სრული კვადრატული განტოლების არასრულად გარდაქმნა ასე გამოიყურება (შემთხვევისთვის \(b=0\)):

იმ შემთხვევებში, როდესაც \(c=0\) ან როდესაც ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ყველაფერი მსგავსია.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ \(a\) არ არის ნულის ტოლი, ის არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რადგან ამ შემთხვევაში ის იქცევა:

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ არასრული კვადრატული განტოლება ჯერ კიდევ არის, შესაბამისად, მისი ამოხსნა შეიძლება ისე, როგორც ჩვეულებრივი კვადრატული (მეშვეობით). ამისათვის ჩვენ უბრალოდ დავამატებთ განტოლების გამოტოვებულ კომპონენტს ნულოვანი კოეფიციენტით.

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(3x^2-27=0\)
გადაწყვეტილება :

		გვაქვს არასრული კვადრატული განტოლება კოეფიციენტით \(b=0\). ანუ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება შემდეგი ფორმით:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		სინამდვილეში, აქ არის იგივე განტოლება, როგორც დასაწყისში, მაგრამ ახლა მისი ამოხსნა შესაძლებელია როგორც ჩვეულებრივი კვადრატი. ჯერ ვწერთ კოეფიციენტებს.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		გამოთვალეთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		ვიპოვოთ განტოლების ფესვები ფორმულების გამოყენებით \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) და \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ) (2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		ჩაწერეთ პასუხი

უპასუხე : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(-x^2+x=0\)
გადაწყვეტილება :

		ისევ არასრული კვადრატული განტოლება, მაგრამ ახლა კოეფიციენტი \(c\) ნულის ტოლია. განტოლებას ვწერთ დასრულებულად.

კოპიევსკაიას სოფლის საშუალო სკოლა

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის 10 გზა

ხელმძღვანელი: პატრიკეევა გალინა ანატოლიევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

ს.კოპიევო, 2007 წ

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმში

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII სს

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

დასკვნა

ლიტერატურა

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

ძველ დროში არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა გამოწვეული იყო სამხედრო ხასიათის მიწის და მიწის სამუშაოების ტერიტორიების მოძიებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით, აგრეთვე ასტრონომიისა და ასტრონომიის განვითარებით. თავად მათემატიკა. კვადრატულმა განტოლებებმა შეძლეს ამოხსნათ დაახლოებით 2000 წ. ე. ბაბილონელები.

თანამედროვე ალგებრული აღნიშვნის გამოყენებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათ ლურსმული ტექსტებში, არასრული ტექსტების გარდა, არის ასეთი, მაგალითად, სრული კვადრატული განტოლებები:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც ნათქვამია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე აღმოჩენილი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ ამონახსნებს და არ არის მითითებული, თუ როგორ იქნა ისინი ნაპოვნი.

ბაბილონში ალგებრის განვითარების მაღალი დონის მიუხედავად, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები.

დიოფანტეს არითმეტიკა არ შეიცავს ალგებრის სისტემურ ექსპოზიციას, მაგრამ შეიცავს ამოცანების სისტემურ სერიას, რომელსაც ახლავს განმარტებები და ამოხსნილია სხვადასხვა ხარისხის განტოლებების ფორმულირებით.

განტოლებების შედგენისას დიოფანტი ოსტატურად ირჩევს უცნობებს ამოხსნის გასამარტივებლად.

აი, მაგალითად, მისი ერთ-ერთი ამოცანა.

დავალება 11."იპოვეთ ორი რიცხვი, რადგან იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20, ნამრავლი კი 96"

დიოფანტე ასე ამტკიცებს: პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ სასურველი რიცხვები არ არის ტოლი, რადგან ტოლი რომ იყოს, მაშინ მათი ნამრავლი იქნება არა 96-ის, არამედ 100-ის ტოლი. ამრიგად, ერთ-ერთი მათგანი იქნება მეტი. მათი ჯამის ნახევარი, ე.ი. 10+x, მეორე უფრო პატარაა, ე.ი. 10-იანი წლები. განსხვავება მათ შორის 2x .

აქედან გამომდინარეობს განტოლება:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

აქედან x = 2. ერთ-ერთი სასურველი ნომერია 12 , სხვა 8 . გადაწყვეტილება x = -2რადგან დიოფანტე არ არსებობს, რადგან ბერძნულმა მათემატიკამ მხოლოდ დადებითი რიცხვები იცოდა.

თუ ამ პრობლემას მოვაგვარებთ ერთ-ერთი სასურველი რიცხვის უცნობის არჩევით, მაშინ მივალთ განტოლების ამოხსნამდე.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

გასაგებია, რომ დიოფანტე ამარტივებს ამოხსნას სასურველი რიცხვების ნახევრად განსხვავების ამორჩევით უცნობად; ის ახერხებს ამოცანის შემცირებას არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე (1).

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

კვადრატული განტოლებების ამოცანები უკვე გვხვდება ასტრონომიულ ტრაქტში "არიაბჰატამი", რომელიც შედგენილია 499 წელს ინდოელი მათემატიკოსისა და ასტრონომის არიაბჰატას მიერ. კიდევ ერთმა ინდოელმა მეცნიერმა, ბრაჰმაგუპტამ (VII საუკუნე), გამოაქვეყნა კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი, რომელიც შემცირებულია კანონიკურ ფორმამდე:

აჰ 2+ ბ x = c, a > 0. (1)

განტოლებაში (1) კოეფიციენტები, გარდა ა, ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად ემთხვევა ჩვენსას.

ძველ ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ისე განათლებული ადამიანი გადააჭარბებს სხვის დიდებას საჯარო შეხვედრებზე, ალგებრული პრობლემების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. ამოცანები ხშირად იყო ჩაცმული პოეტური ფორმით.

აქ არის XII საუკუნის ცნობილი ინდოელი მათემატიკოსის ერთ-ერთი პრობლემა. ბჰასკარა.

დავალება 13.

"მაიმუნების ცბიერი ფარა და თორმეტი ვაზში...

ძალა შეჭამეს, გაერთეთ. მათ დაიწყეს ხტომა, ჩამოკიდება ...

მერვე ნაწილი მოედანზე რამდენი მაიმუნი იყო იქ,

გართობა მდელოზე. შენ მეუბნები, ამ ფარაში?

ბჰასკარას ამონახსნი მიუთითებს, რომ მან იცოდა კვადრატული განტოლებების ფესვების ორმნიშვნელოვნების შესახებ (ნახ. 3).

მე-13 ამოცანის შესაბამისი განტოლება არის:

( x /8) 2 + 12 = x

ბჰასკარა საფარქვეშ წერს:

x 2 - 64x = -768

და ამ განტოლების მარცხენა მხარის კვადრატის დასასრულებლად, ის ამატებს ორივე მხარეს 32 2 , მიღების შემდეგ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმში

ალ-ხორეზმის ალგებრულ ტრაქტატში მოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია. ავტორი ჩამოთვლის განტოლების 6 ტიპს და მათ შემდეგნაირად გამოხატავს:

1) „კვადრატები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

2) „კვადრატები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. ცული 2 = ს.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. აჰ = ს.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. აჰ 2+ bx = ს.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ე.ი. bx + c \u003d ცული 2.

ალ-ხორეზმისთვის, რომელიც გაურბოდა უარყოფითი რიცხვების გამოყენებას, თითოეული ამ განტოლების ტერმინები არის დამატებები და არა გამოკლება. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ასახავს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუქაბალას მეთოდების გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილებები, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენსას. რომ აღარაფერი ვთქვათ, რომ ის წმინდა რიტორიკულია, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას

ალ-ხორეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულოვან ამონახსნებს, ალბათ იმიტომ, რომ მას არ აქვს მნიშვნელობა კონკრეტულ პრაქტიკულ ამოცანებში. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხორეზმი ადგენს ამოხსნის წესებს, შემდეგ კი გეომეტრიულ მტკიცებულებებს, კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების გამოყენებით.

დავალება 14.„კვადრატი და რიცხვი 21 უდრის 10 ფესვს. იპოვე ფესვი" (ვივარაუდოთ, რომ განტოლების ფესვი x 2 + 21 = 10x).

ავტორის ამონახსნი დაახლოებით ასე გამოიყურება: გაყავით ფესვების რაოდენობა შუაზე, მიიღებთ 5-ს, თავისთავად გაამრავლებთ 5-ს, ნამრავლს გამოაკლებთ 21-ს, რჩება 4. აიღეთ 4-ის ფესვი, მიიღებთ 2-ს. გამოაკლებთ 2-ს 5-ს. მიიღეთ 3, ეს იქნება სასურველი ფესვი. ან დაამატეთ 2 5-ს, რომელიც მისცემს 7-ს, ესეც ფესვია.

ტრაქტატი ალ-ხორეზმი ჩვენამდე მოღწეული პირველი წიგნია, რომელშიც სისტემატურად არის ჩამოყალიბებული კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია და მოცემულია მათი ამოხსნის ფორმულები.

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII საუკუნეებს

ევროპაში ალ-ხორეზმის მოდელზე კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ 1202 წელს დაწერილი "აბაკუსის წიგნში". ეს მოცულობითი ნაშრომი, რომელიც ასახავს მათემატიკის გავლენას, როგორც ისლამის ქვეყნებს, ისე ძველ საბერძნეთს, გამოირჩევა როგორც სისრულით, ასევე პრეზენტაციის სიცხადით. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მარტო იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. ბევრი დავალება „აბაკსის წიგნიდან“ XVI-XVII საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში შევიდა. და ნაწილობრივ XVIII.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი დაყვანილი ერთი კანონიკური ფორმით:

x 2+ bx = თან,

კოეფიციენტების ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციისთვის ბ , თანჩამოყალიბდა ევროპაში მხოლოდ 1544 წელს მ.შტიფელის მიერ.

ვიეტას აქვს კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის ზოგადი წარმოშობა, მაგრამ ვიეტამ აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. მე-16 საუკუნეში პირველთა შორის იყვნენ იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელი. გაითვალისწინეთ, გარდა დადებითი და უარყოფითი ფესვებისა. მხოლოდ XVII საუკუნეში. ჟირარის, დეკარტის, ნიუტონის და სხვა მეცნიერების მუშაობის წყალობით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზა თანამედროვე სახეს იღებს.

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებსა და მის ფესვებს შორის კავშირის გამომხატველი თეორემა, რომელსაც ატარებს ვიეტას სახელი, მან პირველად ჩამოაყალიბა 1591 წელს შემდეგნაირად: „თუ ბ + დგამრავლებული ა - ა 2 , უდრის BD, მაშინ აუდრის ATდა თანაბარი დ ».

ვიეტას გასაგებად, ეს უნდა გვახსოვდეს მაგრამ, ისევე როგორც ნებისმიერი ხმოვანი, მისთვის ნიშნავდა უცნობს (ჩვენი X), ხმოვნები AT, დ- კოეფიციენტები უცნობისთვის. თანამედროვე ალგებრის ენაზე ვიეტას ზემოთ მოცემული ფორმულირება ნიშნავს: თუ

(ა + ბ )x - x 2 = აბ ,

x 2 - (a + ბ )x + ა ბ = 0,

x 1 = a, x 2 = ბ .

სიმბოლოების გამოყენებით დაწერილი ზოგადი ფორმულებით განტოლებების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირის გამოხატვით, ვიეტმა დაადგინა ერთგვაროვნება განტოლებების ამოხსნის მეთოდებში. თუმცა, ვიეტას სიმბოლიკა ჯერ კიდევ შორს არის მისი თანამედროვე ფორმისგან. ის არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს და, შესაბამისად, განტოლებების ამოხსნისას განიხილავდა მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც ყველა ფესვი დადებითია.

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კვადრატული განტოლებები არის საფუძველი, რომელზედაც ეყრდნობა ალგებრის დიდებული ნაგებობა. კვადრატული განტოლებები ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. ჩვენ ყველამ ვიცით როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები სკოლიდან (მე-8 კლასი) დამთავრებამდე.

ვაგრძელებთ თემის შესწავლას განტოლებების ამოხსნა". ჩვენ უკვე გავეცანით წრფივ განტოლებებს და ახლა ვაპირებთ გაცნობას კვადრატული განტოლებები.

პირველ რიგში, განვიხილავთ რა არის კვადრატული განტოლება, როგორ იწერება ის ზოგადი ფორმით და მივცემთ შესაბამის განმარტებებს. ამის შემდეგ, მაგალითების გამოყენებით, დეტალურად გავაანალიზებთ, თუ როგორ იხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები. შემდეგ გადავდივართ სრული განტოლებების ამოხსნაზე, ვიღებთ ფესვების ფორმულას, გავეცნობით კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტს და განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს. და ბოლოს, ჩვენ ვაკვირდებით კავშირებს ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის კვადრატული განტოლება? მათი ტიპები

ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ რა არის კვადრატული განტოლება. მაშასადამე, ლოგიკურია კვადრატულ განტოლებებზე საუბარი კვადრატული განტოლების განმარტებით დავიწყოთ, ასევე მასთან დაკავშირებული განმარტებებით. ამის შემდეგ შეგიძლიათ განიხილოთ კვადრატული განტოლებების ძირითადი ტიპები: შემცირებული და არაშემცირებული, ასევე სრული და არასრული განტოლებები.

კვადრატული განტოლებების განმარტება და მაგალითები

განმარტება.

Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება a x 2 +b x+c=0, სადაც x არის ცვლადი, a , b და c არის რამდენიმე რიცხვი და a განსხვავდება ნულისაგან.

დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ კვადრატულ განტოლებებს ხშირად მეორე ხარისხის განტოლებებს უწოდებენ. ეს იმიტომ, რომ კვადრატული განტოლება არის ალგებრული განტოლებამეორე ხარისხი.

გაჟღერებული განმარტება საშუალებას გვაძლევს მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლებების მაგალითები. ანუ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 და ა.შ. არის კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.

ნომრები a , b და c ეწოდება კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები a x 2 +b x + c=0 და a კოეფიციენტს ეწოდება პირველი, ან უფროსი, ან კოეფიციენტი x 2-ზე, b არის მეორე კოეფიციენტი, ან კოეფიციენტი x, ხოლო c არის თავისუფალი წევრი.

მაგალითად, ავიღოთ ფორმის კვადრატული განტოლება 5 x 2 −2 x−3=0, აქ წამყვანი კოეფიციენტია 5, მეორე კოეფიციენტი არის −2 და თავისუფალი წევრი არის −3. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც b და/ან c კოეფიციენტები უარყოფითია, როგორც ახლახან მოცემულ მაგალითში, გამოიყენება 5 x 2 −2 x−3=0 ფორმის კვადრატული განტოლების მოკლე ფორმა და არა 5 x 2 +(−). 2 )x+(−3)=0 .

აღსანიშნავია, რომ როდესაც a და/ან b კოეფიციენტები უდრის 1-ს ან −1-ს, მაშინ ისინი, როგორც წესი, აშკარად არ გვხვდება კვადრატული განტოლების აღნიშვნაში, რაც განპირობებულია ასეთის აღნიშვნის თავისებურებებით. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში y 2 −y+3=0, წამყვანი კოეფიციენტი არის ერთი, ხოლო კოეფიციენტი y არის −1.

შემცირებული და არაშემცირებული კვადრატული განტოლებები

წამყვანი კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე განასხვავებენ შემცირებულ და არაშემცირებულ კვადრატულ განტოლებებს. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტია 1, ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლება არის შეუმცირებელი.

ამ განსაზღვრების მიხედვით, კვადრატული განტოლებები x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 და ა.შ. - შემცირებულია, თითოეულ მათგანში პირველი კოეფიციენტი ერთის ტოლია. და 5 x 2 −x−1=0 და ა.შ. - შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები, მათი წამყვანი კოეფიციენტები განსხვავდება 1-ისგან.

ნებისმიერი არაშემცირებული კვადრატული განტოლებიდან, მისი ორივე ნაწილის წამყვან კოეფიციენტზე გაყოფით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემცირებულზე. ეს მოქმედება არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, ანუ ამ გზით მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები, რაც თავდაპირველ არაშემცირებულ კვადრატულ განტოლებას, ან, როგორც მას, არ აქვს ფესვები.

ავიღოთ მაგალითი იმისა, თუ როგორ ხდება გადასასვლელი შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან შემცირებულზე.

მაგალითი.

3 x 2 +12 x−7=0 განტოლებიდან გადადით შესაბამის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე.

გადაწყვეტილება.

საკმარისია ჩვენ შევასრულოთ თავდაპირველი განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა წამყვან კოეფიციენტ 3-ზე, ის არ არის ნულის ტოლი, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ეს მოქმედება. გვაქვს (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , რაც იგივეა, რაც (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 და ასე შემდეგ (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, საიდანაც . ასე რომ, მივიღეთ შემცირებული კვადრატული განტოლება, რომელიც ორიგინალურის ტოლია.

პასუხი:

სრული და არასრული კვადრატული განტოლებები

კვადრატული განტოლების განმარტებაში არის a≠0 პირობა. ეს პირობა აუცილებელია იმისათვის, რომ განტოლება a x 2 +b x+c=0 იყოს ზუსტად კვადრატი, ვინაიდან a=0-ით ის რეალურად ხდება b x+c=0 ფორმის წრფივი განტოლება.

რაც შეეხება b და c კოეფიციენტებს, ისინი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, როგორც ცალ-ცალკე, ისე ერთად. ამ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არასრული ეწოდება.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება a x 2 +b x+c=0 ეწოდება არასრული, თუ b , c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია.

თავის მხრივ

განმარტება.

სრული კვადრატული განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც ყველა კოეფიციენტი განსხვავდება ნულიდან.

ეს სახელები შემთხვევით არ არის მოცემული. ეს ცხადი გახდება შემდეგი დისკუსიიდან.

თუ b კოეფიციენტი ნულის ტოლია, მაშინ კვადრატული განტოლება ხდება x 2 +0 x+c=0 , და ის უდრის a x 2 +c=0 განტოლებას. თუ c=0 , ანუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 +b x+0=0 , მაშინ ის შეიძლება გადაიწეროს როგორც x 2 +b x=0 . ხოლო b=0 და c=0-ით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 =0. მიღებული განტოლებები განსხვავდება სრული კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ მათი მარცხენა მხარეები არ შეიცავს ტერმინს x ცვლადით, ან თავისუფალ წევრს, ან ორივეს. აქედან მოდის მათი სახელწოდება - არასრული კვადრატული განტოლებები.

ასე რომ, განტოლებები x 2 +x+1=0 და −2 x 2 −5 x+0,2=0 არის სრული კვადრატული განტოლებების მაგალითები და x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 არასრული კვადრატული განტოლებებია.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

წინა პუნქტის ინფორმაციადან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი სახის არასრული კვადრატული განტოლება:

• a x 2 =0 , მას შეესაბამება b=0 და c=0 კოეფიციენტები;
• a x 2 +c=0 როდესაც b=0 ;
• და a x 2 +b x=0 როდესაც c=0 .

მოდით გავაანალიზოთ თანმიმდევრობით, თუ როგორ არის ამოხსნილი თითოეული ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებები.

a x 2 \u003d 0

დავიწყოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნით, რომლებშიც b და c კოეფიციენტები ნულის ტოლია, ანუ a x 2 =0 ფორმის განტოლებებით. განტოლება a x 2 =0 უდრის განტოლებას x 2 =0, რომელიც მიიღება ორიგინალიდან მისი ორივე ნაწილის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. ცხადია, განტოლების ფესვი x 2 \u003d 0 არის ნული, რადგან 0 2 \u003d 0. ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს, რაც ახსნილია, მართლაც, ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვისთვის p, უტოლობა p 2 >0 ხდება, რაც გულისხმობს, რომ p≠0 ტოლობის p 2 =0 არასოდეს მიიღწევა.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a x 2 \u003d 0 აქვს ერთი ფესვი x \u003d 0.

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნას −4·x 2 =0. ის უდრის განტოლებას x 2 \u003d 0, მისი ერთადერთი ფესვი არის x \u003d 0, შესაბამისად, თავდაპირველ განტოლებას ასევე აქვს ერთი ფესვი ნული.

მოკლე გამოსავალი ამ შემთხვევაში შეიძლება გაიცეს შემდეგნაირად:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

ახლა განვიხილოთ, როგორ ამოხსნილია არასრული კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც b კოეფიციენტი ნულის ტოლია და c≠0, ანუ a x 2 +c=0 ფორმის განტოლებები. ჩვენ ვიცით, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, ისევე როგორც განტოლების ორივე მხარის დაყოფა არანულოვან რიცხვზე, იძლევა ეკვივალენტურ განტოლებას. ამრიგად, არასრული კვადრატული განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნები a x 2 +c=0 შეიძლება განხორციელდეს:

• გადაიტანეთ c მარჯვენა მხარეს, რაც იძლევა განტოლებას a x 2 =−c,
• და მისი ორივე ნაწილი გავყოთ a-ზე, მივიღებთ.

მიღებული განტოლება საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ დასკვნები მისი ფესვების შესახებ. a და c მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უარყოფითი (მაგალითად, თუ a=1 და c=2, მაშინ ) ან დადებითი, (მაგალითად, თუ a=−2 და c=6. , მაშინ ), ის არ არის ნულის ტოლი, რადგან c≠0 პირობით. ცალკე გავაანალიზებთ შემთხვევებს და .

თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ეს განცხადება გამომდინარეობს იქიდან, რომ ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არის არაუარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარეობს, რომ როდესაც , მაშინ ნებისმიერი p რიცხვისთვის ტოლობა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი.

თუ , მაშინ განტოლების ფესვებთან სიტუაცია განსხვავებულია. ამ შემთხვევაში, თუ გავიხსენებთ, მაშინ განტოლების ფესვი მაშინვე აშკარა ხდება, ეს არის რიცხვი, ვინაიდან. ადვილი მისახვედრია, რომ რიცხვი ასევე არის განტოლების ფესვი, მართლაც, . ამ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რაც შეიძლება ნაჩვენები იყოს, მაგალითად, წინააღმდეგობით. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

განტოლების ახლად გახმოვანებული ფესვები ავღნიშნოთ x 1 და −x 1 . დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს სხვა ფესვი x 2, რომელიც განსხვავდება მითითებული ფესვებისგან x 1 და −x 1 . ცნობილია, რომ განტოლებაში ჩანაცვლება მისი ფესვების x-ის ნაცვლად, განტოლებას აქცევს ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში. x 1-ისთვის და −x 1-ისთვის გვაქვს , ხოლო x 2-ისთვის გვაქვს . რიცხვითი ტოლობების თვისებები საშუალებას გვაძლევს შევასრულოთ ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობების გამოკლება ტერმინით, ამიტომ ტოლობების შესაბამისი ნაწილების გამოკლებით ვიღებთ x 1 2 − x 2 2 =0. რიცხვებთან მოქმედებების თვისებები საშუალებას გვაძლევს გადავწეროთ მიღებული ტოლობა როგორც (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . ჩვენ ვიცით, რომ ორი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთი მათგანი მაინც ნულის ტოლია. მაშასადამე, მიღებული ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 −x 2 =0 ან/და x 1 +x 2 =0 , რაც იგივეა, x 2 =x 1 ან/და x 2 = −x 1 . ასე რომ, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან დასაწყისში ვთქვით, რომ x 2 განტოლების ფესვი განსხვავდება x 1 და −x 1-ისგან. ეს ადასტურებს, რომ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები გარდა და.

მოდით შევაჯამოთ ინფორმაცია ამ პუნქტში. არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 +c=0 უდრის განტოლებას, რომელიც

• ფესვები არ აქვს, თუ
• აქვს ორი ფესვი და თუ .

განვიხილოთ a·x 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.

დავიწყოთ კვადრატული განტოლებით 9 x 2 +7=0 . თავისუფალი წევრის განტოლების მარჯვენა მხარეს გადატანის შემდეგ ის მიიღებს 9·x 2 =−7 ფორმას. მიღებული განტოლების ორივე მხარეს 9-ზე გავყოფთ, მივიღებთ. ვინაიდან უარყოფითი რიცხვი მიიღება მარჯვენა მხარეს, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, ამიტომ თავდაპირველ არასრულ კვადრატულ განტოლებას 9 x 2 +7=0 ფესვები არ აქვს.

ამოხსნათ კიდევ ერთი არასრული კვადრატული განტოლება −x 2 +9=0. ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს: -x 2 \u003d -9. ახლა ორივე ნაწილს ვყოფთ −1-ზე, ვიღებთ x 2 =9. მარჯვენა მხარე შეიცავს დადებით რიცხვს, საიდანაც ვასკვნით, რომ ან . მას შემდეგ რაც ჩავწერთ საბოლოო პასუხს: არასრულ კვადრატულ განტოლებას −x 2 +9=0 აქვს ორი ფესვი x=3 ან x=−3.

a x 2 +b x=0

რჩება საქმე ბოლო ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნასთან c=0-ისთვის. a x 2 +b x=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებები ამოხსნის საშუალებას გაძლევთ ფაქტორიზაციის მეთოდი. ცხადია, ჩვენ შეგვიძლია განტოლების მარცხენა მხარეს განლაგებული, რისთვისაც საკმარისია ფრჩხილებიდან ამოიღოთ საერთო x ფაქტორი. ეს საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ თავდაპირველი არასრული კვადრატული განტოლებიდან x·(a·x+b)=0 ფორმის ეკვივალენტურ განტოლებაზე. და ეს განტოლება უდრის x=0 და x+b=0 ორი განტოლების სიმრავლეს, რომელთაგან ბოლო წრფივია და აქვს ფესვი x=−b/a.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a x 2 +b x=0 აქვს ორი ფესვი x=0 და x=−b/a.

მასალის კონსოლიდაციისთვის ჩვენ გავაანალიზებთ კონკრეტული მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან, ეს იძლევა განტოლებას. იგი უდრის ორ განტოლებას x=0 და . ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას: და შერეული რიცხვის ჩვეულებრივ წილადზე გაყოფის შემდეგ ვპოულობთ . მაშასადამე, საწყისი განტოლების ფესვებია x=0 და .

საჭირო პრაქტიკის მიღების შემდეგ, ასეთი განტოლებების ამონახსნები შეიძლება მოკლედ დაიწეროს:

პასუხი:

x=0, .

დისკრიმინანტი, კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, არსებობს ფესვის ფორმულა. მოდი ჩავწეროთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა: , სად D=b 2 −4 a c- ე. წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი. აღნიშვნა არსებითად ნიშნავს იმას.

სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ იქნა მიღებული ფესვის ფორმულა და როგორ გამოიყენება იგი კვადრატული განტოლებების ფესვების პოვნაში. მოდით გავუმკლავდეთ ამას.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

დაგვჭირდება ამოხსნათ კვადრატული განტოლება a·x 2 +b·x+c=0 . მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია:

• ამ განტოლების ორივე ნაწილი შეგვიძლია გავყოთ არანულოვანი რიცხვით a, შედეგად მივიღებთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას.
• ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატიმის მარცხენა მხარეს: . ამის შემდეგ, განტოლება მიიღებს ფორმას.
• ამ ეტაპზე შესაძლებელია ბოლო ორი ტერმინის მარჯვენა მხარეს გადატანა საპირისპირო ნიშნით, გვაქვს .
• და ასევე გადავცვალოთ გამოთქმა მარჯვენა მხარეს: .

შედეგად, მივდივართ განტოლებამდე, რომელიც უდრის თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 +b·x+c=0 .

წინა აბზაცებში, როდესაც გავაანალიზეთ, უკვე გადავჭრით მსგავსი განტოლებები. ეს საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნები განტოლების ფესვებთან დაკავშირებით:

• თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ამონახსნები;
• თუ , მაშინ განტოლებას აქვს ფორმა, მაშასადამე, , საიდანაც ჩანს მისი ერთადერთი ფესვი;
• თუ , მაშინ ან , რომელიც იგივეა რაც ან , ანუ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ამრიგად, განტოლების ფესვების არსებობა ან არარსებობა და, შესაბამისად, თავდაპირველი კვადრატული განტოლება, დამოკიდებულია გამოხატვის ნიშანზე მარჯვენა მხარეს. თავის მხრივ, ამ გამოხატვის ნიშანი განისაზღვრება მრიცხველის ნიშნით, ვინაიდან მნიშვნელი 4 a 2 ყოველთვის დადებითია, ანუ b 2 −4 a c გამოსახულების ნიშანი. ამ გამონათქვამს b 2 −4 a c ეწოდება კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტიდა აღინიშნება ასოთი დ. აქედან ირკვევა დისკრიმინანტის არსი - მისი მნიშვნელობითა და ნიშნით ასკვნიან, აქვს თუ არა კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები და თუ ასეა, რა არის მათი რიცხვი - ერთი ან ორი.

ჩვენ ვუბრუნდებით განტოლებას, გადავწერთ მას დისკრიმინანტის აღნიშვნის გამოყენებით: . და ჩვენ ვასკვნით:

• თუ დ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• თუ D=0, მაშინ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი;
• დაბოლოს, თუ D>0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი ფესვი ან , რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ან სახით და წილადების გაფართოებისა და საერთო მნიშვნელამდე შემცირების შემდეგ მივიღებთ .

ასე რომ, ჩვენ გამოვიყვანეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები, ისინი ჰგავს , სადაც დისკრიმინანტი D გამოითვლება D=b 2 −4 a c ფორმულით.

მათი დახმარებით, დადებითი დისკრიმინანტით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატული განტოლების ორივე რეალური ფესვი. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ორივე ფორმულა იძლევა იგივე ფესვის მნიშვნელობას, რომელიც შეესაბამება კვადრატული განტოლების ერთადერთ ამონახს. ხოლო ნეგატიური დისკრიმინაციით, როდესაც ვცდილობთ გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, ვაწყდებით უარყოფითი რიცხვიდან კვადრატული ფესვის ამოღებას, რაც სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებს სცილდება. უარყოფითი დისკრიმინანტით, კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ აქვს წყვილი რთული კონიუგატიფესვები, რომელთა ნახვა შესაძლებელია ჩვენ მიერ მიღებული იგივე ფესვის ფორმულების გამოყენებით.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფესვის ფორმულების გამოყენებით

პრაქტიკაში, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ძირეული ფორმულა, რომლითაც გამოვთვალოთ მათი მნიშვნელობები. მაგრამ ეს უფრო რთული ფესვების პოვნას ეხება.

თუმცა, სასკოლო ალგებრის კურსში ჩვენ ჩვეულებრივ ვსაუბრობთ არა კომპლექსურ, არამედ კვადრატული განტოლების რეალურ ფესვებზე. ამ შემთხვევაში მიზანშეწონილია კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულების გამოყენებამდე ჯერ იპოვნოთ დისკრიმინანტი, დარწმუნდეთ, რომ ის არაუარყოფითია (წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს) და ამის შემდეგ. გამოთვალეთ ფესვების მნიშვნელობები.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად a x 2 + b x + c \u003d 0, გჭირდებათ:

• დისკრიმინაციული ფორმულის გამოყენებით D=b 2 −4 a c გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა;
• დავასკვნათ, რომ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია;
• გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით, თუ D=0 ;
• იპოვეთ კვადრატული განტოლების ორი რეალური ფესვი ფესვის ფორმულის გამოყენებით, თუ დისკრიმინანტი დადებითია.

აქ მხოლოდ აღვნიშნავთ, რომ თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას, ის მისცემს იგივე მნიშვნელობას, რაც .

შეგიძლიათ გადახვიდეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის გამოყენების მაგალითებზე.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

განვიხილოთ სამი კვადრატული განტოლების ამონახსნები დადებითი, უარყოფითი და ნულოვანი დისკრიმინანტით. მათი ამოხსნის შემდეგ, ანალოგიით შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი სხვა კვადრატული განტოლების ამოხსნა. Დავიწყოთ.

მაგალითი.

იპოვეთ x 2 +2 x−6=0 განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ამ შემთხვევაში გვაქვს კვადრატული განტოლების შემდეგი კოეფიციენტები: a=1 , b=2 და c=−6 . ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინანტი, ამისათვის ჩვენ ვცვლით მითითებულ a, b და c დისკრიმინაციულ ფორმულას, გვაქვს D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. ვინაიდან 28>0, ანუ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე, კვადრატულ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. ვიპოვოთ ისინი ფესვების ფორმულით, მივიღებთ, აქ შეგვიძლია გავამარტივოთ კეთებით მიღებული გამონათქვამები ფესვის ნიშნის გათვალისწინებარასაც მოჰყვება წილადის შემცირება:

პასუხი:

მოდით გადავიდეთ შემდეგ ტიპურ მაგალითზე.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება −4 x 2 +28 x−49=0 .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიწყებთ დისკრიმინანტის პოვნას: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. მაშასადამე, ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ როგორც, ანუ,

პასუხი:

x=3.5.

რჩება განიხილოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნა უარყოფითი დისკრიმინანტით.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება 5 y 2 +6 y+2=0 .

გადაწყვეტილება.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები: a=5 , b=6 და c=2 . ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება დისკრიმინაციულ ფორმულაში გვაქვს D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. დისკრიმინანტი უარყოფითია, შესაბამისად, ამ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს.

თუ რთული ფესვების მითითება გჭირდებათ, მაშინ ჩვენ ვიყენებთ ცნობილ ფორმულას კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის და ვასრულებთ ოპერაციები რთული რიცხვებით:

პასუხი:

არ არსებობს ნამდვილი ფესვები, რთული ფესვებია: .

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ, რომ თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ სკოლა ჩვეულებრივ დაუყოვნებლივ წერს პასუხს, რომელშიც ისინი მიუთითებენ, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები და ისინი ვერ პოულობენ რთულ ფესვებს.

ძირეული ფორმულა თუნდაც მეორე კოეფიციენტებისთვის

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, სადაც D=b 2 −4 a c საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ უფრო კომპაქტური ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები ლუწი კოეფიციენტით x-ზე (ან უბრალოდ კოეფიციენტით, რომელიც ჰგავს 2 n-ს. , მაგალითად, ან 14 ln5=2 7 ln5 ). გამოვიყვანოთ.

ვთქვათ, უნდა ამოხსნათ a x 2 +2 n x + c=0 ფორმის კვადრატული განტოლება. მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები ჩვენთვის ცნობილი ფორმულის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)და შემდეგ ვიყენებთ root ფორმულას:

გამოთქმა n 2 − a c აღნიშნეთ როგორც D 1 (ზოგჯერ აღინიშნება D "). შემდეგ განხილული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა მეორე კოეფიციენტით 2 n იღებს ფორმას. , სადაც D 1 =n 2 −a c .

ადვილი მისახვედრია, რომ D=4·D 1 , ან D 1 =D/4 . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D 1 არის დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი. ნათელია, რომ D 1-ის ნიშანი იგივეა, რაც D-ის ნიშანი. ანუ ნიშანი D 1 ასევე არის კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობის ან არარსებობის მაჩვენებელი.

ასე რომ, კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად მეორე კოეფიციენტით 2 n, გჭირდებათ

• გამოთვალეთ D 1 =n 2 −a·c ;
• თუ D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• თუ D 1 =0, მაშინ გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით;
• თუ D 1 >0, მაშინ იპოვეთ ორი რეალური ფესვი ფორმულის გამოყენებით.

განვიხილოთ მაგალითის ამოხსნა ამ პუნქტში მიღებული ძირეული ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება 5 x 2 −6 x−32=0 .

გადაწყვეტილება.

ამ განტოლების მეორე კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2·(−3) . ანუ, შეგიძლიათ გადაწეროთ საწყისი კვადრატული განტოლება სახით 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, აქ a=5, n=−3 და c=−32 და გამოთვალოთ მეოთხე ნაწილი. დისკრიმინანტი: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. ვინაიდან მისი მნიშვნელობა დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. ჩვენ მათ ვპოულობთ შესაბამისი root ფორმულის გამოყენებით:

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელი იყო ჩვეულებრივი ფორმულის გამოყენება კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, მაგრამ ამ შემთხვევაში, მეტი გამოთვლითი სამუშაო უნდა შესრულდეს.

პასუხი:

კვადრატული განტოლებების ფორმის გამარტივება

ზოგჯერ, სანამ ფორმულების გამოყენებით კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლას შეუდგებით, არ არის ცუდი კითხვის დასმა: „შესაძლებელია თუ არა ამ განტოლების ფორმის გამარტივება“? დამეთანხმებით, რომ გამოთვლებით უფრო ადვილი იქნება 11 x 2 −4 x −6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნა, ვიდრე 1100 x 2 −400 x−600=0.

ჩვეულებრივ, კვადრატული განტოლების ფორმის გამარტივება მიიღწევა მისი ორივე მხარის რაიმე რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით. მაგალითად, წინა აბზაცში ორივე მხარის 100-ზე გაყოფით მოვახერხეთ 1100 x 2 −400 x −600=0 განტოლების გამარტივება.

ანალოგიური ტრანსფორმაცია ხორციელდება კვადრატული განტოლებით, რომელთა კოეფიციენტები არ არის. ამ შემთხვევაში, განტოლების ორივე ნაწილი ჩვეულებრივ იყოფა მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობებით. მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 12 x 2 −42 x+48=0. მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6. თავდაპირველი კვადრატული განტოლების ორივე მხარის 6-ზე გაყოფით მივიღებთ ეკვივალენტურ კვადრატულ განტოლებას 2 x 2 −7 x+8=0.

და კვადრატული განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება ჩვეულებრივ ხდება წილადის კოეფიციენტების მოსაშორებლად. ამ შემთხვევაში, გამრავლება ხორციელდება მისი კოეფიციენტების მნიშვნელებზე. მაგალითად, თუ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია LCM(6, 3, 1)=6-ზე, მაშინ ის უფრო მარტივ ფორმას მიიღებს x 2 +4 x−18=0 .

ამ აბზაცის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ თითქმის ყოველთვის ვაშორებთ მინუსს კვადრატული განტოლების უმაღლეს კოეფიციენტზე ყველა წევრის ნიშნების შეცვლით, რაც შეესაბამება ორივე ნაწილის −1-ზე გამრავლებას (ან გაყოფას). მაგალითად, ჩვეულებრივ კვადრატული განტოლებიდან −2·x 2 −3·x+7=0 გადადით ამონახსნზე 2·x 2 +3·x−7=0 .

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირი

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა გამოხატავს განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტების მიხედვით. ფესვების ფორმულიდან გამომდინარე, შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ურთიერთობები ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ყველაზე ცნობილი და გამოსაყენებელი ფორმულები ვიეტას თეორემიდან ფორმის და. კერძოდ, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის თავისუფალი წევრი. მაგალითად, კვადრატული განტოლების სახით 3 x 2 −7 x+22=0, დაუყოვნებლივ შეიძლება ითქვას, რომ მისი ფესვების ჯამი არის 7/3, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის 22/3.

უკვე დაწერილი ფორმულების გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ მრავალი სხვა მიმართება კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოვხატოთ კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი მისი კოეფიციენტების მიხედვით: .

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება:
(1) .
კვადრატული განტოლების ფესვები(1) განისაზღვრება ფორმულებით:
; .
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
.
როდესაც ცნობილია კვადრატული განტოლების ფესვები, მაშინ მეორე ხარისხის მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფაქტორების ნამრავლად (ფაქტორირებული):
.

გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს არის რეალური რიცხვები.
განიხილეთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
.
თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი:
; .
მაშინ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.
თუ დისკრიმინანტი ნულია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) რეალური ფესვი:
.
ფაქტორიზაცია:
.
თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი რთული კონიუგირებული ფესვი:
;
.
აქ არის წარმოსახვითი ერთეული, ;
და არის ფესვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
; .
მერე

.

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

თუ ფუნქციას გრაფიკულად გამოვსახავთ
,
რომელიც არის პარაბოლა, მაშინ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლების ფესვები
.
როდესაც , გრაფიკი კვეთს აბსცისის ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს.

ქვემოთ მოცემულია ასეთი გრაფიკების მაგალითები.

სასარგებლო ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატულ განტოლებასთან

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

ჩვენ ვასრულებთ გარდაქმნებს და ვიყენებთ ფორმულებს (f.1) და (f.3):




,
სადაც
; .

ასე რომ, მივიღეთ მეორე ხარისხის მრავალწევრის ფორმულა სახით:
.
აქედან ჩანს, რომ განტოლება

შესრულდა
და .
ეს არის და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
.

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1

(1.1) .

გადაწყვეტილება

.
ჩვენს განტოლებასთან (1.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
დისკრიმინანტის პოვნა:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს:
;
;
.

აქედან ვიღებთ კვადრატული ტრინომის დაშლას ფაქტორებად:

.

y = ფუნქციის გრაფიკი 2 x 2 + 7 x + 3კვეთს x-ღერძს ორ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის კვეთს x-ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში:
და .
ეს წერტილები არის საწყისი განტოლების ფესვები (1.1).

უპასუხე

;
;
.

მაგალითი 2

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(2.1) .

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით:
.
თავდაპირველ განტოლებასთან (2.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
დისკრიმინანტის პოვნა:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი არის ნული, განტოლებას აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) ფესვი:
;
.

მაშინ ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 - 4 x + 4ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის ეხება x-ღერძს (ღერძს) ერთ წერტილში:
.
ეს წერტილი არის საწყისი განტოლების (2.1) ფესვი. ვინაიდან ეს ფესვი ფაქტორირებულია ორჯერ:
,
მაშინ ასეთ ფესვს მრავალჯერადი ეწოდება. ანუ, ისინი თვლიან, რომ არსებობს ორი თანაბარი ფესვი:
.

უპასუხე

;
.

მაგალითი 3

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(3.1) .

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით:
(1) .
მოდით გადავწეროთ ორიგინალური განტოლება (3.1):
.
(1-თან შედარებით), ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
დისკრიმინანტის პოვნა:
.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, . ამიტომ, ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რთული ფესვები:
;
;

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის არ კვეთს აბსცისს (ღერძს). ამიტომ, ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

უპასუხე

ნამდვილი ფესვები არ არსებობს. რთული ფესვები:
;
;
.

ცნობილია, რომ ეს არის ტოლობის კონკრეტული ვერსია ax 2 + in + c \u003d o, სადაც a, b და c არის რეალური კოეფიციენტები უცნობი x-ისთვის, და სადაც a ≠ o, და b და c იქნება ნულები - ერთდროულად. ან ცალკე. მაგალითად, c = o, v ≠ o ან პირიქით. ჩვენ თითქმის გვახსოვდა კვადრატული განტოლების განმარტება.

მეორე ხარისხის ტრინომია ნულის ტოლია. მის პირველ კოეფიციენტს a ≠ o, b და c შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა. x ცვლადის მნიშვნელობა იქნება მაშინ, როდესაც ჩანაცვლებისას ის გადააქცევს მას სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში. მოდით ვისაუბროთ რეალურ ფესვებზე, თუმცა განტოლების ამონახსნებიც შეიძლება იყოს სრული.ჩვეულებრივია ვუწოდოთ განტოლება, რომელშიც არცერთი კოეფიციენტი არ არის o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
მოდით გადავჭრათ მაგალითი. 2x2 -9x-5 = ოჰ, ჩვენ ვიპოვით
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D დადებითია, ამიტომ არის ფესვები, x 1 = (9+√121): 4 = 5, ხოლო მეორე x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. შემოწმება დაგეხმარებათ დარწმუნდეთ, რომ ისინი სწორია.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების ეტაპობრივი ამოხსნა

დისკრიმინანტის საშუალებით შეგიძლიათ ამოხსნათ ნებისმიერი განტოლება, რომლის მარცხენა მხარეს არის ცნობილი კვადრატული ტრინომი ≠ o. ჩვენს მაგალითში. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ცული 2 + in + c \u003d o)

განვიხილოთ რა არის მეორე ხარისხის არასრული განტოლებები

1. ცული 2 + in = o. თავისუფალი წევრი, კოეფიციენტი c x 0-ზე, არის ნული აქ, ≠ o-ში.
   როგორ ამოხსნათ ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლება? ავიღოთ x ფრჩხილებიდან. გახსოვდეთ, როდესაც ორი ფაქტორის ნამრავლი არის ნული.
   x(ax+b) = o, ეს შეიძლება იყოს, როდესაც x = o ან როცა ax+b = o.
   მე-2-ის ამოხსნით გვაქვს x = -v/a.
   შედეგად, ჩვენ გვაქვს ფესვები x 1 \u003d 0, გამოთვლების მიხედვით x 2 \u003d -b / a.
2. ახლა x-ის კოეფიციენტი არის o, მაგრამ c არ უდრის (≠) o-ს.
   x 2 + c \u003d o. ჩვენ გადავიტანთ c ტოლობის მარჯვენა მხარეს, ვიღებთ x 2 \u003d -c. ამ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს მხოლოდ მაშინ, როდესაც -c დადებითი რიცხვია (c ‹ o),
   x 1 უდრის √(-c), შესაბამისად, x 2 არის -√(-c). წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლებას საერთოდ არ აქვს ფესვები.
3. ბოლო ვარიანტი: b \u003d c \u003d o, ანუ ნაჯახი 2 \u003d o. ბუნებრივია, ასეთ მარტივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, x = o.

განსაკუთრებული შემთხვევები

ჩვენ განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება და ახლა ავიღოთ ნებისმიერი სახის.

• სრულ კვადრატულ განტოლებაში x-ის მეორე კოეფიციენტი ლუწი რიცხვია.
  მოდით k = o,5b. ჩვენ გვაქვს ფორმულები დისკრიმინანტისა და ფესვების გამოსათვლელად.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, ფესვები გამოითვლება შემდეგნაირად x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a D › o-სთვის.
  x = -k/a at D = o.
  D ‹ o-სთვის ფესვები არ არსებობს.
• არის შემცირებული კვადრატული განტოლებები, როდესაც x კვადრატის კოეფიციენტი არის 1, ისინი ჩვეულებრივ იწერება x 2 + px + q \u003d o. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა მათზე ვრცელდება, მაგრამ გამოთვლები გარკვეულწილად მარტივია.
  მაგალითი, x 2 -4x-9 \u003d 0. ჩვენ ვიანგარიშებთ D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• გარდა ამისა, ადვილი გამოსაყენებელია მოცემულებზე, ნათქვამია, რომ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის -p, მეორე კოეფიციენტი მინუსით (იგულისხმება საპირისპირო ნიშანი) და იგივე ფესვების ნამრავლი. ტოლი იქნება q, თავისუფალი წევრი. შეამოწმეთ რამდენად ადვილი იქნება ამ განტოლების ფესვების სიტყვიერად განსაზღვრა. არაშემცირებულისთვის (ყველა კოეფიციენტისთვის, რომელიც არ არის ნულის ტოლი), ეს თეორემა გამოიყენება შემდეგნაირად: ჯამი x 1 + x 2 უდრის -v / a, ნამრავლი x 1 x 2 უდრის c / a. .

თავისუფალი წევრის c და პირველი კოეფიციენტის a ჯამი უდრის b კოეფიციენტს. ამ სიტუაციაში განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი (დამტკიცება ადვილია), პირველი აუცილებლად -1-ის ტოლია, ხოლო მეორე - c/a, თუ ის არსებობს. როგორ ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება, შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ. ტორტივით მარტივი. კოეფიციენტები შეიძლება იყოს გარკვეული თანაფარდობით ერთმანეთში

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• ყველა კოეფიციენტის ჯამი არის o.
  ასეთი განტოლების ფესვებია 1 და c/a. მაგალითი, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

მეორე ხარისხის სხვადასხვა განტოლების ამოხსნის მრავალი სხვა გზა არსებობს. აი, მაგალითად, მოცემული მრავალწევრიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდი. არსებობს რამდენიმე გრაფიკული გზა. როცა ასეთ მაგალითებს ხშირად ხვდები, თესლივით „დაწკაპუნებას“ ისწავლი, რადგან ყველა მეთოდი თავში ავტომატურად მოდის.