ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენო ელელმა ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი დაეწევა კუს. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან მოძრაობის ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის მაინც გჭირდებათ დამატებითი მონაცემები, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ). კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მრავალკომპანია“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომლებშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. ჩვენ ავხსნით მათემატიკას, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაამტკიცებს, რომ ნაკრები იდენტური ელემენტების გარეშე არ არის ტოლი სიმრავლის იდენტური ელემენტებით. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

ახლა კი ყველაზე საინტერესო კითხვა მაქვს: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ თუ გავითვალისწინებთ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთი და იგივე ნაკრები ერთდროულად არის როგორც კომპლექტი, ასევე მრავალსახეობა. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე, ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენელი, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ, რათა ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობის პოვნა მეტრებში და სანტიმეტრებში მოგცემთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი შედგენილია 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 და 360 გრადუსიანი კუთხეებისთვის და მათი შესაბამისი კუთხეებისთვის რადიანებში. ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან ცხრილი აჩვენებს სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს, კოტანგენტს, სეკანტს და კოსეკანტს. სასკოლო მაგალითების ამოხსნის მოხერხებულობისთვის, ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები იწერება წილადად, რიცხვებიდან კვადრატული ფესვის ამოღების ნიშნების შენარჩუნებით, რაც ძალიან ხშირად ხელს უწყობს რთული მათემატიკური გამონათქვამების შემცირებას. ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის, ზოგიერთი კუთხის მნიშვნელობების დადგენა შეუძლებელია. ასეთი კუთხეების ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობებისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში არის ტირე. ზოგადად მიღებულია, რომ ასეთი კუთხეების ტანგენსი და კოტანგენსი უსასრულობის ტოლია. ცალკე გვერდზე არის ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირებისთვის.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სინუს მნიშვნელობების ცხრილი აჩვენებს მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხისთვის: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 გრადუსით. , რომელიც შეესაბამება sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi კუთხეების რადიანის ზომით. სინუსების სკოლის ცხრილი.

ტრიგონომეტრიული კოსინუსის ფუნქციისთვის ცხრილი აჩვენებს მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხისთვის: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 გრადუსით, რაც შეესაბამება cos 0 pi, cos pi 6-მდე, cos pi 4-ით, cos pi 3-ით, cos pi 2-ით, cos pi, cos 3 pi 2-ით, cos 2 pi კუთხეების რადიანის ზომით. კოსინუსების სკოლის ცხრილი.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის ტრიგონომეტრიული ცხრილი იძლევა მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხისთვის: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 გრადუსით, რაც შეესაბამება tg 0 pi, tg pi. / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi კუთხეების რადიანულ ზომაში. ტანგენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემდეგი მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 და ითვლება უსასრულობის ტოლად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კოტანგენტისთვის ტრიგონომეტრიულ ცხრილში მოცემულია შემდეგი კუთხეების მნიშვნელობები: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 გრადუსით, რაც შეესაბამება ctg pi / 6, ctg. pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 კუთხეების რადიანულ ზომაში. ტრიგონომეტრიული კოტანგენტების ფუნქციების შემდეგი მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi და ითვლება უსასრულობის ტოლად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სეკანტისა და კოსეკანტის მნიშვნელობები მოცემულია იმავე კუთხეებისთვის გრადუსებში და რადიანებში, როგორც სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.

არასტანდარტული კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი აჩვენებს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობებს კუთხეებისთვის 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 გრადუსებში და რადიანებში pi/12. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 რადიანები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოიხატება წილადებისა და კვადრატული ფესვების სახით, რათა გამარტივდეს წილადების შემცირება სკოლის მაგალითებში.

ტრიგონომეტრიის კიდევ სამი მონსტრი. პირველი არის ტანგენსი 1,5 გრადუსი და ნახევარი, ან პი გაყოფილი 120-ზე. მეორე არის pi-ს კოსინუსი გაყოფილი 240-ზე, pi/240. ყველაზე გრძელი არის pi-ს კოსინუსი გაყოფილი 17-ზე, pi/17.

სინუსის და კოსინუსის ფუნქციების მნიშვნელობების ტრიგონომეტრიული წრე ვიზუალურად წარმოადგენს სინუსის და კოსინუსების ნიშანს, კუთხის სიდიდის მიხედვით. განსაკუთრებით ქერებისთვის, კოსინუსების მნიშვნელობები ხაზგასმულია მწვანე ტირეთი, რათა ნაკლებად დაბნეული იყოს. ასევე ძალიან ნათლად არის წარმოდგენილი ხარისხების რადიანად გადაქცევა, როდესაც რადიანები გამოიხატება pi-ს საშუალებით.

ეს ტრიგონომეტრიული ცხრილი წარმოადგენს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობებს 0 ნულიდან 90 ოთხმოცდაათი გრადუსამდე კუთხისთვის ერთი გრადუსიანი ინტერვალებით. პირველი ორმოცდახუთი გრადუსისთვის, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სახელები უნდა გამოიყურებოდეს ცხრილის ზედა ნაწილში. პირველი სვეტი შეიცავს ხარისხებს, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობები იწერება შემდეგ ოთხ სვეტში.

ორმოცდახუთი გრადუსიდან ოთხმოცდაათ გრადუსამდე კუთხეებისთვის ცხრილის ბოლოში იწერება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სახელები. ბოლო სვეტი შეიცავს ხარისხებს, წინა ოთხ სვეტში ჩაწერილია კოსინუსების, სინუსების, კოტანგენტების და ტანგენტების მნიშვნელობები. ფრთხილად უნდა იყოთ, რადგან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სახელები ტრიგონომეტრიული ცხრილის ქვედა ნაწილში განსხვავდება ცხრილის ზედა ნაწილის სახელებისგან. სინუსები და კოსინუსები ერთმანეთს ენაცვლება, ისევე როგორც ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს გამოწვეულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების სიმეტრიით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში. სინუსს აქვს დადებითი მნიშვნელობები 0-დან 180 გრადუსამდე ან 0-დან pi-მდე. სინუსის უარყოფითი მნიშვნელობებია 180-დან 360 გრადუსამდე ან pi-დან 2 pi-მდე. კოსინუსის მნიშვნელობები დადებითია 0-დან 90-მდე და 270-დან 360 გრადუსამდე, ან 0-დან 1/2 pi-მდე და 3/2-დან 2 pi-მდე. ტანგენტსა და კოტანგენტს აქვთ დადებითი მნიშვნელობები 0-დან 90 გრადუსამდე და 180-დან 270 გრადუსამდე, რაც შეესაბამება მნიშვნელობებს 0-დან 1/2 pi-მდე და pi-დან 3/2 pi-მდე. ნეგატიური ტანგენსი და კოტანგენსი არის 90-დან 180 გრადუსამდე და 270-დან 360 გრადუსამდე, ან 1/2 pi-დან პი-მდე და 3/2 pi-დან 2 pi-მდე. 360 გრადუსზე ან 2 pi-ზე მეტი კუთხისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნების განსაზღვრისას გამოყენებული უნდა იყოს ამ ფუნქციების პერიოდულობის თვისებები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი უცნაური ფუნქციებია. ამ ფუნქციების მნიშვნელობები უარყოფითი კუთხისთვის იქნება უარყოფითი. კოსინუსი არის ლუწი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - უარყოფითი კუთხისთვის კოსინუსის მნიშვნელობა დადებითი იქნება. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამრავლებისა და გაყოფისას უნდა დაიცვათ ნიშნების წესები.

1. ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სინუს მნიშვნელობების ცხრილი აჩვენებს მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხისთვის

   დოკუმენტი

   ცალკე გვერდი შეიცავს ჩამოსხმის ფორმულებს ტრიგონომეტრიულიფუნქციები. AT მაგიდაღირებულებებიამისთვისტრიგონომეტრიულიფუნქციებისინუსიმოცემულიღირებულებებიამისთვისშემდეგიკუთხეები: ცოდვა 0, ცოდვა 30, ცოდვა 45 ...

2. შემოთავაზებული მათემატიკური აპარატი წარმოადგენს კომპლექსური გამოთვლების სრულ ანალოგს n-განზომილებიანი ჰიპერკომპლექსური რიცხვებისთვის ნებისმიერი რაოდენობის თავისუფლების ხარისხით n და განკუთვნილია არაწრფივი მათემატიკური მოდელირებისთვის.

   დოკუმენტი

   ... ფუნქციებიუდრის ფუნქციებისურათები. ამ თეორემიდან უნდა, რა ამისთვისიპოვეთ U, V კოორდინატები, საკმარისია გამოთვალოთ ფუნქცია... გეომეტრია; პოლინარული ფუნქციები(ორგანზომილებიანი მრავალგანზომილებიანი ანალოგები ტრიგონომეტრიულიფუნქციები), მათი თვისებები, მაგიდებიდა განაცხადი; ...

3. 1. ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიარის ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა არგუმენტი არის ინექცია. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აღწერს მიმართებებს გვერდებსა და მახვილ კუთხეებს შორის მართკუთხა სამკუთხედში. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენების სფეროები უკიდურესად მრავალფეროვანია. მაგალითად, ნებისმიერი პერიოდული პროცესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის სახით (ფურიეს სერია). ეს ფუნქციები ხშირად ჩნდება დიფერენციალური და ფუნქციური განტოლებების ამოხსნისას.

   2. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოიცავს შემდეგ 6 ფუნქციას: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი,კოტანგენსი, სეკანტიდა კოსეკანტი. თითოეული ამ ფუნქციისთვის არის შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

   3. მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გეომეტრიული განსაზღვრების დანერგვა გამოყენებით ერთეული წრე. ქვემოთ მოყვანილ სურათზე ნაჩვენებია წრე r=1 რადიუსით. წრეზე მონიშნულია წერტილი M(x,y). კუთხე OM რადიუსის ვექტორსა და Ox ღერძის დადებით მიმართულებას შორის არის α.

   4. სინუსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის y ორდინატის შეფარდება r რადიუსთან:
   sinα=y/r.
   ვინაიდან r=1, მაშინ სინუსი უდრის M(x,y) წერტილის ორდინატს.

   5. კოსინუსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის x აბსცისის შეფარდება r რადიუსთან:
   cosα=x/r

   6. ტანგენსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის y ორდინატის შეფარდება მის აბსციზასთან x:
   tanα=y/x,x≠0

   7. კოტანგენსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის x აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან y:
   cotα=x/y,y≠0

   8. სეკანტიკუთხე α არის r რადიუსის შეფარდება M(x,y) წერტილის x აბსცისასთან:
   secα=r/x=1/x,x≠0

   9. კოზეკანტიკუთხე α არის r რადიუსის შეფარდება M(x,y) წერტილის y ორდინატთან:
   cscα=r/y=1/y,y≠0

   10. x, y პროექციის ერთეულ წრეში M(x, y) წერტილები და r რადიუსი ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედს, რომელშიც x, y არის ფეხები, r კი ჰიპოტენუზა. ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზემოაღნიშნული განმარტებები, რომლებიც გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედზე, ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:
   სინუსიკუთხე α არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
   კოსინუსიკუთხე α არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
   ტანგენსიკუთხე α-ს ეწოდება მეზობელთან საპირისპირო ფეხი.
   კოტანგენსიკუთხე α ეწოდება მოპირდაპირე მხარეს მიმდებარე ფეხს.
   სეკანტიკუთხე α არის ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.
   კოზეკანტიკუთხე α არის ჰიპოტენუზის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხთან.

   11. სინუსური ფუნქციის გრაფიკი
   y=sinx, დომენი: x∈R, დომენი: −1≤sinx≤1

   12. კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი
   y=cosx, დომენი: x∈R, დიაპაზონი: −1≤cosx≤1

   13. ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი
   y=tanx, დომენი: x∈R,x≠(2k+1)π/2, დომენი: −∞

   

   14. კოტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი
   y=cotx, დომენი: x∈R,x≠kπ, დომენი: −∞

   

   15. სექციური ფუნქციის გრაფიკი
   y=secx, დომენი: x∈R,x≠(2k+1)π/2, დომენი: secx∈(−∞,−1]∪∪)