მკაფიო ნაკრების ან უბრალოდ კომპლექტის ქვეშ, მათ ჩვეულებრივ ესმით ჩვენი ინტუიციისა და ინტელექტის გარკვეული და გამორჩეული ობიექტების გარკვეული ნაკრები, რომელიც წარმოიქმნება როგორც ერთი მთლიანობა. ამ განცხადებაში ჩვენ აღვნიშნავთ შემდეგ პუნქტს: სიმრავლე A არის გარკვეული ობიექტების კოლექცია. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი x-ისთვის შეიძლება ცალსახად ითქვას, ეკუთვნის თუ არა A სიმრავლეს.

პირობა, რომ ელემენტი x ეკუთვნის A სიმრავლეს, შეიძლება დაიწეროს წევრობის ფუნქციის m(x) კონცეფციის გამოყენებით, კერძოდ.

მაშასადამე, ნაკრები შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წყვილების ნაკრები: ელემენტი და მისი წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობა

A = ((x|m(x)) (1)

მაგალითი 1. დეპარტამენტი გთავაზობთ ხუთ არჩევით კურსს x 1 , x 2 , x 3 , x 4 და x 5 . პროგრამის შესაბამისად სამი კურსია საჭირო. სტუდენტმა აირჩია x 2, x 3 და x 5 კურსები. ჩვენ ვწერთ ამ ფაქტს წევრობის ფუნქციის გამოყენებით

სადაც თითოეული წყვილის პირველი ელემენტი ნიშნავს კურსის სახელს, ხოლო მეორე აღწერს იმ ფაქტს, რომ იგი ეკუთვნის ამ სტუდენტის მიერ შერჩეულ ქვეჯგუფს („დიახ“ ან „არა“).

მკაფიო ნაკრების უსაზღვროდ ბევრი მაგალითია: სტუდენტთა სია სასწავლო ჯგუფში, სახლების ნაკრები მოცემულ ქალაქის ქუჩაზე, მოლეკულების ნაკრები წყლის წვეთში და ა.შ.

იმავდროულად, ადამიანის ცოდნის უზარმაზარი რაოდენობა და გარე სამყაროსთან კავშირები მოიცავს ისეთ ცნებებს, რომლებსაც არ შეიძლება ეწოდოს კომპლექტები (1) გაგებით. ისინი უფრო მეტად უნდა ჩაითვალოს ბუნდოვანი საზღვრების მქონე კლასებად, როდესაც გადასვლა ერთი კლასის კუთვნილებიდან მეორეზე კუთვნილებაზე ხდება თანდათანობით და არა უეცრად. ამრიგად, ვარაუდობენ, რომ ადამიანის მსჯელობის ლოგიკა ემყარება არა კლასიკურ ორფასიან ლოგიკას, არამედ ლოგიკას ბუნდოვანი ჭეშმარიტების მნიშვნელობებით - ბუნდოვანი შეერთებები და ბუნდოვანი დასკვნის წესები. აქ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი: სტატიის სიგრძე დაახლოებით 12 გვერდია, ტერიტორიის უმეტესი ნაწილი, თამაშის აბსოლუტური უპირატესობა, რამდენიმე ადამიანის ჯგუფი.

მოდით შევხედოთ ბოლო მაგალითს. ცხადია, რომ 3, 5 ან 9 კაციან ადამიანთა ჯგუფს ეკუთვნის კონცეფცია: „ადამიანთა ჯგუფი, რომელიც შედგება რამდენიმე ადამიანისგან“. თუმცა, მათთვის იქნება არათანაბარი ნდობა ამ კონცეფციის კუთვნილების მიმართ, რაც დამოკიდებულია სხვადასხვა, მათ შორის სუბიექტურ გარემოებებზე. ეს გარემოებები შეიძლება ფორმალიზებული იყოს, თუ ვივარაუდებთ, რომ წევრობის ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ინტერვალზე. უფრო მეტიც, უკიდურესი მნიშვნელობები ინიშნება იმ შემთხვევაში, თუ ელემენტი, რა თქმა უნდა, არ ეკუთვნის ან ცალსახად ეკუთვნის ამ კონცეფციას. კერძოდ, A ადამიანების ნაკრები რამდენიმე ადამიანისგან შეიძლება აღიწეროს ფორმის გამოხატვით:

A = ((1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)

მოდით მივცეთ ბუნდოვანი სიმრავლის განმარტება, რომელიც მოცემულია ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიის დამფუძნებლის, L.A. Zade-ს მიერ. მოდით x იყოს კონკრეტული უნივერსალური (ე.წ. ძირითადი) სიმრავლის ელემენტი E. მაშინ ბუნდოვანი(ბუნდოვანი) კომპლექტი აგანსაზღვრული საბაზისო კომპლექტზე E არის მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლე

ა= (შუმ ა((x)), "x О E,

სადაც მ ა(X) - წევრობის ფუნქცია, რომელიც ასახავს E სიმრავლეს ერთეულ ინტერვალს , ე.ი. მ ა (x): E ® .

ცხადია, თუ დიაპაზონი მ ა (x) შემოიფარგლება ორი რიცხვით 0 და 1, მაშინ ეს განმარტება დაემთხვევა ჩვეულებრივი (მკაფიო) ნაკრების კონცეფციას.

ბუნდოვანი ნაკრების წევრობის ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ საბაზისო ნაკრების თითოეული ელემენტისთვის მისი ყველა მნიშვნელობის ჩამოთვლით, არამედ ანალიტიკური გამოხატვის სახით. მაგალითად, 2-თან ძალიან ახლოს მყოფი რეალური რიცხვების სიმრავლე შეიძლება იყოს შემდეგი:

ზ= (შუმ ზ(x)), "x О R,

სადაც მ ზ(x) = .

რეალური რიცხვების სიმრავლე Y საკმარისად ახლოს არის რიცხვ 2-თან

ი= (შუმ ი(x)), "x О R,

ᲩᲔᲛᲘ ზ(x) = .

ამ ორი წევრობის ფუნქციის გრაფიკული წარმოდგენა მოცემულია სურათზე 3.9.

განმარტება.ბუნდოვანი ნაკრები აბუნდოვანი ქვესიმრავლე ეწოდება ბ, თუ და ადა ბგანისაზღვრება იმავე საბაზისო კომპლექტზე E და „x н E: m ა(x) £ მ ბ(x), რომელიც აღინიშნება როგორც აÌ ბ.

ორი ბუნდოვანი სიმრავლის ტოლობის პირობები ადა ბიგივე საბაზისო ნაკრებზე E განსაზღვრულს აქვს შემდეგი ფორმა

ა = ბან "х н E: m ა(x) = m ბ(x).

კომენტარი. არსებობს გარკვეული მსგავსება „ბზუის“ და „ალბათობის“ ცნებებს შორის, რომლებიც განსხვავებულია თავისი არსით. პირველ რიგში, ეს ცნებები გამოიყენება პრობლემებში, სადაც არის ჩვენი ცოდნის გაურკვევლობა ან უზუსტობა ან გადაწყვეტილებების შედეგების ზუსტი პროგნოზირების ფუნდამენტური შეუძლებლობა. მეორეც, ცვლილების ინტერვალები და ალბათობა და წევრობის ფუნქციები იგივეა:

და P О და m ა(x) О .

ამავდროულად, ალბათობა ობიექტური მახასიათებელია და ალბათობის თეორიის გამოყენების საფუძველზე მიღებული დასკვნები, პრინციპში, ექსპერიმენტულად შეიძლება შემოწმდეს.

წევრობის ფუნქცია განისაზღვრება სუბიექტურად, თუმცა ის ჩვეულებრივ ასახავს განხილულ ობიექტებს შორის რეალურ ურთიერთობებს. ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიაზე დაფუძნებული მეთოდების გამოყენების ეფექტურობა ჩვეულებრივ განიხილება კონკრეტული შედეგების მიღების შემდეგ.

თუ ალბათობის თეორიაში ვარაუდობენ, რომ გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია, ე.ი.

მაშინ წევრობის ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის შესაბამისი ჯამი შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა 0-დან ¥-მდე.

ასე რომ, ბუნდოვანი ნაკრების განსაზღვრა ააუცილებელია განვსაზღვროთ E ელემენტების საბაზისო სიმრავლე და ჩამოყალიბდეს წევრობის ფუნქცია m ა(x), რომელიც არის ნდობის სუბიექტური საზომი, რომლითაც თითოეული x ელემენტი E-დან მიეკუთვნება მოცემულ ბუნდოვან სიმრავლეს ა.

წევრობის ცნების განზოგადება. განხილულ მაგალითებში დამახასიათებელმა ფუნქციამ მიიღო მნიშვნელობები 0 ან 1. დავუშვათ, რომ დამახასიათებელი ფუნქცია იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას დან. მაშინ ელემენტი შეიძლება არ ეკუთვნოდეს სიმრავლეს, გარკვეულწილად ეკუთვნოდეს ან იყოს სიმრავლის ელემენტი.

ბუნდოვანი ნაკრები . ბუნდოვანი ქვეჯგუფისიმრავლის (ფუზური სიმრავლე) არის მოწესრიგებული წყვილების ერთობლიობა, სადაც არის ელემენტის წევრობის ფუნქცია სიმრავლეში, რომელიც ახასიათებს ელემენტის წევრობის ხარისხს ამ სიმრავლეში, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შესაბამისობის ზომას. უნივერსალური სიმრავლის ელემენტი ბუნდოვანი სიმრავლის თვისებებისადმი. უწყვეტი სიმრავლის შემთხვევაში, ბუნდოვანი სიმრავლის დასადგენად გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა: .

უამრავი აქსესუარი. წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ეწოდება უამრავი აქსესუარი. თუ , მაშინ ჩვეულებრივი ნაკრებია, ე.ი. მკვეთრი ნაკრები შეიძლება ჩაითვალოს ბუნდოვანი სიმრავლის შემზღუდველ შემთხვევად. ამ სახელმძღვანელოში მოგვიანებით ბევრი აქსესუარია.

ბუნდოვანი ნაკრების ძალა. მიეცით ბუნდოვანი სიმრავლე უნივერსალურ სიმრავლეზე. Ძალაბუნდოვანი ნაკრები ან მისი ნატურალური რიცხვიგანისაზღვრება შემდეგნაირად: .

მაგალითი 28.უნივერსალურ კომპლექტში ჩვენ განვსაზღვრავთ შემდეგ ბუნდოვან სიმრავლეს:

მოდით განვსაზღვროთ ბუნდოვანი სიმრავლის კარდინალური რიცხვი:

ელემენტის მიკუთვნება ბუნდოვან სიმრავლეს ასევე შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: .

ელემენტის ბუნდოვან კომპლექტთან მიკუთვნების ხარისხის დასადგენად, არსებობს სპეციალური ტერმინოლოგია. ამრიგად, ბუნდოვანი ნაკრები მოცემულია მაგალითი 28,ოდნავ შეიცავს ელემენტს, არ შეიცავს, შეიცავს მცირე რაოდენობით, დიდწილად - და და შეიცავს ელემენტს.

მაგალითი 29.მცირე ნატურალური რიცხვების ბუნდოვანი ნაკრები შეიძლება განისაზღვროს, მაგალითად, შემდეგნაირად:

კომენტარი. ღირებულებები სუბიექტურია.

ბუნდოვანი ნაკრების მატარებელი. გადამზიდავიბუნდოვანი სიმრავლის (მხარდაჭერა) არის ელემენტების ნაკრები, რომლისთვისაც . ცარიელი, თუ მისი მხარდაჭერა ცარიელი ნაკრებია.

ბუნდოვანი ნაკრების ბირთვი. ბირთვი ბუნდოვანი ნაკრები () არის ელემენტების ერთობლიობა, რომლისთვისაც .

ბუნდოვანი კომპლექტის სიმაღლე . რაოდენობა (დისკრეტული უნივერსალური კომპლექტებისთვის) ეწოდება სიმაღლებუნდოვანი ნაკრები ().

ნორმალური და ქვენორმალური ბუნდოვანი კომპლექტები . ბუნდოვანი ნაკრები ჯარიმათუ მისი სიმაღლეა 1. თუ მისი სიმაღლე 1-ზე ნაკლებია, მაშინ ბუნდოვანი სიმრავლე ეწოდება სუბნორმალური. ნებისმიერი არა ცარიელი სუბნორმალური ბუნდოვანი ნაკრები შეიძლება გარდაიქმნას ნორმალურ ნაკრებში მისი წევრობის ფუნქციის ნორმალიზებით:

უნიმოდალური ბუნდოვანი კომპლექტები. ბუნდოვანი ნაკრები ე.წ უნიმოდალური, თუ მხოლოდ ერთი .

ბუნდოვანი სიმრავლეების გარდამავალი წერტილები. ელემენტები, რომელთათვისაც ე.წ გარდამავალი წერტილებიბუნდოვანი ნაკრები.

ამოზნექილი ბუნდოვანი კომპლექტები . ბუნდოვანი ნაკრები ე.წ ამოზნექილი, თუ:

მაგალითი 30.უნივერსალური სიმრავლე იყოს ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე, ე.ი. მოდით განვსაზღვროთ ბუნდოვანი სიმრავლე, როგორც რიცხვთან ახლოს მყოფი რიცხვების სიმრავლე (ნახ. 4).

სურათი 4

წევრობის ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად: , სადაც . ექსპონენტი არჩეულია სიახლოვის ხარისხის მიხედვით. მაგალითად, რიცხვებთან ძალიან ახლოს მყოფი რიცხვების აღსაწერად შეგიძლიათ აიღოთ ; რიცხვების ნაკრებისთვის არც თუ ისე შორს , .

მაგალითი 31.უნივერსალურ კომპლექტზე მაგალითი 28მოცემულია ბუნდოვანი ნაკრები. ბუნდოვანი ნაკრებისთვის: 1) განსაზღვრეთ მისი კარდინალურობა; 2) განსაზღვრავს მატარებელს, ბირთვს და სიმაღლეს; 3) გაარკვიეთ ნორმალურია თუ სუბნორმალური. თუ სუბნორმალურია, გადააკეთეთ ის ნორმალურად; 4) შეამოწმეთ არის თუ არა მიღებული ნაკრები უნიმოდალური; 5) განსაზღვრეთ გარდამავალი წერტილები.

1. განმარტებით, სასრულ უნივერსალურ სიმრავლეზე მოცემული საეჭვო სიმრავლის სიმძლავრე (კარდინალური რიცხვი) განისაზღვრება ფორმულით: .

2. გამოვიყენოთ ბუნდოვანი ნაკრების საყრდენის, ბირთვისა და სიმაღლის განმარტებები. ცხადია, , , .

3. მოცემული ბუნდოვანი სიმრავლე სუბნორმალურია. მოდით ავაშენოთ შესაბამისი ბუნდოვანი ნორმალური სიმრავლე. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ელემენტების წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობებს ფორმულის მიხედვით:

გვაქვს: , ანალოგიურად: , , , , . ამრიგად, ბუნდოვანი ნორმალიზებული ნაკრები.

4. სიმრავლე არის უნიმოდალური, ვინაიდან შეიცავს მხოლოდ ერთ ელემენტს, რისთვისაც .

5. სიმრავლეს აქვს ერთი გარდამავალი წერტილი - , ვინაიდან მხოლოდ .

ბუნდოვანი სიმრავლეების გამრავლება რიცხვზე. თუ ისეთი დადებითი რიცხვია, რომ , მაშინ საეჭვო სიმრავლისთვის წევრობის ფუნქცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: .

ბუნდოვანი სიმრავლეების შედარება. განვიხილოთ ორი ბუნდოვანი კომპლექტი და , განსაზღვრული უნივერსალურ სიმრავლეზე.

ამას ამბობენ Შეიცავს in , ანუ თუ რომელიმე . გრაფიკულად, ეს ნიშნავს, რომ ბუნდოვანი სიმრავლის განმსაზღვრელი მრუდი მდებარეობს ბუნდოვანი სიმრავლის მსგავსი მრუდის ზემოთ. თუ ჩართვის პირობა ყველასთვის არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ საუბარია ჩართვის ხარისხები in , რომელიც განისაზღვრება როგორც , სადაც არის კომპლექტი, რომელზეც დაკმაყოფილებულია ჩართვის პირობა.

ორი ბუნდოვანი კომპლექტი და თანაბარი არიან, თუ ისინი შეიცავს ერთმანეთში, ანუ, თუ რომელიმე .

ქვეჯგუფი - დონე. ბუნდოვანი სიმრავლის დონის ქვესიმრავლე , არის ელემენტების მკვეთრი ქვეჯგუფი, რომლისთვისაც . კომპლექტი ასევე ე.წ - ბუნდოვანი ნაკრების განყოფილება. ამ შემთხვევაში, თუ , მაშინ საუბარია ძლიერ მონაკვეთზე, ხოლო თუ , მაშინ საუბარია სუსტ მონაკვეთზე. ხდება მნიშვნელოვანი ქონება : თუ , მაშინ .

ბუნდოვანი სიმრავლეების ანალიზისა და სინთეზისთვის, დაშლის თეორემა: ბუნდოვანი სიმრავლე შეიძლება დაიყოს მისი დონის სიმრავლეებად შემდეგნაირად: , სად არის რიცხვისა და სიმრავლის ნამრავლი.

მაგალითი 32.უნივერსალურ კომპლექტზე ჩვენ განვსაზღვრავთ ბუნდოვან სიმრავლეს. იპოვეთ ბუნდოვანი სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლე:

ბუნდოვანი სიმრავლის დაშლის თეორემის მიხედვით, მოცემული ბუნდოვანი სიმრავლე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად.

ბუნდოვანი კომპლექტების დახმარებით შესაძლებელია ფორმალურად განვსაზღვროთ არაზუსტი და ორაზროვანი ცნებები, როგორიცაა „მაღალი ტემპერატურა“, „ახალგაზრდა კაცი“, „საშუალო სიმაღლის“ ან „დიდი ქალაქი“. ბუნდოვანი სიმრავლის განმარტების ჩამოყალიბებამდე აუცილებელია განვსაზღვროთ დისკურსის ე.წ. „ბევრი ფულის“ ორაზროვანი კონცეფციის შემთხვევაში, ერთი თანხა დიდად იქნება აღიარებული, თუ დიაპაზონში შემოვიფარგლებით და სრულიად განსხვავებული - დიაპაზონში. მსჯელობის არე, შემდგომში სახელწოდებით სივრცე ან სიმრავლე, ყველაზე ხშირად აღინიშნება სიმბოლოთი. უნდა გვახსოვდეს, რომ ეს არის ნათელი ნაკრები.

განმარტება 3.1

ბუნდოვანი სიმრავლე ზოგიერთ (არაცარიელ) სივრცეში, რომელიც აღინიშნება როგორც , არის წყვილთა ნაკრები

Fuzzy Set წევრობის ფუნქცია. ეს ფუნქცია თითოეულ ელემენტს ანიჭებს ბუნდოვან სიმრავლეს მისი კუთვნილების ხარისხს, ხოლო სამი შემთხვევა შეიძლება გამოიყოს:

1) ნიშნავს, რომ ელემენტი ეკუთვნის ბუნდოვან სიმრავლეს, ე.ი. ;

2) ნიშნავს ელემენტის არარსებობას, რომელიც მიეკუთვნება ბუნდოვან სიმრავლეს, ე.ი.

3) ნიშნავს ელემენტის ნაწილობრივ მიკუთვნებას ბუნდოვან სიმრავლეს.

ლიტერატურაში გამოყენებულია ბუნდოვანი კომპლექტების სიმბოლური აღწერა. თუ არის სივრცე სასრული რაოდენობის ელემენტებით, ე.ი. , მაშინ ბუნდოვანი ნაკრები იწერება როგორც

ზემოთ მოცემული ჩანაწერი სიმბოლურია. ნიშანი „–“ არ ნიშნავს დაყოფას, არამედ ნიშნავს კონკრეტული ელემენტების წევრობის ხარისხების მინიჭებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შესვლა

ნიშნავს წყვილს

ანალოგიურად, "+" ნიშანი გამოხატულებაში (3.3) არ ნიშნავს მიმატების ოპერაციას, მაგრამ ინტერპრეტირებულია, როგორც ელემენტების მრავალჯერადი შეჯამება (3.5). უნდა აღინიშნოს, რომ crisp კომპლექტები ასევე შეიძლება დაიწეროს ანალოგიურად. მაგალითად, სასკოლო კლასების ნაკრები სიმბოლურად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი

რაც იგივეა რაც წერა

თუ არის სივრცე უსასრულო რაოდენობის ელემენტებით, მაშინ ბუნდოვანი სიმრავლე სიმბოლურად იწერება როგორც

მაგალითი 3.1

დავუშვათ, რომ ეს არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე. განვსაზღვროთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ცნება „7-თან ახლოს“. ეს შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი ბუნდოვანი სიმრავლის განსაზღვრით:

მაგალითი 3.2

თუ სად არის რეალური რიცხვების სიმრავლე, მაშინ რეალური რიცხვების სიმრავლე „7-თან ახლოს“ შეიძლება განისაზღვროს ფორმის წევრობის ფუნქციით.

მაშასადამე, რეალური რიცხვების ბუნდოვანი სიმრავლე „7-თან ახლოს“ აღწერილია გამოსახულებით

შენიშვნა 3.1

ნატურალური ან რეალური რიცხვების ბუნდოვანი სიმრავლეები "7-თან ახლოს" შეიძლება ჩაიწეროს სხვადასხვა გზით. მაგალითად, წევრობის ფუნქცია (3.10) შეიძლება შეიცვალოს გამოსახულებით

ნახ. 3.1a და 3.1b არის რეალური რიცხვების ბუნდოვანი სიმრავლის ორი წევრობის ფუნქცია, "7-თან ახლოს".

ბრინჯი. 3.1. ილუსტრაცია მაგალითად 3.2: რეალური რიცხვების ბუნდოვანი სიმრავლის წევრობის ფუნქციები "7-თან ახლოს".

მაგალითი 3.3

მოდით დავაფორმოთ არაზუსტი განმარტება "ბალტიის ზღვაში ცურვისთვის შესაფერისი ტემპერატურის". მოდით დავაყენოთ მსჯელობის არეალი ნაკრების სახით. I დასვენება, რომელიც თავს საუკეთესოდ ვგრძნობ 21°C ტემპერატურაზე, თავად განსაზღვრავს ბუნდოვან კომპლექტს

დასვენება II, რომელსაც ურჩევნია ტემპერატურა 20°, შესთავაზებს ამ ნაკრების სხვა განმარტებას:

ბუნდოვანი კომპლექტების დახმარებით ჩვენ დავაფიქსირეთ ცნების არაზუსტი განმარტება "ბალტიის ზღვაში ცურვისთვის შესაფერისი ტემპერატურის". ზოგიერთი აპლიკაცია იყენებს წევრობის ფუნქციების სტანდარტულ ფორმებს. მოდით დავაკონკრეტოთ ეს ფუნქციები და განვიხილოთ მათი გრაფიკული ინტერპრეტაციები.

1. კლასის წევრობის ფუნქცია (ნახ. 3.2) განისაზღვრება როგორც

სად . ამ კლასს მიკუთვნებულ წევრობის ფუნქციას აქვს გრაფიკული გამოსახულება (ნახ. 3.2), რომელიც წააგავს ასო ""-ს და მისი ფორმა დამოკიდებულია პარამეტრების შერჩევაზე და . იმ მომენტში, კლასის წევრობის ფუნქცია იღებს 0,5-ის ტოლ მნიშვნელობას.

2. კლასის წევრობის ფუნქცია (ნახ. 3.3) განისაზღვრება კლასის წევრობის ფუნქციის მეშვეობით:

ბრინჯი. 3.2. კლასის წევრობის ფუნქცია.

ბრინჯი. 3.3. კლასის წევრობის ფუნქცია.

კლასის წევრობის ფუნქცია იღებს ნულოვან მნიშვნელობებს და . ქულებში მისი ღირებულებაა 0.5.

3. კლასის წევრობის ფუნქცია (ნახ. 3.4) მოცემულია გამოსახულებით

მკითხველი ადვილად შეამჩნევს ანალოგიას კლასების წევრობის ფუნქციების ფორმებსა და .

4. კლასის წევრობის ფუნქცია (ნახ. 3.5) განისაზღვრება როგორც

ბრინჯი. 3.4. კლასის წევრობის ფუნქცია.

ბრინჯი. 3.5. კლასის წევრობის ფუნქცია.

ზოგიერთ აპლიკაციაში, კლასის წევრობის ფუნქცია შეიძლება იყოს კლასის წევრობის ფუნქციის ალტერნატივა.

5. კლასის წევრობის ფუნქცია (ნახ. 3.6) განისაზღვრება გამოსახულებით

მაგალითი 3.4

განვიხილოთ სამი არაზუსტი ფორმულირება:

1) „სატრანსპორტო საშუალების დაბალი სიჩქარე“;

2) „სატრანსპორტო საშუალების საშუალო სიჩქარე“;

3) "მანქანის მაღალი სიჩქარე".

მსჯელობის სფეროდ ვიღებთ დიაპაზონს, სადაც არის მაქსიმალური სიჩქარე. ნახ. 3.7 წარმოდგენილია ბუნდოვანი სიმრავლეები და მოცემული ფორმულირებების შესაბამისი. გაითვალისწინეთ, რომ ნაკრების წევრობის ფუნქციას აქვს ტიპი, კომპლექტს აქვს ტიპი და კომპლექტი აქვს ტიპი. ფიქსირებულ წერტილზე კმ/სთ, ბუნდოვანი ნაკრების წევრობის ფუნქცია „სატრანსპორტო საშუალების დაბალი სიჩქარე“ იღებს მნიშვნელობას 0.5, ე.ი. . იგივე მნიშვნელობას ღებულობს ბუნდოვანი სიმრავლის წევრობის ფუნქცია „სატრანსპორტო საშუალების საშუალო სიჩქარე“, ე.ი. , ხოლო .

მაგალითი 3.5

ნახ. 3.8 გვიჩვენებს ბუნდოვანი ნაკრების „დიდი ფულის“ წევრობის ფუნქციას. ეს არის კლასის ფუნქცია და , , .

ბრინჯი. 3.6. კლასის წევრობის ფუნქცია.

ბრინჯი. 3.7. ილუსტრაცია მაგალითად 3.4: ბუნდოვანი კომპლექტების წევრობის ფუნქციები "პატარა", "საშუალო", "დიდი" მანქანის სიჩქარის.

ბრინჯი. 3.8. ილუსტრაცია მაგალითად 3.5: საეჭვო ნაკრების წევრობის ფუნქცია „დიდი ფული“.

ამიტომ, 10000 რუბლზე მეტი თანხები ნამდვილად შეიძლება ჩაითვალოს "დიდად", რადგან წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობები ხდება 1-ის ტოლი. 1000 რუბლზე ნაკლები თანხები არ მიეკუთვნება "დიდს", რადგან წევრობის ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობებია. 0. რა თქმა უნდა, ბუნდოვანი ნაკრების „დიდი ფულის“ ასეთი განმარტება სუბიექტურია. მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს საკუთარი წარმოდგენა „დიდი ფულის“ ორაზროვანი კონცეფციის შესახებ. ეს წარმოდგენა აისახება კლასის პარამეტრების და ფუნქციების სხვა მნიშვნელობებით.

განმარტება 3.2

სივრცის ელემენტების სიმრავლე, რომლისთვისაც , ეწოდება ბუნდოვანი სიმრავლის მატარებელს და აღინიშნება (მხარდაჭერით). მის ოფიციალურ აღნიშვნას აქვს ფორმა

განმარტება 3.3

ბუნდოვანი ნაკრების სიმაღლე აღინიშნება და განისაზღვრება როგორც

მაგალითი 3.6

განმარტება 3.4

ბუნდოვან სიმრავლეს ნორმალურს უწოდებენ თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში. თუ ბუნდოვანი ნაკრები არ არის ნორმალური, მაშინ მისი ნორმალიზება შესაძლებელია ტრანსფორმაციის გამოყენებით

სად არის ამ ნაკრების სიმაღლე.

მაგალითი 3.7

ბუნდოვანი ნაკრები

ნორმალიზაციის შემდეგ ფორმას იღებს

განმარტება 3.5

ბუნდოვან სიმრავლეს ეწოდება ცარიელი და აღინიშნება თუ და მხოლოდ თუ თითოეულისთვის.

განმარტება 3.6

ბუნდოვანი სიმრავლე შეიცავს ბუნდოვან სიმრავლეს, რომელიც იწერება როგორც, თუ და მხოლოდ თუ

ყველასთვის .

ბუნდოვანი სიმრავლის ბუნდოვან სიმრავლეში ჩართვის (შინაარსის) მაგალითი ილუსტრირებულია ნახ. 3.9. ლიტერატურაში ასევე არსებობს ბუნდოვანი სიმრავლეების ჩართვის ხარისხის ცნება. ბუნდოვანი სიმრავლის ჩართვის ხარისხი ბუნდოვან სიმრავლეში ნახ. 3.9 უდრის 1-ს (სრული ჩართვა). ბუნდოვანი სიმრავლეები წარმოდგენილი ნახ. 3.10 არ აკმაყოფილებს დამოკიდებულებას (3.27), შესაბამისად, არ არის ჩართვა განმარტების მნიშვნელობით (3.6). თუმცა, ბუნდოვანი სიმრავლე ხარისხობრივად შეიცავს ბუნდოვან სიმრავლეს

პირობა შესრულებულია

ბრინჯი. 3.12. ბუნდოვანი ამოზნექილი ნაკრები.

ბრინჯი. 3.13. ბუნდოვანი ჩაზნექილი ნაკრები.

ბრინჯი. 3.13 ასახავს ბუნდოვან ჩაზნექილ კომპლექტს. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ბუნდოვანი სიმრავლე არის ამოზნექილი (ჩაზნექილი), თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ყველა ჭრილი ამოზნექილია (ჩაზნექილი).

ბუნდოვანი ნაკრები- ბუნდოვანი ლოგიკის ძირითადი კონცეფცია. დაე ე- უნივერსალური ნაკრები, X- ელემენტი E, a R არის გარკვეული თვისება. რეგულარული (წმინდა) ქვეჯგუფი მაგრამუნივერსალური ნაკრები E,რომლის ელემენტები აკმაყოფილებს თვისებას R განისაზღვრება როგორც მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლე

A = (მა(x) / x},

სადაც μ A (x) არის დამახასიათებელი ფუნქცია, 1 მნიშვნელობის აღება თუ Xაკმაყოფილებს R თვისებას, ხოლო 0 სხვაგვარად.

ბუნდოვანი ქვესიმრავლე განსხვავდება ჩვეულებრივისგან იმით, რომ ელემენტები Xდან ეარ არსებობს ცალსახა პასუხი "დიახ-არა" თვისებასთან დაკავშირებით R. ამასთან დაკავშირებით, ბუნდოვანი ქვესიმრავლე მაგრამუნივერსალური ნაკრები ეგანისაზღვრება, როგორც შეკვეთილი წყვილების ნაკრები

A = (მა(x) / x},

სადაც μ A (x) — წევრობის დამახასიათებელი ფუნქცია(ან უბრალოდ წევრობის ფუნქცია), ღირებულებების მიღება ზოგიერთ კარგად მოწესრიგებულ კომპლექტში მ(მაგალითად, მ = ).

წევრობის ფუნქცია მიუთითებს ელემენტის წევრობის ხარისხს (ან დონეს). Xქვეჯგუფი მაგრამ.Ბევრი მაქსესუარების კომპლექტს უწოდებენ. Თუ მ= (0, 1), შემდეგ ბუნდოვანი ქვესიმრავლე მაგრამშეიძლება ჩაითვალოს ჩვეულებრივ ან მკვეთრ კომპლექტად.

ბუნდოვანი ნაკრების დაწერის მაგალითები

დაე ე = {x 1 , x 2 , x s,x 4 , x 5), M = ; მაგრამარის ბუნდოვანი ნაკრები, რომლისთვისაც μ A ( x 1 )= 0.3; μ A ( x 2)= 0; μ A ( X 3) = 1; μ A (x 4) \u003d 0.5; μ A ( x 5)= 0,9.

მაშინ მაგრამშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

A ={0,3/x 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

ან

მაგრამ={0,3/x 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

ან

კომენტარი. აქ "+" ნიშანი არ არის მიმატების მოქმედების აღნიშვნა, მაგრამ აქვს კავშირის მნიშვნელობა.

ბუნდოვანი კომპლექტების ძირითადი მახასიათებლები

დაე მ= და მაგრამ- ბუნდოვანი ნაკრები ელემენტებით უნივერსალური ნაკრებიდან ედა ბევრი აქსესუარი მ.

მნიშვნელობა ეწოდება სიმაღლებუნდოვანი ნაკრები მაგრამ.ბუნდოვანი ნაკრები და არაუშავსთუ მისი სიმაღლე 1-ის ტოლია, ე.ი. მისი წევრობის ფუნქციის ზედა ზღვარი არის 1 (= 1). ზე< 1нечеткое множество называется სუბნორმალური.

ბუნდოვანი ნაკრები ცარიელი,თუ ∀ xϵ ე μ A( x) = 0. არა ცარიელი სუბნორმალური ნაკრები შეიძლება ნორმალიზდეს ფორმულით

ბუნდოვანი ნაკრები უნიმოდალურითუ μ A( x) = 1 მხოლოდ ერთზე Xდან ე.

. გადამზიდავიბუნდოვანი ნაკრები მაგრამარის ჩვეულებრივი ქვესიმრავლე საკუთრებით μ A( x)>0, ე.ი. გადამზიდავი ა = {x/x ϵ E, μ A( x)>0}.

ელემენტები xϵ ე, რისთვისაც μ A( x) = 0,5 , უწოდებენ გარდამავალი წერტილებიკომპლექტი მაგრამ.

ბუნდოვანი კომპლექტების მაგალითები

1. მოდით ე = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. ბუნდოვანი ნაკრები"რამდენიმე" შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:

"რამდენიმე" = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8; მისი მახასიათებლები:სიმაღლე = 1, გადამზიდავი = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, გარდამავალი წერტილები — {3, 8}.

2. მოდით ე = {0, 1, 2, 3,…, ნ,… ). ბუნდოვანი ნაკრები "პატარა" შეიძლება განისაზღვროს:

3. მოდით ე= (1, 2, 3, . . . ., 100) და შეესაბამება "ასაკის" კონცეფციას, მაშინ ბუნდოვანი ნაკრები "ახალგაზრდა" შეიძლება განისაზღვროს გამოყენებით

Fuzzy კომპლექტი "Young" უნივერსალურ კომპლექტზე E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) მოცემულია წევრობის ფუნქციით μ ახალგაზრდა ( x) ზე E =(1, 2, 3, . . ., 100) (ასაკი), სახელწოდებით E"თავსებადობის ფუნქცია, ხოლო:

სადაც X- სიდოროვის ასაკი.

4. მოდით ე\u003d (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES, ...) - მანქანის ბრენდების ნაკრები და E"= - უნივერსალური ნაკრები "ფასი", შემდეგ ჩართეთ E"ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ბუნდოვანი კომპლექტები, როგორიცაა:

ბრინჯი. 1.1. წევრობის ფუნქციის მაგალითები

„ღარიბებისთვის“, „საშუალო ფენისთვის“, „პრესტიჟული“, კუთვნილი ფუნქციებით, როგორიცაა ლეღვი. 1.1.

ამ ფუნქციების ქონა და მანქანების ფასის ცოდნა ედროის მოცემულ მომენტში ჩვენ ამით განვსაზღვრავთ E"ბუნდოვანი კომპლექტები იგივე სახელებით.

ასე, მაგალითად, ბუნდოვანი ნაკრები "ღარიბებისთვის", მოცემული უნივერსალურ კომპლექტზე E =(ZAPORIZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), გამოიყურება ისე, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 1.2.

ბრინჯი. 1.2. ბუნდოვანი ნაკრების დაზუსტების მაგალითი

ანალოგიურად, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ბუნდოვანი ნაკრები "მაღალი სიჩქარე", "საშუალო", "დაბალი სიჩქარე" და ა.შ.

5. მოდით ე- მთელი რიცხვების ნაკრები:

ე= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

შემდეგ რიცხვების ბუნდოვანი ქვესიმრავლე, რომელიც ახლოს არის ნულთან აბსოლუტური მნიშვნელობით, შეიძლება განისაზღვროს, მაგალითად, შემდეგნაირად:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

ბუნდოვანი სიმრავლეების წევრობის ფუნქციების აგების მეთოდებზე

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები გამოიყენება სწორიმეთოდებს, როდესაც ექსპერტი ან უბრალოდ ადგენს თითოეულს X ϵ ემნიშვნელობა μ A (x),ან განსაზღვრავს თავსებადობის ფუნქციას. როგორც წესი, პირდაპირი წევრობის ფუნქციის მეთოდები გამოიყენება გაზომვადი ცნებებისთვის, როგორიცაა სიჩქარე, დრო, მანძილი, წნევა, ტემპერატურა და ა.შ., ან როდესაც ხაზგასმულია პოლარული მნიშვნელობები.

ბევრ ამოცანაში, ობიექტის დახასიათებისას, შესაძლებელია გამოვყოთ მახასიათებლების ნაკრები და თითოეული მათგანისთვის განისაზღვროს პოლარული მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობებს, 0 ან 1.

მაგალითად, სახის ამოცნობის ამოცანაში, შეგიძლიათ აირჩიოთ ცხრილში ნაჩვენები სასწორები. 1.1.

ცხრილი 1.1. სასწორები სახის ამოცნობის პრობლემაში

x 1	შუბლის სიმაღლე
x 2	ცხვირის პროფილი	სნეული	კეხი
	ცხვირის სიგრძე	მოკლე
x 4	თვალის ფორმა
	თვალის ფერი
	ნიკაპის ფორმა	აღნიშნა	კვადრატი
x 7	ტუჩის სისქე
	სახის ფერი
	სახის მონახაზი	ოვალური	კვადრატი

კონკრეტული ადამიანისთვისმაგრამექსპერტი მოცემულ სკალაზე დაყრდნობით ადგენსμ ა(x) ϵვექტორული წევრობის ფუნქციის ფორმირება (μ ა(x 1) , μ ა(x 2),…, μ ა(x 9)}.

პირდაპირი მეთოდებით ასევე გამოიყენება ჯგუფური პირდაპირი მეთოდებიც, როდესაც, მაგალითად, ექსპერტთა ჯგუფს წარადგენენ კონკრეტულ ადამიანთან და ყველამ უნდა გასცეს პასუხი ორიდან ერთი: „ეს ადამიანი მელოტია“ ან „ეს ადამიანი არ არის მელოტი“. მაშინ დადებითი პასუხების რაოდენობა გაყოფილი ექსპერტების საერთო რაოდენობაზე იძლევა მნიშვნელობას μ მელოტი (მოცემული ადამიანის). (ამ მაგალითში შეგიძლიათ იმოქმედოთ თავსებადობის ფუნქციით, მაგრამ შემდეგ თქვენ უნდა დაითვალოთ თმის რაოდენობა თითოეულ სახეზე, რომელიც ექსპერტს წარუდგინა.)

არაპირდაპირიწევრობის ფუნქციის მნიშვნელობების განსაზღვრის მეთოდები გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც არ არსებობს ელემენტარული გაზომვადი თვისებები, რომლის მეშვეობითაც განისაზღვრება ჩვენთვის ინტერესის ბუნდოვანი ნაკრები. როგორც წესი, ეს არის წყვილთა შედარების მეთოდები. თუ წევრობის ფუნქციების მნიშვნელობები ჩვენთვის ცნობილი იყო, მაგალითად, μ ა(X-მე) = ωi , მე= 1, 2, ..., ნ, მაშინ წყვილთა შედარება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ურთიერთობის მატრიცით მაგრამ= (a ij), სადაც აიჯ= ω i/ ωj(განყოფილების ოპერაცია).

პრაქტიკაში, ექსპერტი თავად აყალიბებს მატრიცას მაგრამ, მაშინ როცა ვარაუდობენ, რომ დიაგონალური ელემენტები 1-ის ტოლია, ხოლო ელემენტებისთვის, რომლებიც სიმეტრიულია დიაგონალთან მიმართებაში a ij = 1/a ij , ე.ი. თუ ერთი ელემენტი აფასებს α ჯერ მეორეზე ძლიერი, მაშინ ეს უკანასკნელი პირველზე 1/α-ჯერ უფრო ძლიერი უნდა იყოს. ზოგად შემთხვევაში, პრობლემა მცირდება ვექტორის ω-ს პოვნამდე, რომელიც აკმაყოფილებს ფორმის განტოლებას. აუ= λmax ვ, სადაც λ max არის მატრიცის უდიდესი საკუთრივ მნიშვნელობა მაგრამ. მატრიციდან მოყოლებული მაგრამკონსტრუქციით დადებითია, ამ პრობლემის გადაწყვეტა არსებობს და დადებითია.

შეიძლება აღინიშნოს კიდევ ორი ​​მიდგომა:

• სტანდარტული ფორმების გამოყენებაწევრობის ფუნქციების მინიჭების მრუდები (ფორმაში (L-R)-ტიპი - იხილეთ ქვემოთ) მათი პარამეტრების დაზუსტებით ექსპერიმენტული მონაცემების შესაბამისად;
• ფარდობითი სიხშირეების გამოყენებაექსპერიმენტის მიხედვით, როგორც წევრობის მნიშვნელობები.

ბუნდოვანი ნაკრები(fuzzyset) არის თვითნებური ხასიათის ელემენტების ერთობლიობა, რომელთა მიმართაც შეუძლებელია ზუსტად იმის თქმა, აქვთ თუ არა ამ ელემენტებს რაიმე დამახასიათებელი თვისება, რომელიც გამოიყენება ბუნდოვანი სიმრავლის განსაზღვრისათვის.

მოდით X იყოს უნივერსალური (ფუძე) სიმრავლე, x X-ის ელემენტი და R ზოგიერთი თვისება. უნივერსალური X სიმრავლის ჩვეულებრივი (მკაფიო) ქვესიმრავლე A, რომლის ელემენტები აკმაყოფილებს R თვისებას, განისაზღვრება, როგორც მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლე.
A = μ A x / x, სადაც μ A x არის დამახასიათებელი ფუნქცია, რომელიც იღებს მნიშვნელობას 1, თუ x აკმაყოფილებს R თვისებას, ხოლო 0-ს სხვა შემთხვევაში.

ბუნდოვანი ქვესიმრავლე განსხვავდება ჩვეულებრივისგან იმით, რომ X-დან x ელემენტებზე არ არსებობს ცალსახა პასუხი „კი-არა“ თვისებასთან დაკავშირებით R. ამასთან დაკავშირებით, უნივერსალური X სიმრავლის ბუნდოვანი ქვესიმრავლე A განისაზღვრება, როგორც მოწესრიგებული წყვილების ნაკრები A = μ A x / x, სადაც μ A x არის წევრობის დამახასიათებელი ფუნქცია(ან უბრალოდ წევრობის ფუნქცია) მნიშვნელობების მიღება ზოგიერთ კარგად მოწესრიგებულ კომპლექტში M = 0; ერთი . წევრობის ფუნქცია მიუთითებს A-ს ქვესიმრავლეში x ელემენტის წევრობის ხარისხს (ან დონეს). M სიმრავლეს საკუთრებათა სიმრავლე ეწოდება. თუ M = 0; 1 , მაშინ ბუნდოვანი ქვესიმრავლე A შეიძლება ჩაითვალოს ჩვეულებრივ ან მკვეთრ სიმრავლედ. წევრობის ხარისხი μ A x არის სუბიექტური საზომი იმისა, თუ რამდენად შეესაბამება x ∈ X ელემენტი კონცეფციას, რომლის მნიშვნელობაც ფორმალიზებულია ბუნდოვანი სიმრავლით A .

გადამზიდავიბუნდოვანი სიმრავლე A არის უნივერსალური X სიმრავლის მკვეთრი ქვესიმრავლე S A თვისებით μ A x > 0, ე.ი. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, A საეჭვო სიმრავლის მატარებელია უნივერსალური X სიმრავლის S A ქვესიმრავლე, რომლის ელემენტების წევრობის ფუნქცია μ A x > 0 არის ნულზე მეტი. ზოგჯერ ბუნდოვანი სიმრავლის მატარებელს საყრდენი A-ს უწოდებენ.

თუ A საეჭვო სიმრავლის მატარებელი არის დისკრეტული ქვესიმრავლე S A, მაშინ X უნივერსალური სიმრავლის ბუნდოვანი ქვესიმრავლე A, რომელიც შედგება n ელემენტისგან, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთპუნქტიანი სიმრავლეების სასრული რაოდენობა μ A x / x გამოყენებით. სიმბოლო ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . ეს გულისხმობს, რომ x i ელემენტები დალაგებულია ზრდის მიხედვით მათი ინდექსების მიხედვით, ე.ი. x 1< x 2 < x 3 < … < x n .

თუ A საეჭვო სიმრავლის მატარებელი არის უწყვეტი ქვესიმრავლე S A, მაშინ X უნივერსალური სიმრავლის ბუნდოვანი ქვესიმრავლე, განიხილება სიმბოლო ∫, როგორც ზემოთ შემოყვანილი კავშირის სიმბოლოს უწყვეტი ანალოგი დისკრეტული ბუნდოვანი სიმრავლეებისთვის ∑, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო რაოდენობის ერთპუნქტიანი კომპლექტების გაერთიანება μ A x / x:

A = ∫ X μ A x / x.

მაგალითი.მოდით, უნივერსალური ნაკრები X შეესაბამებოდეს პროდუქტის სისქის შესაძლო მნიშვნელობების კომპლექტს 10 მმ-დან 40 მმ-მდე დისკრეტული ნაბიჯით 1 მმ. ბუნდოვანი ნაკრები A, რომელიც შეესაბამება "მცირე პროდუქტის სისქის" ბუნდოვან კონცეფციას, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

A = 1/10; 0.9 / 11; 0.8 / 12; 0.7 / 13; 0.5 / 14; 0.3 / 15; 0.1 / 16; 0 / 17 ; … ; 0/40

A = 1 / 10 + 0.9 / 11 + 0.8 / 12 + 0.7 / 13 + 0.5 / 14 + 0.3 / 15 + 0.1 / 16 + 0 / 17 + ... + 0 / 40,

სადაც შემაჯამებელი ნიშანი აღნიშნავს არა არითმეტიკული შეკრების მოქმედებას, არამედ ელემენტების გაერთიანებას ერთ სიმრავლეში. ბუნდოვანი A სიმრავლის მატარებელი იქნება სასრული ქვესიმრავლე (დისკრეტული მატარებელი):

S A = 10; თერთმეტი ; 12 ; 13 ; თოთხმეტი ; თხუთმეტი ; 16 .

თუ უნივერსალური სიმრავლე X არის 10-დან 40-მდე რეალური რიცხვების სიმრავლე, ე.ი. პროდუქტის სისქეს შეუძლია მიიღოს ყველა შესაძლო მნიშვნელობა ამ საზღვრებში, მაშინ ბუნდოვანი კომპლექტის A მატარებელი არის სეგმენტი S A = 10; 16 .

ბუნდოვანი სიმრავლე დისკრეტული საყრდენით შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ცალკეული წერტილები სიბრტყეზე, ბუნდოვანი სიმრავლე უწყვეტი საყრდენით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მრუდის სახით, რომელიც შეესაბამება დისკრეტულ და უწყვეტი წევრობის ფუნქციებს μ A x მოცემულ უნივერსალურ სიმრავლეში X ( ნახ. 2.1).

ნახ.2.1. ბუნდოვანი კომპლექტების წევრობის ფუნქციები (a) - დისკრეტული და (b) - უწყვეტი საყრდენებით

მაგალითი.მოდით X = 0; ერთი ; 2; … არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლე. საეჭვო სიმრავლე ital small შეიძლება განისაზღვროს, როგორც μ ital პატარა x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

ნახ.2.2. მცირე ზომის ბუნდოვანი ნაკრების გრაფიკული გამოსახულება

ბუნდოვანი სიმრავლე A ეწოდება საბოლოოთუ მისი მხარდაჭერა S A არის სასრული მკვეთრი ნაკრები. ამავდროულად, ჩვეულებრივი სიმრავლეების ანალოგიით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ასეთ ბუნდოვან სიმრავლეს აქვს სასრული ბარათი A = ბარათი S A. ბუნდოვანი სიმრავლე A ეწოდება გაუთავებელი, თუ მისი მხარდაჭერა S A არ არის სასრული მკვეთრი ნაკრები. სადაც თვლადიბუნდოვანი ნაკრები არის ბუნდოვანი ნაკრები, რომელსაც აქვს თვლადი მხარდაჭერა თვლადი ძალა ჩვეულებრივი გაგებითმკვეთრი სიმრავლეების თეორიის თვალსაზრისით, ე.ი. თუ S A შეიცავს უსასრულო რაოდენობის ელემენტებს, რომლებიც, თუმცა, შეიძლება დანომრილი იყოს ნატურალური რიცხვებით 1,2 ,3 . . . და ნუმერაციის დროს ბოლო ელემენტის მიღწევა ფუნდამენტურად შეუძლებელია. უთვალავიბუნდოვანი ნაკრები არის ბუნდოვანი ნაკრები, რომელსაც აქვს უთვალავი მხარდაჭერა კონტინიუმის უთვალავი ძალა, ე.ი. თუ S A შეიცავს ელემენტთა უსასრულო რაოდენობას, რომელთა დანომრვა შეუძლებელია 1,2 ,3 ნატურალური რიცხვებით. . .

მაგალითი.ბუნდოვანი კონცეფცია "ნაწილების ძალიან მცირე რაოდენობა" შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სასრული ბუნდოვანი ნაკრები A = 1 / 0 + 0.9 / 1 + 0.8 / 2 + 0.7 / 3 + 0.5 / 4 + 0.1 / 5 + 0 / 6 + ... ბარათი (A) = 6 და გადამზიდავი S A = 0; ერთი ; 2; 3; ოთხი ; 5, რომელიც არის სასრული მკვეთრი ნაკრები. ბუნდოვანი კონცეფცია "ძალიან დიდი რაოდენობის დეტალები" შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც A = 0 / 0 + ... + 0.1 / 1 0 + 0.4 / 11 + 0.7 / 12 + 0.9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – ბუნდოვანი სიმრავლე უსასრულო თვლადი საყრდენით S A ≡ N (ნატურალური რიცხვების სიმრავლე), რომელსაც აქვს თვლადი კარდინალურობა ჩვეულებრივი გაგებით.

მაგალითი.უთვალავი ბუნდოვანი სიმრავლე A, რომელიც შეესაბამება ბუნდოვან კონცეფციას "ძალიან ცხელი", მოცემულია ტემპერატურის მნიშვნელობების უნივერსალურ სიმრავლეზე (კელვინებში) x ∈ [0; ∞) და წევრობის ფუნქცია μ A = 1 − e − x , მხარდაჭერით S A ≡ R + (არაუარყოფითი რეალური რიცხვების სიმრავლე), რომელსაც აქვს უთვალავი უწყვეტობის კარდინალურობა.

რაოდენობა sup x ∈ X μ A x ეწოდება სიმაღლებუნდოვანი ნაკრები.

ბუნდოვანი ნაკრები ა ჯარიმათუ მისი სიმაღლე არის 1, ე.ი. მისი წევრობის ფუნქციის ზედა ზღვარი sup x ∈ X μ A x = 1. sup x ∈ X μ A x-ისთვის< 1 სუბნორმალური.

ბუნდოვანი ნაკრები ე.წ ცარიელი, თუ ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

არა ცარიელი სუბნორმალური ნაკრები ყოველთვის შეიძლება ნორმალიზდეს წევრობის ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის გაყოფით მის მაქსიმალურ მნიშვნელობაზე μ A x sup x ∈ X μ A x.

ბუნდოვანი ნაკრები ე.წ უნიმოდალური, თუ μ A x = 1 მხოლოდ ერთი წერტილისთვის x ( მოდა) უნივერსალური X სიმრავლის.

ბუნდოვანი ნაკრები ე.წ დააზუსტეთ, თუ μ A x > 0 X უნივერსალური სიმრავლის მხოლოდ ერთი x წერტილისთვის.

ბევრი α - დონებუნდოვანი სიმრავლე A , რომელიც განისაზღვრება X უნივერსალური სიმრავლით, ეწოდება X უნივერსალური სიმრავლის A α ქვესიმრავლეს, რომელიც განისაზღვრება როგორც:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , სადაც α ∈ 0 ; ერთი .

მაგალითი. A \u003d 0.8 / 1 + 0.6 / 2 + 0.2 / 3 + 1 / 4, A 0.5 \u003d 1; 2; 4, სადაც A 0.5 არის მკაფიო სიმრავლე, მოწესრიგებული წყვილების x ელემენტების ჩათვლით μ A x / x, რომლებიც ქმნიან ბუნდოვან სიმრავლეს A , რომლის წევრობის ფუნქციის მნიშვნელობა აკმაყოფილებს μ A x ≥ α პირობას.

α დონის სიმრავლებისთვის მოქმედებს შემდეგი თვისება: თუ α 1 ≥ α 2 , მაშინ A α 1 ქვესიმრავლის კარდინალურობა არ აღემატება A α 2 ქვეჯგუფის კარდინალურობას.

ელემენტები x ∈ X, რომლებისთვისაც μ A x = 0,5 ეწოდება გარდამავალი წერტილებიბუნდოვანი ნაკრები A.

ბირთვიბუნდოვანი სიმრავლის A განსაზღვრული უნივერსალური X სიმრავლეზე არის მკვეთრი სიმრავლის ბირთვი A, რომლის ელემენტები აკმაყოფილებს ბირთვს A = x ∈ X ∣ μ A x = 1.

საზღვარიუნივერსალური X სიმრავლეზე განსაზღვრულ ბუნდოვან სიმრავლეს A ეწოდება მკვეთრი სიმრავლის წინა A, რომლის ელემენტები აკმაყოფილებს წინა პირობას A = x ∈ X ∣ 0.< μ A x < 1 .

მაგალითი.მოდით X = 0; ერთი ; 2; … ; 10, M = 0; ერთი . რამდენიმე ბუნდოვანი სიმრავლე შეიძლება განისაზღვროს ნატურალური რიცხვების უნივერსალურ სიმრავლეზე შემდეგნაირად: რამდენიმე = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; მისი მახასიათებლები: სიმაღლე = 1 , გადამზიდავი = ​​3 ; ოთხი ; 5 ; 6; 7; 8 , გარდამავალი წერტილი = 3 ; 8 , ბირთვი = 5 ; 6 , საზღვარი = 3 ; ოთხი ; 7; რვა .

უნივერსალური X სიმრავლეზე განსაზღვრული ბუნდოვანი სიმრავლე ეწოდება ამოზნექილი, თუ μ A x ≥ min μ A a ; μ A b; ა< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

ნახ.2.3. ამოზნექილი და არაამოზნექილი ბუნდოვანი სიმრავლეების წევრობის ფუნქციები