მისი დაზუსტება შესაძლებელია სხვადასხვა გზით (ერთი წერტილი და ვექტორი, ორი წერტილი და ვექტორი, სამი წერტილი და ა.შ.). სწორედ ამის გათვალისწინებით, თვითმფრინავის განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ფორმა. ასევე, გარკვეულ პირობებში, სიბრტყეები შეიძლება იყოს პარალელური, პერპენდიკულარული, გადამკვეთი და ა.შ. ამის შესახებ ამ სტატიაში ვისაუბრებთ. ჩვენ ვისწავლით როგორ დავწეროთ სიბრტყის ზოგადი განტოლება და არა მარტო.

განტოლების ნორმალური ფორმა

ვთქვათ, არის სივრცე R 3, რომელსაც აქვს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა XYZ. ვაყენებთ α ვექტორს, რომელიც გათავისუფლდება საწყისი O წერტილიდან. α ვექტორის ბოლოში ვხატავთ P სიბრტყეს, რომელიც იქნება მასზე პერპენდიკულარული.

P-ით აღნიშნეთ თვითნებური წერტილი Q=(x, y, z). Q წერტილის რადიუსის ვექტორს მოვაწერთ ასო p. α ვექტორის სიგრძეა p=IαI და Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

ეს არის ერთეული ვექტორი, რომელიც მიმართულია გვერდით, ისევე როგორც α ვექტორი. α, β და γ არის კუთხეები, რომლებიც იქმნება Ʋ ვექტორსა და სივრცის ღერძების დადებით მიმართულებებს შორის, შესაბამისად, x, y, z. QϵП რაღაც წერტილის პროექცია Ʋ ვექტორზე არის მუდმივი მნიშვნელობა р-ის ტოლი: (р,Ʋ) = р(р≥0).

ამ განტოლებას აქვს აზრი, როდესაც p=0. ერთადერთი ისაა, რომ სიბრტყე P ამ შემთხვევაში გადაკვეთს O წერტილს (α=0), რომელიც არის საწყისი და O წერტილიდან გამოთავისუფლებული ერთეული ვექტორი Ʋ იქნება P-ზე პერპენდიკულარული, განურჩევლად მისი მიმართულებისა. რაც ნიშნავს, რომ ვექტორი Ʋ განისაზღვრება ნიშან-ზუსტიდან. წინა განტოლება არის ჩვენი P სიბრტყის განტოლება, გამოხატული ვექტორული ფორმით. მაგრამ კოორდინატებში ასე გამოიყურება:

P აქ მეტია ან ტოლია 0-ის. ჩვენ ვიპოვეთ სიბრტყის განტოლება სივრცეში მისი ნორმალური სახით.

ზოგადი განტოლება

თუ კოორდინატებში განტოლებას გავამრავლებთ ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მივიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას, რომელიც განსაზღვრავს იმავე სიბრტყეს. ეს ასე გამოიყურება:

აქ A, B, C არის რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად განსხვავდებიან ნულიდან. ეს განტოლება მოიხსენიება, როგორც ზოგადი სიბრტყის განტოლება.

სიბრტყის განტოლებები. განსაკუთრებული შემთხვევები

განტოლება ზოგადი ფორმით შეიძლება შეიცვალოს დამატებითი პირობების არსებობისას. განვიხილოთ ზოგიერთი მათგანი.

დავუშვათ, რომ კოეფიციენტი A არის 0. ეს ნიშნავს, რომ მოცემული სიბრტყე პარალელურია მოცემული ღერძის Ox-ის. ამ შემთხვევაში განტოლების ფორმა შეიცვლება: Ву+Cz+D=0.

ანალოგიურად, განტოლების ფორმა შეიცვლება შემდეგ პირობებში:

• პირველ რიგში, თუ B = 0, მაშინ განტოლება შეიცვლება Ax + Cz + D = 0, რაც მიუთითებს პარალელურობაზე Oy ღერძის მიმართ.
• მეორეც, თუ С=0, მაშინ განტოლება გარდაიქმნება Ах+Ву+D=0-ად, რაც მიუთითებს პარალელურობაზე მოცემულ ღერძზე Oz.
• მესამე, თუ D=0, განტოლება გამოიყურება Ax+By+Cz=0, რაც ნიშნავს, რომ სიბრტყე კვეთს O (საწყისს).
• მეოთხე, თუ A=B=0, მაშინ განტოლება შეიცვლება Cz+D=0-ით, რაც აღმოჩნდება Oxy-ის პარალელურად.
• მეხუთე, თუ B=C=0, მაშინ განტოლება ხდება Ax+D=0, რაც ნიშნავს, რომ სიბრტყე Oyz-ის პარალელურია.
• მეექვსე, თუ A=C=0, მაშინ განტოლება მიიღებს Ву+D=0 ფორმას, ანუ პარალელურობას მოუხსენებს Oxz-ს.

განტოლების ტიპი სეგმენტებში

იმ შემთხვევაში, როდესაც რიცხვები A, B, C, D არ არის ნულოვანი, განტოლების ფორმა (0) შეიძლება იყოს შემდეგი:

x/a + y/b + z/c = 1,

რომელშიც \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

შედეგად მივიღებთ აღსანიშნავია, რომ ეს სიბრტყე გადაკვეთს Ox ღერძს კოორდინატებით (a,0,0), Oy - (0,b,0) და Oz - (0,0,c) წერტილში. .

x/a + y/b + z/c = 1 განტოლების გათვალისწინებით, ადვილია ვიზუალურად წარმოვადგინოთ სიბრტყის განლაგება მოცემულ კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში.

ნორმალური ვექტორული კოორდინატები

P სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს n აქვს კოორდინატები, რომლებიც წარმოადგენს მოცემული სიბრტყის ზოგადი განტოლების კოეფიციენტებს, ანუ n (A, B, C).

ნორმალური n-ის კოორდინატების დასადგენად საკმარისია ვიცოდეთ მოცემული სიბრტყის ზოგადი განტოლება.

განტოლების სეგმენტებში გამოყენებისას, რომელსაც აქვს ფორმა x/a + y/b + z/c = 1, ასევე ზოგადი განტოლების გამოყენებისას შეიძლება ჩაწეროთ მოცემული სიბრტყის ნებისმიერი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები: (1 /a + 1/b + 1/ ერთად).

უნდა აღინიშნოს, რომ ნორმალური ვექტორი ხელს უწყობს სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრას. ყველაზე გავრცელებული არის ამოცანები, რომლებიც შედგება სიბრტყეების პერპენდიკულარულობის ან პარალელურობის დადასტურებაში, სიბრტყეებს შორის კუთხეების ან სიბრტყეებსა და წრფეებს შორის კუთხის პოვნაში.

სიბრტყის განტოლების ხედი წერტილისა და ნორმალური ვექტორის კოორდინატების მიხედვით

არანულოვან ვექტორს n მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულს ეწოდება ნორმალური (ნორმალური) მოცემული სიბრტყისთვის.

დავუშვათ, რომ კოორდინატთა სივრცეში (მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა) Oxyz მოცემულია:

• წერტილი Mₒ კოორდინატებით (xₒ,yₒ,zₒ);
• ნულოვანი ვექტორი n=A*i+B*j+C*k.

აუცილებელია განტოლების შედგენა სიბრტყისთვის, რომელიც გაივლის Mₒ წერტილს ნორმალურ n-ზე პერპენდიკულარულად.

სივრცეში ვირჩევთ ნებისმიერ თვითნებურ წერტილს და აღვნიშნავთ მას M-ით (x y, z). ნებისმიერი M წერტილის (x, y, z) რადიუსის ვექტორი იყოს r=x*i+y*j+z*k, ხოლო Mₒ წერტილის რადიუსის ვექტორი (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. წერტილი M მიეკუთვნება მოცემულ სიბრტყეს, თუ ვექტორი MₒM არის n ვექტორის პერპენდიკულარული. ჩვენ ვწერთ ორთოგონალურობის პირობას სკალარული პროდუქტის გამოყენებით:

[MₒM, n] = 0.

ვინაიდან MₒM \u003d r-rₒ, თვითმფრინავის ვექტორული განტოლება ასე გამოიყურება:

ამ განტოლებას შეიძლება სხვა ფორმა ჰქონდეს. ამისათვის გამოიყენება სკალარული პროდუქტის თვისებები და გარდაიქმნება განტოლების მარცხენა მხარე. = - . თუ აღინიშნება როგორც c, მაშინ მიიღება შემდეგი განტოლება: - c \u003d 0 ან \u003d c, რომელიც გამოხატავს პროგნოზების მუდმივობას მოცემული წერტილების რადიუსის ვექტორების ნორმალურ ვექტორზე, რომლებიც ეკუთვნის სიბრტყეს.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ჩვენი სიბრტყის ვექტორული განტოლების ჩაწერის კოორდინატთა ფორმა = 0. ვინაიდან r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, და n = A*i+B *j+C*k, გვაქვს:

გამოდის, რომ გვაქვს განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის ნორმალურ n-ზე პერპენდიკულარულ წერტილში:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

სიბრტყის განტოლების ხედი ორი წერტილის კოორდინატების მიხედვით და სიბრტყეზე კოლინარული ვექტორის მიხედვით

ჩვენ განვსაზღვრავთ ორ თვითნებურ წერტილს M′ (x′,y′,z′) და M″ (x″,y″,z″), ასევე ვექტორს a (a′,a″,a‴).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევადგინოთ განტოლება მოცემული სიბრტყისთვის, რომელიც გაივლის ხელმისაწვდომ წერტილებს M′ და M″, ისევე როგორც ნებისმიერ M წერტილს კოორდინატებით (x, y, z) მოცემული a ვექტორის პარალელურად.

ამ შემთხვევაში ვექტორები M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) და M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) უნდა იყოს თანაპლექტური ვექტორთან. a=(a′,a″,a‴), რაც ნიშნავს, რომ (M′M, M″M, a)=0.

ასე რომ, სივრცეში სიბრტყის ჩვენი განტოლება ასე გამოიყურება:

სამი წერტილის გადამკვეთი სიბრტყის განტოლების ტიპი

დავუშვათ, გვაქვს სამი წერტილი: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სწორ ხაზს. აუცილებელია მოცემულ სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების დაწერა. გეომეტრიის თეორია ამტკიცებს, რომ ასეთი სიბრტყე ნამდვილად არსებობს, მხოლოდ ის არის ერთადერთი და განუმეორებელი. ვინაიდან ეს სიბრტყე კვეთს წერტილს (x′, y′, z′), მისი განტოლების ფორმა იქნება შემდეგი:

აქ A, B, C განსხვავდება ნულიდან ამავე დროს. ასევე, მოცემული სიბრტყე კვეთს კიდევ ორ წერტილს: (x″,y″,z″) და (x‴,y‴,z‴). ამასთან დაკავშირებით, შემდეგი პირობები უნდა დაკმაყოფილდეს:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევადგინოთ ერთგვაროვანი სისტემა უცნობიებით u, v, w:

ჩვენს შემთხვევაში, x, y ან z არის თვითნებური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას (1). განტოლების (1) და (2) და (3) განტოლებების სისტემის გათვალისწინებით, ზემოთ ნახაზზე მითითებული განტოლებათა სისტემა აკმაყოფილებს N (A, B, C) ვექტორს, რომელიც არატრივიალურია. ამიტომ ამ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

განტოლება (1), რომელიც ჩვენ მივიღეთ, არის სიბრტყის განტოლება. ის ზუსტად 3 ქულას გადის და ამის შემოწმება მარტივია. ამისათვის ჩვენ უნდა გავაფართოვოთ ჩვენი განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებზე. დეტერმინანტის არსებული თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ჩვენი სიბრტყე ერთდროულად კვეთს სამ თავდაპირველად მოცემულ წერტილს (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . ანუ ჩვენ მოვაგვარეთ ჩვენს წინაშე დასახული ამოცანა.

დიედრული კუთხე სიბრტყეებს შორის

დიედრული კუთხე არის სივრცითი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით, რომლებიც წარმოიქმნება ერთი სწორი ხაზიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ამ ნახევრად თვითმფრინავებით.

ვთქვათ, გვაქვს ორი სიბრტყე შემდეგი განტოლებით:

ჩვენ ვიცით, რომ ვექტორები N=(A,B,C) და N1=(A1,B1,C1) პერპენდიკულარულია მოცემული სიბრტყეების მიხედვით. ამასთან დაკავშირებით, კუთხე φ N და N1 ვექტორებს შორის უდრის კუთხეს (დიჰედრალური), რომელიც არის ამ სიბრტყეებს შორის. სკალარულ პროდუქტს აქვს ფორმა:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ზუსტად იმიტომ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

საკმარისია გავითვალისწინოთ, რომ 0≤φ≤π.

ფაქტობრივად, ორი სიბრტყე, რომლებიც იკვეთება, ქმნის ორ (დიჰედრალურ) კუთხეს: φ 1 და φ 2 . მათი ჯამი უდრის π (φ 1 + φ 2 = π). რაც შეეხება მათ კოსინუსებს, მათი აბსოლუტური მნიშვნელობები ტოლია, მაგრამ ისინი განსხვავდებიან ნიშნებით, ანუ cos φ 1 =-cos φ 2. თუ განტოლებაში (0) შევცვლით A, B და C რიცხვებით -A, -B და -C, შესაბამისად, მაშინ განტოლება, რომელსაც მივიღებთ, განსაზღვრავს იმავე სიბრტყეს, ერთადერთ კუთხე φ განტოლებაში cos φ= NN. 1 /| N||N 1 | შეიცვლება π-φ.

პერპენდიკულური სიბრტყის განტოლება

სიბრტყეებს პერპენდიკულურს უწოდებენ, თუ მათ შორის კუთხე 90 გრადუსია. ზემოთ მოყვანილი მასალის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ სიბრტყის განტოლება მეორეზე პერპენდიკულარული. ვთქვათ, გვაქვს ორი სიბრტყე: Ax+By+Cz+D=0 და A¹x+B1y+C¹z+D=0. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ისინი პერპენდიკულარული იქნება, თუ cosφ=0. ეს ნიშნავს, რომ NN¹=AA¹+BB1+CC1=0.

პარალელური სიბრტყის განტოლება

პარალელურია ორი სიბრტყე, რომელიც არ შეიცავს საერთო წერტილებს.

პირობა (მათი განტოლებები იგივეა, რაც წინა აბზაცში) არის ის, რომ ვექტორები N და N1, რომლებიც მათზე პერპენდიკულარულია, თანამიმართულია. ეს ნიშნავს, რომ დაკმაყოფილებულია პროპორციულობის შემდეგი პირობები:

A/A¹=B/B1=C/C¹.

თუ პროპორციულობის პირობები გაფართოვდა - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ეს თვითმფრინავები ერთმანეთს ემთხვევა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებები Ax+By+Cz+D=0 და A¹x+B1y+C1z+D1=0 აღწერს ერთ სიბრტყეს.

მანძილი თვითმფრინავამდე წერტილიდან

ვთქვათ გვაქვს სიბრტყე P, რომელიც მოცემულია (0) განტოლებით. აუცილებელია ვიპოვოთ მასამდე მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. ამისათვის თქვენ უნდა მოიტანოთ P სიბრტყის განტოლება ნორმალურ ფორმაში:

(ρ,v)=p (p≥0).

ამ შემთხვევაში, ρ(x,y,z) არის ჩვენი Q წერტილის რადიუსის ვექტორი, რომელიც მდებარეობს P-ზე, p არის P-ზე პერპენდიკულარულის სიგრძე, რომელიც გამოვიდა ნულოვანი წერტილიდან, v არის ერთეული ვექტორი, რომელიც მდებარეობს მიმართულება.

P-ს კუთვნილი Q \u003d (x, y, z) რადიუსის ვექტორის ρ-ρº რადიუსის ვექტორის სხვაობა, ისევე როგორც მოცემული წერტილის Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) არის ასეთი. ვექტორი, რომლის პროექციის აბსოლუტური მნიშვნელობა v-ზე უდრის მანძილს d, რომელიც უნდა მოიძებნოს Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) P-მდე:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, მაგრამ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

ასე გამოდის

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვით მიღებული გამოხატვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ანუ სასურველ d-ს.

პარამეტრების ენის გამოყენებით, ჩვენ მივიღებთ აშკარად:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

თუ მოცემული წერტილი Q 0 არის P სიბრტყის მეორე მხარეს, ისევე როგორც საწყისი, მაშინ ρ-ρ 0 და v ვექტორს შორის არის:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0,v)-p>0.

იმ შემთხვევაში, როდესაც წერტილი Q 0, საწყისთან ერთად, მდებარეობს P-ის იმავე მხარეს, მაშინ შექმნილი კუთხე არის მახვილი, ანუ:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

შედეგად, გამოდის, რომ პირველ შემთხვევაში (ρ 0 ,v)> р, მეორეში (ρ 0 ,v)<р.

ტანგენტის სიბრტყე და მისი განტოლება

ზედაპირის ტანგენსი Mº ტანგენტის წერტილში არის სიბრტყე, რომელიც შეიცავს ყველა შესაძლო ტანგენტს ზედაპირის ამ წერტილის გავლით მრუდების მიმართ.

ზედაპირის განტოლების ამ ფორმით F (x, y, z) = 0, ტანგენტის სიბრტყის განტოლება Mº წერტილზე (xº, yº, zº) ასე გამოიყურება:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

თუ ზედაპირს მიუთითებთ აშკარა ფორმით z=f (x, y), მაშინ ტანგენტის სიბრტყე აღწერილი იქნება განტოლებით:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

ორი სიბრტყის გადაკვეთა

კოორდინატთა სისტემაში (მართკუთხა) მდებარეობს Oxyz, მოცემულია ორი სიბრტყე П′ და П″, რომლებიც იკვეთება და არ ემთხვევა ერთმანეთს. ვინაიდან მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მდებარე ნებისმიერი სიბრტყე განისაზღვრება ზოგადი განტოლებით, ჩვენ დავუშვებთ, რომ P′ და P″ მოცემულია A′x+B′y+C′z+D′=0 და A″x განტოლებით. +B″y+ С″z+D″=0. ამ შემთხვევაში გვაქვს P' სიბრტყის ნორმალური n' (A', B', C') და P' სიბრტყის ნორმალური n' (A″, B″, C″). ვინაიდან ჩვენი სიბრტყეები არ არის პარალელური და არ ემთხვევა, ეს ვექტორები არ არის კოლინარული. მათემატიკის ენის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ ეს პირობა შემდეგნაირად: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. წრფე, რომელიც დგას P′ და P″-ის გადაკვეთაზე, აღვნიშნოთ ასო a, ამ შემთხვევაში a = P′ ∩ P″.

a არის სწორი ხაზი, რომელიც შედგება П′ და П″ სიბრტყეების ყველა წერტილის სიმრავლისგან. ეს ნიშნავს, რომ a წრფის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები ერთდროულად უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებებს A′x+B′y+C′z+D′=0 და A″x+B″y+C″z+D″= 0. ეს ნიშნავს, რომ წერტილის კოორდინატები იქნება განტოლებათა შემდეგი სისტემის კონკრეტული ამოხსნა:

შედეგად, გამოდის, რომ განტოლებათა სისტემის (ზოგადი) ამონახსნები განსაზღვრავს სწორი ხაზის თითოეული წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც იმოქმედებენ П′ და П″ კვეთის წერტილის როლში და განსაზღვრავს სწორს. ხაზი a კოორდინატთა სისტემაში Oxyz (მართკუთხა) სივრცეში.

1. იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში ორი მოცემული (არასწორხაზოვანი) ვექტორის პარალელურად.

Შენიშვნა: 1 გზა . ავიღოთ M სიბრტყის თვითნებური წერტილი (x, y, z). ვექტორები თანაპლენარული იქნება, რადგან ისინი პარალელურ სიბრტყეში არიან. ამიტომ მათი შერეული პროდუქტი
ამ პირობის კოორდინატებში ჩაწერისას მივიღებთ სასურველი სიბრტყის განტოლებას:

უფრო მოსახერხებელია ამ დეტერმინანტის გამოთვლა პირველ რიგში გაფართოებით.

2 გზა . ვექტორები
სასურველი სიბრტყის პარალელურად. მაშასადამე, ვექტორი ვექტორების ვექტორული ნამრავლის ტოლია
ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული , ე.ი.
და
. ვექტორი არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი . Თუ
და
, შემდეგ ვექტორი გვხვდება ფორმულის მიხედვით:

სიბრტყის განტოლება იპოვნეთ წერტილით
და ნორმალური ვექტორი

2. იპოვეთ მოცემული ვექტორის პარალელურად ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება
.(
არაკოლინარული).

Შენიშვნა: 1 გზა. მოდით M (x, y, z) იყოს სიბრტყის თვითნებური წერტილი. შემდეგ ვექტორები და
განლაგებულია პარალელურ სიბრტყეებში, შესაბამისად, ისინი თანაპლანტარულია, ე.ი. მათი შერეული პროდუქტი
ამ პირობის კოორდინატებში ჩაწერისას ვიღებთ სასურველი სიბრტყის განტოლებას .

2 გზა . ნორმალური ვექტორი სასურველ სიბრტყემდე ტოლი იქნება ვექტორების ვექტორული ნამრავლის
, ე.ი.
ან კოორდინატებში:

სასურველი სიბრტყის განტოლება ნაპოვნია ნორმალური ვექტორით და წერტილი
(ან წერტილი
) ფორმულით (2.1.1)

(იხ. მაგალითი 1 პუნქტი 2.2).

3. იპოვეთ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება
სიბრტყის პარალელურად 2x – 6y – 3z +5 =0.

Შენიშვნა:ნორმალური ვექტორი მოცემული სიბრტყის ზოგადი განტოლებიდან ვპოულობთ 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
ვექტორი პერპენდიკულარულია მოცემულ სიბრტყეზე, შესაბამისად, პერპენდიკულარულია მის პარალელურ ნებისმიერ სიბრტყეზე. ვექტორი შეიძლება მივიღოთ სასურველი სიბრტყის ნორმალურ ვექტორად. შეადგინეთ სასურველი სიბრტყის განტოლება წერტილით
და ნორმალური ვექტორი
(იხ. მაგალითი 1 პუნქტი 2.2).

პასუხი:

4. დაწერეთ განტოლება წერტილში გამავალი სიბრტყისთვის
სიბრტყეების გადაკვეთის წრფეზე პერპენდიკულარული 2x + y - 2z + 1 = 0 და

x + y + z - 5 = 0.

Შენიშვნა: 1 გზა. ვექტორები, რომლებიც პერპენდიკულარულია მათი თითოეული სიბრტყის მიმართ (ვექტორული კოორდინატები გვხვდება სიბრტყეების ზოგადი განტოლებიდან, ფორმულა (2.2.1)) პერპენდიკულარულია მათი გადაკვეთის წრფეზე და, შესაბამისად, პარალელურია სასურველი სიბრტყის. სასურველი თვითმფრინავი გადის წერტილში
ორი ვექტორის პარალელურად
(იხ. დავალება 1 ქულა 5).

სასურველი სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

პირველ რიგში მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებით, მივიღებთ სასურველ განტოლებას.

2 გზა. შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება წერტილით
და ნორმალური ვექტორი ფორმულით (2.2.1). ნორმალური ვექტორი უდრის ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლს
, იმათ.
ვინაიდან ვექტორები
არიან პერპენდიკულარული სიბრტყეების გადაკვეთის წრფეზე, შემდეგ ვექტორზე სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის პარალელურად და სასურველ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულად.

ვექტორები (იხ. ფორმულა 2.2.1), შემდეგ

შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება წერტილით
და ნორმალური ვექტორი

(იხ. მაგალითი 1 პუნქტი 2.2)

პასუხი:

5. იპოვეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება
და
სიბრტყის პერპენდიკულარული 3x – y + 3z +15 = 0.

Შენიშვნა: 1 გზა. ჩამოვწეროთ მოცემული n-ის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები სიბრტყე

3x - y + 3z +15 = 0:
ვინაიდან სიბრტყეები პერპენდიკულარულია, ვექტორი სასურველი სიბრტყის პარალელურად შეადგინეთ სასურველი სიბრტყის განტოლება
რომელიც ვექტორის პარალელურია და გადის წერტილებს
(იხ. ამოცანის ამოხსნა 2 ქულა 5; 1 გზა).

დეტერმინანტის გამოთვლით ვიღებთ სასურველი სიბრტყის განტოლებას

10x + 15y - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 გზა. შეადგინეთ სასურველი სიბრტყის განტოლება წერტილით
და ნორმალური ვექტორი
ვექტორი

ჩვენ ვადგენთ სასურველი სიბრტყის განტოლებას .

10 (x - 2) +15 (y - 3) - 5 (z + 1) = 0;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (იხ. ამოცანა 2 ქულა 5; მე-2 მეთოდი). გაყავით განტოლების ორივე მხარე 5-ზე.

2x + 3y - z - 14 = 0.

პასუხი: 2x + 3y - z - 14 = 0.

6. დაწერეთ განტოლება წერტილებზე გამავალი სიბრტყისთვის

და

Შენიშვნა:მოდით შევადგინოთ სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება (იხ. მაგალითი 1, პუნქტი 2.3, ფორმულა 2.3.1).

განმსაზღვრელი გაფართოებით, მივიღებთ

პასუხი:

კომენტარი.დეტერმინანტის გაანგარიშების სისწორის შესამოწმებლად, რეკომენდებულია ამ წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლება, რომლებითაც თვითმფრინავი გადადის მიღებულ განტოლებაში. უნდა არსებობდეს იდენტობა; წინააღმდეგ შემთხვევაში, დაშვებული იყო შეცდომა გამოთვლებში.

7. დაწერეთ განტოლება წერტილში გამავალი სიბრტყისთვის
x- სიბრტყის პარალელურად – 4y + 5z + 1 = 0.

Შენიშვნა:მოცემული სიბრტყის ზოგადი განტოლებიდან
x – 4y + 5z + 1 = 0 იპოვე ნორმალური ვექტორი
(ფორმულა 2.2.1). ვექტორი სასურველი სიბრტყის პერპენდიკულარული
შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება წერტილით
და ნორმალური ვექტორი
(იხ. მაგალითი 1; პუნქტი 2.2):

x - 4y + 5z + 15 = 0.

პასუხი: x - 4y + 5z + 15 = 0.

8. დაწერეთ განტოლება წერტილში გამავალი სიბრტყისთვის
ვექტორების პარალელურად

Შენიშვნა:იხილეთ ამოცანის ამოხსნა 1 ქულა 5. ამოცანის ამოხსნას ვხსნით ერთ-ერთი მითითებული გზით.

