რაოდენობები არის ობიექტების რაოდენობრივი მნიშვნელობები, სეგმენტების სიგრძე, დრო, კუთხეები და ა.შ.

განმარტება. მნიშვნელობა - გაზომვის შედეგი, რომელიც წარმოდგენილია რიცხვით და საზომი ერთეულის სახელით.

მაგალითად: 1 კმ; 5 საათი 60 კმ/სთ; 15 კგ; 180°.

რაოდენობებიშეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ან ერთმანეთზე დამოკიდებული. რაოდენობების ურთიერთობა შეიძლება მკაცრად დადგინდეს (მაგალითად, 1 დმ \u003d 10 სმ) ან შეიძლება ასახავდეს რაოდენობებს შორის ურთიერთობას, რომელიც გამოხატულია კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობის განსაზღვრის ფორმულით (მაგალითად, გზა დამოკიდებულია სიჩქარეზე და ხანგრძლივობაზე მოძრაობა; კვადრატის ფართობი - მისი სიგრძის გვერდებზე და ა.შ.).

სიგრძის ზომების მეტრული სისტემის საფუძველი - მეტრი - შემოიღეს რუსეთში XIX საუკუნის დასაწყისში, მანამდე კი სიგრძის გასაზომად გამოიყენებოდა: არშინი (= 71 სმ), ვერსტი (= 1067 მ. ), ირიბი საჟენი (= 2 მ 13 სმ), საფრენი ბორბალი (= 1 მ 76 სმ), მარტივი ფათომი (= 1 მ 52 სმ), მეოთხედი (= 18 სმ), კუბიტი (დაახლოებით 35 სმ-დან 46 სმ-მდე), სიგრძე (18 სმ-დან 23 სმ-მდე).

როგორც ხედავთ, ბევრი იყო რაოდენობებისიგრძის გასაზომად. ზომების მეტრიკული სისტემის დანერგვით, სიგრძის მნიშვნელობების დამოკიდებულება მკაცრად ფიქსირდება:

• 1 კმ = 1000 მ; 1 მ = 100 სმ;
• 1 დმ = 10 სმ; 1 სმ = 10 მმ.

ზომების მეტრულ სისტემაში განსაზღვრულია დროის, სიგრძის, მასის, მოცულობის, ფართობის და სიჩქარის საზომი ერთეულები.

ორ ან მეტ რაოდენობას ან საზომთა სისტემას შორის ასევე შესაძლებელია ურთიერთობის დამყარება, ის ფიქსირდება ფორმულებში და ფორმულები მიღებულია ემპირიულად.

განმარტება. ორ ურთიერთდამოკიდებულ რაოდენობას უწოდებენ პროპორციულითუ მათი მნიშვნელობების თანაფარდობა უცვლელი რჩება.

ორი სიდიდის მუდმივ თანაფარდობას პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. პროპორციულობის ფაქტორიგვიჩვენებს ერთი სიდიდის რამდენი ერთეულია მეორე სიდიდის ერთეულზე. თუ კოეფიციენტები ტოლია. ეს ურთიერთობა თანაბარია.

მანძილი არის მოძრაობის სიჩქარისა და დროის პროდუქტი: აქედან გამომდინარეობს მოძრაობის ძირითადი ფორმულა:

სადაც ს- გზა; ვ- სიჩქარე; ტ- დრო.

მოძრაობის ძირითადი ფორმულა არის მანძილის დამოკიდებულება მოძრაობის სიჩქარეზე და დროზე. ამ დამოკიდებულებას ე.წ ცხარე პროპორციული.

განმარტება. ორი ცვლადი პირდაპირპროპორციულია, თუ ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (ან შემცირებით), მეორე მნიშვნელობა იზრდება (ან მცირდება) იმავე ოდენობით; იმათ. ასეთი რაოდენობების შესაბამისი მნიშვნელობების თანაფარდობა არის მუდმივი მნიშვნელობა.

მუდმივ მანძილზე სიჩქარე და დრო დაკავშირებულია სხვა ურთიერთობით, რომელსაც ე.წ უკუპროპორციულია.

წესი. ორი ცვლადი უკუპროპორციულია, თუ ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (ან შემცირებით), მეორე მნიშვნელობა მცირდება (ან იზრდება) იმავე ოდენობით; იმათ. ასეთი რაოდენობების შესაბამისი მნიშვნელობების პროდუქტი არის მუდმივი მნიშვნელობა.

