ნუ გეშინიათ ჩემი სიტყვების, ეს მეთოდი უკვე შეგხვდათ მე-7 კლასში, როცა სწავლობდით მრავალწევრებს.

მაგალითად, თუ გჭირდებათ:

დავაჯგუფოთ: პირველი და მესამე ტერმინები, ასევე მეორე და მეოთხე.

ნათელია, რომ პირველი და მესამე არის კვადრატების განსხვავება:

ხოლო მეორეს და მეოთხეს აქვს სამი საერთო კოეფიციენტი:

მაშინ ორიგინალური გამოთქმა ამის ტოლფასია:

სად ამოიღოთ საერთო ფაქტორი, აღარ არის რთული:

შესაბამისად,

დაახლოებით ასე მოვიქცევით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას: ტერმინებს შორის მოძებნეთ „საერთოება“ და ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან, კარგი, მაშინ - რაც შეიძლება, მჯერა, რომ გაგვიმართლებს =))

მაგალითი #14

მარჯვნივ შორს არის შვიდის სიმძლავრე (მე შევამოწმე!) და მარცხნივ - ცოტა უკეთესი ...

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ „ამოხსნათ“ ფაქტორი მეორე ტერმინიდან პირველი ტერმინიდან და შემდეგ გაუმკლავდეთ იმას, რაც მიიღეთ, მაგრამ მოდი უფრო გონივრულად ვიმოქმედოთ თქვენთან.

არ მინდა საქმე იმ ფრაქციებთან, რომლებიც აუცილებლად წარმოიქმნება „შერჩევით“, ასე რომ არ ჯობია გავძლო?

მაშინ მე არ მექნება წილადები: როგორც ამბობენ, მგლები სავსეა და ცხვარი უსაფრთხოა:

დაითვალეთ გამოხატულება ფრჩხილებში.

ჯადოსნურად, ჯადოსნურად, გამოდის ეს (გასაკვირველია, თუმცა სხვას რას უნდა ველოდოთ?).

შემდეგ ამ ფაქტორით ვამცირებთ განტოლების ორივე მხარეს. ვიღებთ: სად.

აქ არის უფრო რთული მაგალითი (საკმაოდ, ნამდვილად):

აი უბედურება! აქ საერთო ენა არ გვაქვს!

არ არის სრულიად ნათელი რა უნდა გააკეთოს ახლა.

და მოდით გავაკეთოთ ის, რაც შეგვიძლია: პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ "ოთხებს" ერთი მიმართულებით, ხოლო "ხუთიანებს" მეორეში:

ახლა მოდით ამოვიღოთ "საერთო" მარცხნივ და მარჯვნივ:

Ახლა რა?

რა სარგებელი მოაქვს ასეთ სულელურ დაჯგუფებას? ერთი შეხედვით, ეს საერთოდ არ ჩანს, მაგრამ მოდით, უფრო ღრმად ჩავიხედოთ:

კარგი, ახლა მოდით გავაკეთოთ ისე, რომ მარცხნივ გვქონდეს მხოლოდ გამოთქმა c, ხოლო მარჯვნივ - ყველაფერი დანარჩენი.

როგორ გავაკეთოთ ეს?

და აი როგორ: ჯერ გაყავით განტოლების ორივე მხარე (ასე რომ მოვიშოროთ მაჩვენებლის მარჯვნივ) და შემდეგ გავყოთ ორივე მხარეზე (ასე მოვიშოროთ რიცხვითი ფაქტორი მარცხნივ).

საბოლოოდ მივიღებთ:

წარმოუდგენელი!

მარცხნივ გვაქვს გამოხატულება, ხოლო მარჯვნივ - უბრალოდ.

მაშინვე დავასკვნათ, რომ

მაგალითი #15

მე მივცემ მის მოკლე გამოსავალს (არ მჭირს ახსნა), შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ გადაწყვეტის ყველა „დახვეწილობა“.

ახლა დაფარული მასალის საბოლოო კონსოლიდაცია.

დამოუკიდებლად ამოხსენით შემდეგი 7 დავალება (პასუხებით)

1. ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:
2. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ გამონათქვამს სახით: , გაყავით ორივე ნაწილი და მიიღეთ ეს
3. , მაშინ თავდაპირველი განტოლება გარდაიქმნება ფორმაში: კარგი, ახლა მინიშნება - მოძებნე სად მოვაგვარეთ მე და თქვენ უკვე ეს განტოლება!
4. წარმოიდგინეთ როგორ, როგორ, აჰ, კარგად, შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი, ასე რომ მიიღებთ უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას.
5. ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.
6. ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.

ექსპოზიციური განტოლებები. საშუალო დონე

ვვარაუდობ, რომ პირველი სტატიის წაკითხვის შემდეგ, რომელშიც ნათქვამია რა არის ექსპონენციალური განტოლებები და როგორ ამოხსნათ ისინი, თქვენ აითვისეთ ცოდნის აუცილებელი მინიმალური რაოდენობა, რომელიც საჭიროა უმარტივესი მაგალითების ამოსახსნელად.

ახლა გავაანალიზებ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის სხვა მეთოდს, ეს არის ...

ახალი ცვლადის (ან ჩანაცვლების) დანერგვის მეთოდი

ის ხსნის „რთულ“ ამოცანების უმეტესობას, ექსპონენციალური განტოლებების (და არა მარტო განტოლებების) თემაზე.

ეს მეთოდი ერთ-ერთია ყველაზე ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში.პირველ რიგში, გირჩევთ გაეცნოთ თემას.

როგორც სახელიდან უკვე მიხვდით, ამ მეთოდის არსი არის ცვლადის ისეთი ცვლილების შემოღება, რომ თქვენი ექსპონენციალური განტოლება სასწაულებრივად გარდაიქმნება ისეთად, რომლის ამოხსნასაც უკვე მარტივად შეძლებთ.

ამ ძალიან „გამარტივებული განტოლების“ ამოხსნის შემდეგ რჩება მხოლოდ „საპირისპირო ჩანაცვლება“: ანუ შეცვლილიდან შეცვლილზე დაბრუნება.

მოდით ილუსტრაციულად ვაჩვენოთ ის, რაც ახლა ვთქვით ძალიან მარტივი მაგალითით:

მაგალითი 16. მარტივი ჩანაცვლების მეთოდი

ეს განტოლება ამოხსნილია "მარტივი ჩანაცვლება"როგორც მათემატიკოსები დამამცირებლად უწოდებენ.

მართლაც, ჩანაცვლება აქ ყველაზე აშკარაა. უბრალოდ ამის დანახვაა საჭირო

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

თუ დამატებით წარმოვიდგენთ როგორ, მაშინ სავსებით გასაგებია, რომ აუცილებელია ჩანაცვლება ...

Რა თქმა უნდა, .

რა ხდება მაშინ თავდაპირველი განტოლება? და აი რა:

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ფესვები დამოუკიდებლად:.

Რა უნდა გავაკეთოთ ახლა?

დროა დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს.

რისი ჩასმა დამავიწყდა?

კერძოდ: გარკვეული ხარისხის ახალი ცვლადით ჩანაცვლებისას (ანუ ტიპის ჩანაცვლებისას), დავინტერესდები მხოლოდ დადებითი ფესვები!

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად უპასუხოთ რატომ.

ამრიგად, ჩვენ არ ვართ დაინტერესებული თქვენით, მაგრამ მეორე ფესვი საკმაოდ შესაფერისია ჩვენთვის:

მერე სად.

პასუხი:

როგორც ხედავთ, წინა მაგალითში, შემცვლელმა მხოლოდ ხელები გვთხოვა. სამწუხაროდ, ეს ყოველთვის ასე არ არის.

თუმცა, პირდაპირ სამწუხაროზე არ გადავიდეთ, არამედ ვივარჯიშოთ კიდევ ერთ მაგალითზე საკმაოდ მარტივი ჩანაცვლებით

მაგალითი 17. მარტივი ჩანაცვლების მეთოდი

გასაგებია, რომ სავარაუდოდ, საჭირო იქნება ჩანაცვლება (ეს არის ყველაზე პატარა ძალაუფლება, რომელიც შედის ჩვენს განტოლებაში).

თუმცა ჩანაცვლების შემოღებამდე ჩვენი განტოლება უნდა იყოს „მომზადებული“ ამისთვის, კერძოდ: , .

შემდეგ შეგიძლიათ შეცვალოთ, შედეგად მე მივიღებ შემდეგ გამოთქმას:

ოჰ საშინელება: კუბური განტოლება მისი ამოხსნის აბსოლუტურად საშინელი ფორმულებით (კარგი, ზოგადად რომ ვთქვათ).

ოღონდ მაშინვე ნუ ვიდარდებთ, არამედ ვიფიქროთ რა უნდა გავაკეთოთ.

მე შემოგთავაზებთ მოტყუებას: ჩვენ ვიცით, რომ იმისათვის, რომ მივიღოთ "ლამაზი" პასუხი, ჩვენ უნდა მივიღოთ სამი სიმძლავრის ფორმა (რატომ იქნება ეს, ჰა?).

და შევეცადოთ გამოვიცნოთ ჩვენი განტოლების ერთი ფესვი მაინც (გამოცნობას დავიწყებ სამის ხარისხებიდან).

პირველი გამოცნობა. არ არის ფესვი. ვაი და აჰ...

.
მარცხენა მხარე თანაბარია.
მარჯვენა ნაწილი: !

Იქ არის! გამოიცნო პირველი ფესვი. ახლა ყველაფერი გამარტივდება!

იცით თუ არა „კუთხის“ გაყოფის სქემა? რა თქმა უნდა, იცით, თქვენ იყენებთ მას, როდესაც ერთ რიცხვს მეორეზე ყოფთ.

მაგრამ ცოტამ თუ იცის, რომ იგივე შეიძლება გაკეთდეს მრავალწევრებთან.

არსებობს ერთი მშვენიერი თეორემა:

გამოიყენება ჩემს სიტუაციაში, ის მეუბნება, თუ რა იყოფა ნაშთის გარეშე.

როგორ ხდება გაყოფა? ასე:

ვუყურებ რომელი მონომი უნდა გავამრავლო რომ მივიღო

გასაგებია, რომ შემდეგ:

გამოვაკლებ მიღებულ გამონათქვამს, მივიღებ:

ახლა რა უნდა გავამრავლო რომ მივიღო?

გასაგებია, რომ შემდეგ მე მივიღებ:

და კვლავ გამოვაკლოთ მიღებული გამონათქვამი დანარჩენს:

ბოლო საფეხურს ვამრავლებ და ვაკლებ დარჩენილ გამონათქვამს:

ჰოოი, დაყოფა დასრულდა! რა დავაგროვეთ პირადში?

Თავისით: .

შემდეგ მივიღეთ თავდაპირველი მრავალწევრის შემდეგი გაფართოება:

ამოხსნათ მეორე განტოლება:

მას აქვს ფესვები:

შემდეგ ორიგინალური განტოლება:

აქვს სამი ფესვი:

ჩვენ, რა თქმა უნდა, უარვყოფთ ბოლო ფესვს, რადგან ის ნულზე ნაკლებია.

და პირველი ორი საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მოგვცემს ორ ფესვს:

პასუხი:..

ამ მაგალითით შენი შეშინება არ მინდოდა!

პირიქით, მე შევეცადე მეჩვენებინა, რომ მიუხედავად იმისა, რომ საკმაოდ მარტივი ჩანაცვლება გვქონდა, მიუხედავად ამისა, ამან გამოიწვია საკმაოდ რთული განტოლება, რომლის ამოხსნაც ჩვენგან განსაკუთრებულ უნარებს მოითხოვდა.

ისე, არავინ არ არის დაზღვეული ამისგან. მაგრამ ცვლილება ამ შემთხვევაში საკმაოდ აშკარა იყო.

მაგალითი #18 (ნაკლებად აშკარა ჩანაცვლებით)

სრულიად გაუგებარია, რა უნდა გავაკეთოთ: პრობლემა ის არის, რომ ჩვენს განტოლებაში არის ორი განსხვავებული საფუძველი და ერთი ფუძის მიღება შეუძლებელია მეორისგან მისი რაიმე (გონივრული, ბუნებრივია) ძლიერებამდე აწევით.

თუმცა, რას ვხედავთ?

ორივე ფუძე განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით და მათი ნამრავლია კვადრატების სხვაობა ერთის ტოლი:

განმარტება:

ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენს მაგალითში ფუძეა, არის კონიუგატი.

ამ შემთხვევაში, ჭკვიანური ნაბიჯი იქნება გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე კონიუგატულ რიცხვზე.

მაგალითად, on, მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე თანაბარი გახდება, ხოლო მარჯვენა მხარე.

თუ ჩვენ შევცვლით, მაშინ ჩვენი თავდაპირველი განტოლება თქვენთან გახდება ასეთი:

მისი ფესვები, მაშ, მაგრამ ამის გახსენებით, ჩვენ ამას მივიღებთ.

პასუხი: ,.

როგორც წესი, ჩანაცვლების მეთოდი საკმარისია "სასკოლო" ექსპონენციალური განტოლებების უმეტესობის ამოსახსნელად.

გაზრდილი სირთულის შემდეგი ამოცანები აღებულია საგამოცდო ვარიანტებიდან.

გაზრდილი სირთულის სამი ამოცანა საგამოცდო ვარიანტებიდან

თქვენ უკვე საკმარისად განათლებული ხართ, რომ ეს მაგალითები დამოუკიდებლად მოაგვაროთ. მე მივცემ მხოლოდ საჭირო ჩანაცვლებას.

1. ამოხსენით განტოლება:
2. იპოვეთ განტოლების ფესვები:
3. ამოხსენით განტოლება: . იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს:

ახლა რამდენიმე სწრაფი ახსნა და პასუხი:

მაგალითი #19

აქ საკმარისია აღინიშნოს, რომ და.

მაშინ ორიგინალური განტოლება იქნება ამის ექვივალენტი:

ეს განტოლება წყდება ჩანაცვლებით

თავად გააკეთეთ შემდეგი გამოთვლები.

საბოლოო ჯამში, თქვენი ამოცანა შემცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიის ამოხსნამდე (დამოკიდებულია სინუსზე ან კოსინუსზე). ასეთი მაგალითების ამოხსნას სხვა თავებში განვიხილავთ.

მაგალითი #20

აქ შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლების გარეშეც კი ...

საკმარისია სუბტრაჰენდის მარჯვნივ გადატანა და ორივე ფუძის წარმოდგენა ორი ძალების მეშვეობით: და შემდეგ დაუყოვნებლივ გადადით კვადრატულ განტოლებაზე.

მაგალითი #21

ის ასევე წყდება საკმაოდ სტანდარტულად: წარმოიდგინეთ როგორ.

შემდეგ, ჩანაცვლებით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას: მაშინ,

უკვე იცით რა არის ლოგარითმი? არა? მაშინ სასწრაფოდ წაიკითხე თემა!

პირველი ფესვი, ცხადია, სეგმენტს არ ეკუთვნის, მეორე კი გაუგებარია!

მაგრამ ძალიან მალე გავარკვევთ!

მას შემდეგ (ეს არის ლოგარითმის თვისება!)

გამოვაკლოთ ორივე ნაწილს და მივიღებთ:

მარცხენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

გავამრავლოთ ორივე მხარე:

შეიძლება გამრავლდეს მაშინ

მაშინ შევადაროთ:

მას შემდეგ:

შემდეგ მეორე ფესვი მიეკუთვნება სასურველ ინტერვალს

პასუხი:

Როგორც ხედავ, ექსპონენციალური განტოლებების ფესვების შერჩევა მოითხოვს ლოგარითმების თვისებების საკმაოდ ღრმა ცოდნას., ამიტომ გირჩევთ იყოთ მაქსიმალურად ფრთხილად ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას.

მოგეხსენებათ, მათემატიკაში ყველაფერი ურთიერთდაკავშირებულია!

როგორც ჩემი მათემატიკის მასწავლებელი ამბობდა: „ერთ ღამეში მათემატიკის წაკითხვა არ შეიძლება, როგორც ისტორია“.

როგორც წესი, ყველა გაზრდილი სირთულის პრობლემების გადაჭრის სირთულე არის სწორედ განტოლების ფესვების შერჩევა.

პრაქტიკის კიდევ ერთი მაგალითი...

მაგალითი 22

ცხადია, რომ განტოლება თავისთავად ამოხსნილია საკმაოდ მარტივად.

ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვამცირებთ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას შემდეგზე:

პირველ რიგში, განვიხილოთ პირველი ფესვი.

შეადარე და: მას შემდეგ. (ლოგარითმული ფუნქციის თვისება, at).

მაშინ ცხადია, რომ არც პირველი ძირი არ ეკუთვნის ჩვენს ინტერვალს.

ახლა მეორე ფესვი: . გასაგებია, რომ (რადგან ფუნქცია იზრდება).

რჩება შედარება და

მას შემდეგ, რაც, ამავე დროს.

ამდენად, მე შემიძლია "გავატარო პეგი" შორის და.

ეს სამაგრი რიცხვია.

პირველი გამოხატულება ნაკლებია, ხოლო მეორე მეტია ვიდრე.

მაშინ მეორე გამოხატულება უფრო დიდია ვიდრე პირველი და ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს.

პასუხი:.

დასასრულს, მოდით გადავხედოთ განტოლების სხვა მაგალითს, სადაც ჩანაცვლება საკმაოდ არასტანდარტულია.

მაგალითი #23 (განტოლება არასტანდარტული ჩანაცვლებით!)

მოდი დაუყოვნებლივ დავიწყოთ იმით, რისი გაკეთება შეგიძლიათ და რა - პრინციპში, შეგიძლიათ, მაგრამ უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს.

შესაძლებელია - ყველაფრის წარმოდგენა სამი, ორი და ექვსის ძალებით.

სად მივყავართ?

დიახ, და არაფერამდე არ მიგვიყვანს: ხარისხების აურზაური, რომელთაგან ზოგიერთის მოშორება საკმაოდ რთული იქნება.

მერე რა არის საჭირო?

აღვნიშნოთ, რომ ა

და რას მოგვცემს?

და ის ფაქტი, რომ ჩვენ შეგვიძლია ამ მაგალითის ამონახსნები შევამციროთ საკმაოდ მარტივი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნამდე!

პირველი, მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

ახლა ჩვენ ვყოფთ მიღებული განტოლების ორივე მხარეს:

ევრიკა! ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ, მივიღებთ:

აბა, ახლა თქვენი ჯერია პრობლემების დემონსტრაციისთვის გადაჭრა და მე მათ მხოლოდ მოკლე კომენტარებს მივცემ, რომ არ გადაცდეთ! Წარმატებები!

მაგალითი #24

Ყველაზე რთული!

აქ შემცვლელის ნახვა ოჰ, რა მახინჯია! მიუხედავად ამისა, ამ მაგალითის სრულად მოგვარება შესაძლებელია სრული კვადრატის შერჩევა.

მის გადასაჭრელად, საკმარისია აღინიშნოს, რომ:

ასე რომ, აქ არის თქვენი შემცვლელი:

(გაითვალისწინეთ, რომ აქ, ჩვენი ჩანაცვლებით, ჩვენ არ შეგვიძლია უარი თქვან უარყოფით ფესვზე!!! და რატომ, რას ფიქრობთ?)

ახლა, მაგალითის ამოსახსნელად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ორი განტოლება:

ორივე მოგვარებულია "სტანდარტული ჩანაცვლებით" (მაგრამ მეორე ერთ მაგალითში!)

მაგალითი #25

2. დააკვირდით ამას და გააკეთეთ ჩანაცვლება.

მაგალითი #26

3. გააფართოვეთ რიცხვი თანაპირობით ფაქტორებად და გაამარტივეთ მიღებული გამოხატულება.

მაგალითი #27

4. წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაყავით (ან თუ გსურთ) და გააკეთეთ ჩანაცვლება ან.

მაგალითი #28

5. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები და შერწყმულია.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ლოგარიფიკაციის მეთოდით. გაფართოებული დონე

გარდა ამისა, მოდით შევხედოთ სხვა გზას - ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ლოგარითმის მეთოდით.

ვერ ვიტყვი, რომ ამ მეთოდით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ძალიან პოპულარულია, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში მხოლოდ მას შეუძლია მიგვიყვანოს ჩვენი განტოლების სწორ ამონახვამდე.

განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება ე.წ. შერეული განტოლებები': ანუ ის, სადაც არის სხვადასხვა ტიპის ფუნქციები.

მაგალითი #29

ზოგადად, მისი ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ ორივე ნაწილის ლოგარითმის აღებით (მაგალითად, ბაზის მიხედვით), რომელშიც თავდაპირველი განტოლება გადაიქცევა შემდეგში:

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

გასაგებია, რომ ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ლოგარითმული ფუნქციის ODZ.

თუმცა, ეს გამომდინარეობს არა მხოლოდ ლოგარითმის ODZ-დან, არამედ სხვა მიზეზის გამო.

ვფიქრობ, რომ არ გაგიჭირდებათ გამოცნობა რომელი.

ავიღოთ ჩვენი განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი ფუძემდე:

როგორც ხედავთ, ჩვენი თავდაპირველი განტოლების ლოგარითმის აღებამ სწრაფად მიგვიყვანა სწორ (და მშვენიერ!) პასუხამდე.

ვივარჯიშოთ კიდევ ერთი მაგალითით.

მაგალითი #30

აქაც სანერვიულო არაფერია: განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმს ვიღებთ ფუძის მიხედვით, შემდეგ მივიღებთ:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

თუმცა რაღაც გამოგვრჩა! შეამჩნიე სად დავუშვი შეცდომა? ყოველივე ამის შემდეგ, მაშინ:

რომელიც არ აკმაყოფილებს მოთხოვნას (იფიქრეთ საიდან მოვიდა!)

პასუხი:

შეეცადეთ დაწეროთ ქვემოთ მოცემული ექსპონენციალური განტოლების ამონახსნი:

ახლა შეამოწმეთ თქვენი გამოსავალი ამით:

მაგალითი #31

ორივე ნაწილის ლოგარითმს ვიღებთ ფუძემდე, იმის გათვალისწინებით, რომ:

(მეორე ფესვი არ გვიწყობს ჩანაცვლების გამო)

მაგალითი #32

ლოგარითმი ბაზამდე:

მოდით გადავიტანოთ მიღებული გამოხატულება შემდეგ ფორმაში:

ექსპოზიციური განტოლებები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულა

ექსპონენციალური განტოლება

ტიპის განტოლება:

დაურეკა უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლება.

ხარისხის თვისებები

გადაწყვეტის მიდგომები

• შემცირება იმავე ბაზაზე
• შემცირება იმავე მაჩვენებელზე
• ცვლადი ჩანაცვლება
• გაამარტივე გამოთქმა და გამოიყენე რომელიმე ზემოთ ჩამოთვლილი.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

Რა ექსპონენციალური განტოლება? ეს არის განტოლება, რომელშიც არის უცნობი (x) და გამოსახულებები მათთან ერთად ინდიკატორებირამდენიმე გრადუსი. და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი.

აი შენ ხარ ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები:

3 x 2 x = 8 x + 3

Შენიშვნა! გრადუსების საფუძვლებში (ქვემოთ) - მხოლოდ ნომრები. AT ინდიკატორებიგრადუსი (ზემოთ) - გამოთქმების მრავალფეროვნება x-ით. თუ უეცრად x ჩნდება განტოლებაში ინდიკატორის გარდა სხვაგან, მაგალითად:

ეს იქნება შერეული ტიპის განტოლება. ასეთ განტოლებებს არ გააჩნია ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. აქ ჩვენ შევეხებით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნამისი სუფთა სახით.

სინამდვილეში, სუფთა ექსპონენციალური განტოლებებიც კი ყოველთვის არ არის მკაფიოდ ამოხსნილი. მაგრამ არსებობს გარკვეული ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება და უნდა გადაწყდეს. ეს ის ტიპებია, რომლებსაც ჩვენ განვიხილავთ.

უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.

დავიწყოთ რაღაც ძალიან ძირითადით. Მაგალითად:

ყოველგვარი თეორიის გარეშეც კი, მარტივი შერჩევით ცხადია, რომ x = 2. მეტი არაფერი, არა!? სხვა x მნიშვნელობის რულონები არ არის. ახლა კი მოდით შევხედოთ ამ რთული ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნას:

რა გავაკეთეთ? ჩვენ, ფაქტობრივად, უბრალოდ გამოვყარეთ იგივე ფსკერები (სამები). მთლად ამოგდებული. და, რაც გსიამოვნებს, დააფიქსირე!

მართლაც, თუ ექსპონენციალურ განტოლებაში მარცხნივ და მარჯვნივ არიან იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით, ეს რიცხვები შეიძლება ამოღებულ იქნას და თანაბარი მაჩვენებლები იყოს. მათემატიკა იძლევა საშუალებას. რჩება გაცილებით მარტივი განტოლების ამოხსნა. კარგია, არა?)

თუმცა, ირონიულად გავიხსენოთ: თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ბაზები მხოლოდ მაშინ, როდესაც მარცხნივ და მარჯვნივ ბაზის ნომრები ბრწყინვალე იზოლაციაშია!ყოველგვარი მეზობლებისა და კოეფიციენტების გარეშე. განტოლებებში ვთქვათ:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ან

დუბლის ამოღება არ შეიძლება!

ისე, ჩვენ ავითვისეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი. როგორ გადავიდეთ ბოროტი ექსპონენციალური გამონათქვამებიდან მარტივ განტოლებამდე.

"აი ის დრო!" - შენ ამბობ. „ვინ მისცემს ასეთ პრიმიტივას კონტროლსა და გამოცდებზე!?

აიძულეს დათანხმდეს. არავინ გააკეთებს. მაგრამ ახლა თქვენ იცით, სად უნდა წახვიდეთ დამაბნეველი მაგალითების ამოხსნისას. აუცილებელია გავიხსენოთ ის, როდესაც ერთი და იგივე საბაზისო ნომერია მარცხნივ - მარჯვნივ. მაშინ ყველაფერი უფრო ადვილი იქნება. სინამდვილეში, ეს მათემატიკის კლასიკაა. ჩვენ ვიღებთ ორიგინალურ მაგალითს და გარდაქმნით მას სასურველზე ჩვენგონება. რა თქმა უნდა, მათემატიკის წესების მიხედვით.

განვიხილოთ მაგალითები, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით ძალისხმევას, რათა მათ უმარტივესამდე მივიყვანოთ. მოდით დავურეკოთ მათ მარტივი ექსპონენციალური განტოლებები.

მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას ძირითადი წესებია მოქმედებები უფლებამოსილებით.ამ ქმედებების ცოდნის გარეშე, არაფერი იმუშავებს.

ხარისხების მქონე მოქმედებებს უნდა დაემატოს პირადი დაკვირვება და გამომგონებლობა. გვჭირდება იგივე საბაზისო ნომრები? ასე რომ, ჩვენ ვეძებთ მათ მაგალითში აშკარა ან დაშიფრული ფორმით.

ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში?

მოვიყვანოთ მაგალითი:

2 2x - 8 x+1 = 0

პირველი შეხედვით საფუძველი.ისინი... განსხვავებულები არიან! ორი და რვა. მაგრამ ძალიან ადრეა იმედგაცრუება. დროა გავიხსენოთ ეს

ორი და რვა ხარისხით ნათესავები არიან.) სავსებით შესაძლებელია ჩავწეროთ:

8 x+1 = (2 3) x+1

თუ გავიხსენებთ ფორმულას ძალაუფლების მქონე მოქმედებებიდან:

(a n) m = a nm,

ზოგადად მშვენივრად მუშაობს:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ორიგინალური მაგალითი ასე გამოიყურება:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

გადავიტანთ 2 3 (x+1)მარჯვნივ (არავინ გააუქმა მათემატიკის ელემენტარული მოქმედებები!), ვიღებთ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. ბაზების ამოღება:

ჩვენ ამ ურჩხულს მოვაგვარებთ და ვიღებთ

ეს არის სწორი პასუხი.

ამ მაგალითში ორი ძალის ცოდნა დაგვეხმარა. ჩვენ იდენტიფიცირებულირვაში, დაშიფრული დუისი. ეს ტექნიკა (საერთო ფუძეების დაშიფვრა სხვადასხვა რიცხვებში) ძალიან პოპულარული ხრიკია ექსპონენციალურ განტოლებებში! დიახ, თუნდაც ლოგარითმებში. ადამიანს უნდა შეეძლოს სხვა რიცხვების ძალაუფლების ამოცნობა რიცხვებში. ეს ძალზე მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად.

ფაქტია, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერ ძალაზე აყვანა პრობლემა არ არის. გაამრავლე, თუნდაც ფურცელზე და ეს ყველაფერი. მაგალითად, ყველას შეუძლია აწიოს 3 მეხუთე ხარისხზე. 243 გამოვა, თუ თქვენ იცით გამრავლების ცხრილი.) მაგრამ ექსპონენციალურ განტოლებებში ბევრად უფრო ხშირად საჭიროა არა სიმძლავრის აწევა, არამედ პირიქით ... რა რიცხვი რამდენადიმალება 243 ნომრის მიღმა, ან, ვთქვათ, 343... აქ არც ერთი კალკულატორი არ დაგეხმარება.

თქვენ უნდა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ძალა მხედველობით, დიახ... ვივარჯიშოთ?

დაადგინეთ რა ძალა და რა რიცხვია რიცხვები:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

პასუხები (არეულად, რა თქმა უნდა!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

თუ კარგად დააკვირდებით, უცნაურ ფაქტს შეამჩნევთ. უფრო მეტი პასუხია, ვიდრე კითხვა! ისე, ეს ხდება... მაგალითად, 2 6, 4 3, 8 2 არის სულ 64.

დავუშვათ, რომ თქვენ გაითვალისწინეთ ინფორმაცია რიცხვების გაცნობის შესახებ.) ასევე შეგახსენებთ, რომ ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ მთელიმათემატიკური ცოდნის მარაგი. მათ შორის დაბალი და საშუალო კლასებიდან. პირდაპირ საშუალო სკოლაში არ წახვედი, არა?

მაგალითად, ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება ძალიან ხშირად გვეხმარება (გამარჯობა მე-7 კლასს!). ვნახოთ მაგალითი:

3 2x+4 -11 9 x = 210

და ისევ, პირველი შეხედვა - ნიადაგზე! გრადუსების საფუძვლები განსხვავებულია... სამი და ცხრა. და ჩვენ გვინდა, რომ ისინი იყვნენ იგივე. ისე, ამ შემთხვევაში, სურვილი სავსებით შესაძლებელია!) რადგან:

9 x = (3 2) x = 3 2x

იგივე წესების მიხედვით მოქმედებების ხარისხით:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

მშვენიერია, შეგიძლიათ დაწეროთ:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

ჩვენ მივეცით მაგალითი იმავე მიზეზების გამო. მაშ, რა არის შემდეგი!? სამების ამოგდება არ შეიძლება... ჩიხი?

Სულაც არა. გავიხსენოთ ყველაზე უნივერსალური და ძლიერი გადაწყვეტილების წესი ყველამათემატიკური ამოცანები:

თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია!

უყურებ, ყველაფერი ჩამოყალიბებულია).

რა არის ამ ექსპონენციალურ განტოლებაში შეუძლიაკეთება? დიახ, მარცხენა მხარე პირდაპირ ითხოვს ფრჩხილებს! საერთო კოეფიციენტი 3 2x აშკარად მიანიშნებს ამაზე. ვცადოთ და მერე ვნახოთ:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

მაგალითი სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება!

შეგახსენებთ, რომ საფუძვლების აღმოსაფხვრელად საჭიროა სუფთა ხარისხი, ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე. რიცხვი 70 გვაწუხებს. ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს 70-ზე, მივიღებთ:

ოპ-პა! ყველაფერი კარგად იყო!

ეს არის საბოლოო პასუხი.

თუმცა ხდება ისე, რომ იმავე საფუძვლით ტაქსაცია მიიღება, მაგრამ მათი ლიკვიდაცია არა. ეს ხდება სხვა ტიპის ექსპონენციალურ განტოლებებში. მოდით მივიღოთ ეს ტიპი.

ცვლადის ცვლილება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითები.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

4 x - 3 2 x +2 = 0

პირველი - როგორც ყოველთვის. მოდით გადავიდეთ ბაზაზე. დუისს.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

და აქ ჩვენ დავკიდებთ. წინა ილეთები არ იმუშავებს, როგორც არ უნდა მოატრიალოთ იგი. ჩვენ მოგვიწევს სხვა ძლიერი და მრავალმხრივი გზის არსენალიდან გამოყვანა. ჰქვია ცვლადი ჩანაცვლება.

მეთოდის არსი საოცრად მარტივია. ერთი რთული ხატის ნაცვლად (ჩვენს შემთხვევაში, 2 x), ჩვენ ვწერთ მეორეს, უფრო მარტივს (მაგალითად, t). ასეთი ერთი შეხედვით უაზრო ჩანაცვლება იწვევს საოცარ შედეგებს!) ყველაფერი უბრალოდ ნათელი და გასაგები ხდება!

ასე რომ მოდით

შემდეგ 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

ჩვენ განტოლებაში ვცვლით ყველა ძალას x-ებით t-ით:

აბა, გათენდება?) ჯერ არ დაგავიწყდათ კვადრატული განტოლებები? ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:

აქ მთავარია არ გავჩერდეთ, როგორც ხდება... ეს ჯერ არ არის პასუხი, x გვჭირდება და არა t. ვუბრუნდებით Xs-ს, ე.ი. ჩანაცვლების გაკეთება. პირველი t 1-ისთვის:

ანუ

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან:

ჰმ... მარცხნივ 2 x, მარჯვნივ 1... შეფერხება? დიახ, საერთოდ არა! საკმარისია გვახსოვდეს (ხარისხიანი მოქმედებებიდან, დიახ ...) რომ ერთიანობაა ნებისმიერირიცხვი ნულამდე. ნებისმიერი. რაც დაგჭირდებათ, ჩვენ დავდებთ. ჩვენ გვჭირდება ორი. ნიშნავს:

ახლა სულ ესაა. აქვს 2 ფესვი:

ეს არის პასუხი.

ზე ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნაბოლოს ზოგჯერ რაღაც უხერხული გამოხატულება მიიღება. ტიპი:

შვიდიდან, უბრალო ხარისხში გადასასვლელი არ მუშაობს. ნათესავები არ არიან... აქ როგორ ვიყო? ვიღაც შეიძლება დაბნეული იყოს ... მაგრამ ადამიანი, ვინც წაიკითხა ამ საიტზე თემა "რა არის ლოგარითმი?" მხოლოდ ზომიერად გაიღიმე და მტკიცე ხელით ჩაწერე აბსოლუტურად სწორი პასუხი:

გამოცდაზე "B" ამოცანებში ასეთი პასუხი არ შეიძლება იყოს. საჭიროა კონკრეტული ნომერი. მაგრამ ამოცანებში "C" - მარტივად.

ამ გაკვეთილზე მოცემულია ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები. გამოვყოთ მთავარი.

პრაქტიკული რჩევები:

1. პირველ რიგში ვუყურებთ საფუძველიგრადუსი. ვნახოთ, თუ ისინი არ შეიძლება გაკეთდეს იგივე.შევეცადოთ ამის გაკეთება აქტიური გამოყენებით მოქმედებები უფლებამოსილებით.არ დაგავიწყდეთ, რომ x-ის გარეშე რიცხვები ასევე შეიძლება გადაიზარდოს გრადუსებად!

2. ვცდილობთ ექსპონენციალური განტოლება მივიყვანოთ იმ ფორმამდე, როდესაც მარცხენა და მარჯვენა არის იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით. Ჩვენ ვიყენებთ მოქმედებები უფლებამოსილებითდა ფაქტორიზაცია.რა შეიძლება დაითვალოს რიცხვებში - ჩვენ ვითვლით.

3. თუ მეორე რჩევამ არ გაამართლა, ვცდილობთ გამოვიყენოთ ცვლადის ჩანაცვლება. შედეგი შეიძლება იყოს განტოლება, რომელიც ადვილად ამოსახსნელია. ყველაზე ხშირად - კვადრატი. ან წილადი, რომელიც ასევე მცირდება კვადრატამდე.

4. ექსპონენციალური განტოლებების წარმატებით ამოსახსნელად საჭიროა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ხარისხები „მხედველობით“.

ჩვეულებისამებრ, გაკვეთილის ბოლოს გიწვევთ პატარას ამოსახსნელად.) საკუთარი. მარტივიდან რთულამდე.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა:

Უფრო რთული:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

იპოვნეთ ფესვების პროდუქტი:

2 3-x + 2 x = 9

მოხდა?

კარგად, მაშინ ყველაზე რთული მაგალითი (ის მოგვარებულია, თუმცა, გონებაში ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

რა არის უფრო საინტერესო? მაშინ აქ არის ცუდი მაგალითი თქვენთვის. საკმაოდ გაზრდილი სირთულე. მე მინიშნებით, რომ ამ მაგალითში ზოგავს გამომგონებლობა და ყველა მათემატიკური ამოცანის ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური წესი.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

მაგალითი უფრო მარტივია, დასვენებისთვის):

9 2 x - 4 3 x = 0

და დესერტად. იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Დიახ დიახ! ეს შერეული ტიპის განტოლებაა! რაც ამ გაკვეთილზე არ გავითვალისწინეთ. და რა უნდა ჩაითვალოს, ისინი უნდა ამოხსნან!) ეს გაკვეთილი სავსებით საკმარისია განტოლების ამოსახსნელად. ჰოდა, გამომგონებლობაა საჭირო... დიახ, მეშვიდე კლასი დაგეხმარება (ეს მინიშნებაა!).

პასუხები (არეულად, გამოყოფილი მძიმით):

ერთი; 2; 3; ოთხი; არ არსებობს გადაწყვეტილებები; 2; -2; -5; ოთხი; 0.

ყველაფერი წარმატებულია? შესანიშნავი.

Პრობლემაა? Არაა პრობლემა! სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს ექსპონენციალური განტოლება ამოხსნილია დეტალური განმარტებებით. რა, რატომ და რატომ. და, რა თქმა უნდა, არის დამატებითი ღირებული ინფორმაცია ყველა სახის ექსპონენციალურ განტოლებასთან მუშაობის შესახებ. არა მარტო ამათ.)

გასათვალისწინებელია ბოლო სახალისო კითხვა. ამ გაკვეთილზე ვიმუშავეთ ექსპონენციალური განტოლებებით. რატომ არ ვთქვი სიტყვა აქ ODZ-ზე?განტოლებებში ეს ძალიან მნიშვნელოვანი რამაა, სხვათა შორის...

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ჩვენი საიტის youtube არხზე, რათა იცოდეთ ყველა ახალი ვიდეო გაკვეთილი.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ ხარისხების ძირითადი ფორმულები და მათი თვისებები.

რიცხვის პროდუქტი ახდება თავისთავად n-ჯერ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს გამოთქმა a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

სიმძლავრე ან ექსპონენციალური განტოლებები- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადები არიან სიმძლავრეებში (ან ექსპონენტებში), ხოლო ფუძე არის რიცხვი.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები:

ამ მაგალითში რიცხვი 6 არის საფუძველი, ის ყოველთვის ბოლოშია და ცვლადი xხარისხი ან ზომა.

მოდით მოვიყვანოთ ექსპონენციალური განტოლებების მეტი მაგალითი.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები?

ავიღოთ მარტივი განტოლება:

2 x = 2 3

ასეთი მაგალითი გონებითაც კი ამოიხსნება. ჩანს, რომ x=3. ყოველივე ამის შემდეგ, იმისათვის, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები თანაბარი იყოს, x-ის ნაცვლად უნდა დააყენოთ რიცხვი 3.
ახლა ვნახოთ, როგორ უნდა მივიღოთ ეს გადაწყვეტილება:

2 x = 2 3
x = 3

ამ განტოლების ამოსახსნელად ჩვენ ამოვიღეთ იგივე საფუძველი(ანუ დეუზები) და დაწერე რაც დარჩა, ეს არის გრადუსები. ჩვენ მივიღეთ პასუხი, რომელსაც ვეძებდით.

ახლა შევაჯამოთ ჩვენი გამოსავალი.

ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:
1. საჭიროა შემოწმება იგივეთუ არა განტოლების საფუძვლები მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ საფუძველი არ არის იგივე, ჩვენ ვეძებთ ვარიანტებს ამ მაგალითის გადასაჭრელად.
2. მას შემდეგ, რაც ბაზები იგივეა, გათანაბრებახარისხი და ამოხსენით მიღებული ახალი განტოლება.

ახლა მოვაგვაროთ რამდენიმე მაგალითი:

დავიწყოთ მარტივი.

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების ფუძეები უდრის რიცხვს 2-ს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ფუძე და გავაიგივოთ მათი გრადუსები.

x+2=4 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება.
x=4 - 2
x=2
პასუხი: x=2

შემდეგ მაგალითში ხედავთ, რომ ბაზები განსხვავებულია, ეს არის 3 და 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

დასაწყისისთვის, ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ:

ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე ბაზები. ვიცით, რომ 9=3 2 . გამოვიყენოთ სიმძლავრის ფორმულა (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

ჩვენ ვიღებთ 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ახლა გასაგებია, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ფუძეები იგივეა და სამის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ისინი და გავათანაბროთ გრადუსები.

3x=2x+16 მიიღო უმარტივესი განტოლება
3x-2x=16
x=16
პასუხი: x=16.

მოდით შევხედოთ შემდეგ მაგალითს:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვუყურებთ ბაზებს, ბაზები განსხვავებულია ორი და ოთხი. და ჩვენც იგივე უნდა ვიყოთ. ჩვენ ვაქცევთ ოთხმაგს ფორმულის მიხედვით (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ასევე ვიყენებთ ერთ ფორმულას a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

დაამატეთ განტოლებას:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

ჩვენ მივეცით მაგალითი იმავე მიზეზების გამო. მაგრამ სხვა რიცხვები 10 და 24 გვეშლება, რა ვუყოთ მათ? თუ კარგად დააკვირდებით, ხედავთ, რომ მარცხენა მხარეს ვიმეორებთ 2 2x, აი პასუხი - შეგვიძლია 2 2x ჩავდოთ ფრჩხილებიდან:

2 2x (2 4 - 10) = 24

გამოვთვალოთ გამოხატულება ფრჩხილებში:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

მთელ განტოლებას ვყოფთ 6-ზე:

წარმოიდგინეთ 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 ფუძე იგივეა, გადააგდეთ ისინი და გააიგივეთ გრადუსები.
2x \u003d 2 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება. ვყოფთ 2-ზე, მივიღებთ
x = 1
პასუხი: x = 1.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

9 x - 12*3 x +27= 0

მოდით გარდავქმნათ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ფუძეები ჩვენთვის იგივეა, უდრის სამს.ამ მაგალითში ჩანს, რომ პირველ სამეულს აქვს ხარისხი ორჯერ (2x), ვიდრე მეორეს (მხოლოდ x). ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ ჩანაცვლების მეთოდი. რიცხვი უმცირესი ხარისხით იცვლება:

შემდეგ 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ჩვენ ყველა გრადუსს ვცვლით x-ებით განტოლებაში t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას. ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

ცვლადის დაბრუნება x.

ჩვენ ვიღებთ t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

ანუ

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
პასუხი: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

საიტზე შეგიძლიათ განყოფილებაში HELP DECIDE დასვათ საინტერესო კითხვები, ჩვენ აუცილებლად გიპასუხებთ.

შეუერთდი ჯგუფს

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდის გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ, ჩამოტვირთოთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის ტიპი

: გაკვეთილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების განზოგადებისა და კომპლექსური გამოყენების შესახებ თემაზე „ექსპონენციალური განტოლებები და მათი ამოხსნის გზები“.

გაკვეთილის მიზნები.

გაკვეთილები:

„ექსპონენციალური განტოლებები, მათი ამონახსნები“ თემის ძირითადი მასალის გამეორება და სისტემატიზაცია; სხვადასხვა ტიპის ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას შესაბამისი ალგორითმების გამოყენების უნარის კონსოლიდაცია; მომზადება გამოცდისთვის.

განვითარება:

მოსწავლეთა ლოგიკური და ასოციაციური აზროვნების განვითარება; ხელი შეუწყოს ცოდნის დამოუკიდებელი გამოყენების უნარის განვითარებას.

საგანმანათლებლო:

განტოლებების ამოხსნისას მიზანდასახულობის, ყურადღების და სიზუსტის გამომუშავება.

აღჭურვილობა:

კომპიუტერი და მულტიმედიური პროექტორი.

გაკვეთილი იყენებს Საინფორმაციო ტექნოლოგია : გაკვეთილის მეთოდოლოგიური მხარდაჭერა - პრეზენტაცია Microsoft Power Point-ში.

გაკვეთილების დროს

ყველა უნარს თან ახლავს შრომისმოყვარეობა.

ᲛᲔ. გაკვეთილის მიზნის დასახვა(სლაიდი ნომერი 2 )

ამ გაკვეთილზე შევაჯამებთ და განვაზოგადებთ თემას „ექსპონენციალური განტოლებები, მათი ამონახსნები“. მოდით გავეცნოთ ამ თემაზე სხვადასხვა წლის გამოცდის ტიპურ ამოცანებს.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ამოცანები შეგიძლიათ იხილოთ USE ამოცანების ნებისმიერ ნაწილში. ნაწილში " AT" ჩვეულებრივ გვთავაზობენ უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნას. ნაწილში " საწყისი " შეგიძლიათ შეხვდეთ უფრო რთულ ექსპონენციალურ განტოლებებს, რომელთა ამოხსნა ჩვეულებრივ ამოცანის ერთ-ერთი ეტაპია.

Მაგალითად ( სლაიდი ნომერი 3 ).

• გამოყენება - 2007 წ

B 4 - იპოვეთ გამოხატვის უდიდესი მნიშვნელობა x წ, სად ( X; ზე) არის სისტემის გამოსავალი:

• გამოყენება - 2008 წ

B 1 - განტოლებების ამოხსნა:

ა) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

ბ) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• გამოყენება - 2009 წ

B 4 - იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა x + y, სად ( X; ზე) არის სისტემის გამოსავალი:

• გამოყენება - 2010 წ

– ამოხსენით განტოლება: 7 X– 2 = 49. – იპოვეთ განტოლების ფესვები: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. - ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

II. საბაზისო ცოდნის განახლება. გამეორება

(სლაიდები #4 – 6 კლასის პრეზენტაციები)

ეკრანი ნაჩვენებია თეორიული მასალის საცნობარო შეჯამება ამ თემაზე.

განიხილება შემდეგი კითხვები:

1. რა განტოლებებს უწოდებენ საჩვენებელი?
2. დაასახელეთ მათი გადაჭრის ძირითადი გზები. მიეცით მაგალითები მათი ტიპების ( სლაიდი ნომერი 4 )

(თვითონ ამოხსენით შემოთავაზებული განტოლებები თითოეული მეთოდისთვის და ჩაატარეთ თვითტესტი სლაიდის გამოყენებით)

3. რა თეორემა გამოიყენება ფორმის უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად: და f(x) = a g(x) ?
4. რა სხვა მეთოდები არსებობს ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისთვის? ( სლაიდი ნომერი 5 )

• ფაქტორიზაციის მეთოდი
(დაფუძნებული ძალაუფლების თვისებებზე იგივე ბაზები, მიღება: ფრჩხილებიდან ამოღებულია ხარისხი ყველაზე დაბალი მაჩვენებლით).
• გაყოფის (გამრავლების) მიღება ნულის გარდა სხვა ექსპონენციალური გამოსახულებით, ერთგვაროვანი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას
.

• რჩევა:

ექსპონენციური განტოლებების ამოხსნისას, პირველ რიგში, სასარგებლოა ტრანსფორმაციების გაკეთება, განტოლების ორივე ნაწილში ერთი და იგივე საფუძვლებით ხარისხების მიღება.

1. განტოლებების ამოხსნა ბოლო ორი მეთოდით, რასაც მოჰყვება კომენტარები

(სლაიდი ნომერი 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, ტ > 0, 2ტ 2 - 3t- 5 = 0,ტ= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. USE ამოცანების ამოხსნა 2010 წ

მოსწავლეები დამოუკიდებლად წყვეტენ გაკვეთილის დასაწყისში შემოთავაზებულ ამოცანებს No3 სლაიდზე, ამოხსნის ინსტრუქციების გამოყენებით, ამოწმებენ თავიანთი გადაწყვეტილების პროცესს და პასუხობენ მათ პრეზენტაციის გამოყენებით ( სლაიდი ნომერი 7). მუშაობის პროცესში განიხილება გადაჭრის ვარიანტები და მეთოდები, ყურადღება გამახვილებულია გამოსავალში შესაძლო შეცდომებზე.

: ა) 7 X– 2 = 49, ბ) (1/6) 12 - 7 x = 36. პასუხი: ა) X= 4, ბ) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (შეგიძლიათ შეცვალოთ 0.5 \u003d 4 - 0.5)

გამოსავალი. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

პასუხი: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 ტგ წ+ 4 = 5 -ტგ წ, cos წ< 0.

წინადადება გადაწყვეტილების მისაღებად

. 5 5 ტგ წ+ 4 = 5 -ტგ წ¦ 5 ტ წ 0,

5 5 2 გ წ+ 4 5 ტ y- 1 = 0. მოდით X= 5 ტგ წ , …

5 ტგ წ = -1 (?...), 5 ტგ y= 1/5.

ვინაიდან ტგ წ= -1 და cos წ< 0, მაშინ ზე II კოორდინატთა კვარტალი

პასუხი: ზე= 3/4 + 2კ, კ ნ.

IV. Whiteboard Collaboration

სწავლის მაღალი დონის ამოცანად ითვლება - სლაიდი ნომერი 8. ამ სლაიდის დახმარებით მიმდინარეობს დიალოგი მასწავლებელსა და მოსწავლეებს შორის, რაც ხელს უწყობს გადაწყვეტის შემუშავებას.

- რა პარამეტრზე ა განტოლება 2 2 X – 3 2 X + ა 2 – 4ა= 0 აქვს ორი ფესვი?

დაე ტ= 2 X, სად ტ > 0 . ვიღებთ ტ 2 – 3ტ + (ა 2 – 4ა) = 0 .

ერთი). ვინაიდან განტოლებას ორი ფესვი აქვს, მაშინ D > 0;

2). იმიტომ რომ ტ 1,2 > 0, მაშინ ტ 1 ტ 2 > 0, ანუ ა 2 – 4ა> 0 (?...).

პასუხი: ა(– 0.5; 0) ან (4; 4.5).

V. გადამოწმების სამუშაო

(სლაიდი ნომერი 9 )

მოსწავლეები ასრულებენ გადამოწმების სამუშაობუკლეტებზე, თვითკონტროლის განხორციელება და პრეზენტაციის დახმარებით შესრულებული სამუშაოს თვითშეფასება, თემაში თავის დამტკიცება. ისინი დამოუკიდებლად ადგენენ სამუშაო წიგნებში დაშვებული შეცდომების საფუძველზე ცოდნის რეგულირებისა და გამოსწორების პროგრამას. დასრულებული დამოუკიდებელი სამუშაოს მქონე ფურცლები გადაეცემა მასწავლებელს გადასამოწმებლად.

ხაზგასმული რიცხვები საბაზისოა, ხოლო ვარსკვლავით მოწინავე რიცხვები.

გამოსავალი და პასუხები.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (არაშესაფერისი),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Საშინაო დავალება

(სლაიდი ნომერი 10 )

• გაიმეორეთ § 11, 12.
• 2008 - 2010 წლების ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მასალებიდან შეარჩიეთ ამოცანები თემაზე და ამოიღეთ ისინი.
• საშინაო სატესტო სამუშაო
:

დასკვნითი ტესტირებისთვის მომზადების ეტაპზე, საშუალო სკოლის მოსწავლეებმა უნდა გაიუმჯობესონ ცოდნა თემაზე „ექსპონენციალური განტოლებები“. გასული წლების გამოცდილება მიუთითებს, რომ მსგავსი ამოცანები გარკვეულ სირთულეებს უქმნის სკოლის მოსწავლეებს. ამიტომ, საშუალო სკოლის მოსწავლეებს, განურჩევლად მათი მომზადების დონისა, საჭიროა ყურადღებით დაეუფლონ თეორიას, დაიმახსოვრონ ფორმულები და გაიგონ ასეთი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი. როდესაც ისწავლეს ამ ტიპის ამოცანების შესრულება, კურსდამთავრებულებს შეეძლებათ მაღალი ქულების დათვლა მათემატიკაში გამოცდის ჩაბარებისას.

მოემზადეთ საგამოცდო ტესტირებისთვის შკოლკოვოსთან ერთად!

განხილული მასალების გამეორებისას ბევრ მოსწავლეს აწყდება განტოლებების ამოსახსნელად საჭირო ფორმულების პოვნის პრობლემა. სასკოლო სახელმძღვანელო ყოველთვის ხელთ არ არის და ინტერნეტში თემის შესახებ საჭირო ინფორმაციის შერჩევას დიდი დრო სჭირდება.

შკოლკოვოს საგანმანათლებლო პორტალი იწვევს სტუდენტებს გამოიყენონ ჩვენი ცოდნის ბაზა. ვახორციელებთ საბოლოო გამოცდისთვის მომზადების სრულიად ახალ მეთოდს. ჩვენს საიტზე სწავლისას თქვენ შეძლებთ ცოდნის ხარვეზების იდენტიფიცირებას და ყურადღება მიაქციოთ ზუსტად იმ ამოცანებს, რომლებიც იწვევს უდიდეს სირთულეებს.

„შკოლკოვოს“ მასწავლებლებმა შეაგროვეს, სისტემატიზაცია მოახდინეს და წარადგინეს გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის საჭირო ყველა მასალა უმარტივესი და ხელმისაწვდომი ფორმით.

ძირითადი განმარტებები და ფორმულები წარმოდგენილია განყოფილებაში "თეორიული მითითება".

მასალის უკეთ ათვისებისთვის გირჩევთ დავალებების შესრულებას. ყურადღებით გადახედეთ ამ გვერდზე წარმოდგენილი ამონახსნებით ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითებს, რათა გაიგოთ გამოთვლის ალგორითმი. ამის შემდეგ გააგრძელეთ დავალებები "კატალოგების" განყოფილებაში. შეგიძლიათ დაიწყოთ უმარტივესი ამოცანებით ან პირდაპირ გადაჭრათ რთული ექსპონენციალური განტოლებები რამდენიმე უცნობი ან . ჩვენს ვებ-გვერდზე არსებული სავარჯიშოების ბაზა მუდმივად ივსება და ახლდება.

ის მაგალითები ინდიკატორებით, რომლებმაც სირთულეები შეგიქმნათ, შეიძლება დაემატოს "რჩეულებს". ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ისინი და განიხილოთ გამოსავალი მასწავლებელთან.

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის ყოველდღე ისწავლეთ შკოლკოვოს პორტალზე!