შესავალი

როდესაც სტერეომეტრიული ფიგურების შესწავლა დავიწყეთ, შევეხეთ თემას „პირამიდა“. ჩვენ მოგვწონს ეს თემა, რადგან პირამიდა ძალიან ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში. და რადგან ჩვენი მომავალი პროფესია, როგორც არქიტექტორი, ამ ფიგურით არის შთაგონებული, ვფიქრობთ, რომ ის შეძლებს დიდ პროექტებისკენ გვიბიძგოს.

არქიტექტურული სტრუქტურების სიძლიერე, მათი ყველაზე მნიშვნელოვანი ხარისხი. სიძლიერის დაკავშირება, პირველ რიგში, იმ მასალებთან, საიდანაც ისინი იქმნება და, მეორეც, დიზაინის გადაწყვეტილებების მახასიათებლებთან, აღმოჩნდება, რომ სტრუქტურის სიძლიერე პირდაპირ კავშირშია გეომეტრიულ ფორმასთან, რომელიც არის მისთვის ძირითადი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საუბარია გეომეტრიულ ფიგურაზე, რომელიც შეიძლება მივიჩნიოთ შესაბამისი არქიტექტურული ფორმის მოდელად. გამოდის, რომ გეომეტრიული ფორმა ასევე განსაზღვრავს არქიტექტურული სტრუქტურის სიმტკიცეს.

ეგვიპტური პირამიდები დიდი ხანია ითვლებოდა ყველაზე გამძლე არქიტექტურულ ნაგებობად. მოგეხსენებათ, მათ აქვთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების ფორმა.

სწორედ ეს გეომეტრიული ფორმა უზრუნველყოფს უდიდეს სტაბილურობას დიდი ბაზის ფართობის გამო. მეორეს მხრივ, პირამიდის ფორმა უზრუნველყოფს მასის შემცირებას მიწის ზემოთ სიმაღლის მატებასთან ერთად. სწორედ ეს ორი თვისება ხდის პირამიდას სტაბილურს და, შესაბამისად, ძლიერს გრავიტაციის პირობებში.

პროექტის მიზანი: ისწავლე რაიმე ახალი პირამიდების შესახებ, გაიღრმავე ცოდნა და იპოვე პრაქტიკული აპლიკაციები.

ამ მიზნის მისაღწევად საჭირო იყო შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:

გაეცანით ისტორიულ ინფორმაციას პირამიდის შესახებ

განვიხილოთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული ფიგურა

იპოვნეთ განაცხადი ცხოვრებაში და არქიტექტურაში

იპოვნეთ მსგავსება და განსხვავებები პირამიდებს შორის, რომლებიც მდებარეობს მსოფლიოს სხვადასხვა კუთხეში

თეორიული ნაწილი

ისტორიული ცნობები

პირამიდის გეომეტრიის დასაწყისი ჩაეყარა ძველ ეგვიპტესა და ბაბილონში, მაგრამ იგი აქტიურად განვითარდა ძველ საბერძნეთში. პირველი, ვინც დაადგინა, თუ რისი ტოლია პირამიდის მოცულობა იყო დემოკრიტე და ევდოქსი კნიდუსელმა დაამტკიცა. ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდმა სისტემატიზაცია მოახდინა პირამიდის შესახებ ცოდნის შესახებ მისი "დასაწყისების" XII ტომში და ასევე გამოაქვეყნა პირამიდის პირველი განმარტება: სხეულის ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია თვითმფრინავებით, რომლებიც ერთ წერტილში ხვდებიან ერთი სიბრტყიდან.

ეგვიპტური ფარაონების სამარხები. მათგან ყველაზე დიდი - კეოპსის, ხაფრეს და მიკერინის პირამიდები ელ გიზაში ძველად მსოფლიოს შვიდ საოცრებად ითვლებოდა. პირამიდის აღმართვა, რომელშიც ბერძნებმა და რომაელებმა უკვე დაინახეს ძეგლი მეფეთა უპრეცედენტო სიამაყისა და სისასტიკისთვის, რამაც მთელი ეგვიპტის ხალხი გააწირა უაზრო მშენებლობისთვის, იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი საკულტო აქტი და უნდა გამოეხატა, როგორც ჩანს, ქვეყნისა და მისი მმართველის მისტიურ იდენტობას. საფლავის მშენებლობაზე ქვეყნის მოსახლეობა სასოფლო-სამეურნეო სამუშაოებისგან თავისუფალ დროს მუშაობდა. არაერთი ტექსტი მოწმობს იმ ყურადღებასა და ზრუნვას, რომელსაც თავად მეფეები (თუმცა უფრო გვიანდელი) აქცევდნენ თავიანთი საფლავის და მისი მშენებლების მშენებლობას. ასევე ცნობილია განსაკუთრებული საკულტო პატივის შესახებ, რომელიც აღმოჩნდა თავად პირამიდა.

Ძირითადი ცნებები

პირამიდამრავალკუთხედს უწოდებენ, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, მისი ზემოდან გამოყვანილი;

გვერდითი სახეები- სამკუთხედები თავმოყრილია;

გვერდითი ნეკნები- გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;

პირამიდის მწვერვალი- გვერდითი კიდეების დამაკავშირებელი წერტილი და არ დევს ფუძის სიბრტყეში;

სიმაღლე- პერპენდიკულარულის სეგმენტი, რომელიც გაყვანილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ამ სეგმენტის ბოლოებია პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);

პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ზევით და ფუძის დიაგონალზე;

ბაზა- მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის მწვერვალს.

სწორი პირამიდის ძირითადი თვისებები

გვერდითი კიდეები, გვერდითი სახეები და აპოთემები, შესაბამისად, თანაბარია.

ძირში დიედრული კუთხეები ტოლია.

გვერდითა კიდეებზე დიედრული კუთხეები ტოლია.

სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან.

თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან.

პირამიდის ძირითადი ფორმულები

პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი (სრული და შეკვეცილი) არის მისი ყველა გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი, მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.

თეორემა: რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევარს.

გვ- ბაზის პერიმეტრი;

თ- აპოთემა.

დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

p1, გვ 2 - ბაზის პერიმეტრები;

თ- აპოთემა.

რ- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის მთლიანი ზედაპირი;

S მხარე- რეგულარული დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S1 + S2- ბაზის ფართობი

პირამიდის მოცულობა

ფორმა მოცულობის მასშტაბი გამოიყენება ნებისმიერი სახის პირამიდებისთვის.

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

პირამიდის კუთხეები

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება პირამიდის გვერდით და ფუძით, პირამიდის ფუძესთან დიედრული კუთხეები ეწოდება.

ორმხრივი კუთხე იქმნება ორი პერპენდიკულურით.

ამ კუთხის დასადგენად, ხშირად უნდა გამოიყენოთ სამი პერპენდიკულარული თეორემა.

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება გვერდითი კიდით და მისი პროექციით ფუძის სიბრტყეზე, ეწოდება კუთხეები გვერდითი კიდესა და ფუძის სიბრტყეს შორის.

ორი გვერდითი სახიდან წარმოქმნილი კუთხე ეწოდება დიჰედრული კუთხე პირამიდის გვერდითი კიდეზე.

კუთხე, რომელსაც პირამიდის ერთი სახის ორი გვერდითი კიდე ქმნის, ე.წ კუთხე პირამიდის თავზე.

პირამიდის მონაკვეთები

პირამიდის ზედაპირი პოლიედრონის ზედაპირია. მისი თითოეული სახე არის სიბრტყე, ამიტომ პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც მოცემულია სეკანტური სიბრტყით არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება ცალკეული სწორი ხაზებისგან.

დიაგონალური განყოფილება

პირამიდის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე, ეწოდება დიაგონალური განყოფილებაპირამიდები.

პარალელური მონაკვეთები

თეორემა:

თუ პირამიდას კვეთს ფუძის პარალელურად სიბრტყე, მაშინ პირამიდის გვერდითი კიდეები და სიმაღლეები ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

ამ სიბრტყის მონაკვეთი არის ფუძის მსგავსი მრავალკუთხედი;

მონაკვეთისა და ფუძის ფართობები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, როგორც ზემოდან მათი მანძილის კვადრატები.

პირამიდის სახეები

სწორი პირამიდა- პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში.

სწორ პირამიდაზე:

1. გვერდითი ნეკნები ტოლია

2. გვერდითი სახეები თანაბარია

3. აპოთემები ტოლია

4. ძირში ორმხრივი კუთხეები ტოლია

5. გვერდითი კიდეების ორმხრივი კუთხეები ტოლია

6. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან

7. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან

შეკვეცილი პირამიდა- პირამიდის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ძირის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

შეკვეცილი პირამიდის ფუძე და შესაბამისი მონაკვეთი ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები.

ერთი ფუძის რომელიმე წერტილიდან მეორის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე.

Დავალებები

No1. რეგულარულ ოთხკუთხა პირამიდაში წერტილი O არის ფუძის ცენტრი, SO=8 სმ, BD=30 სმ იპოვეთ გვერდითი კიდე SA.

Პრობლემის გადაჭრა

No1. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა სახე და კიდე თანაბარია.

განვიხილოთ OSB: OSB-მართკუთხა მართკუთხედი, რადგან.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

პირამიდა არქიტექტურაში

პირამიდა - მონუმენტური ნაგებობა ჩვეულებრივი რეგულარული გეომეტრიული პირამიდის სახით, რომელშიც მხარეები ერთ წერტილში იყრიან თავს. ფუნქციური დანიშნულების მიხედვით, ძველ დროში პირამიდები სამარხი ან თაყვანისმცემლობის ადგილი იყო. პირამიდის ფუძე შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა ან პოლიგონური წვეროების თვითნებური რაოდენობით, მაგრამ ყველაზე გავრცელებული ვერსია არის ოთხკუთხა ფუძე.

ცნობილია დიდი რაოდენობით პირამიდები, რომლებიც აშენებულია ძველი სამყაროს სხვადასხვა კულტურის მიერ, ძირითადად ტაძრებისა თუ ძეგლების სახით. ყველაზე დიდი პირამიდები ეგვიპტური პირამიდებია.

მთელ დედამიწაზე შეგიძლიათ იხილოთ არქიტექტურული სტრუქტურები პირამიდების სახით. პირამიდის შენობები ძველ დროებს მოგვაგონებს და ძალიან ლამაზად გამოიყურება.

ეგვიპტური პირამიდები ძველი ეგვიპტის უდიდესი არქიტექტურული ძეგლია, რომელთა შორის ერთ-ერთი "მსოფლიოს შვიდი საოცრება" არის კეოპსის პირამიდა. ფეხიდან ზევით აღწევს 137,3 მ, ხოლო სანამ მწვერვალს დაკარგავდა, მისი სიმაღლე 146,7 მ იყო.

1983 წელს აშენდა რადიოსადგურის შენობა სლოვაკეთის დედაქალაქში, რომელიც წააგავს შებრუნებულ პირამიდის. .

ლუვრმა, რომელიც „პირამიდასავით მდუმარე და დიდებულია“ საუკუნეების მანძილზე მრავალი ცვლილება განიცადა, სანამ მსოფლიოს უდიდეს მუზეუმად იქცა. იგი დაიბადა 1190 წელს ფილიპ ავგუსტუსის მიერ აღმართულ ციხედ, რომელიც მალე სამეფო რეზიდენციად იქცა. 1793 წელს სასახლე გახდა მუზეუმი. კოლექციები მდიდრდება ანდერძით ან შესყიდვებით.

პირამიდა. შეკვეცილი პირამიდა

პირამიდაჰქვია მრავალკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი სახე არის მრავალკუთხედი ( ბაზა ), და ყველა სხვა სახე არის სამკუთხედი საერთო წვერით ( გვერდითი სახეები ) (სურ. 15). პირამიდა ე.წ სწორი , თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში (სურ. 16). სამკუთხა პირამიდა, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება ტეტრაედონი .

გვერდითი ნეკნიპირამიდა ეწოდება გვერდითი სახის მხარეს, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს სიმაღლე პირამიდა არის მანძილი მისი ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე. რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია, ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედია. წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა . დიაგონალური განყოფილება პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს.

გვერდითი ზედაპირის ფართობიპირამიდა ეწოდება ყველა მხარის ფართობის ჯამს. სრული ზედაპირის ფართობი არის ყველა მხარისა და ფუძის ფართობების ჯამი.

თეორემები

1. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდეები თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით არის დაპროექტებული ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში.

2. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდეები თანაბარი სიგრძეა, მაშინ პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია შემოხაზული წრის ცენტრში ფუძესთან ახლოს.

3. თუ პირამიდაში ყველა სახე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით პროეცირებულია ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრში.

თვითნებური პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად, ფორმულა სწორია:

სადაც ვ- მოცულობა;

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

ჩვეულებრივი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- აპოთემა;

ჰ- სიმაღლე;

S სავსე

S მხარე

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ვარის ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობა.

შეკვეცილი პირამიდაეწოდება პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და საჭრელ სიბრტყეს შორის პირამიდის ფუძის პარალელურად (სურ. 17). შეასწორეთ დამსხვრეული პირამიდა ეწოდება რეგულარული პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და პირამიდის ფუძის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

ფონდებიშეკვეცილი პირამიდა - მსგავსი მრავალკუთხედები. გვერდითი სახეები - ტრაპეცია. სიმაღლე შეკვეცილ პირამიდას ეწოდება მანძილი მის ფუძეებს შორის. დიაგონალი ჩამოჭრილი პირამიდა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის წვეროებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე. დიაგონალური განყოფილება ჩამოჭრილი პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

შეკვეცილი პირამიდისთვის მოქმედებს ფორმულები:

(4)

სადაც ს 1 , ს 2 - ზედა და ქვედა ბაზების უბნები;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

ჰ- სიმაღლე;

ვარის დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა.

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულა მართალია:

სადაც გვ 1 , გვ 2 - ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- ჩვეულებრივი დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა.

მაგალითი 1რეგულარულ სამკუთხა პირამიდაში, ფუძეზე ორკუთხა კუთხე არის 60º. იპოვეთ გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ფუძის სიბრტყეზე.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 18).

პირამიდა რეგულარულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი და ყველა გვერდითი მხარე თანაბარი ტოლგვერდა სამკუთხედია. ძირის დიედრული კუთხე არის პირამიდის გვერდითი სახის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე. წრფივი კუთხე იქნება კუთხე აორ პერპენდიკულარებს შორის: ე.ი. პირამიდის მწვერვალი გამოსახულია სამკუთხედის ცენტრში (მოხაზული წრის ცენტრი და სამკუთხედში ჩაწერილი წრე ABC). გვერდითი ნეკნის დახრილობის კუთხე (მაგ სბ) არის კუთხე თავად კიდესა და მის პროექციას საბაზისო სიბრტყეზე. ნეკნისთვის სბეს კუთხე იქნება კუთხე SBD. ტანგენტის საპოვნელად თქვენ უნდა იცოდეთ ფეხები ᲘᲡᲔდა OB. მიეცით სეგმენტის სიგრძე BDარის 3 ა. წერტილი ოხაზის სეგმენტი BDიყოფა ნაწილებად: და From ჩვენ ვპოულობთ ᲘᲡᲔ: ჩვენგან ვპოულობთ:

პასუხი:

მაგალითი 2იპოვეთ რეგულარული ჩამოჭრილი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა, თუ მისი ფუძეების დიაგონალებია სმ და სმ, ხოლო სიმაღლე 4 სმ.

გადაწყვეტილება.დამსხვრეული პირამიდის მოცულობის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (4). ფუძეების ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფუძის კვადრატების გვერდები, იცოდეთ მათი დიაგონალები. ფუძის გვერდები არის შესაბამისად 2 სმ და 8 სმ. ეს ნიშნავს ფუძის ფართობებს და ყველა მონაცემის ფორმულაში ჩანაცვლებით, გამოვთვლით დამსხვრეული პირამიდის მოცულობას:

პასუხი: 112 სმ3.

მაგალითი 3იპოვეთ რეგულარული სამკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 10 სმ და 4 სმ, ხოლო პირამიდის სიმაღლე 2 სმ.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 19).

ამ პირამიდის გვერდითი სახე არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუძეები და სიმაღლე. ბაზები მოცემულია პირობით, უცნობია მხოლოდ სიმაღლე. იპოვე საიდან მაგრამ 1 ეპერპენდიკულარული წერტილიდან მაგრამ 1 ქვედა ბაზის სიბრტყეზე, ა 1 დ- პერპენდიკულარულად მაგრამ 1-ზე AC. მაგრამ 1 ე\u003d 2 სმ, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე. საპოვნელად DEდავასრულებთ დამატებით ნახატს, რომელშიც გამოვსახავთ ზედა ხედს (სურ. 20). Წერტილი ო- ზედა და ქვედა ბაზის ცენტრების პროექცია. წლიდან (იხ. სურ. 20) და მეორე მხრივ კარგიარის შემოხაზული წრის რადიუსი და OMარის ჩაწერილი წრის რადიუსი:

MK=DE.

პითაგორას თეორემის მიხედვით

გვერდითი სახის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4პირამიდის ძირში დევს ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის ფუძეები ადა ბ (ა> ბ). თითოეული გვერდითი სახე ქმნის კუთხეს, რომელიც ტოლია პირამიდის ფუძის სიბრტყის ჯ. იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 21). პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი SABCDუდრის ფართობებისა და ტრაპეციის ფართობის ჯამს Ა Ბ Გ Დ.

გამოვიყენოთ განცხადება, რომ თუ პირამიდის ყველა სახე თანაბრად არის მიდრეკილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ წვერო პროეცირდება ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრში. Წერტილი ო- წვეროს პროექცია სპირამიდის ძირში. სამკუთხედი SODარის სამკუთხედის ორთოგონალური პროექცია CSDსაბაზო სიბრტყემდე. ბრტყელი ფიგურის ორთოგონალური პროექციის ფართობის თეორემის მიხედვით ვიღებთ:

ანალოგიურად, ეს ნიშნავს ამრიგად, პრობლემა შემცირდა ტრაპეციის არეალის პოვნამდე Ა Ბ Გ Დ. დახაზეთ ტრაპეცია Ა Ბ Გ Დცალკე (სურ. 22). Წერტილი ოარის ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

ვინაიდან წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ ან პითაგორას თეორემით გვაქვს

აქ არის თავმოყრილი ძირითადი ინფორმაცია პირამიდების და მასთან დაკავშირებული ფორმულებისა და კონცეფციების შესახებ. ყველა მათგანი სწავლობს მათემატიკის რეპეტიტორთან გამოცდისთვის მოსამზადებლად.

განვიხილოთ თვითმფრინავი, მრავალკუთხედი იწვა მასში და წერტილი S არ დევს მასში. შეაერთეთ S მრავალკუთხედის ყველა წვეროსთან. შედეგად წარმოქმნილ პოლიედრონს პირამიდა ეწოდება. სეგმენტებს გვერდითი კიდეები ეწოდება. მრავალკუთხედს ეწოდება ფუძე, ხოლო S წერტილს - პირამიდის მწვერვალი. n რიცხვიდან გამომდინარე, პირამიდას ეწოდება სამკუთხა (n=3), ოთხკუთხა (n=4), ხუთკუთხა (n=5) და ა.შ. სამკუთხა პირამიდის ალტერნატიული სახელი - ტეტრაედონი. პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც გამოყვანილია მისი მწვერვალიდან ფუძის სიბრტყემდე.

პირამიდას ეწოდება სწორი თუ რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის სიმაღლის ფუძე (პერპენდიკულარულის საფუძველი) არის მისი ცენტრი.

დამრიგებლის კომენტარი:
არ აურიოთ ცნება "რეგულარული პირამიდა" და "რეგულარული ტეტრაედონი". ჩვეულებრივ პირამიდაში გვერდითი კიდეები სულაც არ არის ფუძის კიდეების ტოლი, მაგრამ ჩვეულებრივ ტეტრაედრონში კიდეების ექვსივე კიდე ტოლია. ეს არის მისი განმარტება. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ ტოლობა გულისხმობს მრავალკუთხედის P ცენტრის სიმაღლის ფუძით, ამიტომ რეგულარული ტეტრაედონი არის რეგულარული პირამიდა.

რა არის აპთემა?
პირამიდის აპოთემა არის მისი გვერდითი სახის სიმაღლე. თუ პირამიდა რეგულარულია, მაშინ მისი ყველა აპთემა ტოლია. საპირისპირო არ არის სიმართლე.

მათემატიკის დამრიგებელი თავისი ტერმინოლოგიის შესახებ: პირამიდებთან მუშაობა 80% აგებულია ორი ტიპის სამკუთხედის მეშვეობით:
1) აპოთემის შემცველი SK და სიმაღლე SP
2) შეიცავს გვერდითი კიდის SA და მისი პროექციის PA

ამ სამკუთხედების მითითების გასამარტივებლად, მათემატიკის დამრიგებელი უფრო მოსახერხებელია დაასახელოს მათგან პირველი. აპოთემიურიდა მეორე სანაპირო. სამწუხაროდ, ამ ტერმინოლოგიას ვერც ერთ სახელმძღვანელოში ვერ ნახავთ და მასწავლებელმა ცალმხრივად უნდა შემოიტანოს.

პირამიდის მოცულობის ფორმულა:
1) სად არის პირამიდის ფუძის ფართობი და არის პირამიდის სიმაღლე
2) სადაც არის ჩაწერილი სფეროს რადიუსი და არის პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.
3) , სადაც MN არის მანძილი ნებისმიერი ორი გადაკვეთის კიდეზე და არის პარალელოგრამის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება დარჩენილი ოთხი კიდის შუა წერტილებით.

პირამიდის სიმაღლის ბაზის თვისება:

წერტილი P (იხ. ფიგურა) ემთხვევა პირამიდის ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრს, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:
1) ყველა აპთემა თანაბარია
2) ყველა გვერდითი სახე თანაბრად არის დახრილი ბაზისკენ
3) ყველა აპოთემა თანაბრად არის მიდრეკილი პირამიდის სიმაღლეზე
4) პირამიდის სიმაღლე თანაბრად არის დახრილი ყველა მხარისკენ

მათემატიკის დამრიგებლის კომენტარი: გაითვალისწინეთ, რომ ყველა წერტილი გაერთიანებულია ერთი საერთო თვისებით: ასე თუ ისე, გვერდითი სახეები ყველგან მონაწილეობენ (აპოთემები მათი ელემენტებია). ამიტომ, დამრიგებელს შეუძლია შესთავაზოს ნაკლებად ზუსტი, მაგრამ უფრო მოსახერხებელი ფორმულირება დასამახსოვრებლად: წერტილი P ემთხვევა ჩაწერილი წრის ცენტრს, პირამიდის ფუძეს, თუ არსებობს თანაბარი ინფორმაცია მისი გვერდითი სახეების შესახებ. ამის დასამტკიცებლად საკმარისია იმის ჩვენება, რომ ყველა აპოთემური სამკუთხედი ტოლია.

წერტილი P ემთხვევა შემოხაზული წრის ცენტრს პირამიდის ფუძესთან, თუ სამი პირობიდან ერთ-ერთი მართალია:
1) ყველა გვერდითი კიდე თანაბარია
2) ყველა გვერდითი ნეკნი თანაბრად არის დახრილი ბაზისკენ
3) ყველა გვერდითი ნეკნი თანაბრად არის დახრილი სიმაღლეზე

ვიდეო გაკვეთილი 2: პირამიდის გამოწვევა. პირამიდის მოცულობა

ვიდეო გაკვეთილი 3: პირამიდის გამოწვევა. სწორი პირამიდა

ლექცია: პირამიდა, მისი ფუძე, გვერდითი კიდეები, სიმაღლე, გვერდითი ზედაპირი; სამკუთხა პირამიდა; მარჯვენა პირამიდა

პირამიდა, მისი თვისებები

პირამიდა- ეს არის სამგანზომილებიანი სხეული, რომელსაც ძირში აქვს მრავალკუთხედი და მისი ყველა სახე შედგება სამკუთხედებისგან.

პირამიდის განსაკუთრებული შემთხვევაა კონუსი, რომლის ძირში დევს წრე.

განვიხილოთ პირამიდის ძირითადი ელემენტები:

აპოთემაარის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს პირამიდის ზედა ნაწილს გვერდითი სახის ქვედა კიდეს შუა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის პირამიდის სახის სიმაღლე.

სურათზე შეგიძლიათ იხილოთ სამკუთხედები ADS, ABS, BCS, CDS. თუ კარგად დააკვირდებით სახელებს, ხედავთ, რომ თითოეულ სამკუთხედს აქვს ერთი საერთო ასო თავის სახელში - S. ანუ ეს ნიშნავს, რომ ყველა გვერდითი სახე (სამკუთხედი) ერთ წერტილში იყრის თავს, რასაც პირამიდის მწვერვალი ეწოდება.

სეგმენტი OS, რომელიც აკავშირებს წვეროს ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილთან (სამკუთხედების შემთხვევაში, სიმაღლეების გადაკვეთის ადგილზე), ე.წ. პირამიდის სიმაღლე.

დიაგონალური მონაკვეთი არის სიბრტყე, რომელიც გადის პირამიდის თავზე, ისევე როგორც ფუძის ერთ-ერთ დიაგონალზე.

ვინაიდან პირამიდის გვერდითი ზედაპირი შედგება სამკუთხედებისგან, გვერდითი ზედაპირის მთლიანი ფართობის დასადგენად აუცილებელია თითოეული სახის არეების პოვნა და მათი დამატება. სახეების რაოდენობა და ფორმა დამოკიდებულია ძირში მდებარე მრავალკუთხედის გვერდების ფორმასა და ზომაზე.

პირამიდის ერთადერთ სიბრტყეს, რომელსაც წვერო არ აქვს, ეწოდება საფუძველიპირამიდები.

ნახატზე ვხედავთ, რომ ფუძე არის პარალელოგრამი, თუმცა შეიძლება არსებობდეს ნებისმიერი თვითნებური მრავალკუთხედი.

Თვისებები:

განვიხილოთ პირამიდის პირველი შემთხვევა, რომელშიც მას აქვს იგივე სიგრძის კიდეები:

• წრე შეიძლება აღწერილი იყოს ასეთი პირამიდის ფუძის გარშემო. თუ თქვენ დააპროექტებთ ასეთი პირამიდის მწვერვალს, მაშინ მისი პროექცია განთავსდება წრის ცენტრში.
• პირამიდის ძირის კუთხეები ერთი და იგივეა თითოეული სახისთვის.
• ამავდროულად, საკმარისი პირობა იმისა, რომ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი პირამიდის ფუძის ირგვლივ და ასევე, რომ ყველა კიდე სხვადასხვა სიგრძისაა, შეიძლება ჩაითვალოს იგივე კუთხეები ფუძესა და სახეების თითოეულ კიდეს შორის. .

თუ თქვენ წააწყდებით პირამიდას, რომელშიც კუთხეები გვერდებსა და ფუძეს შორის ტოლია, მაშინ შემდეგი თვისებები მართალია:

• თქვენ შეძლებთ აღწეროთ წრე პირამიდის ფუძის ირგვლივ, რომლის მწვერვალი ზუსტად არის დაპროექტებული ცენტრისკენ.
• თუ სიმაღლის თითოეულ მხარეს დახატავთ ძირამდე, მაშინ ისინი თანაბარი სიგრძის იქნება.
• ასეთი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად საკმარისია ფუძის პერიმეტრის პოვნა და სიმაღლის სიგრძის ნახევარზე გამრავლება.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• პირამიდის სახეები.
• იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მრავალკუთხედი დევს პირამიდის ფუძესთან, ისინი შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა და ა.შ.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა

• აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, რომელიც გამოყვანილია მისი ზემოდან (გარდა ამისა, აპოთემა არის პერპენდიკულარულის სიგრძე, რომელიც დაბლაა რეგულარული მრავალკუთხედის შუადან მის 1 მხარეს);
• გვერდითი სახეები (ASB, BSC, CSD, DSA) - სამკუთხედები, რომლებიც იყრიან თავს ზედა;
• გვერდითი ნეკნები ( ას , BS , CS , დ.ს. ) - გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;
• პირამიდის მწვერვალი (v. S) - წერტილი, რომელიც აკავშირებს გვერდით კიდეებს და რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში;
• სიმაღლე ( ᲘᲡᲔ ) - პერპენდიკულარულის სეგმენტი, რომელიც პირამიდის ზემოდან გაყვანილია მისი ფუძის სიბრტყემდე (ასეთი სეგმენტის ბოლოები იქნება პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);
• პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ფუძის ზედა და დიაგონალზე;
• ბაზა (Ა Ბ Გ Დ) არის მრავალკუთხედი, რომელსაც პირამიდის მწვერვალი არ ეკუთვნის.

პირამიდის თვისებები.

1. როცა ყველა გვერდითი კიდე ერთი და იგივე ზომისაა, მაშინ:

• პირამიდის ფუძის მახლობლად ადვილია წრის აღწერა, ხოლო პირამიდის მწვერვალი იქნება დაპროექტებული ამ წრის ცენტრში;
• გვერდითი ნეკნები ქმნიან თანაბარ კუთხეებს ფუძის სიბრტყესთან;
• გარდა ამისა, პირიქითაც მართალია, ე.ი. როდესაც გვერდითი კიდეები ქმნიან ფუძის სიბრტყესთან თანაბარ კუთხეებს, ან როდესაც წრე შეიძლება აღწეროს პირამიდის ფუძესთან და პირამიდის ზევით იქნება დაპროექტებული ამ წრის ცენტრში, მაშინ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე აქვს იგივე ზომა.

2. როდესაც გვერდით გვერდებს აქვთ დახრილობის კუთხე იმავე მნიშვნელობის ფუძის სიბრტყის მიმართ, მაშინ:

• პირამიდის ფუძის მახლობლად, ადვილია წრის აღწერა, ხოლო პირამიდის ზევით იქნება დაპროექტებული ამ წრის ცენტრში;
• გვერდითი სახეების სიმაღლეები თანაბარია;
• გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის ფუძის პერიმეტრისა და გვერდითი სახის სიმაღლის პროდუქტი.

3. სფერო შეიძლება აღიწეროს პირამიდის მახლობლად, თუ პირამიდის ფუძე არის მრავალკუთხედი, რომლის ირგვლივ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). სფეროს ცენტრი იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილი, რომლებიც გადიან მათზე პერპენდიკულარული პირამიდის კიდეების შუა წერტილებში. ამ თეორემიდან ვასკვნით, რომ სფერო შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც ნებისმიერი სამკუთხა, ასევე ნებისმიერი რეგულარული პირამიდის გარშემო.

4. სფერო შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, თუ პირამიდის შიდა ორთავიანი კუთხეების ბისექტრული სიბრტყეები იკვეთება 1-ელ წერტილში (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). ეს წერტილი გახდება სფეროს ცენტრი.

უმარტივესი პირამიდა.

პირამიდის ფუძის კუთხეების რაოდენობის მიხედვით იყოფა სამკუთხედად, ოთხკუთხედად და ა.შ.

პირამიდა იქნება სამკუთხა, ოთხკუთხადა ასე შემდეგ, როდესაც პირამიდის ფუძე არის სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ. სამკუთხა პირამიდა არის ტეტრაჰედრონი - ტეტრაედონი. ოთხკუთხა - ხუთკუთხა და ა.შ.