ამ მასალაში გავაანალიზებთ, თუ როგორ სწორად მივიყვანოთ წილადები ახალ მნიშვნელთან, რა არის დამატებითი ფაქტორი და როგორ ვიპოვოთ იგი. ამის შემდეგ, ჩვენ ვაყალიბებთ წილადების ახალ მნიშვნელებამდე შემცირების ძირითად წესს და ვასახავთ მას ამოცანების მაგალითებით.

წილადის სხვა მნიშვნელზე შემცირების კონცეფცია

გაიხსენეთ წილადის ძირითადი თვისება. მისი აზრით, ჩვეულებრივ წილადს a b (სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი) აქვს წილადების უსასრულო რაოდენობა, რომლებიც ტოლია. ასეთი წილადების მიღება შესაძლებელია მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე m (ბუნებრივი) გამრავლებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველა ჩვეულებრივი წილადი შეიძლება შეიცვალოს m b m ფორმის სხვებით. ეს არის საწყისი მნიშვნელობის შემცირება სასურველი მნიშვნელის მქონე წილადზე.

თქვენ შეგიძლიათ წილადი მიიყვანოთ სხვა მნიშვნელზე მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებით. მთავარი პირობაა, რომ მამრავლი ერთნაირი იყოს წილადის ორივე ნაწილისთვის. შედეგი არის წილადი ორიგინალის ტოლი.

მოდი ეს მაგალითით ავხსნათ.

მაგალითი 1

გადააქციეთ წილადი 11 25 ახალ მნიშვნელად.

გადაწყვეტილება

აიღეთ თვითნებური ნატურალური რიცხვი 4 და გაამრავლეთ მასზე საწყისი წილადის ორივე ნაწილი. ჩვენ განვიხილავთ: 11 4 \u003d 44 და 25 4 \u003d 100. შედეგი არის 44100-ის ფრაქცია.

ყველა გამოთვლა შეიძლება ჩაიწეროს ამ ფორმით: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100

გამოდის, რომ ნებისმიერი წილადი შეიძლება შემცირდეს სხვადასხვა მნიშვნელების უზარმაზარ რაოდენობამდე. ოთხის ნაცვლად, შეგვეძლო ავიღოთ სხვა ნატურალური რიცხვი და მივიღოთ ორიგინალის ტოლფასი სხვა წილადი.

მაგრამ არცერთი რიცხვი არ შეიძლება გახდეს ახალი წილადის მნიშვნელი. ასე რომ, b-სთვის მნიშვნელი შეიძლება შეიცავდეს მხოლოდ b · m რიცხვებს, რომლებიც b-ის ჯერადი არიან. გავიხსენოთ გაყოფის ძირითადი ცნებები - ჯერადები და გამყოფები. თუ რიცხვი არ არის b-ის ჯერადი, მაგრამ ის არ შეიძლება იყოს ახალი წილადის გამყოფი. მოდით ავხსნათ ჩვენი იდეა პრობლემის გადაჭრის მაგალითით.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ შესაძლებელია თუ არა წილადის 5 9 შემცირება 54 და 21 მნიშვნელებზე.

გადაწყვეტილება

54 არის ცხრის ნამრავლი, რომელიც არის ახალი წილადის მნიშვნელი (ე.ი. 54 შეიძლება გაიყოს 9-ზე). შესაბამისად, ასეთი შემცირება შესაძლებელია. 21-ს კი 9-ზე ვერ გავყოფთ, ამიტომ ამ წილადისთვის ასეთი ქმედება შეუძლებელია.

დამატებითი მულტიპლიკატორის კონცეფცია

მოდით ჩამოვაყალიბოთ რა არის დამატებითი ფაქტორი.

განმარტება 1

დამატებითი მულტიპლიკატორიარის ნატურალური რიცხვი, რომლითაც წილადის ორივე ნაწილი მრავლდება ახალ მნიშვნელამდე მისასვლელად.

იმათ. როდესაც ამ მოქმედებას ვასრულებთ წილადზე, ვიღებთ მას დამატებით მამრავლს. მაგალითად, 7 10 წილადის 21 30 ფორმამდე შესამცირებლად, ჩვენ გვჭირდება დამატებითი ფაქტორი 3. და თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ წილადი 15 40 3 8-დან 5-ის გამრავლებით.

შესაბამისად, თუ ვიცით მნიშვნელი, რომელზედაც უნდა შემცირდეს წილადი, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ დამატებითი ფაქტორი. მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს.

გვაქვს a b წილადი, რომელიც შეიძლება შემცირდეს c მნიშვნელამდე; გამოთვალეთ დამატებითი ფაქტორი m. თავდაპირველი წილადის მნიშვნელი უნდა გავამრავლოთ m-ზე. ვიღებთ b · m , ხოლო ამოცანის პირობის მიხედვით b · m = c . გაიხსენეთ როგორ არის დაკავშირებული გამრავლება და გაყოფა. ეს კავშირი შემდეგ დასკვნამდე მიგვიყვანს: დამატებითი კოეფიციენტი სხვა არაფერია, თუ არა c-ის b-ზე გაყოფის კოეფიციენტი, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, m = c: b.

ამრიგად, დამატებითი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა საჭირო მნიშვნელი გავყოთ თავდაპირველზე.

მაგალითი 3

იპოვეთ დამატებითი კოეფიციენტი, რომლითაც წილადი 17 4 მიიყვანეს მნიშვნელზე 124 .

გადაწყვეტილება

ზემოთ მოცემული წესის გამოყენებით, ჩვენ უბრალოდ ვყოფთ 124-ს საწყისი წილადის მნიშვნელზე, ოთხზე.

ჩვენ განვიხილავთ: 124: 4 \u003d 31.

ამ ტიპის გამოთვლა ხშირად საჭიროა წილადების საერთო მნიშვნელზე შემცირებისას.

წილადების მითითებულ მნიშვნელზე შემცირების წესი

გადავიდეთ ძირითადი წესის განმარტებაზე, რომლითაც შეგიძლიათ წილადების მიყვანა მითითებულ მნიშვნელამდე. Ისე,

განმარტება 2

წილადის მითითებულ მნიშვნელზე მოსაყვანად დაგჭირდებათ:

1. დამატებითი მულტიპლიკატორის განსაზღვრა;
2. გავამრავლოთ მასზე ორიგინალური წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც.

როგორ გამოვიყენოთ ეს წესი პრაქტიკაში? მოდით მოვიყვანოთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითი.

მაგალითი 4

განახორციელეთ 7 16 წილადის შემცირება მნიშვნელზე 336 .

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ დამატებითი მულტიპლიკატორის გამოთვლით. გაყოფა: 336: 16 = 21.

მიღებულ პასუხს ვამრავლებთ ორიგინალური წილადის ორივე ნაწილზე: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ საწყისი წილადი სასურველ მნიშვნელ 336-მდე.

პასუხი: 7 16 = 147 336.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

თავიდან მინდოდა საერთო მნიშვნელის მეთოდების ჩართვა "წილადების შეკრება და გამოკლება" აბზაცში. მაგრამ იმდენი ინფორმაცია იყო და მისი მნიშვნელობა იმდენად დიდია (ბოლოს და ბოლოს, არა მხოლოდ ციფრულ წილადებს აქვთ საერთო მნიშვნელები), რომ უმჯობესია ეს საკითხი ცალკე შევისწავლოთ.

ვთქვათ, გვაქვს ორი წილადი სხვადასხვა მნიშვნელით. და ჩვენ გვინდა დავრწმუნდეთ, რომ მნიშვნელები იგივე გახდება. სამაშველოში მოდის წილადის მთავარი თვისება, რომელიც, შეგახსენებთ, ასე ჟღერს:

წილადი არ იცვლება, თუ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე.

ამრიგად, თუ სწორ ფაქტორებს აირჩევთ, წილადების მნიშვნელები ტოლი იქნება - ამ პროცესს საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ეწოდება. ხოლო სასურველ რიცხვებს, მნიშვნელების „გათანაბრებას“, დამატებით ფაქტორებს უწოდებენ.

რატომ გჭირდებათ წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან? აქ არის მხოლოდ რამდენიმე მიზეზი:

1. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება და გამოკლება. ამ ოპერაციის სხვა გზა არ არსებობს;
2. წილადის შედარება. ზოგჯერ საერთო მნიშვნელამდე შემცირება მნიშვნელოვნად ამარტივებს ამ ამოცანას;
3. პრობლემების გადაჭრა აქციებზე და პროცენტებზე. პროცენტები, ფაქტობრივად, ჩვეულებრივი გამონათქვამებია, რომლებიც შეიცავს წილადებს.

მრავალი გზა არსებობს რიცხვების საპოვნელად, რომლებიც გამრავლებისას მნიშვნელებს ტოლს ხდის. ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ სამ მათგანს - სირთულის და, გარკვეული გაგებით, ეფექტურობის გაზრდის მიზნით.

გამრავლება "ჯვარედინი"

ყველაზე მარტივი და საიმედო გზა, რომელიც გარანტირებულია მნიშვნელების გათანაბრება. ჩვენ ვიმოქმედებთ „წინ“: პირველ წილადს ვამრავლებთ მეორე წილადის მნიშვნელზე, ხოლო მეორეს პირველის მნიშვნელზე. შედეგად, ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი გახდება საწყისი მნიშვნელების ნამრავლის. Შეხედე:

დამატებით ფაქტორებად განიხილეთ მეზობელი წილადების მნიშვნელები. ჩვენ ვიღებთ:

დიახ, ეს ასე მარტივია. თუ ახლახან იწყებთ წილადების შესწავლას, ჯობია ამ მეთოდით იმუშაოთ - ამ გზით თავს დაიზღვევთ მრავალი შეცდომისგან და გარანტირებული გაქვთ შედეგის მიღება.

ამ მეთოდის ერთადერთი ნაკლი ის არის, რომ ბევრი უნდა დათვალოთ, რადგან მნიშვნელები მრავლდება „წინ“ და შედეგად ძალიან დიდი რიცხვების მიღება შეიძლება. ეს არის საიმედოობის ფასი.

საერთო გამყოფი მეთოდი

ეს ტექნიკა მნიშვნელოვნად ამცირებს გამოთვლებს, მაგრამ, სამწუხაროდ, ის იშვიათად გამოიყენება. მეთოდი ასეთია:

1. შეხედეთ მნიშვნელებს, სანამ გადახვალთ „გადაკვეთა“ (ანუ „ჯვარედინი“). შესაძლოა, ერთი მათგანი (ის, რომელიც უფრო დიდია) იყოფა მეორეზე.
2. ასეთი გაყოფის შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება დამატებითი ფაქტორი მცირე მნიშვნელის მქონე წილადისთვის.
3. ამავდროულად, დიდი მნიშვნელის მქონე წილადს საერთოდ არაფერზე გამრავლება არ სჭირდება - ეს არის დანაზოგი. ამავდროულად, მკვეთრად მცირდება შეცდომის ალბათობა.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:

გაითვალისწინეთ, რომ 84: 21 = 4; 72:12 = 6. ვინაიდან ორივე შემთხვევაში ერთი მნიშვნელი იყოფა ნაშთის გარეშე მეორეზე, ვიყენებთ საერთო ფაქტორების მეთოდს. Ჩვენ გვაქვს:

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე წილადი საერთოდ არაფერზე არ გამრავლებულა. ფაქტობრივად, ჩვენ გავანახევრეთ გამოთვლების რაოდენობა!

სხვათა შორის, ამ მაგალითში წილადები მიზეზის გამო ავიღე. თუ გაინტერესებთ, სცადეთ მათი დათვლა ჯვარედინი მეთოდით. შემცირების შემდეგ პასუხები იგივე იქნება, მაგრამ სამუშაო გაცილებით მეტი იქნება.

ეს არის საერთო გამყოფების მეთოდის სიძლიერე, მაგრამ, ისევ და ისევ, მისი გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ერთ-ერთი მნიშვნელი იყოფა მეორეზე ნაშთის გარეშე. რაც საკმაოდ იშვიათად ხდება.

ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავალჯერადი მეთოდი

როდესაც წილადებს ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე, არსებითად ვცდილობთ ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე. შემდეგ ამ რიცხვამდე მივყავართ ორივე წილადის მნიშვნელებს.

ასეთი რიცხვები ბევრია და მათგან უმცირესი სულაც არ იქნება ორიგინალური წილადების მნიშვნელების პირდაპირი ნამრავლის ტოლი, როგორც ამას ვარაუდობენ „ჯვარედინი“ მეთოდით.

მაგალითად, მნიშვნელებისთვის 8 და 12, ნომერი 24 საკმაოდ შესაფერისია, რადგან 24: 8 = 3; 24:12 = 2. ეს რიცხვი გაცილებით ნაკლებია ვიდრე ნამრავლი 8 12 = 96.

უმცირეს რიცხვს, რომელიც იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე, ეწოდება მათი უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM).

აღნიშვნა: a-სა და b-ის უმცირესი საერთო ჯერადი აღინიშნება LCM(a ; b)-ით. მაგალითად, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

თუ მოახერხებთ ასეთი რიცხვის პოვნას, გამოთვლების საერთო რაოდენობა მინიმალური იქნება. შეხედეთ მაგალითებს:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:

გაითვალისწინეთ, რომ 234 = 117 2; 351 = 117 3 . 2 და 3 ფაქტორები არის თანაპირველი (არ აქვთ საერთო გამყოფები 1-ის გარდა), ხოლო 117 ფაქტორი საერთოა. ამიტომ LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

ანალოგიურად, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . 3 და 4 ფაქტორები შედარებით მარტივია, ხოლო ფაქტორი 5 საერთოა. ამიტომ LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

ახლა მოდით მივიყვანოთ წილადები საერთო მნიშვნელებთან:

გაითვალისწინეთ, რამდენად სასარგებლო აღმოჩნდა თავდაპირველი მნიშვნელების ფაქტორიზაცია:

1. ერთი და იგივე ფაქტორების აღმოჩენის შემდეგ, მაშინვე მივაღწიეთ უმცირეს საერთო ჯერადს, რაც, ზოგადად, არატრივიალური პრობლემაა;
2. შედეგად მიღებული გაფართოებიდან შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელი ფაქტორები "აკლდა" თითოეულ წილადს. მაგალითად, 234 3 \u003d 702, შესაბამისად, პირველი წილადისთვის დამატებითი ფაქტორი არის 3.

იმის სანახავად, თუ რამდენ მოგებას იძლევა ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავალჯერადი მეთოდი, სცადეთ გამოთვალოთ იგივე მაგალითები ჯვარედინი მეთოდის გამოყენებით. რა თქმა უნდა, კალკულატორის გარეშე. ვფიქრობ, ამის შემდეგ კომენტარები ზედმეტი იქნება.

არ იფიქროთ, რომ ასეთი რთული წილადები არ იქნება რეალურ მაგალითებში. ისინი ყოველთვის ხვდებიან და ზემოაღნიშნული ამოცანები არ არის ლიმიტი!

ერთადერთი პრობლემა ისაა, თუ როგორ მოვძებნოთ ეს NOC. ზოგჯერ ყველაფერი რამდენიმე წამში გვხვდება, სიტყვასიტყვით "თვალით", მაგრამ ზოგადად ეს რთული გამოთვლითი პრობლემაა, რომელიც ცალკე განხილვას მოითხოვს. აქ ჩვენ არ შევეხებით ამას.

წილადების უმცირეს საერთო მნიშვნელთან მისასვლელად თქვენ უნდა: 1) იპოვოთ ამ წილადების მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი, ეს იქნება უმცირესი საერთო მნიშვნელი. 2) ვიპოვოთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის, რისთვისაც ახალ მნიშვნელს ვყოფთ თითოეული წილადის მნიშვნელზე. 3) გავამრავლოთ თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მის დამატებით კოეფიციენტზე.

მაგალითები. შეამცირეთ შემდეგი წილადები ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე.

ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(5; 4) = 20, ვინაიდან 20 არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა როგორც 5-ზე, ასევე 4-ზე. 1-ლი წილადისთვის ვპოულობთ დამატებით კოეფიციენტს 4-ს (20). : 5=4). მე-2 წილადისთვის დამატებითი გამრავლება არის 5 (20 : 4=5). 1-ლი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვამრავლებთ 4-ზე, ხოლო მე-2 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 5-ზე. 20 ).

ამ წილადების ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი არის 8, რადგან 8 იყოფა 4-ზე და საკუთარ თავზე. პირველ წილადს დამატებითი მამრავლი არ ექნება (ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უდრის ერთს), მე-2 წილადს დამატებითი მამრავლი არის 2 (8). : 4=2). ვამრავლებთ მე-2 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 2-ზე. ეს წილადები შევამცირეთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე ( 8 ).

ეს წილადები არ არის შეუქცევადი.

პირველ წილადს ვამცირებთ 4-ით, ხოლო მე-2 წილადს ვამცირებთ 2-ით. იხილეთ მაგალითები ჩვეულებრივი წილადების შემცირების შესახებ: საიტის რუკა → 5.4.2. ჩვეულებრივი წილადების შემცირების მაგალითები). იპოვეთ LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. დამატებითი მამრავლი 1-ლი წილადისთვის არის 5 (80 : 16=5). დამატებითი მამრავლი მე-2 წილადისთვის არის 4 (80 : 20=4). ჩვენ ვამრავლებთ 1-ლი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 5-ზე, ხოლო მე-2 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 4-ზე. ეს წილადები დავამცირეთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე 80 ).

იპოვეთ NOC-ის უმცირესი საერთო მნიშვნელი(5 ; 6 და 15) = LCM(5 ; 6 და 15)=30. დამატებითი მამრავლი პირველ წილადზე არის 6 (30 : 5=6), მე-2 წილადის დამატებითი გამრავლება არის 5 (30 : 6=5), მე-3 წილადის დამატებითი გამრავლება არის 2 (30 : 15=2). 1-ლი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ 6-ზე, მე-2 წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 5-ზე, მე-3 წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 2-ზე. 30 ).

გვერდი 1 1-დან 1

a/b არითმეტიკული წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი b, რომელიც გვიჩვენებს ერთის წილადების ზომას, რომლებიც ქმნიან წილადს. ალგებრული წილადის მნიშვნელი A/B არის ალგებრული გამონათქვამი B. წილადებთან არითმეტიკული მოქმედებების შესასრულებლად ისინი უნდა დაიყვანოთ უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე.

დაგჭირდებათ

• ალგებრულ წილადებთან მუშაობისთვის უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნისას, თქვენ უნდა იცოდეთ მრავალწევრების ფაქტორინგის მეთოდები.

ინსტრუქცია

განვიხილოთ ორი არითმეტიკული წილადის n/m და s/t შემცირება უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე, სადაც n, m, s, t არის მთელი რიცხვები. ცხადია, რომ ეს ორი წილადი შეიძლება შემცირდეს ნებისმიერ მნიშვნელზე, რომელიც იყოფა m-ზე და t-ზე. მაგრამ ისინი ცდილობენ მიიყვანონ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე. იგი უდრის მოცემული წილადების m და t მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. რიცხვების უმცირესი ჯერადი (LCM) არის უმცირესი, რომელიც იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე ერთდროულად. იმათ. ჩვენს შემთხვევაში აუცილებელია m და t რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა. აღინიშნება როგორც LCM (m, t). გარდა ამისა, წილადები მრავლდება შესაბამისებზე: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t)/t).

ვიპოვოთ სამი წილადის უმცირესი საერთო მნიშვნელი: 4/5, 7/8, 11/14. ჯერ ვაფართოვებთ მნიშვნელებს 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. შემდეგ ვიანგარიშებთ LCM-ს (5, 8, 14), გამრავლება ყველა რიცხვი, რომელიც შედის გაფართოების ერთ-ერთში მაინც. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. გაითვალისწინეთ, რომ თუ კოეფიციენტი ხდება რამდენიმე რიცხვის გაფართოებაში (ფაქტორი 2 მნიშვნელების 8 და 14 გაფართოებაში), მაშინ ფაქტორს ვიღებთ უფრო დიდი ხარისხი (2^3 ჩვენს შემთხვევაში).

ასე რომ, გენერალი მიღებულია. ის უდრის 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. აქ ვიღებთ რიცხვებს, რომლებზედაც უნდა გავამრავლოთ შესაბამისი მნიშვნელის მქონე წილადები, რათა მივიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე. ჩვენ ვიღებთ 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

ალგებრული წილადების უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ხდება არითმეტიკის ანალოგიით. სიცხადისთვის, განიხილეთ პრობლემა მაგალითზე. მიეცით ორი წილადი (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) და (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). მოდით გავამრავლოთ ორივე მნიშვნელი. გაითვალისწინეთ, რომ პირველი წილადის მნიშვნელი არის სრულყოფილი კვადრატი: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. ამისთვის