პასუხი: x - y - z - 1 = 0.

9. დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის წერტილს
3x - 2y - z + 1 = 0 და x - y - z = 0 სიბრტყეების გადაკვეთის წრფეზე პერპენდიკულარული.

Შენიშვნა:იხილეთ ამოცანის ამოხსნა 4 ქულა 5. ამოცანის ამოხსნას ვხსნით ერთ-ერთი მითითებული გზით.

პასუხი: x + 2y - z - 8 = 0.

10. იპოვეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

სიბრტყის პერპენდიკულარული 3x – y – 4z = 0.

Შენიშვნა:იხილეთ პრობლემის გადაწყვეტა 5 პუნქტი 5.

პასუხი: 9x - y + 7z - 40 = 0.

11. იპოვეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

A (5; –2; 3) და B (6; 1; 0) წერტილებით განსაზღვრული სწორი ხაზის პარალელურად.

Შენიშვნა:სასურველი სიბრტყე პარალელურია AB წრფესთან, შესაბამისად, ის ვექტორის პარალელურია
სასურველი სიბრტყის განტოლება ჩვენ ვპოულობთ, როგორც დავალება 2, პუნქტი 5 (ერთ-ერთი გზა).

პასუხი: 3x - 4y - 3z +4 = 0.

12. წერტილი P (2; -1; -2) ემსახურება საწყისიდან სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულურის საფუძველს. დაწერეთ განტოლება ამ სიბრტყისთვის.

Შენიშვნა:ნორმალური ვექტორი სასურველ სიბრტყემდე არის ვექტორი
იპოვეთ მისი კოორდინატები P (2; -1; -2) და O(0; 0; 0)

იმათ.
შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება წერტილით და ნორმალური ვექტორით
(იხ. მაგალითი 1, პუნქტი 2.2).

პასუხი: 2x - y - 2z - 9 = 0.

13. დაწერეთ განტოლება წერტილში გამავალი სიბრტყისთვის
სიბრტყის პარალელურად: ა) xoy; ბ) იოზი; გ) ხოზ.

Შენიშვნა:ვექტორი
- oz ღერძის ერთეული ვექტორი პერპენდიკულარულია xoy სიბრტყეზე, შესაბამისად, ის პერპენდიკულარულია სასურველ სიბრტყეზე
ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას A წერტილში (0; -1; 2) და

= (0; 0; 1), რადგან
(იხ. პრობლემის გადაწყვეტა 3, პუნქტი 5).
z - 2 = 0.

ბ) და გ) ამოცანებს ანალოგიურად ვხსნით.

ბ)
სადაც
(1; 0; 0).

in)
სადაც (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

პასუხი:ა) z - 2 = 0; ბ) x = 0; გ) y + 1 = 0.

14. დაწერეთ განტოლება წერტილებზე გამავალი სიბრტყისთვის
და

B (2; 1; –1) სიბრტყის პერპენდიკულარული: ა) xoy; ბ) ხოზ.

Შენიშვნა: xoy სიბრტყის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი

= (0; 0; 1) არის oz-ის ღერძის ერთეული ვექტორი. შეადგინეთ ორ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება
და B (2; 1; -1) და ნორმალური ვექტორის მქონე სიბრტყის პერპენდიკულარული
(0; 0; 1), მე-5 პუნქტის მე-5 პრობლემის გადაჭრის ერთ-ერთი მეთოდის გამოყენებით.
y - 1 = 0.

ანალოგიურად ბ პრობლემის შემთხვევაში):
სადაც = (0; 1; 0).

პასუხი:ა) y - 1 = 0; ბ) x + z - 1 = 0.

15. დაწერეთ განტოლება წერტილებზე გამავალი სიბრტყისთვის
და

B (2; 3; -1) oz ღერძის პარალელურად.

Შენიშვნა: oz-ის ღერძზე შეგიძლიათ აიღოთ ერთეული ვექტორი = (0; 0; 1). პრობლემის გადაწყვეტა მსგავსია 2-ე პუნქტის ამოხსნის ამოხსნის (ნებისმიერი საშუალებით).

უპასუხე: x - y + 1 = 0.

16. დაწერეთ განტოლება ხარის ღერძზე გამავალი სიბრტყისა და წერტილისთვის

Შენიშვნა:თვითმფრინავი
გადის x-ღერძზე და, შესაბამისად, O(0; 0; 0) წერტილში. ხარის ღერძზე შეგიძლიათ აიღოთ ერთეული ვექტორი = (1; 0; 0). ჩვენ ვადგენთ სასურველი სიბრტყის განტოლებას ორი წერტილის A(2; –1; 6) და O(0; 0; 0) და ვექტორის გამოყენებით. თვითმფრინავის პარალელურად. (იხ. ამოცანის ამოხსნა 2 პუნქტი 5).

პასუხი: 6y + z = 0.

17. A-ს რა მნიშვნელობაზე იქნება სიბრტყეები Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 და 2x - y + 2z \u003d 0 პერპენდიკულარული?

Შენიშვნა:სიბრტყეების ზოგადი განტოლებიდან

Ax + 2y - 7z - 1 = 0 და
2x – y + 2z = 0 ნორმალური ვექტორი

= (A; 2; -7) და
= (2; –1; 2) (2.2.1). ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობა (2.6.1).

პასუხი: A = 8.

18. რა სიდიდით A სიბრტყეზე 2x + 3y - 6z - 23 = 0 და

4x + Ay - 12z + 7 = 0 იქნება პარალელური?

Შენიშვნა:
2x + 3y - 6z - 23 = 0 და
4x + Ay - 12y + 7 = 0

= (2; 3; -6) და
= (4;A; –12) (2.2.1). რადგან
(2.5.1)

პასუხი: A = 6.

19. იპოვეთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის 2x + y + z + 7 = 0 და x - 2y + 3z = 0.

Შენიშვნა:
2x + y + z + 7 = 0 და
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) და
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

უპასუხე:

20. შეადგინეთ წერტილში გამავალი სწორი წრფის კანონიკური განტოლებები

A (1; 2; -3) ვექტორის პარალელურად =(1; –2; 1).

Შენიშვნა:იხილეთ 3.1 პუნქტის მაგალითის ამოხსნა.

უპასუხე:

21. შეადგინეთ წერტილში გამავალი სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებები

A (–2; 3; 1) ვექტორის პარალელურად =(3; –1; 2).

Შენიშვნა:იხილეთ 3.2 პუნქტის მაგალითის ამოხსნა.

უპასუხე:
.

22. შეადგინეთ A (1; 0; -2) და B (1; 2; -4) წერტილებზე გამავალი სწორი წრფის კანონიკური და პარამეტრული განტოლებები.

Შენიშვნა:იხილეთ 3.3 პუნქტის პირველი მაგალითის ამოხსნა.

პასუხი:ა)
ბ)

23. შეადგინეთ ორი სიბრტყის გადაკვეთით განსაზღვრული სწორი ხაზის კანონიკური და პარამეტრული განტოლებები x - 2y + 3z - 4 = 0 და 3x + 2y - 5z - 4 = 0.

Შენიშვნა:იხილეთ მაგალითი 1 პუნქტი 3.4. მოდით z = 0, შემდეგ წერტილის x და y კოორდინატები
იპოვნეთ სისტემის ამოხსნიდან

აქედან გამომდინარეობს წერტილი
, სასურველ ხაზზე წევს, აქვს კოორდინატები

(2; -1; 0). სიბრტყეების ზოგადი განტოლებიდან სასურველი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა
x – 2y +3z – 4 = 0 და
3x + 2y - 5z - 4 = 0

იპოვნეთ ნორმალური ვექტორები =(1; -2; 3) და
=(3; 2; –5).

წრფის კანონიკური განტოლებები ნაპოვნია წერტილიდან
(2; -1; 0) და მიმართულების ვექტორი

(იხ. ფორმულა (3.1.1)).

სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით (3.2.1) ან კანონიკური განტოლებიდან:
Ჩვენ გვაქვს:

უპასუხე:
;
.

24. წერტილის მეშვეობით
(2; -3; -4) დახაზეთ წრფის პარალელურად

.

Შენიშვნა:საჭირო ხაზის კანონიკური განტოლებები იპოვნეთ წერტილით
და მიმართულების ვექტორი როგორც
შემდეგ მიმართულების ვექტორისთვის სწორი შეგიძლიათ მიმართულების ვექტორი აიღოთ პირდაპირ ლ. შემდგომში იხილეთ 23-ე პრობლემის გადაწყვეტა, პუნქტი 5 ან მაგალითი 1, პუნქტი 3.4.

უპასუხე:

25. მოცემულია სამკუთხედის წვეროები A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) და C (–1; 3; 5). იპოვეთ B წვეროდან გამოყვანილი ABC სამკუთხედის მედიანას განტოლება.

Შენიშვნა: M წერტილის კოორდინატებს ვპოულობთ AM = MC პირობიდან (BM არის ABC სამკუთხედის მედიანა).

თან ვტოვებთ BM სწორი წრფის კანონიკურ განტოლებებს ორ B წერტილში (2; 4; -1) და
(იხ. მაგალითი 1 პუნქტი 3.3).

უპასუხე:

26. შეადგინეთ წერტილში გამავალი სწორი წრფის კანონიკური და პარამეტრული განტოლებები
(–1; –2; 2) x ღერძის პარალელურად.

Შენიშვნა:ვექტორი
– x ღერძის ერთეული ვექტორი პარალელურია საჭირო სწორი ხაზის. მაშასადამე, ის შეიძლება მივიღოთ როგორც სწორი ხაზის მიმართულ ვექტორად
= (1; 0; 0). შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლებები წერტილით

(–1; –2:2) და ვექტორი = (1; 0; 0) (იხ. მაგალითი პუნქტი 3.1 და მაგალითი 1 წერტილი 3.2).

უპასუხე:
;

27. შეადგინეთ წერტილში გამავალი სწორი წრფის კანონიკური განტოლებები
(3; –2; 4) სიბრტყის პერპენდიკულარული 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Შენიშვნა:სიბრტყის ზოგადი განტოლებიდან
5x + 3y – 7z + 1 = 0 იპოვეთ ნორმალური ვექტორი = (5; 3; -7). პირობის მიხედვით სასურველი ხაზი
აქედან გამომდინარე ვექტორი
იმათ. ვექტორი არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი L: = (5; 3; -7). სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებებს ვადგენთ წერტილით
(3; –2; 4) და მიმართულების ვექტორი

= (5; 3; -7). (იხ. მაგალითი პუნქტი 3.1).

უპასუხე:

28. შეადგინეთ საწყისიდან 4x - y + 2z - 3 = 0 სიბრტყეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულურის პარამეტრული განტოლებები.

Შენიშვნა:შევადგინოთ სასურველი პერპენდიკულურის განტოლება, ე.ი. სიბრტყის პერპენდიკულარული სწორი ხაზი
4x – y + 2z – 3 = 0 და გადის O წერტილიდან (0; 0; 0). (იხ. ამოცანის ამოხსნა 27 პუნქტი 5 და მაგალითი 1 პუნქტი 3.2).

პასუხი:

29. იპოვე წრფის გადაკვეთის წერტილი
და თვითმფრინავი

x - 2y + z - 15 = 0.

Შენიშვნა:წრფის გადაკვეთის M წერტილის პოვნა

L:
და თვითმფრინავი

x - 2y + z - 15 = 0, აუცილებელია განტოლებათა სისტემის ამოხსნა:

;

სისტემის ამოსახსნელად ვაქცევთ სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებებს პარამეტრულ განტოლებად. (იხ. ამოცანა 23, პუნქტი 5).

უპასუხე:

30. იპოვეთ M წერტილის პროექცია x + 2y - z - 3 = 0 სიბრტყეზე.

Შენიშვნა: M წერტილის პროექცია სიბრტყეზე იქნება წერტილი P - წერტილი p M წერტილიდან სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის გადაკვეთა
და თვითმფრინავები შევადგინოთ MP პერპენდიკულარულის პარამეტრული განტოლებები (იხ. ამოცანის ამოხსნა 28, პუნქტი 5).

ვიპოვოთ წერტილი P - წრფის MP და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი (იხ. ამოცანის ამოხსნა 29 პუნქტი 5).

პასუხი:

31. იპოვეთ A (1; 2; 1) წერტილის პროექცია სწორ ხაზზე

Შენიშვნა: A წერტილის პროექცია L წრფეზე:
არის ტ წერტილები L წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთაზე
რომელიც გადის A წერტილზე და პერპენდიკულარულია L წრფეზე. L წრფის კანონიკური განტოლებიდან ჩვენ ვწერთ მიმართულების ვექტორს =(3; -1; 2). თვითმფრინავი L წრფეზე პერპენდიკულარული, ასე
ასე რომ, ვექტორი შეიძლება მივიღოთ, როგორც თვითმფრინავის ნორმალური ვექტორი
= (3; -1; 2). შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება წერტილი A(1; 2; 1) და = (3; –1; 2) (იხ. მაგალითი 1 პუნქტი 2.2):
3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. იპოვეთ B წერტილი წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთაზე (იხ. ამოცანა 29, პუნქტი 5):

უპასუხე:

32. გავავლოთ წრფე M წერტილში (3; -1; 0) პარალელურად ორი სიბრტყის x - y + z - 3 = 0 და x + y + 2z - 3 = 0.

Შენიშვნა:თვითმფრინავები
x – y + z – 3 = 0 და
x + y + 2z - 3 = 0 არ არის პარალელური, რადგან პირობა (2.5.1) არ არის დაკმაყოფილებული:
თვითმფრინავები
იკვეთება. სასურველი ხაზი L, სიბრტყეების პარალელურად
ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის პარალელურად. (იხ. ამოცანების ამოხსნა 24 და 23 პუნქტი 5).

უპასუხე:

33. დაწერეთ განტოლება ორ წრფეზე გამავალი სიბრტყისთვის

Შენიშვნა:1 გზა. შეადგინეთ სასურველი სიბრტყის განტოლება წერტილით
სწორ ხაზზე წევს და ნორმალური ვექტორი . ვექტორი ტოლი იქნება წრფეების მიმართული ვექტორების ვექტორული ნამრავლის
, რომელსაც ვპოულობთ წრფეთა კანონიკური განტოლებიდან
(ფორმულა 3.1.1): = (7; 3; 5) და

= (5; 5; –3)

წერტილის კოორდინატები
იპოვეთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებიდან

ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას წერტილით
და ნორმალური ვექტორი =(–34; 46; 20) (იხ. მაგალითი 1 პუნქტი 2.2)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

2 გზა. მიმართულების ვექტორების მოძიება = (7; 3; 5) და = (5; 5; –3) წრფეების კანონიკური განტოლებიდან
წერტილი
(0; 2; –1) ვპოულობთ განტოლებიდან

. აიღეთ თვითნებური წერტილი თვითმფრინავზე

M (x; y; z). ვექტორები
შესაბამისად, თანაპლენარულია
ამ პირობიდან ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას:

უპასუხე: 17x - 23y - 10z +36 = 0.

34. დაწერეთ განტოლება წერტილში გამავალი სიბრტყისთვის
(2; 0; 1) და სწორი ხაზი

Შენიშვნა:მოდით, პირველ რიგში დავრწმუნდეთ, რომ წერტილი
ამ სწორ ხაზზე ეჟიტი:
წერტილი
და მიმართულების ვექტორი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებიდან ვპოულობთ
:
(1; -1; -1) და

= (1; 2; -1). სასურველი სიბრტყის ნორმალური ვექტორი
ჩვენ ვპოულობთ ნორმალური ვექტორის კოორდინატებს, ვიცნობთ კოორდინატებს =(1; 2; -1) და

= (1; 1; 2):

ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას წერტილით
(2; 0; 1) და ნორმალური ვექტორი = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

უპასუხე: 5x - 3y - z - 9 = 0.

სიბრტყის ზოგადი განტოლების მისაღებად ვაანალიზებთ მოცემულ წერტილში გამავალ სიბრტყეს.

მოდით იყოს სამი კოორდინატთა ღერძი ჩვენთვის უკვე ცნობილი სივრცეში - ოქსი, ოიდა ოზი. დაიჭირეთ ქაღალდის ფურცელი ისე, რომ ის ბრტყელი დარჩეს. თვითმფრინავი იქნება თავად ფურცელი და მისი გაგრძელება ყველა მიმართულებით.

დაე იყოს პთვითნებური თვითმფრინავი სივრცეში. მასზე პერპენდიკულარულ ნებისმიერ ვექტორს ეწოდება ნორმალური ვექტორი ამ თვითმფრინავს. ბუნებრივია, საუბარია არანულოვან ვექტორზე.

თუ თვითმფრინავის რომელიმე წერტილი ცნობილია პდა მისთვის ნორმალურის რაღაც ვექტორი, მაშინ ამ ორი პირობით სიბრტყე სივრცეში მთლიანად განისაზღვრება(მოცემული წერტილის გავლით, მოცემულ ვექტორზე მხოლოდ ერთი სიბრტყეა პერპენდიკულარული). თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება ასე გამოიყურება:

ასე რომ, არის პირობები, რომლებიც ადგენენ სიბრტყის განტოლებას. საკუთარი თავის მისაღებად სიბრტყის განტოლება, რომელსაც აქვს ზემოაღნიშნული ფორმა, ვიღებთ თვითმფრინავში პთვითნებური წერტილი მ ცვლადი კოორდინატებით x, წ, ზ. ეს წერტილი თვითმფრინავს ეკუთვნის მხოლოდ იმ შემთხვევაში ვექტორი ვექტორზე პერპენდიკულარული(ნახ. 1). ამისათვის, ვექტორების პერპენდიკულარობის პირობის მიხედვით, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იყოს ნულის ტოლი, ე.ი.

ვექტორი მოცემულია პირობით. ვექტორის კოორდინატებს ვპოულობთ ფორმულით :

.

ახლა ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის ფორმულის გამოყენებით , ჩვენ გამოვხატავთ სკალარულ პროდუქტს კოორდინატების სახით:

მას შემდეგ რაც წერტილი M(x; y; z)არჩეულია თვითნებურად სიბრტყეზე, შემდეგ ბოლო განტოლება კმაყოფილდება სიბრტყეზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით პ. წერტილისთვის ნ, მოცემულ თვითმფრინავზე არ წევს, ე.ი. ირღვევა თანასწორობა (1).

მაგალითი 1დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის წერტილში და ვექტორზე პერპენდიკულარულია.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (1), გადახედეთ მას კიდევ ერთხელ:

ამ ფორმულაში რიცხვები ა , ბდა Cვექტორული კოორდინატები და რიცხვები x0 , წ0 და ზ0 - წერტილის კოორდინატები.

გამოთვლები ძალიან მარტივია: ჩვენ ამ ციფრებს ჩავცვლით ფორმულაში და ვიღებთ

ჩვენ ვამრავლებთ ყველაფერს, რაც გასამრავლებლად არის საჭირო და ვაგროვებთ მხოლოდ რიცხვებს (რომლებიც ასოების გარეშეა). შედეგი:

.

სიბრტყის საჭირო განტოლება ამ მაგალითში აღმოჩნდა, რომ გამოხატული იყო პირველი ხარისხის ზოგადი განტოლებით ცვლადი კოორდინატებთან მიმართებაში. x, y, zთვითმფრინავის თვითნებური წერტილი.

ასე რომ, ფორმის განტოლება

დაურეკა თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება .

მაგალითი 2მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში ააგეთ განტოლებით მოცემული სიბრტყე .

გადაწყვეტილება. სიბრტყის ასაგებად აუცილებელია და საკმარისია ვიცოდეთ მისი სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, მაგალითად, სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან.

როგორ მოვძებნოთ ეს პუნქტები? ღერძთან გადაკვეთის წერტილის პოვნა ოზი, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ ნულები x და y-ის ნაცვლად პრობლემის ფორმულაში მოცემულ განტოლებაში: x = წ= 0. ამიტომ, ჩვენ ვიღებთ ზ= 6. ამრიგად, მოცემული სიბრტყე კვეთს ღერძს ოზიწერტილში ა(0; 0; 6) .

ანალოგიურად ვპოულობთ სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილს ოი. ზე x = ზ= 0 ვიღებთ წ= −3, ანუ წერტილი ბ(0; −3; 0) .

და ბოლოს, ჩვენ ვპოულობთ ჩვენი სიბრტყის გადაკვეთის წერტილს ღერძთან ოქსი. ზე წ = ზ= 0 ვიღებთ x= 2, ანუ წერტილი C(2; 0; 0) . ჩვენს ამოხსნაში მიღებული სამი პუნქტის მიხედვით ა(0; 0; 6) , ბ(0; −3; 0) და C(2; 0; 0) ვაშენებთ მოცემულ სიბრტყეს.

განიხილეთ ახლა თვითმფრინავის ზოგადი განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევები. ეს ის შემთხვევებია, როდესაც (2) განტოლების გარკვეული კოეფიციენტები ქრება.

1. როცა D= 0 განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს, რომელიც გადის საწყისზე, წერტილის კოორდინატებიდან 0 (0; 0; 0) აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

2. როცა A= 0 განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სიბრტყეს ოქსი, ვინაიდან ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი ღერძის პერპენდიკულარულია ოქსი(მისი პროექცია ღერძზე ოქსიუდრის ნულს). ანალოგიურად, როდესაც B= 0 თვითმფრინავი ღერძი პარალელურად ოი, და როცა C= 0 თვითმფრინავი ღერძის პარალელურად ოზი.

3. როცა A=D= 0 განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს, რომელიც გადის ღერძზე ოქსირადგან ის ღერძის პარალელურია ოქსი (A=D= 0). ანალოგიურად, თვითმფრინავი გადის ღერძზე ოი, და თვითმფრინავი ღერძის გავლით ოზი.

4. როცა A=B= 0 განტოლება განსაზღვრავს საკოორდინატო სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეს xOyრადგან ის ცულების პარალელურია ოქსი (ა= 0) და ოი (ბ= 0). ანალოგიურად, თვითმფრინავი სიბრტყის პარალელურია yOz, და თვითმფრინავი - თვითმფრინავი xOz.

5. როცა A=B=D= 0 განტოლება (ან z= 0) განსაზღვრავს კოორდინატთა სიბრტყეს xOy, რადგან ის სიბრტყის პარალელურია xOy (A=B= 0) და გადის საწყისზე ( D= 0). ანალოგიურად, განტოლება y=სივრცეში 0 განსაზღვრავს კოორდინატთა სიბრტყეს xOzდა განტოლება x= 0 - კოორდინატთა სიბრტყე yOz.

მაგალითი 3შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება პღერძის გავლით ოიდა წერტილი .

გადაწყვეტილება. ასე რომ, თვითმფრინავი გადის ღერძზე ოი. ასე რომ, მის განტოლებაში წ= 0 და ამ განტოლებას აქვს ფორმა . კოეფიციენტების დასადგენად ადა Cჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ წერტილი ეკუთვნის სიბრტყეს პ .

ამრიგად, მის კოორდინატებს შორის არის ისეთებიც, რომლებიც შეიძლება შეიცვალოს სიბრტყის განტოლებაში, რომელიც ჩვენ უკვე გამოვიყვანეთ (). კიდევ ერთხელ გადავხედოთ წერტილის კოორდინატებს:

მ0 (2; −4; 3) .

Მათ შორის x = 2 , ზ= 3. ჩვენ ვცვლით მათ ზოგად განტოლებაში და ვიღებთ განტოლებას ჩვენი კონკრეტული შემთხვევისთვის:

2ა + 3C = 0 .

ვტოვებთ 2-ს აგანტოლების მარცხენა მხარეს გადავიტანთ 3 Cმარჯვენა მხარეს და მიიღეთ

ა = −1,5C .

ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება აგანტოლებაში ვიღებთ

ან .

ეს არის განტოლება, რომელიც საჭიროა მაგალითის პირობებში.

თავად გადაჭრით პრობლემა თვითმფრინავის განტოლებებზე და შემდეგ გადახედეთ ამონახს

მაგალითი 4განსაზღვრეთ სიბრტყე (ან სიბრტყეები, თუ ერთზე მეტია) კოორდინატთა ღერძებთან ან კოორდინატებთან მიმართებაში, თუ სიბრტყე(ები) მოცემულია განტოლებით.

ტიპიური პრობლემების გადაწყვეტილებები, რომლებიც წარმოიქმნება ტესტებში - სახელმძღვანელოში "პრობლემები სიბრტყეზე: პარალელიზმი, პერპენდიკულარულობა, სამი სიბრტყის გადაკვეთა ერთ წერტილში" .

სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სიბრტყის ასაგებად აუცილებელი და საკმარისი პირობა, გარდა ერთი წერტილისა და ნორმალური ვექტორისა, არის ასევე სამი წერტილი, რომელიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე.

მიეცით სამი განსხვავებული წერტილი, და არა ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე. ვინაიდან ეს სამი წერტილი არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, ვექტორები და არ არის წრფივი, ამიტომ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი დევს წერტილებთან ერთსა და იმავე სიბრტყეში, და თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები , და თანაპლენარული, ე.ი. თუ და მხოლოდ თუ ამ ვექტორების შერეული პროდუქტიუდრის ნულს.

კოორდინატებში შერეული პროდუქტის გამოხატვის გამოყენებით, ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას

(3)

დეტერმინანტის გაფართოების შემდეგ ეს განტოლება ხდება (2) ფორმის განტოლება, ე.ი. თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება.

მაგალითი 5დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს, რომლებიც არ დევს სწორ ხაზზე:

და განსაზღვროს წრფის ზოგადი განტოლების კონკრეტული შემთხვევა, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.

გადაწყვეტილება. ფორმულის მიხედვით (3) გვაქვს:

თვითმფრინავის ნორმალური განტოლება. მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე

სიბრტყის ნორმალური განტოლება არის მისი განტოლება, დაწერილი ფორმით

იმისათვის, რომ ერთი სიბრტყე დაიხაზოს სივრცის ნებისმიერ სამ წერტილში, აუცილებელია, რომ ეს წერტილები არ იყოს ერთ სწორ ხაზზე.

განვიხილოთ წერტილები M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) საერთო დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

იმისათვის, რომ თვითნებური წერტილი M(x, y, z) მდებარეობდეს M 1 , M 2 , M 3 წერტილებთან ერთსა და იმავე სიბრტყეში, ვექტორები უნდა იყოს თანაპლექტური.

(
) = 0

ამრიგად,

თვითმფრინავის განტოლება, რომელიც გადის სამ წერტილში:

სიბრტყის განტოლება ორ წერტილთან და ვექტორთან მიმართებაში სიბრტყეზე.

მივცეთ წერტილები M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) და ვექტორი
.

შევადგინოთ მოცემულ M 1 და M 2 წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება და ვექტორის პარალელურად M (x, y, z) თვითნებური წერტილი. .

ვექტორები
და ვექტორი
უნდა იყოს თანაპლენარული, ე.ი.

(
) = 0

სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება ერთი წერტილისა და ორი ვექტორის მიმართ,

კოლინარული თვითმფრინავი.

მიეცით ორი ვექტორი
და
, კოლინარული სიბრტყეები. შემდეგ თვითმფრინავის კუთვნილი M(x, y, z) თვითნებური წერტილისთვის, ვექტორები
თანაპლენარული უნდა იყოს.

სიბრტყის განტოლება:

სიბრტყის განტოლება წერტილით და ნორმალური ვექტორით .

თეორემა. თუ M წერტილი მოცემულია სივრცეში 0 (X 0 , y 0 , ზ 0 ), შემდეგ M წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება 0 ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარული (ა, ბ, C) როგორც ჩანს:

ა(x – x 0 ) + ბ(წ – წ 0 ) + C(ზ – ზ 0 ) = 0.

მტკიცებულება. თვითმფრინავის კუთვნილი M(x, y, z) თვითნებური წერტილისთვის, ჩვენ ვქმნით ვექტორს. რადგან ვექტორი - ნორმალური ვექტორი, მაშინ ის არის სიბრტყის პერპენდიკულარული და, შესაბამისად, ვექტორის პერპენდიკულარული
. შემდეგ სკალარული პროდუქტი

= 0

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ თვითმფრინავის განტოლებას

თეორემა დადასტურდა.

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში.

თუ ზოგად განტოლებაში Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, გაყავით ორივე ნაწილი (-D)

,

ჩანაცვლება
, ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას სეგმენტებში:

რიცხვები a, b, c არის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები, შესაბამისად, x, y, z ღერძებით.

სიბრტყის განტოლება ვექტორული სახით.

სადაც

- მიმდინარე წერტილის რადიუსი-ვექტორი M(x, y, z),

ერთეული ვექტორი, რომელსაც აქვს პერპენდიკულარის მიმართულება საწყისიდან სიბრტყეზე ჩამოშვებული.

,  და  არის ამ ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეები x, y, z ღერძებით.

p არის ამ პერპენდიკულარის სიგრძე.

კოორდინატებში ამ განტოლებას აქვს ფორმა:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

მანძილი თვითნებური წერტილიდან M 0 (x 0, y 0, z 0) სიბრტყემდე Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 არის:

მაგალითი.იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი P (4; -3; 12) არის ამ სიბრტყის საწყისიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი.

ასე რომ A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, გამოიყენეთ ფორმულა:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

მაგალითი.იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში P(2; 0; -1) და

Q(1; -1; 3) პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე 3x + 2y - z + 5 = 0.

ნორმალური ვექტორი სიბრტყეზე 3x + 2y - z + 5 = 0
სასურველი სიბრტყის პარალელურად.

ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი.იპოვეთ A(2, -1, 4) წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება და

В(3, 2, -1) სიბრტყის პერპენდიკულარულად X + ზე + 2ზ – 3 = 0.

სასურველ სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა: A x+ B წ+ C ზ+ D = 0, ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (A, B, C). ვექტორი
(1, 3, -5) ეკუთვნის თვითმფრინავს. ჩვენთვის მოცემულ სიბრტყეს, სასურველზე პერპენდიკულარულად, აქვს ნორმალური ვექტორი (1, 1, 2). რადგან წერტილები A და B ეკუთვნის ორივე სიბრტყეს და სიბრტყეები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, მაშინ

ასე რომ, ნორმალური ვექტორი (11, -7, -2). რადგან წერტილი A ეკუთვნის სასურველ სიბრტყეს, მაშინ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს ამ სიბრტყის განტოლებას, ე.ი. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

საერთო ჯამში ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას: 11 x - 7წ – 2ზ – 21 = 0.

მაგალითი.იპოვეთ სიბრტყის განტოლება, რადგან იცოდეთ, რომ წერტილი P(4, -3, 12) არის ამ სიბრტყის საწყისიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი.

ნორმალური ვექტორის კოორდინატების პოვნა
= (4, -3, 12). სიბრტყის სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა: 4 x – 3წ + 12ზ+ D = 0. D კოეფიციენტის საპოვნელად Р წერტილის კოორდინატებს ვცვლით განტოლებაში:

16 + 9 + 144 + D = 0

ჯამში ვიღებთ სასურველ განტოლებას: 4 x – 3წ + 12ზ – 169 = 0

მაგალითი.მოცემულია პირამიდის წვეროების კოორდინატები A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

იპოვეთ A 1 A 2 კიდის სიგრძე.

იპოვეთ კუთხე A 1 A 2 და A 1 A 4 კიდეებს შორის.

იპოვეთ კუთხე A 1 A 4 კიდესა და A 1 A 2 A 3 კიდეს შორის.

პირველი, იპოვეთ ნორმალური ვექტორი სახის A 1 A 2 A 3 როგორც ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი
და
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

იპოვეთ კუთხე ნორმალურ ვექტორსა და ვექტორს შორის
.

-4 – 4 = -8.

ვექტორსა და სიბრტყეს შორის სასურველი კუთხე  ტოლი იქნება  = 90 0 - .

იპოვეთ სახის ფართობი A 1 A 2 A 3.

იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა.

იპოვეთ А 1 А 2 А 3 სიბრტყის განტოლება.

ჩვენ ვიყენებთ სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების ფორმულას.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

კომპიუტერის ვერსიის გამოყენებისას " უმაღლესი მათემატიკის კურსი” შეგიძლიათ გაუშვათ პროგრამა, რომელიც გადაჭრის ზემოხსენებულ მაგალითს პირამიდის წვეროების ნებისმიერი კოორდინატისთვის.

პროგრამის გასაშვებად ორჯერ დააწკაპუნეთ ხატულაზე:

პროგრამის ფანჯარაში, რომელიც იხსნება, შეიყვანეთ პირამიდის წვეროების კოორდინატები და დააჭირეთ Enter. ამრიგად, ყველა გადაწყვეტილების ქულების მიღება შესაძლებელია სათითაოდ.

შენიშვნა: პროგრამის გასაშვებად, თქვენ უნდა გქონდეთ Maple ( Waterloo Maple Inc.) დაინსტალირებული თქვენს კომპიუტერში, ნებისმიერი ვერსია დაწყებული MapleV Release 4-ით.

სიბრტყის განტოლება. როგორ დავწეროთ განტოლება თვითმფრინავისთვის?
თვითმფრინავების ორმხრივი მოწყობა. Დავალებები

სივრცითი გეომეტრია არ არის ბევრად უფრო რთული, ვიდრე "ბრტყელი" გეომეტრია და ჩვენი ფრენები სივრცეში იწყება ამ სტატიით. თემის გასაგებად, ადამიანმა კარგად უნდა გაიგოს ვექტორები, გარდა ამისა, სასურველია სიბრტყის გეომეტრიის გაცნობა - იქნება ბევრი მსგავსება, ბევრი ანალოგი, ასე რომ ინფორმაცია გაცილებით უკეთ დაიჯესტება. ჩემი გაკვეთილების სერიაში 2D სამყარო იხსნება სტატიით სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება. მაგრამ ახლა ბეტმენმა დატოვა ბრტყელეკრანიანი ტელევიზორი და გადის ბაიკონურის კოსმოდრომიდან.

დავიწყოთ ნახატებითა და სიმბოლოებით. სქემატურად, სიბრტყე შეიძლება იყოს დახატული პარალელოგრამის სახით, რომელიც ქმნის სივრცის შთაბეჭდილებას:

თვითმფრინავი უსასრულოა, მაგრამ ჩვენ გვაქვს მისი მხოლოდ ნაწილის გამოსახვის შესაძლებლობა. პრაქტიკაში, პარალელოგრამის გარდა, ოვალური ან თუნდაც ღრუბელი შედგენილია. ტექნიკური მიზეზების გამო, ჩემთვის უფრო მოსახერხებელია თვითმფრინავის ასე და ამ მდგომარეობაში გამოსახვა. რეალური სიბრტყეები, რომლებსაც პრაქტიკულ მაგალითებში განვიხილავთ, შეიძლება ნებისმიერნაირად დაალაგოთ - ძალაუნებურად აიღეთ ნახატი ხელში და გადაატრიალეთ სივრცეში, მიეცით თვითმფრინავს ნებისმიერი დახრილობა, ნებისმიერი კუთხე.