მოძრაობის ფორმულიდან შეიძლება გამოვიდეს კიდევ ორი ​​მიმართება, რომელიც გამოხატავს მათში შემავალი რაოდენობების პირდაპირ და შებრუნებულ დამოკიდებულებას:

t=S:V- მოგზაურობის დრო პირდაპირი თანაფარდობითგზა გაიარა და პირიქითმოძრაობის სიჩქარე (გზის იგივე სეგმენტებისთვის, რაც უფრო დიდია სიჩქარე, მით ნაკლები დროა საჭირო მანძილის დასაძლევად).

V=S:t- მოძრაობის სიჩქარე პირდაპირპროპორციულიაგზა გაიარა და უკუპროპორციულიამოგზაურობის დრო (გზის იგივე სეგმენტებისთვის, მით მეტი
როდესაც ობიექტი მოძრაობს, მით ნაკლები სიჩქარეა საჭირო მანძილების დასაძლევად).

მოძრაობის სამივე ფორმულა ექვივალენტურია და გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად.

მათემატიკის გაკვეთილის შემუშავება მე-6 კლასში

გაკვეთილის თემაა „დამოკიდებულება რაოდენობას შორის“.

გაკვეთილის მიზნები:

1. მიეცით რაოდენობებს შორის დამოკიდებულების ცნება, გაარკვიეთ როგორ დააყენოთ ისინი.

2. მოსწავლეებს განუვითაროს სასწავლო მასალის ანალიზისა და სინთეზის უნარი.

3. შემოქმედებითი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება სასწავლო სამუშაოსადმი.

4. სასწავლო მასალის წარმოდგენა მოსწავლის ემოციურ-გამოცდილების სფეროს მეშვეობით.

ახლა კი აღვწერთ მშენებლობის ტექნოლოგიას გაკვეთილის მეთოდოლოგიის მასწავლებლის მიერ აქტივობის მეთოდის ტექნოლოგიის მიხედვით.

1. ნორმის თვითგამორკვევის ეტაპი ნ

ამ ეტაპზე განისაზღვრება გაკვეთილის თემა და სასწავლო მიზანი: „გაკვეთილზე განვიხილავთ ურთიერთობას სხვადასხვა სიდიდეებს შორის“, ანუ ოპერაცია გამოცხადებულია მისი გამოყენების პირობების დაზუსტების გარეშე.

2. ცოდნის განახლებისა და აქტივობებში სირთულეების გამოსწორების ეტაპი.

ამ ეტაპზე მასწავლებელი გვთავაზობს დავალებების ჩამონათვალს, რომელთა განხორციელება გულისხმობს ადრე ცნობილი ნორმის შესრულებას.

როგორ მოვძებნოთ:

მართკუთხედის ფართობი?

მართკუთხედის პერიმეტრი?

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა?

დაბლა სიჩქარე?

სიჩქარე დინების წინააღმდეგ?

ცოდნის განახლების ეტაპზე ბოლო შეკითხვა უნდა იყოს კითხვა, რომელიც აფიქსირებს სირთულეებს სტუდენტების საქმიანობაში, ანუ ადრე შესწავლილი ცოდნა არ არის საკმარისი, ჩნდება სწავლის პრობლემა. ამ შემთხვევაში, ეს არის კითხვა: "რისთვის არის ეს წესები და შესაბამისი ფორმულები?".

3. სასწავლო დავალების დასახვის ეტაპი.

მასწავლებელი მოსწავლეებს უსვამს პრობლემას: როგორ გავზომოთ მართკუთხა ნაკვეთის ფართობი, თუ ფორმულა არ ვიცით.ს=ავ? თქვენ შეგიძლიათ დაყოთ საიტი 1 კვადრატის ოთხკუთხედებად. მეტრი და დათვალეთ მათი რიცხვი. მოსახერხებელია?

სტუდენტები პასუხობენ, რომ შესაძლებელია, მაგრამ მოუხერხებელია. ეს ნიშნავს, რომ ფორმულები საჭიროა ძნელი გასაზომი რაოდენობების გამოსათვლელად.

მასწავლებელი კიდევ უფრო რთულ პრობლემას აყენებს: როგორ გავზომოთ მანძილი დედამიწიდან მზემდე? ასე რომ, აქამდე ცნობილი ნორმის კრიზისიან.

4. სირთულისგან თავის დასაღწევად პროექტის აგების ეტაპი.

მეცნიერებმა დაადგინეს, რომ დედამიწიდან მზემდე მანძილი 150 მილიონი კილომეტრია. და საიდან იცოდნენ ამის შესახებ? ბავშვებთან ერთად ირკვევა დედამიწიდან მზემდე მანძილის გამოთვლის ფორმულას= ctსადაც c=300000კმ,ტ\u003d 8 წთ, დრო, რაც სჭირდება სინათლის დედამიწამდე მისვლას. გათვლები ამას აჩვენებსს=2400000 კმ. რატომ მივიღეთ შეუსაბამობა ცნობილ ფაქტთან?

