I ტრიგონომეტრიული ფორმა. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული და ექსპონენციალური ფორმები

3.1. პოლარული კოორდინატები

ხშირად გამოიყენება თვითმფრინავში პოლარული კოორდინატთა სისტემა . იგი განისაზღვრება, თუ წერტილი O არის მოცემული, ე.წ ბოძიდა ბოძიდან გამომავალი სხივი (ჩვენთვის ეს არის ღერძი Ox) არის პოლარული ღერძი. M წერტილის პოზიცია ფიქსირდება ორი რიცხვით: რადიუსი (ან რადიუსის ვექტორი) და კუთხე φ პოლარულ ღერძსა და ვექტორს შორის.კუთხე φ ეწოდება პოლარული კუთხე; ის იზომება რადიანებში და ითვლება პოლარული ღერძიდან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

წერტილის პოზიცია პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია რიცხვების მოწესრიგებული წყვილით (r; φ). ბოძზე r = 0და φ არ არის განსაზღვრული. ყველა სხვა პუნქტისთვის r > 0და φ განისაზღვრება 2π-ის ჯერადამდე. ამ შემთხვევაში რიცხვების წყვილებს (r; φ) და (r 1 ; φ 1) ენიჭებათ ერთი და იგივე წერტილი, თუ .

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის xOyწერტილის დეკარტის კოორდინატები ადვილად გამოისახება მისი პოლარული კოორდინატების მიხედვით შემდეგნაირად:

3.2. რთული რიცხვის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

განვიხილოთ სიბრტყეზე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა xOy.

ნებისმიერ კომპლექსურ რიცხვს z=(a, b) ენიჭება სიბრტყის წერტილი კოორდინატებით ( x, y), სადაც კოორდინატი x = a, ე.ი. რთული რიცხვის რეალური ნაწილი და კოორდინატი y = bi არის წარმოსახვითი ნაწილი.

სიბრტყე, რომლის წერტილები რთული რიცხვებია, რთული სიბრტყეა.

ფიგურაში, კომპლექსური რიცხვი z = (a, b)მატჩის წერტილი M(x, y).

ვარჯიში.დახაზეთ რთული რიცხვები კოორდინატულ სიბრტყეზე:

3.3. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

სიბრტყეში კომპლექსურ რიცხვს აქვს წერტილის კოორდინატები M(x; y). სადაც:

რთული რიცხვის დაწერა - რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

რიცხვი r ეწოდება მოდული რთული რიცხვი ზდა აღინიშნება. მოდული არის არაუარყოფითი რეალური რიცხვი. ამისთვის .

მოდული არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ z = 0, ე.ი. a=b=0.

რიცხვი φ ეწოდება არგუმენტი ზ და აღნიშნა. z არგუმენტი ორაზროვნად არის განსაზღვრული, ისევე როგორც პოლარული კუთხე პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში, კერძოდ, 2π-ის ჯერადამდე.

მაშინ ვიღებთ: , სადაც φ არის არგუმენტის უმცირესი მნიშვნელობა. აშკარაა რომ

თემის უფრო ღრმა შესწავლით შემოდის დამხმარე არგუმენტი φ*, ისეთი რომ

მაგალითი 1. იპოვეთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

გადაწყვეტილება. 1) განვიხილავთ მოდულს: ;

2) ვეძებ φ: ;

3) ტრიგონომეტრიული ფორმა:

მაგალითი 2იპოვეთ რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა .

აქ საკმარისია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ჩანაცვლება და გამოხატვის გარდაქმნა:

მაგალითი 3იპოვეთ რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი;

1) ;

2) ; φ - 4 კვარტალში:

3.4. მოქმედებები რთული რიცხვებით ტრიგონომეტრიული ფორმით

· შეკრება და გამოკლებაუფრო მოსახერხებელია რთული რიცხვებით შესრულება ალგებრული ფორმით:

· გამრავლება– მარტივი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნების დახმარებით შეიძლება აჩვენოს, რომ გამრავლებისას მრავლდება რიცხვების მოდულები და ემატება არგუმენტები: ;

რთული რიცხვები XI

§ 256. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა

მოდით კომპლექსური რიცხვი a + bi შეესაბამება ვექტორს OA> კოორდინატებით ( ა, ბ ) (იხ. სურ. 332).

აღნიშნეთ ამ ვექტორის სიგრძე რ და კუთხე, რომელიც ქმნის ღერძთან X , მეშვეობით φ . სინუსის და კოსინუსის განმარტებით:

ა / რ = cos φ , ბ / რ = ცოდვა φ .

Ისე ა = რ cos φ , ბ = რ ცოდვა φ . მაგრამ ამ შემთხვევაში რთული რიცხვი a + bi შეიძლება დაიწეროს როგორც:

a + bi = რ cos φ + ირ ცოდვა φ = რ (კოს φ + მე ცოდვა φ ).

მოგეხსენებათ, ნებისმიერი ვექტორის სიგრძის კვადრატი უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამს. Ისე რ 2 = ა 2 + ბ 2, საიდანაც რ = √ა 2 + ბ 2

Ისე, ნებისმიერი რთული რიცხვი a + bi შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც :

a + bi = რ (კოს φ + მე ცოდვა φ ), (1)

სადაც რ = √ა 2 + ბ 2 და კუთხე φ განისაზღვრება მდგომარეობიდან:

რთული რიცხვების ჩაწერის ამ ფორმას ეწოდება ტრიგონომეტრიული.

ნომერი რ ფორმულაში (1) ეწოდება მოდულიდა კუთხე φ - არგუმენტი, რთული რიცხვი a + bi .

თუ რთული რიცხვია a + bi არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მისი მოდული დადებითია; თუ a + bi = 0, მაშინ a = b = 0 და შემდეგ რ = 0.

ნებისმიერი რთული რიცხვის მოდული ცალსახად არის განსაზღვრული.

თუ რთული რიცხვია a + bi არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მისი არგუმენტი განისაზღვრება ფორმულებით (2) აუცილებლად 2-ის კუთხის ჯერადამდე π . თუ a + bi = 0, მაშინ a = b = 0. ამ შემთხვევაში რ = 0. ფორმულიდან (1) ადვილი გასაგებია, რომ როგორც არგუმენტი φ ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ აირჩიოთ ნებისმიერი კუთხე: ბოლოს და ბოლოს, ნებისმიერისთვის φ

0 (კოს φ + მე ცოდვა φ ) = 0.

ამიტომ ნულოვანი არგუმენტი არ არის განსაზღვრული.

კომპლექსური რიცხვების მოდული რ ზოგჯერ აღნიშნავენ | ზ |, და არგუმენტი არგ ზ . მოდით შევხედოთ რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით გამოსახვის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი. ერთი. 1 + მე .

მოდი ვიპოვოთ მოდული რ და არგუმენტი φ ეს ნომერი.

რ = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

ამიტომ ცოდვა φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, საიდანაც φ = π / 4 + 2ნπ .

ამრიგად,

1 + მე = √ 2 ,

სადაც პ - ნებისმიერი მთელი რიცხვი. ჩვეულებრივ, რთული რიცხვის არგუმენტის მნიშვნელობების უსასრულო სიმრავლიდან, არჩეულია ერთი, რომელიც არის 0-დან 2-მდე. π . ამ შემთხვევაში, ეს მნიშვნელობა არის π / 4 . Ისე

1 + მე = √ 2 (კოს π / 4 + მე ცოდვა π / 4)

მაგალითი 2ტრიგონომეტრიული ფორმით ჩაწერეთ რთული რიცხვი √ 3 - მე . Ჩვენ გვაქვს:

რ = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, ცოდვა φ = - 1 / 2

მაშასადამე, კუთხემდე, რომელიც იყოფა 2-ზე π , φ = 11 / 6 π ; აქედან გამომდინარე,

√ 3 - მე = 2 (cos 11/6 π + მე ცოდვა 11/6 π ).

მაგალითი 3ტრიგონომეტრიული ფორმით ჩაწერეთ რთული რიცხვი მე .

რთული რიცხვი მე შეესაბამება ვექტორს OA> ღერძის A წერტილში დამთავრებული ზე ორდინატთან 1 (სურ. 333). ასეთი ვექტორის სიგრძე უდრის 1-ს, ხოლო კუთხე, რომელსაც ის ქმნის აბსცისის ღერძთან ტოლია π / 2. Ისე

მე = cos π / 2 + მე ცოდვა π / 2 .

მაგალითი 4დაწერეთ რთული რიცხვი 3 ტრიგონომეტრიული ფორმით.

კომპლექსური ნომერი 3 შეესაბამება ვექტორს OA > X აბსციზა 3 (სურ. 334).

ასეთი ვექტორის სიგრძე არის 3, ხოლო კუთხე, რომელსაც ის ქმნის x ღერძთან არის 0. მაშასადამე

3 = 3 (cos 0 + მე ცოდვა 0),

მაგალითი 5ტრიგონომეტრიული ფორმით ჩაწერეთ რთული რიცხვი -5.

კომპლექსური რიცხვი -5 შეესაბამება ვექტორს OA> ღერძის წერტილთან დამთავრებული X აბსცისით -5 (სურ. 335). ასეთი ვექტორის სიგრძეა 5, ხოლო კუთხე, რომელსაც ის ქმნის x ღერძთან არის π . Ისე

5 = 5 (კოს π + მე ცოდვა π ).

Სავარჯიშოები

2047. ჩაწერეთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით, განსაზღვრეთ მათი მოდულები და არგუმენტები:

1) 2 + 2√3 მე , 4) 12მე - 5; 7).3მე ;

2) √3 + მე ; 5) 25; 8) -2მე ;

3) 6 - 6მე ; 6) - 4; 9) 3მე - 4.

2048. სიბრტყეზე მიუთითეთ რთული რიცხვების გამომსახველი წერტილების სიმრავლე, რომელთა მოდულები r და არგუმენტები φ აკმაყოფილებს პირობებს:

1) რ = 1, φ = π / 4 ; 4) რ < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) რ =2; 5) 2 < რ <3; 8) 0 < φ < я;

3) რ < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < რ < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. შეიძლება თუ არა რიცხვები ერთდროულად იყოს რთული რიცხვის მოდული? რ და - რ ?

2050. შეიძლება კომპლექსური რიცხვის არგუმენტი იყოს კუთხეები ერთდროულად φ და - φ ?

წარმოადგინეთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით მათი მოდულებისა და არგუმენტების განსაზღვრით:

2051 *. 1 + cos α + მე ცოდვა α . 2054 *. 2 (20° - მე ცოდვა 20°).

2052 *. ცოდვა φ + მე cos φ . 2055 *. 3(- ფასი 15° - მე ცოდვა 15°).

2.3. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა

კომპლექსურ სიბრტყეზე ვექტორი იყოს მოცემული რიცხვით.

ფ-ით აღნიშნეთ კუთხე დადებით ნახევრადღერძს Ox-სა და ვექტორს შორის (კუთხე φ ითვლება დადებითად, თუ ის ითვლება საათის საწინააღმდეგოდ, ხოლო უარყოფითი).

აღნიშნეთ ვექტორის სიგრძე r-ით. მაშინ . ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ

არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის z ჩაწერა როგორც

ეწოდება z რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა. რიცხვს r ეწოდება z რთული რიცხვის მოდული, ხოლო φ რიცხვს ამ რთული რიცხვის არგუმენტი და აღინიშნება Arg z-ით.

რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა - (ეილერის ფორმულა) - რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა:

კომპლექსურ რიცხვს z აქვს უსასრულოდ ბევრი არგუმენტი: თუ φ0 არის z რიცხვის რომელიმე არგუმენტი, მაშინ ყველა დანარჩენი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით.

რთული რიცხვისთვის არგუმენტი და ტრიგონომეტრიული ფორმა არ არის განსაზღვრული.

ამრიგად, არანულოვანი რთული რიცხვის არგუმენტი არის განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი:

(3)

z რთული რიცხვის არგუმენტის φ მნიშვნელობას, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას, ეწოდება მთავარი მნიშვნელობა და აღინიშნება arg z-ით.

არგუმენტები Arg z და arg z დაკავშირებულია თანასწორობით

, (4)

ფორმულა (5) არის (3) სისტემის შედეგი, ამიტომ რთული რიცხვის ყველა არგუმენტი აკმაყოფილებს ტოლობას (5), მაგრამ (5) განტოლების φ ამონახსნები არ არის z რიცხვის არგუმენტები.

არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა გვხვდება ფორმულებით:

ტრიგონომეტრიული ფორმით რთული რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის ფორმულები შემდეგია:

. (7)

რთული რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანისას გამოიყენება დე მოივრის ფორმულა:

რთული რიცხვიდან ფესვის ამოღებისას გამოიყენება ფორმულა:

, (9)

სადაც k=0, 1, 2, ..., n-1.

ამოცანა 54. გამოთვალეთ, სადაც .

ამ გამოთქმის ამონახსნი წარმოვადგინოთ რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური სახით: .

თუ , მაშინ .

მაშინ, . ამიტომ, მაშინ და , სადაც .

პასუხი: , ზე.

ამოცანა 55. დაწერეთ რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

ა) ; ბ) ; in) ; გ) ; ე) ; ე) ; ზ).

ვინაიდან რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა არის , მაშინ:

ა) კომპლექსურ რიცხვში: .

Ისე

ბ) , სად,

გ) , სად,

ე) .

ზ) , ა , მაშინ .

Ისე

პასუხი: ; 4; ; ; ; ; .

ამოცანა 56. იპოვეთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

დაე იყოს, .

მაშინ, , .

რადგან და , , შემდეგ , და

ამიტომ, ამიტომ

პასუხი: , სადაც .

ამოცანა 57. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმის გამოყენებით შეასრულეთ შემდეგი მოქმედებები: .

წარმოიდგინეთ რიცხვები და ტრიგონომეტრიული ფორმით.

1), სადაც მაშინ

მთავარი არგუმენტის მნიშვნელობის პოვნა:

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები და გამოსახულებაში მივიღებთ

2) სად მაშინ

მერე

3) იპოვეთ კოეფიციენტი

თუ დავუშვებთ k=0, 1, 2, მივიღებთ სასურველი ფესვის სამ განსხვავებულ მნიშვნელობას:

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ .

პასუხი::

: .

ამოცანა 58. იყოს , , , სხვადასხვა რთული რიცხვები და . დაამტკიცე რომ

რიცხვი არის რეალური დადებითი რიცხვი;

ბ) თანასწორობა ხდება:

ა) წარმოვიდგინოთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

როგორც .

მოდი ვიფიქროთ, რომ. მერე

ბოლო გამოხატულება არის დადებითი რიცხვი, რადგან სინუს ნიშნების ქვეშ არის რიცხვები ინტერვალიდან.

რადგან ნომერი რეალური და პოზიტიური. მართლაც, თუ a და b რთული რიცხვებია და არიან ნამდვილები და ნულზე მეტი, მაშინ .

გარდა ამისა,

მაშასადამე მტკიცდება საჭირო თანასწორობა.

ამოცანა 59. რიცხვი ჩაწერეთ ალგებრული ფორმით .

ჩვენ წარმოვადგენთ რიცხვს ტრიგონომეტრიული ფორმით და შემდეგ ვპოულობთ მის ალგებრულ ფორმას. Ჩვენ გვაქვს . ამისთვის ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

აქედან გამომდინარეობს თანასწორობა: .

დე მოივრის ფორმულის გამოყენება:

ვიღებთ

ნაპოვნია მოცემული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

ჩვენ ახლა ვწერთ ამ რიცხვს ალგებრული ფორმით:

პასუხი: .

ამოცანა 60. იპოვეთ ჯამი , ,

განიხილეთ ჯამი

დე მოივრის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვხვდებით

ეს ჯამი არის გეომეტრიული პროგრესიის n პუნქტების ჯამი მნიშვნელთან და პირველი წევრი .

ასეთი პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულის გამოყენება გვაქვს

ბოლო გამონათქვამში წარმოსახვითი ნაწილის გამოყოფით ვპოულობთ

რეალური ნაწილის გამოყოფისას ასევე ვიღებთ შემდეგ ფორმულას: , , .

ამოცანა 61. იპოვეთ ჯამი:

ა) ; ბ) .

ნიუტონის ძალაუფლებამდე ამაღლების ფორმულის მიხედვით გვაქვს

დე მოივრის ფორმულის მიხედვით ვხვდებით:

მიღებული გამონათქვამების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გავატოლებით, გვაქვს:

და .

ეს ფორმულები შეიძლება დაიწეროს კომპაქტურ ფორმაში შემდეგნაირად:

, სად არის a რიცხვის მთელი ნაწილი.

ამოცანა 62. იპოვე ყველა, რისთვისაც .

Იმდენად, რამდენადაც , შემდეგ ფორმულის გამოყენება

, ფესვების ამოსაღებად ვიღებთ ,

აქედან გამომდინარე, , ,

, .

რიცხვების შესაბამისი წერტილები განლაგებულია კვადრატის წვეროებზე, რომელიც ჩაწერილია 2 რადიუსის წრეში, ცენტრით (0;0) წერტილში (სურ. 30).

პასუხი: , ,

, .

ამოცანა 63. ამოხსენით განტოლება , .

პირობით; მაშასადამე, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვი და, მაშასადამე, იგი განტოლების ტოლფასია.

იმისათვის, რომ z რიცხვი იყოს ამ განტოლების ფესვი, რიცხვი უნდა იყოს რიცხვი 1-ის n-ე ფესვი.

აქედან დავასკვნით, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ფესვები, რომლებიც განისაზღვრება ტოლობებიდან

ამრიგად,

ე.ი. ,

პასუხი: .

ამოცანა 64. ამოხსენით განტოლება კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეში.

ვინაიდან რიცხვი არ არის ამ განტოლების ფესვი, მაშინ ეს განტოლებისთვის უდრის განტოლებას

ანუ განტოლება.

ამ განტოლების ყველა ფესვი მიღებულია ფორმულიდან (იხ. ამოცანა 62):

; ; ; ; .

ამოცანა 65. კომპლექსურ სიბრტყეზე დახაზეთ წერტილთა სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას: . (45 პრობლემის გადაჭრის მე-2 გზა)

დაე იყოს .

კომპლექსური რიცხვები იგივე მოდულებით შეესაბამება სიბრტყის წერტილებს, რომლებიც დევს საწყისზე ორიენტირებულ წრეზე, ამიტომ უტოლობა დააკმაყოფილოს ღია რგოლის ყველა წერტილი, რომელიც შემოსაზღვრულია წრეებით საწყისთან და რადიუსებით საერთო ცენტრით და (სურ. 31). დაე, რთული სიბრტყის რომელიმე წერტილი შეესაბამებოდეს რიცხვს w0. ნომერი , აქვს w0 მოდულზე ჯერ პატარა მოდული, არგუმენტი, რომელიც აღემატება w0 არგუმენტს. გეომეტრიული თვალსაზრისით, w1-ის შესაბამისი წერტილი შეიძლება მივიღოთ საწყისზე და კოეფიციენტზე ორიენტირებული ჰომოთეტიკის გამოყენებით, ასევე საწყისთან შედარებით საათის ისრის საწინააღმდეგო ბრუნვის გამოყენებით. ამ ორი გარდაქმნის რგოლის წერტილებზე გამოყენების შედეგად (სურ. 31), ეს უკანასკნელი გადაიქცევა რგოლად, რომელიც შემოსაზღვრავს წრეებით იგივე ცენტრით და რადიუსებით 1 და 2 (სურ. 32).

ტრანსფორმაცია ხორციელდება ვექტორზე პარალელური ტრანსლაციის გამოყენებით. წერტილზე ორიენტირებული რგოლის მითითებულ ვექტორზე გადატანით, ვიღებთ იმავე ზომის რგოლს, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე (სურ. 22).

შემოთავაზებული მეთოდი, რომელიც იყენებს თვითმფრინავის გეომეტრიული გარდაქმნების იდეას, ალბათ ნაკლებად მოსახერხებელია აღწერილობაში, მაგრამ ძალიან ელეგანტური და ეფექტურია.

ამოცანა 66. იპოვეთ თუ .

მოდით, მაშინ და. ორიგინალური თანასწორობა მიიღებს ფორმას . ორი რთული რიცხვის ტოლობის პირობიდან ვიღებთ , , საიდანაც , . ამრიგად, .

რიცხვი z ჩავწეროთ ტრიგონომეტრიული ფორმით:

, სად , . დე მოივრის ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ .

პასუხი: - 64.

ამოცანა 67. რთული რიცხვისთვის იპოვეთ ყველა რთული რიცხვი ისეთი, რომ , და .

გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით:

. აქედან გამომდინარე, . ჩვენ მიერ მიღებული რიცხვისთვის შეიძლება ტოლი იყოს რომელიმეს.

პირველ შემთხვევაში , მეორეში

პასუხი:, .

ამოცანა 68. იპოვეთ ისეთი რიცხვების ჯამი, რომ . მიუთითეთ ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი.

გაითვალისწინეთ, რომ უკვე პრობლემის ფორმულირებიდან შეიძლება გავიგოთ, რომ განტოლების ფესვების ჯამი შეიძლება მოიძებნოს თავად ფესვების გამოთვლის გარეშე. მართლაც, განტოლების ფესვების ჯამი არის კოეფიციენტი , აღებული საპირისპირო ნიშნით (განზოგადებული ვიეტას თეორემა), ე.ი.

მოსწავლეები, სასკოლო დოკუმენტაცია, აკეთებენ დასკვნებს ამ ცნების ათვისების ხარისხის შესახებ. შეაჯამეთ მათემატიკური აზროვნების თავისებურებების შესწავლა და რთული რიცხვის ცნების ჩამოყალიბების პროცესი. მეთოდების აღწერა. დიაგნოსტიკა: I სტადია. გასაუბრება ჩატარდა მათემატიკის მასწავლებელთან, რომელიც მე-10 კლასში ასწავლის ალგებრასა და გეომეტრიას. საუბარი შედგა გარკვეული დროის გასვლის შემდეგ...

რეზონანსი "(!)), რომელიც ასევე მოიცავს საკუთარი ქცევის შეფასებას. 4. სიტუაციის გაგების კრიტიკული შეფასება (ეჭვები). 5. და ბოლოს, იურიდიული ფსიქოლოგიის რეკომენდაციების გამოყენება (ადვოკატის ანგარიში შესრულებული პროფესიული ქმედებების ფსიქოლოგიური ასპექტები არის პროფესიული ფსიქოლოგიური მზადყოფნა) ახლა განვიხილოთ სამართლებრივი ფაქტების ფსიქოლოგიური ანალიზი. ...

ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მათემატიკა და შემუშავებული სწავლების მეთოდოლოგიის ეფექტურობის შემოწმება. მუშაობის ეტაპები: 1. არჩევითი კურსის შემუშავება თემაზე: „ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება ალგებრული ამოცანების ამოხსნისას“ მოსწავლეებთან მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით კლასებში. 2. შემუშავებული ფაკულტატური კურსის ჩატარება. 3. დიაგნოსტიკური კონტროლის ჩატარება...

შემეცნებითი ამოცანები მიზნად ისახავს მხოლოდ არსებული სასწავლო საშუალებების დამატებას და უნდა იყოს შესაბამის კომბინაციაში სასწავლო პროცესის ყველა ტრადიციულ საშუალებას და ელემენტთან. ჰუმანიტარული მეცნიერებების სწავლების საგანმანათლებლო პრობლემებს შორის განსხვავება ზუსტი, მათემატიკური ამოცანებიდან მხოლოდ ისაა, რომ ისტორიულ ამოცანებში არ არსებობს ფორმულები, ხისტი ალგორითმები და ა.შ., რაც ართულებს მათ გადაწყვეტას. ...

ალგებრული ფორმით დაწერილი მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე

კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმა z =(ა,ბ) ფორმის ალგებრული გამოხატულება ეწოდება

ზ = ა + ბი.

არითმეტიკული მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ზ 1 = ა 1 +ბ 1 მედა ზ 2 = ა 2 +ბ 2 მეალგებრული ფორმით დაწერილი, ხორციელდება შემდეგნაირად.

1. კომპლექსური რიცხვების ჯამი (განსხვავება).

ზ 1 ±z 2 = (ა 1 ± ა 2) + (ბ 1 ±ბ 2)∙ მე,

იმათ. შეკრება (გამოკლება) ხორციელდება მრავალწევრების შეკრების წესის მიხედვით მსგავსი ტერმინების შემცირებით.

2. კომპლექსური რიცხვების ნამრავლი

ზ 1 ∙ზ 2 = (ა 1 ∙ა 2 -ბ 1 ∙ბ 2) + (ა 1 ∙ბ 2 + ა 2 ∙ბ 1)∙ მე,

იმათ. გამრავლება ხორციელდება მრავალწევრების გამრავლების ჩვეულებრივი წესით იმის გათვალისწინებით, რომ მე 2 = 1.

3. ორი რთული რიცხვის გაყოფა ხორციელდება შემდეგი წესით:

, (ზ 2 ≠ 0),

იმათ. გაყოფა ხორციელდება დივიდენდის და გამყოფის გამყოფის კონიუგატზე გამრავლებით.

რთული რიცხვების სიძლიერე განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ამის ჩვენება ადვილია

მაგალითები.

1. იპოვეთ რთული რიცხვების ჯამი ზ 1 = 2 – მედა ზ 2 = – 4 + 3მე.

ზ 1 +z 2 = (2 + (–1)∙ მე)+ (–4 + 3მე) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) მე = –2+2მე.

2. იპოვეთ რთული რიცხვების ნამრავლი ზ 1 = 2 – 3მედა ზ 2 = –4 + 5მე.

= (2 – 3მე) ∙ (–4 + 5მე) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3მე)+ 2∙5მე– 3მე∙ 5მე = 7+22მე.

3. იპოვეთ პირადი ზგაყოფისგან ზ 1 \u003d 3 - 2 ზ 2 = 3 – მე.

z= .

4. ამოხსენით განტოლება:, xდა წ Î რ.

(2x+y) + (x+y)მე = 2 + 3მე.

კომპლექსური რიცხვების ტოლობის გამო გვაქვს:

სადაც x=–1 , წ= 4.

5. გამოთვალეთ: მე 2 ,მე 3 ,მე 4 ,მე 5 ,მე 6 ,მე -1 , მე -2 .

6. გამოთვალეთ თუ .

7. გამოთვალეთ რიცხვის ორმხრივი ზ=3-მე.

რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით

რთული თვითმფრინავიჰქვია თვითმფრინავი დეკარტის კოორდინატებით ( x, y), თუ თითოეული წერტილი კოორდინატებით ( ა, ბ) ენიჭება რთული ნომერი z = a + bi. ამ შემთხვევაში აბსცისის ღერძი ეწოდება რეალური ღერძიდა y-ღერძი არის წარმოსახვითი. შემდეგ ყოველი რთული რიცხვი ა+ბიგეომეტრიულად წარმოდგენილია სიბრტყეზე წერტილის სახით A (a, b) ან ვექტორი .

მაშასადამე, წერტილის პოზიცია მაგრამ(და აქედან გამომდინარე რთული რიცხვი ზ) შეიძლება დაყენდეს ვექტორის | | = რდა კუთხე ჯწარმოქმნილი ვექტორით | | რეალური ღერძის დადებითი მიმართულებით. ვექტორის სიგრძე ეწოდება კომპლექსური რიცხვების მოდულიდა აღინიშნება | z|=rდა კუთხე ჯდაურეკა რთული რიცხვის არგუმენტიდა აღნიშნა ჯ = არგზ.

გასაგებია, რომ | ზ| ³ 0 და | z | = 0 Û z= 0.

ნახ. 2 აჩვენებს რომ.

რთული რიცხვის არგუმენტი განსაზღვრულია ორაზროვნად და 2-მდე პკ, კÎ ზ.

ნახ. 2 ასევე აჩვენებს, რომ თუ z=a+biდა j=argz,მაშინ

cos j =, ცოდვა j =, ტგ j = .

Თუ zОრდა z > 0 მაშინ არგზ = 0 +2პკ;

თუ z Оრდა ზ< 0 მაშინ argz = p + 2პკ;

თუ z= 0,არგზარ არის განსაზღვრული.

არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა განისაზღვრება 0 ინტერვალზე £ არგზ£2 გვ,

ან -გვ£ arg z £ გვ.

მაგალითები:

1. იპოვეთ რთული რიცხვების მოდული ზ 1 = 4 – 3მედა ზ 2 = –2–2მე.