პირველი დონე

წრფივი განტოლებები. სრული გზამკვლევი (2019)

რა არის "წრფივი განტოლებები"

ან სიტყვიერად - სამ მეგობარს თითოეულს ვაშლი აჩუქეს, იმის საფუძველზე, რომ ვასიას ყველა ვაშლი აქვს.

და ახლა თქვენ გადაწყვიტეთ წრფივი განტოლება
ახლა მოდით მივცეთ ამ ტერმინის მათემატიკური განმარტება.

წრფივი განტოლება - არის ალგებრული განტოლება, რომლის შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი არის. ეს ასე გამოიყურება:

სად და არის ნებისმიერი რიცხვი და

ვასიასთან და ვაშლებთან დაკავშირებით ჩვენ დავწერთ:

- "თუ ვასია სამივე მეგობარს ერთნაირი რაოდენობის ვაშლს აძლევს, მას ვაშლი აღარ დარჩება"

„დამალული“ წრფივი განტოლებები, ანუ იდენტური გარდაქმნების მნიშვნელობა

იმისდა მიუხედავად, რომ ერთი შეხედვით ყველაფერი ძალიან მარტივია, განტოლებების ამოხსნისას ფრთხილად უნდა იყოთ, რადგან წრფივ განტოლებებს უწოდებენ არა მხოლოდ ფორმის განტოლებებს, არამედ ნებისმიერ განტოლებას, რომელიც ამ ფორმამდე მცირდება ტრანსფორმაციებითა და გამარტივებით. Მაგალითად:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ის არის მარჯვნივ, რაც, თეორიულად, უკვე მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლება არ არის წრფივი. უფრო მეტიც, თუ ფრჩხილებს გავხსნით, კიდევ ორ ტერმინს მივიღებთ, რომელშიც იქნება, მაგრამ ნუ ჩქარობ დასკვნებს! სანამ ვიმსჯელებთ, არის თუ არა განტოლება წრფივი, აუცილებელია ყველა გარდაქმნის გაკეთება და ამით ორიგინალური მაგალითის გამარტივება. ამ შემთხვევაში, გარდაქმნებს შეუძლიათ შეცვალონ გარეგნობა, მაგრამ არა განტოლების არსი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს გარდაქმნები უნდა იყოს იდენტურიან ექვივალენტი. არსებობს მხოლოდ ორი ასეთი ტრანსფორმაცია, მაგრამ ისინი თამაშობენ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვან როლს პრობლემების გადაჭრაში. განვიხილოთ ორივე ტრანსფორმაცია კონკრეტულ მაგალითებზე.

გადაადგილება მარცხნივ - მარჯვნივ.

ვთქვათ, უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი განტოლება:

ჯერ კიდევ დაწყებით სკოლაში გვითხრეს: "X-ით - მარცხნივ, X-ის გარეშე - მარჯვნივ". რა გამოხატულებაა x-ით მარჯვნივ? მართალია, არა როგორ არა. და ეს მნიშვნელოვანია, რადგან თუ ეს ერთი შეხედვით მარტივი კითხვა არასწორად არის გაგებული, არასწორი პასუხი გამოვა. და რა არის გამოხატულება x-ით მარცხნივ? სწორად,.

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ ეს, ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს უცნობიებით მარცხნივ, და ყველაფერს, რაც ცნობილია მარჯვნივ, გვახსოვდეს, რომ თუ, მაგალითად, რიცხვის წინ არ არის ნიშანი, მაშინ რიცხვი დადებითია, არის, მას წინ უძღვის ნიშანი "".

გადავიდა? Რა მიიღე?

ყველაფერი რაც რჩება გასაკეთებელი არის მსგავსი პირობების შემოტანა. წარმოგიდგენთ:

ასე რომ, ჩვენ წარმატებით გავაანალიზეთ პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია, თუმცა დარწმუნებული ვარ, რომ თქვენ უკვე იცოდით და აქტიურად იყენებდით ჩემს გარეშე. მთავარია - ნუ დაივიწყებთ რიცხვების ნიშნებს და ტოლობის ნიშნით გადატანისას შეცვალეთ ისინი საპირისპიროდ!

გამრავლება-გაყოფა.

დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით

ვუყურებთ და ვფიქრობთ: რა არ მოგვწონს ამ მაგალითში? უცნობი ყველაფერი ერთ ნაწილშია, ცნობილი მეორეში, მაგრამ რაღაც გვაჩერებს... და ეს არის რაღაც - ოთხი, რადგან ის რომ არ იყოს, ყველაფერი სრულყოფილი იქნებოდა - x უდრის რიცხვს - ზუსტად ისე, როგორც ჩვენ გვჭირდება!

როგორ შეიძლება მისგან თავის დაღწევა? ჩვენ არ შეგვიძლია გადავიტანოთ მარჯვნივ, რადგან მაშინ ჩვენ გვჭირდება მთელი მულტიპლიკატორის გადატანა (ჩვენ არ შეგვიძლია მისი აღება და ჩამოგლეჯა) და მთელი მულტიპლიკატორის გადატანას ასევე აზრი არ აქვს ...

დროა გავიხსენოთ დაყოფა, რასთან დაკავშირებითაც ჩვენ ყველაფერს დავყოფთ! ყველა - ეს ნიშნავს როგორც მარცხენა, ასევე მარჯვენა მხარეს. ასე და მხოლოდ ასე! რას ვიღებთ?

აი პასუხი.

ახლა გადავხედოთ სხვა მაგალითს:

გამოიცანით რა უნდა გააკეთოთ ამ შემთხვევაში? ასეა, გაამრავლე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები! რა პასუხი მიიღეთ? სწორად. .

რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე იცოდით ყველაფერი იდენტური გარდაქმნების შესახებ. ჩათვალეთ, რომ ჩვენ ახლახან განვაახლეთ ეს ცოდნა თქვენს მეხსიერებაში და დროა კიდევ რაღაცისთვის - მაგალითად, ჩვენი დიდი მაგალითის გადასაჭრელად:

როგორც ადრე ვთქვით, მისი დათვალიერებისას ვერ იტყვით, რომ ეს განტოლება წრფივია, მაგრამ ჩვენ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები და შევასრულოთ იდენტური გარდაქმნები. ასე რომ, დავიწყოთ!

დასაწყისისთვის გავიხსენებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებს, კერძოდ, ჯამის კვადრატს და სხვაობის კვადრატს. თუ არ გახსოვთ რა არის და როგორ იხსნება ფრჩხილები, გირჩევთ თემის წაკითხვას, რადგან ეს უნარები გამოგადგებათ გამოცდაზე ნაპოვნი თითქმის ყველა მაგალითის ამოხსნისას.
გამოვლინდა? შეადარეთ:

ახლა დროა მოიტანოთ მსგავსი პირობები. გახსოვთ, როგორ გვითხრეს იმავე დაწყებით კლასებში: "ბუზებს კატლეტებით არ ვსვამთ"? აი ამას შეგახსენებთ. ყველაფერს ცალკე ვამატებთ - ფაქტორებს, რომლებსაც აქვთ, ფაქტორებს, რომლებსაც აქვთ და სხვა ფაქტორებს, რომლებსაც არ აქვთ უცნობი. მსგავსი ტერმინების მოტანისას გადაიტანეთ ყველა უცნობი მარცხნივ და ყველაფერი რაც ცნობილია მარჯვნივ. Რა მიიღე?

როგორც ხედავთ, x-კვადრატი გაქრა და ჩვენ ვხედავთ სრულიად ჩვეულებრივს წრფივი განტოლება. რჩება მხოლოდ პოვნა!

და ბოლოს, კიდევ ერთ ძალიან მნიშვნელოვანს ვიტყვი იდენტურ გარდაქმნებზე - იდენტური გარდაქმნები გამოიყენება არა მხოლოდ წრფივი განტოლებისთვის, არამედ კვადრატული, წილადი რაციონალური და სხვა. თქვენ უბრალოდ უნდა გვახსოვდეს, რომ ტოლობის ნიშნით ფაქტორების გადაცემისას ჩვენ ვცვლით ნიშანს საპირისპიროდ, ხოლო რომელიმე რიცხვზე გაყოფისას ან გამრავლებისას განტოლების ორივე მხარეს ვამრავლებთ/ვყოფთ იმავე რიცხვზე.

კიდევ რა ამოიღეთ ამ მაგალითიდან? განტოლების დათვალიერებისას ყოველთვის არ არის შესაძლებელი პირდაპირ და ზუსტად განსაზღვრო არის თუ არა ის წრფივი. ჯერ სრულად უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა და მხოლოდ ამის შემდეგ განსაჯოთ რა არის.

წრფივი განტოლებები. მაგალითები.

აქ არის კიდევ რამდენიმე მაგალითი, რომ დამოუკიდებლად ივარჯიშოთ - დაადგინეთ, არის თუ არა განტოლება წრფივი და თუ ასეა, იპოვეთ მისი ფესვები:

პასუხები:

1. არის.

2. Არ არის.

გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ მსგავსი ტერმინები:

მოდით გავაკეთოთ იდენტური ტრანსფორმაცია - მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებად ვყოფთ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ განტოლება არ არის წრფივი, ამიტომ არ არის საჭირო მისი ფესვების ძებნა.

3. არის.

მოდით გავაკეთოთ იდენტური ტრანსფორმაცია - გავამრავლოთ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, რომ თავი დავაღწიოთ მნიშვნელს.

დაფიქრდით, რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი? თუ იცით ამ კითხვაზე პასუხი, გადავდივართ განტოლების შემდგომ ამოხსნაზე, თუ არა, აუცილებლად გადახედეთ თემას, რათა არ დაუშვათ შეცდომები უფრო რთულ მაგალითებში. სხვათა შორის, როგორც ხედავთ, სიტუაცია, სადაც ეს შეუძლებელია. რატომ?
მოდით წავიდეთ წინ და გადავაწყოთ განტოლება:

თუ თქვენ გაართვით თავი ყველაფერს სირთულეების გარეშე, მოდით ვისაუბროთ წრფივ განტოლებებზე ორი ცვლადით.

წრფივი განტოლებები ორი ცვლადით

ახლა გადავიდეთ ოდნავ უფრო რთულზე - წრფივ განტოლებაზე ორი ცვლადით.

წრფივი განტოლებებიორი ცვლადით ასე გამოიყურება:

სად, და არის ნებისმიერი რიცხვი და.

როგორც ხედავთ, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ განტოლებას ემატება კიდევ ერთი ცვლადი. ასე რომ, ყველაფერი იგივეა - არ არის x კვადრატი, არ არის გაყოფა ცვლადზე და ა.შ. და ა.შ.

რა ცხოვრებისეული მაგალითი მოგცეთ... ავიღოთ იგივე ვასია. დავუშვათ, რომ მან გადაწყვიტა, რომ თავის 3 მეგობარს მისცემს თითოეულს იმავე რაოდენობის ვაშლს და შეინახავს ვაშლებს თავისთვის. რამდენი ვაშლი უნდა იყიდოს ვასიას, თუ თითოეულ მეგობარს ვაშლს აჩუქებს? რაც შეეხება? რა მოხდება, თუ?

ვაშლების რაოდენობის დამოკიდებულება, რომელსაც თითოეული ადამიანი მიიღებს ვაშლების საერთო რაოდენობაზე, რომელიც უნდა შეიძინოს, გამოიხატება განტოლებით:

• - ვაშლების რაოდენობა, რომელსაც ადამიანი მიიღებს (, ან, ან);
• - ვაშლების რაოდენობა, რომელსაც ვასია თავისთვის აიღებს;
• - რამდენი ვაშლი უნდა იყიდოს ვასიას, ერთ ადამიანზე ვაშლების რაოდენობის გათვალისწინებით.

ამ პრობლემის გადაჭრით, მივიღებთ, რომ თუ ვასია ერთ მეგობარს ვაშლს აძლევს, მაშინ მას სჭირდება ნაჭრების ყიდვა, თუ ვაშლს აძლევს - და ასე შემდეგ.

და ზოგადად რომ ვთქვათ. ჩვენ გვაქვს ორი ცვლადი. რატომ არ დახატოთ ეს დამოკიდებულება გრაფიკზე? ჩვენ ვაშენებთ და აღვნიშნავთ ჩვენს მნიშვნელობას, ანუ წერტილებს, კოორდინატებით და!

როგორც ხედავთ და ერთმანეთზე ვართ დამოკიდებული ხაზოვანი, აქედან მოდის განტოლებების სახელწოდება - ” ხაზოვანი».

ვაშლიდან აბსტრაციას ვახდენთ და განვიხილავთ გრაფიკულად განსხვავებულ განტოლებებს. ყურადღებით დააკვირდით ორ აგებულ გრაფიკს - სწორი ხაზი და პარაბოლა, რომლებიც მოცემულია თვითნებური ფუნქციებით:

იპოვნეთ და მონიშნეთ შესაბამისი წერტილები ორივე ფიგურაზე.
Რა მიიღე?

ამას ხედავთ პირველი ფუნქციის გრაფიკზე მარტოშეესაბამება ერთი, ანუ და წრფივად დამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე, რაც არ შეიძლება ითქვას მეორე ფუნქციაზე. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გააპროტესტოთ, რომ მეორე გრაფიკზე x ასევე შეესაბამება - , მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი წერტილია, ანუ განსაკუთრებული შემთხვევა, რადგან მაინც შეგიძლიათ იპოვოთ ის, რომელიც შეესაბამება ერთზე მეტს. და აგებული გრაფიკი არანაირად არ ჰგავს ხაზს, მაგრამ არის პარაბოლა.

ვიმეორებ, კიდევ ერთხელ: წრფივი განტოლების გრაფიკი უნდა იყოს სწორი ხაზი.

იმის გამო, რომ განტოლება არ იქნება წრფივი, თუ რაიმე ზომით მივდივართ - ეს გასაგებია პარაბოლის მაგალითის გამოყენებით, თუმცა თქვენთვის შეგიძლიათ შექმნათ კიდევ რამდენიმე მარტივი გრაფიკი, მაგალითად ან. მაგრამ გარწმუნებთ - არცერთი მათგანი არ იქნება სწორი ხაზი.

Არ დაიჯერო? ააშენე და მერე შეადარე რაც მივიღე:

და რა მოხდება, თუ რამეს გავყოფთ, მაგალითად, რაღაც რიცხვზე? იქნება თუ არა ხაზოვანი დამოკიდებულება და? ჩვენ არ ვიკამათებთ, მაგრამ ავაშენებთ! მაგალითად, დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი.

რატომღაც არ ჰგავს აგებულ სწორ ხაზს ... შესაბამისად, განტოლება არ არის წრფივი.
შევაჯამოთ:

1. წრფივი განტოლება -არის ალგებრული განტოლება, რომელშიც მისი შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი ტოლია.
2. წრფივი განტოლებაერთი ცვლადით ასე გამოიყურება:
   , სად და არის ნებისმიერი რიცხვი;
   წრფივი განტოლებაორი ცვლადით:
   , სად და არის ნებისმიერი რიცხვი.
3. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი დაუყოვნებლივ დადგინდეს, არის თუ არა განტოლება წრფივი. ზოგჯერ ამის გასაგებად საჭიროა იდენტური გარდაქმნების შესრულება, მსგავსი ტერმინების გადატანა მარცხნივ/მარჯვნივ, არ უნდა დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, ან განტოლების ორივე მხარის გამრავლება/გაყოფა იმავე რიცხვზე.

წრფივი განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

1. წრფივი განტოლება

ეს არის ალგებრული განტოლება, რომელშიც მისი შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი ტოლია.

2. წრფივი განტოლება ერთი ცვლადითროგორც ჩანს:

სად და არის ნებისმიერი რიცხვი;

3. წრფივი განტოლება ორი ცვლადითროგორც ჩანს:

სად და არის ნებისმიერი რიცხვი.

4. იდენტობის გარდაქმნები

იმის დასადგენად, არის თუ არა განტოლება წრფივი, აუცილებელია იდენტური გარდაქმნების გაკეთება:

• ტერმინების მსგავსად იმოძრავეთ მარცხნივ/მარჯვნივ, არ დაგავიწყდეთ ნიშნის შეცვლა;
• გავამრავლოთ/გაყოთ განტოლების ორივე მხარე იმავე რიცხვზე.

განტოლებების ამოხსნის სწავლა ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა, რომელსაც ალგებრა უყენებს მოსწავლეებს. უმარტივესიდან დაწყებული, როცა ის ერთი უცნობისგან შედგება და უფრო და უფრო რთულზე გადასვლა. თუ პირველი ჯგუფის განტოლებებით შესასრულებელი მოქმედებები ვერ აითვისეთ, სხვებთან გამკლავება გაგიჭირდებათ.

საუბრის გასაგრძელებლად, ჩვენ უნდა შევთანხმდეთ აღნიშვნაზე.

წრფივი განტოლების ზოგადი ფორმა ერთი უცნობით და მისი ამოხსნის პრინციპი

ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

a * x = in,

დაურეკა ხაზოვანი. ეს არის ზოგადი ფორმულა. მაგრამ ხშირად დავალებებში წრფივი განტოლებები იწერება იმპლიციტური ფორმით. შემდეგ საჭიროა იდენტური გარდაქმნების შესრულება ზოგადად მიღებული აღნიშვნის მისაღებად. ეს ქმედებები მოიცავს:

• გასახსნელი ფრჩხილები;
• ცვლადი მნიშვნელობის მქონე ყველა ტერმინის გადატანა ტოლობის მარცხენა მხარეს, დანარჩენი კი მარჯვნივ;
• მსგავსი პირობების შემცირება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც უცნობი მნიშვნელობა არის წილადის მნიშვნელში, აუცილებელია მისი მნიშვნელობების დადგენა, რომლებისთვისაც გამოხატულებას აზრი არ ექნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მან უნდა იცოდეს განტოლების დომენი.

პრინციპი, რომლითაც ყველა წრფივი განტოლება წყდება, არის განტოლების მარჯვენა მხარეს არსებული მნიშვნელობის გაყოფა ცვლადის წინ კოეფიციენტზე. ანუ „x“ ტოლი იქნება / ა.

წრფივი განტოლების ცალკეული შემთხვევები და მათი ამონახსნები

მსჯელობის დროს შეიძლება იყოს მომენტები, როდესაც წრფივი განტოლებები ერთ-ერთ განსაკუთრებულ ფორმას მიიღებს. თითოეულ მათგანს აქვს კონკრეტული გადაწყვეტა.

პირველ სიტუაციაში:

a * x = 0და a ≠ 0.

ამ განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

მეორე შემთხვევაში, "a" იღებს ნულის ტოლ მნიშვნელობას:

0 * x = 0.

ამ განტოლების პასუხი არის ნებისმიერი რიცხვი. ანუ მას აქვს უსასრულო რაოდენობის ფესვები.

მესამე სიტუაცია ასე გამოიყურება:

0*x=in, სადაც ≠ 0-ში.

ამ განტოლებას აზრი არ აქვს. რადგან არ არსებობს ფესვები, რომლებიც მას აკმაყოფილებენ.

წრფივი განტოლების ზოგადი ფორმა ორი ცვლადით

მისი სახელიდან ირკვევა, რომ მასში უკვე ორი უცნობი რაოდენობაა. წრფივი განტოლებები ორი ცვლადითგამოიყურებოდეს ასე:

a * x + b * y = c.

ვინაიდან ჩანაწერში ორი უცნობია, პასუხი რიცხვების წყვილს ჰგავს. ანუ, საკმარისი არ არის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის მითითება. ეს იქნება არასრული პასუხი. სიდიდეების წყვილი, რომლითაც განტოლება იდენტურობა ხდება, არის განტოლების ამონახსნი. უფრო მეტიც, პასუხში ყოველთვის პირველ რიგში იწერება ცვლადი, რომელიც პირველ ადგილზეა ანბანში. ზოგჯერ ამბობენ, რომ ეს რიცხვები მას აკმაყოფილებს. უფრო მეტიც, ასეთი წყვილების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლება ორი უცნობით?

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა აიღოთ ნებისმიერი წყვილი რიცხვი, რომელიც აღმოჩნდება სწორი. სიმარტივისთვის, შეგიძლიათ აიღოთ ერთ-ერთი უცნობი, რომელიც უტოლდება უბრალო რიცხვს, შემდეგ კი იპოვოთ მეორე.

ამოხსნისას ხშირად გიწევთ მოქმედებების შესრულება განტოლების გასამარტივებლად. მათ იდენტურ გარდაქმნებს უწოდებენ. უფრო მეტიც, შემდეგი თვისებები ყოველთვის მართალია განტოლებისთვის:

• თითოეული ტერმინი შეიძლება გადავიდეს ტოლობის საპირისპირო ნაწილზე მისი ნიშნის საპირისპირო ნიშნით შეცვლით;
• ნებადართულია ნებისმიერი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეების გაყოფა იმავე რიცხვზე, თუ ის არ არის ნულის ტოლი.

ხაზოვანი განტოლებით ამოცანების მაგალითები

პირველი დავალება.ამოხსენით წრფივი განტოლებები: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

განტოლებაში, რომელიც პირველია ამ სიაში, საკმარისია უბრალოდ გაყოთ 20 4-ზე. შედეგი იქნება 5. ეს არის პასუხი: x \u003d 5.

მესამე განტოლება მოითხოვს, რომ განხორციელდეს იდენტურობის ტრანსფორმაცია. ის შედგება ფრჩხილების გახსნაში და მსგავსი პირობების მოტანაში. პირველი მოქმედების შემდეგ, განტოლება მიიღებს ფორმას: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. შემდეგ თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა უცნობი ტოლობის მარცხენა მხარეს, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ. განტოლება ასე გამოიყურება: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ: 14x \u003d 16. ახლა ის ისევე გამოიყურება, როგორც პირველი და მისი ამოხსნა მარტივია. პასუხი არის x=8/7. მაგრამ მათემატიკაში სავარაუდოდ მთელი ნაწილის გამოყოფა არასწორი წილადისგან. შემდეგ შედეგი გარდაიქმნება და "x" ტოლი იქნება ერთი მთლიანი და მეშვიდე.

დანარჩენ მაგალითებში ცვლადები მნიშვნელშია. ეს ნიშნავს, რომ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რა მნიშვნელობებით არის განსაზღვრული განტოლებები. ამისათვის თქვენ უნდა გამორიცხოთ რიცხვები, რომლებზეც მნიშვნელები ნულზე გადადიან. მაგალითებიდან პირველში არის "-4", მეორეში "-3". ანუ ეს მნიშვნელობები უნდა გამოირიცხოს პასუხიდან. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ტოლობის ორივე მხარე მნიშვნელში გამოსახულებით.

ფრჩხილების გახსნით და მსგავსი ტერმინების მოყვანით, ამ განტოლებიდან პირველში გამოდის: 5x + 15 = 4x + 16, ხოლო მეორეში 5x + 15 = 4x + 12. გარდაქმნების შემდეგ, პირველი განტოლების ამონახსნი იქნება x. = -1. მეორე აღმოჩნდება "-3"-ის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ ამ უკანასკნელს ამონახსნები არ აქვს.

მეორე დავალება.ამოხსენით განტოლება: -7x + 2y = 5.

დავუშვათ, რომ პირველი უცნობი x \u003d 1, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას -7 * 1 + 2y \u003d 5. მამრავლის "-7" გადატანა ტოლობის მარჯვენა მხარეს და მისი ნიშნის პლიუსზე შეცვლა, გამოდის. აქედან 2y \u003d 12. ასე რომ, y =6. პასუხი: x = 1, y = 6 განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები.

უტოლობის ზოგადი ფორმა ერთი ცვლადით

უტოლობების ყველა შესაძლო სიტუაცია წარმოდგენილია აქ:

• a * x > b;
• ნაჯახი< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

ზოგადად, როგორც ჩანს, უმარტივესი წრფივი განტოლებაა, მხოლოდ ტოლობის ნიშანი იცვლება უტოლობით.

უთანასწორობის იდენტური გარდაქმნების წესები

ისევე, როგორც წრფივი განტოლებები, უტოლობები შეიძლება შეიცვალოს გარკვეული კანონების მიხედვით. ისინი აქამდე მიდიან:

1. უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შეიძლება დაემატოს ნებისმიერი პირდაპირი ან რიცხვითი გამოხატულება და უტოლობის ნიშანი იგივე დარჩება;
2. ასევე შესაძლებელია გამრავლება ან გაყოფა იმავე დადებით რიცხვზე, აქედან ისევ ნიშანი არ იცვლება;
3. იმავე უარყოფით რიცხვზე გამრავლების ან გაყოფისას, ტოლობა დარჩება ჭეშმარიტი, იმ პირობით, რომ უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია.

ორმაგი უტოლობების ზოგადი ფორმა

ამოცანებში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უტოლობების შემდეგი ვარიანტები:

• in< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• in< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

მას ორმაგს უწოდებენ, რადგან ორივე მხრიდან შემოიფარგლება უთანასწორობის ნიშნებით. ის იხსნება იგივე წესების გამოყენებით, როგორც ჩვეულებრივი უტოლობები. და პასუხის პოვნა მოდის იდენტური გარდაქმნების სერიამდე. სანამ უმარტივესი არ მიიღება.

ორმაგი უტოლობების ამოხსნის თავისებურებები

პირველი მათგანი არის მისი გამოსახულება კოორდინატთა ღერძზე. არ არის საჭირო ამ მეთოდის გამოყენება მარტივი უტოლობებისთვის. მაგრამ რთულ შემთხვევებში, ეს შეიძლება უბრალოდ საჭირო იყოს.

უტოლობის გამოსახატავად საჭიროა ღერძზე მონიშნოთ ყველა ის წერტილი, რომელიც მიღებული იქნა მსჯელობის დროს. ეს არის როგორც არასწორი მნიშვნელობები, რომლებიც აღინიშნება წერტილებით, ასევე მნიშვნელობები გარდაქმნების შემდეგ მიღებული უტოლობებიდან. აქაც მნიშვნელოვანია ქულების სწორად დახატვა. თუ უთანასწორობა მკაცრია, მაშინ< или >, შემდეგ ეს მნიშვნელობები პუნქციაა. არამკაცრ უტოლობაში, წერტილები უნდა იყოს მოხატული.

მაშინ აუცილებელია მიუთითოთ უტოლობების მნიშვნელობა. ეს შეიძლება გაკეთდეს გამოჩეკვით ან რკალებით. მათი გადაკვეთა მიუთითებს პასუხზე.

მეორე ფუნქცია მის ჩაწერას უკავშირდება. აქ ორი ვარიანტია შემოთავაზებული. პირველი არის საბოლოო უთანასწორობა. მეორე არის ხარვეზების სახით. სწორედ აქ ხვდება მას უბედურება. ხარვეზებში პასუხი ყოველთვის ჰგავს ცვლადს საკუთრების ნიშნით და ფრჩხილებით რიცხვებით. ზოგჯერ არის რამდენიმე ხარვეზი, მაშინ ფრჩხილებს შორის უნდა დაწეროთ სიმბოლო "და". ეს ნიშნები ასე გამოიყურება: ∈ და ∩. ინტერვალის ფრჩხილები ასევე თამაშობენ როლს. მრგვალი მოთავსებულია, როდესაც წერტილი გამორიცხულია პასუხიდან და მართკუთხა მოიცავს ამ მნიშვნელობას. უსასრულობის ნიშანი ყოველთვის ფრჩხილებშია.

უტოლობების ამოხსნის მაგალითები

1. ამოხსენით უტოლობა 7 - 5x ≥ 37.

მარტივი გარდაქმნების შემდეგ გამოდის: -5x ≥ 30. „-5“-ზე გაყოფით შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი გამოხატულება: x ≤ -6. ეს უკვე პასუხია, მაგრამ შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს: x ∈ (-∞; -6].

2. ამოხსენით ორმაგი უტოლობა -4< 2x + 6 ≤ 8.

ჯერ ყველგან უნდა გამოაკლო 6. გამოდის: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის რაოდენობის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახვით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y-ის შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არის გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებების რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

ზოგადსაგანმანათლებლო სასკოლო პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დეტალურად არის ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლების გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

სისტემების ამოხსნის შეკრების მეთოდით ძიებისას, ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოთქმა ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არის ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი გვხვდება დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, y-ის მნიშვნელობები იქნა ნაპოვნი: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით დაფიქსირდა გრაფიკზე და ერთმანეთთან იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნა: 0,5x-y+2=0 და 0,5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითები 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ როდესაც აგებულია, აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივების ნომრები არ განმეორდეს პროდუქტში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის უხერხული ჩანაწერების შემცირებას ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემების ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება ამოხსნის გაუს-კრამერის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ნახსენებია ტექსტში, ამბობს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვლება ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის გასავითარებლად.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რიცხვს.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც განხორციელდა ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ შეგაწუხოთ მრავალი უცნობის ჩამოთვლა.

გადაწყვეტის ნებისმიერი მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

განტოლებების ამოხსნის სწავლა ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა, რომელსაც ალგებრა უყენებს მოსწავლეებს. უმარტივესიდან დაწყებული, როცა ის ერთი უცნობისგან შედგება და უფრო და უფრო რთულზე გადასვლა. თუ პირველი ჯგუფის განტოლებებით შესასრულებელი მოქმედებები ვერ აითვისეთ, სხვებთან გამკლავება გაგიჭირდებათ.

საუბრის გასაგრძელებლად, ჩვენ უნდა შევთანხმდეთ აღნიშვნაზე.

წრფივი განტოლების ზოგადი ფორმა ერთი უცნობით და მისი ამოხსნის პრინციპი

ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

a * x = in,

დაურეკა ხაზოვანი. ეს არის ზოგადი ფორმულა. მაგრამ ხშირად დავალებებში წრფივი განტოლებები იწერება იმპლიციტური ფორმით. შემდეგ საჭიროა იდენტური გარდაქმნების შესრულება ზოგადად მიღებული აღნიშვნის მისაღებად. ეს ქმედებები მოიცავს:

• გასახსნელი ფრჩხილები;
• ცვლადი მნიშვნელობის მქონე ყველა ტერმინის გადატანა ტოლობის მარცხენა მხარეს, დანარჩენი კი მარჯვნივ;
• მსგავსი პირობების შემცირება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც უცნობი მნიშვნელობა არის წილადის მნიშვნელში, აუცილებელია მისი მნიშვნელობების დადგენა, რომლებისთვისაც გამოხატულებას აზრი არ ექნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მან უნდა იცოდეს განტოლების დომენი.

პრინციპი, რომლითაც ყველა წრფივი განტოლება წყდება, არის განტოლების მარჯვენა მხარეს არსებული მნიშვნელობის გაყოფა ცვლადის წინ კოეფიციენტზე. ანუ „x“ ტოლი იქნება / ა.

წრფივი განტოლების ცალკეული შემთხვევები და მათი ამონახსნები

მსჯელობის დროს შეიძლება იყოს მომენტები, როდესაც წრფივი განტოლებები ერთ-ერთ განსაკუთრებულ ფორმას მიიღებს. თითოეულ მათგანს აქვს კონკრეტული გადაწყვეტა.

პირველ სიტუაციაში:

a * x = 0და a ≠ 0.

ამ განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

მეორე შემთხვევაში, "a" იღებს ნულის ტოლ მნიშვნელობას:

0 * x = 0.

ამ განტოლების პასუხი არის ნებისმიერი რიცხვი. ანუ მას აქვს უსასრულო რაოდენობის ფესვები.

მესამე სიტუაცია ასე გამოიყურება:

0*x=in, სადაც ≠ 0-ში.

ამ განტოლებას აზრი არ აქვს. რადგან არ არსებობს ფესვები, რომლებიც მას აკმაყოფილებენ.

წრფივი განტოლების ზოგადი ფორმა ორი ცვლადით

მისი სახელიდან ირკვევა, რომ მასში უკვე ორი უცნობი რაოდენობაა. წრფივი განტოლებები ორი ცვლადითგამოიყურებოდეს ასე:

a * x + b * y = c.

ვინაიდან ჩანაწერში ორი უცნობია, პასუხი რიცხვების წყვილს ჰგავს. ანუ, საკმარისი არ არის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის მითითება. ეს იქნება არასრული პასუხი. სიდიდეების წყვილი, რომლითაც განტოლება იდენტურობა ხდება, არის განტოლების ამონახსნი. უფრო მეტიც, პასუხში ყოველთვის პირველ რიგში იწერება ცვლადი, რომელიც პირველ ადგილზეა ანბანში. ზოგჯერ ამბობენ, რომ ეს რიცხვები მას აკმაყოფილებს. უფრო მეტიც, ასეთი წყვილების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლება ორი უცნობით?

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა აიღოთ ნებისმიერი წყვილი რიცხვი, რომელიც აღმოჩნდება სწორი. სიმარტივისთვის, შეგიძლიათ აიღოთ ერთ-ერთი უცნობი, რომელიც უტოლდება უბრალო რიცხვს, შემდეგ კი იპოვოთ მეორე.

ამოხსნისას ხშირად გიწევთ მოქმედებების შესრულება განტოლების გასამარტივებლად. მათ იდენტურ გარდაქმნებს უწოდებენ. უფრო მეტიც, შემდეგი თვისებები ყოველთვის მართალია განტოლებისთვის:

• თითოეული ტერმინი შეიძლება გადავიდეს ტოლობის საპირისპირო ნაწილზე მისი ნიშნის საპირისპირო ნიშნით შეცვლით;
• ნებადართულია ნებისმიერი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეების გაყოფა იმავე რიცხვზე, თუ ის არ არის ნულის ტოლი.

ხაზოვანი განტოლებით ამოცანების მაგალითები

პირველი დავალება.ამოხსენით წრფივი განტოლებები: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

განტოლებაში, რომელიც პირველია ამ სიაში, საკმარისია უბრალოდ გაყოთ 20 4-ზე. შედეგი იქნება 5. ეს არის პასუხი: x \u003d 5.

მესამე განტოლება მოითხოვს, რომ განხორციელდეს იდენტურობის ტრანსფორმაცია. ის შედგება ფრჩხილების გახსნაში და მსგავსი პირობების მოტანაში. პირველი მოქმედების შემდეგ, განტოლება მიიღებს ფორმას: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. შემდეგ თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა უცნობი ტოლობის მარცხენა მხარეს, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ. განტოლება ასე გამოიყურება: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ: 14x \u003d 16. ახლა ის ისევე გამოიყურება, როგორც პირველი და მისი ამოხსნა მარტივია. პასუხი არის x=8/7. მაგრამ მათემატიკაში სავარაუდოდ მთელი ნაწილის გამოყოფა არასწორი წილადისგან. შემდეგ შედეგი გარდაიქმნება და "x" ტოლი იქნება ერთი მთლიანი და მეშვიდე.

დანარჩენ მაგალითებში ცვლადები მნიშვნელშია. ეს ნიშნავს, რომ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რა მნიშვნელობებით არის განსაზღვრული განტოლებები. ამისათვის თქვენ უნდა გამორიცხოთ რიცხვები, რომლებზეც მნიშვნელები ნულზე გადადიან. მაგალითებიდან პირველში არის "-4", მეორეში "-3". ანუ ეს მნიშვნელობები უნდა გამოირიცხოს პასუხიდან. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ტოლობის ორივე მხარე მნიშვნელში გამოსახულებით.

ფრჩხილების გახსნით და მსგავსი ტერმინების მოყვანით, ამ განტოლებიდან პირველში გამოდის: 5x + 15 = 4x + 16, ხოლო მეორეში 5x + 15 = 4x + 12. გარდაქმნების შემდეგ, პირველი განტოლების ამონახსნი იქნება x. = -1. მეორე აღმოჩნდება "-3"-ის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ ამ უკანასკნელს ამონახსნები არ აქვს.

მეორე დავალება.ამოხსენით განტოლება: -7x + 2y = 5.

დავუშვათ, რომ პირველი უცნობი x \u003d 1, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას -7 * 1 + 2y \u003d 5. მამრავლის "-7" გადატანა ტოლობის მარჯვენა მხარეს და მისი ნიშნის პლიუსზე შეცვლა, გამოდის. აქედან 2y \u003d 12. ასე რომ, y =6. პასუხი: x = 1, y = 6 განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები.

უტოლობის ზოგადი ფორმა ერთი ცვლადით

უტოლობების ყველა შესაძლო სიტუაცია წარმოდგენილია აქ:

• a * x > b;
• ნაჯახი< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

ზოგადად, როგორც ჩანს, უმარტივესი წრფივი განტოლებაა, მხოლოდ ტოლობის ნიშანი იცვლება უტოლობით.

უთანასწორობის იდენტური გარდაქმნების წესები

ისევე, როგორც წრფივი განტოლებები, უტოლობები შეიძლება შეიცვალოს გარკვეული კანონების მიხედვით. ისინი აქამდე მიდიან:

1. უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შეიძლება დაემატოს ნებისმიერი პირდაპირი ან რიცხვითი გამოხატულება და უტოლობის ნიშანი იგივე დარჩება;
2. ასევე შესაძლებელია გამრავლება ან გაყოფა იმავე დადებით რიცხვზე, აქედან ისევ ნიშანი არ იცვლება;
3. იმავე უარყოფით რიცხვზე გამრავლების ან გაყოფისას, ტოლობა დარჩება ჭეშმარიტი, იმ პირობით, რომ უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია.

ორმაგი უტოლობების ზოგადი ფორმა

ამოცანებში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უტოლობების შემდეგი ვარიანტები:

• in< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• in< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

მას ორმაგს უწოდებენ, რადგან ორივე მხრიდან შემოიფარგლება უთანასწორობის ნიშნებით. ის იხსნება იგივე წესების გამოყენებით, როგორც ჩვეულებრივი უტოლობები. და პასუხის პოვნა მოდის იდენტური გარდაქმნების სერიამდე. სანამ უმარტივესი არ მიიღება.

ორმაგი უტოლობების ამოხსნის თავისებურებები

პირველი მათგანი არის მისი გამოსახულება კოორდინატთა ღერძზე. არ არის საჭირო ამ მეთოდის გამოყენება მარტივი უტოლობებისთვის. მაგრამ რთულ შემთხვევებში, ეს შეიძლება უბრალოდ საჭირო იყოს.

უტოლობის გამოსახატავად საჭიროა ღერძზე მონიშნოთ ყველა ის წერტილი, რომელიც მიღებული იქნა მსჯელობის დროს. ეს არის როგორც არასწორი მნიშვნელობები, რომლებიც აღინიშნება წერტილებით, ასევე მნიშვნელობები გარდაქმნების შემდეგ მიღებული უტოლობებიდან. აქაც მნიშვნელოვანია ქულების სწორად დახატვა. თუ უთანასწორობა მკაცრია, მაშინ< или >, შემდეგ ეს მნიშვნელობები პუნქციაა. არამკაცრ უტოლობაში, წერტილები უნდა იყოს მოხატული.

მაშინ აუცილებელია მიუთითოთ უტოლობების მნიშვნელობა. ეს შეიძლება გაკეთდეს გამოჩეკვით ან რკალებით. მათი გადაკვეთა მიუთითებს პასუხზე.

მეორე ფუნქცია მის ჩაწერას უკავშირდება. აქ ორი ვარიანტია შემოთავაზებული. პირველი არის საბოლოო უთანასწორობა. მეორე არის ხარვეზების სახით. სწორედ აქ ხვდება მას უბედურება. ხარვეზებში პასუხი ყოველთვის ჰგავს ცვლადს საკუთრების ნიშნით და ფრჩხილებით რიცხვებით. ზოგჯერ არის რამდენიმე ხარვეზი, მაშინ ფრჩხილებს შორის უნდა დაწეროთ სიმბოლო "და". ეს ნიშნები ასე გამოიყურება: ∈ და ∩. ინტერვალის ფრჩხილები ასევე თამაშობენ როლს. მრგვალი მოთავსებულია, როდესაც წერტილი გამორიცხულია პასუხიდან და მართკუთხა მოიცავს ამ მნიშვნელობას. უსასრულობის ნიშანი ყოველთვის ფრჩხილებშია.

უტოლობების ამოხსნის მაგალითები

1. ამოხსენით უტოლობა 7 - 5x ≥ 37.

მარტივი გარდაქმნების შემდეგ გამოდის: -5x ≥ 30. „-5“-ზე გაყოფით შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი გამოხატულება: x ≤ -6. ეს უკვე პასუხია, მაგრამ შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს: x ∈ (-∞; -6].

2. ამოხსენით ორმაგი უტოლობა -4< 2x + 6 ≤ 8.

ჯერ ყველგან უნდა გამოაკლო 6. გამოდის: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

და ასე შემდეგ, ლოგიკურია გაეცნოთ სხვა ტიპის განტოლებებს. შემდეგი რიგში არიან წრფივი განტოლებები, რომლის მიზანმიმართული შესწავლა მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილებზე იწყება.

გასაგებია, რომ ჯერ უნდა აგიხსნათ რა არის წრფივი განტოლება, მიეცით წრფივი განტოლების განმარტება, მისი კოეფიციენტები, აჩვენოთ მისი ზოგადი ფორმა. შემდეგ შეგიძლიათ გაარკვიოთ რამდენი ამონახსნები აქვს წრფივ განტოლებას კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე და როგორ არის ნაპოვნი ფესვები. ეს საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე და ამით გააერთიანოთ შესწავლილი თეორია. ამ სტატიაში ჩვენ ამას გავაკეთებთ: დეტალურად ვისაუბრებთ ყველა თეორიულ და პრაქტიკულ პუნქტზე წრფივი განტოლებებისა და მათი ამოხსნის შესახებ.

მაშინვე ვთქვათ, რომ აქ განვიხილავთ მხოლოდ წრფივ განტოლებებს ერთი ცვლადით და ცალკე სტატიაში შევისწავლით ამოხსნის პრინციპებს წრფივი განტოლებები ორ ცვლადში.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის წრფივი განტოლება?

წრფივი განტოლების განმარტება მოცემულია მისი აღნიშვნის ფორმით. უფრო მეტიც, მათემატიკისა და ალგებრის სხვადასხვა სახელმძღვანელოებში, წრფივი განტოლებების განმარტებების ფორმულირებებს აქვთ გარკვეული განსხვავებები, რომლებიც გავლენას არ ახდენს საკითხის არსზე.

მაგალითად, იუ.ნ. მაკარიჩევას და სხვების მიერ მე-7 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში, წრფივი განტოლება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

განმარტება.

ტიპის განტოლება ცული=ბ, სადაც x არის ცვლადი, a და b არის რამდენიმე რიცხვი, ეწოდება წრფივი განტოლება ერთი ცვლადით.

მოვიყვანოთ გახმოვანებული განმარტების შესაბამისი წრფივი განტოლებების მაგალითები. მაგალითად, 5 x=10 არის წრფივი განტოლება ერთი x ცვლადით, აქ კოეფიციენტი a არის 5, ხოლო b რიცხვი არის 10. კიდევ ერთი მაგალითი: −2.3 y=0 ასევე წრფივი განტოლებაა, მაგრამ y ცვლადით, სადაც a=−2.3 და b=0. ხოლო წრფივ განტოლებებში x=−2 და −x=3.33 a აშკარად არ არის წარმოდგენილი და უდრის შესაბამისად 1 და −1, ხოლო პირველ განტოლებაში b=−2 და მეორეში - b=3.33 .

და ერთი წლით ადრე, ნ.ია. ვილენკინის მათემატიკის სახელმძღვანელოში, წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით, x = b ფორმის განტოლებების გარდა, ასევე განიხილებოდა განტოლებები, რომლებიც შეიძლება ამ ფორმამდე შემცირდეს ერთიდან ტერმინების გადატანით. განტოლების ნაწილი მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, ასევე მსგავსი ტერმინების შემცირებით. ამ განსაზღვრების მიხედვით 5 x=2 x+6 ფორმის განტოლებები და ა.შ. ასევე ხაზოვანი.

თავის მხრივ, შემდეგი განმარტება მოცემულია ალგებრის სახელმძღვანელოში 7 კლასისთვის A.G. Mordkovich-ის მიერ:

განმარტება.

წრფივი განტოლება ერთი x ცვლადითარის a x+b=0 ფორმის განტოლება, სადაც a და b არის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც ეწოდება წრფივი განტოლების კოეფიციენტები.

მაგალითად, ამ ტიპის წრფივი განტოლებებია 2 x−12=0, აქ კოეფიციენტი a უდრის 2-ს, b უდრის −12-ს და 0.2 y+4.6=0 კოეფიციენტებით a=0.2 და b =4.6. მაგრამ ამავე დროს, არის ხაზოვანი განტოლებების მაგალითები, რომლებსაც აქვთ ფორმა არა x+b=0, არამედ x=b, მაგალითად, 3 x=12.

მოდით, რათა მომავალში არ გვქონდეს შეუსაბამობები, წრფივი განტოლების ქვეშ ერთი ცვლადი x და a და b კოეფიციენტებით გავიგებთ a x+b=0 ფორმის განტოლებას. ამ ტიპის წრფივი განტოლება, როგორც ჩანს, ყველაზე გამართლებულია, რადგან წრფივი განტოლებები არის ალგებრული განტოლებებიპირველი ხარისხი. და ყველა სხვა ზემოთ მითითებული განტოლება, ისევე როგორც განტოლებები, რომლებიც მცირდება x+b=0 სახით ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით, ე.წ. წრფივი განტოლებამდე დაყვანის განტოლებები. ამ მიდგომით განტოლება 2 x+6=0 არის წრფივი განტოლება და 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 და ა.შ. არის წრფივი განტოლებები.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებები?

ახლა დროა გავარკვიოთ, როგორ ამოიხსნება x+b=0 წრფივი განტოლებები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დროა გავარკვიოთ, აქვს თუ არა წრფივ განტოლებას ფესვები და თუ ასეა, რამდენი და როგორ ვიპოვოთ ისინი.

წრფივი განტოლების ფესვების არსებობა დამოკიდებულია a და b კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე. ამ შემთხვევაში წრფივი განტოლება a x+b=0 აქვს

• ერთადერთი ფესვი a≠0-ზე,
• არ აქვს ფესვები a=0 და b≠0,
• აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი a=0 და b=0-სთვის, ამ შემთხვევაში ნებისმიერი რიცხვი არის წრფივი განტოლების ფესვი.

მოდით განვმარტოთ, როგორ იქნა მიღებული ეს შედეგები.

ჩვენ ვიცით, რომ განტოლებების ამოსახსნელად შესაძლებელია საწყისი განტოლებიდან გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე, ანუ განტოლებებზე ერთი და იგივე ფესვებით ან, როგორც ორიგინალი, ფესვების გარეშე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ექვივალენტური გარდაქმნები:

• ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით,
• და ასევე განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ან გაყოფა იმავე არანულოვანი რიცხვით.

ასე რომ, x+b=0 ფორმის ერთი ცვლადის მქონე წრფივ განტოლებაში b ტერმინი მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ გადავიტანოთ საპირისპირო ნიშნით. ამ შემთხვევაში განტოლება მიიღებს x=−b ფორმას.

შემდეგ კი განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა a რიცხვზე თავს გვთავაზობს. მაგრამ არის ერთი რამ: რიცხვი a შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამ შემთხვევაში ასეთი გაყოფა შეუძლებელია. ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჯერ ვივარაუდებთ, რომ რიცხვი a განსხვავდება ნულისაგან და განვიხილავთ ნულის a შემთხვევას ცალკე ცოტა მოგვიანებით.

ასე რომ, როდესაც a არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შეგვიძლია a x=−b განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ a-ზე, რის შემდეგაც იგი გარდაიქმნება x=(−b ფორმაში): a , ეს შედეგი შეიძლება დაიწეროს a-ს გამოყენებით. მყარი ხაზი, როგორც.

ამრიგად, a≠0-სთვის წრფივი განტოლება a·x+b=0 უდრის განტოლებას, საიდანაც ჩანს მისი ფესვი.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს ფესვი უნიკალურია, ანუ წრფივ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს. ეს საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ საპირისპირო მეთოდი.

ძირი ავღნიშნოთ x 1-ით. დავუშვათ, რომ არსებობს წრფივი განტოლების სხვა ფესვი, რომელსაც აღვნიშნავთ x 2, და x 2 ≠ x 1, რომელიც თანაბარი რიცხვების განმარტებები განსხვავების მეშვეობითუდრის x 1 − x 2 ≠0 პირობას. ვინაიდან x 1 და x 2 არის წრფივი განტოლების ფესვები a x+b=0, მაშინ ხდება რიცხვითი ტოლობები a x 1 +b=0 და a x 2 +b=0. ჩვენ შეგვიძლია გამოვაკლოთ ამ ტოლობების შესაბამისი ნაწილები, რის საშუალებასაც გვაძლევს რიცხვითი ტოლობების თვისებები, გვაქვს x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , საიდანაც a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 და შემდეგ a (x 1 − x 2)=0 . და ეს ტოლობა შეუძლებელია, რადგან a≠0 და x 1 − x 2 ≠0. ასე რომ, მივედით წინააღმდეგობამდე, რომელიც ადასტურებს წრფივი განტოლების ფესვის უნიკალურობას a≠0-სთვის.

ამგვარად, ჩვენ ამოვხსენით x+b=0 წრფივი განტოლება a≠0-ით. ამ ქვეპუნქტის დასაწყისში მოცემული პირველი შედეგი გამართლებულია. არის კიდევ ორი, რომელიც აკმაყოფილებს a=0 პირობას.

a=0-სთვის წრფივი განტოლება a·x+b=0 ხდება 0·x+b=0. ამ განტოლებიდან და რიცხვების ნულზე გამრავლების თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ როგორი რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ x, როდესაც მას ჩავანაცვლებთ განტოლებაში 0 x+b=0, მივიღებთ რიცხვით ტოლობას b=0. ეს ტოლობა მართალია, როდესაც b=0 , ხოლო სხვა შემთხვევებში, როდესაც b≠0 ეს ტოლობა მცდარია.

მაშასადამე, a=0 და b=0-ით ნებისმიერი რიცხვი არის a x+b=0 წრფივი განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ პირობებში, x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 0=0. ხოლო a=0 და b≠0 წრფივ განტოლებას a x+b=0 არ აქვს ფესვები, რადგან ამ პირობებში, x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლება მივყავართ არასწორ რიცხვით ტოლობას b=0.

ზემოაღნიშნული დასაბუთებები შესაძლებელს ხდის მოქმედებების თანმიმდევრობის ჩამოყალიბებას, რომელიც იძლევა ნებისმიერი წრფივი განტოლების ამოხსნის საშუალებას. Ისე, წრფივი განტოლების ამოხსნის ალგორითმიარის:

• ჯერ წრფივი განტოლების დაწერით ვპოულობთ a და b კოეფიციენტების მნიშვნელობებს.
• თუ a=0 და b=0 , მაშინ ამ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი, კერძოდ, ნებისმიერი რიცხვი არის ამ წრფივი განტოლების ფესვი.
• თუ a განსხვავდება ნულიდან, მაშინ
• კოეფიციენტი b გადადის მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო წრფივი განტოლება გარდაიქმნება x=−b სახით,
• რის შემდეგაც მიღებული განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა არანულოვანი რიცხვით a, რომელიც იძლევა საწყისი წრფივი განტოლების სასურველ ფესვს.

წერილობითი ალგორითმი არის ამომწურავი პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებები.

ამ აბზაცის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ მსგავსი ალგორითმი გამოიყენება x=b ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად. მისი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ როდესაც a≠0, განტოლების ორივე ნაწილი მაშინვე იყოფა ამ რიცხვზე, აქ b უკვე განტოლების სასურველ ნაწილშია და მისი გადატანა არ არის საჭირო.

x=b ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• თუ a=0 და b=0 , მაშინ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი.
• თუ a=0 და b≠0, მაშინ თავდაპირველ განტოლებას ფესვები არ აქვს.
• თუ a არ არის ნულოვანი, მაშინ განტოლების ორივე მხარე იყოფა არანულოვანი რიცხვით a, საიდანაც ნაპოვნია განტოლების ერთადერთი ფესვი, რომელიც ტოლია b/a.

ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე. მოდით გავაანალიზოთ, თუ როგორ გამოიყენება წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი. მოდით წარმოვადგინოთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნები, რომლებიც შეესაბამება წრფივი განტოლებების კოეფიციენტების სხვადასხვა მნიშვნელობებს.

მაგალითი.

ამოხსენით წრფივი განტოლება 0 x−0=0 .

გადაწყვეტილება.

ამ წრფივ განტოლებაში a=0 და b=−0, რაც იგივეა, რაც b=0. ამრიგად, ამ განტოლებას უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვს, ნებისმიერი რიცხვი არის ამ განტოლების ფესვი.

პასუხი:

x არის ნებისმიერი რიცხვი.

მაგალითი.

აქვს თუ არა ამონახსნები წრფივ განტოლებას 0 x+2.7=0?

გადაწყვეტილება.

ამ შემთხვევაში a კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ხოლო ამ წრფივი განტოლების კოეფიციენტი b უდრის 2,7-ს, ანუ განსხვავდება ნულისაგან. ამრიგად, წრფივ განტოლებას არ აქვს ფესვები.