მაგალითი 1

მითითება: ფუნქციის აღნიშვნის შემდეგი გზები ექვივალენტურია: ზოგიერთ ამოცანში შეიძლება მოსახერხებელი იყოს ფუნქციის "მოთამაშის" დანიშვნა, ზოგიერთში კი "ef x-დან".

ჯერ ვიპოვით წარმოებულს:

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში

, , ფუნქციის სრული შესწავლადა ა.შ.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილი . ჯერ მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

ისე, ეს სულ სხვა საკითხია. გამოთვალეთ წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში:

იმ შემთხვევაში, თუ არ გესმით, როგორ იქნა ნაპოვნი წარმოებული, დაუბრუნდით თემის პირველ ორ გაკვეთილს. თუ არსებობს სირთულეები (გაუგებრობა) რკალის ტანგენტსა და მის მნიშვნელობასთან დაკავშირებით, აუცილებლად მეთოდოლოგიური მასალის შესწავლა ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები- ბოლო აბზაცი. იმიტომ, რომ ჯერ კიდევ არის საკმარისი არქტანგენტები სტუდენტური ასაკისთვის.

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილი .

ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

წინა აბზაცის გასამყარებლად განიხილეთ ტანგენსის პოვნის პრობლემა ფუნქციური გრაფიკაამ ეტაპზე. ეს დავალება სკოლაში შევხვდით და უმაღლესი მათემატიკის კურსშიც გვხვდება.

განვიხილოთ "დემონსტრაციის" ელემენტარული მაგალითი.

დაწერეთ განტოლება ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსისთვის აბსცისის წერტილში. მე დაუყოვნებლივ მივცემ პრობლემის მზა გრაფიკულ გადაწყვეტას (პრაქტიკაში, უმეტეს შემთხვევაში ეს არ არის საჭირო):

ტანგენტის მკაცრი განმარტება მოცემულია ფუნქციის წარმოებულის განმარტებები, მაგრამ ამ დროისთვის საკითხის ტექნიკურ ნაწილს ავითვისებთ. რა თქმა უნდა, თითქმის ყველას ინტუიციურად ესმის რა არის ტანგენტი. თუ ახსნით "თითებზე", მაშინ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის სწორი, რომელიც ეხება ფუნქციის გრაფიკს მხოლოდწერტილი. ამ შემთხვევაში, სწორი ხაზის ყველა მიმდებარე წერტილი განლაგებულია რაც შეიძლება ახლოს ფუნქციის გრაფიკთან.

როგორც გამოიყენება ჩვენს შემთხვევაში: at , ტანგენსი (სტანდარტული აღნიშვნა) ეხება ფუნქციის გრაფიკს ერთ წერტილში.

და ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ სწორი ხაზის განტოლება.

ფუნქციის წარმოებული წერტილში

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში? ამ ამოცანის ორი აშკარა პუნქტი გამომდინარეობს ფორმულირებიდან:

1) აუცილებელია წარმოებულის პოვნა.

2) აუცილებელია წარმოებულის მნიშვნელობის გამოთვლა მოცემულ წერტილში.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში

დახმარება: ფუნქციის აღნიშვნის შემდეგი გზები ექვივალენტურია:


ზოგიერთ ამოცანში შეიძლება მოსახერხებელი იყოს ფუნქციის "მოთამაშის" დანიშვნა, ზოგიერთში კი "ef x-დან".

ჯერ ვიპოვით წარმოებულს:

იმედი მაქვს, რომ ბევრი უკვე მოერგება ასეთი წარმოებულების ზეპირად პოვნას.

მეორე ეტაპზე, ჩვენ ვიანგარიშებთ წარმოებულის მნიშვნელობას წერტილში:

მცირე გახურების მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

წერტილში წარმოებულის პოვნის აუცილებლობა წარმოიქმნება შემდეგ ამოცანებში: ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის აგება (შემდეგი აბზაცი), ექსტრემის ფუნქციის შესწავლა , გრაფიკის ფლექსიის ფუნქციის შესწავლა , ფუნქციის სრული შესწავლა და ა.შ.

მაგრამ განსახილველი ამოცანა გვხვდება საკონტროლო დოკუმენტებში და თავისთავად. და, როგორც წესი, ასეთ შემთხვევებში ფუნქცია საკმაოდ რთულია. ამასთან დაკავშირებით, განიხილეთ კიდევ ორი ​​მაგალითი.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.
ჯერ მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

წარმოებული, პრინციპში, ნაპოვნია და საჭირო მნიშვნელობა შეიძლება შეიცვალოს. მაგრამ მე ნამდვილად არ მინდა არაფრის გაკეთება. გამოთქმა ძალიან გრძელია, ხოლო "x"-ის მნიშვნელობა წილადია. ამიტომ, ჩვენ ვცდილობთ მაქსიმალურად გავამარტივოთ ჩვენი წარმოებული. ამ შემთხვევაში, შევეცადოთ ბოლო სამი წევრი შევიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე: წერტილში.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.

როგორ ვიპოვოთ F(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა Ho წერტილში? როგორ მოვაგვაროთ ეს ზოგადად?

თუ ფორმულა მოცემულია, მაშინ იპოვეთ წარმოებული და ჩაანაცვლეთ X-ნული X-ის ნაცვლად. ითვლიან
თუ ვსაუბრობთ b-8 USE-ზე, გრაფიკზე, მაშინ თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხის ტანგენსი (მწვავე ან ბლაგვი), რომელიც ქმნის X ღერძზე ტანგენტს (მართკუთხა სამკუთხედის გონებრივი კონსტრუქციის გამოყენებით და ტანგენსის განსაზღვრით. კუთხე)

ტიმურ ადილხოჯაევი

პირველ რიგში, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ნიშანი. თუ წერტილი x0 არის კოორდინატთა სიბრტყის ქვედა ნაწილში, მაშინ პასუხის ნიშანი იქნება მინუს, ხოლო თუ უფრო მაღალია, მაშინ +.
მეორეც, თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის ტანგე მართკუთხა მართკუთხედში. და ეს არის მოპირდაპირე მხარის (ფეხის) თანაფარდობა მიმდებარე მხარესთან (ასევე ფეხი). ჩვეულებრივ, ნახატზე რამდენიმე შავი კვალია. ამ ნიშნებიდან აკეთებთ მართკუთხა სამკუთხედს და პოულობთ ტანჯეს.

როგორ ვიპოვოთ f x ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში?

კონკრეტული კითხვა არ არის - 3 წლის წინ

ზოგად შემთხვევაში, რომელიმე ცვლადთან მიმართებაში ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა მოცემული ფუნქციის დიფერენცირება ამ ცვლადის მიმართ. თქვენს შემთხვევაში, X ცვლადის მიერ. მიღებულ გამოსახულებაში, X-ის ნაცვლად, ჩადეთ x-ის მნიშვნელობა იმ წერტილში, რომლისთვისაც გჭირდებათ წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა, ე.ი. თქვენს შემთხვევაში, ჩაანაცვლეთ ნული X და გამოთვალეთ მიღებული გამოხატულება.

ისე, ამ საკითხის გაგების თქვენი სურვილი, ჩემი აზრით, უდავოდ იმსახურებს +, რასაც სუფთა სინდისით ვაყენებ.

წარმოებულის პოვნის პრობლემის ასეთი ფორმულირება ხშირად დგება წარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე მასალის დასაფიქსირებლად. შემოთავაზებულია გარკვეული ფუნქციის გრაფიკი, სრულიად თვითნებური და არ არის მოცემული განტოლებით და საჭიროა წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა (და არა თავად წარმოებული!) მითითებულ X0 წერტილში. ამისათვის აგებულია მოცემული ფუნქციის ტანგენსი და მოიძებნება მისი გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. მაშინ ამ ტანგენსის განტოლება შედგენილია y=kx+b სახით.

ამ განტოლებაში კოეფიციენტი k და იქნება წარმოებულის მნიშვნელობა. რჩება მხოლოდ b კოეფიციენტის მნიშვნელობის პოვნა. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ y-ს მნიშვნელობას x \u003d o-ზე, მოდით იყოს 3-ის ტოლი - ეს არის b კოეფიციენტის მნიშვნელობა. ჩვენ ვცვლით X0 და Y0 მნიშვნელობებს თავდაპირველ განტოლებაში და ვპოულობთ k - წარმოებულის ჩვენს მნიშვნელობას ამ ეტაპზე.

B9 ამოცანაში მოცემულია ფუნქციის ან წარმოებულის გრაფიკი, საიდანაც საჭიროა განისაზღვროს შემდეგი სიდიდეებიდან ერთ-ერთი:

1. წარმოებულის მნიშვნელობა რაღაც მომენტში x 0,
2. მაღალი ან დაბალი ქულები (ექსტრემალური წერტილები),
3. მზარდი და კლებადი ფუნქციების ინტერვალები (ერთფეროვნების ინტერვალები).

ამ პრობლემაში წარმოდგენილი ფუნქციები და წარმოებულები ყოველთვის უწყვეტია, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოსავალს. იმისდა მიუხედავად, რომ დავალება მათემატიკური ანალიზის განყოფილებას განეკუთვნება, ის საკმაოდ სუსტი სტუდენტებისთვისაც კი ძალუძს, რადგან აქ ღრმა თეორიული ცოდნა არ არის საჭირო.

წარმოებულის, ექსტრემალური წერტილებისა და ერთფეროვნების ინტერვალების მნიშვნელობის საპოვნელად არსებობს მარტივი და უნივერსალური ალგორითმები - ყველა მათგანი ქვემოთ იქნება განხილული.

ყურადღებით წაიკითხეთ B9 პრობლემის მდგომარეობა, რათა არ დაუშვათ სულელური შეცდომები: ზოგჯერ საკმაოდ მოცულობითი ტექსტები გვხვდება, მაგრამ არსებობს რამდენიმე მნიშვნელოვანი პირობა, რომელიც გავლენას ახდენს გადაწყვეტის კურსზე.

წარმოებულის ღირებულების გაანგარიშება. ორი წერტილის მეთოდი

თუ პრობლემას მოცემულია f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ტანგენტია ამ გრაფიკზე რაღაც წერტილში x 0, და საჭიროა ამ ეტაპზე წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

1. იპოვეთ ორი "ადეკვატური" წერტილი ტანგენტის გრაფიკზე: მათი კოორდინატები უნდა იყოს მთელი რიცხვი. ავღნიშნოთ ეს წერტილები A (x 1 ; y 1) და B (x 2 ; y 2). ჩაწერეთ კოორდინატები სწორად - ეს არის ამოხსნის მთავარი წერტილი და ნებისმიერი შეცდომა აქ იწვევს არასწორ პასუხს.
2. კოორდინატების ცოდნით ადვილია არგუმენტის Δx = x 2 − x 1 ნამატის და Δy = y 2 − y 1 ფუნქციის ნამატის გამოთვლა.
3. საბოლოოდ, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას D = Δy/Δx. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაყოთ ფუნქციის ზრდა არგუმენტის ზრდაზე - და ეს იქნება პასუხი.

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ: A და B წერტილები ზუსტად უნდა ვეძებოთ ტანგენსზე და არა f(x) ფუნქციის გრაფიკზე, როგორც ეს ხშირად ხდება. ტანგენსი აუცილებლად შეიცავს მინიმუმ ორ ასეთ წერტილს, წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემა არასწორად არის ჩამოყალიბებული.

განვიხილოთ წერტილები A (−3; 2) და B (−1; 6) და იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x 0 წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 3) და B (3; 0), იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

ახლა ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x 0 წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 2) და B (5; 2) და იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

რჩება წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

ბოლო მაგალითიდან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი: თუ ტანგენსი პარალელურია OX ღერძის, ფუნქციის წარმოებული ტანგენციის წერტილში ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში, თქვენ არც კი გჭირდებათ რაიმეს გამოთვლა - უბრალოდ შეხედეთ გრაფიკს.

მაღალი და დაბალი ქულების გამოთვლა

ზოგჯერ B9 ამოცანაში ფუნქციის გრაფიკის ნაცვლად მოცემულია წარმოებული გრაფიკი და საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილის პოვნა. ამ სცენარში ორპუნქტიანი მეთოდი გამოუსადეგარია, მაგრამ არსებობს სხვა, კიდევ უფრო მარტივი ალგორითმი. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ტერმინოლოგია:

1. x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≤ f(x).

წარმოებულის გრაფიკზე მაქსიმალური და მინიმალური ქულების საპოვნელად საკმარისია შემდეგი ნაბიჯების შესრულება:

1. გადახაზეთ წარმოებულის გრაფიკი, წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, დამატებითი მონაცემები მხოლოდ გადაწყვეტილებას ერევა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნულებს კოორდინატთა ღერძზე - და ეს არის ის.
2. გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებზე. თუ x 0 წერტილისთვის ცნობილია, რომ f'(x 0) ≠ 0, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ორი ვარიანტი: f'(x 0) ≥ 0 ან f'(x 0) ≤ 0. წარმოებულის ნიშანია მარტივია ორიგინალური ნახაზის დადგენა: თუ წარმოებული გრაფიკი დევს OX ღერძის ზემოთ, მაშინ f'(x) ≥ 0. პირიქით, თუ წარმოებული გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, მაშინ f'(x) ≤ 0.
3. ჩვენ კვლავ ვამოწმებთ წარმოებულის ნულებს და ნიშნებს. სადაც ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, არის მინიმალური წერტილი. პირიქით, თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. დათვლა ყოველთვის კეთდება მარცხნიდან მარჯვნივ.

ეს სქემა მუშაობს მხოლოდ უწყვეტი ფუნქციებისთვის - B9 პრობლემაში სხვა არ არის.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია სეგმენტზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი [−5; 5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოვიშოროთ ზედმეტი ინფორმაცია - დავტოვებთ მხოლოდ საზღვრებს [−5; 5] და x = −3 და x = 2,5 წარმოებულის ნულები. ასევე გაითვალისწინეთ ნიშნები:

ცხადია, x = −3 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. ეს არის მინიმალური წერტილი.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] სეგმენტზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−3; 7] და წარმოებულის ნულები x = −1.7 და x = 5. მიღებულ გრაფიკზე გაითვალისწინეთ წარმოებულის ნიშნები. Ჩვენ გვაქვს:

ცხადია, x = 5 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე - ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−6] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; ოთხი]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა, რომლებიც მიეკუთვნება [−4; 3].

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საკმარისია გრაფის მხოლოდ სეგმენტით შემოსაზღვრული ნაწილის განხილვა [−4; 3]. ამიტომ ვაშენებთ ახალ გრაფიკს, რომელზედაც აღვნიშნავთ მხოლოდ საზღვრებს [−4; 3] და მის შიგნით წარმოებულის ნულები. კერძოდ, წერტილები x = −3.5 და x = 2. მივიღებთ:

ამ გრაფიკზე არის მხოლოდ ერთი მაქსიმალური წერტილი x = 2. სწორედ მასში იცვლება წარმოებულის ნიშანი პლუსიდან მინუსამდე.

მცირე შენიშვნა არამთლიანი კოორდინატების მქონე წერტილების შესახებ. მაგალითად, ბოლო ამოცანაში განიხილებოდა წერტილი x = −3,5, მაგრამ იგივე წარმატებით შეგვიძლია ავიღოთ x = −3,4. თუ პრობლემა სწორად არის ჩამოყალიბებული, ასეთი ცვლილებები არ უნდა იმოქმედოს პასუხზე, ვინაიდან პუნქტები „ფიქსირებული საცხოვრებელი ადგილის გარეშე“ უშუალოდ არ არის ჩართული პრობლემის გადაჭრაში. რა თქმა უნდა, მთელი რიცხვებით, ასეთი ხრიკი არ იმუშავებს.

ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების პოვნა

ასეთ პრობლემაში, ისევე როგორც მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები, შემოთავაზებულია იპოვოთ უბნები, რომლებშიც თავად ფუნქცია იზრდება ან მცირდება წარმოებულის გრაფიკიდან. ჯერ განვსაზღვროთ რა არის აღმავალი და დაღმავალი:

1. ფუნქცია f(x) ეწოდება სეგმენტზე მზარდი, თუ რომელიმე ორი წერტილის x 1 და x 2 ამ სეგმენტიდან დებულება მართალია: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია ფუნქციის მნიშვნელობა.
2. f(x) ფუნქციას სეგმენტზე კლებადი ეწოდება, თუ ამ სეგმენტის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 დებულება მართალია: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). იმათ. არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

ჩვენ ვაყალიბებთ საკმარის პირობებს გაზრდისა და შემცირებისთვის:

1. იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე გაიზარდოს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს დადებითი, ე.ი. f'(x) ≥ 0.
2. იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე შემცირდეს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს უარყოფითი, ე.ი. f'(x) ≤ 0.

ჩვენ ვიღებთ ამ განცხადებებს მტკიცებულების გარეშე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სქემას ზრდისა და შემცირების ინტერვალების საპოვნელად, რომელიც მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია უკიდურესი წერტილების გამოთვლის ალგორითმს:

1. წაშალეთ ყველა ზედმეტი ინფორმაცია. წარმოებულის თავდაპირველ გრაფიკზე ჩვენ პირველ რიგში გვაინტერესებს ფუნქციის ნულები, ამიტომ ვტოვებთ მხოლოდ მათ.
2. მონიშნეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებში. სადაც f'(x) ≥ 0, ფუნქცია იზრდება, ხოლო სადაც f'(x) ≤ 0, მცირდება. თუ პრობლემას აქვს შეზღუდვები x ცვლადზე, ჩვენ დამატებით აღვნიშნავთ მათ ახალ დიაგრამაზე.
3. ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით ფუნქციის ქცევა და შეზღუდვა, რჩება პრობლემის საჭირო მნიშვნელობის გამოთვლა.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] სეგმენტზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7.5]. იპოვეთ f(x) კლებადი ფუნქციის ინტერვალები. თქვენს პასუხში ჩაწერეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ხელახლა ვხატავთ გრაფიკს და აღვნიშნავთ საზღვრებს [−3; 7.5], ასევე x = −1.5 და x = 5.3 წარმოებულის ნულები. შემდეგ ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნიშნებს. Ჩვენ გვაქვს:

ვინაიდან წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (− 1.5), ეს არის კლების ფუნქციის ინტერვალი. რჩება ამ ინტერვალის შიგნით მყოფი ყველა რიცხვის შეჯამება:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−10] სეგმენტზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; ოთხი]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში ჩაწერეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

მოვიშოროთ ზედმეტი ინფორმაცია. ვტოვებთ მხოლოდ საზღვრებს [−10; 4] და წარმოებულის ნულები, რომლებიც ამჯერად ოთხი აღმოჩნდა: x = −8, x = −6, x = −3 და x = 2. გაითვალისწინეთ წარმოებულის ნიშნები და მიიღეთ შემდეგი სურათი:

ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები, ე.ი. სადაც f'(x) ≥ 0. გრაფიკზე ორი ასეთი ინტერვალია: (−8; −6) და (−3; 2). გამოვთვალოთ მათი სიგრძე:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

ვინაიდან საჭიროა ყველაზე დიდი ინტერვალების სიგრძის პოვნა, პასუხად ვწერთ მნიშვნელობას l 2 = 5.