უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. სინუსი (sin x) და კოსინუსი (cos x) - თვისებები, გრაფიკები, ფორმულები

"წილადი განტოლებები" - წილადი-რაციონალური განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების ფართობია ... .. ა) 2 (1-x?) + 3x -4 \u003d 0; ბ) x - 3= x? - x +1; 4 2 გ) x? - x - 7 = x +8; x დ) 2x - 4 \u003d 3__; X? +1 x +1 ე) 3x + 1= x; x -1 ე) x-7 \u003d? x + 9. არ გააფუჭო თვალები ცრემლით. იპოვეთ განტოლებაში შემავალი წილადების დასაშვები მნიშვნელობები. თქვენი უკანასკნელი დედობრივი ბრძანება: „ცხოვრების კანონები ბრძენი და სასტიკია.

„წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა“ – „საშინაო დავალება“. 1) 0 და 1. 3) 4 და 3. ბლიცი - გამოკითხვა. რა არის რაციონალური განტოლება? მიეცით მთელი განტოლების განმარტება. 2) 3. „ლოტო“. ხვალინდელი დღის იმედი არ გქონდეს, დაიმახსოვრე: ყველაფერი შენს ხელშია. წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა. როგორ ამოხსნათ წილადი რაციონალური განტოლება? რა არის წილადი რაციონალური განტოლება?

„ალგებრის განტოლებები“ - რეფლექსია, გაკვეთილის შედეგი. Საშინაო დავალება. ორგანიზების დრო. გაკვეთილის სტრუქტურა: Oh-oh ... მიზანი: საბაზისო ცოდნის განახლება. . უნარებისა და შესაძლებლობების განვითარება. ბავშვები. მიზნის დასახვა. ალგებრა მე-7 კლასი.

"განტოლებათა სისტემების ამოხსნა" - გრაფიკული მეთოდი ამოხსნება გრაფიკულად (. მსგავსი მონომები. რას ჰქვია განტოლებათა სისტემის ამონახსნები? X + 2y \u003d 3 5x-3y \u003d 2. შეამოწმეთ საკუთარი თავი! არის წყვილები (1; 1 ) და (-1; 3) რიცხვები სისტემის ამოხსნით (. გამეორება. ამოხსნის სისტემა: (. მონომის სტანდარტული ფორმა. ამონახსნების მეთოდები. ზეპირი. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ხერხები.

„გაკვეთილი ლოგარითმული განტოლებები“ - 1.logx5 = 1 2.logx(x2-1) = 0 3.log5(2x+1) = log5(x+2). იპოვეთ განტოლებების სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონი. ლოგარითმული განტოლებები (5 დასკვნითი გაკვეთილი). ლოგაქსი = ბ. x > 0 a > 0 a ? ერთი.

"ტრიგონომეტრიული განტოლებები" - მაშასადამე, sinx \u003d 1/2 ან sinx \u003d -1. გადაწყვეტილება. ტრიგონომეტრიული განტოლებები. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი t = sinx. მართალია, რომ: აქვს თუ არა გამოთქმებს აზრი: ამოხსენით განტოლება: მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება 2 sin2x + sinx - 1 = 0. მაშინ ეს განტოლება მიიღებს 2t2 + t - 1 = 0 ფორმას.

თემაში სულ 20 პრეზენტაციაა

ჩვენ ვიცით, რომ კოსინუსების მნიშვნელობები არის [-1; 1], ე.ი. -1 ≤ cos α ≤ 1. ამიტომ, თუ |а| > 1, მაშინ განტოლებას cos x = a არ აქვს ფესვები. მაგალითად, განტოლებას cos x = -1.5 არ აქვს ფესვები.

განვიხილოთ რამდენიმე დავალება.

ამოხსენით განტოლება cos x = 1/2.

გადაწყვეტილება.

გავიხსენოთ, რომ cos x არის წრის წერტილის აბსციზა, რომლის რადიუსი ტოლია 1-ისა, მიღებული წერტილის P (1; 0) კუთხით x-ის გარშემო ბრუნვით.

აბსცისას 1/2 აქვს წრის ორი წერტილი M 1 და M 2. ვინაიდან 1/2 \u003d cos π / 3, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ M 1 წერტილი P წერტილიდან (1; 0) x 1 \u003d π / 3 კუთხით, ასევე x \u003d კუთხით. π / 3 + 2πk, სადაც k = +/-1, +/-2, ...

წერტილი M 2 მიიღება P წერტილიდან (1; 0) x 2 \u003d -π / 3 კუთხით, ასევე -π / 3 + 2πk კუთხით შემობრუნებით, სადაც k \u003d +/-1 , +/-2, ...

ასე რომ, cos x = 1/2 განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულებით
x = π/3 + 2πk
x \u003d -π / 3 + 2πk,

წარმოდგენილი ორი ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:

x = +/-π/3 + 2πk, k ∈ Z.

ამოხსენით განტოლება cos x = -1/2.

გადაწყვეტილება.

- 1/2-ის ტოლ აბსცისს აქვს წრის ორი წერტილი M 1 და M 2. ვინაიდან -1/2 \u003d cos 2π / 3, მაშინ კუთხე x 1 \u003d 2π / 3 და, შესაბამისად, კუთხე x 2 \u003d -2π / 3.

ამრიგად, cos x = -1/2 განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით: x = +/-2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

ამრიგად, თითოეულ განტოლებას cos x = 1/2 და cos x = -1/2 აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა. სეგმენტზე 0 ≤ x ≤ π, თითოეულ ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: x 1 \u003d π / 3 - განტოლების ფესვი cos x \u003d 1/2 და x 1 \u003d 2π / 3 - ფესვი განტოლება cos x \u003d -1/2.

რიცხვს π/3 ეწოდება 1/2 რიცხვის რკალი კოსინუსი და იწერება: arccos 1/2 = π/3, ხოლო რიცხვი 2π/3 არის (-1/2) რიცხვის რკალის კოსინუსი და არის. დაწერილი: arccos (-1/2) = 2π/3 .

ზოგადად, განტოლებას cos x \u003d a, სადაც -1 ≤ a ≤ 1, აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი სეგმენტზე 0 ≤ x ≤ π. თუ a ≥ 0, მაშინ ფესვი ჩასმულია ინტერვალში; თუ< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

ამრიგად, a € რიცხვის რკალის კოსინუსი [-1; 1] ასეთ რიცხვს ეწოდება €, რომლის კოსინუსი უდრის a:

arccos a = α თუ cos α = a და 0 ≤ a ≤ π (1).

მაგალითად, arccos √3/2 = π/6, ვინაიდან cos π/6 = √3/2 და 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6 ვინაიდან cos 5π/6 = -√3/2 და 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

ისევე, როგორც ეს გაკეთდა 1 და 2 ამოცანების ამოხსნის პროცესში, შეიძლება აჩვენოს, რომ განტოლების ყველა ფესვი cos x = a, სადაც |a| ≤ 1 გამოიხატება ფორმულით

x = +/- arccos a + 2 πn, n ∈ Z (2).

ამოხსენით განტოლება cos x = -0,75.

გადაწყვეტილება.

(2) ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ x = +/- arccos (-0.75) + 2 πn, n ∈ Z.

არკოსის მნიშვნელობა (-0,75) დაახლოებით ნახატზე შეგიძლიათ იხილოთ კუთხის პროტრატორით გაზომვით. რკალის კოსინუსის სავარაუდო მნიშვნელობები ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სპეციალური ცხრილების (ბრედის ცხრილები) ან მიკროკალკულატორის გამოყენებით. მაგალითად, arccos-ის მნიშვნელობა (-0.75) შეიძლება გამოითვალოს მიკროკალკულატორზე, მიახლოებითი მნიშვნელობის მიღებით 2.4188583. ასე რომ, arccos (-0.75) ≈ 2.42. აქედან გამომდინარე, არკოები (-0,75) ≈ 139°.

პასუხი: arccos (-0,75) ≈ 139°.

ამოხსენით განტოლება (4cos x - 1)(2cos 2x + 1) = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 4cos x - 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n ∈ Z.

უპასუხე. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნებისმიერი € [-1; 1] ფორმულა arccos (-a) = π - arccos a (3) მოქმედებს.

ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ უარყოფითი რიცხვების ინვერსიული კოსინუსების მნიშვნელობები დადებითი რიცხვების ინვერსიული კოსინუსების მნიშვნელობებით. Მაგალითად:

arccos (-1/2) \u003d π - arccos 1/2 \u003d π - π / 3 \u003d 2π / 3;

arccos (-√2/2) = π - arccos √2/2 = π - π/4 = 3π/4

(2) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ განტოლების ფესვები, cos x \u003d a a \u003d 0-სთვის, a \u003d 1 და a \u003d -1 შეგიძლიათ იპოვოთ უფრო მარტივი ფორმულების გამოყენებით:

cos x \u003d 0 x \u003d π / 2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x \u003d -1 x \u003d π + 2πn, n € Z (6).

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ეს სტატია შეგროვდა სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილები. პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილს, ანუ 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს. 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πრადიანი). ამის შემდეგ ჩვენ მივცემთ სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილს, ასევე V.M. Bradis-ის ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს და ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს ცხრილები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილი 0, 30, 45, 60, 90, ... გრადუსი კუთხეებისთვის

ბიბლიოგრაფია.

Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
ბრედის V.M.ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები: ზოგადი განათლებისთვის. სახელმძღვანელო დაწესებულებები. - მე-2 გამოცემა. - M.: Bustard, 1999.- 96გვ.: ავად. ISBN 5-7107-2667-2

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი დაეწევა კუს. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან მოძრაობის ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის მაინც გჭირდებათ დამატებითი მონაცემები, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ). კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მულტისეტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. ჩვენ ავხსნით მათემატიკას, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაამტკიცებს, რომ ნაკრები იდენტური ელემენტების გარეშე არ არის ტოლი სიმრავლის იდენტური ელემენტებით. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობის პოვნა მეტრებში და სანტიმეტრებში მოგცემთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს არის მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებული ზომის ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

ნებისმიერი დონის სირთულის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა საბოლოოდ მთავრდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნამდე. და ამაში ტრიგონომეტრიული წრე ისევ საუკეთესო დამხმარე აღმოჩნდება.

გაიხსენეთ კოსინუსის და სინუსის განმარტებები.

კუთხის კოსინუსი არის აბსცისა (ანუ კოორდინატი ღერძის გასწვრივ) წერტილის ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება მოცემული კუთხით ბრუნვას.

კუთხის სინუსი არის წერტილის ორდინატი (ანუ კოორდინატი ღერძის გასწვრივ) ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება მოცემული კუთხით ბრუნვას.

ტრიგონომეტრიული წრის გასწვრივ მოძრაობის დადებითი მიმართულება ითვლება მოძრაობის საწინააღმდეგოდ. 0 გრადუსიანი ბრუნვა (ან 0 რადიანი) შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით (1; 0)

ჩვენ ვიყენებთ ამ განმარტებებს უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად.

1. ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება კმაყოფილდება ბრუნვის კუთხის ყველა ისეთი მნიშვნელობით, რომელიც შეესაბამება წრის წერტილებს, რომელთა ორდინატი უდრის.

y-ღერძზე ორდინატით ავღნიშნოთ წერტილი:

დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი x ღერძის პარალელურად, სანამ ის არ გადაიკვეთება წრეზე. ჩვენ მივიღებთ ორ ქულას წრეზე დაწოლა და ორდინატი. ეს წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებს:

თუ რადიანზე ბრუნის კუთხის შესაბამისი წერტილი დავტოვეთ, შემოვბრუნდებით სრულ წრეზე, მაშინ მივალთ წერტილამდე, რომელიც შეესაბამება რადიანზე ბრუნის კუთხით და აქვს იგივე ორდინატი. ანუ ბრუნვის ეს კუთხეც აკმაყოფილებს ჩვენს განტოლებას. ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ იმდენი "უსაქმური" შემობრუნება, რამდენიც გვინდა, დავუბრუნდეთ იმავე წერტილს და ყველა ეს კუთხის მნიშვნელობა დააკმაყოფილებს ჩვენს განტოლებას. „უსაქმური“ რევოლუციების რაოდენობა აღინიშნება ასოთი (ან). ვინაიდან ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ეს რევოლუციები როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მიმართულებით, (ან ) შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

ანუ, საწყისი განტოლების ამონახსნების პირველ სერიას აქვს ფორმა:

, , - მთელი რიცხვების სიმრავლე (1)

ანალოგიურად, გადაწყვეტილებების მეორე სერიას აქვს ფორმა:

, სად , . (2)

როგორც მიხვდით, ამონახსნების ეს სერია ეფუძნება წრის წერტილს, რომელიც შეესაბამება ბრუნვის კუთხეს .

გადაწყვეტილებების ეს ორი სერია შეიძლება გაერთიანდეს ერთ ჩანაწერში:

თუ ავიღებთ ამ ჩანაწერს (ანუ ლუწი), მაშინ მივიღებთ გადაწყვეტილებების პირველ სერიას.

თუ ავიღებთ ამ ჩანაწერს (ანუ კენტს), მაშინ მივიღებთ ამონახსნების მეორე სერიას.

2. ახლა მოდით ამოვხსნათ განტოლება

ვინაიდან ერთეული წრის წერტილის აბსციზა მიღებულია კუთხით შემობრუნებით, ღერძზე აბსცისით აღვნიშნავთ წერტილს:

დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი ღერძის პარალელურად, სანამ არ გადაიკვეთება წრეზე. ჩვენ მივიღებთ ორ ქულას წრეზე დაწოლილი და აბსცისის მქონე. ეს წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებს. შეგახსენებთ, რომ საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობისას ვიღებთ ბრუნვის უარყოფით კუთხეს:

ჩვენ ვწერთ გადაწყვეტილებების ორ სერიას:

(სწორ წერტილამდე მივდივართ მთავარი სრული წრიდან გადასვლით, ანუ.

მოდით გავაერთიანოთ ეს ორი სერია ერთ პოსტში:

3. ამოხსენით განტოლება

ტანგენტების ხაზი გადის OY ღერძის პარალელურად ერთეული წრის კოორდინატებით (1,0) წერტილში.

მონიშნეთ მასზე წერტილი 1-ის ტოლი ორდინატით (ჩვენ ვეძებთ ტანგენტს, რომლის კუთხე არის 1):

შეაერთეთ ეს წერტილი საწყისთან სწორი ხაზით და მონიშნეთ წრფის გადაკვეთის წერტილები ერთეული წრით. წრფისა და წრის გადაკვეთის წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და:

ვინაიდან ბრუნვის კუთხეების შესაბამისი წერტილები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ჩვენს განტოლებას, ერთმანეთისგან რადიანებით არის დაშორებული, ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნა დავწეროთ შემდეგნაირად:

4. ამოხსენით განტოლება

კოტანგენტების ხაზი გადის ღერძის პარალელურად ერთეული წრის კოორდინატებით წერტილში.

ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილს აბსცისით -1 კოტანგენტების ხაზზე:

შეაერთეთ ეს წერტილი სწორი ხაზის საწყისთან და გააგრძელეთ სანამ არ გადაიკვეთება წრეზე. ეს ხაზი გადაკვეთს წრეს წერტილებში, რომლებიც შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებს:

ვინაიდან ეს წერტილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია ტოლი მანძილით, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნები შემდეგნაირად:

მოცემულ მაგალითებში, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის საილუსტრაციოდ, გამოყენებული იქნა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ტაბულური მნიშვნელობები.

თუმცა, თუ განტოლების მარჯვენა მხარეს არის არა-ცხრილის მნიშვნელობა, მაშინ ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას განტოლების ზოგად ამოხსნაში: