ექსპონენციალური ფუნქციაარის n რიცხვის ნამრავლის განზოგადება, რომელიც უდრის a-ს:
წ (n) = a n = a a a a,
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს x:
წ (x) = x.
აქ a არის ფიქსირებული რეალური რიცხვი, რომელსაც ე.წ ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი.
ასევე ეწოდება ექსპონენციალურ ფუნქციას a ფუძით მაჩვენებლის ბაზის ა.

განზოგადება ხორციელდება შემდეგნაირად.
ბუნებრივი x = 1, 2, 3,... , ექსპონენციალური ფუნქცია არის x ფაქტორების ნამრავლი:
.
უფრო მეტიც, მას აქვს თვისებები (1.5-8) (), რაც გამომდინარეობს რიცხვების გამრავლების წესებიდან. მთელი რიცხვების ნულოვანი და უარყოფითი მნიშვნელობებით, ექსპონენციალური ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულებით (1.9-10). რაციონალური რიცხვების წილადი მნიშვნელობებისთვის x = m/n, ეს განისაზღვრება ფორმულით (1.11). რეალურისთვის, ექსპონენციალური ფუნქცია განისაზღვრება, როგორც მიმდევრობის ზღვარი:
,
სად არის რაციონალური რიცხვების თვითნებური თანმიმდევრობა x-თან დაახლოებული: .
ამ განმარტებით, ექსპონენციალური ფუნქცია განისაზღვრება ყველასთვის და აკმაყოფილებს თვისებებს (1.5-8), ისევე როგორც ბუნებრივ x-სთვის.

ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტებისა და მისი თვისებების დადასტურების მკაცრი მათემატიკური ფორმულირება მოცემულია გვერდზე „ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებების განმარტება და დადასტურება“.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები

ექსპონენციალურ ფუნქციას y = a x აქვს შემდეგი თვისებები რეალური რიცხვების სიმრავლეზე () :
(1.1) არის განსაზღვრული და უწყვეტი, ამისთვის, ყველასთვის;
(1.2) როდესაც a ≠ 1 აქვს მრავალი მნიშვნელობა;
(1.3) მკაცრად იზრდება, მკაცრად მცირდება,
არის მუდმივი at ;
(1.4) ზე ;
ზე ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

სხვა სასარგებლო ფორმულები
.
განსხვავებული სიმძლავრის ბაზის მქონე ექსპონენციალურ ფუნქციად გადაქცევის ფორმულა:

b = e-სთვის, ჩვენ ვიღებთ ექსპონენციალური ფუნქციის გამოხატვას მაჩვენებლის მიხედვით:

პირადი ღირებულებები

, , , , .

ნახატზე ნაჩვენებია ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკები
წ (x) = x
ოთხი ღირებულებისთვის ხარისხის ბაზები:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 და a = 1/8 . ჩანს, რომ > 1 ექსპონენციალური ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. რაც უფრო დიდია a ხარისხის საფუძველი, მით უფრო ძლიერია ზრდა. ზე 0 < a < 1 ექსპონენციალური ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. რაც უფრო მცირეა a მაჩვენებელი, მით უფრო ძლიერია კლება.

Აღმავალი დაღმავალი

ექსპონენციალური ფუნქცია at მკაცრად მონოტონურია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. მისი ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში.

	y = a x, a > 1	y = x, 0 < a < 1
დომენი	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
მონოტონური	მონოტონურად იზრდება	მონოტონურად მცირდება
ნულები, y= 0	არა	არა
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

ინვერსიული ფუნქცია

a ხარისხის ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის რეციპროკული არის ლოგარითმი a ფუძემდე.

თუ, მაშინ
.
თუ, მაშინ
.

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენციაცია

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენცირებისთვის, მისი ფუძე უნდა დაიწიოს e რიცხვამდე, გამოიყენოს წარმოებულების ცხრილი და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი.

ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმების თვისება
და ფორმულა წარმოებულების ცხრილიდან:
.

დაე, მოცემული იყოს ექსპონენციალური ფუნქცია:
.
ჩვენ მივყავართ მას e ბაზაზე:

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს. ამისათვის ჩვენ შემოგვაქვს ცვლადი

მერე

წარმოებულების ცხრილიდან გვაქვს (შეცვალეთ x ცვლადი z-ით):
.
ვინაიდან მუდმივია, z-ის წარმოებული x-ის მიმართ არის
.
რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით:
.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენცირების მაგალითი

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
y= 35 x

გამოსავალი

ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძეს გამოვხატავთ e რიცხვით.
3 = e ჟურნალი 3
მერე
.
შემოგვაქვს ცვლადი
.
მერე

წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
.
Იმიტომ რომ 5ლნ 3არის მუდმივი, მაშინ z-ის წარმოებული x-ის მიმართ არის:
.
რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით გვაქვს:
.

უპასუხე

ინტეგრალური

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

განვიხილოთ კომპლექსური რიცხვების ფუნქცია ზ:
ვ (ზ) = აზ
სადაც z = x + iy ; მე 2 = - 1 .
ჩვენ გამოვხატავთ კომპლექსურ მუდმივას a-ს მოდულის r და არგუმენტის φ:
a = r e i φ
მერე


.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. Ზოგადად
φ = φ 0 + 2 პნ,
სადაც n არის მთელი რიცხვი. მაშასადამე, ფუნქცია f (z)ასევე ორაზროვანია. ხშირად განიხილება მისი მთავარი მნიშვნელობა
.

გაფართოება სერიაში

.

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.

ჰიპოთეზა: თუ თქვენ შეისწავლით გრაფიკის მოძრაობას ფუნქციების განტოლების ფორმირებისას, შეამჩნევთ, რომ ყველა გრაფიკი ემორჩილება საერთო კანონებს, შესაბამისად, შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ზოგადი კანონები ფუნქციების მიუხედავად, რაც არამარტო გააადვილებს გრაფიკების აგებას. სხვადასხვა ფუნქციების, არამედ მათი გამოყენება პრობლემების გადაჭრაში.

მიზანი: ფუნქციების გრაფიკების მოძრაობის შესწავლა:

1) ლიტერატურის შესწავლის ამოცანა

2) ისწავლეთ სხვადასხვა ფუნქციის გრაფიკების აგება

3) ისწავლეთ წრფივი ფუნქციების გრაფიკების გარდაქმნა

4) განიხილეთ გრაფიკების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას

კვლევის ობიექტი: ფუნქციების გრაფიკები

კვლევის საგანი: ფუნქციების გრაფიკების მოძრაობები

აქტუალობა: ფუნქციის გრაფიკების აგებას, როგორც წესი, დიდი დრო სჭირდება და მოითხოვს სტუდენტის ყურადღებას, მაგრამ იცოდეთ ფუნქციის გრაფიკების და ძირითადი ფუნქციების გრაფიკების გარდაქმნის წესები, შეგიძლიათ სწრაფად და მარტივად შექმნათ ფუნქციის გრაფიკები, რაც საშუალებას მოგცემთ თქვენ არა მხოლოდ ასრულებთ ამოცანებს ფუნქციის გრაფიკების გამოსახატავად, არამედ გადაჭრით მათთან დაკავშირებულ პრობლემებს (მაქსიმუმის (დროის მინიმალური სიმაღლე და შეხვედრის წერტილი) მოსაძებნად)

ეს პროექტი სასარგებლოა სკოლის ყველა მოსწავლისთვის.

Ლიტერატურის მიმოხილვა:

ლიტერატურაში განხილულია სხვადასხვა ფუნქციის გრაფიკის აგების გზები, ასევე ამ ფუნქციების გრაფიკების გარდაქმნის მაგალითები. თითქმის ყველა ძირითადი ფუნქციის გრაფიკები გამოიყენება სხვადასხვა ტექნიკურ პროცესებში, რაც შესაძლებელს ხდის უფრო მკაფიოდ წარმოაჩინოს პროცესის მიმდინარეობა და დაპროგრამდეს შედეგი.

მუდმივი ფუნქცია. ეს ფუნქცია მოცემულია ფორმულით y = b, სადაც b არის გარკვეული რიცხვი. მუდმივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად და გადის y ღერძზე (0; b) წერტილში. y \u003d 0 ფუნქციის გრაფიკი არის აბსცისის ღერძი.

ფუნქციის ტიპები 1პირდაპირი პროპორციულობა. ეს ფუნქცია მოცემულია ფორმულით y \u003d kx, სადაც პროპორციულობის კოეფიციენტი k ≠ 0. პირდაპირი პროპორციულობის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის საწყისზე.

ხაზოვანი ფუნქცია. ასეთი ფუნქცია მოცემულია ფორმულით y = kx + b, სადაც k და b რეალური რიცხვებია. წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი.

ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკები შეიძლება იკვეთებოდეს ან იყოს პარალელური.

ასე რომ, წრფივი ფუნქციების გრაფიკების ხაზები y \u003d k 1 x + b 1 და y \u003d k 2 x + b 2 იკვეთება, თუ k 1 ≠ k 2; თუ k 1 = k 2, მაშინ ხაზები პარალელურია.

2 შებრუნებული პროპორციულობა არის ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით y \u003d k / x, სადაც k ≠ 0. K ეწოდება შებრუნებული პროპორციულობის კოეფიციენტს. უკუპროპორციულობის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა.

ფუნქცია y \u003d x 2 წარმოდგენილია გრაფიკით, რომელსაც ეწოდება პარაბოლა: ინტერვალზე [-~; 0] ფუნქცია მცირდება, ინტერვალზე ფუნქცია იზრდება.

ფუნქცია y \u003d x 3 იზრდება მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ და გრაფიკულად არის წარმოდგენილი კუბური პარაბოლით.

დენის ფუნქცია ბუნებრივი მაჩვენებლით. ეს ფუნქცია მოცემულია ფორმულით y \u003d x n, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი. ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკები დამოკიდებულია n-ზე. მაგალითად, თუ n = 1, მაშინ გრაფიკი იქნება სწორი ხაზი (y = x), თუ n = 2, მაშინ გრაფიკი იქნება პარაბოლა და ა.შ.

დენის ფუნქცია უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით წარმოდგენილია ფორმულით y \u003d x -n, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი. ეს ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x ≠ 0-ისთვის. ფუნქციის გრაფიკი ასევე დამოკიდებულია n მაჩვენებელზე.

სიმძლავრის ფუნქცია დადებითი წილადის მაჩვენებლით. ეს ფუნქცია წარმოდგენილია ფორმულით y \u003d x r, სადაც r არის დადებითი შეუქცევადი წილადი. ეს ფუნქცია ასევე არც ლუწია და არც კენტი.

გრაფიკული ხაზი, რომელიც აჩვენებს დამოკიდებული და დამოუკიდებელი ცვლადების ურთიერთობას კოორდინატულ სიბრტყეზე. გრაფიკი ემსახურება ამ ელემენტების ვიზუალურად ჩვენებას.

დამოუკიდებელი ცვლადი არის ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ფუნქციების საზღვრებში (სადაც მოცემული ფუნქცია აზრიანია (არ შეიძლება დაიყოს ნულზე))

ფუნქციის გრაფიკის დასახატად,

1) იპოვეთ ODZ (მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი)

2) აიღეთ რამდენიმე თვითნებური მნიშვნელობა დამოუკიდებელი ცვლადისთვის

3) იპოვეთ დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობა

4) ააგეთ კოორდინატთა სიბრტყე, მონიშნეთ მასზე ეს წერტილები

5) საჭიროების შემთხვევაში დააკავშირეთ მათი ხაზები, გამოიკვლიეთ მიღებული გრაფიკი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების ტრანსფორმაცია.

გრაფიკის კონვერტაცია

მათი სუფთა სახით, ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, სამწუხაროდ, არც ისე გავრცელებულია. უფრო ხშირად უწევთ საქმე ელემენტარულ ფუნქციებთან, რომლებიც მიიღება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიდან მუდმივებისა და კოეფიციენტების დამატებით. ასეთი ფუნქციების გრაფიკების აგება შესაძლებელია შესაბამისი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკებზე გეომეტრიული გარდაქმნების გამოყენებით (ან ახალ კოორდინატულ სისტემაზე გადასვლით). მაგალითად, კვადრატული ფუნქციის ფორმულა არის კვადრატული პარაბოლის ფორმულა, რომელიც შეკუმშულია სამჯერ ორდინატთა ღერძთან მიმართებაში, სიმეტრიულად ნაჩვენებია აბსცისის ღერძის მიმართ, გადაადგილებულია ამ ღერძის მიმართულების საწინააღმდეგოდ 2/3 ერთეულით და გადაადგილებულია ორდინატის მიმართულებით. ღერძი 2 ერთეულით.

მოდით გავიგოთ ფუნქციის გრაფიკის ეს გეომეტრიული გარდაქმნები ეტაპობრივად კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

f (x) ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიული გარდაქმნების დახმარებით შეიძლება აშენდეს ფორმის ფორმულის ნებისმიერი ფუნქციის გრაფიკი, სადაც ფორმულა არის შეკუმშვის ან გაფართოების კოეფიციენტები oy და ox ღერძების გასწვრივ, შესაბამისად, მინუს. ნიშნები კოეფიციენტების ფორმულისა და ფორმულის წინ მიუთითებს გრაფიკის სიმეტრიულ ჩვენებაზე კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში, a და b განსაზღვრავს ცვლას აბსცისა და ორდინატთა ღერძების მიმართ, შესაბამისად.

ამრიგად, არსებობს ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიული გარდაქმნების სამი ტიპი:

პირველი ტიპი არის სკალირება (შეკუმშვა ან გაფართოება) აბსცისა და ორდინატთა ღერძების გასწვრივ.

სკალირების აუცილებლობა მითითებულია ერთის გარდა სხვა ფორმულის კოეფიციენტებით, თუ რიცხვი 1-ზე ნაკლებია, მაშინ გრაფიკი შეკუმშულია ოის მიმართ და გაჭიმულია ოხთან მიმართებაში, თუ რიცხვი 1-ზე მეტია, მაშინ ვჭიმავთ ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. და იკუმშება აბსცისის ღერძის გასწვრივ.

მეორე ტიპი არის სიმეტრიული (სარკე) ჩვენება კოორდინატთა ღერძების მიმართ.

ამ ტრანსფორმაციის საჭიროება მითითებულია მინუს ნიშნებით ფორმულის კოეფიციენტების წინ (ამ შემთხვევაში გრაფიკს სიმეტრიულად ვაჩვენებთ ოქსი ღერძის მიმართ) და ფორმულით (ამ შემთხვევაში გრაფიკს სიმეტრიულად ვაჩვენებთ. y ღერძის მიმართ). თუ არ არის მინუს ნიშნები, მაშინ ეს ნაბიჯი გამოტოვებულია.

ფუნქციის გრაფიკის ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში მე გაგაცნობთ ფუნქციის გრაფიკების წრფივ გარდაქმნებს და გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს გარდაქმნები ფუნქციის გრაფიკიდან ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად.

ფუნქციის წრფივი ტრანსფორმაცია არის თავად ფუნქციის ან/და მისი არგუმენტის ტრანსფორმაცია ფორმაში , ასევე არგუმენტის და/ან ფუნქციების მოდულის შემცველი ტრანსფორმაცია.

შემდეგი მოქმედებები იწვევს უდიდეს სირთულეებს გრაფიკების შედგენისას ხაზოვანი გარდაქმნების გამოყენებით:

1. საბაზისო ფუნქციის იზოლაცია, ფაქტობრივად, რომლის გრაფიკს ჩვენ გარდაქმნით.
2. გარდაქმნების რიგის განმარტებები.

დასწორედ ამ პუნქტებზე ვისაუბრებთ უფრო დეტალურად.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ფუნქციას

ის დაფუძნებულია ფუნქციაზე. მოდით დავურეკოთ მას ძირითადი ფუნქცია.

ფუნქციის შედგენისას ვაკეთებთ საბაზისო ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნებს.

თუ ფუნქციის გარდაქმნას ვაპირებთ იმავე თანმიმდევრობით, რომლითაც მისი მნიშვნელობა იქნა ნაპოვნი არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობისთვის, მაშინ

მოდით განვიხილოთ რა ტიპის წრფივი არგუმენტები და ფუნქციების გარდაქმნები არსებობს და როგორ განვახორციელოთ ისინი.

არგუმენტის გარდაქმნები.

1. f(x) f(x+b)

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

2. ფუნქციის გრაფიკს ვცვლით OX ღერძის გასწვრივ |b|-ით ერთეულები

• დარჩა თუ b>0
• უფლება თუ ბ<0

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. გადაიტანეთ ის 2 ერთეულით მარჯვნივ:

2. f(x) f(kx)

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

2. გრაფიკის წერტილების აბსციები გავყოთ k-ზე, დავტოვოთ წერტილების ორდინატები უცვლელად.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია.

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. გრაფიკის წერტილების ყველა აბსცისი გაყავით 2-ზე, დატოვეთ ორდინატები უცვლელი:

3. f(x) f(-x)

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

2. ჩვენ მას სიმეტრიულად ვაჩვენებთ OY ღერძის მიმართ.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია.

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. ჩვენ მას სიმეტრიულად ვაჩვენებთ OY ღერძის მიმართ:

4. f(x) f(|x|)

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. ვშლით გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OY ღერძის მარცხნივ, გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OY ღერძის მარჯვნივ, ვასრულებთ მას სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ:

ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს (ეს არის ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც გადაადგილებულია OX ღერძის გასწვრივ 2 ერთეულით მარცხნივ):

2. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OY-ის მარცხნივ (x<0) стираем:

3. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OY ღერძის მარჯვნივ (x>0) სრულდება სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ:

Მნიშვნელოვანი! არგუმენტის კონვერტაციის ორი ძირითადი წესი.

1. ყველა არგუმენტის ტრანსფორმაცია ხორციელდება OX ღერძის გასწვრივ

2. არგუმენტის ყველა ტრანსფორმაცია შესრულებულია „პირიქით“ და „საპირისპირო თანმიმდევრობით“.

მაგალითად, ფუნქციაში, არგუმენტების გარდაქმნების თანმიმდევრობა ასეთია:

1. ვიღებთ მოდულს x-დან.

2. დაამატეთ რიცხვი 2 მოდულო x-ს.

მაგრამ ჩვენ გავაკეთეთ შეთქმულება საპირისპირო თანმიმდევრობით:

ჯერ შევასრულეთ ტრანსფორმაცია 2. - გრაფიკი 2 ერთეულით გადავწიეთ მარცხნივ (ანუ წერტილების აბსციები შემცირდა 2-ით, თითქოს "პირიქით")

შემდეგ ჩვენ შევასრულეთ ტრანსფორმაცია f(x) f(|x|).

მოკლედ, გარდაქმნების თანმიმდევრობა იწერება შემდეგნაირად:

ახლა მოდით ვისაუბროთ ფუნქციის ტრანსფორმაცია . ტრანსფორმაციები ხდება

1. OY ღერძის გასწვრივ.

2. იმავე თანმიმდევრობით, რომლითაც სრულდება მოქმედებები.

ეს არის გარდაქმნები:

1. f(x)f(x)+D

2. გადაიტანეთ იგი OY ღერძის გასწვრივ |D|-ით ერთეულები

• ზემოთ, თუ D>0
• ქვემოთ თუ დ<0

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. გადაიტანეთ იგი OY ღერძის გასწვრივ 2 ერთეულით ზემოთ:

2. f(x)Af(x)

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

2. გრაფიკის ყველა წერტილის ორდინატებს ვამრავლებთ A-ზე, აბსცისებს ვტოვებთ უცვლელად.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ფუნქციის გრაფიკის დახატვა

2. გრაფიკის ყველა წერტილის ორდინატებს ვამრავლებთ 2-ზე:

3.f(x)-f(x)

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

მოდით დავხატოთ ფუნქცია.

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს.

2. ჩვენ მას სიმეტრიულად ვაჩვენებთ OX ღერძის მიმართ.

4. f(x)|f(x)|

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

2. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ზემოთ, უცვლელი რჩება, გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, გამოსახულია სიმეტრიულად ამ ღერძის მიმართ.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს. ის მიიღება ფუნქციის გრაფიკის OY ღერძის გასწვრივ 2 ერთეულით ქვემოთ გადატანით:

2. ახლა გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, სიმეტრიულად იქნება ნაჩვენები ამ ღერძის მიმართ:

და ბოლო ტრანსფორმაცია, რომელსაც, მკაცრად რომ ვთქვათ, არ შეიძლება ეწოდოს ფუნქციის ტრანსფორმაცია, რადგან ამ ტრანსფორმაციის შედეგი აღარ არის ფუნქცია:

|y|=f(x)

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

2. ვაშლით გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, შემდეგ ვასრულებთ გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ზემოთ, ამ ღერძის მიმართ სიმეტრიულად.

ავაშენოთ განტოლების გრაფიკი

1. ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს:

2. ჩვენ ვშლით გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ:

3. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ზემოთ, სრულდება ამ ღერძის მიმართ სიმეტრიულად.

და ბოლოს, მე გთავაზობთ უყუროთ ვიდეო გაკვეთილს, რომელშიც მე ვაჩვენებ ნაბიჯ-ნაბიჯ ალგორითმს ფუნქციის გრაფიკის გამოსახატავად

ამ ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

ამ ფუნქციებიდან რომელს აქვს შებრუნებული? ასეთი ფუნქციებისთვის იპოვეთ შებრუნებული ფუნქციები:

4.12. ა)	y=x;					ბ) y = 6 −3x;
დ) y =						ე) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. ა)	y = 4x − 5 ;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = ნიშანი x ;						y=1 + lg(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1;
			x − 2
						x-ზე< 0
გ) y =		-x
						x ≥ 0-ისთვის

გაარკვიეთ ამ ფუნქციებიდან რომელია ერთფეროვანი, რომელია მკაცრად ერთფეროვანი და რომელი შემოსაზღვრული:

4.14. ა)

f (x) = c, c R;

ბ) f (x) \u003d cos 2 x;

გ) f (x) \u003d arctg x;

დ) f (x) \u003d e 2 x;

ე) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

ე) f(x) =

2x+5

y = ctg7 x.

4.15. ა)

f(x) = 3− x

ბ) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

x< 0,

3x+5

დ) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

- 10 საათზე

f(x)=

ე) f(x) =

x 2 საათზე

x ≥ 0;

x+1

f(x) = tg(sinx).

4.2. ელემენტარული ფუნქციები. ფუნქციის გრაფიკის ტრანსფორმაცია

შეგახსენებთ, რომ f (x) ფუნქციის გრაფიკი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxy არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე კოორდინატებით (x, f (x)).

ხშირად y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება აშენდეს ზოგიერთი უკვე ცნობილი ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნების (ცვლა, გაჭიმვა) გამოყენებით.

კერძოდ, y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკიდან მიიღება ფუნქციის გრაფიკი:

1) y \u003d f (x) + a - ცვლა Oy ღერძის გასწვრივ ერთეულებით (ზევით, თუ a > 0, და ქვემოთ, თუ a< 0 ;

2) y \u003d f (x − b) - გადაადგილება Ox ღერძის გასწვრივ b ერთეულებით (მარჯვნივ, თუ b > 0,

და მარცხნივ თუ ბ< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - Oy ღერძის გასწვრივ k-ჯერ გაჭიმვით;

4) y \u003d f (mx) - შეკუმშვა Ox ღერძის გასწვრივ m-ჯერ;

5) y \u003d - f (x) - სიმეტრიული ანარეკლი Ox ღერძის გარშემო;

6) y \u003d f (−x) - სიმეტრიული ანარეკლი Oy ღერძის გარშემო;

7) y \u003d f (x), შემდეგნაირად: გრაფის ნაწილი, რომელიც არ მდებარეობს

Ox ღერძის ქვემოთ, უცვლელი რჩება და გრაფიკის „ქვედა“ ნაწილი სიმეტრიულად აისახება Ox ღერძის მიმართ;

8) y = f (x) , შემდეგნაირად: გრაფიკის მარჯვენა მხარე (x ≥ 0-სთვის)

უცვლელი რჩება და "მარცხნივ" ნაცვლად აგებულია "მარჯვენა" სიმეტრიული ასახვა Oy ღერძის გარშემო.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები ეწოდება:

1) მუდმივი ფუნქცია y = c;

2) სიმძლავრის ფუნქცია y = x α , α R ;

3) ექსპონენციალური ფუნქცია y \u003d a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) ლოგარითმულიფუნქცია y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) ტრიგონომეტრიულიფუნქციები y = sin x, y = cos x, y = tg x,

y = ctg x, y = წმ x (სადაც sec x = cos 1 x), y = cosec x (სადაც cosec x = sin 1 x);

6) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arctg x.

ელემენტარული ფუნქციებიეწოდება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიდან მიღებული ფუნქციები სასრული რაოდენობის არითმეტიკული მოქმედებების (+, − , ÷) და კომპოზიციების (ანუ რთული ფუნქციების ფორმირება f g) დახმარებით.

მაგალითი 4.6. დახაზეთ ფუნქცია

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sin 4 x .

ამოხსნა: 1) სრული კვადრატის ხაზგასმით ფუნქცია გარდაიქმნება y = (x +3) 2 − 2 ფორმაში, ამიტომ ამ ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ y = x 2 ფუნქციის გრაფიკიდან. საკმარისია ჯერ პარაბოლა y \u003d x 2 სამი ერთეული გადავიტანოთ მარცხნივ (ვიღებთ y \u003d (x +3) 2 ფუნქციის გრაფიკს), შემდეგ კი ორი ერთეული ქვემოთ (ნახ. 4.1);

	სტანდარტული	სინუსოიდი						y = ცოდვა x	ოთხჯერ ღერძის გასწვრივ		ხარი,
ვიღებთ y \u003d sin 4 x ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 4.2).
										y=sin4x
										y=sin x

მიღებული გრაფიკის ორჯერ გაჭიმვით Oy ღერძის გასწვრივ, ვიღებთ y \u003d 2sin 4 x ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 4.3). რჩება ბოლო გრაფიკის ასახვა Ox ღერძთან მიმართებაში. შედეგი იქნება სასურველი გრაფიკი (იხ. სურ. 4.3).

						y=2sin4x

y=–2sin4x

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

შექმენით შემდეგი ფუნქციების გრაფიკები, ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების საფუძველზე:

4.16. ა) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. ა) y = −2sin(x −π) ;

4.18. ა) y = − 4 x −1 ;

4.19. ა) y = log 2 (−x) ;

4.20. ა) y = x +5 ;

4.21. ა) y \u003d tg x;

4.22. ა) y = ნიშანი x;

4.23. ა) y = x x + + 4 2;

y = 3 - 2 x - x 2.

y = 2 cos 2 x.

ფიზიკური პროცესების მიმდინარეობის პირობებიდან გამომდინარე, ზოგიერთი რაოდენობა იღებს მუდმივ მნიშვნელობებს და ეწოდება მუდმივები, ზოგი იცვლება გარკვეულ პირობებში და ეწოდება ცვლადები.

გარემოს გულდასმით შესწავლა აჩვენებს, რომ ფიზიკური რაოდენობები ერთმანეთზეა დამოკიდებული, ანუ ზოგიერთი რაოდენობების ცვლილება იწვევს სხვაში ცვლილებას.

მათემატიკური ანალიზი სწავლობს ურთიერთ ცვალებადი სიდიდეების რაოდენობრივ კავშირებს, აბსტრაქტებს კონკრეტული ფიზიკური მნიშვნელობიდან. მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფციაა ფუნქციის ცნება.

განვიხილოთ ნაკრების ელემენტები და ნაკრების ელემენტები
(ნახ. 3.1).

თუ კომპლექტების ელემენტებს შორის გარკვეული შესაბამისობა დამყარდა
და როგორც წესია , შემდეგ აღვნიშნავთ, რომ ფუნქცია განსაზღვრულია
.

განმარტება 3.1. კონფორმულობა , რომელიც ასოცირდება თითოეულ ელემენტთან არა ცარიელი ნაკრები
ზოგიერთი კარგად განსაზღვრული ელემენტი არა ცარიელი ნაკრები , ეწოდება ფუნქციას ან რუკს
in .

სიმბოლურად ჩვენება
in იწერება შემდეგნაირად:

.

ამავე დროს, ბევრი
ეწოდება ფუნქციის დომენი და აღინიშნება
.

თავის მხრივ, ბევრი ეწოდება ფუნქციის დიაპაზონი და აღინიშნება
.

გარდა ამისა, უნდა აღინიშნოს, რომ კომპლექტის ელემენტები
დამოუკიდებელ ცვლადებს, სიმრავლის ელემენტებს უწოდებენ დამოკიდებულ ცვლადებს უწოდებენ.

ფუნქციის დაყენების გზები

ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ძირითადი გზებით: ცხრილი, გრაფიკული, ანალიტიკური.

თუ ექსპერიმენტული მონაცემების საფუძველზე შედგენილია ცხრილები, რომლებიც შეიცავს ფუნქციის მნიშვნელობებს და არგუმენტის შესაბამის მნიშვნელობებს, მაშინ ფუნქციის დაზუსტების ამ მეთოდს ეწოდება ცხრილი.

ამავდროულად, თუ ექსპერიმენტის შედეგების ზოგიერთი კვლევა გადაეცემა რეგისტრატორს (ოსცილოსკოპი, ჩამწერი და ა.შ.), მაშინ აღინიშნება, რომ ფუნქცია გრაფიკულად არის დაყენებული.

ყველაზე გავრცელებულია ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური გზა, ე.ი. მეთოდი, რომელშიც ფორმულა გამოიყენება დამოუკიდებელი და დამოკიდებული ცვლადების დასაკავშირებლად. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის განსაზღვრის სფერო მნიშვნელოვან როლს ასრულებს:

განსხვავებული, თუმცა ისინი მოცემულია ერთი და იგივე ანალიტიკური მიმართებებით.

თუ მოცემულია მხოლოდ ფუნქციის ფორმულა
, მაშინ მიგვაჩნია, რომ ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ემთხვევა ცვლადის ამ მნიშვნელობების სიმრავლეს , რისთვისაც გამოთქმა
აქვს მნიშვნელობა. ამ მხრივ განსაკუთრებულ როლს თამაშობს ფუნქციის დომენის პოვნის პრობლემა.

Დავალება 3.1. იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი

პირველი ტერმინი იღებს რეალურ მნიშვნელობებს
, ხოლო მეორე ზე. ამრიგად, მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის დომენის მოსაძებნად აუცილებელია უტოლობათა სისტემის ამოხსნა:

ასეთი სისტემის ამოხსნის შედეგად ვიღებთ . მაშასადამე, ფუნქციის დომენი არის სეგმენტი
.

ფუნქციების გრაფიკების უმარტივესი გარდაქმნები

ფუნქციების გრაფიკების აგება შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს, თუ გამოვიყენებთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების ცნობილ გრაფიკებს. შემდეგ ფუნქციებს უწოდებენ ძირითად ელემენტარულ ფუნქციებს:

1) დენის ფუნქცია
სადაც
;

2) ექსპონენციალური ფუნქცია
სადაც
და
;

3) ლოგარითმული ფუნქცია
, სად - ნებისმიერი დადებითი რიცხვი ერთის გარდა:
და
;

4) ტრიგონომეტრიული ფუნქციები




;
.

5) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
;
;
;
.

ელემენტარული ფუნქციები ეწოდება ფუნქციებს, რომლებიც მიიღება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიდან ოთხი არითმეტიკული მოქმედების გამოყენებით და სუპერპოზიციები, რომლებიც გამოიყენება სასრული რაოდენობის ჯერ.

მარტივი გეომეტრიული გარდაქმნები ასევე ამარტივებს ფუნქციების შედგენის პროცესს. ეს ტრანსფორმაციები ეფუძნება შემდეგ განცხადებებს:

y=f(x+a) ფუნქციის გრაფიკი არის გრაფიკი y=f(x), გადატანილი (>0-ისთვის მარცხნივ, a-სთვის).< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

y=f(x) +b ფუნქციის გრაფიკს აქვს y=f(x), გადატანილი (თუ b>0 ზემოთ, თუ b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

y = mf(x) (m0) ფუნქციის გრაფიკი არის გრაფიკი y = f(x), გაჭიმული (m>1) m-ჯერ ან შეკუმშული (0-ზე).

y = f(kx) ფუნქციის გრაფიკი არის გრაფიკი y = f(x), შეკუმშული (k > 1-ისთვის) k-ჯერ ან დაჭიმული (0-ზე).< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.