ლექცია 6

მატრიცები

6.1. Ძირითადი ცნებები

განმარტება 1.მატრიცა არის რიცხვების მართკუთხა ცხრილი.

ფრჩხილები ან ორმაგი ვერტიკალური ხაზები გამოიყენება მატრიცის აღსანიშნავად:

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან მატრიცას, მისი ეწოდება ელემენტები, ელემენტი მატრიცები მდებარეობს მასში -მე ხაზი და - ე სვეტი.

ნომრები და (მატრიცის სტრიქონებისა და სვეტების რაოდენობას) მის ბრძანებებს უწოდებენ.

ამასაც ამბობენ - მატრიცის ზომა
.

Თუ
, მატრიცა დაურეკა კვადრატი.

მოკლე აღნიშვნებისთვის ასევე გამოიყენება აღნიშვნა
(ან
) და მერე მითითებულია, რამდენად და , Მაგალითად,
,
,
. (ჩანაწერი ასე იკითხება: მატრიცა ელემენტებით ,იცვლება ადრე ,-დან ადრე .)

კვადრატულ მატრიცებს შორის აღვნიშნავთ დიაგონალური მატრიცები, რომლისთვისაც ყველა ელემენტი არათანაბარი ინდექსით (
) ნულის ტოლია:

.

ჩვენ ვიტყვით, რომ ელემენტები
მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე.

დიაგონალური ხედვის მატრიცა

დაურეკა მარტოხელამატრიცა.

შემდეგში იქნება ფორმის მატრიცები

და
,

რომლებიც ე.წ სამკუთხამატრიცები, ასევე მატრიცები, რომლებიც შედგება ერთი სვეტისგან:

და ერთი ხაზი:

(მატრიცა-სვეტი და მატრიცა-სტრიქონი).

ეწოდება მატრიცას, რომელშიც ყველა ელემენტი ნულის ტოლია null.

6.2. რიგის განმსაზღვრელი ნ

მოდით კვადრატული მატრიცა წესრიგის :

. (6.1)

მოდით შევქმნათ ყველანაირი ნივთი მატრიცის ელემენტები, რომლებიც განლაგებულია სხვადასხვა მწკრივში და სხვადასხვა სვეტში, ე.ი. ფორმის პროდუქტები

. (6.2)

ფორმის პროდუქციის რაოდენობა (6.2) არის (ამ ფაქტს მტკიცების გარეშე ვიღებთ).

ჩვენ განვიხილავთ ყველა ამ პროდუქტს შეკვეთის განმსაზღვრელ წევრად მატრიცის შესაბამისი (6.1).

(6.2) ფაქტორების მეორე ინდექსები წარმოადგენს პირველის პერმუტაციას ნატურალური რიცხვები
.

ციფრებს ამბობენ და პერმუტაციაში არიან ინვერსია, თუ
და პერმუტაციაში ადრე მდებარეობდა .

მაგალითი 1ექვსი რიცხვის გადანაცვლებაში,
, ნომრები და ,და ,და ,და ,და ქმნიან ინვერსიებს.

პერმუტაცია ეწოდება თუნდაც, თუ მასში ინვერსიების რაოდენობა ლუწია და კენტითუ მასში ინვერსიების რაოდენობა კენტია.

მაგალითი 2პერმუტაცია
- კენტი და პერმუტაცია
- თუნდაც ( ინვერსიები).

განმარტება 2.წესრიგის განმსაზღვრელი ,მატრიცის შესაბამისი(6.1), ეწოდება ალგებრული ჯამი წევრები,შედგენილია შემდეგნაირად:განმსაზღვრელი პირობები ყველა შესაძლო პროდუქტია მატრიცის ელემენტები,აღებულია ერთი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან,სადაც ტერმინი აღებულია ნიშანთან ერთად"+",თუ მეორე ინდექსების სიმრავლე არის რიცხვების ლუწი პერმუტაცია
,და ნიშნით"–",თუ კენტი.

მატრიცის განმსაზღვრელი (6.1) აღინიშნება შემდეგნაირად:

.

კომენტარი. განმარტება 2 ამისთვის
და
მივყავართ უკვე ნაცნობ მე-2 და მე-3 რიგის დეტერმინანტებამდე:

,

ტრანსპოზიციამატრიცის მთავარი დიაგონალის გარშემო ეწოდება მატრიცაზე გადასვლა
, რისთვისაც მატრიცის რიგები არის სვეტები და სვეტები არის რიგები:

.

ჩვენ ვიტყვით, რომ განმსაზღვრელი
მიღებული დეტერმინანტის ტრანსპოზირებით .

რიგის განმსაზღვრელი n თვისებები:

1.
(მთავარი დიაგონალის გარშემო გადატანისას განმსაზღვრელი არ იცვლება).

2. თუ დეტერმინანტის ერთ-ერთი მწკრივი შედგება ნულებისაგან, განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

3. ორი სტრიქონის პერმუტაციიდან განმსაზღვრელი ცვლის მხოლოდ ნიშანს.

4. ორი იდენტური სტრიქონის შემცველი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

5. თუ დეტერმინანტის რომელიმე მწკრივის ყველა ელემენტი გამრავლებულია რიცხვზე , განმსაზღვრელი მრავლდება .

6. ორი პროპორციული მწკრივის შემცველი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

7. თუ ყველა ელემენტი - განმსაზღვრელი მწკრივი წარმოდგენილია ჯამის სახით
, მაშინ განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელი ჯამის, რომლის გარდა ყველა მწკრივი -ე, იგივეა რაც თავდაპირველ განმსაზღვრელში და -ერთ განმსაზღვრელში რიგითი შედგება , ხოლო მეორეში - დან .

განმარტება 3.- განმსაზღვრელი მწკრივი ეწოდება მისი დარჩენილი მწკრივების წრფივ კომბინაციას,თუ ასეთი,რომ გამრავლებით -მე ხაზი ,და შემდეგ ყველა ხაზის დამატება,გარდა ამისა ე,ვიღებთ -მე ხაზი.

8. თუ დეტერმინანტის ერთ-ერთი მწკრივი მისი დანარჩენი მწკრივების წრფივი კომბინაციაა, განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

9. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ მისი ერთ-ერთი მწკრივის ელემენტებს დაემატება მეორის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

კომენტარი. ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ სტრიქონების განმსაზღვრელი თვისებები. ქონების გამო 1 (
) ისინი ასევე მოქმედებს სვეტებისთვის.

ყველა ზემოაღნიშნული თვისება დადასტურებულია პრაქტიკულ კლასებში
; თვითნებობისთვის მიიღეთ ისინი მტკიცებულების გარეშე.

თუ განმსაზღვრელში შეკვეთა ელემენტის არჩევა და გადაკვეთეთ სვეტი და მწკრივი, რომლის გადაკვეთაზეც მდებარეობს , დარჩენილი რიგები და სვეტები ქმნიან წესრიგის განმსაზღვრელს
, რომელსაც ქვია მცირეწლოვანიგანმსაზღვრელი ელემენტის შესაბამისი .

მაგალითი 3განმსაზღვრელში

უმნიშვნელო ელემენტი
არის განმსაზღვრელი
.

განმარტება 4.ალგებრული დამატება ელემენტი განმსაზღვრელი დაურეკა თავის არასრულწლოვანს,გამრავლებული
,სადაც - ხაზის ნომერი, - სვეტის ნომერი,რომელშიც არჩეული ელემენტი მდებარეობს .

მაგალითი 4განმსაზღვრელში

ალგებრული დამატება
.

თეორემა 1 (სტრიქონის გაფართოებაზე).განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის ყველა ელემენტისა და მათი ალგებრული კომპლიმენტების ნამრავლების ჯამს.

თეორემა 1 საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ რიგის დეტერმინანტის გამოთვლა გაანგარიშებამდე რიგის განმსაზღვრელი
.

მაგალითი 5. გამოთვალეთ მეოთხე რიგის განმსაზღვრელი:

.

გამოვიყენოთ თეორემა 1 და გავაფართოვოთ დეტერმინანტი მე-4 ხაზზე:

კომენტარი. შეიძლება ჯერ განმსაზღვრელი გავამარტივოთ თვისება 9-ის გამოყენებით, შემდეგ კი გამოიყენოთ თეორემა 1. შემდეგ წესრიგის დეტერმინანტის გამოთვლა. ამცირებს გამოთვლას მხოლოდ ერთირიგის განმსაზღვრელი
.

მაგალითი 6გამოთვალეთ

.

დავუმატოთ პირველი სვეტი მეორეს და პირველი სვეტი გამრავლებული ((
), მესამემდე, შედეგად ვიღებთ

.

ახლა ჩვენ ვიყენებთ თეორემა 1-ს და ვაფართოვებთ ბოლო ხაზს:

,

მე-4 რიგის დეტერმინანტის გაანგარიშება შემცირდა მხოლოდ ერთი მე-3 რიგის განმსაზღვრელზე.

,

მესამე რიგის დეტერმინანტის გაანგარიშება შემცირდა მხოლოდ ერთი მეორე რიგის განმსაზღვრელზე.