დასკვნა: ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მასში შემავალი სიდიდეების საზომი ერთეულები შეესაბამება ერთმანეთს.

ამ ეტაპზე მიზანშეწონილია მოსწავლის ემოციურ და ემოციურ სფეროზე გავლენის მოხდენა მცირე საგანმანათლებლო საუბრის დახმარებით. „სინათლე მიდის დედამიწიდან მზემდე 8 წუთში, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვხედავთ მზეს, როგორც ეს იყო 8 წუთის წინ. არის ვარსკვლავები, რომელთა შუქი ჩვენამდე მოდის მილიონობით წლის განმავლობაში: ვარსკვლავი შეიძლება უკვე გაქრა, მაგრამ მისგან შუქი კვლავ მოდის. ადამიანებიც ასე არიან: ადამიანი ჩვენთან აღარ არის და მისი სითბო, სინათლე მთელი ცხოვრება გვათბობს. ასეთი ადამიანი იყო ბაშკორტოსტანის ეროვნული პოეტი მუსტაი კარიმი, რომლის ხსოვნის დღეს ჩვენ აღვნიშნავთ. მისი სულიერი ენერგია, მისი გულის სითბო მრავალი წლის განმავლობაში გვემსახურება მორალურ მეგზურად“.

გაკვეთილის ამ ეტაპზე მოსწავლეებს სთავაზობენ სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების დადგენის სხვადასხვა ხერხს: ცხრილის, გრაფიკული და ფორმულის გამოყენებით.

ბავშვები ამ ეტაპზე შედიან სასწავლო პრობლემის გადაჭრის მეთოდის არჩევის სიტუაციაში: ისინი ადარებენ რაოდენობებს შორის დამოკიდებულების დაზუსტების სხვადასხვა ხერხს. შედარების შედეგები აღირიცხება საყრდენი-კვანძოვანი მატრიცაზე.

1 2

ფორმულის გრაფიკის ცხრილის დაყენების გზები

1-უნივერსალურობა, 2-სიზუსტე, 3-ხილვადობა;

(სიმბოლოები "D" - დიახ, "N" - არა)

დამხმარე-კვანძოვანი მატრიცის ანალიზის საფუძველზე სტუდენტები ასკვნიან, რომ საუკეთესო გზაა სიდიდეებს შორის კავშირის დადგენა ფორმულის გამოყენებით, რადგან მას აქვს უნივერსალურობის თვისება: შეგიძლიათ მიიღოთ დამოკიდებულების ცხრილი ფორმულიდან და ააგოთ დამოკიდებულების გრაფიკი. რაოდენობას შორის.

5. პირველადი კონსოლიდაციის ეტაპი გარე მეტყველებაში.

გაანალიზებულია პრობლემა No90

მართკუთხედის სიგანის დამოკიდებულების ერთი ფორმულის მიხედვით მის სიგრძეზე მუდმივი ფართობით:ბ=12/а ამ დამოკიდებულების ცხრილის შედგენა და მისი გრაფიკის აგება.

1 ,5

1,5

მართკუთხედის სიგრძე სიგანის დიაგრამა

ამრიგად, ჩვენ დავაკავშირეთ რაოდენობებს შორის დამოკიდებულების დაზუსტების 3 გზა:

ფორმულით,

გრაფიკული,

ცხრილი.

6. დამოუკიდებელი მუშაობის ეტაპი სტანდარტის მიხედვით თვითშემოწმებით.

მოსწავლეები დამოუკიდებლად წყვეტენ ამოცანებს მოქმედების ახალი წესისთვის, ახორციელებენ სტანდარტის მიხედვით თვითშემოწმებას და თავად აფასებენ შედეგებს. იქმნება წარმატების სიტუაცია, ისევ ერთვება მოსწავლის ემოციურ-გამოცდილების სფერო. ერთ ეტაპზე მოსწავლეებს სთავაზობენ No133, No140 დავალებებს. აქტივობის სწავლის ტექნოლოგიის მინიმაქსის პრინციპის განსახორციელებლად მოსწავლეებს სთავაზობენ ორი დონის დავალებებს: M, A და B.

დონე M: #133, A: #140. დონე B: No145

7. ახალი ცოდნის ცოდნაში ჩართვა.

ამ ეტაპზე მოსწავლეები დარწმუნდებიან, რომ ახლად შეძენილი ცოდნა ღირებულია შემდგომი სწავლისთვის. No139 სავარჯიშოს შესრულებით ამყარებენ ურთიერთობას შორის

მოცულობავკუბი და მისი კიდე a;

ფართობისმართკუთხა სამკუთხედი და ფეხები a დაბ

დიამეტრიდდა რადიუსირეს წრე;

მართკუთხედის a გვერდის სიგრძე, მისი პერიმეტრი P და ფართობის;

სკუბი და მისი კიდე ა

სრული ზედაპირის ფართობისკუბოიდი და მისი ზომები a,ბდა ს.

8. აქტივობის ასახვა (გაკვეთილის შედეგი)

მოსწავლეები ახორციელებენ საკუთარი აქტივობების თვითშეფასებას (რა ახალი რამ ისწავლეს, რა მეთოდი გამოიყენეს, გადადგმული ნაბიჯების წარმატება). ხდება აქტივობის წარმატების ფიქსაცია და დასკვნა შემდგომი ნაბიჯების შესახებ. გამოვლენილია მოსწავლეები, რომლებმაც შეასრულეს A და B დონის დავალებები.

Შენიშვნა.

გაკვეთილი ჩატარდა სახელმძღვანელოს მიხედვით G.V. Dorofeev, L.G. Peterson. მათემატიკა, სახელმძღვანელო მე-6 კლასისთვის. ნაწილი 2. იუვენტა. 2011 წელი

საგანი: მათემატიკა
კლასი: 4
გაკვეთილის თემა: კავშირი სიჩქარეს, გავლილ მანძილსა და დროს
მოძრაობა.
მიზანი: გამოავლინოს და დაასაბუთოს ურთიერთობა სიდიდეებს შორის: სიჩქარე, დრო,
მანძილი;
ამოცანები: ხელი შეუწყოს არასტანდარტული აზროვნების განვითარებას, დასკვნების გამოტანის უნარს,
მიზეზი; წვლილი შეიტანოს შემეცნებითი აქტივობის აღზრდაში.
აღჭურვილობა: ინდივიდუალური ბარათები სხვადასხვა ფერში, შეფასების კრიტერიუმები,
ასახვის ბარათი, ორი ფერის წრეები.
გაკვეთილების დროს.
1. საორგანიზაციო მომენტი.
ბარათი ორ ფერში: ყვითელი და ლურჯი. აჩვენე შენი განწყობა ბარათით
გაკვეთილის დასაწყისში და ბოლოს.
ბარათის შევსება გაკვეთილის დასაწყისში (დანართი 1.)
არა დამტკიცება
გაკვეთილის დასასრული
გაკვეთილის დაწყება
დიახ
არა
არ ვიცი დიახ
არა არა
მე ვიცი
1. მე ვიცი ყველა ფორმულა
მოძრაობის ამოცანები
2. მესმის გადაწყვეტილება
მოძრაობის ამოცანები
3. მე შემიძლია გადავწყვიტო მე თვითონ
დავალებები
4. შემიძლია შედგენა
დავალებების სქემები
მოძრაობა
5. ვიცი რა შეცდომები
აღიაროს გადაწყვეტილებაში
მოძრაობის ამოცანები
2. გამეორება.
როგორ მოვძებნოთ სიჩქარე? დრო? მანძილი?
რა არის სიჩქარის, მანძილის, დროის საზომი ერთეულები.
3. გაკვეთილის თემის მესიჯი.
რას ვისწავლით კლასში?
4. ჯგუფში მუშაობა.
მოძრაობის ობიექტების დაკავშირება (დანართი 2)
ფეხით მოსიარულეთა 70 კმ/სთ
მოთხილამურე 5 კმ/სთ

მანქანა 10 კმ/სთ
რეაქტიული თვითმფრინავი 12 კმ/სთ
მატარებელი 50 კმ/სთ
ლოკოკინა 900კმ/სთ
ცხენი 90 კმ/სთ
სამუშაოს შემოწმება.
5. მათემატიკური თავსატეხი (დამოუკიდებელი სამუშაო)
რამდენად ნაკლებია ველოსიპედისტის სიჩქარე მატარებლის სიჩქარეზე?
რამდენი კილომეტრია მოთხილამურეს სიჩქარე სიარულის სიჩქარეზე?
რამდენჯერ ნაკლებია მანქანის სიჩქარე რეაქტიული თვითმფრინავის სიჩქარეზე?
იპოვნეთ ყველაზე სწრაფად მოძრავი სატრანსპორტო საშუალების და ყველაზე სწრაფი კომბინირებული სიჩქარე
ნელი.
იპოვეთ ველოსიპედისტი და მოთხილამურე მატარებლის კომბინირებული სიჩქარე.
6. სამუშაოების თვითშემოწმება კრიტერიუმების მიხედვით.
7. ფიზიკური წუთი.
კვადრატის წითელი ფერი დგას
მწვანე - წავიდეთ
ყვითელი - 1-ჯერ დაუკრათ ტაში
8. ჯგუფში მუშაობა. (ბარათი ყვითელი) (ჯეგსო მეთოდი)
დავალება.
ორი ქალი ამტკიცებდა, რომ სტუპა თუ პომელო უფრო სწრაფი იყო? Იგივე
228 კმ მანძილი ბაბაიაგამ ნაღმტყორცნებიდან 4 საათში დაფარა, ხოლო ცოცხზე ბაბაიგამ 3 საათში. Რა
მეტი სიჩქარის სტუპა თუ პომელო?
9. მუშაობა წყვილში „ექსპერიმენტი“.
შექმენით მოძრაობის პრობლემა შემდეგი მნიშვნელობების გამოყენებით: 18 კმ/სთ, 4 სთ, 24 კმ, 3 სთ.
სამუშაოს შემოწმება.
10. ტესტი.
1. ჩაწერეთ სიჩქარის პოვნის ფორმულა.
2. ჩამოწერეთ დროის გამოძებნის ფორმულა.
3. როგორ მოვძებნოთ მანძილი? ჩამოწერეთ ფორმულა.
4. ჩაწერეთ 8 კმ/წთ კმ/სთ-ში
5. იპოვეთ დრო, რომელიც სჭირდება ფეხით მოსიარულეს 42 კმ სიარულისთვის, მოძრაობს 5 კმ/სთ სიჩქარით.
6. რა მანძილზე გაივლის ფეხით მოსიარულე, რომელიც 6 საათის განმავლობაში მოძრაობს 5 კმ/სთ სიჩქარით?
11. გაკვეთილის შედეგი.
შეავსეთ ცხრილი, რა შედეგებით მივედით გაკვეთილის ბოლოს.
აჩვენეთ ბარათი, რომელიც შეესაბამება თქვენს განწყობას.

გაკვეთილის დაწყება
დიახ
არა
დანართი 1.
გაკვეთილის დასასრული
არ ვიცი დიახ
არა დამტკიცება
1. მე ვიცი ყველა ფორმულა
მოძრაობის ამოცანები
2. მესმის გადაწყვეტილება
მოძრაობის ამოცანები
3. მე შემიძლია გადავწყვიტო მე თვითონ
დავალებები
4. შემიძლია შედგენა
დავალებების სქემები
მოძრაობა
5. ვიცი რა შეცდომები
აღიაროს გადაწყვეტილებაში
მოძრაობის ამოცანები
შეაერთეთ მოძრაობის ობიექტები.
ფეხით მოსიარულეთა 70 კმ/სთ
მოთხილამურე 5 კმ/სთ
მანქანა 10 კმ/სთ
რეაქტიული თვითმფრინავი 12 კმ/სთ
მატარებელი 50 კმ/სთ
ლოკოკინა 900კმ/სთ
ცხენი 90 კმ/სთ
არა არა
მე ვიცი
დანართი 2

ერთი შემთხვევითი ცვლადის დამოკიდებულებას იმ მნიშვნელობებზე, რომლებსაც სხვა შემთხვევითი ცვლადი (ფიზიკური მახასიათებელი) იღებს, სტატისტიკაში ჩვეულებრივ რეგრესიას უწოდებენ. თუ ამ დამოკიდებულებას ეძლევა ანალიტიკური ფორმა, მაშინ პრეზენტაციის ეს ფორმა წარმოდგენილია რეგრესიის განტოლებით.

სხვადასხვა ციფრულ პოპულაციას შორის სავარაუდო ურთიერთობის ძიების პროცედურა ჩვეულებრივ მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:

მათ შორის ურთიერთობის მნიშვნელობის დადგენა;

ამ დამოკიდებულების მათემატიკური გამოხატვის (რეგრესიის განტოლების) სახით წარმოჩენის შესაძლებლობა.

ამ სტატისტიკური ანალიზის პირველი ნაბიჯი ეხება ე.წ. კორელაციის, ანუ კორელაციური დამოკიდებულების იდენტიფიცირებას. კორელაცია განიხილება, როგორც ნიშანი, რომელიც მიუთითებს რიგი რიცხვითი მიმდევრობების ურთიერთობაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კორელაცია ახასიათებს ურთიერთობის სიძლიერეს მონაცემებში. თუ ეს ეხება ორი რიცხვითი მასივის ურთიერთობას xi და yi, მაშინ ასეთ კორელაციას ეწოდება დაწყვილებული.

კორელაციის ძიებისას, ერთი გაზომილი x მნიშვნელობის სავარაუდო კავშირი (მისი ცვლილების გარკვეული შეზღუდული დიაპაზონისთვის, მაგალითად, x1-დან xn-მდე) სხვა გაზომილ მნიშვნელობასთან y (ასევე იცვლება რაღაც ინტერვალში y1 ... yn) ჩვეულებრივ არის. გამოავლინა. ამ შემთხვევაში საქმე გვექნება ორ რიცხვობრივ მიმდევრობასთან, რომელთა შორისაც აუცილებელია სტატისტიკური (კორელაციური) ურთიერთობის არსებობის დადგენა. ამ ეტაპზე, ამოცანა ჯერ არ არის დაყენებული იმის დასადგენად, არის თუ არა ამ შემთხვევითი ცვლაებიდან ერთი ფუნქცია, ხოლო მეორე არის არგუმენტი. მათ შორის რაოდენობრივი კავშირის პოვნა კონკრეტული ანალიტიკური გამოხატვის y = f(x) სახით სხვა ანალიზის, რეგრესიის ამოცანაა.

ᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, კორელაციური ანალიზი ადგენს მონაცემთა x და y წყვილებს შორის კავშირის სიძლიერეს, ხოლო რეგრესიის ანალიზი გამოიყენება ერთი ცვლადის (y) პროგნოზირებისთვის მეორის (x) საფუძველზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ შემთხვევაში, ისინი ცდილობენ გამოავლინონ მიზეზობრივი კავშირი გაანალიზებულ პოპულაციებს შორის.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ჩვეულებრივ უნდა განვასხვავოთ ორი ტიპის კავშირი ციფრულ კომპლექტებს შორის - ϶ᴛᴏ შეიძლება იყოს ფუნქციური დამოკიდებულება ან სტატისტიკური (შემთხვევითი). ფუნქციური კავშირის არსებობისას, გავლენის ფაქტორის (არგუმენტის) თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება სხვა ინდიკატორის (ფუნქციის) მკაცრად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ᴛ.ᴇ. ეფექტიანი ატრიბუტის ცვლილება მთლიანად განპირობებულია ფაქტორის ატრიბუტის მოქმედებით.

ანალიტიკურად, ფუნქციური დამოკიდებულება წარმოდგენილია შემდეგი სახით: y = f(x).

სტატისტიკური ურთიერთობის შემთხვევაში, ერთი ფაქტორის მნიშვნელობა შეესაბამება შესასწავლი პარამეტრის გარკვეულ მიახლოებით მნიშვნელობას, მისი ზუსტი მნიშვნელობა არის არაპროგნოზირებადი, არაპროგნოზირებადი და, შესაბამისად, მიღებული ინდიკატორები აღმოჩნდება შემთხვევითი ცვლადები. ეს ნიშნავს, რომ y ეფექტური ატრიბუტის ცვლილება განპირობებულია x ფაქტორის ატრიბუტის გავლენით მხოლოდ ნაწილობრივ, რადგან შესაძლებელია სხვა ფაქტორების გავლენაც, რომელთა წვლილი მითითებულია როგორც є: y = f(x) + є.

მათი ბუნებით, კორელაციები არის ϶ᴛᴏ კორელაციური კავშირები. კომერციული საქმიანობის ინდიკატორებს შორის კორელაციის მაგალითია, მაგალითად, სადისტრიბუციო ხარჯების ოდენობების დამოკიდებულება ვაჭრობის მოცულობაზე. ამასთან დაკავშირებით, x ფაქტორის ნიშნის გარდა (საქონლის ბრუნვის მოცულობა), ეფექტურ ნიშანზე y (განაწილების ხარჯების ჯამი) ასევე გავლენას ახდენს სხვა ფაქტორები, მათ შორის გაუთვალისწინებელი, რომლებიც წარმოქმნიან წვლილს є.

შემთხვევითი ცვლადების შესწავლილ სიმრავლეებს შორის კავშირის არსებობის რაოდენობრივი შეფასებისთვის გამოიყენება სპეციალური სტატისტიკური მაჩვენებელი - კორელაციის კოეფიციენტი r.

თუ ვივარაუდებთ, რომ ეს ურთიერთობა შეიძლება აღწერილი იყოს y \u003d a + bx ტიპის წრფივი განტოლებით (სადაც a და b მუდმივებია), მაშინ ჩვეულებრივად უნდა ვისაუბროთ წრფივი კორელაციის არსებობაზე.

კოეფიციენტი r არის განზომილებიანი სიდიდე, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს 0-დან ±1-მდე. რაც უფრო ახლოსაა კოეფიციენტის მნიშვნელობა ერთიანობასთან (არ აქვს მნიშვნელობა რა ნიშნით), მით უფრო დარწმუნებით შეიძლება ამტკიცებდეს, რომ არსებობს წრფივი კავშირი განსახილველ ცვლადების ორ კომპლექტს შორის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთ-ერთი ამ შემთხვევითი ცვლადის (y) მნიშვნელობა არსებითად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მნიშვნელობას იღებს მეორე (x).

თუ აღმოჩნდება, რომ r = 1 (ან -1), მაშინ არის წმინდა ფუნქციონალური დამოკიდებულების კლასიკური შემთხვევა (ᴛ.ᴇ. რეალიზებულია იდეალური ურთიერთობა).

ორგანზომილებიანი scatterplot-ის გაანალიზებისას, შეგიძლიათ იპოვოთ სხვადასხვა ურთიერთობა. უმარტივესი ვარიანტია წრფივი ურთიერთობა, რომელიც გამოიხატება იმით, რომ წერტილები შემთხვევით განლაგებულია სწორი ხაზის გასწვრივ. დიაგრამა არ აჩვენებს ურთიერთობას, თუ წერტილები შემთხვევით არის განლაგებული და არ არის გამოვლენილი დახრილობა (არც ზემოთ და არც ქვემოთ) მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილებისას.

თუ მასზე წერტილები დაჯგუფებულია მრუდი ხაზის გასწვრივ, მაშინ სკატერის დიაგრამა ხასიათდება არაწრფივი ურთიერთობით. ასეთი სიტუაციები სავსებით შესაძლებელია.

Რეგრესიული ანალიზი

ექსპერიმენტის შედეგების მეთოდით დამუშავება

რთული სისტემების ფუნქციონირების პროცესების შესწავლისას, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ რამდენიმე ერთდროულად მოქმედ შემთხვევით ცვლადს. ფენომენების მექანიზმის, სისტემის ელემენტებს შორის მიზეზ-შედეგობრივი კავშირის გასაგებად, ჩვენ ვცდილობთ დავადგინოთ ამ სიდიდეების მიმართება მიღებული დაკვირვების საფუძველზე.

მათემატიკურ ანალიზში, დამოკიდებულება, მაგალითად, ორ სიდიდეს შორის გამოიხატება ფუნქციის კონცეფციით.

სადაც ერთი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება მეორის მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას. ამ დამოკიდებულებას ე.წ ფუნქციონალური.

სიტუაცია შემთხვევითი ცვლადების დამოკიდებულების კონცეფციასთან დაკავშირებით ბევრად უფრო რთულია. როგორც წესი, შემთხვევით ცვლადებს შორის (შემთხვევითი ფაქტორები), რომლებიც განსაზღვრავენ რთული სისტემების ფუნქციონირების პროცესს, ჩვეულებრივ, არსებობს ისეთი ურთიერთობა, რომელშიც ერთი ცვლადის ცვლილებით იცვლება მეორის განაწილება. ასეთ კავშირს ე.წ სტოქასტური, ან სავარაუდო. ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი ფაქტორის ცვლილების სიდიდე იმნიშვნელობის ცვლილების შესაბამისი X, შეიძლება დაიყოს ორ კომპონენტად. პირველი დაკავშირებულია დამოკიდებულებასთან. იდან X, ხოლო მეორე „საკუთარი“ შემთხვევითი კომპონენტების გავლენით იდა X. თუ პირველი კომპონენტი აკლია, მაშინ შემთხვევითი ცვლადები იდა Xარიან დამოუკიდებლები. თუ მეორე კომპონენტი აკლია, მაშინ იდა Xდამოკიდებულია ფუნქციურად. ორივე კომპონენტის თანდასწრებით, მათ შორის თანაფარდობა განსაზღვრავს შემთხვევით ცვლადებს შორის ურთიერთობის სიძლიერეს ან სიმკაცრეს. იდა X.

არსებობს სხვადასხვა ინდიკატორი, რომელიც ახასიათებს სტოქასტური ურთიერთობის გარკვეულ ასპექტებს. ასე რომ, წრფივი ურთიერთობა შემთხვევით ცვლადებს შორის Xდა იგანსაზღვრავს კორელაციის კოეფიციენტს.

სად არის X და შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი ი.

- შემთხვევითი ცვლადების სტანდარტული გადახრები Xდა ი.

შემთხვევითი ცვლადების წრფივი ალბათური დამოკიდებულება მდგომარეობს იმაში, რომ როდესაც ერთი შემთხვევითი ცვლადი იზრდება, მეორე ტენდენცია იზრდება (ან მცირდება) წრფივი კანონის მიხედვით. თუ შემთხვევითი ცვლადები Xდა იდაკავშირებულია მკაცრი ხაზოვანი ფუნქციონალური დამოკიდებულებით, მაგალითად,

y=b 0 +b 1 x 1,

მაშინ კორელაციის კოეფიციენტი ტოლი იქნება; სადაც ნიშანი შეესაბამება კოეფიციენტის ნიშანს ბ 1.თუ ღირებულებები Xდა იდაკავშირებულია თვითნებური სტოქასტური დამოკიდებულებით, მაშინ კორელაციის კოეფიციენტი იცვლება შიგნით

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადებისთვის, კორელაციის კოეფიციენტი ნული. თუმცა კორელაციის კოეფიციენტს, როგორც შემთხვევით ცვლადებს შორის დამოკიდებულების ინდიკატორს, აქვს სერიოზული ნაკლოვანებები. პირველი, თანასწორობიდან რ= 0 არ ნიშნავს შემთხვევითი ცვლადების დამოუკიდებლობას Xდა ი(გარდა შემთხვევითი ცვლადებისა, რომლებიც ექვემდებარება ნორმალურ განაწილების კანონს, რისთვისაც რ= 0 ნიშნავს ამავდროულად რაიმე დამოკიდებულების არარსებობას). მეორეც, უკიდურესი მნიშვნელობები ასევე არ არის ძალიან სასარგებლო, რადგან ისინი არ შეესაბამება რაიმე ფუნქციურ დამოკიდებულებას, მაგრამ მხოლოდ მკაცრად ხაზოვანს.

სრული დამოკიდებულების აღწერა იდან Xდა, უფრო მეტიც, გამოხატული ზუსტი ფუნქციური ურთიერთობებით, შეიძლება მივიღოთ პირობითი განაწილების ფუნქციის ცოდნით.

უნდა აღინიშნოს, რომ ამ შემთხვევაში ერთ-ერთი დაკვირვებული ცვლადი განიხილება არა შემთხვევით. ორი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ერთდროულად დაფიქსირება Xდა ი, მათი მნიშვნელობების შედარებისას ყველა შეცდომა შეგვიძლია მივწეროთ მხოლოდ მნიშვნელობას ი. ამრიგად, დაკვირვების შეცდომა იქნება რაოდენობის საკუთარი შემთხვევითი შეცდომის ჯამი იდა შესაბამისი შეცდომიდან გამომდინარე იქიდან, რომ მნიშვნელობით იარ არის სრულიად იგივე მნიშვნელობა ემთხვევა Xრომელიც რეალურად მოხდა.

თუმცა პირობითი განაწილების ფუნქციის პოვნა, როგორც წესი, ძალიან რთული ამოცანაა. შორის ურთიერთობის გამოკვლევის უმარტივესი გზა Xდა ინორმალური განაწილებით ი, ვინაიდან იგი მთლიანად განისაზღვრება მათემატიკური მოლოდინით და დისპერსიით. ამ შემთხვევაში, დამოკიდებულების აღსაწერად იდან Xთქვენ არ გჭირდებათ პირობითი განაწილების ფუნქციის აშენება, მაგრამ უბრალოდ მიუთითეთ როგორ, პარამეტრის შეცვლისას Xმნიშვნელობის ცვლილების მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია ი.

ამრიგად, ჩვენ მივდივართ მხოლოდ ორი ფუნქციის პოვნის აუცილებლობამდე:

(3.2)

პირობითი დისპერსიული დამოკიდებულება დპარამეტრიდან Xეწოდება სhodasticheskyდამოკიდებულებები. იგი ახასიათებს დაკვირვების ტექნიკის სიზუსტის ცვლილებას პარამეტრის ცვლილებით და გამოიყენება საკმაოდ იშვიათად.

პირობითი მათემატიკური მოლოდინის დამოკიდებულება მდან Xეწოდება რეგრესია, ის იძლევა რაოდენობების ნამდვილ დამოკიდებულებას Xდა ზე, მოკლებულია ყველა შემთხვევით ფენას. ამიტომ, დამოკიდებული ცვლადების ნებისმიერი კვლევის იდეალური მიზანია რეგრესიის განტოლების პოვნა, ხოლო დისპერსიას მხოლოდ შედეგის სიზუსტის შესაფასებლად იყენებენ.