პითაგორას თეორემა
ანალოგიურად, სამკუთხედი CBH მსგავსია ABC. აღნიშვნის გაცნობა 
1. დაალაგეთ ოთხი ტოლი მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც ნაჩვენებია სურათზე. 
ევკლიდეს მტკიცების იდეა ასეთია: შევეცადოთ დავამტკიცოთ, რომ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობის ნახევარი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ნახევარი ფართობის ჯამს, შემდეგ კი ფართობებს. დიდი და ორი პატარა კვადრატი ტოლია. განიხილეთ ნახატი მარცხნივ. მასზე ავაგეთ კვადრატები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე და დავხატეთ სხივი s მართი კუთხის წვეროდან AB ჰიპოტენუზაზე პერპენდიკულარული, ის ჭრის კვადრატს ABIK, რომელიც აგებულია ჰიპოტენუზაზე, ორ მართკუთხედად - BHJI და HAKJ. შესაბამისად. გამოდის, რომ ამ მართკუთხედების ფართობები ზუსტად უდრის შესაბამის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობებს. შევეცადოთ დავამტკიცოთ, რომ კვადრატის DECA ფართობი უდრის AHJK მართკუთხედის ფართობს ამისთვის ვიყენებთ დამხმარე დაკვირვებას: სამკუთხედის ფართობი იგივე სიმაღლით და ფუძით, როგორც მოცემული. მართკუთხედი უდრის მოცემული მართკუთხედის ფართობის ნახევარს. ეს არის სამკუთხედის ფართობის ფუძისა და სიმაღლის ნახევრად განსაზღვრის შედეგი. ამ დაკვირვებიდან გამომდინარეობს, რომ ACK სამკუთხედის ფართობი უდრის AHK სამკუთხედის ფართობს (არ არის ნაჩვენები), რაც, თავის მხრივ, უდრის AHJK მართკუთხედის ფართობის ნახევარს. ახლა დავამტკიცოთ, რომ ACK სამკუთხედის ფართობი ასევე უდრის კვადრატული DECA ფართობის ნახევარს. ერთადერთი, რაც ამისთვის უნდა გაკეთდეს, არის სამკუთხედების ACK და BDA ტოლობის დადასტურება (რადგან სამკუთხედის BDA ფართობი უდრის კვადრატის ფართობის ნახევარს ზემოთ მოცემული თვისებით). ეს თანასწორობა აშკარაა, სამკუთხედები ტოლია ორ მხარეს და კუთხე მათ შორის. კერძოდ - AB=AK,AD=AC - CAK და BAD კუთხეების ტოლობის დამტკიცება მარტივია მოძრაობის მეთოდით: მოდით მოვატრიალოთ სამკუთხედი CAK 90 ° საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ აშკარაა, რომ ორი განხილული სამკუთხედის შესაბამისი გვერდი. დაემთხვევა (იმის გამო, რომ კვადრატის წვეროზე კუთხე არის 90°). არგუმენტი BCFG კვადრატისა და BHJI მართკუთხედის ფართობების ტოლობის შესახებ სრულიად ანალოგიურია. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი არის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი. 
განვიხილოთ ნახაზი, როგორც სიმეტრიიდან ჩანს, სეგმენტი CI ჭრის კვადრატს ABHJ ორ იდენტურ ნაწილად (რადგან სამკუთხედები ABC და JHI კონსტრუქციით ტოლია). საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90 გრადუსიანი ბრუნვის გამოყენებით, ჩვენ ვხედავთ დაჩრდილული ფიგურების CAJI და GDAB თანასწორობას. ახლა გასაგებია, რომ ჩვენს მიერ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობის ნახევრის ჯამს და თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობს. მეორეს მხრივ, ის უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობის ნახევარს, პლუს თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობი. დასტურის ბოლო ნაბიჯი მკითხველს რჩება.კრეატიულობის პოტენციალი ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰუმანიტარულ მეცნიერებებს, ტოვებს ბუნებრივ სამეცნიერო ანალიზს, პრაქტიკულ მიდგომას და ფორმულებისა და რიცხვების მშრალ ენას. მათემატიკა არ შეიძლება ჩაითვალოს ჰუმანიტარულ საგნად. მაგრამ "ყველა მეცნიერების დედოფალში" შემოქმედების გარეშე შორს ვერ წახვალ - ხალხმა ამის შესახებ დიდი ხანია იცოდა. მაგალითად, პითაგორას დროიდან.
სამწუხაროდ, სასკოლო სახელმძღვანელოები, როგორც წესი, არ ხსნიან, რომ მათემატიკაში მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ თეორემების, აქსიომების და ფორმულების აწყობა. მნიშვნელოვანია მისი ფუნდამენტური პრინციპების გაგება და შეგრძნება. და ამავე დროს, შეეცადეთ გაათავისუფლოთ გონება კლიშეებისა და ელემენტარული ჭეშმარიტებისგან - მხოლოდ ასეთ პირობებში იბადება ყველა დიდი აღმოჩენა.
ასეთი აღმოჩენები მოიცავს ისეთს, რომელიც დღეს ჩვენ ვიცით, როგორც პითაგორას თეორემა. მისი დახმარებით შევეცდებით ვაჩვენოთ, რომ მათემატიკა არა მხოლოდ შეუძლია, არამედ უნდა იყოს სახალისო. და რომ ეს თავგადასავალი შესაფერისია არა მხოლოდ სქელი სათვალეების ნერდებისთვის, არამედ ყველასთვის, ვინც ძლიერია გონებით და ძლიერი სულით.
საკითხის ისტორიიდან
მკაცრად რომ ვთქვათ, მიუხედავად იმისა, რომ თეორემას "პითაგორას თეორემა" ჰქვია, თავად პითაგორამ ის ვერ აღმოაჩინა. მართკუთხა სამკუთხედი და მისი განსაკუთრებული თვისებები მასზე დიდი ხნით ადრე იყო შესწავლილი. ამ საკითხზე ორი პოლარული თვალსაზრისი არსებობს. ერთ-ერთი ვერსიით, პითაგორამ პირველმა იპოვა თეორემის სრული დადასტურება. მეორეს აზრით, მტკიცებულება არ ეკუთვნის პითაგორას ავტორს.
დღეს ვეღარ შეამოწმებ ვინ არის მართალი და ვინ არასწორი. ცნობილია მხოლოდ ის, რომ პითაგორას მტკიცებულება, თუ ის ოდესმე არსებობდა, არ შემორჩენილა. თუმცა, არსებობს ვარაუდები, რომ ცნობილი მტკიცებულება ევკლიდეს ელემენტებიდან შეიძლება ეკუთვნოდეს პითაგორას და ევკლიდემ მხოლოდ ჩაწერა იგი.
დღეს ასევე ცნობილია, რომ მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ პრობლემები გვხვდება ეგვიპტურ წყაროებში ფარაონ ამენემჰეტ I-ის დროიდან, ბაბილონის თიხის ფირფიტებზე მეფე ჰამურაბის მეფობის დროიდან, ძველ ინდურ ტრაქტატში Sulva Sutra და ძველ ჩინურ ნაშრომში Zhou. -ბი სუან ჯინი.
როგორც ხედავთ, პითაგორას თეორემა უძველესი დროიდან იპყრობს მათემატიკოსთა გონებას. დაახლოებით 367 სხვადასხვა სახის მტკიცებულება, რომელიც დღეს არსებობს, დადასტურებას ემსახურება. სხვა თეორემა მას ამ მხრივ კონკურენციას ვერ გაუწევს. ცნობილი მტკიცებულების ავტორები არიან ლეონარდო და ვინჩი და შეერთებული შტატების მე-20 პრეზიდენტი ჯეიმს გარფილდი. ეს ყველაფერი მათემატიკისთვის ამ თეორემის უკიდურეს მნიშვნელობაზე მეტყველებს: გეომეტრიის თეორემების უმეტესობა მისგან არის მიღებული ან, ასე თუ ისე, მასთან დაკავშირებული.
პითაგორას თეორემის მტკიცებულებები
სასკოლო სახელმძღვანელოები ძირითადად ალგებრულ მტკიცებულებებს იძლევა. მაგრამ თეორემის არსი გეომეტრიაშია, ამიტომ პირველ რიგში განვიხილოთ ცნობილი თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც ამ მეცნიერებას ეფუძნება.
მტკიცებულება 1
მართკუთხა სამკუთხედის პითაგორას თეორემის უმარტივესი დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა დააყენოთ იდეალური პირობები: დაე, სამკუთხედი იყოს არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდა. არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ ეს იყო ასეთი სამკუთხედი, რომელიც თავდაპირველად განიხილებოდა უძველესი მათემატიკოსების მიერ.
განცხადება "მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს"შეიძლება ილუსტრირებული იყოს შემდეგი ნახატით:
შეხედეთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედს ABC: ჰიპოტენუზაზე AC შეგიძლიათ ააგოთ კვადრატი, რომელიც შედგება ოთხი სამკუთხედისგან, რომელიც ტოლია თავდაპირველი ABC. ხოლო AB და BC კვადრატზე აგებულ ფეხებზე, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ორ მსგავს სამკუთხედს.
სხვათა შორის, ამ ნახატმა საფუძველი ჩაუყარა პითაგორას თეორემისადმი მიძღვნილ მრავალ ანეკდოტსა და მულტფილმს. ალბათ ყველაზე ცნობილი "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია":
მტკიცებულება 2
ეს მეთოდი აერთიანებს ალგებრას და გეომეტრიას და შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკოს ბჰასკარის უძველესი ინდური მტკიცებულების ვარიანტად.
ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით a, b და c(ნახ. 1). შემდეგ ააგეთ ორი კვადრატი, რომელთა გვერდები უდრის ორი ფეხის სიგრძის ჯამს - (a+b). თითოეულ კვადრატში გააკეთეთ კონსტრუქციები, როგორც 2 და 3 სურათებში.
პირველ კვადრატში ააგეთ ოთხი იგივე სამკუთხედი, როგორც სურათზე 1. შედეგად, მიიღება ორი კვადრატი: ერთი გვერდით a, მეორე გვერდით. ბ.
მეორე კვადრატში, აგებული ოთხი მსგავსი სამკუთხედი ქმნის კვადრატს, რომლის გვერდი ტოლია ჰიპოტენუზას გ.
2-ში აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის იმ კვადრატის ფართობს, რომელიც ჩვენ ავაშენეთ c გვერდით ნახ.3-ში. ამის მარტივად დამოწმება შესაძლებელია ნახ. 2 ფორმულის მიხედვით. და 3-ზე გამოსახული კვადრატის ფართობი. კვადრატში ჩაწერილი ოთხი თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობების გამოკლებით დიდი კვადრატის ფართობიდან გვერდით. (a+b).
ამ ყველაფრის ჩამორთმევით, ჩვენ გვაქვს: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. გააფართოვეთ ფრჩხილები, გააკეთეთ ყველა საჭირო ალგებრული გამოთვლა და მიიღეთ ეს a 2 + b 2 = a 2 + b 2. ამავდროულად, ნახ.3-ში ჩაწერილი ფართობი. კვადრატი ასევე შეიძლება გამოითვალოს ტრადიციული ფორმულის გამოყენებით S=c2. იმათ. a2+b2=c2თქვენ დაამტკიცეთ პითაგორას თეორემა.
მტკიცებულება 3
იგივე ძველი ინდური მტკიცებულება აღწერილია მე-12 საუკუნეში ტრაქტატში „ცოდნის გვირგვინი“ („სიდჰანტა შირომანი“) და მთავარ არგუმენტად ავტორი იყენებს მიმართვას, რომელიც მიმართულია სტუდენტების მათემატიკური ნიჭებისა და დაკვირვების შესაძლებლობებზე. მიმდევრები: "ნახე!".
მაგრამ ჩვენ უფრო დეტალურად გავაანალიზებთ ამ მტკიცებულებას:
კვადრატის შიგნით ააგეთ ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც ეს ნახაზზეა მითითებული. დიდი კვადრატის გვერდი, რომელიც ასევე ჰიპოტენუზაა, აღინიშნება თან. მოდით მოვუწოდოთ სამკუთხედის ფეხები ადა ბ. ნახატის მიხედვით, შიდა კვადრატის გვერდი არის (a-b).
გამოიყენეთ კვადრატული ფართობის ფორმულა S=c2გარე კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად. და ამავე დროს გამოთვალეთ იგივე მნიშვნელობა შიდა კვადრატის ფართობისა და ოთხი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის დამატებით: (ა-ბ) 2 2+4*1\2*ა*ბ.
თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორივე ვარიანტი კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად, რათა დარწმუნდეთ, რომ ისინი იმავე შედეგს იძლევა. და ეს გაძლევთ უფლებას დაწეროთ ეს c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ამოხსნის შედეგად მიიღებთ პითაგორას თეორემის ფორმულას c2=a2+b2. თეორემა დადასტურდა.
მტკიცებულება 4
ამ ცნობისმოყვარე ძველ ჩინურ მტკიცებულებას ეწოდა "პატარძლის სკამი" - სკამის მსგავსი ფიგურის გამო, რომელიც წარმოიქმნება ყველა კონსტრუქციიდან:
ის იყენებს ნახატს, რომელიც უკვე ვნახეთ მე-3 სურათზე მეორე მტკიცებულებაში. და შიდა კვადრატი c გვერდით აგებულია ისევე, როგორც ზემოთ მოცემულ ძველ ინდურ მტკიცებულებაში.
თუ 1-ელ ნახატზე გონებრივად ამოჭრით ორ მწვანე მართკუთხა სამკუთხედს, გადაიტანეთ ისინი კვადრატის მოპირდაპირე მხარეებზე c გვერდით და ჰიპოტენუსებს მიამაგრებთ იასამნისფერი სამკუთხედების ჰიპოტენუზას, მიიღებთ ფიგურას, რომელსაც ეწოდება "პატარძლის" სკამი“ (სურ. 2). სიცხადისთვის, იგივე შეგიძლიათ გააკეთოთ ქაღალდის კვადრატებითა და სამკუთხედებით. დაინახავთ, რომ „პატარძლის სკამი“ ორი კვადრატით არის ჩამოყალიბებული: პატარა გვერდითი ბდა დიდი გვერდით ა.
ამ კონსტრუქციებმა საშუალება მისცა ძველ ჩინელ მათემატიკოსებს და ჩვენც მათ მიმდევრებს მივსულიყავით დასკვნამდე, რომ c2=a2+b2.
მტკიცებულება 5
ეს არის კიდევ ერთი გზა გეომეტრიაზე დაფუძნებული პითაგორას თეორემის ამოხსნის მოსაძებნად. ამას ჰქვია გარფილდის მეთოდი.
ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC. ჩვენ ეს უნდა დავამტკიცოთ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
ამისათვის გააგრძელეთ ფეხი ACდა ავაშენოთ სეგმენტი CD, რომელიც უდრის ფეხს AB. ქვედა პერპენდიკულარი ახ.წხაზის სეგმენტი ედ. სეგმენტები ედდა ACთანაბარი არიან. შეაერთე წერტილები ედა AT, ისევე, როგორც ედა თანდა მიიღეთ ნახატი, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე:
კოშკის დასამტკიცებლად ჩვენ კვლავ მივმართავთ ჩვენ მიერ უკვე გამოცდილი მეთოდს: ვპოულობთ მიღებული ფიგურის ფართობს ორი გზით და ვაიგივებთ გამონათქვამებს ერთმანეთთან.
იპოვეთ მრავალკუთხედის ფართობი ABEDშეიძლება გაკეთდეს სამი სამკუთხედის ფართობის დამატებით, რომლებიც ქმნიან მას. და ერთ-ერთი მათგანი ERU, არის არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდაც. ისიც არ დავივიწყოთ AB=CD, AC=EDდა ძვ.წ- ეს საშუალებას მოგვცემს გავამარტივოთ ჩაწერა და არ გადატვირთოთ იგი. Ისე, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
ამავე დროს, აშკარაა, რომ ABEDარის ტრაპეცია. ამიტომ, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ფორმულის გამოყენებით: SABED=(DE+AB)*1/2AD. ჩვენი გამოთვლებისთვის უფრო მოსახერხებელი და ნათელია სეგმენტის წარმოდგენა ახ.წროგორც სეგმენტების ჯამი ACდა CD.
მოდით დავწეროთ ორივე გზა ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად მათ შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ჩვენ ვიყენებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილი და ზემოთ აღწერილი სეგმენტების ტოლობას, რათა გავამარტივოთ აღნიშვნის მარჯვენა მხარე: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. ახლა ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და გარდაქმნით თანასწორობას: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. ყველა ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ზუსტად იმას, რაც გვჭირდება: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა.
რა თქმა უნდა, მტკიცებულებათა ეს სია შორს არის სრული. პითაგორას თეორემა ასევე შეიძლება დადასტურდეს ვექტორების, რთული რიცხვების, დიფერენციალური განტოლებების, სტერეომეტრიის და ა.შ. და თუნდაც ფიზიკოსები: თუ, მაგალითად, სითხე შეედინება კვადრატულ და სამკუთხა მოცულობებში, რომლებიც ნახატებშია ნაჩვენები. სითხის ჩამოსხმით შესაძლებელია დადასტურდეს ფართობების თანასწორობა და შედეგად თავად თეორემა.
რამდენიმე სიტყვა პითაგორას სამეულების შესახებ
ეს საკითხი სასკოლო სასწავლო გეგმაში ცოტაა ან არ არის შესწავლილი. ამასობაში ძალიან საინტერესოა და გეომეტრიაში დიდი მნიშვნელობა აქვს. პითაგორას სამეულები გამოიყენება მრავალი მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად. მათი იდეა შეიძლება გამოგადგეთ შემდგომ განათლებაში.
რა არის პითაგორას სამეული? ე.წ ნატურალური რიცხვები, შეგროვებული სამებად, რომელთაგან ორის კვადრატების ჯამი უდრის მესამე რიცხვს კვადრატში.
პითაგორას სამეულები შეიძლება იყოს:
- პრიმიტიული (სამივე რიცხვი შედარებით მარტივია);
- არაპრიმიტიული (თუ სამეულის თითოეული რიცხვი მრავლდება იმავე რიცხვზე, მიიღებთ ახალ სამეულს, რომელიც არ არის პრიმიტიული).
ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე ძველი ეგვიპტელები მოხიბლული იყვნენ პითაგორას სამეულების რიცხვით მანიით: ამოცანებში ისინი განიხილავდნენ მართკუთხა სამკუთხედს 3,4 და 5 ერთეული გვერდებით. სხვათა შორის, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომლის გვერდებიც უდრის პითაგორას სამეულის რიცხვებს, ნაგულისხმევად მართკუთხაა.
პითაგორას სამეულების მაგალითები: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) და ა.შ.
თეორემის პრაქტიკული გამოყენება
პითაგორას თეორემა პოულობს გამოყენებას არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურასა და მშენებლობაში, ასტრონომიაში და ლიტერატურაშიც კი.
პირველი, მშენებლობის შესახებ: პითაგორას თეორემა მასში ფართოდ გამოიყენება სირთულის სხვადასხვა დონის ამოცანებში. მაგალითად, შეხედეთ რომაულ ფანჯარას:
ფანჯრის სიგანე აღვნიშნოთ როგორც ბ, მაშინ დიდი ნახევარწრის რადიუსი შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც რდა გამოხატოს მეშვეობით ბ: R=b/2. უფრო მცირე ნახევარწრილების რადიუსი ასევე შეიძლება გამოისახოს ბ: r=b/4. ამ პრობლემაში ჩვენ გვაინტერესებს ფანჯრის შიდა წრის რადიუსი (მოდით დავარქვათ გვ).
პითაგორას თეორემა უბრალოდ გამოსათვლელად გამოდგება რ. ამისათვის ვიყენებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც მითითებულია ფიგურაში წერტილოვანი ხაზით. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შედგება ორი რადიუსისგან: ბ/4+გვ. ერთი ფეხი არის რადიუსი ბ/4, სხვა ბ/2-პ. პითაგორას თეორემის გამოყენებით ჩვენ ვწერთ: (ბ/4+პ) 2 =(ბ/4) 2 +(ბ/2-პ) 2. შემდეგი, ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და ვიღებთ b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. გადავიტანოთ ეს გამოთქმა bp/2=b 2 /4-bp. შემდეგ კი ყველა ტერმინს ვყოფთ ბ, მსგავსებს ვაძლევთ მისაღებად 3/2*p=b/4. და ბოლოს ჩვენ ვპოულობთ ამას p=b/6- რაც გვჭირდებოდა.
თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რაფტერების სიგრძე ღობე სახურავისთვის. დაადგინეთ, თუ რამდენად მაღალია მობილური კოშკი საჭირო იმისათვის, რომ სიგნალმა მიაღწიოს გარკვეულ დასახლებას. და კიდევ სტაბილურად დააინსტალირეთ ნაძვის ხე ქალაქის მოედანზე. როგორც ხედავთ, ეს თეორემა ცხოვრობს არა მხოლოდ სახელმძღვანელოების გვერდებზე, არამედ ხშირად გამოსადეგია რეალურ ცხოვრებაში.
რაც შეეხება ლიტერატურას, პითაგორას თეორემა შთააგონებდა მწერლებს უძველესი დროიდან და ასე გრძელდება დღესაც. მაგალითად, მეცხრამეტე საუკუნის გერმანელი მწერალი ადელბერტ ფონ ჩამისო მისგან შთაგონებული იყო სონეტის დასაწერად:
ჭეშმარიტების შუქი მალე არ გაქრება,
მაგრამ, ბრწყინავს, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ დაიფანტოს
და, როგორც ათასობით წლის წინ,
არ გამოიწვევს ეჭვებს და კამათს.
ყველაზე ბრძენი, როცა თვალს ეხება
სიმართლის შუქი, მადლობა ღმერთებს;
და ასი ხარი, დაჭრილი, იტყუება -
იღბლიანი პითაგორას საპასუხო საჩუქარი.
მას შემდეგ ხარები სასოწარკვეთილად ღრიალებენ:
სამუდამოდ აღაგზნო ხარის ტომი
აქ ნახსენები მოვლენა.
ფიქრობენ, რომ დროა
და ისევ შეეწირებიან
რაღაც დიდი თეორემა.
(თარგმნა ვიქტორ ტოპოროვმა)
მეოცე საუკუნეში კი საბჭოთა მწერალმა ევგენი ველტისტოვმა თავის წიგნში "ელექტრონიკის თავგადასავალი" მთელი თავი მიუძღვნა პითაგორას თეორემის მტკიცებულებებს. და ნახევარი თავი მოთხრობის ორგანზომილებიანი სამყაროს შესახებ, რომელიც შეიძლება არსებობდეს, თუ პითაგორას თეორემა გახდება ფუნდამენტური კანონი და თუნდაც რელიგია ერთი სამყაროსთვის. მასში ცხოვრება ბევრად უფრო ადვილი იქნებოდა, მაგრამ ასევე უფრო მოსაწყენი: მაგალითად, იქ არავის ესმის სიტყვების "მრგვალი" და "ფუმფულა" მნიშვნელობა.
ხოლო წიგნში „ელექტრონიკის თავგადასავალი“ ავტორი მათემატიკის მასწავლებლის ტარატარას პირით ამბობს: „მათემატიკაში მთავარია აზრის მოძრაობა, ახალი იდეები“. აზროვნების სწორედ ეს შემოქმედებითი ფრენა წარმოშობს პითაგორას თეორემას - ტყუილად არ აქვს მას ამდენი მრავალფეროვანი მტკიცებულება. ეს გეხმარებათ გასცდეთ ჩვეულს და შეხედოთ ნაცნობ ნივთებს ახლებურად.
დასკვნა
ეს სტატია შეიქმნა იმისთვის, რომ შეხედოთ მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმას და ისწავლოთ არა მხოლოდ პითაგორას თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც მოცემულია სახელმძღვანელოებში "გეომეტრია 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) და "გეომეტრია 7 -11". ” (A.V. Pogorelov), არამედ ცნობილი თეორემის დასამტკიცებლად სხვა საინტერესო გზები. ასევე იხილეთ მაგალითები, თუ როგორ შეიძლება პითაგორას თეორემა გამოიყენოს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.
უპირველეს ყოვლისა, ეს ინფორმაცია საშუალებას მოგცემთ მოითხოვოთ უფრო მაღალი ქულები მათემატიკის კლასებში - ინფორმაცია ამ საკითხზე დამატებითი წყაროებიდან ყოველთვის მაღალი შეფასებაა.
მეორეც, გვინდოდა დაგეხმაროთ იმის გაგებაში, თუ რამდენად საინტერესოა მათემატიკა. კონკრეტული მაგალითებით დავრწმუნდეთ, რომ მასში ყოველთვის არის ადგილი შემოქმედებითობისთვის. ვიმედოვნებთ, რომ პითაგორას თეორემა და ეს სტატია მოგცემთ შთაგონებას, გააკეთოთ საკუთარი კვლევა და საინტერესო აღმოჩენები მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში.
გვითხარით კომენტარებში, თქვენთვის საინტერესო აღმოჩნდა თუ არა სტატიაში წარმოდგენილი მტკიცებულებები. დაგეხმარათ ეს ინფორმაცია თქვენს სწავლაში? გაგვაგებინეთ, რას ფიქრობთ პითაგორას თეორემაზე და ამ სტატიაზე - ჩვენ სიამოვნებით განვიხილავთ ამ ყველაფერს თქვენთან ერთად.
საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
პითაგორას თეორემის დასამტკიცებლად სხვადასხვა გზა
მე-9 „ა“ კლასის მოსწავლე
მემორანდუმის №8 საშუალო სკოლა
ხელმძღვანელი:
მათემატიკის მასწავლებელი,
მემორანდუმის №8 საშუალო სკოლა
Ხელოვნება. ახალი შობა
კრასნოდარის ტერიტორია.
Ხელოვნება. ახალი შობა
ᲐᲜᲝᲢᲐᲪᲘᲐ.
პითაგორას თეორემა სამართლიანად ითვლება ყველაზე მნიშვნელოვანად გეომეტრიის კურსში და იმსახურებს დიდ ყურადღებას. იგი მრავალი გეომეტრიული ამოცანის ამოხსნის საფუძველია, გეომეტრიის თეორიული და პრაქტიკული კურსის შესწავლა მომავალში. თეორემა გარშემორტყმულია უმდიდრესი ისტორიული მასალით, რომელიც დაკავშირებულია მის გარეგნობასთან და მტკიცების მეთოდებთან. გეომეტრიის განვითარების ისტორიის შესწავლა ნერგავს სიყვარულს ამ საგნის მიმართ, ხელს უწყობს შემეცნებითი ინტერესის, ზოგადი კულტურისა და შემოქმედების განვითარებას, ასევე ავითარებს კვლევის უნარებს.
საძიებო აქტივობის შედეგად მიღწეული იქნა სამუშაოს მიზანი, რომელიც არის პითაგორას თეორემის მტკიცებულებაზე ცოდნის შევსება და განზოგადება. მოახერხა პოვნა და განხილვა სხვადასხვა გზებიმტკიცებულება და ცოდნის გაღრმავება თემაზე, სცილდება სასკოლო სახელმძღვანელოს გვერდებს.
შეგროვებული მასალა კიდევ უფრო არწმუნებს, რომ პითაგორას თეორემა არის გეომეტრიის დიდი თეორემა და აქვს დიდი თეორიული და პრაქტიკული მნიშვნელობა.
შესავალი. ისტორიული ფონი 5 ძირითადი ნაწილი 8
3. დასკვნა 19
4. გამოყენებული ლიტერატურა 20
1. შესავალი. ისტორიის ცნობარი.
ჭეშმარიტების არსი ის არის, რომ ის სამუდამოდ არის ჩვენთვის,
როდესაც ერთხელ მაინც მის ჩახედვისას ჩვენ ვხედავთ სინათლეს,
და პითაგორას თეორემა ამდენი წლის შემდეგ
ჩვენთვის, როგორც მისთვის, ეს უდავოა, უმწიკვლო.
აღსანიშნავად პითაგორამ ღმერთებს აღთქმა მისცა:
უსაზღვრო სიბრძნის შეხებისთვის,
მან დაკლა ასი ხარი, მარადიულთა წყალობით;
მას შემდეგ მსხვერპლს ლოცვა და ქება აღავლინა.
მას შემდეგ ხარები, როცა ყნოსავენ, უბიძგებენ,
რა მიჰყავს ხალხს ისევ ახალ ჭეშმარიტებამდე,
ისინი გააფთრებით ღრიალებენ, ამიტომ შარდი არ არის მოსასმენი,
ასეთი პითაგორა მათში სამუდამოდ შიშს ნერგავდა.
ხარები, უძლურია წინააღმდეგობა გაუწიონ ახალ ჭეშმარიტებას,
რა რჩება? - უბრალოდ თვალები დახუჭე, იღრიალა, აკანკალე.
უცნობია, როგორ დაამტკიცა პითაგორამ თავისი თეორემა. რა თქმა უნდა, ის აღმოაჩინა ეგვიპტური მეცნიერების ძლიერი გავლენის ქვეშ. პითაგორას თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა - სამკუთხედის თვისებები 3, 4 და 5 გვერდებით - პირამიდების მშენებლებმა იცოდნენ პითაგორას დაბადებამდე დიდი ხნით ადრე, მაშინ როცა ის თავად სწავლობდა ეგვიპტელ ქურუმებთან 20 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში. არსებობს ლეგენდა, რომელიც ამბობს, რომ თავისი ცნობილი თეორემის დამტკიცების შემდეგ, პითაგორამ ღმერთებს შესწირა ხარი, ხოლო სხვა წყაროების მიხედვით, 100 ხარიც კი. თუმცა, ეს ეწინააღმდეგება ინფორმაციას პითაგორას მორალური და რელიგიური შეხედულებების შესახებ. ლიტერატურულ წყაროებში შეიძლება წავიკითხოთ, რომ მან „აკრძალა ცხოველების მოკვლაც კი და მით უმეტეს მათი კვება, რადგან ცხოველებს ჩვენნაირი სული აქვთ“. პითაგორა ჭამდა მხოლოდ თაფლს, პურს, ბოსტნეულს და ზოგჯერ თევზსაც. ამ ყველაფერთან დაკავშირებით, უფრო დამაჯერებლად შეიძლება ჩაითვალოს შემდეგი ჩანაწერი: „...და მაშინაც კი, როცა აღმოაჩინა, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა ფეხებს შეესაბამება, ხორბლის ცომისგან დამზადებული ხარი შესწირა“.
პითაგორას თეორემის პოპულარობა იმდენად დიდია, რომ მისი მტკიცებულებები მხატვრულ ლიტერატურაშიც კი გვხვდება, მაგალითად, ცნობილი ინგლისელი მწერლის ჰაქსლის მოთხრობაში „ახალგაზრდა არქიმედეს“. იგივე მტკიცებულება, მაგრამ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის კონკრეტული შემთხვევისთვის, მოცემულია პლატონის დიალოგში მენო.
ზღაპრის სახლი.
„შორს, შორს, სადაც თვითმფრინავებიც კი არ დაფრინავენ, არის გეომეტრიის ქვეყანა. ამ უჩვეულო ქვეყანაში იყო ერთი საოცარი ქალაქი - ქალაქი თეორემი. ერთ დღეს ამ ქალაქში მშვენიერი გოგონა, სახელად ჰიპოტენუზა, მოვიდა. ოთახის აღებას ცდილობდა, მაგრამ სადაც მიმართა, ყველგან უარს ამბობდნენ. ბოლოს გახეხილ სახლს მიუახლოვდა და დააკაკუნა. იგი გახსნა კაცმა, რომელიც საკუთარ თავს სწორ კუთხეს უწოდებდა, და მან ჰიპოტენუზა მიიწვია მასთან საცხოვრებლად. ჰიპოტენუზა დარჩა სახლში, სადაც Right Angle და მისი ორი პატარა ვაჟი, სახელად Katet, ცხოვრობდნენ. მას შემდეგ, სწორი კუთხის სახლში ცხოვრება ახლებურად შეიცვალა. ჰიპოტენუზამ ფანჯარაში ყვავილები დარგა, წინა ბაღში კი წითელი ვარდები გაშალა. სახლმა მართკუთხა სამკუთხედის ფორმა მიიღო. ორივე ფეხს ძალიან მოსწონდა ჰიპოტენუზა და სთხოვდა სამუდამოდ მათ სახლში დარჩენილიყო. საღამოობით ეს მეგობრული ოჯახი საოჯახო სუფრასთან იკრიბება. ზოგჯერ Right Angle თამაშობს დამალვას შვილებთან ერთად. ყველაზე ხშირად მას უწევს ყურება და ჰიპოტენუზა იმდენად ოსტატურად იმალება, რომ მისი პოვნა შეიძლება ძალიან რთული იყოს. ერთხელ თამაშის დროს Right Angle-მა შენიშნა საინტერესო თვისება: თუ ის ახერხებს ფეხების პოვნას, მაშინ ჰიპოტენუზის პოვნა არ არის რთული. ასე რომ, Right Angle იყენებს ამ შაბლონს, უნდა ვთქვა, ძალიან წარმატებით. პითაგორას თეორემა ემყარება ამ მართკუთხა სამკუთხედის თვისებას.
(ა. ოკუნევის წიგნიდან "გმადლობთ გაკვეთილისთვის, ბავშვებო").
თეორემის სათამაშო ფორმულირება:
თუ მოგვცეს სამკუთხედი
და, უფრო მეტიც, სწორი კუთხით,
ეს არის ჰიპოტენუზის კვადრატი
ჩვენ ყოველთვის ადვილად ვიპოვით:
ჩვენ ვაშენებთ ფეხებს კვადრატში,
ჩვენ ვიპოვით გრადუსების ჯამს -
თანაც ასე მარტივი გზით
შედეგამდე მივალთ.
მე-10 კლასში ალგებრასა და ანალიზისა და გეომეტრიის საწყისების შესწავლით დავრწმუნდი, რომ მე-8 კლასში განხილული პითაგორას თეორემის დადასტურების მეთოდის გარდა, არსებობს მისი დადასტურების სხვა გზებიც. წარმოგიდგენთ მათ თქვენი განსახილველად.
2. მთავარი ნაწილი.
თეორემა. კვადრატი მართკუთხა სამკუთხედში
ჰიპოტენუზა უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.
1 გზა.
მრავალკუთხედების ფართობის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვადგენთ შესანიშნავ კავშირს ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებს შორის.
მტკიცებულება.
ა, inდა ჰიპოტენუზა თან(ნახ. 1, ა).
ეს დავამტკიცოთ c²=a²+b².
მტკიცებულება.
ჩვენ ვასრულებთ სამკუთხედს კვადრატში გვერდით a + bროგორც ნაჩვენებია ნახ. 1ბ. ამ კვადრატის S ფართობი არის (a + b)². მეორეს მხრივ, ეს კვადრატი შედგება ოთხი თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედისგან, რომელთაგან თითოეულის ფართობი არის ½. გამზდა კვადრატი გვერდით ერთად,ასე რომ ს = 4 * ½ ავ + ს² = 2ავ + ს².
ამრიგად,
(a + b)² = 2 ავ + ს²,
c²=a²+b².
თეორემა დადასტურდა.
2 გზა.
თემის „მსგავსი სამკუთხედების“ შესწავლის შემდეგ მივხვდი, რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ სამკუთხედების მსგავსება პითაგორას თეორემის მტკიცებულებაზე. კერძოდ, გამოვიყენე განცხადება, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი არის ჰიპოტენუზის საშუალო პროპორციული და ჰიპოტენუზის სეგმენტი, რომელიც ჩასმულია ფეხსა და მარჯვენა კუთხის წვეროდან გამოყვანილ სიმაღლეს შორის.
განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი მართი კუთხით C, CD არის სიმაღლე (ნახ. 2). ეს დავამტკიცოთ AC² + SW² = AB²
.
მტკიცებულება.
მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის შესახებ განცხადებაზე დაყრდნობით:
AC = , CB = .
ჩვენ კვადრატში ვამატებთ მიღებულ თანასწორობებს:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), სადაც AD + DB = AB, შემდეგ
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
მტკიცებულება სრულია.
3 გზა.
მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოსინუსის განმარტება შეიძლება გამოყენებულ იქნას პითაგორას თეორემის მტკიცებულებაზე. განვიხილოთ ნახ. 3.
მტკიცებულება:
მოდით ABC იყოს მოცემული მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით. დახაზეთ სიმაღლის CD მართი კუთხის C წვეროდან.
კუთხის კოსინუსის განმარტებით:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. აქედან გამომდინარე, AB * AD = AC²
ანალოგიურად,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.
აქედან გამომდინარე, AB * BD \u003d BC².
მიღებულ თანასწორობებს ვამატებთ ტერმინებით და ვამჩნევთ, რომ AD + DВ = AB, მივიღებთ:
AC² + მზე² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²
მტკიცებულება სრულია.
4 გზა.
შევისწავლე თემა ,,ფარდობები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის“, ვფიქრობ, რომ პითაგორას თეორემა შეიძლება სხვა გზითაც დადასტურდეს.
განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით ა, inდა ჰიპოტენუზა თან. (ნახ. 4).
ეს დავამტკიცოთ c²=a²+b².
მტკიცებულება.
ცოდვა B=ა/კ ; cos B=ა/წ , შემდეგ, მიღებული ტოლობების კვადრატში მივიღებთ:
sin² B= in²/s²; cos² AT\u003d a² / s².
მათი შეკრებით მივიღებთ:
sin² AT+ cos² B= v² / s² + a² / s², სადაც sin² AT+ cos² B=1,
1 \u003d (v² + a²) / s², შესაბამისად,
c² = a² + b².
მტკიცებულება სრულია.
5 გზა.
ეს დადასტურება ეფუძნება ფეხებზე აგებული კვადრატების მოჭრას (ნახ. 5) და მიღებული ნაწილების დაწყობას ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატზე.
6 გზა.
კათეტზე დასამტკიცებლად მზეშენობა BCD ABC(ნახ. 6). ჩვენ ვიცით, რომ მსგავსი ფიგურების ფართობები დაკავშირებულია, როგორც მათი მსგავსი ხაზოვანი განზომილებების კვადრატები:
მეორეს გამოვაკლებთ პირველ ტოლობას, მივიღებთ
c2 = a2 + b2.
მტკიცებულება სრულია.
7 გზა.
მოცემული(ნახ. 7):
ABS,= 90° , მზე= a, AC=b, AB = c.
დაამტკიცე:c2 = a2 +b2.
მტკიცებულება.
გაუშვით ფეხი ბ ა.გავაგრძელოთ სეგმენტი სვთითო ქულაზე ATდა ააგეთ სამკუთხედი bmdისე რომ ქულები მდა მაგრამდაწექი სწორი ხაზის ერთ მხარეს CDდა გარდა ამისა, ბ.დ.=ბ, BDM= 90°, DM= ა, მაშინ bmd= ABCორ მხარეს და მათ შორის კუთხეს. პუნქტები A და მდაკავშირება სეგმენტების მიხედვით ᲕᲐᲠ.Ჩვენ გვაქვს MD CDდა AC CD,ნიშნავს პირდაპირ ACსწორი ხაზის პარალელურად MD.როგორც MD< АС, შემდეგ პირდაპირ CDდა ᲕᲐᲠარ არის პარალელური. ამიტომ, AMDC-მართკუთხა ტრაპეცია.
მართკუთხა სამკუთხედებში ABC და bmd 1 + 2 = 90 ° და 3 + 4 = 90 °, მაგრამ რადგან = =, მაშინ 3 + 2 = 90 °; მაშინ AVM=180° - 90° = 90°. აღმოჩნდა, რომ ტრაპეცია AMDCიყოფა სამ გადახურვის მართკუთხა სამკუთხედად, შემდეგ ფართობის აქსიომებით
(ა+ბ)(ა+ბ)
უტოლობის ყველა პირობის გაყოფით ვიღებთ
აb + c2 + ab = (a +ბ) , 2 აბ+ c2 = a2+ 2აბ+ b2,
c2 = a2 + b2.
მტკიცებულება სრულია.
8 გზა.
ეს მეთოდი დაფუძნებულია მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზასა და ფეხებზე ABC.ის აშენებს შესაბამის კვადრატებს და ამტკიცებს, რომ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს (სურ. 8).
მტკიცებულება.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ abc,ნიშნავს, FBC= DBA.
ამრიგად, FBC=ABD(ორ მხარეს და მათ შორის კუთხე).
2) 
,
სადაც AL DE, რადგან BD არის საერთო ბაზა, DL-მთლიანი სიმაღლე.
3) 
რადგან FB არის ბაზა, AB- მთლიანი სიმაღლე.
4) 
5) ანალოგიურად, შეიძლება ამის დამტკიცება 
6) ვადის მიხედვით ვამატებთ, მივიღებთ:
, BC2
= AB2 + AC2
.
მტკიცებულება სრულია.
9 გზა.
მტკიცებულება.
1) მოდით აბდე- კვადრატი (სურ. 9), რომლის გვერდი ტოლია მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას ABC (AB= c, BC = a, AC =ბ).
2) მოდით DK ძვ.წდა DK = მზე,ვინაიდან 1 + 2 = 90° (როგორც მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეები), 3 + 2 = 90° (როგორც კვადრატის კუთხე), AB= BD(მოედნის მხარეები).
ნიშნავს, ABC= BDK(ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით).
3) მოდით EL DC, AM EL.მარტივად შეიძლება დადასტურდეს, რომ ABC = BDK = DEL = EAM (ფეხებით ადა ბ).მერე კს= ᲡᲛ= ML= LK= ა -ბ.
4) SKB= 4S+SKLMC= 2აბ+ (a-b),თან2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
მტკიცებულება სრულია.
10 გზა.
მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს ფიგურაზე, რომელსაც ხუმრობით უწოდებენ "პითაგორას შარვალს" (სურ. 10). მისი იდეაა ფეხებზე აგებული კვადრატების გარდაქმნა თანაბარ სამკუთხედებად, რომლებიც ერთად ქმნიან ჰიპოტენუზის კვადრატს.
ABC shift, როგორც ნაჩვენებია ისრით, და ის იკავებს პოზიციას KDN.დანარჩენი ფიგურა AKDCBკვადრატის ფართობის ტოლი AKDC-ეს პარალელოგრამია AKNB.
შეადგინა პარალელოგრამის მოდელი AKNB. ვცვლით პარალელოგრამს ისე, როგორც ეს დახატულია ნაწარმოების შინაარსში. პარალელოგრამის ტოლ სამკუთხედად გადაქცევის საჩვენებლად, მოსწავლეების თვალწინ მოდელზე ვჭრით სამკუთხედს და ქვევით გადავიტანთ. ასე რომ, მოედნის ფართობი AKDCუდრის მართკუთხედის ფართობს. ანალოგიურად, ჩვენ ვაქცევთ კვადრატის ფართობს მართკუთხედის ფართობზე.
მოდით გავაკეთოთ ტრანსფორმაცია ფეხზე აგებული კვადრატისთვის ა(ნახ. 11, ა):
ა) კვადრატი გარდაიქმნება თანაბარი ზომის პარალელოგრამად (ნახ. 11.6):
ბ) პარალელოგრამი ბრუნავს მობრუნების მეოთხედს (სურ. 12):
გ) პარალელოგრამი გარდაიქმნება თანაბარი ზომის მართკუთხედად (სურ. 13): 11 გზა.
მტკიცებულება:
PCL-სწორი (სურ. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= ბ 2;
AKGB= AKLO+LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
მტკიცებულება დასრულდა .
12 გზა.
ბრინჯი. 15 ასახავს პითაგორას თეორემის კიდევ ერთ ორიგინალურ დადასტურებას.
აქ: სამკუთხედი ABC მართი კუთხით C; ხაზის სეგმენტი ბფპერპენდიკულარული სვდა მისი ტოლი სეგმენტი BEპერპენდიკულარული ABდა მისი ტოლი სეგმენტი ახ.წპერპენდიკულარული ACდა თანაბარი მას; ქულები F, C,დმიეკუთვნება ერთ სწორ ხაზს; ოთხკუთხედები ADFBდა ACBEთანაბარია იმიტომ ABF = ECB;სამკუთხედები ADFდა აგფთანაბარი არიან; ორივე ტოლ ოთხკუთხედს გამოვაკლებთ მათთვის საერთო სამკუთხედს abc,ვიღებთ
, c2 = a2 +
b2.
მტკიცებულება სრულია.
13 გზა.
ამ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი, ერთი მხრივ, უდრის ,
სხვასთან ერთად, ,
3. დასკვნა
საძიებო აქტივობის შედეგად მიღწეული იქნა სამუშაოს მიზანი, რომელიც არის პითაგორას თეორემის მტკიცებულებაზე ცოდნის შევსება და განზოგადება. სასკოლო სახელმძღვანელოს ფურცლების გასვლით შესაძლებელი იყო მისი დადასტურების სხვადასხვა გზების მოძიება და განხილვა და თემის შესახებ ცოდნის გაღრმავება.
ჩემ მიერ შეგროვებული მასალა კიდევ უფრო დამაჯერებელია, რომ პითაგორას თეორემა არის გეომეტრიის დიდი თეორემა და აქვს დიდი თეორიული და პრაქტიკული მნიშვნელობა. დასასრულს, მინდა ვთქვა: ტრიუნის პითაგორას თეორემის პოპულარობის მიზეზი არის სილამაზე, სიმარტივე და მნიშვნელობა!
4. გამოყენებული ლიტერატურა.
1. გასართობი ალგებრა. . მოსკოვი "ნაუკა", 1978 წ.
2. გაზეთ „პირველი სექტემბრის“ ყოველკვირეული სასწავლო და მეთოდური ჩანართი 24/2001 წ.
3. გეომეტრია 7-9. და ა.შ.
4. გეომეტრია 7-9. და ა.შ.
პითაგორას თეორემა არის ევკლიდეს გეომეტრიის ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც ამტკიცებს მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებისა და ჰიპოტენუზას თანაფარდობას. ეს ალბათ ყველაზე პოპულარული თეორემაა მსოფლიოში, რომელიც ყველასთვის ცნობილია სკოლიდან.
თეორემის ისტორია
სინამდვილეში, მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობის თეორია ცნობილი იყო პითაგორამდე დიდი ხნით ადრე კუნძულ სამოსიდან. ამრიგად, მხარეთა თანაფარდობის პრობლემები გვხვდება ძველ ტექსტებში ბაბილონის მეფის ჰამურაბის მეფობის პერიოდიდან, ანუ სამიანი მათემატიკოსის დაბადებამდე 1500 წლით ადრე. სამკუთხედის გვერდებზე შენიშვნები ჩაწერილია არა მხოლოდ ბაბილონში, არამედ ძველ ეგვიპტეში და ჩინეთში. ფეხისა და ჰიპოტენუზის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი მთელი რიცხვის შეფარდება ჰგავს 3, 4 და 5. ამ ციფრებს იყენებდნენ უძველესი ამზომველები და არქიტექტორები სწორი კუთხის ასაგებად.
ასე რომ, პითაგორას არ გამოუგონია თეორემა ფეხებისა და ჰიპოტენუზის თანაფარდობის შესახებ. ის ისტორიაში პირველმა დაამტკიცა. თუმცა, ამაში ეჭვები არსებობს, რადგან სამიანი მათემატიკოსის მტკიცებულება, თუ ის ჩაწერილი იყო, საუკუნეების მანძილზე იკარგებოდა. არსებობს მოსაზრება, რომ ევკლიდეს ელემენტებში მოცემული თეორემის დადასტურება სწორედ პითაგორას ეკუთვნის. თუმცა მათემატიკის ისტორიკოსებს ამაზე სერიოზული ეჭვი აქვთ.
პითაგორა პირველი იყო, მაგრამ მის შემდეგ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე თეორემა დადასტურდა დაახლოებით 400-ჯერ, სხვადასხვა მეთოდის გამოყენებით: კლასიკური გეომეტრიიდან დიფერენციალურ გამოთვლებამდე. პითაგორას თეორემა ყოველთვის იპყრობდა ცნობისმოყვარე გონებას, ამიტომ მტკიცებულებების ავტორთა შორის შეიძლება გავიხსენოთ აშშ-ს პრეზიდენტი ჯეიმს გარფილდი.
Მტკიცებულება
მათემატიკურ ლიტერატურაში დაფიქსირებულია პითაგორას თეორემის სულ მცირე ოთხასი მტკიცებულება. ასეთი დამაბნეველი რიცხვი აიხსნება მეცნიერებისთვის თეორემის ფუნდამენტური მნიშვნელობითა და შედეგის ელემენტარული ბუნებით. ძირითადად, პითაგორას თეორემა დადასტურებულია გეომეტრიული მეთოდებით, რომელთაგან ყველაზე პოპულარულია არეების მეთოდი და მსგავსების მეთოდი.
თეორემის დამტკიცების უმარტივესი მეთოდი, რომელიც არ საჭიროებს სავალდებულო გეომეტრიულ კონსტრუქციებს, არის ფართობის მეთოდი. პითაგორამ თქვა, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს:
შევეცადოთ დავამტკიცოთ ეს თამამი განცხადება. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი ფიგურის ფართობი განისაზღვრება ხაზის სეგმენტის კვადრატში. ხაზის სეგმენტი შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ ყველაზე ხშირად ეს არის ფორმის მხარე ან მისი რადიუსი. სეგმენტის არჩევისა და გეომეტრიული ფიგურის სახეობიდან გამომდინარე, კვადრატს ექნება განსხვავებული კოეფიციენტები:
- ერთეული კვადრატის შემთხვევაში - S \u003d a 2;
- დაახლოებით 0,43 ტოლგვერდა სამკუთხედის შემთხვევაში - S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
- Pi წრის შემთხვევაში - S \u003d pi × R 2.
ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობი, როგორც S = F × a 2, სადაც F არის გარკვეული კოეფიციენტი.
მართკუთხა სამკუთხედი არის გასაოცარი ფიგურა, რომელიც ადვილად შეიძლება დაიყოს ორ მსგავს მართკუთხა სამკუთხედად ნებისმიერი წვეროდან პერპენდიკულარულის უბრალოდ ჩამოშვებით. ეს დაყოფა აქცევს მართკუთხა სამკუთხედს ორი პატარა მართკუთხა სამკუთხედის ჯამად. ვინაიდან სამკუთხედები მსგავსია, მათი ფართობი გამოითვლება იგივე ფორმულით, რომელიც ასე გამოიყურება:
S = F × ჰიპოტენუზა 2
დიდი სამკუთხედის a, b და c გვერდებით გაყოფის შედეგად (ჰიპოტენუზა) მიიღეს სამი სამკუთხედი, ხოლო უფრო პატარა ფიგურებისთვის თავდაპირველი a და b სამკუთხედის გვერდები ჰიპოტენუსები აღმოჩნდა. ამრიგად, მსგავსი სამკუთხედების ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:
- S1 = F × c 2 არის თავდაპირველი სამკუთხედი;
- S2 = F × a 2 არის პირველი მსგავსი სამკუთხედი;
- S3 = F × b 2 არის მეორე მსგავსი სამკუთხედი.
ცხადია, დიდი სამკუთხედის ფართობი უდრის მსგავსის ფართობების ჯამს:
F × c 2 = F × a2 + F × b 2
F ფაქტორის შემცირება ადვილია. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
c 2 \u003d a 2 + b 2,
ქ.ე.დ.
პითაგორას სამეული
ფეხებისა და ჰიპოტენუსების პოპულარული თანაფარდობა, როგორც 3, 4 და 5, უკვე აღინიშნა ზემოთ. პითაგორას სამეულები არის სამი შედარებით მარტივი რიცხვის ნაკრები, რომელიც აკმაყოფილებს a 2 + b 2 \u003d c 2 პირობას. ასეთი კომბინაციების უსასრულო რაოდენობაა და მათგან პირველი გამოიყენებოდა ანტიკურ ხანაში სწორი კუთხის ასაგებად. ძაფზე გარკვეული რაოდენობის კვანძების შეკვრა და სამკუთხედის სახით დაკეცვა, ძველმა მეცნიერებმა სწორი კუთხე მიიღეს. ამისათვის, სამკუთხედის თითოეულ მხარეს იყო საჭირო კვანძების მიბმა, პითაგორას სამეულის შესაბამისი ოდენობით:
- 3, 4 და 5;
- 5, 12 და 13;
- 7, 24 და 25;
- 8, 15 და 17.
უფრო მეტიც, ნებისმიერი პითაგორას სამეული შეიძლება გაიზარდოს მთელი რიცხვით ჯერ და მიიღოს პროპორციული ურთიერთობა, რომელიც შეესაბამება პითაგორას თეორემის მდგომარეობას. მაგალითად, სამმაგი 5, 12, 13-დან შეგიძლიათ მიიღოთ 10, 24, 26 გვერდების მნიშვნელობები უბრალოდ 2-ზე გამრავლებით. დღეს პითაგორას სამეულები გამოიყენება გეომეტრიული ამოცანების სწრაფად გადასაჭრელად.
პითაგორას თეორემის გამოყენება
სამიანი მათემატიკოსის თეორემა გამოიყენება არა მხოლოდ სკოლის გეომეტრიაში. პითაგორას თეორემა პოულობს გამოყენებას არქიტექტურაში, ასტრონომიაში, ფიზიკაში, ლიტერატურაში, საინფორმაციო ტექნოლოგიებში და სოციალური ქსელების ეფექტურობის შეფასებაშიც კი. თეორემა ასევე მოქმედებს რეალურ ცხოვრებაში.
პიცის არჩევანი
პიცერიებში მომხმარებლები ხშირად აწყდებიან კითხვას: ერთი დიდი პიცა წავიღო თუ ორი პატარა? ვთქვათ, შეგიძლიათ შეიძინოთ ერთი პიცა 50 სმ დიამეტრით ან ორი პატარა პიცა 30 სმ დიამეტრით, ერთი შეხედვით ორი პატარა პიცა უფრო დიდი და მომგებიანია, მაგრამ ეს ასე არ იყო. როგორ სწრაფად შევადაროთ თქვენთვის სასურველი პიცების ფართობი?
ჩვენ გვახსოვს სამეული მათემატიკოსისა და პითაგორას სამეულების თეორემა. წრის ფართობი არის დიამეტრის კვადრატი F = pi/4 ფაქტორით. და პირველი პითაგორას სამეული არის 3, 4 და 5, რომელიც ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გადავაქციოთ სამმაგად 30, 40, 50. აქედან გამომდინარე, 50 2 = 30 2 + 40 2. ცხადია, 50 სმ დიამეტრის პიცის ფართობი მეტი იქნება 30 სმ დიამეტრის პიცების ჯამს. როგორც ჩანს, თეორემა გამოიყენება მხოლოდ გეომეტრიაში და მხოლოდ სამკუთხედებზე, მაგრამ ეს მაგალითი გვიჩვენებს, რომ კავშირი c 2 = a 2 + b 2 ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვა ფიგურების და მათი მახასიათებლების შესადარებლად.
ჩვენი ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს კვადრატების ჯამის ფუნდამენტურ განტოლებას. გამოსათვლელად საკმარისია შეიყვანოთ 2 ნებისმიერი მნიშვნელობა, რის შემდეგაც პროგრამა გამოთვლის გამოტოვებულ კოეფიციენტს. კალკულატორი მუშაობს არა მხოლოდ მთელი რიცხვებით, არამედ წილადური მნიშვნელობებით, შესაბამისად, ნებადართულია გამოთვლებისთვის ნებისმიერი რიცხვის გამოყენება და არა მხოლოდ პითაგორას სამეული.
დასკვნა
პითაგორას თეორემა არის ფუნდამენტური რამ, რომელიც ფართოდ გამოიყენება მრავალ სამეცნიერო პროგრამაში. გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ კალკულატორი იმ მნიშვნელობების სიდიდის გამოსათვლელად, რომლებიც დაკავშირებულია გამოხატულებით c 2 = a 2 + b 2 .
პითაგორას თეორემა არის გეომეტრიის ყველაზე მნიშვნელოვანი განცხადება. თეორემა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს.
ჩვეულებრივ ამ განცხადების აღმოჩენა ძველ ბერძენ ფილოსოფოს და მათემატიკოს პითაგორას (ძვ. წ. VI ს.) მიეწერება. მაგრამ ბაბილონის ლურსმული დაფებისა და ძველი ჩინური ხელნაწერების (კიდევ უფრო ძველი ხელნაწერების ასლები) შესწავლამ აჩვენა, რომ ეს განცხადება ცნობილი იყო პითაგორამდე დიდი ხნით ადრე, შესაძლოა, მას ათასწლეულით ადრე. პითაგორას დამსახურება იყო ის, რომ მან აღმოაჩინა ამ თეორემის მტკიცებულება.
ალბათ, პითაგორას თეორემაში ნათქვამი ფაქტი პირველად დადგინდა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედებზე. საკმარისია შევხედოთ ნახზე ნაჩვენები შავი და ღია სამკუთხედების მოზაიკას. 1 სამკუთხედის თეორემის მართებულობის შესამოწმებლად: ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შეიცავს 4 სამკუთხედს, ხოლო კვადრატი, რომელიც შეიცავს 2 სამკუთხედს, აგებულია თითოეულ ფეხიზე. ძველ ინდოეთში ზოგადი შემთხვევის დასამტკიცებლად მათ ორი მეთოდი ჰქონდათ: ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი სიგრძის კუთხით და გამოსახული იყო კვადრატში გვერდით (ნახ. 2, ა და 2, ბ), რის შემდეგაც მათ დაწერეს ერთი სიტყვა. "ნახე!". მართლაც, ამ ფიგურების დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ არის სამკუთხედებისგან თავისუფალი ფიგურა, რომელიც შედგება ორი კვადრატისგან გვერდებით და, შესაბამისად, მისი ფართობი ტოლია, ხოლო მარჯვნივ - კვადრატი გვერდით - მისი ფართობია. თანაბარი. აქედან გამომდინარე, , რომელიც არის პითაგორას თეორემის განცხადება.
თუმცა, ორი ათასწლეულის განმავლობაში გამოიყენებოდა არა ეს ვიზუალური მტკიცებულება, არამედ ევკლიდეს მიერ გამოგონილი უფრო რთული მტკიცებულება, რომელიც მოთავსებულია მის ცნობილ წიგნში "დასაწყისები" (იხ. ევკლიდე და მისი "დასაწყისები"), ევკლიდემ ჩამოწია სიმაღლე ჰიპოტენუზას სწორი კუთხის წვერო და დაამტკიცა, რომ მისი გაგრძელება ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატს ყოფს ორ მართკუთხედად, რომელთა ფართობები ტოლია ფეხებზე აგებული შესაბამისი კვადრატების ფართობებისა (სურ. 3). ამ თეორემის დასადასტურებლად გამოყენებულ ნახატს ხუმრობით „პითაგორას შარვლებს“ უწოდებენ. დიდი ხნის განმავლობაში იგი ითვლებოდა მათემატიკური მეცნიერების ერთ-ერთ სიმბოლოდ.
დღეს ცნობილია პითაგორას თეორემის რამდენიმე ათეული განსხვავებული მტკიცებულება. ზოგიერთი მათგანი ეფუძნება კვადრატების დანაყოფს, რომელშიც ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შედგება ფეხებზე აგებულ კვადრატების ტიხრებში შემავალი ნაწილებისგან; სხვები - თანაბარი ფიგურების დანამატზე; მესამე - იმ ფაქტზე, რომ მარჯვენა კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე დაშვებული სიმაღლე ყოფს მართკუთხა სამკუთხედს მის მსგავს ორ სამკუთხედად.
პითაგორას თეორემა ეფუძნება გეომეტრიული გამოთვლების უმეტესობას. ძველ ბაბილონშიც კი იყენებდნენ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლის გამოსათვლელად ფუძისა და გვერდის სიგრძით, სეგმენტის ისარს წრის დიამეტრითა და აკორდის სიგრძით და დაადგენდნენ ურთიერთობას. ზოგიერთი რეგულარული მრავალკუთხედის ელემენტებს შორის. პითაგორას თეორემის დახმარებით დამტკიცდა მისი განზოგადება, რაც შესაძლებელს ხდის გამოთვალოს მწვავე ან ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირე მდებარე მხარის სიგრძე:
ამ განზოგადებიდან გამომდინარეობს, რომ მართი კუთხის არსებობა არა მხოლოდ საკმარისია, არამედ აუცილებელი პირობაა თანასწორობის შესასრულებლად. ფორმულა (1) გულისხმობს კავშირს 
პარალელოგრამის დიაგონალების და გვერდების სიგრძეებს შორის, რომლითაც ადვილია სამკუთხედის შუალედის სიგრძის პოვნა მისი გვერდების სიგრძეებიდან.
პითაგორას თეორემის საფუძველზე, ასევე მიღებულია ფორმულა, რომელიც გამოხატავს ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობს მისი გვერდების სიგრძის მიხედვით (იხ. ჰერონის ფორმულა). რა თქმა უნდა, პითაგორას თეორემაც გამოიყენებოდა სხვადასხვა პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად.
მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე კვადრატების ნაცვლად შეგიძლიათ ააწყოთ ნებისმიერი ერთმანეთის მსგავსი ფორმები (ტოლგვერდა სამკუთხედები, ნახევარწრეები და ა.შ.). ამ შემთხვევაში, ჰიპოტენუზაზე აგებული ფიგურის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული ფიგურების ფართობების ჯამს. კიდევ ერთი განზოგადება დაკავშირებულია სიბრტყიდან სივრცეში გადასვლასთან. იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალის სიგრძის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს (სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე). მსგავსი თეორემა ასევე მართალია მრავალგანზომილებიან და თუნდაც უსასრულო განზომილებიან შემთხვევებში.
პითაგორას თეორემა მხოლოდ ევკლიდეს გეომეტრიაში არსებობს. მას ადგილი არ აქვს არც ლობაჩევსკის გეომეტრიაში და არც სხვა არაევკლიდურ გეომეტრიაში. არ არსებობს პითაგორას თეორემის ანალოგი სფეროზეც. ორი მერიდიანი, რომლებიც ქმნიან 90°-იან კუთხეს და ეკვატორი აკრავს სფეროზე ტოლგვერდა სფერულ სამკუთხედს, რომელთაგან სამივე მართი კუთხეა. მისთვის არა როგორც თვითმფრინავში.
პითაგორას თეორემის გამოყენებით, მანძილი წერტილებსა და კოორდინატთა სიბრტყეს შორის გამოითვლება ფორმულით
.
პითაგორას თეორემის აღმოჩენის შემდეგ გაჩნდა კითხვა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ნატურალური რიცხვების ყველა სამეული, რომელიც შეიძლება იყოს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი (იხ. ფერმას დიდი თეორემა). ისინი აღმოაჩინეს პითაგორელებმა, მაგრამ ასეთი სამეულების პოვნის ზოგიერთი ზოგადი მეთოდი ბაბილონელებმაც კი იცოდნენ. ერთ-ერთი ლურსმული ტაბლეტი შეიცავს 15 სამეულს. მათ შორის არის სამეული, რომელიც შედგება ისეთი დიდი რაოდენობით, რომ შერჩევით მათ პოვნაზე საუბარი არ შეიძლება.
ჰიპოკრატე ჯოჯოხეთი
ჰიპოკრატეს ხვრელები არის ფიგურები, რომლებიც შემოსაზღვრულია ორი წრის რკალებით და, უფრო მეტიც, ისეთი, რომ ამ წრეების საერთო აკორდის რადიუსის და სიგრძის გამოყენებით, კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით, შეგიძლიათ ააგოთ მათ თანაბარი ზომის კვადრატები.
პითაგორას თეორემის ნახევარწრეების განზოგადებადან გამომდინარეობს, რომ მარცხნივ ფიგურაში ნაჩვენები ვარდისფერი ხვრელების ფართობების ჯამი უდრის ლურჯი სამკუთხედის ფართობს. ამიტომ, თუ ავიღებთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედს, მაშინ მივიღებთ ორ ხვრელს, რომელთაგან თითოეულის ფართობი ტოლი იქნება სამკუთხედის ფართობის ნახევარი. წრის კვადრატის ამოცანის ამოხსნისას (იხ. ანტიკურობის კლასიკური ამოცანები), ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ჰიპოკრატემ (ძვ. წ. V ს.) აღმოაჩინა კიდევ რამდენიმე ხვრელი, რომელთა არეები გამოიხატება სწორხაზოვანი ფიგურების ფართობებით.
ჰიპომარგინალური ხვრელების სრული სია მხოლოდ მე-19-20 საუკუნეებში იქნა მიღებული. გალუას თეორიის მეთოდების გამოყენებით.
