ლექცია 9

ანალიტიკური გეომეტრია სივრცეში.

თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება.

განმარტება. თვითმფრინავიეწოდება ზედაპირი, რომლის ყველა წერტილი აკმაყოფილებს ზოგად განტოლებას:

Ax + By + Cz + D = 0,

სადაც A, B, C არის ვექტორის -ვექტორის კოორდინატები ნორმალურებითვითმფრინავამდე.

შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

A \u003d 0 - სიბრტყე პარალელურია Ox ღერძის პარალელურად

B \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია Oy ღერძის პარალელურად

C \u003d 0 - თვითმფრინავი ოზის ღერძის პარალელურია

D = 0 - თვითმფრინავი გადის საწყისზე

A \u003d B \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია xOy სიბრტყის პარალელურად

A \u003d C \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია xOz სიბრტყის პარალელურად

B = C = 0 - სიბრტყე yOz სიბრტყის პარალელურია

A \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის Ox ღერძზე

B \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის Oy ღერძზე

C \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის Oz ღერძზე

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი ემთხვევა xOy თვითმფრინავს

A = C = D = 0 - სიბრტყე ემთხვევა xOz სიბრტყეს

B = C = D = 0 - სიბრტყე ემთხვევა სიბრტყეს yOz

სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება.

იმისათვის, რომ ერთი სიბრტყე დაიხაზოს სივრცის ნებისმიერ სამ წერტილში, აუცილებელია, რომ ეს წერტილები არ იყოს ერთ სწორ ხაზზე.

განვიხილოთ წერტილები M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში.

იმისათვის, რომ თვითნებური წერტილი M(x, y, z) მდებარეობდეს იმავე სიბრტყეში M 1, M 2, M 3 წერტილებთან, აუცილებელია ვექტორები
იყო თანაპლენარული ე.ი. მათი შერეული პროდუქტი:

(
) = 0

ამრიგად,

თვითმფრინავის განტოლება, რომელიც გადის სამ წერტილში:

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პარალელურ ორ წერტილში.

მივცეთ წერტილები M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) და ვექტორი
.

შევადგინოთ მოცემულ M 1 და M 2 წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება და ვექტორის პარალელურად M (x, y, z) თვითნებური წერტილი. .

ვექტორები
და ვექტორი
უნდა იყოს თანაპლენარული, ე.ი.

(
) = 0

სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ორი ვექტორის პარალელურ წერტილში.

მიეცით ორი ვექტორი
და
, კოლინარული სიბრტყეები და წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1). შემდეგ თვითმფრინავის კუთვნილი M(x, y, z) თვითნებური წერტილისთვის, ვექტორები
უნდა იყოს თანაპლენარული.

სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში.

თეორემა. თუ წერტილი M 0 მოცემულია სივრცეში (x 0, y 0, z 0), მაშინ M 0 წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარულია. (A, B, C) აქვს ფორმა:

ა(x – x 0 ) + ბ(წ – წ 0 ) + C(ზ – ზ 0 ) = 0.

მტკიცებულება. თვითმფრინავის კუთვნილი M(x, y, z) თვითნებური წერტილისთვის, ჩვენ ვქმნით ვექტორს. იმიტომ რომ ვექტორი - ნორმალური ვექტორი, მაშინ ის არის სიბრტყის პერპენდიკულარული და, შესაბამისად, ვექტორის პერპენდიკულარული
. შემდეგ სკალარული პროდუქტი

= 0

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ თვითმფრინავის განტოლებას

თეორემა დადასტურდა.

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში.

თუ ზოგად განტოლებაში Ax + Wu + Cz + D = 0 გავყოთ ორივე ნაწილი -D-ზე

,

ჩანაცვლება
, ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას სეგმენტებში:

რიცხვები a, b, c არის სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტები დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის x, y, z ღერძების გადაკვეთაზე, შესაბამისად.

სიბრტყის განტოლება ვექტორული სახით.

სადაც

- მიმდინარე წერტილის რადიუსი-ვექტორი M(x, y, z),

ერთეული ვექტორი, რომელსაც აქვს პერპენდიკულარის მიმართულება საწყისიდან სიბრტყეზე ჩამოშვებული.

,  და  არის ამ ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეები x, y, z ღერძებით.

p არის ამ პერპენდიკულარის სიგრძე.

კოორდინატებში ამ განტოლებას აქვს ფორმა:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

პარამეტრული სიბრტყის განტოლება

სივრცეში მოცემული იყოს წერტილი M 0 (x 0, y 0, z 0) და ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი

(გვ 1 , გვ 2 , გვ 3) და (q 1, q 2, q 3). მოდით M(x, y, z) იყოს სიბრტყის მიმდინარე წერტილი. ვინაიდან ვექტორები და არიან არასწორხაზოვანი, შემდეგ ისინი ქმნიან საფუძველს სიბრტყეზე, რომელშიც ვაფართოებთ ვექტორს
=t+ s, სადაც t,s არის პარამეტრები. მოდით, თვითნებურად მოვათავსოთ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ისე, რომ Ox და Oy ღერძები სიბრტყეში იყოს. O ცენტრიდან ვხატავთ რადიუსის ვექტორებს M 0 და M წერტილებამდე და . მერე
=-და

=+t+ ს .

ეს არის სიბრტყის პარამეტრული განტოლება ვექტორული სახით და სკალარული ფორმით

x=x 0 + p 1 t + q 1 s

y=y 0 + p 2 t + q 2 s

z=z 0 + p 3 t + q 3 s

მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

მანძილი თვითნებური წერტილიდან M 0 (x 0, y 0, z 0) სიბრტყემდე Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 არის:

მაგალითი. იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი P (4; -3; 12) არის ამ სიბრტყის საწყისიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულურის საფუძველი.

ასე რომ A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, გამოიყენეთ ფორმულა:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

მაგალითი . იპოვეთ ორ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება

P(2; 0; -1) და Q(1; -1; 3) პერპენდიკულარულია სიბრტყის 3x + 2y - z + 5 = 0.

ნორმალური ვექტორი სიბრტყეზე 3x + 2y - z + 5 = 0
სასურველი სიბრტყის პარალელურად.

ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი . იპოვეთ A(2, -1, 4) წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება და

В(3, 2, -1) სიბრტყის პერპენდიკულარულად X + ზე + 2ზ – 3 = 0.

სასურველ სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა: A x+ბ წ+ C ზ+ D = 0, ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (A, B, C). ვექტორი
(1, 3, -5) ეკუთვნის თვითმფრინავს. ჩვენთვის მოცემულ სიბრტყეს, სასურველზე პერპენდიკულარულად, აქვს ნორმალური ვექტორი (1, 1, 2). იმიტომ რომ წერტილები A და B ეკუთვნის ორივე სიბრტყეს და სიბრტყეები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, მაშინ

ასე რომ, ნორმალური ვექტორი (11, -7, -2). იმიტომ რომ წერტილი A ეკუთვნის სასურველ სიბრტყეს, მაშინ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს ამ სიბრტყის განტოლებას, ე.ი. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას: 11 x - 7წ – 2ზ – 21 = 0.

მაგალითი . იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი P(4, -3, 12) არის ამ სიბრტყის საწყისიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულურის საფუძველი.

ნორმალური ვექტორის კოორდინატების პოვნა
= (4, -3, 12). სიბრტყის სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა: 4 x – 3წ + 12ზ+ D = 0. D კოეფიციენტის საპოვნელად Р წერტილის კოორდინატებს ვცვლით განტოლებაში:

16 + 9 + 144 + D = 0

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სასურველ განტოლებას: 4 x – 3წ + 12ზ – 169 = 0

მაგალითი . მოცემულია პირამიდის წვეროების კოორდინატები

A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).

იპოვეთ A 1 A 2 კიდის სიგრძე.

იპოვეთ კუთხე A 1 A 2 და A 1 A 4 კიდეებს შორის.

იპოვეთ კუთხე A 1 A 4 კიდესა და A 1 A 2 A 3 კიდეს შორის.

პირველი, იპოვეთ ნორმალური ვექტორი სახის A 1 A 2 A 3 - როგორც ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი
და
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

იპოვეთ კუთხე ნორმალურ ვექტორსა და ვექტორს შორის
.

-4 – 4 = -8.

ვექტორსა და სიბრტყეს შორის სასურველი კუთხე  ტოლი იქნება  = 90 0 - .

იპოვეთ სახის ფართობი A 1 A 2 A 3.

იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა.

იპოვეთ А 1 А 2 А 3 სიბრტყის განტოლება.

ჩვენ ვიყენებთ სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების ფორმულას.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

ზედაპირის განტოლება სივრცეში

განმარტება. ნებისმიერი განტოლება, რომელიც აკავშირებს ზედაპირის ნებისმიერი წერტილის x, y, z კოორდინატებს, არის ამ ზედაპირის განტოლება.

თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება

განმარტება. სიბრტყე არის ზედაპირი, რომლის ყველა წერტილი აკმაყოფილებს ზოგად განტოლებას:

Ax + By + Cz + D = 0,

სადაც A, B, C არის ვექტორის კოორდინატები

ჩვეულებრივი ვექტორი სიბრტყემდე. შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

A \u003d 0 - სიბრტყე პარალელურია Ox ღერძის პარალელურად

B \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია Oy ღერძის პარალელურად

C \u003d 0 - თვითმფრინავი ოზის ღერძის პარალელურია

D = 0 - თვითმფრინავი გადის საწყისზე

A \u003d B \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია xOy სიბრტყის პარალელურად

A \u003d C \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია xOz სიბრტყის პარალელურად

B \u003d C \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია სიბრტყის yOz-ის

A \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის Ox ღერძზე

B \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის Oy ღერძზე

C \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის ოზის ღერძზე

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი ემთხვევა xOy თვითმფრინავს

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი ემთხვევა xOz თვითმფრინავს

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი ემთხვევა თვითმფრინავს yOz

სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება

იმისათვის, რომ ერთი სიბრტყე დაიხაზოს სივრცის ნებისმიერ სამ წერტილში, აუცილებელია, რომ ეს წერტილები არ იყოს ერთ სწორ ხაზზე. განვიხილოთ წერტილები М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ზოგადი დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. იმისათვის, რომ თვითნებური წერტილი M(x, y, z) მდებარეობდეს იმავე სიბრტყეში, სადაც წერტილები M1, M2, M3, ვექტორები უნდა იყოს თანაპლექტური.

ამრიგად,

თვითმფრინავის განტოლება, რომელიც გადის სამ წერტილში:

სიბრტყის განტოლება, მოცემული სიბრტყის ორი წერტილი და ვექტორი

მიეცით წერტილები M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) და ვექტორი.

შევადგინოთ მოცემულ M1 და M2 წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება და ვექტორის პარალელური M(x, y, z) თვითნებური წერტილი.

ვექტორები და ვექტორი უნდა იყოს თანაპლენარული, ე.ი.

სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება ერთი წერტილისა და სიბრტყის ორი ვექტორის მიმართ

მიეცით ორი ვექტორი და კოლინარული სიბრტყეები. შემდეგ თვითმფრინავის კუთვნილი M(x, y, z) თვითნებური წერტილისთვის, ვექტორები უნდა იყოს თანაპლანსური. სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება წერტილით და ნორმალური ვექტორით

თეორემა. თუ M0 წერტილი (x0, y0, z0) მოცემულია სივრცეში, მაშინ სიბრტყის განტოლებას, რომელიც გადის ნორმალურ ვექტორზე (A, B, C) პერპენდიკულარულ M0 წერტილში, აქვს ფორმა:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

მტკიცებულება. სიბრტყის კუთვნილი M(x, y, z) თვითნებური წერტილისთვის ვქმნით ვექტორს. იმიტომ რომ ვექტორი ნორმალური ვექტორია, მაშინ ის სიბრტყის პერპენდიკულარულია და, შესაბამისად, ვექტორის პერპენდიკულარულია. შემდეგ სკალარული პროდუქტი

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ თვითმფრინავის განტოლებას

თეორემა დადასტურდა.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება ეწოდება სრული, თუ მისი ყველა კოეფიციენტი არ არის 0-ის ტოლი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება ეწოდება არასრული.

D=0 Ax+Vu+Сz=0- თვითმფრინავი, კოორდინატების საწყისის გავლით.

დანარჩენი შემთხვევები განისაზღვრება ნორმალური ვექტორის პოზიციით n=( A; B; C).

A=0 Ву+Сz+D=0არის სიბრტყის განტოლება, პარალელური ღერძი Ox.(რადგან ნორმალური ვექტორია n=( 0;B;C) არის Ox ღერძის პერპენდიკულარული).

B=0 აჰ+Сz+D=0 -სიბრტყის განტოლება, y ღერძის პარალელურად.(რადგან ნორმალური ვექტორია n=( A; 0; C) არის Oy ღერძის პერპენდიკულარული).

C=0 აჰ+ვუ+D=0 -სიბრტყის განტოლება, პარალელური ღერძი Oზ. (რადგან ნორმალური ვექტორია n=( A; B; 0) პერპენდიკულარულია ოზის ღერძზე).

A=B=0 Сz+D=0 – z=-D/C – ოქსი სიბრტყის პარალელური სიბრტყის განტოლება (რადგან ეს სიბრტყე პარალელურია Ox და Oy ღერძებთან).

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B- Oxz-ის სიბრტყის პარალელურად სიბრტყის განტოლება (რადგან ეს სიბრტყე პარალელურია Ox-ისა და Oz-ის ღერძების).

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A- Oyz სიბრტყის პარალელური სიბრტყის განტოლება (რადგან ეს სიბრტყე პარალელურია Oy და Oz ღერძების).

A=D=0 By+Cz=0 - x-ღერძზე გამავალი სიბრტყის განტოლება.

B=D=0 Ax+Cz=0 - Oy ღერძზე გამავალი სიბრტყის განტოლება.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – ოქსი კოორდინატთა სიბრტყე.(რადგან ეს სიბრტყე ოქსის პარალელურია და საწყისზე გადის).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – კოორდინატთა სიბრტყე Охz.(რადგან ეს სიბრტყე პარალელურია Oxz-ის და გადის საწყისზე).

B=C=D=0 ax=0 (x=0) – კოორდინატთა თვითმფრინავი Оуз.(რადგან ეს სიბრტყე პარალელურია Oyz-ის და გადის საწყისზე).

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს.

ჩვენ გამოვიყვანთ თვითმფრინავის განტოლებას, რომელიც გადის 3 სხვადასხვა წერტილში M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) , არ წევს ერთ სწორ ხაზზე. შემდეგ ვექტორები მ 1 მ 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 -z 1) და მ 1 მ 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) არ არის კოლინარული. მაშასადამე, წერტილი M(x, y, z) მდებარეობს იმავე სიბრტყეში M 1, M 2 და M 3 წერტილებთან, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები მ 1 მ 2 , მ 1 მ 3 და მ 1 მ\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - თანაპლენარული, ე.ი.  როცა მათი შერეული პროდუქტი არის 0

(მ 1 მმ 1 მ 2 მ 1 მ 3 =0) , ე.ი.

(4) სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის 3 მოცემულ წერტილში.

(1-ლი ხაზის გასწვრივ განმსაზღვრელი გაფართოებით და გამარტივებით, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის ზოგად განტოლებას: Ax + Vy + Cz + D \u003d 0).

რომ. სამი წერტილი ცალსახად განსაზღვრავს სიბრტყეს.

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში ღერძებზე.

თვითმფრინავი Π კვეთს კოორდინატთა ღერძებს M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c) წერტილებზე.

M (x; y; z) არის სიბრტყის ცვლადი წერტილი.

მ 1 მ=(x-a; y; z)

მ 1 მ 2 =(0-а;b;0) განსაზღვრეთ მოცემული სიბრტყე

მ 1 მ 3 =(-a;0;c)

იმათ. მ 1 მმ 1 მ 2 მ 1 მ 3 =0

გავაფართოვოთ 1 სტრიქონი: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

ტოლობა გავყოთ abc≠0-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

(5) სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში ღერძებზე.

განტოლება (5) შეიძლება მივიღოთ სიბრტყის ზოგადი განტოლებიდან, თუ დავუშვებთ, რომ D≠0, გავყოთ D-ზე

აღვნიშნავთ –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – მივიღებთ განტოლებას 4.

კუთხე ორ სიბრტყეს შორის. სიბრტყეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარულობის პირობები.

კუთხე φ ორ სიბრტყეს შორის α 1 და α 2 იზომება ბრტყელი კუთხით 2 სხივს შორის პერპენდიკულარულ წრფეზე, რომლის გასწვრივაც ეს სიბრტყეები იკვეთება. ნებისმიერი ორი გადამკვეთი სიბრტყე ქმნის ორ კუთხეს, რომლებიც ჯამდება -მდე. საკმარისია ამ კუთხიდან ერთის განსაზღვრა.

სიბრტყეები მოცემულია ზოგადი განტოლებით:

 1 : ა 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : ა 2 x+ ბ 2 წ+ C 2 ზ+ დ 2 =0

განვიხილოთ PDSC (O, მე,ჯ,კ) სივრცეში R 3 . მოდით  იყოს გარკვეული სიბრტყე და ვექტორი  ნა-ზე პერპენდიკულარული. ვაფიქსირებთ თვითნებურ წერტილს M 0 სიბრტყეზე  და ვიღებთ სივრცის მიმდინარე წერტილს M.. აღვნიშნავთ ` რ =
და` რ 0 =
. მერე
=`რ – `რ 0 , და წერტილი М თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ` ნდა
ორთოგონალური. ეს უკანასკნელი შესაძლებელია, როდესაც

ნ .
= 0, ანუ ნ . (`r-`რ 0) = 0, (9)

ეს განტოლება ეწოდება ვექტორული განტოლებათვითმფრინავები. ვექტორი ` ნდაურეკა ნორმალურითვითმფრინავის ვექტორი.

Თუ ` ნ =(მაგრამ, AT, თან), M 0 ( X 0 , ზე 0 , ზ 0), M( X, ზე, ზ), შემდეგ განტოლება (9) იღებს ფორმას

მაგრამ ( X – X 0) + B( ზე – ზე 0) + C( ზ – ზ 0) = 0, (10).

ამ განტოლებას ეწოდება სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარულად.

რომ ცნობილია, რომ სამი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია ერთი სიბრტყის დახატვა. მოდით M 1 ( X 1 , ზე 1 , ზ 1), M 3 ( X 2 , ზე 2 , ზ 2), M 3 ( X 3 , ზე 3 , ზ 3). ვიპოვოთ ამ სიბრტყის განტოლება. ვექტორული განტოლების მიხედვით (9) ამ განტოლების დასაწერად საჭიროა ვიცოდეთ სიბრტყის წერტილი და ნორმალური ვექტორი. ჩვენ გვაქვს წერტილი (მაგალითად, M 1). და როგორც ნორმალური ვექტორი, ნებისმიერი ვექტორი ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული იქნება. ცნობილია, რომ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყის, რომელშიც ეს ვექტორები დევს. მაშასადამე, ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტი
და
შეიძლება მივიღოთ, როგორც სიბრტყის ნორმალური ვექტორი :

` ნ =


მაშინ სიბრტყის  განტოლებას ვექტორული სახით აქვს ფორმა

. (

) =
.
.
= 0.

(გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ მივიღეთ ვექტორების თანაბარობის პირობა
,
,
).

M 1, M 2, M 3 და M წერტილების კოორდინატების მეშვეობით ეს განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც

, (11)

და ეწოდება სიბრტყის განტოლება, სამი მოცემული წერტილის გავლით M 1 ( X 1 , ზე 1 , ზ 1), M 2 ( X 2 , ზე 2 , ზ 2), M 3 ( X 3 , ზე 3 , ზ 3).

კვლავ განვიხილოთ განტოლება (9), გარდაქმენით იგი:

ოჰ + ვუ + cz +(–ოჰ 0 – ვუ 0 – cz 0) = 0 ,

ოჰ + ვუ + cz+D = 0, სადაც D = (– ოჰ 0 – ვუ 0 – cz 0) .

განტოლება

ოჰ + ვუ + cz+D = 0, (12)

დაურეკა ზოგადი განტოლებათვითმფრინავები. აქ ვექტორიN = ( ა, ბ, C) არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (ანუ სიბრტყის პერპენდიკულარული ვექტორი). თეორემა მართალია:

თეორემა 4.2.

სივრცეში R 3 ნებისმიერი სიბრტყე შეიძლება აღიწეროს წრფივი ცვლადების მიმართ x წ, ზგანტოლება და პირიქით. პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება განსაზღვრავს გარკვეულ სიბრტყეს.

შევისწავლოთ სიბრტყის მდებარეობა კოორდინატთა სისტემის მიმართ მისი ზოგადი განტოლების მიხედვით ოჰ + ვუ + cz+D = 0.

თუ კოეფიციენტი D = 0, მაშინ O(0, 0, 0) წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას. ოჰ + ვუ + cz= 0, ასე რომ, ეს წერტილი დევს სიბრტყეზე, ე.ი. თვითმფრინავი განტოლებით ოჰ + ვუ + cz= 0 გადის საწყისზე.

თუ სიბრტყის ზოგად განტოლებაში აკლია ერთიცვლადებიდან (შესაბამისი კოეფიციენტი ნულის ტოლია), მაშინ სიბრტყე პარალელურია ამავე სახელწოდების კოორდინატთა ღერძისა. მაგალითად, განტოლება ოჰ + cz + დ= 0 განსაზღვრავს y ღერძის პარალელურ სიბრტყეს. მართლაც, ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები ` ნ= (A, 0, C) და ამის შემოწმება მარტივია ` ნჯ. მაგრამ თუ სიბრტყე და ვექტორი ერთსა და იმავე ვექტორზე პერპენდიკულარულია, მაშინ ისინი პარალელურია. სიბრტყე განტოლებით ვუ + cz= 0, ამ შემთხვევაში, გადის OX ღერძზე (ანუ ეს ღერძი დევს სიბრტყეზე)

ორის არარსებობაცვლადები სიბრტყის განტოლებაში ნიშნავს, რომ სიბრტყე პარალელურია შესაბამისი კოორდინატული სიბრტყის, მაგალითად, ფორმის განტოლება ოჰ + დ= 0 განსაზღვრავს YOZ სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეს. ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები ` ნ= (A, 0, 0), ის არის  ვექტორის თანამიმართული მე, და, შესაბამისად, სიბრტყე არის ვექტორის პერპენდიკულარული  მე, ან UOZ სიბრტყის პარალელურად.

კოორდინატთა სიბრტყეების განტოლებებიგამოიყურება როგორც: ᲠᲝᲒᲝᲠ: ზ= 0, pl. XOZ: წ= 0, pl. YOZ: x = 0.

მართლაც, HOW სიბრტყე გადის საწყისზე (D = 0) და ვექტორზე  კ=(0, 0, 1) არის მისი ნორმალური ვექტორი. ანალოგიურად, XOZ და YOZ სიბრტყეები გადიან საწყისს (D = 0) და ვექტორებს  ჯ=(0, 1, 0) და  მე = (1,0,0) მათი ნორმალურია, შესაბამისად.

თუ D0, მაშინ ჩვენ ვცვლით ზოგად განტოლებას შემდეგნაირად

ოჰ + ვუ+C ზ = –დ,
,
.

ო აღნიშნავს აქ
,
,
, ვიღებთ განტოლებას
, (13)

რომელსაც სიბრტყის განტოლება ეწოდება ღერძებზე სეგმენტებში. Აქ ა, ბ, გარის სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტების მნიშვნელობები კოორდინატთა ღერძებზე (ნახ.). ეს განტოლება მოსახერხებელია კოორდინატთა სისტემაში სიბრტყის ასაგებად. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ქულები ( ა, 0, 0), (0. ბ, 0), (0, 0, თან) დაწექი თვითმფრინავში. ამ წერტილებში გამავალი ხაზები ე.წ კვალითვითმფრინავები კოორდინატულ სიბრტყეებზე.

მაგალითად, ავაშენოთ თვითმფრინავი

2X – 3ზე + 4ზ –12 = 0.

მოდით მივიყვანოთ ეს განტოლება ფორმამდე (13), მივიღებთ

დ სიბრტყის ასაგებად კოორდინატთა სისტემაში მონიშნეთ წერტილი (6, 0, 0) OX ღერძზე, წერტილი (0, -4, 0) OY ღერძზე, (0, 0, 3) OZ ღერძზე. , დააკავშირეთ ისინი სწორი ხაზის სეგმენტებით (სიბრტყის კვალი). შედეგად მიღებული სამკუთხედი არის სასურველი სიბრტყის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია კოორდინატთა ღერძებს შორის.

Ამიტომ იპოვნეთ თვითმფრინავის განტოლებასაკმარისია იცოდე

ამ სიბრტყის ან ნორმალური ვექტორი და მისი რომელიმე წერტილი (განტოლება (10));

ან სიბრტყეზე განლაგებული სამი წერტილი (განტოლება (11)).

თვითმფრინავების ორმხრივი მოწყობასივრცეში მოსახერხებელია შესწავლა მათ შესაბამისი ვექტორების გამოყენებით. თუ  არის სიბრტყე ნორმალური ვექტორით N, მაშინ

.

ფორმულის წარმოშობა მსგავსია, თუ როგორ გაკეთდა ეს სიბრტყეზე სწორი ხაზისთვის. განახორციელეთ იგი საკუთარ თავზე.

მისი დაზუსტება შესაძლებელია სხვადასხვა გზით (ერთი წერტილი და ვექტორი, ორი წერტილი და ვექტორი, სამი წერტილი და ა.შ.). სწორედ ამის გათვალისწინებით, თვითმფრინავის განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ფორმა. ასევე, გარკვეულ პირობებში, სიბრტყეები შეიძლება იყოს პარალელური, პერპენდიკულარული, გადამკვეთი და ა.შ. ამის შესახებ ამ სტატიაში ვისაუბრებთ. ჩვენ ვისწავლით როგორ დავწეროთ სიბრტყის ზოგადი განტოლება და არა მარტო.

განტოლების ნორმალური ფორმა

ვთქვათ, არის სივრცე R 3, რომელსაც აქვს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა XYZ. ვაყენებთ α ვექტორს, რომელიც გათავისუფლდება საწყისი O წერტილიდან. α ვექტორის ბოლოში ვხატავთ P სიბრტყეს, რომელიც იქნება მასზე პერპენდიკულარული.

P-ით აღნიშნეთ თვითნებური წერტილი Q=(x, y, z). Q წერტილის რადიუსის ვექტორს მოვაწერთ ასო p. α ვექტორის სიგრძეა p=IαI და Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

ეს არის ერთეული ვექტორი, რომელიც მიმართულია გვერდით, ისევე როგორც α ვექტორი. α, β და γ არის კუთხეები, რომლებიც იქმნება Ʋ ვექტორსა და სივრცის ღერძების დადებით მიმართულებებს შორის, შესაბამისად, x, y, z. QϵП რაღაც წერტილის პროექცია Ʋ ვექტორზე არის მუდმივი მნიშვნელობა р-ის ტოლი: (р,Ʋ) = р(р≥0).

ამ განტოლებას აქვს აზრი, როდესაც p=0. ერთადერთი ის არის, რომ სიბრტყე P ამ შემთხვევაში გადაკვეთს O წერტილს (α=0), რომელიც არის საწყისი და O წერტილიდან გამოთავისუფლებული ერთეული ვექტორი Ʋ იქნება P-ზე პერპენდიკულარული, განურჩევლად მისი მიმართულებისა. რაც ნიშნავს, რომ ვექტორი Ʋ განისაზღვრება ნიშან-ზუსტიდან. წინა განტოლება არის ჩვენი P სიბრტყის განტოლება, გამოხატული ვექტორული ფორმით. მაგრამ კოორდინატებში ასე გამოიყურება:

P აქ მეტია ან ტოლია 0-ის. ჩვენ ვიპოვეთ სიბრტყის განტოლება სივრცეში მისი ნორმალური სახით.

ზოგადი განტოლება

თუ კოორდინატებში განტოლებას გავამრავლებთ ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მივიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას, რომელიც განსაზღვრავს იმავე სიბრტყეს. ეს ასე გამოიყურება:

აქ A, B, C არის რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად განსხვავდებიან ნულიდან. ეს განტოლება მოიხსენიება, როგორც ზოგადი სიბრტყის განტოლება.

სიბრტყის განტოლებები. განსაკუთრებული შემთხვევები

განტოლება ზოგადი ფორმით შეიძლება შეიცვალოს დამატებითი პირობების არსებობისას. განვიხილოთ ზოგიერთი მათგანი.

დავუშვათ, რომ კოეფიციენტი A არის 0. ეს ნიშნავს, რომ მოცემული სიბრტყე პარალელურია მოცემული ღერძის Ox-ის. ამ შემთხვევაში განტოლების ფორმა შეიცვლება: Ву+Cz+D=0.

ანალოგიურად, განტოლების ფორმა შეიცვლება შემდეგ პირობებში:

• პირველ რიგში, თუ B = 0, მაშინ განტოლება შეიცვლება Ax + Cz + D = 0, რაც მიუთითებს პარალელურობაზე Oy ღერძის მიმართ.
• მეორეც, თუ С=0, მაშინ განტოლება გარდაიქმნება Ах+Ву+D=0-ად, რაც მიუთითებს პარალელურობაზე მოცემულ ღერძზე Oz.
• მესამე, თუ D=0, განტოლება გამოიყურება Ax+By+Cz=0, რაც ნიშნავს, რომ სიბრტყე კვეთს O (საწყისს).
• მეოთხე, თუ A=B=0, მაშინ განტოლება შეიცვლება Cz+D=0-ით, რაც აღმოჩნდება Oxy-ის პარალელურად.
• მეხუთე, თუ B=C=0, მაშინ განტოლება ხდება Ax+D=0, რაც ნიშნავს, რომ სიბრტყე Oyz-ის პარალელურია.
• მეექვსე, თუ A=C=0, მაშინ განტოლება მიიღებს Ву+D=0 ფორმას, ანუ პარალელურობას მოუხსენებს Oxz-ს.

განტოლების ტიპი სეგმენტებში

იმ შემთხვევაში, როდესაც რიცხვები A, B, C, D არ არის ნულოვანი, განტოლების ფორმა (0) შეიძლება იყოს შემდეგი:

x/a + y/b + z/c = 1,

რომელშიც \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

ჩვენ მივიღებთ შედეგად აღსანიშნავია, რომ ეს სიბრტყე გადაკვეთს Ox ღერძს კოორდინატებით (a,0,0), Oy - (0,b,0) და Oz - (0,0,c) .

x/a + y/b + z/c = 1 განტოლების გათვალისწინებით, მარტივია ვიზუალურად წარმოვადგინოთ სიბრტყის განლაგება მოცემულ კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში.

ნორმალური ვექტორული კოორდინატები

P სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს n აქვს კოორდინატები, რომლებიც წარმოადგენს მოცემული სიბრტყის ზოგადი განტოლების კოეფიციენტებს, ანუ n (A, B, C).

ნორმალური n-ის კოორდინატების დასადგენად საკმარისია ვიცოდეთ მოცემული სიბრტყის ზოგადი განტოლება.

განტოლების სეგმენტებში გამოყენებისას, რომელსაც აქვს ფორმა x/a + y/b + z/c = 1, ასევე ზოგადი განტოლების გამოყენებისას, შეიძლება დაწეროთ მოცემული სიბრტყის ნებისმიერი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები: (1 /a + 1/b + 1/ ერთად).

უნდა აღინიშნოს, რომ ნორმალური ვექტორი ხელს უწყობს სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრას. ყველაზე გავრცელებული არის ამოცანები, რომლებიც შედგება სიბრტყეების პერპენდიკულარობის ან პარალელურობის დადასტურებაში, სიბრტყეებს შორის კუთხეების ან სიბრტყესა და წრფეებს შორის კუთხის პოვნაში.

სიბრტყის განტოლების ხედი წერტილისა და ნორმალური ვექტორის კოორდინატების მიხედვით

არანულოვან ვექტორს n მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულს ეწოდება ნორმალური (ნორმალური) მოცემული სიბრტყისთვის.

დავუშვათ, რომ კოორდინატთა სივრცეში (მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა) Oxyz მოცემულია:

• წერტილი Mₒ კოორდინატებით (xₒ,yₒ,zₒ);
• ნულოვანი ვექტორი n=A*i+B*j+C*k.

აუცილებელია განტოლების შედგენა სიბრტყისთვის, რომელიც გაივლის Mₒ წერტილს ნორმალურ n-ზე პერპენდიკულარულად.

სივრცეში ვირჩევთ ნებისმიერ თვითნებურ წერტილს და აღვნიშნავთ მას M-ით (x y, z). ნებისმიერი M წერტილის (x, y, z) რადიუსის ვექტორი იყოს r=x*i+y*j+z*k, ხოლო Mₒ წერტილის რადიუსის ვექტორი (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. წერტილი M მიეკუთვნება მოცემულ სიბრტყეს, თუ ვექტორი MₒM არის n ვექტორის პერპენდიკულარული. ჩვენ ვწერთ ორთოგონალურობის პირობას სკალარული პროდუქტის გამოყენებით:

[MₒM, n] = 0.

ვინაიდან MₒM \u003d r-rₒ, თვითმფრინავის ვექტორული განტოლება ასე გამოიყურება:

ამ განტოლებას შეიძლება სხვა ფორმა ჰქონდეს. ამისათვის გამოიყენება სკალარული პროდუქტის თვისებები და გარდაიქმნება განტოლების მარცხენა მხარე. = - . თუ აღინიშნება როგორც c, მაშინ მიიღება შემდეგი განტოლება: - c \u003d 0 ან \u003d c, რომელიც გამოხატავს პროგნოზების მუდმივობას მოცემული წერტილების რადიუსის ვექტორების ნორმალურ ვექტორზე, რომლებიც ეკუთვნის სიბრტყეს.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ჩვენი სიბრტყის ვექტორული განტოლების ჩაწერის კოორდინატთა ფორმა = 0. ვინაიდან r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, და n = A*i+B *j+C*k, გვაქვს:

გამოდის, რომ გვაქვს განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის ნორმალურ n-ზე პერპენდიკულარულ წერტილში:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

სიბრტყის განტოლების ხედი ორი წერტილის კოორდინატების მიხედვით და სიბრტყეზე კოლინარული ვექტორის მიხედვით

ჩვენ განვსაზღვრავთ ორ თვითნებურ წერტილს M′ (x′,y′,z′) და M″ (x″,y″,z″), ასევე ვექტორს a (a′,a″,a‴).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევადგინოთ განტოლება მოცემული სიბრტყისთვის, რომელიც გაივლის ხელმისაწვდომ წერტილებს M′ და M″, ისევე როგორც ნებისმიერ M წერტილს კოორდინატებით (x, y, z) მოცემული a ვექტორის პარალელურად.

ამ შემთხვევაში ვექტორები M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) და M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) უნდა იყოს თანაპლექტური ვექტორთან. a=(a′,a″,a‴), რაც ნიშნავს, რომ (M′M, M″M, a)=0.

ასე რომ, სივრცეში სიბრტყის ჩვენი განტოლება ასე გამოიყურება:

სამი წერტილის გადამკვეთი სიბრტყის განტოლების ტიპი

დავუშვათ, გვაქვს სამი წერტილი: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სწორ ხაზს. აუცილებელია მოცემულ სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების დაწერა. გეომეტრიის თეორია ამტკიცებს, რომ ასეთი სიბრტყე ნამდვილად არსებობს, მხოლოდ ის არის ერთადერთი და განუმეორებელი. ვინაიდან ეს სიბრტყე კვეთს წერტილს (x′, y′, z′), მისი განტოლების ფორმა იქნება შემდეგი:

აქ A, B, C განსხვავდება ნულიდან ამავე დროს. ასევე, მოცემული სიბრტყე კვეთს კიდევ ორ წერტილს: (x″,y″,z″) და (x‴,y‴,z‴). ამასთან დაკავშირებით, შემდეგი პირობები უნდა დაკმაყოფილდეს:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევადგინოთ ერთგვაროვანი სისტემა უცნობიებით u, v, w:

ჩვენს შემთხვევაში, x, y ან z არის თვითნებური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას (1). განტოლების (1) და (2) და (3) განტოლებების სისტემის გათვალისწინებით, ზემოთ ნახაზზე მითითებული განტოლებათა სისტემა აკმაყოფილებს N (A, B, C) ვექტორს, რომელიც არატრივიალურია. ამიტომ ამ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

განტოლება (1), რომელიც ჩვენ მივიღეთ, არის სიბრტყის განტოლება. ის ზუსტად 3 ქულას გადის და ამის შემოწმება მარტივია. ამისათვის ჩვენ უნდა გავაფართოვოთ ჩვენი განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებზე. დეტერმინანტის არსებული თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ჩვენი სიბრტყე ერთდროულად კვეთს სამ თავდაპირველად მოცემულ წერტილს (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . ანუ ჩვენ მოვაგვარეთ ჩვენს წინაშე დასახული ამოცანა.

დიედრული კუთხე სიბრტყეებს შორის

დიედრული კუთხე არის სივრცითი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით, რომლებიც წარმოიქმნება ერთი სწორი ხაზიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ამ ნახევრად თვითმფრინავებით.

ვთქვათ, გვაქვს ორი სიბრტყე შემდეგი განტოლებით:

ჩვენ ვიცით, რომ ვექტორები N=(A,B,C) და N1=(A1,B1,C1) პერპენდიკულარულია მოცემული სიბრტყეების მიხედვით. ამასთან დაკავშირებით, კუთხე φ N და N1 ვექტორებს შორის უდრის კუთხეს (დიჰედრალური), რომელიც არის ამ სიბრტყეებს შორის. სკალარულ პროდუქტს აქვს ფორმა:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ზუსტად იმიტომ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

საკმარისია გავითვალისწინოთ, რომ 0≤φ≤π.

ფაქტობრივად, ორი სიბრტყე, რომლებიც იკვეთება, ქმნის ორ (დიჰედრალურ) კუთხეს: φ 1 და φ 2 . მათი ჯამი უდრის π (φ 1 + φ 2 = π). რაც შეეხება მათ კოსინუსებს, მათი აბსოლუტური მნიშვნელობები ტოლია, მაგრამ ისინი განსხვავდებიან ნიშნებით, ანუ cos φ 1 =-cos φ 2. თუ განტოლებაში (0) შევცვლით A, B და C რიცხვებით -A, -B და -C, შესაბამისად, მაშინ განტოლება, რომელსაც მივიღებთ, განსაზღვრავს იმავე სიბრტყეს, ერთადერთ კუთხე φ განტოლებაში cos φ= NN. 1 /| N||N 1 | შეიცვლება π-φ.

პერპენდიკულური სიბრტყის განტოლება

სიბრტყეებს პერპენდიკულურს უწოდებენ, თუ მათ შორის კუთხე 90 გრადუსია. ზემოთ მოყვანილი მასალის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ სიბრტყის განტოლება მეორეზე პერპენდიკულარული. ვთქვათ, გვაქვს ორი სიბრტყე: Ax+By+Cz+D=0 და A¹x+B1y+C¹z+D=0. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ისინი პერპენდიკულარული იქნება, თუ cosφ=0. ეს ნიშნავს, რომ NN¹=AA¹+BB1+CC1=0.

პარალელური სიბრტყის განტოლება

პარალელურია ორი სიბრტყე, რომელიც არ შეიცავს საერთო წერტილებს.

პირობა (მათი განტოლებები იგივეა, რაც წინა აბზაცში) არის ის, რომ ვექტორები N და N1, რომლებიც მათზე პერპენდიკულარულია, თანამიმართულია. ეს ნიშნავს, რომ დაკმაყოფილებულია პროპორციულობის შემდეგი პირობები:

A/A¹=B/B1=C/C¹.

თუ პროპორციულობის პირობები გაფართოვდა - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ეს თვითმფრინავები ერთმანეთს ემთხვევა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებები Ax+By+Cz+D=0 და A¹x+B1y+C1z+D1=0 აღწერს ერთ სიბრტყეს.

მანძილი თვითმფრინავამდე წერტილიდან

ვთქვათ გვაქვს სიბრტყე P, რომელიც მოცემულია (0) განტოლებით. აუცილებელია ვიპოვოთ მასამდე მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. ამისათვის თქვენ უნდა მოიტანოთ P სიბრტყის განტოლება ნორმალურ ფორმაში:

(ρ,v)=p (p≥0).

ამ შემთხვევაში, ρ(x,y,z) არის ჩვენი Q წერტილის რადიუსის ვექტორი, რომელიც მდებარეობს P-ზე, p არის P-ზე პერპენდიკულარულის სიგრძე, რომელიც გამოვიდა ნულოვანი წერტილიდან, v არის ერთეული ვექტორი, რომელიც მდებარეობს მიმართულება.

P-ს კუთვნილი Q \u003d (x, y, z) რადიუსის ვექტორის ρ-ρº რადიუსის ვექტორის სხვაობა, ისევე როგორც მოცემული წერტილის Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) არის ასეთი. ვექტორი, რომლის პროექციის აბსოლუტური მნიშვნელობა v-ზე უდრის მანძილს d, რომელიც უნდა მოიძებნოს Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) P-მდე:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, მაგრამ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

ასე გამოდის

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვით მიღებული გამოხატვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ანუ სასურველ d-ს.

პარამეტრების ენის გამოყენებით, ჩვენ მივიღებთ აშკარად:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

თუ მოცემული წერტილი Q 0 არის P სიბრტყის მეორე მხარეს, ისევე როგორც საწყისი, მაშინ ρ-ρ 0 და v ვექტორს შორის არის:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0,v)-p>0.

იმ შემთხვევაში, როდესაც წერტილი Q 0, საწყისთან ერთად, მდებარეობს P-ის იმავე მხარეს, მაშინ შექმნილი კუთხე არის მახვილი, ანუ:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

შედეგად, გამოდის, რომ პირველ შემთხვევაში (ρ 0 ,v)> р, მეორეში (ρ 0 ,v)<р.

ტანგენტის სიბრტყე და მისი განტოლება

ზედაპირის ტანგენსი Mº ტანგენტის წერტილში არის სიბრტყე, რომელიც შეიცავს ყველა შესაძლო ტანგენტს ზედაპირის ამ წერტილის გავლით მრუდების მიმართ.

ზედაპირის განტოლების ამ ფორმით F (x, y, z) \u003d 0, ტანგენტის სიბრტყის განტოლება ტანგენტის წერტილში Mº (xº, yº, zº) ასე გამოიყურება:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

თუ ზედაპირს მიუთითებთ აშკარა ფორმით z=f (x, y), მაშინ ტანგენტის სიბრტყე აღწერილი იქნება განტოლებით:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

ორი სიბრტყის გადაკვეთა

კოორდინატთა სისტემაში (მართკუთხა) მდებარეობს Oxyz, მოცემულია ორი სიბრტყე П′ და П″, რომლებიც იკვეთება და არ ემთხვევა ერთმანეთს. ვინაიდან მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მდებარე ნებისმიერი სიბრტყე განისაზღვრება ზოგადი განტოლებით, ჩვენ დავუშვებთ, რომ P′ და P″ მოცემულია A′x+B′y+C′z+D′=0 და A″x განტოლებით. +B″y+ С″z+D″=0. ამ შემთხვევაში გვაქვს P' სიბრტყის ნორმალური n' (A', B', C') და P' სიბრტყის ნორმალური n' (A″, B″, C″). ვინაიდან ჩვენი სიბრტყეები არ არის პარალელური და არ ემთხვევა, ეს ვექტორები არ არის კოლინარული. მათემატიკის ენის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ ეს პირობა შემდეგნაირად: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. წრფე, რომელიც დგას P′ და P″-ის გადაკვეთაზე, აღვნიშნოთ ასო a, ამ შემთხვევაში a = P′ ∩ P″.

a არის სწორი ხაზი, რომელიც შედგება П′ და П″ სიბრტყეების ყველა წერტილის სიმრავლისგან. ეს ნიშნავს, რომ a წრფის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები ერთდროულად უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებებს A′x+B′y+C′z+D′=0 და A″x+B″y+C″z+D″= 0. ეს ნიშნავს, რომ წერტილის კოორდინატები იქნება განტოლებათა შემდეგი სისტემის კონკრეტული ამოხსნა:

შედეგად, გამოდის, რომ განტოლებათა სისტემის (ზოგადი) ამონახსნები განსაზღვრავს სწორი ხაზის თითოეული წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც იმოქმედებენ П′ და П″-ის გადაკვეთის წერტილად და განსაზღვრავს სწორს. ხაზი a კოორდინატთა სისტემაში Oxyz (მართკუთხა) სივრცეში.