ფუნქციის წარმოებული ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა სასკოლო სასწავლო გეგმაში. ყველა კურსდამთავრებული არ უპასუხებს კითხვას, რა არის წარმოებული.

ეს სტატია უბრალოდ და ნათლად განმარტავს რა არის წარმოებული და რატომ არის საჭირო.. ჩვენ ახლა არ ვისწრაფვით პრეზენტაციის მათემატიკური სიმკაცრისკენ. მთავარია მნიშვნელობის გაგება.

გავიხსენოთ განმარტება:

წარმოებული არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე.

ნახატზე ნაჩვენებია სამი ფუნქციის გრაფიკი. როგორ ფიქრობთ, რომელი იზრდება ყველაზე სწრაფად?

პასუხი აშკარაა - მესამე. მას აქვს ცვლილების ყველაზე მაღალი მაჩვენებელი, ანუ ყველაზე დიდი წარმოებული.

აი კიდევ ერთი მაგალითი.

კოსტიამ, გრიშამ და მატვეიმ ერთდროულად იმუშავეს. ვნახოთ, როგორ შეიცვალა მათი შემოსავალი წლის განმავლობაში:

თქვენ ხედავთ ყველაფერს სქემაზე დაუყოვნებლივ, არა? კოსტიას შემოსავალი ექვს თვეში გაორმაგდა. და გრიშას შემოსავალიც გაიზარდა, ოღონდ ცოტა. მათეს შემოსავალი კი ნულამდე შემცირდა. საწყისი პირობები იგივეა, მაგრამ ფუნქციის ცვლილების სისწრაფე, ე.ი. წარმოებული, - განსხვავებული. რაც შეეხება მატვეის, მისი შემოსავლის წარმოებული ზოგადად უარყოფითია.

ინტუიციურად, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევაფასოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს?

რასაც ჩვენ რეალურად ვუყურებთ არის ის, თუ რამდენად ციცაბო აწევა ფუნქციის გრაფიკი (ან ქვევით). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენად სწრაფად იცვლება y x-ით. ცხადია, ერთსა და იმავე ფუნქციას სხვადასხვა წერტილში შეიძლება ჰქონდეს წარმოებულის განსხვავებული მნიშვნელობა - ანუ ის შეიძლება შეიცვალოს უფრო სწრაფად ან ნელა.

ფუნქციის წარმოებული აღინიშნება .

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკის გამოყენებით.

შედგენილია ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი. აიღეთ წერტილი მასზე აბსცისით. დახაზეთ ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზე. ჩვენ გვინდა შევაფასოთ, თუ რამდენად ციცაბო მაღლდება ფუნქციის გრაფიკი. ამისთვის მოსახერხებელი ღირებულებაა ტანგენსის ფერდობის ტანგენსი.

ფუნქციის წარმოებული წერტილში ტოლია ამ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ - როგორც ტანგენსის დახრილობის კუთხე, ვიღებთ კუთხეს ტანგენტსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის.

ზოგჯერ სტუდენტები კითხულობენ რა არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი. ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს ერთადერთი საერთო წერტილი ამ განყოფილების გრაფიკთან, უფრო მეტიც, როგორც ნაჩვენებია ჩვენს ფიგურაში. ის ჰგავს წრეზე ტანგენტს.

მოდი ვიპოვოთ. ჩვენ გვახსოვს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას მეზობელთან. სამკუთხედიდან:

ჩვენ ვიპოვეთ წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით ფუნქციის ფორმულის ცოდნის გარეშე. ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება მათემატიკაში გამოცდაზე ნომრის ქვეშ.

არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი კორელაცია. შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით

რაოდენობა ამ განტოლებაში ეწოდება სწორი ხაზის ფერდობზე. ის ტოლია სწორი ხაზის ღერძისადმი დახრილობის კუთხის ტანგენტს.

.

ჩვენ ამას მივიღებთ

გავიხსენოთ ეს ფორმულა. იგი გამოხატავს წარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია იმ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმოებული უდრის ტანგენსის დახრილობის ტანგენტს.

ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ერთსა და იმავე ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული წარმოებულები სხვადასხვა წერტილში. ვნახოთ, როგორ უკავშირდება წარმოებული ფუნქციის ქცევას.

დავხატოთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი. დაე ეს ფუნქცია გაიზარდოს ზოგიერთ რაიონში და შემცირდეს ზოგში და სხვადასხვა სიჩქარით. და მოდით ამ ფუნქციას ჰქონდეს მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

რაღაც მომენტში ფუნქცია იზრდება. წერტილში დახატული გრაფიკის ტანგენსი ქმნის მახვილ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ასე რომ, წარმოებული არის დადებითი წერტილი.

ამ ეტაპზე ჩვენი ფუნქცია მცირდება. ტანგენსი ამ წერტილში ქმნის ბლაგვ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ვინაიდან ბლაგვი კუთხის ტანგენსი უარყოფითია, წარმოებული წერტილი უარყოფითია.

აი რა ხდება:

თუ ფუნქცია იზრდება, მისი წარმოებული დადებითია.

თუ ის მცირდება, მისი წარმოებული უარყოფითია.

და რა მოხდება მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებზე? ჩვენ ვხედავთ, რომ (მაქსიმალურ წერტილში) და (მინიმალურ წერტილში) ტანგენსი ჰორიზონტალურია. მაშასადამე, ამ წერტილებში ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი არის ნული, ხოლო წარმოებულიც არის ნული.

წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი. ამ დროს ფუნქციის ზრდა იცვლება შემცირებით. შესაბამისად, წარმოებულის ნიშანი იცვლება წერტილში „პლუს“-დან „მინუსში“.

წერტილში - მინიმალურ წერტილში - წარმოებულიც ნულის ტოლია, მაგრამ მისი ნიშანი "მინუსიდან" იცვლება "პლუს".

დასკვნა: წარმოებულის დახმარებით შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს ფუნქციის ქცევის შესახებ.

თუ წარმოებული დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება.

თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება.

მაქსიმალურ წერტილში წარმოებული არის ნული და ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე.

მინიმალურ წერტილში წარმოებულიც არის ნული და ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე.

ჩვენ ვწერთ ამ დასკვნებს ცხრილის სახით:

	იზრდება	მაქსიმალური ქულა	მცირდება	მინიმალური ქულა	იზრდება
+	0	-	0	+

მოდით გავაკეთოთ ორი მცირე განმარტება. ერთი მათგანი დაგჭირდებათ საგამოცდო პრობლემების გადაჭრისას. მეორე - პირველ წელს, ფუნქციების და წარმოებულების უფრო სერიოზული შესწავლით.

შესაძლებელია შემთხვევა, როდესაც ფუნქციის წარმოებული რაღაც მომენტში ნულის ტოლია, მაგრამ ფუნქციას ამ მომენტში არც მაქსიმუმი აქვს და არც მინიმალური. ეს ე.წ :

ერთ წერტილში, გრაფიკის ტანგენსი ჰორიზონტალურია, ხოლო წარმოებული არის ნული. თუმცა, პუნქტამდე ფუნქცია გაიზარდა - და წერტილის შემდეგ ის აგრძელებს ზრდას. წარმოებულის ნიშანი არ იცვლება - ის ისეთივე დადებითი დარჩა, როგორიც იყო.

ასევე ხდება, რომ მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილში წარმოებული არ არსებობს. გრაფიკზე ეს შეესაბამება მკვეთრ წყვეტას, როდესაც შეუძლებელია მოცემულ წერტილში ტანგენტის დახატვა.

მაგრამ როგორ ვიპოვოთ წარმოებული, თუ ფუნქცია მოცემულია არა გრაფიკით, არამედ ფორმულით? ამ შემთხვევაში, ეს ეხება

წარმოებული გამოთვლადიფერენციალური გამოთვლების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ოპერაციაა. ქვემოთ მოცემულია ცხრილი მარტივი ფუნქციების წარმოებულების საპოვნელად. დიფერენცირების უფრო რთული წესებისთვის იხილეთ სხვა გაკვეთილები:

• ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

გამოიყენეთ მოცემული ფორმულები, როგორც საცნობარო მნიშვნელობები. ისინი დაგეხმარებიან დიფერენციალური განტოლებებისა და ამოცანების ამოხსნაში. სურათზე, მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილში მოცემულია წარმოებულის გამოსაყენებლად გასაგებ ფორმაში პოვნის ძირითადი შემთხვევების "მოტყუების ფურცელი", მის გვერდით არის განმარტებები თითოეული შემთხვევისთვის.

მარტივი ფუნქციების წარმოებულები

1. რიცხვის წარმოებული არის ნული
с´ = 0
მაგალითი:
5' = 0

ახსნა:
წარმოებული აჩვენებს სიჩქარეს, რომლითაც იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა არგუმენტის ცვლილებისას. ვინაიდან რიცხვი არავითარ შემთხვევაში არ იცვლება, მისი ცვლილების სიჩქარე ყოველთვის ნულის ტოლია.

2. ცვლადის წარმოებულიერთის ტოლი
x' = 1

ახსნა:
არგუმენტის (x) ყოველი ერთით გაზრდისას ფუნქციის მნიშვნელობა (გამოთვლის შედეგი) იმავე ოდენობით იზრდება. ამრიგად, y = x ფუნქციის მნიშვნელობის ცვლილების სიჩქარე ზუსტად უდრის არგუმენტის მნიშვნელობის ცვლილების სიჩქარეს.

3. ცვლადისა და ფაქტორის წარმოებული ტოლია ამ ფაქტორის
сx´ = с
მაგალითი:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
ახსნა:
ამ შემთხვევაში, ყოველ ჯერზე ფუნქციის არგუმენტი ( X) მისი მნიშვნელობა (y) იზრდება თანერთხელ. ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობის ცვლილების სიჩქარე არგუმენტის ცვლილების სიჩქარესთან მიმართებაში ზუსტად უდრის მნიშვნელობას თან.

საიდან გამომდინარეობს, რომ
(cx + b)" = გ
ანუ y=kx+b წრფივი ფუნქციის დიფერენციალი სწორი წრფის (k) დახრის ტოლია.

4. ცვლადის მოდულო წარმოებულიუდრის ამ ცვლადის კოეფიციენტს მის მოდულს
|x|"= x / |x| იმ პირობით, რომ x ≠ 0
ახსნა:
ვინაიდან ცვლადის წარმოებული (იხ. ფორმულა 2) უდრის ერთს, მოდულის წარმოებული განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის მნიშვნელობა საპირისპიროდ იცვლება საწყისი წერტილის გადაკვეთისას (სცადეთ გრაფიკის დახატვა y = |x| ფუნქციის და თავად ნახეთ ეს არის ზუსტად მნიშვნელობა და აბრუნებს გამოხატულებას x / |x| როცა x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ერთი. ანუ, x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებით, არგუმენტის ცვლილების ყოველი მატებით, ფუნქციის მნიშვნელობა მცირდება ზუსტად იგივე მნიშვნელობით, ხოლო დადებითი მნიშვნელობებით, პირიქით, იზრდება, მაგრამ ზუსტად. იგივე ღირებულება.

5. ცვლადის დენის წარმოებულიუდრის ამ სიმძლავრის რაოდენობისა და სიმძლავრის ცვლადის ნამრავლს, შემცირებული ერთით
(x c)"= cx c-1, იმ პირობით, რომ x c და cx c-1 განსაზღვრულია და c ≠ 0
მაგალითი:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ფორმულის დასამახსოვრებლად:
აიღეთ ცვლადის "down" მაჩვენებლის მაჩვენებელი მულტიპლიკატორად და შემდეგ შეამცირეთ თავად მაჩვენებელი ერთით. მაგალითად, x 2-ისთვის - ორი უსწრებდა x-ს და შემდეგ შემცირებულმა სიმძლავრემ (2-1 = 1) უბრალოდ მოგვცა 2x. იგივე მოხდა x 3-ზეც - ვამცირებთ სამეულს, ვამცირებთ ერთით და კუბის ნაცვლად გვაქვს კვადრატი, ანუ 3x2. ცოტა „არამეცნიერული“, მაგრამ ძალიან ადვილად დასამახსოვრებელი.

6.წილადის წარმოებული 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
მაგალითი:
ვინაიდან წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ამაღლება უარყოფით ხარისხზე
(1/x)" = (x -1)" , მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა წარმოებულების ცხრილის მე-5 წესიდან
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. წილადის წარმოებული თვითნებური ხარისხის ცვლადითმნიშვნელში
(1/x გ)" = - c / x c+1
მაგალითი:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. ფესვის წარმოებული(ცვლადის წარმოებული კვადრატული ფესვის ქვეშ)
(√x)" = 1 / (2√x)ან 1/2 x -1/2
მაგალითი:
(√x)" = (x 1/2)" ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა მე-5 წესიდან
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. ცვლადის წარმოებული თვითნებური ხარისხის ფესვის ქვეშ
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცესს ეწოდება დიფერენციაცია.წარმოებული უნდა მოიძებნოს რიგ ამოცანებში მათემატიკური ანალიზის დროს. მაგალითად, ფუნქციის დიაგრამის უკიდურესი წერტილებისა და დახრის წერტილების პოვნისას.

როგორ მოვძებნოთ?

ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი და გამოიყენოთ დიფერენცირების ძირითადი წესები:

1. მუდმივის ამოღება წარმოებულის ნიშნიდან: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. ფუნქციების ჯამის/განსხვავების წარმოებული: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. წილადის წარმოებული : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. რთული ფუნქციის წარმოებული : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

გადაწყვეტის მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ ფუნქციის წარმოებული

გადაწყვეტილება

ფუნქციების ჯამის/განსხვავების წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს/განსხვავებას: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ დენის ფუნქციის წარმოებული წესის გამოყენებით $ (x^p)" = px^(p-1) $ გვაქვს: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ მხედველობაში მიიღეს ისიც, რომ მუდმივის წარმოებული ნულის ტოლია. თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ გაეცნოთ გაანგარიშების მიმდინარეობას და შეაგროვოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ კრედიტი!

უპასუხე

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

წარმოებულის გაანგარიშება ხშირად გვხვდება USE დავალებაში. ეს გვერდი შეიცავს წარმოებულების პოვნის ფორმულების ჩამონათვალს.

დიფერენციაციის წესები

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. რთული ფუნქციის წარმოებული. თუ y=F(u) და u=u(x), მაშინ ფუნქციას y=f(x)=F(u(x)) ეწოდება x-ის რთული ფუნქცია. უდრის y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული. ფუნქციას y=f(x) ეწოდება F(x,y)=0 მიმართებით მოცემულ იმპლიციტურ ფუნქციას, თუ F(x,f(x))≡0.
6. შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული. თუ g(f(x))=x, მაშინ g(x) ფუნქციას ეწოდება y=f(x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია.
7. პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებული. მოდით x და y მოცემულია t ცვლადის ფუნქციებად: x=x(t), y=y(t). ნათქვამია, რომ y=y(x) არის პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქცია x∈ (a;b) ინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალზე განტოლება x=x(t) შეიძლება გამოისახოს t=t(x) და ფუნქცია y=y( t(x))=y(x).
8. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული. ის ნაპოვნია ლოგარითმის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუძემდე მიყვანით.

გირჩევთ შეინახოთ ბმული, რადგან ეს ცხრილი შეიძლება კიდევ ბევრჯერ დაგჭირდეთ.

ექსპონენციალური (e x-ის ხარისხზე) და ექსპონენციალური ფუნქციის (a x-ის ხარისხზე) წარმოებულის ფორმულების დადასტურება და წარმოშობა. e^2x, e^3x და e^nx წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები. უმაღლესი რიგის წარმოებულების ფორმულები.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: ექსპონენციალური ფუნქცია - თვისებები, ფორმულები, გრაფიკი
ექსპონენტი, e x-ის ხარისხზე - თვისებები, ფორმულები, გრაფიკი

ძირითადი ფორმულები

მაჩვენებლის წარმოებული ტოლია თავად მაჩვენებლის (e-ს წარმოებული x-ის ხარისხზე უდრის e x-ის ხარისხს):
(1) (e x)′ = e x.

a ხარისხის ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული ტოლია თავად ფუნქციის, გამრავლებული a-ს ბუნებრივ ლოგარითმზე:
(2) .

მაჩვენებელი არის ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის მაჩვენებლის ბაზა უდრის e რიცხვს, რომელიც არის შემდეგი ზღვარი:
.
აქ ის შეიძლება იყოს როგორც ბუნებრივი, ასევე რეალური რიცხვი. შემდეგი, ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას (1) მაჩვენებლის წარმოებულისთვის.

მაჩვენებლის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

განვიხილოთ მაჩვენებელი, e x-ის ხარისხზე:
y = e x.
ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველასთვის. ვიპოვოთ მისი წარმოებული x-ის მიმართ. განმარტებით, წარმოებული არის შემდეგი ლიმიტი:
(3) .

მოდით გარდავქმნათ ეს გამონათქვამი, რათა შევამციროთ იგი ცნობილ მათემატიკურ თვისებებზე და წესებზე. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება შემდეგი ფაქტები:
მაგრამ)მაჩვენებლის თვისება:
(4) ;
ბ)ლოგარითმის თვისება:
(5) ;
AT)ლოგარითმის უწყვეტობა და ლიმიტების თვისება უწყვეტი ფუნქციისთვის:
(6) .
აქ არის რამდენიმე ფუნქცია, რომელსაც აქვს ლიმიტი და ეს ლიმიტი დადებითია.
გ)მეორე მშვენიერი ლიმიტის მნიშვნელობა:
(7) .

ჩვენ ვიყენებთ ამ ფაქტებს ჩვენს ლიმიტამდე (3). ჩვენ ვიყენებთ ქონებას (4):
;
.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. შემდეგ; .
მაჩვენებლის უწყვეტობის გამო,
.
ამიტომ, ზე, . შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. მაშინ . ზე,. და ჩვენ გვაქვს:
.

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის თვისებას (5):
. მერე
.

გამოვიყენოთ ქონება (6). ვინაიდან არსებობს დადებითი ზღვარი და ლოგარითმი უწყვეტია, მაშინ:
.
აქ ჩვენ ასევე გამოვიყენეთ მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი (7). მერე
.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა (1) მაჩვენებლის წარმოებულისთვის.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

ახლა ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას (2) ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულისთვის a ხარისხის ფუძით. ჩვენ გვჯერა, რომ და. შემდეგ ექსპონენციალური ფუნქცია
(8)
ყველასთვის განსაზღვრული.

მოდით გარდავქმნათ ფორმულა (8). ამისათვის ვიყენებთ ექსპონენციალური ფუნქციისა და ლოგარითმის თვისებებს.
;
.
ასე რომ, ჩვენ გადავაქციეთ ფორმულა (8) შემდეგ ფორმაში:
.

e-ის უმაღლესი რიგის წარმოებულები x-ის ხარისხზე

ახლა ვიპოვოთ უმაღლესი რიგის წარმოებულები. ჯერ ვნახოთ მაჩვენებელი:
(14) .
(1) .

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციის (14) წარმოებული ტოლია თავად ფუნქციის (14). დიფერენცირებით (1), ვიღებთ მეორე და მესამე რიგის წარმოებულებს:
;
.

ეს აჩვენებს, რომ n-ე რიგის წარმოებული ასევე უდრის თავდაპირველ ფუნქციას:
.

ექსპონენციალური ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ახლა განიხილეთ ექსპონენციალური ფუნქცია a ხარისხის ფუძით:
.
ჩვენ ვიპოვეთ მისი პირველი რიგის წარმოებული:
(15) .

დიფერენცირებით (15), ვიღებთ მეორე და მესამე რიგის წარმოებულებს:
;
.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყოველი დიფერენციაცია იწვევს ორიგინალური ფუნქციის გამრავლებას. ამრიგად, n-ე წარმოებულს აქვს შემდეგი ფორმა:
.

Იხილეთ ასევე: