ჯერ გავიხსენოთ რა არის ვექტორული პროდუქტი.

შენიშვნა 1

ვექტორული ხელოვნება$\vec(a)$-სთვის და $\vec(b)$-ისთვის არის $\vec(c)$, რომელიც არის მესამე ვექტორი $\vec(c)= ||$, და ამ ვექტორს აქვს სპეციალური თვისებები:

• მიღებული ვექტორის სკალარი არის $|\vec(a)|$ და $|\vec(b)|$-ის ნამრავლი $\vec(c)= ||= |\vec(a) კუთხის სინუსზე. )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• ყველა $\vec(a), \vec(b)$ და $\vec(c)$ ქმნიან მარჯვენა სამეულს;
• მიღებული ვექტორი ორთოგონალურია $\vec(a)$-ზე და $\vec(b)$-ზე.

თუ არსებობს რამდენიმე კოორდინატი ვექტორებისთვის ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ და $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი დეკარტის კოორდინატთა სისტემა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

ამ ფორმულის დასამახსოვრებლად უმარტივესი გზაა მისი დაწერა დეტერმინანტის სახით:

$ = \begin(მაივი) (|cccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end (მასივი)$.

ეს ფორმულა საკმაოდ მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, მაგრამ იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენოთ იგი, ჯერ უნდა გაეცნოთ მატრიცების თემას და მათ დეტერმინანტებს.

პარალელოგრამის ფართობი, რომლის გვერდები განისაზღვრება ორი ვექტორით $\vec(a)$ და $vec(b)$ უდრის მოცემული ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის სკალარამდე.

ეს თანაფარდობა საკმაოდ მარტივი გამოსატანია.

გაიხსენეთ ჩვეულებრივი პარალელოგრამის ფართობის პოვნის ფორმულა, რომელიც შეიძლება დახასიათდეს მისი $a$ და $b$ სეგმენტებით:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

ამ შემთხვევაში, გვერდების სიგრძე უდრის $\vec(a)$ და $\vec(b)$ ვექტორების სკალარული მნიშვნელობების, რაც საკმაოდ შესაფერისია ჩვენთვის, ანუ სკალარული. ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი იქნება განხილული ფიგურის ფართობი.

მაგალითი 1

მოცემულია $\vec(c)$ ვექტორები $\(5;3; 7\)$ კოორდინატებით და ვექტორი $\vec(g)$ კოორდინატებით $\(3; 7;10 \)$ დეკარტის კოორდინატებში. იპოვეთ პარალელოგრამის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება $\vec(c)$-ით და $\vec(g)$-ით.

გამოსავალი:

იპოვეთ ვექტორული პროდუქტი ამ ვექტორებისთვის:

$ = \begin(მაივი) (|cccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(მაივი)= i \cdot \begin(მაივი) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(მაივი) - j \cdot \begin(მაივი) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(მაივი) + k \cdot \begin(მაივი) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end (მაივი) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

ახლა მოდით ვიპოვოთ მოდულური მნიშვნელობა მიღებული მიმართულების სეგმენტისთვის, ეს არის აშენებული პარალელოგრამის ფართობის მნიშვნელობა:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

მსჯელობის ეს ხაზი მოქმედებს არა მხოლოდ 3-განზომილებიან სივრცეში ფართობის საპოვნელად, არამედ ორგანზომილებიან სივრცეშიც. შეამოწმეთ შემდეგი შეკითხვა ამ თემაზე.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ პარალელოგრამის ფართობი, თუ მისი წარმომქმნელი სეგმენტები მოცემულია $\vec(m)$ ვექტორებით $\(2; 3\)$ და $\vec(d)$ კოორდინატებით $\(-5; 6\)$.

გამოსავალი:

ეს პრობლემა არის ზემოთ მოგვარებული 1-ის კონკრეტული მაგალითი, მაგრამ ორივე ვექტორი დევს ერთ სიბრტყეში, რაც ნიშნავს, რომ მესამე კოორდინატი, $z$, შეიძლება მივიღოთ როგორც ნული.

ზემოაღნიშნულის შესაჯამებლად, პარალელოგრამის ფართობი იქნება:

$S = \begin(მასივი) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(მაივი) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

მაგალითი 3

მოცემული ვექტორები $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. იპოვეთ მათ მიერ წარმოქმნილი პარალელოგრამის ფართობი.

$[ \vec(a) \ჯერ \vec(b)] = (3i - j + k) \ჯერ 5i = 15 - 5 + $

მოდით გავამარტივოთ მოცემული ცხრილის მიხედვით ერთეული ვექტორებისთვის:

სურათი 1. ვექტორის დაშლა საფუძვლის მიხედვით. ავტორი24 - სტუდენტური ნაშრომების ონლაინ გაცვლა

$[ \vec(a) \ჯერ \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

გაანგარიშების დრო:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

წინა ამოცანები ეხებოდა ვექტორებს, რომელთა კოორდინატები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში, მაგრამ განიხილეთ ის შემთხვევაც, თუ საფუძველ ვექტორებს შორის კუთხე განსხვავდება $90°$-დან:

მაგალითი 4

ვექტორი $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, $\vec(a)$ და $\vec(b)$-ის სიგრძეები ერთმანეთის ტოლია და ერთის ტოლია და კუთხე $\vec(a)$-სა და $\vec(b)$-ს შორის არის 45°.

გამოსავალი:

მოდით გამოვთვალოთ ვექტორული ნამრავლი $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \ჯერ \vec(f) ]= (2a + 3b) \ჯერ (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

ვექტორული პროდუქტებისთვის, მათი თვისებების მიხედვით, მართებულია შემდეგი: $$ და $$ უდრის ნულს, $ = - $.

მოდით გამოვიყენოთ ეს გასამარტივებლად:

$[\vec(d) \ჯერ \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

ახლა გამოვიყენოთ ფორმულა $(1)$:

$[\vec(d) \ჯერ \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია ამ ვექტორების სიგრძის ნამრავლისა და მათ შორის მდებარე კუთხის კუთხის ნამრავლისა.

კარგია, როცა ამ იგივე ვექტორების სიგრძეები მოცემულია პირობების მიხედვით. თუმცა, ასევე ხდება, რომ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობის ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ კოორდინატებზე გამოთვლების შემდეგ.
თუ გაგიმართლათ და ვექტორების სიგრძე მოცემულია პირობების მიხედვით, მაშინ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა, რომელიც უკვე დეტალურად გავაანალიზეთ სტატიაში. ფართობი ტოლი იქნება მოდულების ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის სინუსისა:

განვიხილოთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითი.

Დავალება:პარალელოგრამი აგებულია ვექტორებზე და . იპოვეთ ფართობი if , და მათ შორის კუთხე არის 30°.
მოდით გამოვხატოთ ვექტორები მათი მნიშვნელობებით:

ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა - საიდან გაჩნდა ნულები? უნდა გვახსოვდეს, რომ ჩვენ ვმუშაობთ ვექტორებთან და მათთვის . ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თუ შედეგად მივიღებთ გამონათქვამს, მაშინ ის გარდაიქმნება. ახლა გავაკეთოთ საბოლოო გამოთვლები:

დავუბრუნდეთ პრობლემას, როდესაც ვექტორების სიგრძე არ არის მითითებული პირობებში. თუ თქვენი პარალელოგრამი დევს დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, მაშინ თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი.

კოორდინატებით მოცემული ფიგურის გვერდების სიგრძის გამოთვლა

დასაწყისისთვის ვპოულობთ ვექტორების კოორდინატებს და ვაკლებთ შესაბამის საწყისი კოორდინატებს ბოლო კოორდინატებს. დავუშვათ a (x1;y1;z1) ვექტორის და b (x3;y3;z3) ვექტორის კოორდინატები.
ახლა ჩვენ ვიპოვით თითოეული ვექტორის სიგრძეს. ამისათვის თითოეული კოორდინატი უნდა იყოს კვადრატში, შემდეგ დაამატეთ შედეგები და ამოიღეთ ფესვი სასრული რიცხვიდან. ჩვენი ვექტორების მიხედვით, გაკეთდება შემდეგი გამოთვლები:


ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჩვენი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. ამისათვის მათი შესაბამისი კოორდინატები მრავლდება და ემატება.

ვექტორების სიგრძისა და მათი სკალარული ნამრავლის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვიპოვოთ მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსი. .
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ იგივე კუთხის სინუსი:
ახლა ჩვენ გვაქვს ყველა საჭირო რაოდენობა და უკვე ცნობილი ფორმულის გამოყენებით მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ხანდახან ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი , უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ასეთია ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება შეგექმნათ შთაბეჭდილება, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. Ეს არ არის სიმართლე. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში, ზოგადად, ცოტა შეშაა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი , თუნდაც ნაკლები ტიპიური ამოცანები იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დაინახავს ან უკვე უნახავს, ​​არის გამოთვლების არ შეცდომა. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები ანათებენ სადღაც შორს, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყე გაკვეთილი ვექტორები დუმებისთვის ვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა, შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში.

რა გაგახარებს? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა საერთოდ არ არის საჭირო ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცის ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. უკვე უფრო ადვილია!

ამ ოპერაციაში, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტის დროს, ორი ვექტორი. ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის აღნიშვნას ამ გზით, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი ჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავება, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგი არის რიცხვი:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგი არის ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. სინამდვილეში, აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს, მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, მერე კომენტარები.

განმარტება: ჯვარედინი პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

ჩვენ ვაანალიზებთ განმარტებას ძვლების მიხედვით, ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) წყაროს ვექტორები, მითითებული წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) აღებული ვექტორები მკაცრი თანმიმდევრობით: – "ა" მრავლდება "იყოს", არა "იყოს" "ა". ვექტორული გამრავლების შედეგიარის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მაშინ მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოსფერი ფერი). ანუ თანასწორობა .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის ) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავ ფერშია დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, რა თქმა უნდა, ჯვარედინი პროდუქტის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენებთ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმულას: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულაში ვსაუბრობთ ვექტორის სიგრძეზე და არა თავად ვექტორზე. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ისეთია, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

ჩვენ ვიღებთ მეორე მნიშვნელოვან ფორმულას. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოსფერი ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველი Მას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლა მე დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცის ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიხელისგულში დაჭერით. Როგორც შედეგი ცერა თითი- ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად, ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა: რა საფუძვლად უდევს მარცხენა ორიენტაცია? იგივე თითები "დაანიშნეთ". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ მარცხენა საფუძველი და მარცხენა სივრცეში ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები „უხვევენ“ ან ორიენტირებენ სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, ყველაზე ჩვეულებრივი სარკე ცვლის სივრცის ორიენტაციას და თუ "ასახული ობიექტი სარკიდან ამოიყვანთ", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება დააკავშირეთ იგი "ორიგინალთან". სხვათა შორის, მიიტანეთ სამი თითი სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

... რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

განმარტება დეტალურად არის შემუშავებული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი არის ნული. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის ან 180 გრადუსის სინუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ფართობი ნულის ტოლია.

ამრიგად, თუ, მაშინ და . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯვარედინი ნამრავლი თავისთავად ნულოვანი ვექტორის ტოლია, მაგრამ პრაქტიკაში ამას ხშირად უგულებელყოფენ და წერენ, რომ ის ასევე ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის და საკუთარი თავის ვექტორული ნამრავლი:

ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება საჭირო გახდეს ტრიგონომეტრიული ცხრილი მისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ხანძარი გავაჩაღოთ:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, მე განზრახ დავწერე საწყისი მონაცემები იგივე მდგომარეობაში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა სიგრძევექტორი (ვექტორული პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

რაკი სიგრძის შესახებ იკითხეს, პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ვექტორული პროდუქტის შესახებ პასუხში საერთოდ არ არის საუბარი, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ იმას, თუ რა არის საჭირო მდგომარეობის მიხედვით და, ამის საფუძველზე, ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის არის საკმარისი ლიტერალისტი და კარგი შანსების მქონე დავალება დაბრუნდება გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით დაძაბული ნიმუში - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რამ და/ან არ ჩაუღრმავდა ამოცანის არსს. ეს მომენტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი, ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრა უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებშიც.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა დამატებით მიეწებო გამოსავალზე, მაგრამ ჩანაწერის დამოკლების მიზნით, არ გავაკეთე. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის და ეს იგივეს დანიშნულებაა.

პოპულარული მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია, სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება აწამონ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენ გვჭირდება:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ ჩამონათვალში შევიტან.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს ნივთი, როგორც წესი, არ გამოირჩევა თვისებებით, მაგრამ პრაქტიკული თვალსაზრისით ძალიან მნიშვნელოვანია. ასე რომ იყოს.

2) - საკუთრებაზეც ზევითაა საუბარი, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად ამოღებულია ვექტორული პროდუქტის საზღვრებიდან. მართლა, რას აკეთებენ იქ?

4) - განაწილება ან განაწილებავექტორული პროდუქტის კანონები. არც ფრჩხილების გახსნის პრობლემაა.

როგორც დემონსტრირება, განიხილეთ მოკლე მაგალითი:

მაგალითი 3

იპოვე თუ

გამოსავალი:პირობით, კვლავ საჭიროა ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნა. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის საზღვრებს მიღმა.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულიდან, ხოლო მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) რაც შემდეგშია, ნათელია.

უპასუხე:

ცეცხლზე შეშის სროლის დროა:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . პრობლემა ის არის, რომ ვექტორები "ce" და "te" თავად წარმოდგენილია ვექტორების ჯამებად. აქ ალგორითმი სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი . მოდით დავყოთ იგი სამ ეტაპად სიცხადისთვის:

1) პირველ საფეხურზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს გამოვხატავთ ვექტორული ნამრავლის მეშვეობით, ფაქტობრივად, ვექტორის გამოხატვა ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით გახსენით ფრჩხილები მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, 2 და 3 მოქმედებები შეიძლება ერთდროულად შესრულდეს.

(4) პირველი და ბოლო წევრი უდრის ნულს (ნულოვანი ვექტორი) სასიამოვნო თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატებოდა ვექტორის საშუალებით, რაც იყო საჭირო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს ქმედება მსგავსია მაგალითი 3:

3) იპოვეთ სასურველი სამკუთხედის ფართობი:

ხსნარის 2-3 საფეხურები შეიძლება განთავსდეს ერთ ხაზზე.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვე თუ

მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

ორთონორმალური საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: კოორდინატთა ვექტორებს დეტერმინანტის ზედა ხაზში ვწერთ, ვექტორების კოორდინატებს მეორე და მესამე სტრიქონებში „ვაფუთავთ“ და ვდებთ. მკაცრი წესით- ჯერ ვექტორის კოორდინატები "ve", შემდეგ ვექტორის კოორდინატები "double-ve". თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ ხაზებიც უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები თანამიმართულია:
ა)
ბ)

გამოსავალი: ტესტი ეფუძნება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ჯვარედინი ნამრავლი არის ნული (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ასე რომ, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დაეყრდნობა განმარტებას, გეომეტრიულ მნიშვნელობას და რამდენიმე სამუშაო ფორმულას.

ვექტორების შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე დგანან მატარებელივით და მელოდებიან, ვერ ითმენენ, სანამ არ გამოითვლებიან.

ჯერ ისევ განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული პროდუქტი არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია "+" ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და "-" ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) აღებული ვექტორები გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების პერმუტაცია, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, უშედეგოდ არ მიმდინარეობს.

3) სანამ კომენტარს გავაკეთებ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის რიცხვი: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავებული იყოს, მე ვანიშნებდი შერეულ პროდუქტს და გამოთვლების შედეგს ასო "პე"-ით.

Განმარტებით შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებით და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ არ შევიწუხოთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფცია. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს.