როგორც კი მოვახერხე ლექციების წაკითხვა ოპერაციის შემდეგ, პირველი კითხვა, რომელიც სტუდენტებმა დაუსვეს იყო:

როდის დაგვიხატავ 4 განზომილებიან კუბს? ილიას აბდულხაევიჩი დაგვპირდა!

მახსოვს, ჩემს ძვირფას მეგობრებს ზოგჯერ მოსწონთ მათემატიკური საგანმანათლებლო აქტივობების მომენტი. ამიტომ მათემატიკოსებისთვის ჩემი ლექციის ნაწილს აქ დავწერ. და ვეცდები მოწყენის გარეშე. რაღაც მომენტებში, რა თქმა უნდა, უფრო მკაცრად ვკითხულობდი ლექციას.

ჯერ შევთანხმდეთ. 4-განზომილებიანი და მით უმეტეს 5-6-7- და ზოგადად k-განზომილებიანი სივრცე არ გვეძლევა სენსორულ შეგრძნებებში.
”ჩვენ საწყენი ვართ, რადგან მხოლოდ სამგანზომილებიანი ვართ”, - თქვა ჩემმა საკვირაო სკოლის მასწავლებელმა, რომელმაც პირველად მითხრა, რა არის 4 განზომილებიანი კუბი. საკვირაო სკოლა, ბუნებრივია, უკიდურესად რელიგიური - მათემატიკური იყო. იმ დროს ჰიპერკუბებს ვსწავლობდით. ერთი კვირით ადრე, მათემატიკური ინდუქცია, ერთი კვირის შემდეგ, ჰამილტონის ციკლები გრაფიკებში - შესაბამისად, ეს არის მე-7 კლასი.

ჩვენ არ შეგვიძლია შევეხოთ, ყნოსვა, გვესმოდეს ან დავინახოთ 4 განზომილებიანი კუბი. რა ვუყოთ მას? ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ეს! იმის გამო, რომ ჩვენი ტვინი ბევრად უფრო რთულია, ვიდრე თვალები და ხელები.

ასე რომ, იმისათვის, რომ გავიგოთ რა არის 4 განზომილებიანი კუბი, ჯერ გავიგოთ რა არის ჩვენთვის ხელმისაწვდომი. რა არის სამგანზომილებიანი კუბი?

ᲙᲐᲠᲒᲘ ᲙᲐᲠᲒᲘ! მე არ გეკითხები მკაფიო მათემატიკური განმარტებას. წარმოიდგინეთ უმარტივესი და ყველაზე ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი კუბი. Გააცნო?

ჯარიმა.
იმისათვის, რომ გავიგოთ, როგორ განვაზოგადოთ 3-განზომილებიანი კუბი 4-განზომილებიან სივრცეში, მოდით გავარკვიოთ რა არის 2-განზომილებიანი კუბი. ეს ასე მარტივია - ეს არის კვადრატი!

კვადრატს აქვს 2 კოორდინატი. კუბს აქვს სამი. კვადრატული წერტილები არის წერტილები ორი კოორდინატით. პირველი არის 0-დან 1-მდე და მეორე არის 0-დან 1-მდე. კუბის წერტილებს სამი კოორდინატი აქვთ. და თითოეული არის ნებისმიერი რიცხვი 0-დან 1-მდე.

ლოგიკურია წარმოვიდგინოთ, რომ 4 განზომილებიანი კუბი არის ნივთი, რომელსაც აქვს 4 კოორდინატი და ყველაფერი 0-დან 1-მდეა.

/* დაუყოვნებლივ ლოგიკურია წარმოვიდგინოთ 1 განზომილებიანი კუბი, რომელიც სხვა არაფერია, თუ არა მარტივი სეგმენტი 0-დან 1-მდე. */

მაშ, მოიცადეთ, როგორ დავხატოთ 4 განზომილებიანი კუბი? ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ არ შეგვიძლია დავხატოთ 4 განზომილებიანი სივრცე თვითმფრინავზე!
მაგრამ ჩვენ არც თვითმფრინავზე ვხატავთ 3-განზომილებიან სივრცეს, ჩვენ ვხატავთ მას პროექტირება 2 განზომილებიან სახატავ სიბრტყეზე. მესამე კოორდინატს (z) ვათავსებთ კუთხით, წარმოვიდგინეთ, რომ ღერძი ნახატის სიბრტყიდან მიდის "ჩვენკენ".

ახლა სრულიად გასაგებია, როგორ დავხატოთ 4 განზომილებიანი კუბი. ისევე, როგორც მესამე ღერძი დავაყენეთ გარკვეულ კუთხით, ავიღოთ მეოთხე ღერძი და ასევე განვათავსოთ იგი გარკვეულ კუთხით.
და - ვოილა! -- 4 განზომილებიანი კუბის პროექცია სიბრტყეზე.

Რა? ეს მაინც რა არის? მე ყოველთვის მესმის ჩურჩული უკანა მერხებიდან. ნება მომეცით უფრო დეტალურად აგიხსნათ, რა არის ხაზების ეს ნაზავი.
ჯერ შეხედეთ სამგანზომილებიან კუბს. რა გავაკეთეთ? კვადრატი ავიღეთ და გავატარეთ მესამე ღერძის გასწვრივ (z). ეს ჰგავს ბევრ, ბევრ ქაღალდის კვადრატს, რომლებიც ერთმანეთზეა დაწყობილი.
იგივეა 4 განზომილებიანი კუბიც. მოხერხებულობისთვის და სამეცნიერო ფანტასტიკისთვის მეოთხე ღერძს ვუწოდოთ „დროის ღერძი“. ჩვენ უნდა ავიღოთ ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი კუბი და გადავათრიოთ დროში „ახლა“ დროიდან „ერთ საათში“.

ჩვენ გვაქვს "ახლა" კუბი. სურათზე არის ვარდისფერი.

ახლა კი მას მეოთხე ღერძის გასწვრივ ვათრევთ - დროის ღერძის გასწვრივ (მე ვაჩვენე მწვანეში). და ჩვენ ვიღებთ მომავლის კუბს - ლურჯი.

"კუბის ახლა" თითოეული წვერო დროში ტოვებს კვალს - სეგმენტს. მისი აწმყოს მომავალთან დაკავშირება.

მოკლედ, ყოველგვარი ტექსტის გარეშე: დავხატეთ ორი იდენტური 3-განზომილებიანი კუბი და დავაკავშირეთ შესაბამისი წვერები.
ზუსტად ისევე, როგორც გააკეთეს 3-განზომილებიანი კუბიკით (დახატეთ 2 იდენტური 2-განზომილებიანი კუბი და დააკავშირეთ წვეროები).

5 განზომილებიანი კუბის დასახატად მოგიწევთ 4 განზომილებიანი კუბის ორი ასლის დახატვა (4 განზომილებიანი კუბი მეხუთე კოორდინატი 0 და 4 განზომილებიანი კუბი მეხუთე კოორდინატი 1) და დააკავშიროთ შესაბამისი წვეროები კიდეებით. მართალია, თვითმფრინავში კიდეების ისეთი აურზაური იქნება, რომ არაფრის გაგება თითქმის შეუძლებელი იქნება.

მას შემდეგ რაც წარმოვიდგინეთ 4 განზომილებიანი კუბი და მოვახერხეთ მისი დახატვაც კი, შეგვიძლია მისი შესწავლა სხვადასხვა გზით. დაიმახსოვრე მისი შესწავლა როგორც გონებაში, ასევე სურათიდან.
Მაგალითად. 2 განზომილებიანი კუბი 4 მხრიდან შემოსაზღვრულია 1 განზომილებიანი კუბებით. ეს ლოგიკურია: 2 კოორდინატიდან თითოეულს აქვს დასაწყისიც და დასასრულიც.
სამგანზომილებიანი კუბი 6 მხრიდან შემოსაზღვრულია 2 განზომილებიანი კუბებით. სამი კოორდინატიდან თითოეულს აქვს დასაწყისი და დასასრული.
ეს ნიშნავს, რომ 4 განზომილებიანი კუბი უნდა შემოიფარგლოს რვა 3-განზომილებიანი კუბით. თითოეული 4 კოორდინატისთვის - ორივე მხარეს. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ჩვენ ნათლად ვხედავთ 2 სახეს, რომლებიც ზღუდავენ მას „დროის“ კოორდინატთან.

აქ არის ორი კუბი (ისინი ოდნავ ირიბია, რადგან მათ აქვთ 2 განზომილება დაპროექტებული სიბრტყეზე კუთხით), რაც ზღუდავს ჩვენს ჰიპერკუბს მარცხნივ და მარჯვნივ.

ასევე ადვილი შესამჩნევია "ზედა" და "ქვედა".

ყველაზე რთულია ვიზუალურად იმის გაგება, თუ სად არის "წინა" და "უკანა". წინა კიდე იწყება "კუბის ახლა" წინა კიდედან და "მომავლის კუბის" წინა კიდემდე - წითელია. უკანა არის იასამნისფერი.

მათი შემჩნევა ყველაზე რთულია, რადგან სხვა კუბურები ჩახლართულია ფეხქვეშ, რაც ზღუდავს ჰიპერკუბს სხვა პროეციულ კოორდინატზე. მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ კუბურები მაინც განსხვავებულია! აქ არის ისევ სურათი, სადაც ხაზგასმულია "კუბი ახლანდელი" და "მომავლის კუბი".

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია 4-განზომილებიანი კუბის დაპროექტება 3-განზომილებიან სივრცეში.
პირველი შესაძლო სივრცითი მოდელი ნათელია, როგორ გამოიყურება: თქვენ უნდა აიღოთ 2 კუბური ჩარჩო და დააკავშიროთ მათი შესაბამისი წვერები ახალი კიდით.
მე არ მაქვს ეს მოდელი მარაგში. ლექციაზე სტუდენტებს ვაჩვენებ 4-განზომილებიანი კუბის ოდნავ განსხვავებულ სამგანზომილებიან მოდელს.

თქვენ იცით, როგორ ხდება კუბის დაპროექტება ასეთ თვითმფრინავზე.
თითქოს ზემოდან ვუყურებთ კუბს.

ახლო ზღვარი, რა თქმა უნდა, დიდია. და შორი კიდე უფრო პატარა ჩანს, ჩვენ მას ვხედავთ ახლოდან.

ასე შეგიძლიათ დაპროექტოთ 4 განზომილებიანი კუბი. კუბი ახლა უფრო დიდია, ჩვენ ვხედავთ მომავლის კუბს შორს, ამიტომ ის უფრო პატარა ჩანს.

Მეორეს მხრივ. ზემოდან.

პირდაპირ კიდედან:

ნეკნების მხრიდან:

და ბოლო კუთხე, ასიმეტრიული. განყოფილებიდან "მითხარი, რომ მის ნეკნებს შორის გავიხედე".

კარგი, მაშინ შეგიძლია მოიფიქრო ყველაფერი. მაგალითად, როგორც ხდება 3-განზომილებიანი კუბის განვითარება სიბრტყეზე (ეს ჰგავს ფურცლის ამოჭრას ისე, რომ დაკეცვისას მიიღოთ კუბი), იგივე ხდება 4-განზომილებიანი კუბის განვითარებასთან დაკავშირებით. სივრცე. ეს ჰგავს ხის ნაჭრის ამოჭრას, რომ 4 განზომილებიან სივრცეში დაკეცვით მივიღოთ ტესერაქტი.

თქვენ შეგიძლიათ შეისწავლოთ არა მხოლოდ 4-განზომილებიანი კუბი, არამედ ზოგადად n-განზომილებიანი კუბურები. მაგალითად, მართალია თუ არა, რომ n-განზომილებიანი კუბის გარშემო შემოხაზული სფეროს რადიუსი ნაკლებია ამ კუბის კიდის სიგრძეზე? ან აქ არის უფრო მარტივი კითხვა: რამდენი წვერო აქვს n-განზომილებიან კუბს? რამდენი კიდეები (1 განზომილებიანი სახე)?

დავიწყოთ იმით, თუ რა არის ოთხგანზომილებიანი სივრცე.

ეს არის ერთგანზომილებიანი სივრცე, ანუ უბრალოდ OX ღერძი. მასზე ნებისმიერ წერტილს ახასიათებს ერთი კოორდინატი.

ახლა დავხატოთ OY ღერძი OX ღერძის პერპენდიკულარულად. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ორგანზომილებიან სივრცეს, ანუ XOY თვითმფრინავს. მასზე ნებისმიერ წერტილს ორი კოორდინატი ახასიათებს - აბსცისა და ორდინატი.

დავხატოთ OZ ღერძი OX და OY ღერძების პერპენდიკულარულად. შედეგი არის სამგანზომილებიანი სივრცე, რომელშიც ნებისმიერ წერტილს აქვს აბსციზა, ორდინატი და აპლიკაცია.

ლოგიკურია, რომ მეოთხე ღერძი, OQ, ერთდროულად უნდა იყოს OX, OY და OZ ღერძების პერპენდიკულარული. მაგრამ ჩვენ არ შეგვიძლია ზუსტად ავაშენოთ ასეთი ღერძი და, შესაბამისად, შეგვიძლია მხოლოდ მისი წარმოდგენა ვცადოთ. ოთხგანზომილებიან სივრცეში ყველა წერტილს აქვს ოთხი კოორდინატი: x, y, z და q.

ახლა ვნახოთ, როგორ გაჩნდა ოთხგანზომილებიანი კუბი.

სურათზე ნაჩვენებია ფიგურა ერთგანზომილებიან სივრცეში - ხაზი.

თუ თქვენ გააკეთებთ ამ წრფის პარალელურ თარგმნას OY ღერძის გასწვრივ და შემდეგ დააკავშირებთ ორი მიღებული ხაზის შესაბამის ბოლოებს, მიიღებთ კვადრატს.

ანალოგიურად, თუ გააკეთებთ კვადრატის პარალელურ თარგმნას OZ ღერძის გასწვრივ და დააკავშირებთ შესაბამის წვეროებს, მიიღებთ კუბს.

ხოლო თუ კუბის პარალელურად გადათარგმნას გავაკეთებთ OQ ღერძის გასწვრივ და დავაკავშირებთ ამ ორი კუბის წვეროებს, მაშინ მივიღებთ ოთხგანზომილებიან კუბს. სხვათა შორის, მას ე.წ ტესერაქტი.

თვითმფრინავზე კუბის დახატვა გჭირდებათ პროექტი. ვიზუალურად ასე გამოიყურება:

წარმოვიდგინოთ, რომ ის ზედაპირზე მაღლა ჰაერშია ჩამოკიდებული მავთულის მოდელიკუბი, ანუ თითქოს "მავთულისგან დამზადებული" და მის ზემოთ არის ნათურა. თუ ნათურას ჩართავთ, კუბის ჩრდილს ფანქრით დახაზავთ, შემდეგ კი ნათურას გამორთავთ, ზედაპირზე კუბის პროექცია იქნება გამოსახული.

მოდით გადავიდეთ ცოტა უფრო რთულზე. კიდევ ერთხელ შეხედეთ ნახატს ნათურის საშუალებით: როგორც ხედავთ, ყველა სხივი ერთ წერტილში იყრის თავს. მას ეძახიან გაქრობის წერტილიდა გამოიყენება ასაშენებლად პერსპექტიული პროექცია(და შეიძლება იყოს პარალელურიც, როცა ყველა სხივი ერთმანეთის პარალელურია. შედეგი არის ის, რომ მოცულობის შეგრძნება არ იქმნება, მაგრამ უფრო მსუბუქია და უფრო მეტიც, თუ გაქრობის წერტილი საკმაოდ შორს არის დაპროექტებული ობიექტისგან. , მაშინ განსხვავება ამ ორ პროგნოზს შორის ნაკლებად შესამჩნევია). მოცემული წერტილის მოცემულ სიბრტყეზე გაქრობის წერტილის გამოყენებით, თქვენ უნდა დახაზოთ სწორი ხაზი გაქრობის წერტილსა და მოცემულ წერტილში, შემდეგ კი იპოვოთ მიღებული სწორი ხაზისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი. უფრო რთული ფიგურის, ვთქვათ, კუბის დაპროექტებისთვის, თქვენ უნდა დააპროექტოთ მისი თითოეული წვერო და შემდეგ დააკავშიროთ შესაბამისი წერტილები. უნდა აღინიშნოს, რომ ალგორითმი ქვესივრცეში სივრცის პროექციისთვისშეიძლება განზოგადდეს 4D->3D შემთხვევაში და არა მხოლოდ 3D->2D.

როგორც ვთქვი, ჩვენ ვერ წარმოვიდგენთ ზუსტად როგორ გამოიყურება OQ ღერძი, ისევე როგორც ტესერაქტი. მაგრამ მასზე შეზღუდული წარმოდგენა შეგვიძლია მივიღოთ, თუ მას ტომზე დავაპროექტებთ და შემდეგ კომპიუტერის ეკრანზე დავხატავთ!

ახლა მოდით ვისაუბროთ ტეზერაქტის პროექციაზე.

მარცხნივ არის კუბის პროექცია სიბრტყეზე, ხოლო მარჯვნივ არის ტესერაქტი მოცულობაზე. ისინი საკმაოდ ჰგვანან ერთმანეთს: კუბის პროექცია ჰგავს ორ კვადრატს, პატარა და დიდს, ერთი მეორის შიგნით და რომლის შესაბამისი წვეროები დაკავშირებულია ხაზებით. და ტესერაქტის პროექცია ჰგავს ორ კუბს, პატარა და დიდს, ერთი მეორის შიგნით და რომელთა შესაბამისი წვეროები დაკავშირებულია. მაგრამ ჩვენ ყველამ ვნახეთ კუბი და შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ როგორც პატარა კვადრატი, ასევე დიდი, და ოთხი ტრაპეცია ზემოთ, ქვემოთ, პატარა კვადრატის მარჯვნივ და მარცხნივ, სინამდვილეში კვადრატებია და ისინი ტოლია. . და ტესერაქტს იგივე აქვს. და დიდი კუბი, და პატარა კუბი და ექვსი დამსხვრეული პირამიდა პატარა კუბის გვერდებზე - ეს ყველაფერი კუბურებია და ისინი ტოლია.

ჩემს პროგრამას შეუძლია არა მხოლოდ ტესერაქტის პროექცია დახატოს მოცულობაზე, არამედ მოაბრუნოს იგი. ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს.

ჯერ გეტყვით რა არის ბრუნვა სიბრტყის პარალელურად.

წარმოიდგინეთ, რომ კუბი ბრუნავს OZ ღერძის გარშემო. შემდეგ მისი თითოეული წვერო აღწერს წრეს OZ ღერძის გარშემო.

წრე ბრტყელი ფიგურაა. და თითოეული ამ წრის სიბრტყეები ერთმანეთის პარალელურია და ამ შემთხვევაში XOY სიბრტყის პარალელურია. ანუ ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ არა მხოლოდ OZ ღერძის გარშემო ბრუნვაზე, არამედ XOY სიბრტყის პარალელურად ბრუნვაზეც.როგორც ვხედავთ, წერტილებისთვის, რომლებიც ბრუნავენ XOY ღერძის პარალელურად, იცვლება მხოლოდ აბსციზა და ორდინატი, ხოლო აპლიკატი რჩება. უცვლელი და, ფაქტობრივად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ ბრუნვაზე სწორი ხაზის გარშემო მხოლოდ მაშინ, როცა საქმე გვაქვს სამგანზომილებიან სივრცესთან. ორგანზომილებიან სივრცეში ყველაფერი ბრუნავს წერტილის გარშემო, ოთხგანზომილებიან სივრცეში ყველაფერი ბრუნავს სიბრტყის გარშემო, ხუთგანზომილებიან სივრცეში ვსაუბრობთ ბრუნვაზე მოცულობის გარშემო. და თუ ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ბრუნვა წერტილის გარშემო, მაშინ სიბრტყისა და მოცულობის გარშემო ბრუნვა წარმოუდგენელია. და თუ ვსაუბრობთ სიბრტყის პარალელურად ბრუნვაზე, მაშინ ნებისმიერ n-განზომილებიან სივრცეში წერტილი შეიძლება ბრუნავდეს სიბრტყის პარალელურად.

ალბათ ბევრ თქვენგანს გსმენიათ ბრუნვის მატრიცის შესახებ. მასზე წერტილის გამრავლებით, მივიღებთ სიბრტყის პარალელურად ბრუნულ წერტილს phi კუთხით. ორგანზომილებიანი სივრცისთვის ასე გამოიყურება:

როგორ გავამრავლოთ: x წერტილის ბრუნვა კუთხით phi = საწყისი წერტილის phi*ix კუთხის კოსინუსი მინუს საწყისი წერტილის კუთხის phi*ig;
წერტილის ig, რომელიც ბრუნავს კუთხით phi = კუთხის სინუსი phi * ix საწყისი წერტილის პლუს კუთხის კოსინუსი phi * საწყისი წერტილის ig.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, სადაც Xa და Ya არის დასაბრუნებელი წერტილის აბსცისა და ორდინატი, Xa` და Ya` არის უკვე შემობრუნებული წერტილის აბსცისა და ორდინატი.

სამგანზომილებიანი სივრცისთვის, ეს მატრიცა განზოგადებულია შემდეგნაირად:

როტაცია XOY სიბრტყის პარალელურად. როგორც ხედავთ, Z კოორდინატი არ იცვლება, მაგრამ იცვლება მხოლოდ X და Y
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (არსებითად, Za`=Za)

როტაცია XOZ სიბრტყის პარალელურად. Ახალი არაფერია,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (არსებითად, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

და მესამე მატრიცა.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (არსებითად, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

ხოლო მეოთხე განზომილებისთვის ისინი ასე გამოიყურება:


ვფიქრობ, უკვე გესმით, რაზე უნდა გაამრავლოთ, ამიტომ დეტალებს აღარ განვიხილავ. მაგრამ მე აღვნიშნავ, რომ ის აკეთებს იგივეს, რაც სამგანზომილებიან სივრცეში სიბრტყის პარალელურად ბრუნვის მატრიცას! ორივე ცვლის მხოლოდ ორდინატს და აპლიკაციას და არ ეხება სხვა კოორდინატებს, ასე რომ, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას სამგანზომილებიან შემთხვევაში, უბრალოდ, ყურადღება არ მიაქციოს მეოთხე კოორდინატს.

მაგრამ პროექციის ფორმულით ყველაფერი ასე მარტივი არ არის. რამდენი ფორუმიც არ უნდა წავიკითხო, პროექციის არცერთი მეთოდი არ გამომივიდა. პარალელური არ იყო ჩემთვის შესაფერისი, რადგან პროექცია არ გამოიყურებოდა სამგანზომილებიანი. ზოგიერთ პროექციის ფორმულაში წერტილის მოსაძებნად საჭიროა განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (და მე არ ვიცი როგორ ვასწავლო კომპიუტერს მათი ამოხსნა), ზოგში უბრალოდ ვერ გავიგე... ზოგადად გადავწყვიტე. გამოვიკვლიე ჩემი გზა. ამ მიზნით განიხილეთ 2D->1D პროექცია.

pov ნიშნავს "ხედვის წერტილს", ptp ნიშნავს "პროექტის წერტილს" (პროექტის წერტილი) და ptp" არის სასურველი წერტილი OX ღერძზე.

კუთხეები povptpB და ptpptp`A ტოლია, როგორც შესაბამისი (წერტილი არის OX ღერძის პარალელურად, სწორი ხაზი povptp არის სეკანტი).
ptp` წერტილის x ტოლია ptp წერტილის x-ს გამოკლებული ptp`A სეგმენტის სიგრძე. ეს სეგმენტი შეიძლება მოიძებნოს ptpptp`A სამკუთხედიდან: ptp`A = ptpA/კუთხის ptpptp`A ტანგენსი. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ეს ტანგენსი სამკუთხედიდან povptpB: ტანგენსი ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
პასუხი: Xptp`=Xptp-Yptp/კუთხის tangent ptpptp`A.

მე აქ დეტალურად არ აღვწერე ეს ალგორითმი, რადგან არის ბევრი განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ფორმულა გარკვეულწილად იცვლება. თუ ვინმეს აინტერესებს, გადახედეთ პროგრამის წყაროს კოდს, იქ ყველაფერი აღწერილია კომენტარებში.

სამგანზომილებიანი სივრცის წერტილის სიბრტყეზე დასაპროექტებლად, ჩვენ უბრალოდ განვიხილავთ ორ სიბრტყეს - XOZ და YOZ და მოვაგვარებთ თითოეულ მათგანს ამ პრობლემას. ოთხგანზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში აუცილებელია სამი სიბრტყის გათვალისწინება: XOQ, YOQ და ZOQ.

და ბოლოს, პროგრამის შესახებ. ის ასე მუშაობს: ტესერაქტის თექვსმეტი წვერის ინიციალიზაცია -> მომხმარებლის მიერ შეყვანილი ბრძანებების მიხედვით, დაატრიალეთ იგი -> დაპროექტეთ მოცულობაზე -> მომხმარებლის მიერ შეყვანილი ბრძანებების მიხედვით, დაატრიალეთ მისი პროექცია -> პროექტი თვითმფრინავი -> ხატვა.

პროგნოზები და ბრუნვები მე თვითონ დავწერე. ისინი მუშაობენ იმ ფორმულების მიხედვით, რაც ახლა აღვწერე. OpenGL ბიბლიოთეკა ხაზავს ხაზებს და ასევე ამუშავებს ფერების შერევას. და ტეზერაქტის წვეროების კოორდინატები გამოითვლება ამ გზით:

წრფის წვეროების კოორდინატები საწყისზე და სიგრძეზე 2 - (1) და (-1);
- " - " - კვადრატი - " - " - და 2 სიგრძის კიდე:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) და (-1; -1);
- " - " - კუბი - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
როგორც ხედავთ, კვადრატი არის ერთი ხაზი OY ღერძის ზემოთ და ერთი ხაზი OY ღერძის ქვემოთ; კუბი არის ერთი კვადრატი XOY სიბრტყის წინ და ერთი მის უკან; ტესერაქტი არის ერთი კუბი XOYZ მოცულობის მეორე მხარეს და ერთი ამ მხარეს. მაგრამ ბევრად უფრო ადვილია ერთებისა და მინუსების ამ მონაცვლეობის აღქმა, თუ ისინი დაწერილია სვეტში

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

პირველ სვეტში ერთი და მინუს ერთი ალტერნატიულია. მეორე სვეტში ჯერ ორი პლიუსია, შემდეგ ორი მინუსი. მესამეში - ოთხი პლუს ერთი, შემდეგ კი ოთხი მინუს ერთი. ეს იყო კუბის წვეროები. ტესერაქტს აქვს ორჯერ მეტი მათგანი და ამიტომ საჭირო იყო ციკლის დაწერა მათი დეკლარაციისთვის, თორემ ძალიან ადვილია დაბნეულობა.

ჩემს პროგრამას ასევე შეუძლია ანაგლიფის დახატვა. 3D სათვალეების ბედნიერ მფლობელებს შეუძლიათ დააკვირდნენ სტერეოსკოპიულ სურათს. არაფერია რთული სურათის დახატვაში; თქვენ უბრალოდ დახაზავთ ორ პროექციას თვითმფრინავზე, მარჯვენა და მარცხენა თვალებისთვის. მაგრამ პროგრამა ხდება ბევრად უფრო ვიზუალური და საინტერესო და რაც მთავარია, ის უკეთეს წარმოდგენას იძლევა ოთხგანზომილებიანი სამყაროს შესახებ.

ნაკლებად მნიშვნელოვანი ფუნქციებია ერთ-ერთი კიდეების განათება წითლად ისე, რომ მოხვევები უკეთ ჩანს, ასევე მცირე მოხერხებულობა - "თვალის" წერტილების კოორდინატების რეგულირება, შემობრუნების სიჩქარის გაზრდა და შემცირება.

დაარქივეთ პროგრამა, წყარო კოდი და გამოყენების ინსტრუქცია.

თუ უჩვეულო შემთხვევა დაგემართათ, დაინახეთ უცნაური არსება ან გაუგებარი ფენომენი, შეგიძლიათ გამოგვიგზავნოთ თქვენი ამბავი და ის გამოქვეყნდება ჩვენს ვებგვერდზე ===> .

მრავალგანზომილებიანი სივრცის დოქტრინა გაჩნდა XIX საუკუნის შუა ხანებში. ოთხგანზომილებიანი სივრცის იდეა მეცნიერებისგან ისესხეს სამეცნიერო ფანტასტიკის მწერლებმა. თავიანთ ნამუშევრებში მათ მსოფლიოს უამბეს მეოთხე განზომილების საოცარი საოცრებების შესახებ.

მათი ნამუშევრების გმირებს, ოთხგანზომილებიანი სივრცის თვისებების გამოყენებით, შეეძლოთ კვერცხის შიგთავსის ჭამა ნაჭუჭის დაზიანების გარეშე და სასმელის დალევა ბოთლის თავსახურის გახსნის გარეშე. ქურდებმა საგანძური სეიფიდან მეოთხე განზომილებაში ამოიღეს. ქირურგები ატარებდნენ ოპერაციებს შინაგან ორგანოებზე პაციენტის სხეულის ქსოვილის მოჭრის გარეშე.

ტესერაქტი

გეომეტრიაში ჰიპერკუბი არის კვადრატის (n = 2) და კუბის (n = 3) n-განზომილებიანი ანალოგია. ჩვენი ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი კუბის ოთხგანზომილებიანი ანალოგი ცნობილია როგორც ტესერაქტი. ტესერაქტი არის კუბის მიმართ, როგორც კუბი კვადრატში. უფრო ფორმალურად, ტესერაქტი შეიძლება შეფასდეს, როგორც რეგულარული ამოზნექილი ოთხგანზომილებიანი პოლიედონი, რომლის საზღვარი შედგება რვა კუბური უჯრედისგან.

არაპარალელური 3D სახეების ყოველი წყვილი იკვეთება და ქმნის 2D სახეებს (კვადრატებს) და ა.შ. საბოლოოდ, ტესერაქტს აქვს 8 3D სახე, 24 2D სახე, 32 კიდე და 16 წვერო.
სხვათა შორის, ოქსფორდის ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა ტესერაქტი გამოიყენა და გამოიყენა 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა (1853-1907) თავის წიგნში A New Age of Thought. მოგვიანებით ზოგიერთმა იმავე ფიგურას უწოდა ტეტრაკუბი (ბერძნ. tetra - ოთხი) - ოთხგანზომილებიანი კუბი.

მშენებლობა და აღწერა

შევეცადოთ წარმოვიდგინოთ როგორი იქნება ჰიპერკუბი სამგანზომილებიანი სივრცის დატოვების გარეშე.
ერთგანზომილებიან „სივრცეში“ - წრფეზე - ვირჩევთ L სიგრძის AB სეგმენტს. AB-დან L მანძილზე მდებარე ორგანზომილებიან სიბრტყეზე ვხატავთ მის პარალელურად DC სეგმენტს და ვაკავშირებთ მათ ბოლოებს. შედეგი არის კვადრატული CDBA. ამ ოპერაციის განმეორებით თვითმფრინავთან ერთად ვიღებთ სამგანზომილებიან კუბს CDBAGHFE. ხოლო კუბის მეოთხე განზომილებაში (პირველ სამზე პერპენდიკულარულად) L მანძილით გადაწევით მივიღებთ ჰიპერკუბს CDBAGHFEKLJIOPNM.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ მსჯელობა უფრო დიდი რაოდენობის განზომილებების ჰიპერკუბებზე, მაგრამ გაცილებით საინტერესოა, თუ როგორ მოგვეძებს ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი ჩვენ, სამგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლებს.

ავიღოთ მავთულის კუბიკი ABCDHEFG და შევხედოთ მას ერთი თვალით კიდის მხრიდან. ჩვენ დავინახავთ და შეგვიძლია დავხატოთ ორი კვადრატი სიბრტყეზე (მისი ახლო და შორეული კიდეები), რომლებიც დაკავშირებულია ოთხი ხაზით - გვერდითი კიდეებით. ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი სამგანზომილებიან სივრცეში გამოიყურება როგორც ორი კუბური „ყუთი“, რომლებიც ჩასმულია ერთმანეთში და დაკავშირებულია რვა კიდით. ამ შემთხვევაში, თავად "ყუთები" - სამგანზომილებიანი სახეები - იქნება დაპროექტებული "ჩვენს" სივრცეზე და მათი დამაკავშირებელი ხაზები გადაჭიმული იქნება მეოთხე ღერძის მიმართულებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ წარმოიდგინოთ კუბი არა პროექციაში, არამედ სივრცულ გამოსახულებაში.

ისევე, როგორც სამგანზომილებიანი კუბი იქმნება მისი სახის სიგრძით გადანაცვლებული კვადრატით, მეოთხე განზომილებაში გადატანილი კუბი წარმოქმნის ჰიპერკუბს. იგი შემოიფარგლება რვა კუბიკით, რომლებიც პერსპექტივაში საკმაოდ რთულ ფიგურას წააგავს. თვით ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი შეიძლება დაიყოს უსასრულო რაოდენობის კუბებად, ისევე როგორც სამგანზომილებიანი კუბი შეიძლება "დაიჭრას" უსასრულო რაოდენობის ბრტყელ კვადრატებად.

სამგანზომილებიანი კუბის ექვსი სახის მოჭრით, შეგიძლიათ მისი დაშლა ბრტყელ ფიგურად - განვითარებად. მას ექნება კვადრატი თავდაპირველი სახის თითოეულ მხარეს პლუს კიდევ ერთი - მის საპირისპირო სახე. და ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი განვითარება შედგება ორიგინალური კუბისაგან, მისგან "იზრდება" ექვსი კუბი, პლუს კიდევ ერთი - საბოლოო "ჰიპერფეისი".

ჰიპერკუბი ხელოვნებაში

Tesseract იმდენად საინტერესო ფიგურაა, რომ არაერთხელ მიიპყრო მწერლებისა და კინორეჟისორების ყურადღება.
რობერტ ე.ჰაინლეინმა რამდენჯერმე ახსენა ჰიპერკუბები. The House That Teal Built-ში (1940) მან აღწერა სახლი, რომელიც აშენდა, როგორც შეუფუთავი ტესერაქტი და შემდეგ, მიწისძვრის გამო, მეოთხე განზომილებაში "დაკეცა" და იქცა "ნამდვილ" ტესერაქტად. ჰაინლაინის რომანი დიდების გზა აღწერს ჰიპერ ზომის ყუთს, რომელიც შიგნიდან უფრო დიდი იყო, ვიდრე გარედან.

ჰენრი კუტნერის მოთხრობა „ყველა ტენალი ბოროგოვი“ აღწერს შორეული მომავლის ბავშვებისთვის საგანმანათლებლო სათამაშოს, სტრუქტურაში მსგავსი ტესერაქტის.

კუბი 2-ის სიუჟეტი: ჰიპერკუბი ორიენტირებულია რვა უცნობზე, რომლებიც ჩარჩენილია "ჰიპერკუბში", ან დაკავშირებული კუბების ქსელში.

პარალელური სამყარო

მათემატიკურმა აბსტრაქციამ წარმოშვა იდეა პარალელური სამყაროების არსებობის შესახებ. ეს გაგებულია, როგორც რეალობა, რომელიც არსებობს ჩვენთან ერთად, მაგრამ მისგან დამოუკიდებლად. პარალელურ სამყაროს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ზომები: მცირე გეოგრაფიული არეალიდან მთელ სამყარომდე. პარალელურ სამყაროში მოვლენები თავისებურად ხდება, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩვენი სამყაროსგან, როგორც ცალკეული დეტალებით, ასევე თითქმის ყველაფრით. უფრო მეტიც, პარალელური სამყაროს ფიზიკური კანონები სულაც არ არის ჩვენი სამყაროს კანონების მსგავსი.

ეს თემა ნაყოფიერი ნიადაგია სამეცნიერო ფანტასტიკის მწერლებისთვის.

სალვადორ დალის ნახატზე „ჯვარცმა“ გამოსახულია ტესერაქტი. "ჯვარცმა ან ჰიპერკუბური სხეული" ესპანელი მხატვრის სალვადორ დალის ნახატია, რომელიც დახატულია 1954 წელს. ასახავს ჯვარცმულ იესო ქრისტეს ტესერაქტზე. ნახატი ინახება ნიუ-იორკის მეტროპოლიტენის ხელოვნების მუზეუმში

ეს ყველაფერი 1895 წელს დაიწყო, როდესაც ჰ. ჯი უელსმა თავისი მოთხრობით "კარი კედელში" გახსნა სამეცნიერო ფანტასტიკის პარალელური სამყაროების არსებობა. 1923 წელს უელსი მიუბრუნდა პარალელური სამყაროების იდეას და ერთ-ერთ მათგანში მოათავსა უტოპიური ქვეყანა, სადაც დადიან რომანის „კაცები ღმერთებივით“ გმირები.

რომანი შეუმჩნეველი არ დარჩენილა. 1926 წელს გამოჩნდა გ.დენტის მოთხრობა „ქვეყანის იმპერატორი „თუ“ დენტის მოთხრობაში პირველად გაჩნდა აზრი, რომ შეიძლება არსებობდნენ ქვეყნები (სამყაროები), რომელთა ისტორიაც განსხვავდებოდეს რეალური ქვეყნების ისტორიისგან. ჩვენს სამყაროში და ეს სამყაროები ჩვენზე არანაკლებ რეალურია.

1944 წელს ხორხე ლუის ბორხესმა გამოაქვეყნა მოთხრობა "ჩანგლის ბილიკების ბაღი" თავის წიგნში "გამოგონილი ისტორიები". აქ განშტოების დროის იდეა საბოლოოდ გამოითქვა უდიდესი სიცხადით.
მიუხედავად ზემოთ ჩამოთვლილი ნამუშევრების გარეგნობისა, მრავალი სამყაროს იდეამ სამეცნიერო ფანტასტიკაში სერიოზულად განვითარება დაიწყო მხოლოდ XX საუკუნის ორმოციანი წლების ბოლოს, დაახლოებით იმავე დროს, როდესაც მსგავსი იდეა გაჩნდა ფიზიკაში.

სამეცნიერო ფანტასტიკის ახალი მიმართულების ერთ-ერთი პიონერი იყო ჯონ ბიქსბი, რომელმაც მოთხრობაში "ერთი გზა ქუჩა" (1954) შესთავაზა, რომ სამყაროებს შორის შეგიძლიათ მხოლოდ ერთი მიმართულებით გადაადგილება - როგორც კი გადახვალთ თქვენი სამყაროდან პარალელურზე. უკან არ დაბრუნდები, მაგრამ ერთი სამყაროდან მეორეში გადახვალ. ამასთან, საკუთარ სამყაროში დაბრუნება ასევე არ არის გამორიცხული - ამისათვის აუცილებელია სამყაროთა სისტემის დახურვა.

კლიფორდ სიმაკის რომანი A Ring Around the Sun (1982) აღწერს დედამიწას მრავალ პლანეტას, თითოეული არსებობს თავის სამყაროში, მაგრამ იმავე ორბიტაზე, და ეს სამყაროები და ეს პლანეტები ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ დროის უმნიშვნელო (მიკროწამში) ცვლილებით. მრავალრიცხოვანი დედამიწა, რომელსაც რომანის გმირი სტუმრობს, ქმნის სამყაროთა ერთიან სისტემას.

ალფრედ ბესტერმა გამოთქვა საინტერესო შეხედულება სამყაროების განშტოებაზე თავის მოთხრობაში „ადამიანი, რომელმაც მოკლა მუჰამედი“ (1958). წარსულის შეცვლით, - ამტკიცებდა მოთხრობის გმირი, - თქვენ მას მხოლოდ საკუთარი თავისთვის ცვლით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარსულში ცვლილების შემდეგ, წარმოიქმნება ისტორიის ფილიალი, რომელშიც მხოლოდ იმ პერსონაჟისთვის, ვინც ცვლილება მოახდინა, არსებობს ეს ცვლილება.

ძმები სტრუგატსკის მოთხრობა "ორშაბათი იწყება შაბათს" (1962) აღწერს გმირების მოგზაურობას მომავლის სხვადასხვა ვერსიებში, რომლებიც აღწერილია სამეცნიერო ფანტასტიკის მწერლების მიერ - განსხვავებით წარსულის სხვადასხვა ვერსიებზე მოგზაურობებისგან, რომლებიც უკვე არსებობდა სამეცნიერო ფანტასტიკაში.

თუმცა, ყველა ნაწარმოების უბრალო ჩამოთვლასაც კი, რომლებიც ეხება პარალელური სამყაროების თემას, ძალიან დიდ დროს მიიღებს. და მიუხედავად იმისა, რომ სამეცნიერო ფანტასტიკის მწერლები, როგორც წესი, მეცნიერულად არ ასაბუთებენ მრავალგანზომილებიანობის პოსტულატს, ისინი მართლები არიან ერთ რამეში - ეს არის ჰიპოთეზა, რომელსაც აქვს არსებობის უფლება.
ტესერაქტის მეოთხე განზომილება ჯერ კიდევ გველოდება მის მონახულებაზე.

ვიქტორ სავინოვი

თუ თქვენ ხართ შურისმაძიებლების ფილმების გულშემატკივარი, პირველი, რაც შეიძლება გაგახსენდეთ სიტყვა "ტესერაქტის" გაგონებისას, არის Infinity Stone-ის გამჭვირვალე კუბის ფორმის ჭურჭელი, რომელიც შეიცავს უსაზღვრო ძალას.

მარველის სამყაროს თაყვანისმცემლებისთვის ტესერაქტი არის მბზინავი ლურჯი კუბი, რომელიც გიჟდება არა მხოლოდ დედამიწის, არამედ სხვა პლანეტების ადამიანებსაც. ამიტომაც ყველა შურისმაძიებლები შეიკრიბნენ, რათა დაეცვათ მიწიერი ტესერაქტის უკიდურესად დამანგრეველი ძალებისგან.

თუმცა, ეს უნდა ითქვას: Tesseract არის ნამდვილი გეომეტრიული კონცეფცია, ან უფრო კონკრეტულად, ფორმა, რომელიც არსებობს 4D-ში. ეს არ არის უბრალოდ ლურჯი კუბი შურისმაძიებლებისგან... ეს ნამდვილი კონცეფციაა.

Tesseract არის ობიექტი 4 განზომილებაში. მაგრამ სანამ დეტალურად აგიხსნით, დავიწყოთ თავიდან.

რა არის "გაზომვა"?

ყველა ადამიანს სმენია ტერმინები 2D და 3D, რომლებიც წარმოადგენენ, შესაბამისად, ორგანზომილებიან ან სამგანზომილებიან ობიექტებს სივრცეში. მაგრამ რა არის ეს გაზომვები?

განზომილება უბრალოდ მიმართულებაა, რომლითაც შეგიძლიათ წასვლა. მაგალითად, თუ ფურცელზე ხაზს ხაზავთ, შეგიძლიათ წახვიდეთ მარცხნივ/მარჯვნივ (x-ღერძი) ან ზევით/ქვევით (y-ღერძი). ასე რომ, ჩვენ ვამბობთ, რომ ქაღალდი ორგანზომილებიანია, რადგან თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ ორი მიმართულებით წასვლა.

3D-ში არის სიღრმის შეგრძნება.

ახლა, რეალურ სამყაროში, ზემოთ ნახსენები ორი მიმართულების გარდა (მარცხნივ/მარჯვნივ და ზევით/ქვემოთ), ასევე შეგიძლიათ გადახვიდეთ "-დან/დან". შესაბამისად, სიღრმის განცდა ემატება 3D სივრცეს. ამიტომ ჩვენ ვამბობთ, რომ რეალური ცხოვრება სამგანზომილებიანია.

წერტილი შეიძლება წარმოადგენდეს 0 განზომილებას (რადგან ის არ მოძრაობს რაიმე მიმართულებით), ხაზი წარმოადგენს 1 განზომილებას (სიგრძე), კვადრატი წარმოადგენს 2 ​​განზომილებას (სიგრძე და სიგანე), ხოლო კუბი წარმოადგენს 3 განზომილებას (სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე). ).

აიღეთ 3D კუბი და შეცვალეთ მისი თითოეული სახე (რომელიც ამჟამად კვადრატულია) კუბით. Ამიტომაც! ფორმა, რომელსაც მიიღებთ, არის ტესერაქტი.

რა არის ტესერაქტი?

მარტივად რომ ვთქვათ, ტესერაქტი არის კუბი 4 განზომილებიან სივრცეში. ასევე შეიძლება ითქვას, რომ ეს არის კუბის 4D ანალოგი. ეს არის 4D ფორმა, სადაც თითოეული სახე არის კუბი.

ტეზერაქტის 3D პროექცია, რომელიც ასრულებს ორმაგ ბრუნს ორი ორთოგონალური სიბრტყის გარშემო.
სურათი: ჯეისონ ჰაისი

აქ არის მარტივი გზა ზომების კონცეპტუალიზაციისთვის: კვადრატი ორგანზომილებიანია; ამიტომ, მის თითოეულ კუთხეს აქვს 2 ხაზი, რომლებიც გადაჭიმულია მისგან ერთმანეთის მიმართ 90 გრადუსიანი კუთხით. კუბი სამგანზომილებიანია, ამიტომ მის თითოეულ კუთხეში მისგან მოდის 3 ხაზი. ანალოგიურად, ტესერაქტი არის 4D ფორმა, ამიტომ თითოეულ კუთხეს აქვს 4 ხაზი, რომელიც ვრცელდება მისგან.

რატომ ძნელი წარმოსადგენია ტესერაქტი?

იმის გამო, რომ ჩვენ, როგორც ადამიანები განვვითარდით, რათა ვიზუალურად ვიზუალოთ ობიექტები სამ განზომილებაში, ყველაფერი, რაც გადადის დამატებით ზომებში, როგორიცაა 4D, 5D, 6D და ა.შ. ჩვენს ტვინს არ შეუძლია მე-4 განზომილების გაგება სივრცეში. ჩვენ უბრალოდ არ შეგვიძლია ამაზე ფიქრი.

თუმცა, მხოლოდ იმიტომ, რომ ჩვენ არ შეგვიძლია ვიზუალურად წარმოვიდგინოთ მრავალგანზომილებიანი სივრცეების კონცეფცია, არ ნიშნავს რომ ის არ შეიძლება იარსებოს.

მათემატიკურად, ტესერაქტი იდეალურად ზუსტი ფორმაა. ანალოგიურად, ყველა ფორმა უფრო მაღალ განზომილებაში, ანუ 5D და 6D, ასევე მათემატიკურად დამაჯერებელია.

ისევე როგორც კუბი შეიძლება გაფართოვდეს 6 კვადრატად 2D სივრცეში, ტესერაქტი შეიძლება გაფართოვდეს 8 კუბად 3D სივრცეში.

გასაკვირი და გაუგებარია, არა?

მაშასადამე, ტესერაქტი არის "რეალური კონცეფცია", რომელიც აბსოლუტურად მათემატიკურად დამაჯერებელია და არა მხოლოდ მბზინავი ცისფერი კუბი, რომლის გამო იბრძვიან შურისმაძიებლები.

ჰიპერკუბური და პლატონური მყარი

შეკვეცილი იკოსაედრონის ("ფეხბურთის ბურთი") მოდელირება "ვექტორი" სისტემაში
რომელშიც თითოეული ხუთკუთხედი შემოსაზღვრულია ექვსკუთხედებით

შეკვეცილი იკოსაედონიშეიძლება მიღებულ იქნეს 12 წვეროს მოწყვეტით, რათა ჩამოყალიბდეს სახეები ჩვეულებრივი ხუთკუთხედების სახით. ამ შემთხვევაში ახალი მრავალწახნაგების წვეროების რაოდენობა იზრდება 5-ჯერ (12×5=60), 20 სამკუთხა სახე იქცევა რეგულარულ ექვსკუთხედებად (სულ სახეები ხდება 20+12=32), ა კიდეების რაოდენობა იზრდება 30+12×5=90-მდე.

ვექტორულ სისტემაში შეკვეცილი იკოსაედრონის აგების ნაბიჯები

ფიგურები 4 განზომილებიან სივრცეში.

--à

--à ?

მაგალითად, მოცემულია კუბი და ჰიპერკუბი. ჰიპერკუბს აქვს 24 სახე. ეს ნიშნავს, რომ 4 განზომილებიანი ოქტაედრონს ექნება 24 წვერო. თუმცა არა, ჰიპერკუბს აქვს კუბის 8 სახე - თითოეულს აქვს ცენტრი თავის წვეროზე. ეს ნიშნავს, რომ 4 განზომილებიან რვაგანზომილებიანს ექნება 8 წვერო, რაც კიდევ უფრო მსუბუქია.

4 განზომილებიანი ოქტაედონი. იგი შედგება რვა ტოლგვერდა და თანაბარი ტეტრაედრებისაგან,
თითოეულ წვეროზე ოთხით არის დაკავშირებული.

ბრინჯი. სიმულაციის მცდელობა
ჰიპერსფერო-ჰიპერსფერო ვექტორულ სისტემაში

წინა - უკანა სახეები - ბურთები დამახინჯების გარეშე. კიდევ ექვსი ბურთი შეიძლება განისაზღვროს ელიფსოიდების ან კვადრატული ზედაპირის მეშვეობით (4 კონტურის ხაზის მეშვეობით, როგორც გენერატორები) ან სახეების მეშვეობით (პირველად განსაზღვრულია გენერატორების მეშვეობით).

მეტი ტექნიკა ჰიპერსფეროს "აშენებისთვის".
- იგივე "ფეხბურთის ბურთი" 4 განზომილებიან სივრცეში

დანართი 2

ამოზნექილი პოლიედრებისთვის არის თვისება, რომელიც აკავშირებს მისი წვეროების, კიდეების და სახეების რაოდენობას, რომელიც დაამტკიცა 1752 წელს ლეონჰარდ ეილერმა და უწოდა ეილერის თეორემა.

მის ჩამოყალიბებამდე განვიხილოთ ჩვენთვის ცნობილი პოლიედრები და შეავსეთ შემდეგი ცხრილი, რომელშიც B არის მოცემული პოლიედრონის წვეროების რაოდენობა, P - კიდეები და G - სახეები:

პოლიედრონის სახელი
სამკუთხა პირამიდა
ოთხკუთხა პირამიდა
Სამკუთხა პრიზმა
ოთხკუთხა პრიზმა
n-ქვანახშირის პირამიდა	ნ+1	2ნ	ნ+1
n-ნახშირბადის პრიზმა	2ნ	3ნ	n+2
n-ნახშირი შეკვეცილი პირამიდა	2ნ	3ნ	n+2

ამ ცხრილიდან მაშინვე ირკვევა, რომ ყველა შერჩეული პოლიედრისთვის მოქმედებს ტოლობა B - P + G = 2. გამოდის, რომ ეს ტოლობა მოქმედებს არა მხოლოდ ამ პოლიედრებისთვის, არამედ თვითნებური ამოზნექილი პოლიედრებისთვისაც.

ეილერის თეორემა. ნებისმიერი ამოზნექილი პოლიედრონისთვის თანასწორობა მოქმედებს

B - P + G = 2,

სადაც B არის წვეროების რაოდენობა, P არის კიდეების რაოდენობა და G არის მოცემული პოლიედრონის სახეების რაოდენობა.

მტკიცებულება.ამ თანასწორობის დასამტკიცებლად, წარმოიდგინეთ ელასტიური მასალისგან დამზადებული ამ პოლიედრონის ზედაპირი. მოვაცილოთ (ამოვჭრათ) მისი ერთი სახე და დარჩენილი ზედაპირი გავჭიმოთ სიბრტყეზე. ჩვენ ვიღებთ მრავალკუთხედს (რომელიც წარმოიქმნება მრავალკუთხედის ამოღებული სახის კიდეებით), დაყოფილია უფრო პატარა მრავალკუთხედებად (წარმოქმნილია მრავალწახნაგების დარჩენილი სახეებით).

გაითვალისწინეთ, რომ მრავალკუთხედები შეიძლება იყოს დეფორმირებული, გადიდებული, შემცირებული ან თუნდაც მრუდე მათი გვერდები, თუ გვერდებზე ხარვეზები არ არის. წვეროების, კიდეების და სახეების რაოდენობა არ შეიცვლება.

დავამტკიცოთ, რომ პოლიგონის დაყოფა უფრო მცირე მრავალკუთხედებად აკმაყოფილებს თანასწორობას

(*)B - P + G" = 1,

სადაც B არის წვეროების მთლიანი რაოდენობა, P არის კიდეების საერთო რაოდენობა და Г " არის დანაყოფის შემადგენლობაში შემავალი მრავალკუთხედების რაოდენობა. ცხადია, რომ Г " = Г - 1, სადაც Г არის მოცემულის სახეების რაოდენობა. მრავალწახნაგოვანი.

დავამტკიცოთ, რომ ტოლობა (*) არ იცვლება, თუ დიაგონალი დახაზულია მოცემული დანაყოფის ზოგიერთ მრავალკუთხედში (სურ. 5, ა). მართლაც, ასეთი დიაგონალის დახაზვის შემდეგ ახალ დანაყოფს ექნება B წვეროები, P+1 კიდეები და მრავალკუთხედების რაოდენობა გაიზრდება ერთით. ამიტომ გვაქვს

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

ამ თვისების გამოყენებით ვხატავთ დიაგონალებს, რომლებიც ყოფენ შემომავალ მრავალკუთხედებს სამკუთხედებად და მიღებული დანაყოფისთვის ვაჩვენებთ ტოლობის მიზანშეწონილობას (*) (ნახ. 5, ბ). ამისათვის ჩვენ თანმიმდევრულად ამოვიღებთ გარე კიდეებს, ვამცირებთ სამკუთხედების რაოდენობას. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი შემთხვევა:

ა) სამკუთხედის ამოღება ABCაუცილებელია ორი ნეკნის ამოღება, ჩვენს შემთხვევაში ABდა ძვ.წ.;

ბ) სამკუთხედის ამოღებაMKNაუცილებელია ერთი კიდის ამოღება, ჩვენს შემთხვევაშიMN.

ორივე შემთხვევაში თანასწორობა (*) არ შეიცვლება. მაგალითად, პირველ შემთხვევაში, სამკუთხედის ამოღების შემდეგ, გრაფიკი შედგება B - 1 წვერო, P - 2 კიდეები და G " - 1 მრავალკუთხედი:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

მეორე შემთხვევა თავად განიხილეთ.

ამრიგად, ერთი სამკუთხედის ამოღება არ ცვლის ტოლობას (*). სამკუთხედების ამოღების ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ საბოლოოდ მივაღწევთ დანაყოფს, რომელიც შედგება ერთი სამკუთხედისგან. ასეთი დანაყოფისთვის B = 3, P = 3, Г " = 1 და, მაშასადამე, B – Р + Г " = 1. ეს ნიშნავს, რომ ტოლობა (*) ასევე მოქმედებს თავდაპირველ დანაყოფზე, საიდანაც საბოლოოდ ვიღებთ იმას, რომ რადგან მრავალკუთხედის ტოლობის ეს დანაყოფი (*) მართალია. ამრიგად, თავდაპირველი ამოზნექილი პოლიედრონისთვის ტოლობა B - P + G = 2 მართალია.

პოლიედრონის მაგალითი, რომლისთვისაც ეილერის მიმართება არ მოქმედებს,ნაჩვენებია სურათზე 6. ამ პოლიედრონს აქვს 16 წვერო, 32 კიდე და 16 სახე. ამრიგად, ამ პოლიედრონისთვის მოქმედებს ტოლობა B – P + G = 0.

დანართი 3.

ფილმი კუბი 2: ჰიპერკუბი არის სამეცნიერო ფანტასტიკური ფილმი, ფილმის კუბის გაგრძელება.

რვა უცხო ადამიანი იღვიძებს კუბის ფორმის ოთახებში. ოთახები განლაგებულია ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის შიგნით. ოთახები გამუდმებით მოძრაობს „კვანტური ტელეპორტაციის“ საშუალებით და თუ გვერდით ოთახში ახვალთ, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ წინა ოთახში დაბრუნდეთ. პარალელური სამყაროები იკვეთება ჰიპერკუბში, დრო განსხვავებულად მიედინება ზოგიერთ ოთახში, ზოგი ოთახი კი სიკვდილის ხაფანგია.

ფილმის სიუჟეტი დიდწილად იმეორებს პირველი ნაწილის ისტორიას, რაც ასევე აისახება ზოგიერთი პერსონაჟის გამოსახულებაში. ნობელის პრემიის ლაურეატი როზენცვეიგი, რომელმაც გამოთვალა ჰიპერკუბის განადგურების ზუსტი დრო, კვდება ჰიპერკუბის ოთახებში..

კრიტიკა

თუ პირველ ნაწილში ლაბირინთში ჩაკეტილი ადამიანები ერთმანეთის დახმარებას ცდილობდნენ, ამ ფილმში ყველა ადამიანი თავისთვისაა. არსებობს უამრავი არასაჭირო სპეციალური ეფექტი (აკა ხაფანგები), რომლებიც არავითარ შემთხვევაში ლოგიკურად არ აკავშირებენ ფილმის ამ ნაწილს წინასთან. ანუ გამოდის, რომ ფილმი კუბი 2 არის მომავლის 2020-2030 წლების ერთგვარი ლაბირინთი, მაგრამ არა 2000. პირველ ნაწილში ყველა სახის ხაფანგი თეორიულად შეიძლება ადამიანმა შექმნას. მეორე ნაწილში ეს ხაფანგები არის ერთგვარი კომპიუტერული პროგრამა, ე.წ. „ვირტუალური რეალობა“.