აღნიშვნა: ჩვეულებრივია თვითმფრინავების აღნიშვნა მცირე ბერძნული ასოებით, როგორც ჩანს, რომ არ აგვერიოს ისინი პირდაპირ თვითმფრინავშიან თან პირდაპირ სივრცეში. მიჩვეული ვარ ასოს გამოყენებას. ნახატზე ეს არის ასო „სიგმა“ და საერთოდ არა ხვრელი. მიუხედავად იმისა, რომ ნახვრეტიანი თვითმფრინავი, რა თქმა უნდა, ძალიან სასაცილოა.

ზოგიერთ შემთხვევაში, მოსახერხებელია გამოიყენოთ იგივე ბერძნული ასოები ხელმოწერებთან ერთად თვითმფრინავების დასანიშნად, მაგალითად, .

აშკარაა, რომ თვითმფრინავი ცალსახად განისაზღვრება სამი განსხვავებული წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე. ამიტომ, თვითმფრინავების სამასოიანი აღნიშვნები საკმაოდ პოპულარულია - მათ კუთვნილი წერტილების მიხედვით, მაგალითად და ა.შ. ხშირად ასოები ჩასმულია ფრჩხილებში: ისე, რომ თვითმფრინავი არ აგვერიოს სხვა გეომეტრიულ ფიგურაში.

გამოცდილ მკითხველს მივცემ მალსახმობების მენიუ:

• როგორ დავწეროთ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ორი ვექტორის გამოყენებით?
• როგორ დავწეროთ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გამოყენებით?

და ჩვენ არ დავიღალებით ხანგრძლივი ლოდინი:

თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება

სიბრტყის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულოვანი.

რიგი თეორიული გამოთვლები და პრაქტიკული ამოცანები მოქმედებს როგორც ჩვეულებრივი ორთონორმალური, ასევე სივრცის აფინური საფუძვლისთვის (თუ ზეთი ზეთია, დაუბრუნდით გაკვეთილს ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი). სიმარტივისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა მოვლენა ხდება ორთონორმალურ საფუძველზე და დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ახლა კი ცოტა სივრცითი ფანტაზია ვავარჯიშოთ. არა უშავს, თუ ცუდად გაქვს, ახლა ცოტას განვავითარებთ. ნერვებზე თამაშიც კი პრაქტიკას მოითხოვს.

ყველაზე ზოგად შემთხვევაში, როდესაც რიცხვები არ არის ნულის ტოლი, სიბრტყე კვეთს სამივე კოორდინატულ ღერძს. მაგალითად, ასე:

კიდევ ერთხელ ვიმეორებ, რომ თვითმფრინავი უსასრულოდ აგრძელებს ყველა მიმართულებით და ჩვენ გვაქვს მისი მხოლოდ ნაწილის გამოსახვის შესაძლებლობა.

განვიხილოთ სიბრტყეების უმარტივესი განტოლებები:

როგორ გავიგოთ ეს განტოლება? იფიქრეთ ამაზე: "Z" ყოველთვის, რადგან "X" და "Y" ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის ტოლია. ეს არის "მშობლიური" კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება. მართლაც, ფორმალურად განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: , საიდანაც აშკარად ჩანს, რომ არ გვაინტერესებს, რა მნიშვნელობებს იღებს „x“ და „y“, მნიშვნელოვანია, რომ „z“ ნულის ტოლია.

ანალოგიურად:
არის კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება;
არის კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება.

ცოტა გავართულოთ პრობლემა, განვიხილოთ სიბრტყე (აქ და შემდგომ აბზაცში ვივარაუდოთ, რომ რიცხვითი კოეფიციენტები ნულის ტოლი არ არის). გადავიწეროთ განტოლება სახით: . როგორ გავიგოთ? "X" ყოველთვის არის, რადგან "y" და "z" ნებისმიერი მნიშვნელობა უდრის გარკვეულ რიცხვს. ეს სიბრტყე კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურია. მაგალითად, სიბრტყე სიბრტყის პარალელურია და გადის წერტილს.

ანალოგიურად:
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყის;
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყის.

წევრების დამატება: . განტოლება შეიძლება ასე გადაიწეროს: , ანუ "Z" შეიძლება იყოს ნებისმიერი. Რას ნიშნავს? "X" და "Y" დაკავშირებულია თანაფარდობით, რომელიც ხაზს გარკვეულ სწორ ხაზს სიბრტყეში (თქვენ ამოიცნობთ სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლება?). ვინაიდან Z შეიძლება იყოს ნებისმიერი, ეს ხაზი "გამეორებულია" ნებისმიერ სიმაღლეზე. ამრიგად, განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს კოორდინატთა ღერძის პარალელურად

ანალოგიურად:
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძისა;
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძისა.

თუ თავისუფალი პირობები ნულის ტოლია, მაშინ თვითმფრინავები პირდაპირ გაივლიან შესაბამის ღერძებს. მაგალითად, კლასიკური "პირდაპირი პროპორციულობა":. დახაზეთ სწორი ხაზი სიბრტყეში და გონებრივად გაამრავლეთ იგი ზემოთ და ქვემოთ (რადგან "z" არის ნებისმიერი). დასკვნა: განტოლებით მოცემული სიბრტყე გადის კოორდინატთა ღერძზე.

ჩვენ ვასრულებთ მიმოხილვას: სიბრტყის განტოლება გადის საწყისზე. კარგად, აქ აშკარაა, რომ წერტილი აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას.

და ბოლოს, შემთხვევა, რომელიც ნახატზეა ნაჩვენები: - თვითმფრინავი მეგობრობს ყველა კოორდინატულ ღერძთან, მაშინ როცა ის ყოველთვის „აჭრის“ სამკუთხედს, რომელიც შეიძლება მდებარეობდეს რვა ოქტანტიდან ნებისმიერში.

წრფივი უტოლობა სივრცეში

ინფორმაციის გასაგებად საჭიროა კარგად შესწავლა წრფივი უტოლობები სიბრტყეშირადგან ბევრი რამ მსგავსი იქნება. პუნქტი იქნება მოკლე მიმოხილვა რამდენიმე მაგალითით, რადგან მასალა პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია.

თუ განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს, მაშინ უტოლობები
იკითხე ნახევრად სივრცეები. თუ უტოლობა არ არის მკაცრი (სიის ბოლო ორი), მაშინ უტოლობის ამოხსნა, ნახევარსივრცის გარდა, მოიცავს თავად სიბრტყეს.

მაგალითი 5

იპოვეთ სიბრტყის ერთეული ნორმალური ვექტორი .

გადაწყვეტილება: ერთეული ვექტორი არის ვექტორი, რომლის სიგრძე ერთია. ავღნიშნოთ ეს ვექტორი . სავსებით ნათელია, რომ ვექტორები არის კოლინარული:

პირველ რიგში, ჩვენ ვხსნით ნორმალურ ვექტორს სიბრტყის განტოლებიდან: .

როგორ მოვძებნოთ ერთეული ვექტორი? ერთეულის ვექტორის მოსაძებნად გჭირდებათ ყოველივექტორის კოორდინატი გაყოფილი ვექტორის სიგრძეზე.

მოდით გადავწეროთ ნორმალური ვექტორი ფორმაში და ვიპოვოთ მისი სიგრძე:

ზემოაღნიშნულის მიხედვით:

უპასუხე:

შემოწმება: , რომლის შემოწმებაც იყო საჭირო.

მკითხველებმა, რომლებმაც ყურადღებით შეისწავლეს გაკვეთილის ბოლო პუნქტი, ალბათ შენიშნეს ეს ერთეული ვექტორის კოორდინატები ზუსტად არის ვექტორის მიმართულების კოსინუსები:

მოდით გადავიდეთ დაშლილი პრობლემისგან: როდესაც გეძლევათ თვითნებური არანულოვანი ვექტორი, და პირობით საჭიროა მისი მიმართულების კოსინუსების პოვნა (იხილეთ გაკვეთილის ბოლო დავალებები ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი), მაშინ თქვენ, ფაქტობრივად, ასევე იპოვით მოცემულის ერთეულ ვექტორს. სინამდვილეში, ორი ამოცანა ერთ ბოთლში.

ერთეული ნორმალური ვექტორის პოვნის აუცილებლობა ჩნდება მათემატიკური ანალიზის ზოგიერთ პრობლემაში.

ჩვენ გავარკვიეთ ნორმალური ვექტორის თევზაობა, ახლა ჩვენ ვუპასუხებთ საპირისპირო კითხვას:

როგორ დავწეროთ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გამოყენებით?

ნორმალური ვექტორისა და წერტილის ეს ხისტი კონსტრუქცია კარგად არის ცნობილი ისრების სამიზნით. გთხოვთ გაწელეთ ხელი წინ და გონებრივად შეარჩიეთ სივრცეში თვითნებური წერტილი, მაგალითად, პატარა კატა გვერდითა დაფაზე. ცხადია, ამ წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ ერთი სიბრტყე თქვენი ხელის პერპენდიკულარულად.

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში, გამოიხატება ფორმულით: