ლოკალური დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა. 0 და 1, მაშინ ამის ალბათობა P t p, რომ მოვლენა A მოხდება m-ჯერ n დამოუკიდებელ ცდაში საკმარისად დიდი რიცხვისთვის n, დაახლოებით უდრის

- გაუსის ფუნქციადა

რაც უფრო დიდია და, მით უფრო ზუსტია სავარაუდო ფორმულა (2.7), ე.წ ადგილობრივი მოივრე-ლაპლასის ფორმულით.სავარაუდო ალბათობები R TPUადგილობრივი ფორმულით (2.7) მოცემული პრაქტიკაში გამოიყენება როგორც ზუსტი პრუორი ან მეტი ათეულის რიგის, ე.ი. პირობით პრუ > 20.

ფორმულის (2.7) გამოყენებასთან დაკავშირებული გამოთვლების გასამარტივებლად, შედგენილია ფუნქციის /(x) მნიშვნელობების ცხრილი (ცხრილი I, მოცემულია დანართებში). ამ ცხრილის გამოყენებისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ f(x) ფუნქციის აშკარა თვისებები (2.8).

• 1. ფუნქცია/(X) არის თანაბარი, ე.ი. /(-x) = /(x).
• 2. ფუნქცია/(X) - მონოტონურად მცირდება დადებითი მნიშვნელობებისთვის X, და ზე x -> co /(x) -» 0.
• (პრაქტიკაში შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ თუნდაც x > 4 /(x) «0.)

[> მაგალითი 2.5. ზოგიერთ რაიონში, ყოველი 100 ოჯახიდან 80-ს აქვს მაცივარი. იპოვეთ ალბათობა, რომ 400 ოჯახიდან 300-ს აქვს მაცივარი.

გამოსავალი.ალბათობა იმისა, რომ ოჯახს აქვს მაცივარი p = 80/100 = 0.8. იმიტომ რომ პ= 100 საკმარისად დიდია (მდგომარეობა პრუ= = 100 0.8(1-0.8) = 64 > 20 დაკმაყოფილებულია), შემდეგ ვიყენებთ ადგილობრივ Moivre-Laplace-ის ფორმულას.

პირველი, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფორმულით (2.9)

შემდეგ ფორმულით (2.7)

(მნიშვნელობა /(2.50) ნაპოვნია დანართების I ცხრილიდან). ალბათობის საკმაოდ მცირე მნიშვნელობა /300400 ეჭვს არ იწვევს, რადგან მოვლენის გარდა

„400-დან ზუსტად 300 ოჯახს აქვს მაცივარი“ შესაძლებელია კიდევ 400 ღონისძიება: „400-დან 0“, „400-დან 1“,..., „400-დან 400“ საკუთარი ალბათობით. ეს მოვლენები ერთად ქმნიან სრულ ჯგუფს, რაც ნიშნავს, რომ მათი ალბათობების ჯამი უდრის ერთს. ?

მოდით, მაგალითი 2.5-ის პირობებში, უნდა ვიპოვოთ ალბათობა, რომ 300-დან 360 ოჯახს (მათ შორის) აქვს მაცივარი. ამ შემთხვევაში, მიმატების თეორემის მიხედვით, სასურველი მოვლენის ალბათობა

პრინციპში, თითოეული ტერმინი შეიძლება გამოითვალოს ადგილობრივი Moivre-Laplace ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ტერმინების დიდი რაოდენობა გამოთვლას ძალიან რთულს ხდის. ასეთ შემთხვევებში გამოიყენება შემდეგი თეორემა.

მოივრის ინტეგრალური თეორემა - ლაპლასი. თუ ყოველ ცდაში A მოვლენის დადგომის p ალბათობა მუდმივია და განსხვავდება 0 და 1, მაშინ ალბათობა, რომ A მოვლენის დადგომის m რიცხვი n დამოუკიდებელ ცდაში მდგომარეობს a და b შორის (ინკლუზიური), საკმარისად დიდი რიცხვისთვის n დაახლოებით უდრის

- ფუნქცია(ან ალბათობათა ინტეგრალი) ლაპლასი",

(თეორემის დადასტურება მოცემულია 6.5 ნაწილში.)

ფორმულა (2.10) ე.წ მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულა.Უფრო P,მით უფრო ზუსტია ფორმულა. როცა მდგომარეობა პრუ > > 20 ინტეგრალური ფორმულა (2.10), ისევე როგორც ლოკალური, იძლევა, როგორც წესი, შეცდომას ალბათობების გამოთვლაში, რაც დამაკმაყოფილებელია პრაქტიკისთვის.

ფუნქცია Φ(dg) ტაბულირებულია (იხ. დანართების II ცხრილი). ამ ცხრილის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ Ф(х) ფუნქციის თვისებები.

1. ფუნქცია f(x) უცნაური,იმათ. F(-x) = -F(x).

? შევცვალოთ ცვლადი? = -გ.მერე (k =

= -(12. ცვლადის 2-ისთვის ინტეგრაციის ლიმიტები იქნება 0 და X.მიიღეთ

ვინაიდან განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული ინტეგრაციის ცვლადის აღნიშვნაზე. ?

2. ფუნქცია Ф(х) მონოტონურად იზრდება, და x-სთვის ->+co f(.g) -> 1 (პრაქტიკაში შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ უკვე x > 4 φ(x)~ 1).

ვინაიდან ინტეგრალის წარმოებული ცვლადის ზედა ზღვართან მიმართებაში უდრის ინტეგრანდს ზედა ზღვრის მნიშვნელობისას, რ.ს.

, და ყოველთვის დადებითია, მაშინ Ф(х) მონოტონურად იზრდება

მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ.

ვაკეთებთ ცვლადის ცვლილებას, მაშინ ინტეგრაციის საზღვრები არ იცვლება და

(რადგან ლუწი ფუნქციის ინტეგრალია

Იმის გათვალისწინებით, რომ (ეილერის ინტეგრალი - პუასონი),ვიღებთ

?

O მაგალითი 2.6. მაგალითი 2.5-ის მონაცემების გამოყენებით გამოთვალეთ ალბათობა, რომ 400-დან 300-დან 360-მდე (მათ შორის) ოჯახს აქვს მაცივარი.

გამოსავალი.ვიყენებთ მოივრის - ლაპლასის ინტეგრალურ თეორემას (პრ= 64 > 20). პირველი, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფორმულებით (2.12)

ახლა, ფორმულის მიხედვით (2.10), Ф(.т) თვისებების გათვალისწინებით, ვიღებთ

(დანართების II ცხრილის მიხედვით?

განვიხილოთ მოივრის - ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის შედეგი. შედეგი. თუ ყოველ ცდაში A მოვლენის დადგომის p ალბათობა მუდმივია და განსხვავდება 0 და მე, მაშინ საკმარისად დიდი რაოდენობის n დამოუკიდებელი ცდისთვის, ალბათობა იმისა, რომ:

ა) A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა m განსხვავდება pr პროდუქტისგან არაუმეტეს e > 0 (აბსოლუტური მნიშვნელობით),იმათ.

ბ) T/n მოვლენის A სიხშირე დევს შიგნითა-დან რ-მდე ( მათ შორის- პატივისცემით, ე.ი.

in) A მოვლენის სიხშირე განსხვავდება მისი p ალბათობისგან არაუმეტეს A > 0 (აბსოლუტური მნიშვნელობით), ე.ი.

ა) უტოლობა |/?7-7?/?| ორმაგი უტოლობის ტოლფასია pr-e ამიტომ, ინტეგრალური ფორმულით (2.10)

• ბ) უთანასწორობა და უდრის უტოლობას და ზე a = paდა ბ= /?r. (2.10), (2.12) რაოდენობების ფორმულებში ჩანაცვლება ადა ბმიღებული გამონათქვამები, ვიღებთ დასამტკიცებელ ფორმულებს (2.14) და (2.15).
• გ) უთანასწორობა mjn-p უტოლობის ტოლია t-pr ჩანაცვლება ფორმულაში (2.13) r = აპ,ვიღებთ დასამტკიცებელ ფორმულას (2.16). ?

[> მაგალითი 2.7. მაგალითი 2.5-ის მონაცემების გამოყენებით გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ 400 ოჯახიდან 280-დან 360-მდე ოჯახს აქვს მაცივარი.

გამოსავალი.გამოთვალეთ ალბათობა Р 400 (280 t pr \u003d 320. შემდეგ ფორმულის მიხედვით (2.13)

[> მაგალითი 2.8. სტატისტიკის მიხედვით, ახალშობილთა საშუალოდ 87% 50 წლამდე ცოცხლობს.

• 1. იპოვეთ ალბათობა, რომ 1000 ახალშობილიდან 50 წლამდე გადარჩენილთა პროპორცია (სიხშირე) იქნება: ა) 0,9-დან 0,95-მდე დიაპაზონში; ბ) ამ მოვლენის ალბათობიდან განსხვავდება არაუმეტეს 0,04-ით (მაგრამ აბსოლუტური მნიშვნელობით).
• 2. 0,95 სანდოობის ახალშობილთა რა რაოდენობაზე იქნება 50 წლამდე გადარჩენილთა წილი 0,86-დან 0,88-მდე?

გამოსავალი. 1ა) ალბათობა რრომ ახალშობილი იცოცხლებს 50 წლამდე არის 0,87. იმიტომ რომ პ= 1000 დიდი (მდგომარეობა პრდ=1000 0.87 0.13 = 113.1 > 20 კმაყოფილი), შემდეგ ვიყენებთ მოივრის - ლაპლასის ინტეგრალური თეორემის დასკვნას. პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფორმულებით (2.15)

ახლა ფორმულის მიხედვით (2.14)

1, ბ) ფორმულით (2.16)

რადგან უთანასწორობა უდრის უტოლობას

მიღებული შედეგი ნიშნავს, რომ პრაქტიკულად დარწმუნებულია, რომ 1000 ახალშობილთა რიცხვიდან 0,83-დან 0,91-მდე იცოცხლებს 50 წლამდე. ?

2. პირობით ან

ფორმულის მიხედვით (2.16) A = 0.01-ზე

ცხრილის მიხედვით II განაცხადები F(G) = 0,95 G = 1,96, შესაბამისად,

სადაც

იმათ. მდგომარეობა (*) შეიძლება გარანტირებული იყოს ახალშობილთა რაოდენობის მნიშვნელოვანი ზრდით პ = 4345. ?

• თეორემის დადასტურება მოცემულია 6.5 ნაწილში. pr, prs( რაოდენობების სავარაუდო მნიშვნელობა დადგენილია პუნქტში 4.1 (იხ. შენიშვნა გვ. 130).
• pf/n მნიშვნელობის სავარაუდო მნიშვნელობა დადგენილია 4.1 პუნქტში.

სითხის ამოზნექილი ზედაპირის ქვეშ ზეწოლა უფრო დიდია ვიდრე სითხის ბრტყელი ზედაპირის ქვეშ მყოფი წნევა, ხოლო სითხის ჩაზნექილი ზედაპირის ქვეშ წნევა ნაკლებია ვიდრე წნევა ბრტყელ ზედაპირზე.

წნევის გაანგარიშება სითხის სფერული ზედაპირის ქვეშ

ეს არის წყლის თხელი ფენა, რომელსაც აქვს ორი შემზღუდავი ზედაპირი: შიდა და გარე. ამ ზედაპირების გამრუდების რადიუსი შეიძლება ჩაითვალოს ერთნაირად, რადგან ფირის სისქე ათასობითჯერ ნაკლებია ბუშტის რადიუსზე. ამ ფენიდან წყალი თანდათან იშლება, ფენა თხელდება და ბოლოს იშლება. ასე რომ, ბუშტები წყალზე დიდხანს არ ცურავს: წამის ნაწილებიდან ათ წამამდე. უნდა აღინიშნოს, რომ წყლის ფილმი თხელი ხდება, ბუშტის ზომა პრაქტიკულად არ იცვლება.

მოდით გამოვთვალოთ ჭარბი წნევა ასეთ ბუშტში. სიმარტივისთვის განვიხილოთ რადიუსის r ნახევარსფეროს ერთშრიანი ნახევარსფერო, რომელიც მდებარეობს ჰორიზონტალურ ზედაპირზე, ასევე ვივარაუდებთ, რომ გარეთ ჰაერი არ არის. დამსველების გამო ფილმი იჭერს დაჩრდილულ ზედაპირზე (ნახ. 2.3). ამ შემთხვევაში, ზედაპირთან კონტაქტის საზღვრის გასწვრივ, ზედაპირული დაძაბულობის ძალა ტოლია

სად არის სითხის ზედაპირული დაძაბულობის კოეფიციენტი,

ფირის ზედაპირის ინტერფეისის სიგრძე უდრის .

ანუ გვაქვს:

.

ეს ძალა, რომელიც მოქმედებს ფილმზე და მისი მეშვეობით ჰაერზე, მიმართულია ზედაპირის პერპენდიკულურად (იხ. სურ. 2.3). ასე რომ, ჰაერის წნევა ზედაპირზე და, შესაბამისად, ბუშტის შიგნით შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

სადაც F არის ზედაპირული დაძაბულობის ძალა ტოლი,

S - ზედაპირის ფართობი: .

F ძალისა და S ფართობის მნიშვნელობის ჩანაცვლებით წნევის გამოთვლის ფორმულაში მივიღებთ:

და ბოლოს.

ჩვენს მაგალითში წყლის ზედაპირზე ჰაერის ბუშტით, ფილმი ორმაგია და, შესაბამისად, ჭარბი წნევა არის .

ნახაზი 2.4 გვიჩვენებს ერთშრიანი სფერული ზედაპირების მაგალითებს, რომლებიც შეიძლება წარმოიქმნას სითხის ზედაპირზე. სითხის ზემოთ არის გაზი, რომელსაც აქვს წნევა.

კაპილარულობა (ლათინური capillaris - თმა), კაპილარული ეფექტი - ფიზიკური ფენომენი, რომელიც შედგება სითხეების უნარში შეცვალონ დონე მილებში, თვითნებური ფორმის ვიწრო არხებით, ფოროვანი სხეულებით. სითხის აწევა ხდება მაშინ, როდესაც არხები სველდება სითხებით, მაგალითად, წყალი შუშის მილებში, ქვიშაში, ნიადაგში და ა.შ. მინის მილი.

კაპილარობის საფუძველზე ემყარება ცხოველებისა და მცენარეების სასიცოცხლო აქტივობა, ქიმიური ტექნოლოგიები და ყოველდღიური მოვლენები (მაგალითად, ნავთის აწევა ნავთის გასწვრივ ნავთის ნათურაში, ხელების გაწმენდა პირსახოცით). ნიადაგის კაპილარულობა განისაზღვრება ნიადაგში წყლის აწევის სიჩქარით და დამოკიდებულია ნიადაგის ნაწილაკებს შორის არსებული ხარვეზების ზომაზე.

ლაპლასის ფორმულა

განვიხილოთ თხელი თხევადი ფილმი, რომლის სისქე შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს. მისი თავისუფალი ენერგიის მინიმუმამდე შემცირების მცდელობისას ფილმი ქმნის წნევის განსხვავებას სხვადასხვა მხრიდან. ეს ხსნის საპნის ბუშტების არსებობას: ფილმი შეკუმშულია მანამ, სანამ ბუშტის შიგნით წნევა გადააჭარბებს ატმოსფერულ წნევას ფილმის დამატებითი წნევის მნიშვნელობით. ზედაპირის წერტილში დამატებითი წნევა დამოკიდებულია ამ წერტილში არსებულ საშუალო გამრუდებაზე და მოცემულია ლაპლასის ფორმულით:

აქ R 1,2 არის ძირითადი გამრუდების რადიუსი წერტილში. მათ აქვთ ერთი და იგივე ნიშანი, თუ გამრუდების შესაბამისი ცენტრები დევს წერტილში ტანგენტური სიბრტყის ერთსა და იმავე მხარეს, და აქვთ განსხვავებული ნიშანი, თუ ისინი მოპირდაპირე მხარეს არიან. მაგალითად, სფეროსთვის, ზედაპირის ნებისმიერ წერტილში გამრუდების ცენტრები ემთხვევა სფეროს ცენტრს, ასე რომ.

R რადიუსის წრიული ცილინდრის ზედაპირის შემთხვევაში გვაქვს

ცნობილია, რომ ჭურჭლის კედლებთან სითხის ზედაპირი მრუდია. ჭურჭლის კედლებთან მრუდი სითხის თავისუფალ ზედაპირს მენისკი ეწოდება.(სურ. 145).

განვიხილოთ თხელი თხევადი ფილმი, რომლის სისქე შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს. მისი თავისუფალი ენერგიის მინიმუმამდე შემცირების მცდელობისას ფილმი ქმნის წნევის განსხვავებას სხვადასხვა მხრიდან. თხევადი წვეთებში და საპნის ბუშტებში ზედაპირული დაძაბულობის ძალების მოქმედების გამო, დამატებითი წნევა(ფილი შეკუმშულია მანამ, სანამ ბუშტის შიგნით წნევა არ აღემატება ატმოსფერულ წნევას ფილმის დამატებითი წნევის მნიშვნელობით).

ბრინჯი. 146.

განვიხილოთ სითხის ზედაპირი, რომელიც ეყრდნობა გარკვეულ ბრტყელ კონტურს (ნახ. 146, ა). თუ სითხის ზედაპირი არ არის ბრტყელი, მაშინ მისი შეკუმშვის ტენდენცია და გამოიწვევს წნევის გამოჩენას, რაც დამატებით განიცდის ბრტყელი ზედაპირის მქონე სითხეს. ამოზნექილი ზედაპირის შემთხვევაში, ეს დამატებითი წნევა დადებითია (ნახ. 146, ბ), ჩაზნექილი ზედაპირის შემთხვევაში - უარყოფითად (სურ. 146, in). ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, ზედაპირის ფენა, რომელიც ცდილობს შეკუმშვას, ჭიმავს სითხეს.

დამატებითი წნევის სიდიდე, ცხადია, უნდა გაიზარდოს ზედაპირული დაძაბულობის კოეფიციენტისა და ზედაპირის გამრუდების მატებასთან ერთად.

ბრინჯი. 147.

მოდით გამოვთვალოთ დამატებითი წნევა სითხის სფერული ზედაპირისთვის. ამისთვის გონებრივად დავჭრათ სითხის სფერული წვეთი დიამეტრული სიბრტყით ორ ნახევარსფეროდ (სურ. 147). ზედაპირული დაძაბულობის გამო ორივე ნახევარსფერო ერთმანეთს იზიდავს ტოლი ძალით:

.

ეს ძალა აჭერს ორივე ნახევარსფეროს ერთმანეთს ზედაპირის გასწვრივ და, შესაბამისად, იწვევს დამატებით წნევას:

სფერული ზედაპირის გამრუდება ყველგან ერთნაირია და განისაზღვრება სფეროს რადიუსით. ცხადია, რაც უფრო პატარაა, მით მეტია სფერული ზედაპირის გამრუდება.

საპნის ბუშტის შიგნით ჭარბი წნევა ორჯერ მეტია, რადგან ფილმს ორი ზედაპირი აქვს:

დამატებითი წნევა იწვევს ვიწრო მილებში (კაპილარებში) სითხის დონის ცვლილებას, რის შედეგადაც მას ზოგჯერ ე.წ. კაპილარული წნევა.

თვითნებური ზედაპირის გამრუდება ჩვეულებრივ ხასიათდება ეგრეთ წოდებული საშუალო გამრუდებით, რომელიც შეიძლება განსხვავებული იყოს ზედაპირის სხვადასხვა წერტილში.

მნიშვნელობა იძლევა სფეროს გამრუდებას. გეომეტრიაში დადასტურდა, რომ მრუდის საპირისპირო რადიუსების ნახევრად ჯამს ნებისმიერი ორმხრივი პერპენდიკულარული ნორმალური მონაკვეთისთვის აქვს იგივე მნიშვნელობა:

. (1)

ეს მნიშვნელობა არის ზედაპირის საშუალო გამრუდება მოცემულ წერტილში. ამ ფორმულაში რადიუსი არის ალგებრული სიდიდეები. თუ ნორმალური მონაკვეთის გამრუდების ცენტრი მოცემული ზედაპირის ქვემოთაა, გამრუდების შესაბამისი რადიუსი დადებითია; თუ გამრუდების ცენტრი ზედაპირის ზემოთ დევს, გამრუდების რადიუსი უარყოფითია (სურ. 148).

ბრინჯი. 148.

ამრიგად, არაგეგმურ ზედაპირს შეიძლება ჰქონდეს საშუალო სიმრუდე ნულის ტოლი. ამისათვის აუცილებელია, რომ გამრუდების რადიუსი იყოს იგივე სიდიდით და საპირისპირო ნიშნით.

მაგალითად, სფეროსთვის, ზედაპირის ნებისმიერ წერტილში გამრუდების ცენტრები ემთხვევა სფეროს ცენტრს და, შესაბამისად, . რადიუსის წრიული ცილინდრის ზედაპირის შემთხვევაში გვაქვს: , და .

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნებისმიერი ფორმის ზედაპირისთვის მიმართება მართალია:

გამონათქვამის (1) ჩანაცვლებით (2) ფორმულით, ჩვენ ვიღებთ დამატებითი წნევის ფორმულას თვითნებურ ზედაპირზე, ე.წ ლაპლასის ფორმულა(სურ. 148):

. (3)

რადიუსი და ფორმულაში (3) არის ალგებრული სიდიდეები. თუ ნორმალური მონაკვეთის გამრუდების ცენტრი მოცემული ზედაპირის ქვემოთაა, გამრუდების შესაბამისი რადიუსი დადებითია; თუ გამრუდების ცენტრი ზედაპირზე მაღლა დგას, გამრუდების რადიუსი უარყოფითია.

მაგალითი.თუ სითხეში არის გაზის ბუშტი, მაშინ ბუშტის ზედაპირი, რომელიც ცდილობს შეკუმშვას, მოახდენს დამატებით წნევას გაზზე. . მოდით ვიპოვოთ წყალში ბუშტის რადიუსი, რომელშიც დამატებითი წნევა არის 1 ბანკომატი. .წყლის ზედაპირული დაძაბულობის კოეფიციენტი ტოლია . ამრიგად, შემდეგი მნიშვნელობისთვის მიიღება: .

საკმარისად დიდისთვის, ბერნულის ფორმულა იძლევა რთულ გამოთვლებს. ამიტომ ასეთ შემთხვევებში გამოიყენება ლოპლასის თეორემა.

თეორემა(ადგილობრივი ლაპლასის თეორემა). თუ A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ საცდელში მუდმივია და განსხვავდება 0-დან და 1-დან, მაშინ ალბათობა
ის ფაქტი, რომ მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტად k-ჯერ n დამოუკიდებელ ცდაში, დაახლოებით უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას:

,

.

არის ცხრილები, რომლებიც შეიცავს ფუნქციის მნიშვნელობებს
x-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია
თუნდაც.

ასე რომ, ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტად k-ჯერ n ცდაში დაახლოებით ტოლია

, სად
.

მაგალითი.საცდელ მინდორზე დათესეს 1500 თესლი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ნერგები აწარმოებენ 1200 თესლს, თუ თესლის აღმოცენების ალბათობა არის 0,9.

გამოსავალი.

ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა

ალბათობა იმისა, რომ n დამოუკიდებელ ცდაში A მოვლენა მოხდეს მინიმუმ k1-ჯერ და მაქსიმუმ k2-ჯერ, გამოითვლება ლაპლასის ინტეგრალური თეორემით.

თეორემა(ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა). თუ a მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ საცდელში მუდმივია და განსხვავდება 0-დან და 1-დან, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A n ცდაში გამოჩნდება მინიმუმ k 1-ჯერ და მაქსიმუმ k 2-ჯერ, დაახლოებით უდრის მნიშვნელობას. გარკვეული ინტეგრალი:

.

ფუნქცია
ეწოდება ლაპლასის ინტეგრალურ ფუნქციას, ის კენტია და მისი მნიშვნელობა მოცემულია ცხრილში x-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითი.ლაბორატორიაში 90%-იანი გაღივების მქონე თესლის პარტიიდან დათესეს 600 ცალი თესლი, რომელიც ამოვარდა, არანაკლებ 520 და არაუმეტეს 570.

გამოსავალი.

პუასონის ფორმულა

მოდით ჩატარდეს n დამოუკიდებელი ცდა, A მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ცდაში მუდმივია და ტოლია p. როგორც უკვე ვთქვით, A მოვლენის დადგომის ალბათობა n დამოუკიდებელ ცდაში ზუსტად k-ჯერ შეიძლება ვიპოვოთ ბერნულის ფორმულის გამოყენებით. საკმარისად დიდი n-სთვის გამოიყენება ლაპლასის ლოკალური თეორემა. თუმცა, ეს ფორმულა შეუფერებელია, როდესაც ყოველ საცდელში მოვლენის მოვლენის ალბათობა მცირეა ან 1-თან ახლოს. და როცა p=0 ან p=1, ეს საერთოდ არ გამოიყენება. ასეთ შემთხვევებში გამოიყენება პუასონის თეორემა.

თეორემა(პუასონის თეორემა). თუ ყოველ საცდელში A მოვლენის დადგომის p ალბათობა მუდმივია და ახლოს არის 0-სთან ან 1-თან და ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ n დამოუკიდებელ ცდაში A მოვლენა ზუსტად k-ჯერ მოხდეს, იპოვება ფორმულა:

.

მაგალითი. 1000 გვერდიანი საბეჭდი ხელნაწერი შეიცავს 1000 ტიპოგრაფიულ შეცდომას. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული გვერდი შეიცავს მინიმუმ ერთ შეცდომას.

გამოსავალი.

კითხვებიამისთვის საკუთარი თავის გამოცდა

ჩამოაყალიბეთ მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტება.

ჩამოაყალიბეთ ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემები.

განსაზღვრეთ მოვლენების სრული ჯგუფი.

ჩაწერეთ საერთო ალბათობის ფორმულა.

ჩაწერეთ ბეისის ფორმულა.

ჩამოწერეთ ბერნულის ფორმულა.

ჩამოწერეთ პუასონის ფორმულა.

ჩაწერეთ ადგილობრივი ლაპლასის ფორმულა.

ჩამოწერეთ ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულა.

თემა 13. შემთხვევითი ცვლადი და მისი რიცხვითი მახასიათებლები

ლიტერატურა: ,,,,,.

ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია არის შემთხვევითი ცვლადის კონცეფცია. ასე რომ, ჩვეულებრივად არის გამოძახებული ცვლადი, რომელიც იღებს მის მნიშვნელობებს შემთხვევის მიხედვით. არსებობს ორი ტიპის შემთხვევითი ცვლადი: დისკრეტული და უწყვეტი. შემთხვევითი ცვლადები ჩვეულებრივ აღინიშნება X,Y,Z.

შემთხვევითი X ცვლადი ეწოდება უწყვეტი (დისკრეტული), თუ მას შეუძლია მიიღოს მხოლოდ სასრული ან თვლადი რაოდენობის მნიშვნელობები. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X განისაზღვრება, თუ მოცემულია მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობა x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (რომელთა რიცხვი შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო) და შესაბამისი ალბათობები p 1 , p 2 , p 3 ,… p n.

დისკრეტული შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების კანონი ჩვეულებრივ მოცემულია ცხრილით:

პირველი ხაზი შეიცავს X შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებს, ხოლო მეორე ხაზი შეიცავს ამ მნიშვნელობების ალბათობას. ალბათობათა ჯამი, რომლითაც შემთხვევითი ცვლადი X იღებს მის ყველა მნიშვნელობას, უდრის ერთს, ანუ

p 1 + p 2 + p 3 + ... + p n \u003d 1.

დისკრეტული შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი გრაფიკულად. ამისათვის წერტილები M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) აგებულია მართკუთხა ფორმაში. კოორდინატთა სისტემა და დააკავშირეთ ისინი პირდაპირ სეგმენტებთან. მიღებულ ფიგურას ეწოდება X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მრავალკუთხედი.

მაგალითი.დისკრეტული მნიშვნელობა X მოცემულია შემდეგი განაწილების კანონით:

საჭიროა გამოვთვალოთ: ა) მათემატიკური მოლოდინი M(X), ბ) ვარიაცია D(X), გ) სტანდარტული გადახრა σ.

გამოსავალი . ა) M(X) მათემატიკური მოლოდინი, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X არის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის წყვილ-წყვილ პროდუქტთა ჯამი და ამ შესაძლო მნიშვნელობების შესაბამისი ალბათობები. თუ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია ცხრილის (1) გამოყენებით, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი M(X) გამოითვლება ფორმულით.

М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

მათემატიკურ მოლოდინს M(X) ასევე უწოდებენ X შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობას. (2) გამოყენებით მივიღებთ:

М(Х)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

ბ) თუ M(X) არის X შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი, მაშინ განსხვავება X-M(X) ე.წ. გადახრაშემთხვევითი ცვლადი X საშუალო მნიშვნელობიდან. ეს განსხვავება ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის გაფანტვას.

დისპერსიადისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის X (გაფანტვა) არის შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი (საშუალო მნიშვნელობა) მათემატიკური მოლოდინისაგან. ამრიგად, განმარტებით, ჩვენ გვაქვს:

D(X)=M 2 . (3)

ჩვენ ვიანგარიშებთ გადახრის კვადრატის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

D(X) დისპერსიის გამოსათვლელად, ჩვენ ვადგენთ კვადრატული გადახრის განაწილების კანონს და შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას (2).

D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.

უნდა აღინიშნოს, რომ დისპერსიის გამოსათვლელად ხშირად გამოიყენება შემდეგი თვისება: ვარიაცია D(X) უდრის სხვაობას X შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის მათემატიკურ მოლოდინსა და მის მათემატიკური მოლოდინის კვადრატს შორის, ე.ი.

D(X)-M(X 2)- 2 . (ოთხი)

დისპერსიის გამოსათვლელად (4) ფორმულით, ჩვენ ვადგენთ X 2 შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონს:

ახლა ვიპოვოთ მათემატიკური მოლოდინი M(X 2).

М(Х 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

(4) გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ:

D(X)=2931.2-(54) 2=2931.2-2916=15.2.

როგორც ხედავთ, იგივე შედეგი მივიღეთ.

გ) დისპერსიის განზომილება უდრის შემთხვევითი ცვლადის განზომილების კვადრატს. ამიტომ, შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების დისპერსიის დასახასიათებლად მისი საშუალო მნიშვნელობის ირგვლივ, უფრო მოსახერხებელია განიხილოს მნიშვნელობა, რომელიც უდრის დისპერსიის კვადრატული ფესვის არითმეტიკულ მნიშვნელობას, ე.ი.
. ამ მნიშვნელობას ეწოდება X შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა და აღინიშნება σ-ით. Ამგვარად

σ=
. (5)

(5) გამოყენებით გვაქვს: σ=
.

მაგალითი.შემთხვევითი ცვლადი X ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით. მათემატიკური მოლოდინი М(Х)=5; ვარიაცია D(X)=0.64. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ტესტის შედეგად X მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალში (4; 7).

გამოსავალიცნობილია, რომ თუ შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია f(x) დიფერენციალური ფუნქციით, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ X იღებს მნიშვნელობას, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს (α,β) გამოითვლება ფორმულით.

. (1)

თუ მნიშვნელობა X ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით, მაშინ დიფერენციალური ფუნქცია

,

სადაც ა=M(X) და σ=
. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ (1)

. (2)

ფორმულა (2) შეიძლება გარდაიქმნას ლაპლასის ფუნქციის გამოყენებით.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. დაე
. მერე
ან dx=σ∙ dt.

შესაბამისად
, სადაც t 1 და t 2 არის t ცვლადის შესაბამისი ლიმიტები.

შემცირება σ-ით გვაქვს

შეყვანის ჩანაცვლებიდან
ამას მოჰყვება
და
.

Ამგვარად,

(3)

პრობლემის პირობის მიხედვით გვაქვს: a=5; σ=
=0.8; α=4; β=7. ამ მონაცემების (3) ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

=F(2.5)-F(-1.25)=

\u003d F (2.5) + F (1.25) \u003d 0.4938 + 0.3944 \u003d 0.8882.

მაგალითი.ითვლება, რომ წარმოებული ნაწილების სიგრძის გადახრა სტანდარტიდან არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით. სტანდარტული სიგრძე (მოლოდინი) a = 40 სმ, სტანდარტული გადახრა σ = 0,4 სმ იპოვეთ ალბათობა, რომ სიგრძის გადახრა სტანდარტიდან იქნება არაუმეტეს 0,6 სმ აბსოლუტური მნიშვნელობა.

გამოსავალი.თუ X არის ნაწილის სიგრძე, მაშინ ამოცანის პირობის მიხედვით ეს მნიშვნელობა უნდა იყოს ინტერვალში (a-δ, a + δ), სადაც a=40 და δ=0.6.

ფორმულაში ჩასვით (3) α= a-δ და β= a+δ, მივიღებთ

. (4)

არსებული მონაცემების (4) ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ამიტომ, ალბათობა იმისა, რომ წარმოებული ნაწილების სიგრძე იქნება 39,4-დან 40,6 სმ-მდე, არის 0,8664.

მაგალითი.ქარხნის მიერ წარმოებული ნაწილების დიამეტრი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ნაწილდება ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით. სტანდარტული დიამეტრის სიგრძე a=2.5სმ, სტანდარტული გადახრა σ=0.01. რა საზღვრებში შეიძლება გარანტირებული იყოს ამ ნაწილის დიამეტრის სიგრძის პრაქტიკულად გარანტია, თუ მოვლენა 0,9973 ალბათობით მივიღეთ საიმედოდ?

გამოსავალი.პრობლემის პირობით გვაქვს:

a=2,5; σ=0.01; .

ფორმულის გამოყენებით (4) მივიღებთ ტოლობას:

ან
.

მე-2 ცხრილის მიხედვით ვხვდებით, რომ ლაპლასის ფუნქციას აქვს ასეთი მნიშვნელობა x=3. შესაბამისად,
; საიდანაც σ=0.03.

ამრიგად, შეიძლება გარანტირებული იყოს, რომ დიამეტრის სიგრძე მერყეობს 2.47-დან 2.53 სმ-მდე.

განვიხილოთ სითხის ზედაპირი, რომელიც ეყრდნობა გარკვეულ ბრტყელ კონტურს. თუ სითხის ზედაპირი არ არის ბრტყელი, მაშინ მისი შეკუმშვის ტენდენცია გამოიწვევს წნევის გამოჩენას, რაც დამატებით განიცდის ბრტყელი ზედაპირის მქონე სითხეს. ამოზნექილი ზედაპირის შემთხვევაში ეს დამატებითი წნევა დადებითია, ჩაზნექილი ზედაპირის შემთხვევაში – უარყოფითი. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, ზედაპირის ფენა, რომელიც ცდილობს შეკუმშვას, ჭიმავს სითხეს. მუშაობა მოსკოვის HR ჩანაწერების მენეჯმენტის კურსის მასწავლებლად.

დამატებითი წნევის სიდიდე, ცხადია, უნდა გაიზარდოს ზედაპირული დაძაბულობის კოეფიციენტის α და ზედაპირის გამრუდების მატებასთან ერთად. მოდით გამოვთვალოთ დამატებითი წნევა სითხის სფერული ზედაპირისთვის. ამისათვის ჩვენ ვჭრით სფერულ სითხის წვეთს დიამეტრული სიბრტყით ორ ნახევარსფეროში (სურ. 5).

სფერული სითხის წვეთოვანი კვეთა.

ზედაპირული დაძაბულობის გამო ორივე ნახევარსფერო ერთმანეთს იზიდავს ტოლი ძალით:

ეს ძალა აჭერს ორივე ნახევარსფეროს ერთმანეთს S=πR2 ზედაპირის გასწვრივ და, შესაბამისად, იწვევს დამატებით წნევას:

∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)

სფერული ზედაპირის გამრუდება ყველგან ერთნაირია და განისაზღვრება R სფეროს რადიუსით. ცხადია, რაც უფრო მცირეა R, მით მეტია სფერული ზედაპირის გამრუდება. თვითნებური ზედაპირის გამრუდება ჩვეულებრივ ხასიათდება ეგრეთ წოდებული საშუალო გამრუდებით, რომელიც შეიძლება განსხვავებული იყოს ზედაპირის სხვადასხვა წერტილში.

საშუალო გამრუდება განისაზღვრება ნორმალური მონაკვეთების მრუდის მეშვეობით. ზედაპირის ნორმალური მონაკვეთი რაღაც მომენტში არის ამ ზედაპირის გადაკვეთის ხაზი იმ სიბრტყით, რომელიც გადის ნორმალურიდან ზედაპირზე განსახილველ წერტილში. სფეროსთვის ნებისმიერი ნორმალური მონაკვეთი არის R რადიუსის წრე (R არის სფეროს რადიუსი). მნიშვნელობა H=1/R იძლევა სფეროს გამრუდებას. ზოგადად, ერთსა და იმავე წერტილში გავლებულ სხვადასხვა მონაკვეთს განსხვავებული გამრუდება აქვს. გეომეტრიაში დადასტურებულია, რომ გამრუდების ორმხრივი რადიუსების ნახევარი ჯამი

H=0.5 (1/R1+1/R2) (5)

ნებისმიერი წყვილი ორმხრივად პერპენდიკულარული ნორმალური მონაკვეთისთვის აქვს იგივე მნიშვნელობა. ეს მნიშვნელობა არის ზედაპირის საშუალო გამრუდება მოცემულ წერტილში.

რადიუსი R1 და R2 ფორმულაში (5) არის ალგებრული სიდიდეები. თუ ნორმალური მონაკვეთის გამრუდების ცენტრი მოცემული ზედაპირის ქვემოთაა, მრუდის შესაბამისი რადიუსი დადებითია, თუ გამრუდის ცენტრი ზედაპირის ზემოთ დგას, გამრუდის რადიუსი უარყოფითია.

სფეროსთვის R1=R2=R, ასე რომ (5) H=1/R-ის მიხედვით. ჩანაცვლებით 1/R-დან H-მდე (4), მივიღებთ ამას

ლაპლასმა დაამტკიცა, რომ ფორმულა (6) მოქმედებს ნებისმიერი ფორმის ზედაპირისთვის, თუ H-ში ვგულისხმობთ ზედაპირის საშუალო გამრუდებას ამ წერტილში, რომლის მიხედვითაც განისაზღვრება დამატებითი წნევა. გამოთქმის (5) საშუალო მრუდის (6) ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას დამატებითი წნევისთვის თვითნებურ ზედაპირზე:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

მას ლაპლასის ფორმულა ეწოდება.

დამატებითი წნევა (7) იწვევს კაპილარში სითხის დონის ცვლილებას, რის შედეგადაც მას ზოგჯერ კაპილარულ წნევას უწოდებენ.

კონტაქტის კუთხის არსებობა იწვევს ჭურჭლის კედლებთან თხევადი ზედაპირის გამრუდებას. კაპილარში ან ორ კედელს შორის ვიწრო უფსკრულით, მთელი ზედაპირი მოხრილია. თუ სითხე კედლებს ასველებს, ზედაპირს აქვს ჩაზნექილი ფორმა, თუ არ სველდება, ამოზნექილია (სურ. 4). ასეთ მოხრილ თხევად ზედაპირებს მენისკები ეწოდება.

თუ კაპილარი ერთი ბოლოთი ჩაეფლო ფართო ჭურჭელში ჩასხმულ სითხეში, მაშინ კაპილარში მოხრილი ზედაპირის ქვეშ წნევა განსხვავდება ფართო ჭურჭლის ბრტყელი ზედაპირის გასწვრივ ზეწოლისაგან Δp მნიშვნელობით, რომელიც განსაზღვრულია ფორმულით (7. ). შედეგად, როდესაც კაპილარი დასველდება, მასში სითხის დონე უფრო მაღალი იქნება, ვიდრე ჭურჭელში, ხოლო როდესაც არ დასველდება, უფრო დაბალი იქნება.