სწრაფი დათვლის ტექნიკა: მაგია ყველასთვის ხელმისაწვდომი

იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა როლს თამაშობს რიცხვები ჩვენს ცხოვრებაში, მოაწყეთ მარტივი ექსპერიმენტი. შეეცადეთ მათ გარეშე დარჩეთ გარკვეული ხნით. არც რიცხვები, არც გამოთვლები, არც გაზომვები... აღმოჩნდებით უცნაურ სამყაროში, სადაც თავს აბსოლუტურად უმწეოდ, შეკრულ ხელ-ფეხს იგრძნობთ. როგორ მივიდეთ შეხვედრაზე დროულად? განასხვავოთ ერთი ავტობუსი მეორისგან? დარეკეთ ტელეფონზე? იყიდე პური, ძეხვი, ჩაი? მოვამზადოთ წვნიანი თუ კარტოფილი? რიცხვების გარეშე და, შესაბამისად, დათვლის გარეშე ცხოვრება შეუძლებელია. მაგრამ რამდენად რთულია ეს მეცნიერება ხანდახან! სცადეთ სწრაფად გაამრავლოთ 65 23-ზე? Არ მუშაობს? ხელი თვითონ სწვდება მობილურ ტელეფონს კალკულატორით. იმავდროულად, ნახევრად წიგნიერი რუსი გლეხები 200 წლის წინ მშვიდად აკეთებდნენ ამას, იყენებდნენ გამრავლების ცხრილის მხოლოდ პირველ სვეტს - გამრავლება ორზე. არ გჯერა? მაგრამ ამაოდ. ეს არის რეალობა.

ქვის ხანის კომპიუტერი

რიცხვების ცოდნის გარეშეც ხალხმა უკვე სცადა დათვლა. თუ ჩვენს წინაპრებს, რომლებიც გამოქვაბულებში ცხოვრობდნენ და ტყავს ატარებდნენ, სჭირდებოდათ რაიმეს გაცვლა მეზობელ ტომთან, ისინი უბრალოდ მოქმედებდნენ: მათ გაასუფთავეს ადგილი და დააგეს, მაგალითად, ისრისპირა. ახლოს იწვა თევზი ან ერთი მუჭა თხილი. და ასე გაგრძელდა, სანამ ერთ-ერთი გაცვლილი საქონელი არ ამოიწურა, ან "სავაჭრო მისიის" ხელმძღვანელი არ გადაწყვეტდა, რომ საკმარისი იყო. პრიმიტიული, მაგრამ თავისებურად ძალიან მოსახერხებელი: არ დაიბნევით და არ მოგატყუებთ.

მესაქონლეობის განვითარებასთან ერთად ამოცანები გართულდა. დიდი ნახირი უნდა დათვალა როგორმე, რათა გაერკვია, იყო თუ არა ყველა თხა თუ ძროხა ადგილზე. წერა-კითხვის უცოდინარი, მაგრამ ჭკვიანი მწყემსების „გამომთვლელი მანქანა“ იყო კენჭებით დგუნიანი გოგრა. როგორც კი ცხოველმა კალამი დატოვა, მწყემსმა გოგრაში კენჭი ჩადო. საღამოს ნახირი დაბრუნდა და მწყემსმა კალმის თითოეულ ცხოველთან ერთად ქვა ამოიღო. თუ გოგრა ცარიელი იყო, მან იცოდა, რომ ფარა კარგად იყო. თუ კენჭები იყო, წავიდა ზარალის საძებნელად.

როდესაც ნომრები გამოჩნდა, ყველაფერი უფრო მხიარული გახდა. მიუხედავად იმისა, რომ დიდი ხნის განმავლობაში ჩვენი წინაპრები იყენებდნენ მხოლოდ სამ რიცხვს: "ერთი", "წყვილი" და "ბევრი".

შეგიძლია კომპიუტერზე უფრო სწრაფად დათვლა?

გაუსწრო მოწყობილობას, რომელიც ასრულებს ასობით მილიონ ოპერაციას წამში? შეუძლებელია... მაგრამ ის, ვინც ამას ამბობს, სასტიკად არაკეთილსინდისიერია, ან უბრალოდ შეგნებულად რაღაცას უყურებს. კომპიუტერი მხოლოდ პლასტმასის ჩიპების ნაკრებია; ის თავისთავად არ ითვლება.

სხვაგვარად დავსვათ კითხვა: შეუძლია თუ არა ადამიანმა გონებაში გამოთვლებით გადაუსწროს მას, ვინც კომპიუტერზე ახორციელებს გამოთვლებს? და აქ პასუხი არის დიახ. მართლაც, „შავი ჩემოდნიდან“ პასუხის მისაღებად, ჯერ მასში უნდა შეიყვანოთ მონაცემები. ამას ადამიანი თითების ან ხმის დახმარებით გააკეთებს. და ყველა ამ მოქმედებას აქვს დროის ლიმიტები. გადაულახავი შეზღუდვები. ბუნებამ თავად მიაწოდა ისინი ადამიანის სხეულს. ყველაფერი ერთი ორგანოს გარდა. Ტვინი!

კალკულატორს შეუძლია შეასრულოს მხოლოდ ორი ოპერაცია: შეკრება და გამოკლება. გამრავლება მისთვის არის მრავალჯერადი შეკრება და გაყოფა მრავალჯერადი გამოკლება.

ჩვენი ტვინი განსხვავებულად იქცევა.

კლასმა, სადაც მათემატიკის მომავალი მეფე კარლ გაუსი სწავლობდა, როგორღაც მიიღო დავალება: შეკრიბეთ ყველა რიცხვი 1-დან 100-მდე. კარლმა დაწერა აბსოლუტურად სწორი პასუხი თავის დაფაზე, როგორც კი მასწავლებელი დაასრულებდა დავალების ახსნას. ის გულმოდგინედ არ ამატებდა რიცხვებს თანმიმდევრობით, როგორც ამას გააკეთებდა ნებისმიერი თავმოყვარე კომპიუტერი. მან გამოიყენა ფორმულა, რომელიც თავად აღმოაჩინა: 101 x 50 = 5050. და ეს შორს არის ერთადერთი ხრიკისაგან, რომელიც აჩქარებს გონებრივ გამოთვლებს.

უმარტივესი ხრიკები სწრაფი დათვლისთვის

სკოლაში ასწავლიან. უმარტივესი: თუ რომელიმე რიცხვს 9-ის დამატება გჭირდებათ, დაამატეთ 10 და გამოაკლეთ 1, თუ 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3) და ა.შ.

54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. სწრაფი და მოსახერხებელი.

ორნიშნა რიცხვები ისევე მარტივად იკრიბება. თუ მეორე წევრის ბოლო ციფრი ხუთზე მეტია, რიცხვი მრგვალდება მომდევნო ათამდე და შემდეგ „ჭარბი“ კლდება. 22 + 47 = 22 + 50 - 3 = 69

სამნიშნა რიცხვებით, იგივე სირთულეები არ არის. ჩვენ ვამატებთ მათ, როგორც ვკითხულობთ, მარცხნიდან მარჯვნივ: 321 + 543 \u003d 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 \u003d 864. ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე სვეტში. და ბევრად უფრო სწრაფად.

რაც შეეხება გამოკლებას? პრინციპი იგივეა: გამოკლებულს ვამრგვალებთ უახლოეს რიცხვამდე და ვამატებთ გამოტოვებულს: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 \u003d 43 - 30 + 3 \u003d 16. უფრო სწრაფად, ვიდრე კალკულატორზე - და არანაირი პრეტენზია მასწავლებლისგან ტესტის დროსაც კი!

მჭირდება გამრავლების ცხრილის სწავლა?

ბავშვებს ეს ჩვეულებრივ სძულთ. და ისინი ამას სწორად აკეთებენ. არ არის საჭირო მისი სწავლება! მაგრამ ნუ იჩქარებთ გაბრაზებას. არავინ აცხადებს, რომ ცხრილის ცოდნა არ არის საჭირო.

მისი გამოგონება მიეწერება პითაგორას, მაგრამ, სავარაუდოდ, დიდმა მათემატიკოსმა მხოლოდ სრული, ლაკონური ფორმა მისცა იმას, რაც უკვე იყო ცნობილი. ძველი მესოპოტამიის გათხრებისას არქეოლოგებმა აღმოაჩინეს თიხის ფირფიტები საკრალური: "2 x 2". ადამიანები დიდი ხანია იყენებდნენ გამოთვლების ამ უაღრესად მოსახერხებელ სისტემას და აღმოაჩინეს მრავალი გზა, რაც ხელს უწყობს მაგიდის შინაგანი ლოგიკისა და სილამაზის გაგებას, გაგებას - და არა სულელურად, მექანიკურად დამახსოვრებას.

ძველ ჩინეთში ცხრილის სწავლა დაიწყეს 9-ზე გამრავლებით. ასე უფრო ადვილია და არანაკლებ იმიტომ, რომ „თითებზე“ შეიძლება 9-ზე გამრავლება.

ორივე ხელი დადეთ მაგიდაზე, ხელისგულები ქვემოთ. პირველი თითი მარცხნიდან არის 1, მეორე არის 2 და ა.შ. ვთქვათ, თქვენ უნდა გადაჭრათ 6 x 9 პრობლემა. აწიეთ მეექვსე თითი. მარცხნივ თითები აჩვენებს ათეულებს, მარჯვნივ - ერთეულებს. პასუხი 54.

მაგალითი: 8 x 7. მარცხენა ხელი არის პირველი გამრავლება, მარჯვენა ხელი მეორეა. ხელზე ხუთი თითი გვაქვს, ჩვენ კი გვჭირდება 8 და 7. მარცხენა ხელზე სამ თითს ვახვევთ (5 + 3 = 8), მარჯვნივ 2 (5 + 2 = 7). ჩვენ გვაქვს ხუთი მოხრილი თითი, რაც ნიშნავს ხუთ ათეულს. ახლა გაამრავლეთ დანარჩენი: 2 x 3 = 6. ეს არის ერთეულები. სულ 56.

ეს „თითის“ გამრავლების მხოლოდ ერთ-ერთი უმარტივესი მეთოდია, მათ შორის ბევრია. „თითებზე“ შეგიძლიათ 10000-მდე ნომრებით მუშაობა!

„თითების“ სისტემას აქვს ბონუსი: ბავშვი მას აღიქვამს, როგორც სახალისო თამაშს. ის ნებით ერთვება, განიცდის უამრავ დადებით ემოციას და შედეგად, ძალიან მალე იწყებს გონებაში ყველა ოპერაციის შესრულებას, თითების დახმარების გარეშე.

თითებითაც შეგიძლიათ გაყოფა, მაგრამ ეს ცოტა უფრო რთულია. პროგრამისტები კვლავ იყენებენ ხელებს რიცხვების ათწილადიდან ორობითად გადაქცევისთვის - ეს უფრო მოსახერხებელია და ბევრად უფრო სწრაფია, ვიდრე კომპიუტერზე. მაგრამ სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში, თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ სწრაფად გაყოფა თითების გარეშეც, გონებაში.

ვთქვათ, თქვენ უნდა ამოხსნათ მაგალითი 91: 13. სვეტი? არ არის საჭირო ქაღალდის არევა. დივიდენდი მთავრდება ერთით. და გამყოფი არის სამი. რა არის პირველი რამ გამრავლების ცხრილში, სადაც სამეული ჩართულია და მთავრდება ერთით? 3 x 7 = 21. შვიდი! ეს არის ის, ჩვენ მივიღეთ იგი. საჭიროება 84: 14. დაიმახსოვრე ცხრილი: 6 x 4 = 24. პასუხი არის 6. მარტივი? მაინც იქნებოდა!

რიცხვის მაგია

სწრაფი დათვლის ილეთების უმეტესობა ჯადოსნური ხრიკების მსგავსია. აიღეთ მინიმუმ 11-ზე გამრავლების ყველაზე ცნობილი მაგალითი. მაგალითად, 32 x 11-ზე, თქვენ უნდა დაწეროთ 3 და 2 კიდეების გასწვრივ და შუაში ჩადოთ მათი ჯამი: 352.

ორნიშნა რიცხვის 101-ზე გასამრავლებლად, უბრალოდ ჩაწერეთ რიცხვი ორჯერ. 34 x 101 = 3434.

რიცხვის 4-ზე გასამრავლებლად გაამრავლეთ ის 2-ზე ორჯერ, გასაყოფად გაყავით 2-ზე ორჯერ.

ბევრი მახვილგონივრული და, რაც მთავარია, სწრაფი ხრიკი ეხმარება რიცხვის ხარისხამდე აყვანას, კვადრატული ფესვის ამოღებას. ცნობილი "პერელმანის 30 ხრიკი" მათემატიკურად მოაზროვნე ადამიანებისთვის უფრო მაგარი იქნება ვიდრე კოპერფილდის შოუ, რადგან მათ ასევე ესმით რა ხდება და როგორ ხდება. ისე, დანარჩენს შეუძლია უბრალოდ ისიამოვნოს ლამაზი ფოკუსით. მაგალითად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 45 37-ზე. მოდით დავწეროთ რიცხვები ფურცელზე და გამოვყოთ ისინი ვერტიკალური ხაზით. მარცხენა რიცხვს ვყოფთ 2-ზე, დანარჩენს ვაშორებთ, სანამ ერთს არ მივიღებთ. მარჯვენა - გავამრავლოთ მანამ, სანამ სვეტის ხაზების რაოდენობა არ იქნება ტოლი. შემდეგ მარჯვენა სვეტიდან გადავხაზავთ ყველა იმ რიცხვს, რომლის საპირისპიროდაც ლუწი შედეგი მიიღება LEFT სვეტში. ჩვენ ვამატებთ დარჩენილ რიცხვებს მარჯვენა სვეტიდან. გამოდის 1665. გაამრავლეთ რიცხვები ჩვეული წესით. პასუხი მოერგება.

„დამუხტვა“ გონებისთვის

სწრაფი დათვლის ტექნიკას შეუძლია გაუადვილოს ბავშვის ცხოვრება სკოლაში, დედას მაღაზიაში ან სამზარეულოში და მამას სამსახურში ან ოფისში. მაგრამ ჩვენ გვირჩევნია კალკულატორი. რატომ? არ გვიყვარს სტრესი. ჩვენთვის ძნელია თავში შევინახოთ რიცხვები, თუნდაც ორნიშნა. რატომღაც ისინი არ უძლებენ.

შეეცადეთ ოთახის შუაში გახვიდეთ და ძაფზე დაჯდეთ. რატომღაც "არ ზის", არა? და ტანმოვარჯიშე ამას აკეთებს საკმაოდ მშვიდად, დაძაბვის გარეშე. საჭიროა ვარჯიში!

უმარტივესი გზა ვარჯიშისა და, ამავდროულად, ტვინის გასათბობად: ხმამაღლა სიტყვიერი დათვლა (სავალდებულო!) რიცხვიდან ასამდე და უკან. დილით, შხაპის ქვეშ დგომა, ან საუზმის მომზადება, დათვალეთ: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. შეგიძლიათ დაითვალოთ სამში, რვაში - მთავარია ამის გაკეთება ხმამაღალი. მხოლოდ რამდენიმე კვირის რეგულარული ვარჯიშის შემდეგ, გაგიკვირდებათ, რამდენად ადვილი ხდება ციფრებთან გამკლავება.

ბიბლიოგრაფიული აღწერა: Vladimirov A. I., Mikhailova V. V., Shmeleva S. P. სწრაფი დათვლის საინტერესო გზები // ახალგაზრდა მეცნიერი. - 2016. - No6.1. - S. 15-17..02.2019).



შესავალი

გონებრივი დათვლა არის ტანვარჯიში გონებისთვის. გონებრივი დათვლა გაანგარიშების უძველესი გზაა. გამოთვლითი უნარების დაუფლება ავითარებს მეხსიერებას და ხელს უწყობს ბუნებრივი და მათემატიკური ციკლის საგნების ათვისებას.

არითმეტიკული მოქმედებების გამარტივების მრავალი გზა არსებობს. გამარტივებული გაანგარიშების ტექნიკის ცოდნა განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია იმ შემთხვევებში, როდესაც კალკულატორს არ აქვს ცხრილები და კალკულატორი მის განკარგულებაში.

გვინდა ვისაუბროთ შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის მეთოდებზე, რომელთა წარმოებისთვის საკმარისია კალამი და ქაღალდის დათვლა ან გამოყენება.

თემის არჩევის მოტივაცია იყო გამოთვლითი უნარების ჩამოყალიბების გაგრძელების სურვილი, მათემატიკური ოპერაციების შედეგის სწრაფად და მკაფიოდ პოვნის შესაძლებლობა.

გამოთვლების წესები და ტექნიკა არ არის დამოკიდებული იმაზე, შესრულებულია ისინი წერილობით თუ ზეპირად. თუმცა, ზეპირი გამოთვლების უნარების დაუფლებას დიდი მნიშვნელობა აქვს არა იმიტომ, რომ ისინი უფრო ხშირად გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში, ვიდრე წერილობითი გამოთვლები. ეს ასევე მნიშვნელოვანია, რადგან ისინი აჩქარებენ წერილობით გამოთვლებს, იძენენ გამოცდილებას რაციონალურ გამოთვლებში და აძლევენ მოგებას გამოთვლით მუშაობაში.

მათემატიკის გაკვეთილებზე ბევრი ზეპირი გამოთვლა გვიწევს და როცა მასწავლებელმა გვაჩვენა 11 რიცხვებზე სწრაფი გამრავლების მეთოდი, გაგვიჩნდა წარმოდგენა, არსებობდა თუ არა სწრაფი გამოთვლის მეთოდები. ჩვენ დავალებას ვაყენებთ, ვიპოვოთ და გამოვცადოთ სწრაფი გაანგარიშების სხვა მეთოდები.

ბ) კარგად ისწავლოს სკოლაში; (16%)

გ) სწრაფად გადაწყვიტოს; (16%)

დ) იყოს წიგნიერი; (52%)

2. ჩამოთვალეთ სწავლისას რომელი სასკოლო საგნების სწორად დათვლა დაგჭირდებათ ?

ა) მათემატიკა; (80%)

ბ) ფიზიკა; (თხუთმეტი%)

გ) ქიმია; (5%)

დ) ტექნოლოგია;

ე) მუსიკა;

3. იცით თუ არა სწრაფად დათვლა?

ა) დიახ, ბევრი;

ბ) დიახ, რამდენიმე (85%);

გ) არა, არ ვიცი (15%).

4. იყენებთ თუ არა სწრაფი დათვლის ტექნიკას გამოთვლებში?

ბ) არა (85%)

5. გსურთ ისწავლოთ სწრაფი დათვლის ტექნიკა სწრაფად დათვლისთვის?

ბ) არა (8%).

ამბობენ, თუ ცურვის სწავლა გინდა, წყალში უნდა შეხვიდე, ხოლო თუ გსურს პრობლემების გადაჭრა, მათი მოგვარება უნდა დაიწყოო. მაგრამ ჯერ უნდა დაეუფლოთ არითმეტიკის საფუძვლებს. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ სწრაფად დათვლა, დათვლა თქვენს გონებაში მხოლოდ დიდი სურვილით და პრობლემების გადაჭრის სისტემატური ვარჯიშით.

მაგრამ სწრაფი გონებრივი დათვლის მეთოდები დიდი ხანია ცნობილია. ისეთი ბრწყინვალე მათემატიკოსების შესანიშნავი გონებრივი არითმეტიკული შესაძლებლობები, როგორებიც არიან გაუსი, ფონ ნეუმანი, ეილერი ან უოლისი, ნამდვილი სიამოვნებაა. ამის შესახებ ბევრი დაიწერა. გვინდა ვუთხრათ და ვაჩვენოთ რამდენიმე ცნობილი გამოთვლითი საიდუმლო. შემდეგ კი სრულიად განსხვავებული მათემატიკა გაიხსნება თქვენს წინაშე. ცოცხალი, სასარგებლო და გასაგები.

1. სწრაფი გამრავლების მეთოდები

1. თითებზე დათვლა

პირველი ათეულის რიცხვების 9-ზე სწრაფად გამრავლების გზა.

ვთქვათ, უნდა გავამრავლოთ 7 9-ზე.

მოდი, ხელისგულები ჩვენსკენ მივაბრუნოთ და მეშვიდე თითი მოვხაროთ (დათვლა ცერიდან მარცხნივ).

მოხრილის მარცხნივ თითების რაოდენობა ათეულების ტოლი იქნება, ხოლო მარჯვნივ - სასურველი პროდუქტის ერთეულები.

ბრინჯი. 1. თითების დათვლა

2. რიცხვების გამრავლება 10-დან 20-მდე

ასეთი რიცხვების გამრავლება ძალიან ადვილია.

ერთ რიცხვს უნდა დავუმატოთ მეორის ერთეულების რაოდენობა, გავამრავლოთ 10-ზე და დავუმატოთ რიცხვთა ერთეულების ნამრავლი.

მაგალითი 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, ან

მაგალითი 2. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.

ამოცანა: სწრაფად გავამრავლოთ 19 ∙ 13. პასუხი 19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247.

3. გაამრავლე 11-ზე

ორნიშნა რიცხვის გასამრავლებლად, რომლის ციფრთა ჯამი არ აღემატება 10-ს 11-ზე, საჭიროა ამ რიცხვის ციფრები ერთმანეთისგან გადაიტანოთ და მათ შორის მოათავსოთ ამ ციფრების ჯამი.

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

ორნიშნა რიცხვის 11-ზე გასამრავლებლად, რომლის ციფრების ჯამი არის 10 ან 10-ზე მეტი, გონებრივად უნდა დააყენოთ ამ რიცხვის ციფრები, ჩავდოთ ამ ციფრების ჯამი მათ შორის, შემდეგ კი დავუმატოთ ერთი პირველ ციფრს და დავტოვოთ მეორე და ბოლო (მესამე) უცვლელი.

მაგალითი .

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

დავალება: სწრაფად გამრავლება 54 ∙ 11 (594)

დავალება: სწრაფად გამრავლება 67∙ 11 (737)

4. გამრავლება 22, 33, ..., 99-ზე

ორნიშნა რიცხვის 22, 33, ..., 99-ზე გასამრავლებლად, ეს მამრავლი უნდა იყოს წარმოდგენილი, როგორც ერთნიშნა რიცხვის ნამრავლი (2-დან 9-მდე) 11-ზე, ანუ 44 \u003d 4 11; 55 = 5 ∙ 11 და ა.შ. შემდეგ გავამრავლოთ პირველი რიცხვების ნამრავლი 11-ზე.

მაგალითი 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

მაგალითი 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

დავალება: გავამრავლოთ 18∙44

5. გაამრავლე 5-ზე, 50-ზე, 25-ზე, 125-ზე

ამ რიცხვებზე გამრავლებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი გამონათქვამები:

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 a ∙ 125=a ∙ 1000:8

მაგალითი 1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85

მაგალითი 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

მაგალითი 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

მაგალითი 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000

დავალება: გავამრავლოთ 824∙25

დავალება: გავამრავლოთ 348∙50

&2. სწრაფი გაყოფის გზები

1. გაყოფა 5-ზე, 50-ზე, 25-ზე

5-ზე, 50-ზე, 25-ზე გაყოფისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი გამონათქვამები:

a:5= a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100

a:25=a ∙ 4:100

35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7

3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75

6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256

&3. ნატურალური რიცხვების სწრაფად დამატებისა და გამოკლების გზები.

თუ ერთ-ერთი ტერმინი გაზრდილია რამდენიმე ერთეულით, მაშინ ერთეულების იგივე რაოდენობა უნდა გამოკლდეს მიღებულ თანხას.

მაგალითი. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748 წ.

თუ ერთ-ერთი პირობა რამდენიმე ერთეულით გაიზარდა, მეორე კი იმავე რაოდენობის ერთეულით შემცირდა, მაშინ ჯამი არ შეიცვლება.

მაგალითი. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

თუ ქვეტრაჰენდი შემცირდება რამდენიმე ერთეულით და მინუენდი გაიზარდა იმავე რაოდენობის ერთეულებით, მაშინ სხვაობა არ შეიცვლება.

მაგალითი. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

დასკვნა

არსებობს გზები სწრაფად შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის, ხარისხში. ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ რამდენიმე გზა სწრაფი დათვლისთვის.

გონებრივი გამოთვლის ყველა მეთოდი, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ, საუბრობს მეცნიერებისა და უბრალო ადამიანების დიდი ხნის ინტერესზე რიცხვებთან თამაშის მიმართ. ზოგიერთი ამ მეთოდის გამოყენებით კლასში ან სახლში, შეგიძლიათ განავითაროთ გამოთვლების სიჩქარე, მიაღწიოთ წარმატებას ყველა სასკოლო საგნის შესწავლაში.

გამრავლება კალკულატორის გარეშე მეხსიერებისა და მათემატიკური აზროვნების ვარჯიშია. კომპიუტერული ტექნოლოგია დღემდე იხვეწება, მაგრამ ნებისმიერი მანქანა აკეთებს იმას, რასაც ხალხი აყენებს მასში და ჩვენ ვისწავლეთ გონებრივი დათვლის რამდენიმე ხრიკი, რომელიც დაგვეხმარება ცხოვრებაში.

ჩვენ დაინტერესებული ვიყავით პროექტზე მუშაობით. აქამდე ჩვენ მხოლოდ შევისწავლეთ და გავაანალიზეთ სწრაფი დათვლის უკვე ცნობილი მეთოდები.

მაგრამ ვინ იცის, ალბათ მომავალში ჩვენ თვითონ შევძლებთ სწრაფი გამოთვლის ახალი გზების აღმოჩენას.

ლიტერატურა:

1. Arutyunyan E., Levitas G. გასართობი მათემატიკა. - M .: AST - PRESS, 1999. - 368 გვ.
2. გარდნერი M. მათემატიკური სასწაულები და საიდუმლოებები. - მ., 1978 წ.
3. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. - მ., 1981 წ.
4. „პირველი სექტემბერი“ მათემატიკა No3 (15), 2007 წ.
5. თატარჩენკო თ.დ. კლასში სწრაფი დათვლის მეთოდები, „მათემატიკა სკოლაში“, 2008, No7, გვ.68.
6. ზეპირი ანგარიში / კომპ. პ.მ.კამაევი. - M .: Chistye Prudy, 2007 - ბიბლიოთეკა "პირველი სექტემბერი", სერია "მათემატიკა". Პრობლემა. 3 (15).
7. http://portfolio.1september.ru/subject.php

რატომ გვჭირდება გონებრივი ანგარიში, თუ ეზოში 21-ე საუკუნეა და ყველა სახის გაჯეტს შეუძლია თითქმის მყისიერად შეასრულოს ნებისმიერი არითმეტიკული ოპერაცია? თქვენ შეგიძლიათ სმარტფონზე თითი კი არ მოკიდოთ, არამედ მისცეთ ხმოვანი ბრძანება - და დაუყოვნებლივ მიიღეთ სწორი პასუხი. ახლა დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებიც კი, რომლებსაც ძალიან ეზარებათ დამოუკიდებლად გაყოფა, გამრავლება, შეკრება და გამოკლება, ამას წარმატებით აკეთებენ.

მაგრამ ამ მედალს აქვს უარყოფითი მხარეც: მეცნიერები აფრთხილებენ, რომ თუ არ ივარჯიშებ, არ დატვირთავ მას შრომით და არ გაუადვილებ დავალებებს, ის იწყებს სიზარმაცეს, მცირდება. ანალოგიურად, ფიზიკური ვარჯიშის გარეშე, ჩვენი კუნთებიც სუსტდება.

მიხაილ ვასილიევიჩ ლომონოსოვმა ისაუბრა მათემატიკის უპირატესობებზე და უწოდა მას ყველაზე ლამაზი მეცნიერება: ”მათემატიკა უკვე ღირს სიყვარული, რადგან ის აწესრიგებს გონებას”.

ზეპირი ანგარიში ავითარებს ყურადღებას, რეაქციის სიჩქარეს. გასაკვირი არ არის, რომ სულ უფრო და უფრო მეტი ახალი მეთოდები არსებობს სწრაფი ზეპირი დათვლისათვის, რომელიც განკუთვნილია როგორც ბავშვებისთვის, ასევე მოზრდილებისთვის. ერთ-ერთი მათგანია იაპონური ზეპირი დათვლის სისტემა, რომელიც იყენებს ძველ იაპონურ სორობან აბაკუს. თავად ტექნიკა იაპონიაში 25 წლის წინ შემუშავდა და ახლა ის წარმატებით გამოიყენება ჩვენს ზოგიერთ ზეპირი დათვლის სკოლაში. იგი იყენებს ვიზუალურ სურათებს, რომელთაგან თითოეული შეესაბამება გარკვეულ რაოდენობას. ასეთი ვარჯიში ავითარებს თავის ტვინის მარჯვენა ნახევარსფეროს, რომელიც პასუხისმგებელია სივრცით აზროვნებაზე, ანალოგიების აგებაზე და ა.შ.

საინტერესოა, რომ სულ რაღაც ორ წელიწადში ასეთი სკოლების მოსწავლეები (აქ მიიღებიან 4-11 წლის ბავშვები) არითმეტიკული მოქმედებების შესრულებას სწავლობენ 2-ნიშნა, ან თუნდაც 3-ნიშნა რიცხვებით. ბავშვებმა, რომლებმაც არ იციან აქ გამრავლების ცხრილები, იციან გამრავლება. ისინი ამატებენ და კლებენ დიდ რიცხვებს მათი სვეტის ჩაწერის გარეშე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, ტრენინგის მიზანია უფლების დაბალანსებული განვითარება და.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაეუფლოთ გონებრივ არითმეტიკას პრობლემური წიგნის დახმარებით "1001 დავალება გონებრივი არითმეტიკისთვის სკოლაში", რომელიც შედგენილია მე -19 საუკუნეში სოფლის მასწავლებლისა და ცნობილი განმანათლებლის სერგეი ალექსანდროვიჩ რაჩინსკის მიერ. ამ პრობლემურ წიგნს მხარს უჭერს ის ფაქტი, რომ მან გაიარა რამდენიმე გამოცემა. ამ წიგნის ნახვა და ჩამოტვირთვა შესაძლებელია ონლაინ.

ადამიანები, რომლებიც ვარჯიშობენ სწრაფ დათვლას, გირჩევენ იაკოვ ტრახტენბერგის წიგნს „სწრაფი დათვლის სისტემა“. ამ სისტემის ისტორია ძალიან უჩვეულოა. იმისათვის, რომ გადარჩენილიყო საკონცენტრაციო ბანაკში, სადაც ის გაგზავნეს ნაცისტებმა 1941 წელს და არ დაეკარგა გონებრივი სიცხადე, ციურიხის მათემატიკის პროფესორმა დაიწყო მათემატიკური ოპერაციების ალგორითმების შემუშავება, რაც საშუალებას აძლევს მას სწრაფად გამოთვალოს თავის თავში. ომის შემდეგ კი მან დაწერა წიგნი, რომელშიც სწრაფი დათვლის სისტემა წარმოდგენილია ისე მკაფიოდ და ხელმისაწვდომად, რომ ჯერ კიდევ მოთხოვნადია.

კარგი მიმოხილვები იაკოვ პერელმანის წიგნის შესახებ „სწრაფი რაოდენობა. ზეპირი დათვლის ოცდაათი მარტივი მაგალითი. ამ წიგნის თავები ეძღვნება ერთ და ორნიშნა რიცხვებზე გამრავლებას, კერძოდ, გამრავლებას 4-ზე და 8-ზე, 5-ზე და 25-ზე, 11/2-ზე, 11/4-ზე, *-ზე გაყოფაზე, კვადრატზე, გამოთვლაზე ფორმულით.

ზეპირი დათვლის უმარტივესი გზები

გარკვეული შესაძლებლობების მქონე ადამიანები სწრაფად დაეუფლებიან ამ უნარს, კერძოდ: ლოგიკურად აზროვნების უნარს, კონცენტრირების უნარს და მოკლევადიან მეხსიერებაში ერთდროულად რამდენიმე სურათის შენახვას.

არანაკლებ მნიშვნელოვანია მოქმედებების სპეციალური ალგორითმების და ზოგიერთი მათემატიკური კანონის ცოდნა, რომელიც საშუალებას იძლევა, ისევე როგორც მოცემული სიტუაციისთვის ყველაზე ეფექტური არჩევის შესაძლებლობა.

და, რა თქმა უნდა, არ შეიძლება რეგულარული ვარჯიშის გარეშე!

სწრაფი დათვლის ყველაზე გავრცელებული მეთოდები შემდეგია:

1. ორნიშნა რიცხვის გამრავლება ერთნიშნა რიცხვზე

ორნიშნა რიცხვის ერთნიშნა რიცხვზე გამრავლება ყველაზე ადვილია მისი ორ კომპონენტად დაშლით. მაგალითად, 45 - 40-ზე და 5-ზე. შემდეგ თითოეულ კომპონენტს ვამრავლებთ სასურველ რიცხვზე, მაგალითად, 7-ზე, ცალ-ცალკე. ვიღებთ: 40 × 7 = 280; 5 × 7 = 35. შემდეგ დაამატეთ შედეგები: 280 + 35 = 315.

2. გაამრავლეთ სამნიშნა რიცხვი

სამნიშნა რიცხვის გამრავლება გონებაში ასევე ბევრად უფრო ადვილია, თუ მის კომპონენტებად დაშლით, ოღონდ მამრავლის წარმოდგენა ისე, რომ გაადვილდეს მათემატიკური მოქმედებების შესრულება. მაგალითად, 137 უნდა გავამრავლოთ 5-ზე.

137-ს წარმოვადგენთ როგორც 140 - 3. ანუ გამოდის, რომ ახლა 5-ზე უნდა გავამრავლოთ არა 137, არამედ 140 - 3. ან (140 - 3) x 5.

თუ იცით გამრავლების ცხრილი 19 x 9-ში, შეგიძლიათ უფრო სწრაფად დათვალოთ. 137 რიცხვს ვანაწილებთ 130-ად და 7-ად. შემდეგ ვამრავლებთ 5-ზე, ჯერ 130-ზე და შემდეგ 7-ზე და ვამატებთ შედეგებს. ასე რომ, 137 x 5 = 130 x 5 + 7 x 5 = 650 + 35 = 685.

თქვენ შეგიძლიათ დაშალოთ არა მხოლოდ მულტიპლიკატორი, არამედ მულტიპლიკატორიც. მაგალითად, 235 უნდა გავამრავლოთ 6-ზე. მივიღებთ ექვსს 2-ზე 3-ზე გამრავლებით. ამრიგად, ჯერ ვამრავლებთ 235-ს 2-ზე და მივიღებთ 470-ს, შემდეგ კი ვამრავლებთ 470-ს 3-ზე. სულ 1410.

იგივე ოპერაცია შეიძლება განსხვავებულად შესრულდეს 235-ის 200-ად და 35-ად წარმოდგენით. გამოდის 235 × 6 = (200 + 35) × 6 = 200 × 6 + 35 × 6 = 1200 + 210 = 1410.

ანალოგიურად, რიცხვების კომპონენტებად დაშლით, შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრება, გამოკლება და გაყოფა.

3. გავამრავლოთ 10-ზე

ყველამ იცის, როგორ გავამრავლოთ 10-ზე: უბრალოდ დაამატეთ ნული გამრავლებას. მაგალითად, 15 × 10 = 150. აქედან გამომდინარე, არანაკლებ ადვილია 9-ზე გამრავლება. ჯერ ვამატებთ 0-ს, ანუ ვამრავლებთ 10-ზე და შემდეგ გამოვაკლებთ მამრავლს მიღებულ რიცხვს. : 150 × 9 = 150 × 10 = 1500 − 150 = 1350.

4. გავამრავლოთ 5-ზე

5-ზე გამრავლება მარტივია. თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვი 10-ზე და მიღებული შედეგი გავყოთ 2-ზე.

5. გავამრავლოთ 11-ზე

საინტერესოა ორნიშნა რიცხვების 11-ზე გამრავლება. ავიღოთ, მაგალითად, 18. გონებრივად გავაფართოვოთ 1 და 8 და ჩავწეროთ ამ რიცხვების ჯამი მათ შორის: 1 + 8. მივიღებთ 1 (1 + 8) 8. ან 198.

6. გავამრავლოთ 1,5-ზე

თუ რომელიმე რიცხვის 1,5-ზე გამრავლება გჭირდებათ, გაყავით ის ორზე და მიღებული ნახევარი დაამატეთ მთელს: 24 × 1,5 = 24 / 2 + 24 = 36.

ეს მხოლოდ გონებრივი დათვლის უმარტივესი გზებია, რომელთა დახმარებითაც შეგვიძლია ტვინი ვავარჯიშოთ ყოველდღიურ ცხოვრებაში. მაგალითად, შესყიდვების ღირებულების დათვლა სალაროსთან რიგში დგომისას. ან შეასრულეთ მათემატიკური მოქმედებები ნომრებით გამავალი მანქანების ნომრებზე. ვისაც ციფრებთან „თამაში“ უყვარს და სურს გონებრივი შესაძლებლობების განვითარება, შეუძლია მიმართოს ზემოაღნიშნული ავტორების წიგნებს.

შესავალი

მათემატიკა ყოველთვის იყო და რჩება სკოლაში ერთ-ერთ მთავარ საგანად, რადგან მათემატიკური ცოდნა აუცილებელია ყველა ადამიანისთვის. ყველა მოსწავლემ, რომელიც სკოლაში სწავლობს, არ იცის, რა პროფესიას აირჩევს მომავალში, მაგრამ ყველას ესმის, რომ მათემატიკა აუცილებელია მრავალი ცხოვრებისეული პრობლემის გადასაჭრელად: მაღაზიაში გამოთვლები, კომუნალური გადასახადების გადახდა, ოჯახის ბიუჯეტის გამოთვლა და ა.შ. გარდა ამისა, ყველა სკოლის მოსწავლემ უნდა ჩააბაროს გამოცდები მე-9 კლასში და მე-11 კლასში და ამისთვის 1-ლი კლასიდან დაწყებული მათემატიკის მაღალ დონეზე ათვისება და უპირველეს ყოვლისა უნდა ისწავლოს დათვლა. .

შესაძლებელია თუ არა სამყაროს წარმოდგენა რიცხვების გარეშე? ნომრების გარეშე თქვენ არ გააკეთებთ შესყიდვას, არ იცით დრო, არ აკრიფეთ ტელეფონის ნომერი. და რაც შეეხება კოსმოსურ ხომალდებს, ლაზერებს და ყველა სხვა ტექნიკურ მიღწევას?! ისინი უბრალოდ შეუძლებელი იქნებოდა, რომ არა რიცხვების მეცნიერება.

მათემატიკაში დომინირებს ორი ელემენტი - რიცხვები და ფიგურები მათი უსასრულო მრავალფეროვნებითა და მიმართებებით. ჩემს ნამუშევარში უპირატესობა ენიჭება რიცხვების ელემენტებს და მათთან მოქმედებებს.

ახლა, ინფორმატიკისა და კომპიუტერული ტექნოლოგიების სწრაფი განვითარების ეტაპზე, თანამედროვე სკოლის მოსწავლეებს არ სურთ საკუთარი თავის შეწუხება გონებრივი არითმეტიკით. ამიტომ გადავწყვიტეაჩვენეთ არა მხოლოდ, რომ მოქმედების შესრულების პროცესი შეიძლება იყოს მნიშვნელოვანი, არამედ საინტერესო აქტივობაც.

სამიზნე: სწრაფი დათვლის მეთოდების შესწავლა, მათი გამოყენების აუცილებლობის ჩვენება გამოთვლების გასამარტივებლად.

მიზნის შესაბამისად,დავალებები:

1. გამოიკვლიეთ, იყენებენ თუ არა მოსწავლეები სწრაფი დათვლის ტექნიკას.
2. ისწავლეთ სწრაფი დათვლის ტექნიკა, რომელიც შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამოთვლების გასაადვილებლად.
3. გააკეთეთ მემორანდუმი 5-6 კლასების მოსწავლეებისთვის, რომ გამოიყენონ სწრაფი დათვლის ტექნიკა.

კვლევის ობიექტი:სწრაფი დათვლის ტექნიკა.

შესწავლის საგანი: გაანგარიშების პროცესი.

კვლევის ჰიპოთეზა:თუ ნაჩვენები იქნება, რომ სწრაფი დათვლის ტექნიკის გამოყენება ხელს უწყობს გამოთვლებს, მაშინ მიიღწევა, რომ გაიზრდება სტუდენტების გამოთვლითი კულტურა და გაუადვილდებათ პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრა.

ნამუშევარში გამოყენებული იქნა შემდეგიხრიკები და მეთოდები : გამოკითხვა (კითხვარი), ანალიზი (მონაცემთა სტატისტიკური დამუშავება), საინფორმაციო წყაროებთან მუშაობა, პრაქტიკული მუშაობა, დაკვირვება.

ეს ნამუშევარი ეხებაგამოყენებითი კვლევა, იმიტომ ის გვიჩვენებს პრაქტიკულ აქტივობებში სწრაფი დათვლის ტექნიკის გამოყენების როლს.

მოხსენებაზე მუშაობისას იგამოიყენა შემდეგი მეთოდები:

1. ძებნა მეთოდი სამეცნიერო და საგანმანათლებლო ლიტერატურის გამოყენებით, ასევე საჭირო ინფორმაციის მოძიება ინტერნეტში;
2. პრაქტიკული გამოთვლების შესრულების მეთოდი არასტანდარტული დათვლის ალგორითმების გამოყენებით;
3. ანალიზი კვლევის დროს მიღებული მონაცემები.

შესაბამისობა ჩემი კვლევა არის ის, რომ ჩვენს დროში სულ უფრო ხშირად კალკულატორები ეხმარებიან სტუდენტებს და მზარდი რაოდენობა სტუდენტებს ვერ ითვლის ზეპირად. მაგრამ მათემატიკის შესწავლა ავითარებს ლოგიკურ აზროვნებას, მეხსიერებას, გონების მოქნილობას, აჩვევს ადამიანს სიზუსტეს, მთავარის დანახვის უნარს, აძლევს საჭირო ინფორმაციას იმ რთული პრობლემების გასაგებად, რომლებიც წარმოიქმნება თანამედროვე ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. პირი. ამიტომ, ჩემს ნამუშევარში მინდა ვაჩვენო, თუ როგორ შეგიძლიათ სწრაფად და სწორად დათვალოთ და რომ მოქმედებების შესრულების პროცესი შეიძლება იყოს არა მხოლოდ სასარგებლო, არამედ საინტერესოც. ეს არის არასტანდარტული ტექნიკის გამოყენება გამოთვლითი უნარების ჩამოყალიბებაში, რაც ზრდის მოსწავლეთა ინტერესს მათემატიკის მიმართ და ხელს უწყობს მათემატიკური შესაძლებლობების განვითარებას.

შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის მარტივი ოპერაციების მიღმა მათემატიკის ისტორიის საიდუმლოებები იმალება. შემთხვევით გაგონილი სიტყვები "გამრავლება გისოსებით", "ჭადრაკის გზა" დაინტერესდა. მინდოდა გამეგო ეს და სხვა გაანგარიშების მეთოდები, ასევე შემედარებინა დღევანდელთან.

შეგიძლია დათვლა? კითხვა, შესაძლოა, შეურაცხმყოფელიც კი იყოს სამ წელზე უფროსი ასაკის ადამიანისთვის. ვინ ვერ ითვლის? ყველა გიპასუხებს, რომ ამისთვის განსაკუთრებული ხელოვნება არ არის საჭირო. და ის მართალი იქნება. მაგრამ საკითხავია როგორ დავთვალოთ? შეგიძლიათ დაეყრდნოთ კალკულატორს, შეგიძლიათ ჩაითვალოთ როგორც სვეტი რვეულში, ან შეგიძლიათ დათვალოთ სიტყვიერად სწრაფი დათვლის ტექნიკის გამოყენებით. ძალიან სწრაფად ვითვლი სიტყვიერად, თითქმის არასდროს ვხსნი სვეტად, წერილობით, ყველაფერს იმიტომ რომ ვიცი და ვიყენებ სწრაფი დათვლის სხვადასხვა მეთოდს. ჩემი კლასელებიდან ცოტას შეუძლია ზეპირად სწრაფად დათვლა და მინდოდა გამეგო, იციან თუ არა სწრაფი დათვლის ილეთები, თუ არა, მაშინ დაეხმარეთ დაეუფლონ ამ ხრიკებს, ამ მიზნით შეადგინეთ მათთვის მემორანდუმი სწრაფი დათვლის ილეთებით.

იმის გასარკვევად, იციან თუ არა თანამედროვე სკოლის მოსწავლეებმა არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების სხვა გზები, გარდა სვეტით გამრავლებისა, შეკრების, გამოკლებისა და "კუთხით" გაყოფისა და სურთ ახალი გზების სწავლა, ჩატარდა ტესტირება.

დასაწყისისთვის ჩავატარე გამოკითხვა ჩვენი სკოლის მე-6 კლასში. მან ბავშვებს მარტივი კითხვები დაუსვა. რატომ უნდა იცოდეთ როგორ დათვალოთ? რომელი სასკოლო საგნები მოითხოვს სწორ არითმეტიკას? იციან სწრაფად დათვლა? გსურთ ისწავლოთ ზეპირად სწრაფად დათვლა? (დანართი I).

გამოკითხვაში 61-მა ადამიანმა მიიღო მონაწილეობა. შედეგების გაანალიზების შემდეგ დავასკვენი, რომ სტუდენტების უმრავლესობას სჯერა, რომ თვლის უნარი სასარგებლოა ცხოვრებაში და აუცილებელია სკოლაში, განსაკუთრებით მათემატიკის, ფიზიკის, ქიმიის, კომპიუტერული მეცნიერებებისა და ტექნოლოგიების შესწავლისას. რამდენიმე სტუდენტმა იცის სწრაფად დათვლა და თითქმის ყველას სურს ისწავლოს სწრაფად დათვლა. (გამოკითხვის შედეგები ასახულია დიაგრამებზე) (დანართი II).

მონაცემების სტატისტიკური დამუშავების შემდეგ დავასკვენი, რომ ყველა მოსწავლემ არ იცის სწრაფი დათვლის ტექნიკა, ამიტომ აუცილებელია 5-6 კლასების მოსწავლეებისთვის სწრაფი დათვლის ხერხების გაკეთება, რათა გამოვიყენოთ ისინი გამოთვლების შესრულებისას.

გამოკითხვის შედეგები:

Კითხვა	მე-5 კლასი	6 კლასი	სულ
	დიახ	არა	არ ვიცი	დიახ	არა	არ ვიცი
გსურთ იცოდეთ?

გამოკითხვის შემაჯამებელი ცხრილი:

Კითხვა	5, 6 კლასები
	დიახ	არა	არ ვიცი
თანამედროვე ადამიანებს უნდა შეეძლოთ არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება ნატურალური რიცხვებით?
შეგიძლიათ გაამრავლოთ, დაამატოთ, გამოკლოთ რიცხვები სვეტში, გაყოთ „კუთხეზე“?
იცით არითმეტიკის სხვა გზები?
გსურთ იცოდეთ?

გამოკითხვის შედეგების მიხედვით, შეიძლება დავასკვნათ, რომ უმეტეს შემთხვევაში თანამედროვე სკოლის მოსწავლეებმა არ იციან მოქმედებების შესრულების სხვა გზები, გარდა გამრავლების, შეკრების, გამოკლების სვეტით და გაყოფის „კუთხით“, რადგან ისინი იშვიათად მიმართავენ მასალას. რომელიც სასკოლო სასწავლო გეგმის მიღმაა.

თავი I. ანგარიშის ისტორია

1. როგორ გაჩნდა რიცხვები

ადამიანებმა საგნების დათვლა ჯერ კიდევ ძველ ქვის ხანაში ისწავლეს - პალეოლითში, ათობით ათასი წლის წინ. Როგორ მოხდა? თავდაპირველად, ადამიანები მხოლოდ თვალით ადარებდნენ ერთი და იგივე საგნების სხვადასხვა რაოდენობას. მათ შეეძლოთ დაედგინათ ორი გროვიდან რომელს ჰქონდა მეტი ნაყოფი, რომელ ნახირს ჰქონდა მეტი ირემი და ა.შ. თუ ერთი ტომი დაჭერილ თევზს სხვა ტომის ხალხის მიერ დამზადებულ ქვის დანებში ცვლიდა, არ იყო საჭირო იმის დათვლა, რამდენი თევზი მოიტანეს და რამდენი დანა. საკმარისი იყო თითოეული თევზის გვერდით დანა დაედო, რომ ტომებს შორის გაცვლა მომხდარიყო.

სოფლის მეურნეობაში წარმატებით ჩართვისთვის საჭირო იყო არითმეტიკული ცოდნა. დღეების დათვლის გარეშე ძნელი იყო იმის დადგენა, როდის დათესულიყო მინდვრები, როდის დაწყებულიყო მორწყვა, როდის უნდა ველოდოთ შთამომავლობას ცხოველებისგან. საჭირო იყო იმის ცოდნა, რამდენი ცხვარი იყო ფარაში, რამდენი ტომარა მარცვლეული იყო ჩადებული ბეღელში.
და რვა ათასზე მეტი წლის წინ, ძველმა მწყემსებმა დაიწყეს თიხის კათხების დამზადება - თითო ცხვარზე. იმის გასარკვევად, დაიკარგა თუ არა ერთი ცხვარი დღის განმავლობაში, მწყემსი ყოველ ჯერზე, როცა შემდეგი ცხოველი კალმში შედიოდა, გვერდით დებდა ჭიქას. და მხოლოდ მას შემდეგ, რაც დარწმუნდა, რომ იმდენივე ცხვარი დაბრუნდა, რამდენიც იყო წრეები, მშვიდად წავიდა დასაძინებლად. მაგრამ მის ფარაში მხოლოდ ცხვარი არ იყო - ის ძოვდა ძროხებს, თხებს და ვირებს. ამიტომ სხვა ფიგურები თიხისგან უნდა გაკეთებულიყო. და თიხის ფიგურების დახმარებით ფერმერები აწარმოებდნენ ჩანაწერებს მოსავლის შესახებ, აღნიშნეს, თუ რამდენი ტომარა მარცვლეული იყო ჩადებული ბეღელში, რამდენი დოქი ზეთი იყო გამოწურული ზეთისხილიდან, რამდენი ცალი თეთრეული იყო ნაქსოვი. თუ ცხვარი შთამომავლობას აჩენდა, მწყემსი კათხებს ახალ კათხებს უმატებდა, ხოლო თუ ცხვრის ნაწილი ხორცზე მიდიოდა, რამდენიმე კათხა უნდა ამოეღოთ. ასე რომ, ჯერ კიდევ არ იცოდნენ როგორ დათვლა, უძველესი ხალხი იყო დაკავებული არითმეტიკით.

შემდეგ ადამიანთა ენაზე რიცხვები გამოჩნდა და ადამიანებმა შეძლეს საგნების, ცხოველების, დღეების რაოდენობის დასახელება. ჩვეულებრივ, ასეთი რიცხვები ცოტა იყო. მაგალითად, ავსტრალიაში მდინარე მიურეის ტომს ჰქონდა ორი მარტივი რიცხვი: enea (1) და petcheval (2). ისინი გამოხატავდნენ სხვა რიცხვებს რთული რიცხვებით: 3 = „პეტჩევალ-ენეა“, 4 „პეტჩევალ-პეტჩევალი“ და ა.შ. სხვა ავსტრალიურ ტომს, კამილოროებს, ჰქონდათ მარტივი ციფრები mal (1), bulan (2), გულიბა (3). აქ კი სხვა რიცხვები მიიღეს უფრო მცირეების მიმატებით: 4="ბულან-ბულანი", 5="ბულან-გულიბა", 6="გულიბა-გულიბა" და ა.შ.

მრავალი ხალხისთვის ნომრის დასახელება დამოკიდებული იყო დათვლილ ნივთებზე. თუ ფიჯის კუნძულების მაცხოვრებლები ნავებს ითვლიდნენ, მაშინ 10 ნომერს "ბოლო" უწოდეს; ქოქოსს რომ ითვლიდნენ, მაშინ 10 ნომერს "კარო" ერქვა. ასე მოიქცნენ ამურის ნაპირებთან სახალინზე მცხოვრები ნივხები. ჯერ კიდევ მე-19 საუკუნეში ერთსა და იმავე რიცხვს სხვადასხვა სიტყვებით ეძახდნენ, თუ ითვლიდნენ ადამიანებს, თევზებს, ნავებს, ბადეებს, ვარსკვლავებს, ჯოხებს.

ჩვენ კვლავ ვიყენებთ სხვადასხვა განუსაზღვრელ რიცხვებს „ბევრი“ მნიშვნელობით: „ბრბო“, „ნახირი“, „ფარა“, „გროვა“, „შეკვრა“ და სხვა.

წარმოებისა და ვაჭრობის განვითარებასთან ერთად, ხალხმა უკეთ გაიგო, რა საერთო აქვთ სამ ნავს და სამ ცულს, ათი ისარს და ათი თხილს. ტომები ხშირად ეწეოდნენ ნივთების გაცვლას; მაგალითად, მათ გაცვალეს 5 საკვები ფესვი 5 თევზზე. გაირკვა, რომ 5 ერთნაირია როგორც ფესვებისთვის, ასევე თევზისთვის; ასე შეიძლება ეწოდოს ერთი სიტყვით.

დათვლის მსგავს მეთოდებს სხვა ხალხებიც იყენებდნენ. ასე რომ, იყო ნუმერაციები ხუთიანებით, ათეულებით, ოცებით დათვლის საფუძველზე.

აქამდე გონებრივ დათვლაზე ვსაუბრობდი. როგორ ეწერა ნომრები? თავიდან ჯერ კიდევ მწერლობის გამოსვლამდე იყენებდნენ ჩხირებს ჯოხებზე, ღრძილებს ძვლებზე, კვანძებს თოკებზე. დოლნი-ვესტონიცეში (ჩეხოსლოვაკია) ნაპოვნი მგლის ძვალი 25000 წელზე მეტი ხნის წინ გაკეთდა 55 ჭრილში.

როცა წერა გამოჩნდა, რიცხვების დასაწერადაც იყო ნომრები. თავიდან რიცხვები წააგავდა ჯოხებზე ჭრილებს: ეგვიპტეში და ბაბილონში, ეტრურიასა და თარიღებში, ინდოეთსა და ჩინეთში მცირე რიცხვებს იწერდნენ ჯოხებით ან ტირეებით. მაგალითად, ნომერი 5 დაიწერა ხუთი ჯოხით. აცტეკები და მაია ჯოხების ნაცვლად წერტილებს იყენებდნენ. შემდეგ გამოჩნდა სპეციალური ნიშნები ზოგიერთი რიცხვისთვის, როგორიცაა 5 და 10.

იმ დროს თითქმის ყველა ნუმერაცია იყო არა პოზიციური, არამედ რომაული ნუმერაციის მსგავსი. მხოლოდ ერთი ბაბილონის სქესობრივი ნუმერაცია იყო პოზიციური. მაგრამ დიდი ხნის განმავლობაში მასში ასევე არ იყო ნული, ისევე როგორც მძიმით, რომელიც გამოყოფს მთელ ნაწილს წილადისგან. მაშასადამე, ერთი და იგივე ციფრი შეიძლება ნიშნავდეს 1, 60 და 3600. პრობლემის მნიშვნელობის მიხედვით უნდა გამოეცნოთ რიცხვის მნიშვნელობა.

ახალ ეპოქამდე რამდენიმე საუკუნით ადრე გამოიგონეს რიცხვების წერის ახალი ხერხი, რომელშიც ჩვეულებრივი ანბანის ასოები ემსახურებოდა რიცხვებს. პირველი 9 ასო აღნიშნავდა ათეულებს 10, 20, ..., 90, ხოლო კიდევ 9 ასო ასობით. ეს ანბანური ნუმერაცია მე-17 საუკუნემდე გამოიყენებოდა. "რეალური" ასოების რიცხვებისგან გასარჩევად, ასო-ნომრების ზემოთ ტირე იყო განთავსებული (რუსეთში ამ ტირეს ეძახდნენ "titlo").

ყველა ამ ნუმერაციაში ძალიან რთული იყო არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება. ამიტომ, VI საუკუნეში ინდიელების მიერ ათობითი პოზიციური ნუმერაციის გამოგონება სამართლიანად განიხილება კაცობრიობის ერთ-ერთ უდიდეს მიღწევად. ინდური ნუმერაცია და ინდური რიცხვები ევროპაში ცნობილი გახდა არაბებისგან და ჩვეულებრივ მოიხსენიება როგორც არაბული.

წილადების ხანგრძლივად წერისას მთელი ნაწილი აღირიცხებოდა ახალ ათობითი ნუმერაციაში, ხოლო წილადი - სექსისიმალში. მაგრამ XV საუკუნის დასაწყისში. სამარყანდელმა მათემატიკოსმა და ასტრონომმა ალ-კაშიმ დაიწყო ათობითი წილადების გამოყენება გამოთვლებში.

რიცხვები, რომლებთანაც ჩვენ ვმუშაობთ, არის დადებითი და უარყოფითი რიცხვები. მაგრამ გამოდის, რომ ეს არ არის ყველა რიცხვი, რომელიც გამოიყენება მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში. და მათ შესახებ შეგიძლიათ გაიგოთ საშუალო სკოლის მოლოდინის გარეშე, მაგრამ ბევრად უფრო ადრე, თუ შეისწავლით რიცხვების გაჩენის ისტორიას მათემატიკაში.

თავი II. გაანგარიშების ძველი მეთოდები

2.1. რუსი გლეხური გამრავლების მეთოდი

რუსეთში, რამდენიმე საუკუნის წინ, ზოგიერთი პროვინციის გლეხებს შორის გავრცელდა მეთოდი, რომელიც არ მოითხოვდა მთელი გამრავლების ცხრილის ცოდნას. საჭირო იყო მხოლოდ 2-ზე გამრავლება და გაყოფა.ეს მეთოდი ე.წგლეხი (არსებობს მოსაზრება, რომ ის ეგვიპტურიდან იღებს სათავეს).

მაგალითი: გავამრავლოთ 47 35-ზე,

1. ჩაწერეთ რიცხვები ერთ სტრიქონზე, დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი მათ შორის;
2. მარცხენა რიცხვს გავყოფთ 2-ზე, მარჯვენა რიცხვს გავამრავლებთ 2-ზე (თუ გაყოფისას ნაშთი წარმოიქმნება, მაშინ ნაშთს ვყრით);
3. დაყოფა მთავრდება, როდესაც მარცხნივ გამოჩნდება ერთეული;
4. ჩვენ გადავხაზავთ იმ ხაზებს, რომლებშიც მარცხნივ არის ლუწი რიცხვები;35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
5. შემდეგ დაამატეთ დარჩენილი რიცხვები მარჯვნივ - ეს არის შედეგი.

2.2. ბადის მეთოდი

გამოჩენილი არაბი მათემატიკოსი და ასტრონომი აბუ აბდალაჰ მოჰამედ ბენ მუსა ალ-ხვარიზმი ცხოვრობდა და მოღვაწეობდა ბაღდადში. მეცნიერი მუშაობდა სიბრძნის სახლში, სადაც იყო ბიბლიოთეკა და ობსერვატორია, აქ მუშაობდა თითქმის ყველა ძირითადი არაბი მეცნიერი.

მუჰამედ ალ-ხვარეზმის ცხოვრებისა და მოღვაწეობის შესახებ ძალიან მწირი ინფორმაციაა. მისი მხოლოდ ორი ნაშრომია შემორჩენილი - ალგებრაზე და არითმეტიკაზე. ამ წიგნებიდან ბოლოში მოცემულია არითმეტიკის ოთხი წესი, თითქმის იგივე, რაც დღეს გამოიყენება.

	1	3
	0	1

Მისი "ინდოეთის დათვლის წიგნი"მეცნიერმა აღწერა მეთოდი, რომელიც გამოიგონეს ძველ ინდოეთში და მოგვიანებით ე.წ"გრიდის მეთოდი". ეს მეთოდი კიდევ უფრო მარტივია, ვიდრე დღეს გამოიყენება.

მაგალითი: გავამრავლოთ 25 და 63.

დავხატოთ ცხრილი, რომელშიც ორი უჯრედი სიგრძით და ორი სიგანით ვწერთ ერთ რიცხვს სიგრძით და მეორეს სიგანეში. უჯრედებში ვწერთ ამ რიცხვების გამრავლების შედეგს, მათ გადაკვეთაზე გამოვყოფთ ათეულებსა და ერთეულებს დიაგონალით. მიღებულ რიცხვებს დიაგონალურად ვამატებთ და შედეგის წაკითხვა შესაძლებელია ისრის გასწვრივ (ქვემოთ და მარჯვნივ).

მე განვიხილე მარტივი მაგალითი, თუმცა ნებისმიერი მრავალმნიშვნელოვანი რიცხვი ამ გზით შეიძლება გამრავლდეს.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი: გავამრავლოთ 987 და 12:

1. დახაზეთ 3-ზე 2-ზე მართკუთხედი (თითოეული ფაქტორის ათწილადების რაოდენობის მიხედვით);
2. შემდეგ კვადრატულ უჯრედებს ვყოფთ დიაგონალზე;
3. ცხრილის ზედა ნაწილში ვწერთ რიცხვს 987;
4. ცხრილის მარცხნივ ნომერი 12;
5. ახლა თითოეულ კვადრატში შევიყვანთ რიცხვების ნამრავლს, რომლებიც მდებარეობს იმავე წრფეში და იმავე სვეტში ამ კვადრატთან, ათობით დიაგონალზე ქვემოთ, ზევით;
6. ყველა სამკუთხედის შევსების შემდეგ, მათში რიცხვები ემატება თითოეული დიაგონალის გასწვრივ მარჯვენა მხარეს;
7. შედეგი იკითხება ისრით.

ორი ნატურალური რიცხვის გამრავლების ეს ალგორითმი გავრცელებული იყო შუა საუკუნეებში აღმოსავლეთსა და იტალიაში.

მინდა აღვნიშნო ამ მეთოდის უხერხულობა მართკუთხა მაგიდის მომზადების შრომისმოყვარეობაში, თუმცა თავად გამოთვლის პროცესი საინტერესოა და ცხრილის შევსება თამაშს წააგავს.

2.3. თითებზე გამრავლება

ძველი ეგვიპტელები ძალიან რელიგიური იყვნენ და სჯეროდათ, რომ გარდაცვლილის სული თითებზე დათვლით გამოცდას ექვემდებარებოდა. ეს უკვე მეტყველებს იმაზე, თუ რა მნიშვნელობას ანიჭებდნენ ძველები ნატურალური რიცხვების გამრავლების შესრულების ამ მეთოდს (ე.წ.თითის ანგარიში).

თითებზე ამრავლებდნენ ერთნიშნა რიცხვებს 6-დან 9-მდე, ამისთვის ერთ ხელზე იმდენ თითს აგრძელებდნენ, რამდენსაც პირველი მამრავლი აჭარბებდა 5-ს, მეორეზე კი იგივე გააკეთეს მეორე მამრავლისთვის. დანარჩენი თითები მოხრილი ჰქონდა. ამის შემდეგ აიღეს იმდენი ათეული, რამდენიც ორივე ხელზე იყო გაშლილი თითები და ამ რიცხვს დაუმატეს პირველი და მეორე ხელის მოხრილი თითების ნამრავლი.

მაგალითი: 8 ∙ 9 = 72

მოგვიანებით თითების დათვლა გაუმჯობესდა – თითების დახმარებით 10000-მდე რიცხვების ჩვენება ისწავლეს.

თითის მოძრაობა - მეხსიერების დასახმარებლად ეს კიდევ ერთი გზაა: თითების დახმარებით დაიმახსოვრეთ 9-ის გამრავლების ცხრილი. მაგიდაზე ორივე ხელის გვერდიგვერდ დადებით, ორივე ხელის თითებს დავთვლით შემდეგნაირად: პირველი თითი მარცხნივ. აღინიშნა 1-ით, მის შემდეგ მეორე აღინიშნა 2-ით, შემდეგ 3, 4 ... მეათე თითამდე, რაც ნიშნავს 10-ს. თუ დაგჭირდებათ 9-ზე გამრავლება პირველი ცხრა რიცხვიდან, მაშინ ამისათვის, მაგიდიდან ხელების გადაადგილების გარეშე, თქვენ უნდა აწიოთ თითი, რომლის რიცხვი ნიშნავს რიცხვს, რომლითაც ცხრა მრავლდება; შემდეგ აწეული თითის მარცხნივ თითების რაოდენობა განსაზღვრავს ათეულების რაოდენობას, ხოლო თითების რაოდენობა აწეული თითის მარჯვნივ მიუთითებს მიღებული პროდუქტის ერთეულების რაოდენობაზე (იხილეთ თქვენთვის).

ასე რომ, გამრავლების ძველი მეთოდები, რომლებიც ჩვენ განვიხილეთ, აჩვენებს, რომ სკოლაში გამოყენებული ბუნებრივი რიცხვების გამრავლების ალგორითმი ერთადერთი არ არის და ის ყოველთვის არ იყო ცნობილი.

თუმცა, ის საკმაოდ სწრაფი და მოსახერხებელია.

თავი III. ზეპირი დათვლა - გონების ტანვარჯიში

3.1. შეკრების და გამოკლების სხვადასხვა გზები

დამატება

გონებრივი დამატების გაკეთების ძირითადი წესია:

რიცხვს 9-ის დასამატებლად დაუმატეთ 10 და გამოაკლო 1, 8-ის დასამატებლად დაამატეთ 10 და გამოაკლო 2; 7-ის დასამატებლად, დაამატეთ 10 და გამოვაკლოთ 3 და ა.შ. Მაგალითად:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

მიმატება ორციფრიანი რიცხვების გონებაში

თუ დამატებულ რიცხვში ერთეულების რაოდენობა 5-ზე მეტია, მაშინ რიცხვი უნდა დამრგვალდეს ზემოთ და შემდეგ გამოკლდეს დამრგვალების შეცდომა მიღებულ რაოდენობას. თუ ერთეულების რაოდენობა ნაკლებია, ჯერ ვამატებთ ათეულებს, შემდეგ კი ერთეულებს. Მაგალითად:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

სამნიშნა რიცხვების დამატება

ვამატებთ მარცხნიდან მარჯვნივ, ანუ ჯერ ასეულებს, შემდეგ ათეულებს და შემდეგ ერთებს. Მაგალითად:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

გამოკლება

იმისათვის, რომ გამოაკლოთ ორი რიცხვი თქვენს თავში, თქვენ უნდა დაამრგვალოთ გამოკლებული და შემდეგ შეასწოროთ მიღებული პასუხი.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

გამოაკლეთ 100-ზე ნაკლები რიცხვი 100-ზე მეტი რიცხვიდან

თუ სუბტრაჰენდი 100-ზე ნაკლებია და მინუენდი 100-ზე მეტია, მაგრამ 200-ზე ნაკლები, არსებობს მარტივი გზა თქვენს გონებაში სხვაობის გამოსათვლელად. 134-76=58

76 24-ით ნაკლებია 100-ზე. 134 არის 34-ით მეტი 100-ზე. დაამატეთ 24 34-ს და მიიღეთ პასუხი: 58.

152-88=64

88 არის 12-ით ნაკლები 100-ზე და 152 არის 100-ზე მეტი 52-ით, ასე რომ

152-88=12+52=64

3.2. გამრავლებისა და გაყოფის სხვადასხვა გზები

ამ თემაზე ლიტერატურის შესწავლის შემდეგ გავაკეთე არჩევანი, სწრაფი დათვლის სხვადასხვა ხერხებიდან, ავირჩიე გამრავლებისა და გაყოფის ტექნიკა, რომელიც ადვილად გასაგები და გამოსაყენებელია ნებისმიერი მოსწავლისთვის. ეს ტექნიკები ჩავიტანე მემორანდუმში (დანართი III), რომელიც გამოადგება 5-6 კლასების მოსწავლეებს.

1. რიცხვის 4-ზე გამრავლება და გაყოფა.

რიცხვის 4-ზე გასამრავლებლად საჭიროა მისი ორჯერ გამრავლება 2-ზე.

Მაგალითად:

26 4=(26 2) 2=52 2=104;

417 4=(417 2) 2=834 2=1668.

რიცხვის 4-ზე გასაყოფად ის ორჯერ უნდა გავყოთ 2-ზე.

Მაგალითად:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

1. რიცხვის გამრავლება და გაყოფა 5-ზე.

რიცხვის 5-ზე გასამრავლებლად საჭიროა მისი გამრავლება 10-ზე და გაყოფა 2-ზე.

Მაგალითად:

236 5=(236 10):2=2360:2=1180.

რიცხვის 5-ზე გასაყოფად საჭიროა 2-ის გამრავლება და 10-ზე გაყოფა, ე.ი. გამოყავით ბოლო ციფრი მძიმით.

Მაგალითად:

236:5=(236 2):10=472:10=47.2.

1. რიცხვის გამრავლება 1,5-ზე.

რიცხვის 1.5-ზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მისი ნახევარი თავდაპირველ რიცხვს.

მაგალითად: 34 1.5=34+17=51;

146 1.5=146+73=219.

1. რიცხვის 9-ზე გამრავლება.

რიცხვის 9-ზე გასამრავლებლად, დაამატეთ 0 და გამოაკელით საწყისი რიცხვი.

მაგალითად: 72 9=720-72=648.

1. გაამრავლე 25-ზე 4-ზე გაყოფილი რიცხვი.

25-ზე გასამრავლებლად რიცხვი, რომელიც იყოფა 4-ზე, უნდა გავყოთ ის 4-ზე და მიღებული რიცხვი გავამრავლოთ 100-ზე.

მაგალითად: 124 25=(124:4) 100=31 100=3100.

1. ორნიშნა რიცხვის გამრავლება 11-ზე

ორნიშნა რიცხვის 11-ზე გამრავლებისას, თქვენ უნდა შეიყვანოთ ამ ციფრების ჯამი ერთსა და ათეულს შორის, ხოლო თუ ციფრების ჯამი 10-ზე მეტია, მაშინ ერთი უნდა დაემატოს უმაღლეს ციფრს ( პირველი ციფრი).

Მაგალითად:
23 11=253, რადგან 2+3=5, ამიტომ 2-სა და 3-ს შორის ვსვამთ რიცხვს 5;
57 11=627, რადგან 5+7=12 ჩასვით რიცხვი 2 5-დან 7-მდე და დაამატეთ 1 5-ს, ჩაწერეთ 6 ნაცვლად 5-ისა.

„დაკეცეთ კიდეები, ჩადეთ შუაში“ - ეს სიტყვები დაგეხმარებათ მარტივად დაიმახსოვროთ 11-ზე გამრავლების ეს მეთოდი.

ეს მეთოდი შესაფერისია მხოლოდ ორნიშნა რიცხვების გასამრავლებლად.

1. ორნიშნა რიცხვის გამრავლება 101-ზე.

იმისათვის, რომ რიცხვი გავამრავლოთ 101-ზე, თქვენ უნდა მიაწეროთ ეს რიცხვი საკუთარ თავს.

მაგალითად: 34 101 = 3434.

გასარკვევად, 34 101 = 34 100+34 1=3400+34=3434.

1. 5-ით დამთავრებული ორნიშნა რიცხვის კვადრატი.

ორნიშნა რიცხვის კვადრატში, რომელიც მთავრდება 5-ით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ათეულის ციფრი ერთზე დიდ ციფრზე და მივამატოთ რიცხვი 25 მიღებულ ნამრავლს მარჯვნივ.
მაგალითად: 35 2 =1225, ე.ი. 3 4 \u003d 12 და მივაწერთ 25-ს 12-ს, მივიღებთ 1225-ს.

1. 5-ით დაწყებული ორნიშნა რიცხვის კვადრატი.

ხუთიდან დაწყებული ორნიშნა რიცხვის კვადრატში უნდა დაამატოთ რიცხვის მეორე ციფრი 25-ს და მეორე ციფრის კვადრატი მიანიჭოთ მარჯვნივ, ხოლო თუ მეორე ციფრის კვადრატი არის ერთნიშნა რიცხვი, მაშინ მის წინ უნდა მიენიჭოს ნომერი 0.

Მაგალითად:
52 2 = 2704, რადგან 25+2=28 და 2 2 =04;
58 2 = 3364, რადგან 25+8=33 და 82=64.

3.3. თამაშები

მიღებული ნომრის გამოცნობა.

1. მოიფიქრე რიცხვი. დაამატეთ მას 11; მიღებული თანხა გავამრავლოთ 2-ზე; ამ პროდუქტს გამოაკელი 20; გაამრავლეთ მიღებული სხვაობა 5-ზე და გამოაკლეთ რიცხვი ახალ ნამრავლს, რომელიც 10-ჯერ მეტია თქვენს მიერ დაგეგმილ რიცხვზე.მგონი 10 გაქვს. არა?
2. მოიფიქრე რიცხვი. მკურნალობა მას. შედეგს გამოვაკლოთ 1. გავამრავლოთ შედეგი 5-ზე.შედეგს დავუმატოთ 20.შედეგი გავყოთ 15-ზე.შედეგს გამოვაკლოთ მოსალოდნელი შედეგი.თქვენ მიიღეთ 1.
3. მოიფიქრე რიცხვი. გაამრავლე 6-ზე. გამოაკელი 3. გაამრავლე 2-ზე. დაამატეთ 26. გამოაკელი ორჯერ რასაც ფიქრობდი. გაყავით 10-ზე. გამოაკლეთ ის, რაც ფიქრობდით.თქვენ მიიღეთ 2.
4. მოიფიქრე რიცხვი. გაასამმავე. გამოაკლეთ 2. გაამრავლეთ 5-ზე. დაამატეთ 5. გაყავით 5-ზე. დაამატეთ 1. გაყავით იმაზე, რასაც ფიქრობდით.თქვენ მიიღეთ 3.
5. იფიქრეთ რიცხვზე, გააორმაგეთ იგი. დაუმატეთ 3. გაამრავლეთ 4-ზე. გამოაკლეთ 12. გაყავით იმაზე, რასაც ფიქრობდით.თქვენ მიიღეთ 8.

მოცემული რიცხვების გამოცნობა.

1. მოიწვიე შენი მეგობრები მოიფიქრონ ნებისმიერი რიცხვი. დაე ყველამ დაამატოს 5 თავის დანიშნულ რიცხვს.
2. მოდით, მიღებული ჯამი გავამრავლოთ 3-ზე.
3. პროდუქტს გამოვაკლოთ 7.
4. შედეგს კიდევ 8 გამოვაკლოთ.
5. ყველამ მოგცეთ ფურცელი საბოლოო შედეგით. ფურცელს რომ ათვალიერებ, მაშინვე ყველას ეუბნები, რა რიცხვი აქვს მხედველობაში.

(ჩაფიქრებული რიცხვის გამოსაცნობად, ფურცელზე დაწერილი ან ზეპირად ნათქვამი შედეგი იყოფა 3-ზე).

დასკვნა

ჩვენ შევედით ახალ ათასწლეულში! კაცობრიობის გრანდიოზული აღმოჩენები და მიღწევები. ბევრი ვიცით, ბევრის გაკეთება შეგვიძლია. რაღაც ზებუნებრივი ჩანს, რომ რიცხვებისა და ფორმულების დახმარებით შეიძლება გამოვთვალოთ კოსმოსური ხომალდის ფრენა, ქვეყანაში არსებული „ეკონომიკური მდგომარეობა“, „ხვალისთვის“ ამინდი, აღწეროთ ნოტების ხმა მელოდიაში. ჩვენთვის ცნობილია ძველი ბერძენი მათემატიკოსის, ფილოსოფოსის განცხადება, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV საუკუნეში. - პითაგორა - "ყველაფერი რიცხვია!".

გამოთვლების უძველესი მეთოდებისა და სწრაფი დათვლის თანამედროვე მეთოდების აღწერისას შევეცადე მეჩვენებინა, რომ წარსულშიც და მომავალშიც არ შეიძლება მათემატიკის გარეშე, ადამიანის გონების მიერ შექმნილი მეცნიერება.

გამოთვლის უძველესი მეთოდების შესწავლამ აჩვენა, რომ ეს არითმეტიკული ოპერაციები რთული და რთული იყო მეთოდების მრავალფეროვნებისა და მათი შრომატევადი შესრულების გამო.

გამოთვლების თანამედროვე მეთოდები მარტივი და ყველასთვის ხელმისაწვდომია.

სამეცნიერო ლიტერატურის გაცნობისას აღმოვაჩინე გაანგარიშების უფრო სწრაფი და საიმედო მეთოდები.

შესაძლებელია, რომ პირველად ბევრმა ვერ შეძლოს სწრაფად, მოგზაურობის დროს, შეასრულოს ეს ან სხვა გამოთვლები. თავიდანვე არ გამოვიყენოთ ნამუშევარში ნაჩვენები ტექნიკა. Არაა პრობლემა. საჭიროა მუდმივი გამოთვლითი ვარჯიში. გაკვეთილი გაკვეთილზე, წლიდან წლამდე. ეს ხელს შეუწყობს ზეპირი დათვლის სასარგებლო უნარების შეძენას.

გერმანელ მეცნიერს კარლ გაუსს მათემატიკოსთა მეფეს უწოდებდნენ. მისი მათემატიკური ნიჭი უკვე ბავშვობაში გამოიხატა. ერთხელ სკოლაში (გაუსი 10 წლის იყო), მასწავლებელმა კლასს სთხოვა შეეკრიბა ყველა რიცხვი 1-დან 100-მდე. სანამ ის კარნახობდა დავალებას, გაუსს უკვე მზად ჰქონდა პასუხი. მის ფიქაზე ეწერა: 101 50=5050. როგორ გამოთვალა? ეს ძალიან მარტივია - მან გამოიყენა სწრაფი დათვლის ტექნიკა, პირველი რიცხვი დაუმატა ბოლოს, მეორე - წინაბოლოზე და ა.შ. მხოლოდ 50 ასეთი ჯამია და თითოეული უდრის 101-ს, ამიტომ მან შეძლო სწორი პასუხის გაცემა თითქმის მყისიერად.

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101 50=5050. ეს მაგალითი ყველაზე კარგად აჩვენებს, რომ თითქმის ყველა სკოლის მოსწავლეს შეუძლია ზეპირად სწრაფად და სწორად დათვლა, ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ სწრაფი დათვლის მეთოდები.

ჩემი მუშაობის შედეგები დავწერე მემორანდუმში, რომელსაც შევთავაზებ ყველა ჩემს კლასელს და ასევე განვათავსებ სკოლის თემატურ სტენდზე „საინტერესოა!“. შესაძლებელია, რომ თავიდანვე ყველას არ შეეძლოს სწრაფად, მოძრაობაში, შეასრულოს გამოთვლები ამ ტექნიკის გამოყენებით, მაშინაც კი, თუ თავდაპირველად ვერ გამოიყენებთ მემორანდუმში ნაჩვენები ტექნიკას, არა უშავს, უბრალოდ საჭიროა მუდმივი გამოთვლები. ტრენინგი. ეს დაგეხმარებათ შეიძინოთ სწრაფი დათვლის სასარგებლო უნარები.

მონაცემების სტატისტიკური დამუშავების შემდეგ მიღებული იქნა შემდეგი შედეგები.შედეგები:

1. უნდა შეგეძლოს დათვლა, რადგან ეს გამოგადგება ცხოვრებაში, მოსწავლეთა 93%-ს მიაჩნია, რომ სკოლაში კარგად სწავლისთვის - 72%, სწრაფად გადაწყვეტილების მისაღებად - 61%, წიგნიერებისთვის - 34% და ასეა. არ არის საჭირო დათვლა - მხოლოდ 3%.
2. კარგი დათვლის უნარი აუცილებელია მათემატიკის შესწავლისას, მოსწავლეთა 100%-ის აზრით, ასევე ფიზიკის სწავლისას - 90%, ქიმიის - 80%, კომპიუტერული მეცნიერების - 44%, ტექნოლოგიების - 36%.
3. 16%-მა (ბევრი ხრიკი), 25%-მა (რამდენიმე ხრიკმა) იცის სწრაფი დათვლის ხრიკები, სტუდენტების 59%-მა არ იცის სწრაფი დათვლის ილეთები.
4. სტუდენტების 21% იყენებს სწრაფ დათვლის ტექნიკას, ზოგჯერ კი 15%.
5. სტუდენტების 93%-ს სურს ისწავლოს სწრაფად დათვლა.

დასკვნები:

1. სწრაფი დათვლის ტექნიკის ცოდნა საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები, დაზოგოთ დრო, განავითაროთ ლოგიკური აზროვნება და გონების მოქნილობა.
2. სასკოლო სახელმძღვანელოებში პრაქტიკულად არ არსებობს სწრაფი დათვლის ტექნიკა, ამიტომ ამ სამუშაოს შედეგი - სწრაფი დათვლის სახელმძღვანელო ძალიან გამოადგებათ 5-6 კლასების მოსწავლეებს.

გამოყენებული ლიტერატურის სია

1. ვანციანი ა.გ. მათემატიკა: სახელმძღვანელო მე-5 კლასისთვის. - სამარა: ფედოროვის გამომცემლობა, 1999 წ.
2. Kordemsky B.A., Akhadov A.A. რიცხვების საოცარი სამყარო: სტუდენტთა წიგნი, - მ. განმანათლებლობა, 1986 წ.
3. მინსკის ე.მ. „თამაშიდან ცოდნამდე“, მ., „განმანათლებლობა“, 1982 წ
4. სვეჩნიკოვი ა.ა. რიცხვები, ფიგურები, ამოცანები. მ., განმანათლებლობა, 1977 წ.დიახ არა არ ვიცი https://accounts.google.com

სალარო აპარატების და კალკულატორების ეპოქაში ადამიანები სულ უფრო და უფრო ნაკლებად ითვლიან თავში. ისინი თითქმის მთლიანად გადავიდნენ კომპიუტერულ ტექნოლოგიაზე, მაგრამ ის ხშირად ვერ ხერხდება, ან უბრალოდ არ იქნება იქ, როცა საჭირო იქნება. ჩვენ შეუმჩნევლად ვკარგავთ ზუსტი და სწრაფი დათვლის უნარს და ზოგჯერ დაგვიანებით ვაცნობიერებთ, რომ ამ საქმეში არც ისე კარგად ვართ. მაგრამ, გონებაში სწრაფად ჩათვლა უდავო უპირატესობა და უპირატესობაა. ადამიანი, რომელიც ადვილად მუშაობს ციფრებთან, თითქმის არასოდეს მოტყუვდება გამოთვლებში. მაგრამ მთავარია ის განავითაროს და ფორმაში შეინარჩუნოს გონებრივი შესაძლებლობები, რაც მნიშვნელოვანია ბავშვებისთვის და ახალგაზრდებისთვის.

როგორ ვისწავლოთ სწრაფად დათვლა ბავშვის გონებაში

ყველა უნარი საუკეთესოდ ვითარდება და განმტკიცებულია ბავშვობაში. თვლა, ასევე კითხვა შეგიძლიათ ისწავლოთ 1,5-2 წლიდან. ამ ასაკის თავისებურება ის არის, რომ ბავშვი ჯერ პასიურ ცოდნას დააგროვებს – გაიგებს, იცის, მაგრამ მცირე ლექსიკის გამო ცოტას ილაპარაკებს. ხუთ წლამდე ბავშვს შეუძლია ისწავლოს გონებაში მარტივი მოქმედებების შესრულება - გამოკლება და დამატება ოცში. თუ ორ-სამ წელიწადნახევარში იყენებთ ვიზუალურ მეთოდებს სწავლებისას, მოგვიანებით ბავშვი შეძლებს მუშაობას მხოლოდ რიცხვებით, ვიზუალური მასალით გამაგრების გარეშე.

თუ გსურთ, რომ თქვენს შვილს მეტი შანსი ჰქონდეს, რომ დიდი მნიშვნელობებით და მათემატიკური ოპერაციებით მუშაობის პროცესი უფრო ადვილი და სწრაფი იყოს, მაშინ უნდა ასწავლოთ მას დათვლა რაც შეიძლება ადრე.

ჯობია ოთხ წლამდე ბავშვებს ვიზუალური მასალებით ვასწავლოთ. შეგიძლია დათვალო რაც გინდა. ცეცხლისკენ მიმავალი სახანძრო მანქანები, მოტოციკლისტები, რომლებიც თქვენს გვერდით ღრიალებენ, კატები მზეზე ტრიალებენ, ფრინველთა ფარები - თქვენს ირგვლივ ყველაფერი შეიძლება დათვალოთ. დათვლის უნარით ერთდროულად განვითარდება დაკვირვება და ყურადღება. თანდათან გაზარდეთ დატვირთვა. დილით დაინახეთ 2 კატა, სახლში დაბრუნებისას კი კიდევ 3. ჰკითხეთ თქვენს შვილს: „შენიშნა თუ არა, რომ დღეს ამდენი კატაა! რამდენად შენიშნა მან? შეაქეთ იგი მისი სიზუსტისთვის და დაკვირვებისთვის, რადგან ეს თვისებები გამოადგება მას ცხოვრებაში.

დაწყებით სკოლაში ბავშვს სჭირდება სწრაფად და თავისუფლად გააკეთოს ნებისმიერი გამოთვლა სკოლის სასწავლო გეგმით განსაზღვრულ ფარგლებში. იმისათვის, რომ ისწავლოთ სწრაფად დათვლა, საჭიროა მუდმივი ვარჯიში. ამიტომ, მშობლების ამოცანაა წაახალისონ ბავშვი დათვალოს და გახადოს ის საინტერესო. რაც უფრო ხშირად ივარჯიშებს თქვენი შვილი, მით უფრო ადვილი იქნება მისთვის გონებაში ზუსტი და სწრაფი გამოთვლების გაკეთება.

როგორ ვისწავლოთ სწრაფად დათვლა, როგორც ზრდასრული

თუ ბავშვი ბავშვობიდან ივარჯიშებს სწრაფ დათვლაში, მაშინ დროთა განმავლობაში ის დიდი ღირებულებებით იმუშავებს დიდი ძალისხმევის გარეშე. მაგრამ თუ უფრო ზრდასრული ასაკის ადამიანი ან სტუდენტი გადაწყვეტს დაეუფლოს სწრაფი ანგარიშის, მაშინ აუცილებელია გამოიყენოს მარტივი ტექნიკა, რომელიც უდავოდ მოიტანს დადებით შედეგს.

ყოველი სწავლა იწყება პატარა. თუ იცით გამრავლების ცხრილი, ეს შესანიშნავია. თუ დაგავიწყდათ, ან არასოდეს იცოდით, უნდა გამოიყენოთ დათვლის ეს მეთოდი. მაგალითად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი იქნება 8x6. ჩვენ ვწერთ მაგალითს ასე:

რა ხდება, როცა ძაღლი სახეს იწურავს

როგორ მოიქცეთ, თუ გარშემორტყმული ხართ ბოღმებით

ათი ჩვევა, რომელიც ადამიანებს ქრონიკულად უბედურს ხდის

2 4
—-=48
8x6

პასუხი 48. მივიღეთ 8x6 მაგალითის დაწერით, გავავლეთ სწორი ხაზი და თითოეულ ციფრზე დავწერეთ რამდენი აკლია 10-ს. 8-ზე ვწერთ 2-ს, 6-ზე ვწერთ 4-ს. პასუხის პირველი ციფრია. განსხვავება ქვედა და ზედა რიგების რიცხვებს შორის დიაგონალურად. 8-4=4, 6-2=4 - შეგიძლიათ ნებისმიერი წყვილი აიღოთ გამოსათვლელად - პასუხი ყოველთვის იგივე იქნება. ჩვენ მივხვდით, რომ პირველი ციფრი არის 4. ახლა ვიპოვოთ მეორე. ამისათვის გაამრავლეთ ზედა რიგის რიცხვები 2x4 = 8. ჩვენი მაგალითი ამოხსნილია: 8x6=48.

უფრო დიდი რიცხვები განიხილება ოდნავ განსხვავებულად. მაგალითად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ 11x13.

1 3
——=140+3=143
11x13

ქვედა სტრიქონში ვწერთ მაგალითს 11x13. ზევით ვწერთ რამდენს აღემატება ეს რიცხვები 10-ს. მივიღებთ 1 და 3. დავამატოთ რიცხვები დიაგონალზე. ვიღებთ 11+3=14, 13+1=14. მივიღეთ 14 ათეული, რადგან თავდაპირველი რიცხვები აღემატება 10-ს. ამიტომ ვამრავლებთ 14-ს 10-ზე. 14x10 \u003d 140. რჩება მხოლოდ ზედა რიცხვების 1x3 \u003d 3 გამრავლება და მიღებული ფიგურის პასუხზე დამატება.

ასეთი გაანგარიშების მეთოდების განხორციელება რთულია მხოლოდ თავიდან. ამიტომ, დაიწყეთ მარტივი მაგალითებით და თანდათან გაართულეთ. მაგრამ იმისათვის, რომ ისწავლოთ გონებაში დათვლა, თქვენ მთლიანად უნდა მოიშოროთ ნოტები და ყველაფერი გააკეთოთ თქვენს თავში.

ბავშვებსაც შეუძლიათ ამ გზით ასწავლონ, მაგრამ მხოლოდ მაშინ, როცა მათ სრულად იციან სასკოლო სასწავლო გეგმა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ მიაღწევთ დადებით შედეგებს, არამედ მხოლოდ ზიანს აყენებთ სასკოლო ცოდნის ათვისებას.

როდესაც დაეუფლებით ორნიშნა რიცხვებით მანიპულირებას, შეგიძლიათ გადახვიდეთ მრავალნიშნა რიცხვების გამოთვლაზე - ასობით და თუნდაც ათასობით.

ვიდეო გაკვეთილები