაბამისი ინტეგრალების სხვაობას: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

ადვილი მისახვედრია, რომ თვისება (26) უბრალოდ თვისებების (25) და (27) კომბინაციაა.

4) რთული ფუნქციის ინტეგრალი, თუ შიდა ფუნქცია წრფივია: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

აქ F(x) არის f(x) ფუნქციის ანტიდერივატი. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფორმულა მუშაობს მხოლოდ მაშინ, როდესაც შიდა ფუნქცია არის Ax + B.

მნიშვნელოვანია: არ არსებობს უნივერსალური ფორმულა ორი ფუნქციის ნამრავლის ინტეგრალისთვის, ასევე წილადის ინტეგრალისთვის:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (ოცდაათი)

ეს არ ნიშნავს, რა თქმა უნდა, რომ ფრაქციის ან პროდუქტის ინტეგრირება შეუძლებელია. უბრალოდ, ყოველ ჯერზე, როცა (30) მსგავს ინტეგრალს ხედავ, უნდა გამოიგონო მასთან „ბრძოლის“ გზა. ზოგ შემთხვევაში ნაწილებით ინტეგრაცია გამოგადგებათ, სადღაც მოგიწევთ ცვლადის შეცვლა და ხანდახან ალგებრის ან ტრიგონომეტრიის „სასკოლო“ ფორმულებიც კი დაგეხმარებათ.

მარტივი მაგალითი განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოსათვლელად

მაგალითი 1. იპოვეთ ინტეგრალი: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

ვიყენებთ ფორმულებს (25) და (26) (ფუნქციების ჯამის ან სხვაობის ინტეგრალი შესაბამისი ინტეგრალების ჯამის ან სხვაობის ტოლია. ვიღებთ: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

შეგახსენებთ, რომ მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან (ფორმულა (27)). გამოთქმა გარდაიქმნება ფორმაში

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

ახლა მოდით გამოვიყენოთ ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი. დაგვჭირდება გამოვიყენოთ ფორმულები (3), (12), (8) და (1). მოდით გავაერთიანოთ სიმძლავრის ფუნქცია, სინუსი, ექსპონენტი და მუდმივი 1. არ დაგავიწყდეთ დასასრულს დაამატოთ თვითნებური მუდმივი C:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

ელემენტარული გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ საბოლოო პასუხს:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

გამოცადეთ საკუთარი თავი დიფერენცირებით: აიღეთ მიღებული ფუნქციის წარმოებული და დარწმუნდით, რომ იგი ორიგინალური ინტეგრადის ტოლია.

ინტეგრალების შემაჯამებელი ცხრილი

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ჟურნალი | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 რკალი x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

ჩამოტვირთეთ ინტეგრალების ცხრილი (ნაწილი II) ამ ბმულიდან

თუ უნივერსიტეტში სწავლობთ, თუ უმაღლეს მათემატიკაში რაიმე სირთულე გაქვთ (მათემატიკური ანალიზი, წრფივი ალგებრა, ალბათობის თეორია, სტატისტიკა), თუ გჭირდებათ კვალიფიციური მასწავლებლის მომსახურება, გადადით უმაღლეს მათემატიკაში დამრიგებლის გვერდზე. ერთად მოვაგვაროთ თქვენი პრობლემები!

შესაძლოა თქვენც დაგაინტერესოთ