მაგალითი 7გამოთვალეთ რიგის განმსაზღვრელი :

.

პირველ ხაზს ვამატებთ მეორეს, მესამეს და ა.შ. -მე ხაზი. მოდი განმსაზღვრელზე

.

მიიღება სამკუთხა განმსაზღვრელი.

გამოიყენება
ჯერ თეორემა 1 (გაფართოვდით პირველ სვეტში) და მიიღეთ

.

კომენტარი. სამკუთხა განმსაზღვრელი უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

6.3. ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე

განმარტება 5.ორი მატრიცა
,
,
,და
,
,
,ტოლი დაერქმევა თუ
.

მოკლე ჩანაწერი:
.

ამრიგად, ორი მატრიცა ითვლება ტოლად, თუ მათ აქვთ იგივე ბრძანებები და მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია.

განმარტება 6.ორი მატრიცის ჯამი
,
,
,და
,
,
,ასეთ მატრიცას ე.წ
,
,
,რა
.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შესაძლებელია მხოლოდ ერთი და იგივე რიგის მატრიცების დამატება და დამატება ხდება ელემენტად.

მაგალითი 8იპოვეთ მატრიცების ჯამი

და
.

მე-6 განმარტების შესაბამისად, ჩვენ ვპოულობთ

.

მატრიცის დამატების წესი ვრცელდება ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ტერმინების ჯამზე.

განმარტება 7.მატრიცული პროდუქტი
,
,
,რეალურ რიცხვამდე ასეთ მატრიცას ე.წ
,
,
,რისთვისაც
.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მატრიცის რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი ყველა ელემენტი ამ რიცხვზე და დატოვოთ მიღებული პროდუქტები თავდაპირველ ადგილებში.

მაგალითი 9იპოვნეთ ხაზოვანი კომბინაცია
მატრიცები

და
.

განმარტება 7-ის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ

,
,

.

მატრიცის მიმატების ოპერაციების თვისებები

და გამრავლება რიცხვზე:

1. დამატება არის შემცვლელი:
.

2. დამატება ასოციაციურია:.

3. არსებობს ნულოვანი მატრიცა
, აკმაყოფილებს პირობას
ყველასთვის მაგრამ.

4. ნებისმიერი მატრიცისთვის მაგრამარსებობს საპირისპირო მატრიცა AT, აკმაყოფილებს პირობას
.

ნებისმიერი მატრიცისთვის მაგრამდა ATდა ნებისმიერი რეალური რიცხვი
თანასწორობა ხდება:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

შეამოწმეთ თვისება 1. აღნიშნეთ
,
. დაე იყოს
,

,
. Ჩვენ გვაქვს

და ვინაიდან თანასწორობა დადასტურებულია თვითნებური ელემენტისთვის, მე-5 განმარტების შესაბამისად
. თვისება 1 დადასტურებულია.

თვისება 2 დადასტურებულია ანალოგიურად.

როგორც მატრიცა მიიღეთ შეკვეთის მატრიცა
, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

დაკეცილი ნებისმიერი მატრიცით მე-6 განმარტებაში მოცემული წესის მიხედვით გვაქვს მატრიცა არ შეიცვალოს და თვისება 3 მართალია.

შევამოწმოთ ქონება 4. მოდით
. დავსვათ
. მერე
, შესაბამისად თვისება 4 არის ჭეშმარიტი.

ჩვენ გამოვტოვებთ თვისებების შემოწმებას 5 - 8.

განმარტება 8.მატრიცული პროდუქტი
,
,
,მატრიცამდე
,
,
,მატრიცას უწოდებენ
,
,
,ელემენტებით
.

მოკლე ჩანაწერი:
.

მაგალითი 10იპოვნეთ მატრიცების ნამრავლი

და
.

მე-8 განმარტების შესაბამისად, ჩვენ ვპოულობთ

მაგალითი 11.მატრიცების გამრავლება

და
.

შენიშვნა 1. ელემენტების რაოდენობა მატრიცის მწკრივში უდრის ელემენტების რაოდენობას მატრიცის სვეტში (მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიცის რიგების რაოდენობას ).

შენიშვნა 2. მატრიცაში
იმდენი მწკრივი, რამდენიც მატრიცაში , და არის იმდენი სვეტი, რამდენიც .

შენიშვნა 3. Ზოგადად,
(მატრიცის გამრავლება არაკომუტაციურია).

მე-3 შენიშვნის გასამართლებლად საკმარისია ერთი მაგალითის მაინც მოყვანა.

მაგალითი 12.გამრავლება მატრიცების საპირისპირო თანმიმდევრობით და მაგალითიდან 10.

ისე ზოგადად
.

გაითვალისწინეთ, რომ კონკრეტულ შემთხვევაში თანასწორობა
შესაძლოა.

მატრიცები და , რისთვისაც თანასწორობა
, უწოდებენ პერმუტაცია,ან მგზავრობა.

Სავარჯიშოები.

1. იპოვეთ ყველა მატრიცა, რომელიც მოძრაობს მოცემულთან:

ა)
; ბ)
.

2. იპოვეთ მეორე რიგის ყველა მატრიცა, რომელთა კვადრატები ნულოვანი მატრიცის ტოლია.

3. დაამტკიცე რომ
.

მატრიცის გამრავლების თვისებები:

გამრავლება არის გამანაწილებელი.

მეორე რიგი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ძირითადი დიაგონალის შემქმნელი რიცხვების ნამრავლსა და მეორად დიაგონალზე რიცხვების ნამრავლს შორის, შეგიძლიათ იპოვოთ განმსაზღვრელი შემდეგი აღნიშვნები: ; ; ; detA(განმსაზღვრელი).

.

მაგალითი:
.

მესამე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელირიცხვი ან მათემატიკური გამოთქმა ეწოდება, გამოითვლება შემდეგი წესით

მესამე რიგის დეტერმინანტის გამოსათვლელად უმარტივესი გზაა პირველი ორი მწკრივის ქვემოდან განმსაზღვრელი დამატება.

ჩამოყალიბებულ რიცხვთა ცხრილში მთავარ დიაგონალზე და მთავარის პარალელურ დიაგონალებზე მდგომი ელემენტები მრავლდება, ნამრავლის შედეგის ნიშანი არ იცვლება. გამოთვლების შემდეგი ეტაპი არის ელემენტების მსგავსი გამრავლება მეორად დიაგონალზე და მის პარალელურებზე. პროდუქტის შედეგების ნიშნები საპირისპიროა. შემდეგ დაამატეთ მიღებული ექვსი ტერმინი.

მაგალითი:

დეტერმინანტის დაშლა რომელიმე რიგის (სვეტის) ელემენტებით.

მცირეწლოვანი მ იჯელემენტი და იჯკვადრატული მატრიცა მაგრამდეტერმინანტს უწოდებენ, რომელიც შედგება მატრიცის ელემენტებისაგან მაგრამ, დარჩენილი წაშლის შემდეგ მე-ოჰ ხაზი და ჯ- ე სვეტი.

მაგალითად, ელემენტის უმნიშვნელო a 21მესამე რიგის მატრიცები
იქნება განმსაზღვრელი
.

ჩვენ ვიტყვით, რომ ელემენტი და იჯთანაბარ პოზიციას იკავებს თუ მე+ჯ(მწკრივისა და სვეტის ნომრების ჯამი, რომლის გადაკვეთაზეც ეს ელემენტი მდებარეობს) - ლუწი რიცხვი, კენტი ადგილი, თუ მე+ჯ- კენტი რიცხვი.

ალგებრული დამატება და იჯელემენტი და იჯკვადრატული მატრიცა მაგრამგამოხატვას უწოდებენ (ან შესაბამისი მინორის მნიშვნელობა, აღებული "+" ნიშნით, თუ მატრიცის ელემენტს ლუწი ადგილი უკავია და "-" ნიშნით, თუ ელემენტს კენტი ადგილი უკავია).

მაგალითი:

a 23= 4;

- ელემენტის ალგებრული დანამატი a 22= 1.

ლაპლასის თეორემა. განმსაზღვრელი უდრის რომელიღაც მწკრივის (სვეტის) ელემენტებისა და მათი შესაბამისი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს.

მოდით ილუსტრირებას მესამე რიგის განმსაზღვრელი მაგალითით მოვიყვანთ. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი პირველ რიგში შემდეგნაირად გაფართოებით

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი ნებისმიერი მწკრივის ან სვეტის გაფართოებით. მოსახერხებელია განმსაზღვრელი გაფართოვდეს მწკრივის (ან სვეტის) გასწვრივ, რომელიც შეიცავს მეტ ნულს.

მაგალითი:

ამრიგად, მე-3 რიგის განმსაზღვრელი კალკულაცია მცირდება 3 მეორე რიგის განმსაზღვრელ გამოთვლამდე. ზოგადად, შეიძლება გამოვთვალოთ კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი ნ-მეორე შეკვეთა, მისი შემცირება გამოთვლამდე ნგანმსაზღვრელი ( n-1) რიგით

კომენტარი.არ არსებობს უფრო მაღალი რიგის დეტერმინანტების გამოსათვლელი მარტივი გზები, მე-2 და მე-3 რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდების მსგავსი. აქედან გამომდინარე, მხოლოდ დაშლის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მესამე რიგის ზემოთ განმსაზღვრელი დეტერმინანტების გამოსათვლელად.

მაგალითი. გამოთვალეთ მეოთხე რიგის განმსაზღვრელი.

გააფართოვეთ განმსაზღვრელი მესამე რიგის ელემენტებით

დეტერმინანტების თვისებები:

1. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ მისი რიგები ჩანაცვლდება სვეტებით და პირიქით.

2. ორი მიმდებარე მწკრივის (სვეტის) გადატანისას განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს საპირისპიროდ.

3. ორი იდენტური მწკრივით (სვეტით) განმსაზღვრელი არის 0.

4. დეტერმინანტის რომელიმე რიგის (სვეტის) ყველა ელემენტის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

5. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ რომელიმე სხვა სვეტის (მწკრივის) შესაბამისი ელემენტები გამრავლებული გარკვეულ რიცხვზე დაემატება მისი ერთ-ერთი სვეტის (მწკრივის) ელემენტებს.

მეოთხე და უმაღლესი რიგის განმსაზღვრელიშესაძლებელია გამოთვლა გამარტივებული სქემების მიხედვით, რომლებიც შედგება მწკრივების ან სვეტების ელემენტებით გაფართოებაში ან სამკუთხა ფორმამდე შემცირებაში. ორივე მეთოდი განიხილება სიცხადისთვის. მე-4 რიგის მატრიცები.

მწკრივის ან სვეტის დაშლის მეთოდი

ჩვენ განვიხილავთ პირველ მაგალითს ყველა შუალედური მოქმედების დეტალური ახსნით.

მაგალითი 1 გამოთვალეთ დეტერმინანტი გაფართოების მეთოდით.

გადაწყვეტილება. გამოთვლების გასამარტივებლად ვაფართოვებთ მეოთხე რიგის განმსაზღვრელს პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით (შეიცავს ნულოვან ელემენტს). ისინი წარმოიქმნება ელემენტების გამრავლებით მათი შესაბამისი დანამატებით (სტრიქონების და სვეტების წაშლა იქმნება იმ ელემენტის კვეთაზე, რომლისთვისაც ისინი გამოითვლება - ხაზგასმულია წითლად)

შედეგად, გამოთვლები დაიყვანება სამი მესამე რიგის განმსაზღვრელზე, რომლებსაც ვპოულობთ სამკუთხედების წესით.

ნაპოვნი მნიშვნელობები ჩანაცვლებულია გამომავალი განმსაზღვრელი

შედეგის შემოწმება მარტივია მატრიცის კალკულატორით YukhymCALC. ამისათვის აირჩიეთ Matrix-Matrix Determinant პუნქტი კალკულატორში, დააყენეთ მატრიცის ზომა 4 * 4.

შედეგები იგივეა, ამიტომ გამოთვლები სწორია.

მაგალითი 2 გამოთვალეთ მეოთხე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი.

როგორც წინა ამოცანაში, გამოთვლებს განვახორციელებთ დაშლის მეთოდით. ამისათვის აირჩიეთ პირველი სვეტის ელემენტები. გამარტივებული, განმსაზღვრელი შეიძლება მიცემული იყოს ოთხი მესამე რიგის განმსაზღვრელი სახით.

გამოთვლები არც თუ ისე რთულია, მთავარია არ ავურიოთ ნიშნები და სამკუთხედები. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობებს მთავარ განმსაზღვრელში და ვაჯამებთ

იგი უდრის რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ელემენტების და მათი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს, ე.ი. , სადაც i 0 ფიქსირდება.
გამოსახულებას (*) ეწოდება D დეტერმინანტის დაშლა i 0 რიცხვით მწკრივის ელემენტების მიხედვით.

სამსახურის დავალება. ეს სერვისი შექმნილია იმისთვის, რომ იპოვოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ონლაინ რეჟიმში მთელი ამოხსნის Word ფორმატში შესრულებით. გარდა ამისა, Excel-ში იქმნება გადაწყვეტის შაბლონი.

ინსტრუქცია. აირჩიეთ მატრიცის განზომილება, დააჭირეთ შემდეგი.

მატრიცის განზომილება 2 3 4 5 6 7 8 9 10

დეტერმინანტის გამოსათვლელად ორი გზა არსებობს: ა-პრიორიტეტიდა დაშლა მწკრივის ან სვეტის მიხედვით. თუ გსურთ იპოვოთ განმსაზღვრელი ერთ-ერთ მწკრივში ან სვეტში ნულების შექმნით, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს კალკულატორი.

დეტერმინანტის პოვნის ალგორითმი

1. n=2 რიგის მატრიცებისთვის დეტერმინანტი გამოითვლება ფორმულით: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. n=3 რიგის მატრიცებისთვის დეტერმინანტი გამოითვლება ალგებრული მიმატებების ან სარრუსის მეთოდი.
3. სამზე მეტი განზომილების მატრიცა იშლება ალგებრულ დანამატებად, რისთვისაც გამოითვლება მათი დეტერმინანტები (მინორები). Მაგალითად, მე-4 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელიგვხვდება რიგებში ან სვეტებში გაფართოების გზით (იხ. მაგალითი).

მატრიცაში დეტერმინანტის შემცველი ფუნქციების გამოსათვლელად გამოიყენება სტანდარტული მეთოდები. მაგალითად, გამოთვალეთ მე-3 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი:

მოდით გამოვიყენოთ პირველი ხაზის გაფართოება.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები

დეტერმინანტის პოვნა ალგებრული მიმატებების საშუალებითგავრცელებული მეთოდია. მისი გამარტივებული ვერსია არის დეტერმინანტის გამოთვლა სარრუს წესით. თუმცა, დიდი მატრიცის განზომილებით, გამოიყენება შემდეგი მეთოდები:

1. დეტერმინანტის გაანგარიშება შეკვეთის შემცირებით
2. დეტერმინანტის გაანგარიშება გაუსის მეთოდით (მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე შემცირებით).

Excel-ში დეტერმინანტის გამოსათვლელად გამოიყენება ფუნქცია = MOPRED (უჯრედების დიაპაზონი).

დეტერმინანტების გამოყენებითი გამოყენება

დეტერმინანტები გამოითვლება, როგორც წესი, კონკრეტული სისტემისთვის, რომელიც მოცემულია კვადრატული მატრიცის სახით. განვიხილოთ რამდენიმე სახის დავალება მატრიცის დეტერმინანტის პოვნა. ზოგჯერ საჭიროა უცნობი პარამეტრის პოვნა a, რომლის განმსაზღვრელი იქნება ნულის ტოლი. ამისათვის აუცილებელია განტოლების შედგენა დეტერმინანტისთვის (მაგალითად, მიხედვით სამკუთხედის წესი) და 0-ის ტოლფასი, გამოთვალეთ პარამეტრი a.
დაშლა სვეტების მიხედვით (პირველი სვეტით):
მცირე (1,1): წაშალეთ პირველი მწკრივი და პირველი სვეტი მატრიციდან.
მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

ჩვენ განვსაზღვრავთ მინორს (2,1): ამისათვის ჩვენ ვშლით მეორე სტრიქონს და პირველ სვეტს მატრიციდან.

მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . მცირე (3,1): წაშალეთ მე-3 მწკრივი და 1 სვეტი მატრიციდან.
მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
მთავარი განმსაზღვრელია: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი რიგების მიხედვით გაფართოების გამოყენებით (პირველი მწკრივით):
მცირე (1,1): წაშალეთ პირველი მწკრივი და პირველი სვეტი მატრიციდან.

მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. მინორი (1,2): წაშალეთ 1-ლი მწკრივი და მე-2 სვეტი მატრიციდან. მოდით გამოვთვალოთ ამ მინორის განმსაზღვრელი. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. და (1,3) მინორის საპოვნელად ჩვენ ვშლით პირველ სტრიქონს და მესამე სვეტს მატრიციდან. მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 1.3 = (3 2-1 2) = 4
ჩვენ ვპოულობთ მთავარ განმსაზღვრელს: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

დეტერმინანტის ცნება ერთ-ერთი მთავარია წრფივი ალგებრის მსვლელობაში. ეს კონცეფცია თანდაყოლილია ONLY SQUARE MATRIXES-ში და ეს სტატია ეძღვნება ამ კონცეფციას. აქ ვისაუბრებთ მატრიცების დეტერმინანტებზე, რომელთა ელემენტები რეალური (ან რთული) რიცხვებია. ამ შემთხვევაში, განმსაზღვრელი არის რეალური (ან რთული) რიცხვი. ყველა შემდგომი პრეზენტაცია იქნება პასუხი კითხვებზე, როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი და რა თვისებები აქვს მას.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ n-ის რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის განმარტებას, როგორც მატრიცის ელემენტების პერმუტაციების ნამრავლების ჯამს. ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარე, ვწერთ ფორმულებს პირველი, მეორე და მესამე რიგის მატრიცების განმსაზღვრელთა გამოსათვლელად და დეტალურად ვაანალიზებთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნებს.

შემდეგ მივმართავთ დეტერმინანტის თვისებებს, რომლებსაც მტკიცების გარეშე ჩამოვაყალიბებთ თეორემების სახით. აქ, დეტერმინანტის გამოთვლის მეთოდი მიიღება მწკრივის ან სვეტის ელემენტებზე მისი გაფართოების გზით. ეს მეთოდი ამცირებს n რიგის მატრიცის განმსაზღვრელთა გამოთვლას n-ით მე-3 რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლამდე 3-ით ან ნაკლებით. დარწმუნდით, რომ აჩვენეთ გადაწყვეტილებები რამდენიმე მაგალითისთვის.

დასასრულს, მოდით ვისაუბროთ დეტერმინანტის გაანგარიშებაზე გაუსის მეთოდით. ეს მეთოდი კარგია 3-ზე 3-ზე მეტი რიგის მატრიცების დეტერმინანტების მნიშვნელობების საპოვნელად, რადგან ის ნაკლებ გამოთვლით ძალისხმევას მოითხოვს. ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ მაგალითების ამოხსნას.

გვერდის ნავიგაცია.

მატრიცის დეტერმინანტის განმარტება, მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშება განმარტებით.

ჩვენ გავიხსენებთ რამდენიმე დამხმარე კონცეფციას.

განმარტება.

ბრძანების პერმუტაცია nეწოდება რიცხვთა მოწესრიგებული სიმრავლე, რომელიც შედგება n ელემენტისგან.

n ელემენტის შემცველი ნაკრებისთვის არის n! (n ფაქტორიალი) n რიგის პერმუტაციების. პერმუტაციები ერთმანეთისგან განსხვავდება მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით.

მაგალითად, განვიხილოთ ნაკრები, რომელიც შედგება სამი რიცხვისგან: . ჩვენ ვწერთ ყველა პერმუტაციას (სულ ექვსია, მას შემდეგ ):

განმარტება.

ინვერსია n რიგის პერმუტაციაში p და q ინდექსების ნებისმიერ წყვილს ეწოდება, რომლისთვისაც პერმუტაციის p-ე ელემენტი მეტია q-th-ზე.

წინა მაგალითში 4 , 9 , 7 პერმუტაციის ინვერსია არის p=2 , q=3 , რადგან პერმუტაციის მეორე ელემენტი არის 9 და მეტია მესამე ელემენტზე, რომელიც არის 7 . 9 , 7 , 4 პერმუტაციის შებრუნებული იქნება სამი წყვილი: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) და p=2, q=3 (7>4).

ჩვენ უფრო მეტად გვაინტერესებს პერმუტაციის ინვერსიების რაოდენობა, ვიდრე თავად ინვერსია.

მოდით იყოს კვადრატული მატრიცა n-ით n-ის რიგით რეალური (ან რთული) რიცხვების ველზე. მოდით იყოს სიმრავლის n რიგის ყველა პერმუტაციის სიმრავლე. ნაკრები შეიცავს n! პერმუტაციები. სიმრავლის kth პერმუტაცია ავღნიშნოთ როგორც , ხოლო ინვერსიების რაოდენობა kth პერმუტაციაში როგორც .

განმარტება.

მატრიცის განმსაზღვრელიდა არის რიცხვი ტოლი .

მოდით აღვწეროთ ეს ფორმულა სიტყვებით. n-ის რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი არის n-ის შემცველი ჯამი! ვადები. თითოეული წევრი არის მატრიცის n ელემენტის ნამრავლი და თითოეული პროდუქტი შეიცავს ელემენტს A მატრიცის თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან. კოეფიციენტი (-1) ჩნდება kth წევრამდე, თუ ნამრავლში A მატრიცის ელემენტები დალაგებულია მწკრივის ნომრით, ხოლო ინვერსიების რაოდენობა სვეტების რიცხვთა სიმრავლის kth პერმუტაციაში კენტია.

A მატრიცის განმსაზღვრელი ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც , და ასევე გამოიყენება det(A). ისიც გესმის, რომ განმსაზღვრელს დეტერმინანტი ჰქვია.

Ისე, .

ეს აჩვენებს, რომ პირველი რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის ამ მატრიცის ელემენტი.

მეორე რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა - ფორმულა და მაგალითი.

ზოგადად 2-ზე 2-ზე.

ამ შემთხვევაში n=2, შესაბამისად n!=2!=2.

.

Ჩვენ გვაქვს

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა 2-დან 2-ზე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, მას აქვს ფორმა .

მაგალითი.

შეკვეთა.

გადაწყვეტილება.

ჩვენს მაგალითში. ჩვენ ვიყენებთ მიღებულ ფორმულას :

მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა - ფორმულა და მაგალითი.

ვიპოვოთ კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 3 3-ზე ზოგადად.

ამ შემთხვევაში n=3 , შესაბამისად n!=3!=6 .

ცხრილის სახით მოვაწყოთ ფორმულის გამოსაყენებლად საჭირო მონაცემები .

Ჩვენ გვაქვს

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა 3-დან 3-ზე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, მას აქვს ფორმა

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულები 4-ზე 4-ზე, 5-ზე 5-ზე და უფრო მაღალი რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოსათვლელად. ისინი ძალიან მოცულობით გამოიყურებიან.

მაგალითი.

გამოთვალეთ კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 3-ზე 3.

გადაწყვეტილება.

ჩვენს მაგალითში

ჩვენ ვიყენებთ მიღებულ ფორმულას მესამე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად:

ძალიან ხშირად გამოიყენება მეორე და მესამე რიგის კვადრატული მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლის ფორმულები, ამიტომ გირჩევთ დაიმახსოვროთ ისინი.

მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებები, მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა თვისებების გამოყენებით.

ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარე, შემდეგი სიმართლეა. მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებები.

A მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია ტრანსპონირებული მატრიცის A T განმსაზღვრელი, ანუ.

მაგალითი.

დარწმუნდით, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ტრანსპონირებული მატრიცის დეტერმინანტს.

გადაწყვეტილება.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა 3-ზე 3-ზე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად:



ჩვენ გადავიტანთ A მატრიცას:


გამოთვალეთ ტრანსპონირებული მატრიცის განმსაზღვრელი:



მართლაც, ტრანსპონირებული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელს.

თუ კვადრატულ მატრიცაში ერთ-ერთი მწკრივის (ერთ-ერთი სვეტის) ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მაგალითი.

შეამოწმეთ მატრიცის განმსაზღვრელი შეკვეთა 3-ზე 3 არის ნული.

გადაწყვეტილება.




მართლაც, ნულოვანი სვეტის მქონე მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

თუ კვადრატულ მატრიცაში შეცვლით ნებისმიერ ორ რიგს (სვეტს), მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი იქნება ორიგინალის საპირისპირო (ანუ, ნიშანი შეიცვლება).

მაგალითი.

მოცემულია 3-დან 3 რიგის ორი კვადრატული მატრიცა და . აჩვენეთ, რომ მათი განმსაზღვრელი საპირისპიროა.

გადაწყვეტილება.

მატრიცა B მიიღება მატრიციდან A-დან მესამე რიგის პირველით, ხოლო პირველის მესამეთ შეცვლით. განხილული თვისების მიხედვით, ასეთი მატრიცების დეტერმინანტები უნდა განსხვავდებოდეს ნიშნით. მოდით შევამოწმოთ ეს დეტერმინანტების გამოთვლით ცნობილი ფორმულის გამოყენებით.



ნამდვილად,.

თუ მინიმუმ ორი მწკრივი (ორი სვეტი) ერთნაირია კვადრატულ მატრიცაში, მაშინ მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მაგალითი.

აჩვენეთ, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ნულს.

გადაწყვეტილება.

ამ მატრიცაში მეორე და მესამე სვეტები ერთნაირია, ამიტომ, განხილული თვისების მიხედვით, მისი განმსაზღვრელი უნდა იყოს ნულის ტოლი. მოდით შევამოწმოთ.



სინამდვილეში, ორი იდენტური სვეტის მქონე მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

თუ კვადრატულ მატრიცაში ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი გამრავლებულია k რიცხვით, მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება საწყისი მატრიცის განმსაზღვრელი, გამრავლებული k-ზე. Მაგალითად,



მაგალითი.

დაამტკიცეთ, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მატრიცის დეტერმინანტს სამჯერ .

გადაწყვეტილება.

B მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტები მიიღება A მატრიცის პირველი სვეტის შესაბამისი ელემენტებიდან 3-ზე გამრავლებით. მაშინ, განხილული ქონების ძალით, უნდა იყოს თანასწორობა. შევამოწმოთ ეს A და B მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლით.



ამიტომ, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ.

ნუ აურიეთ და არ აურიოთ მატრიცისა და დეტერმინანტის ცნებები! მატრიცის განმსაზღვრელი თვისება და მატრიცის რიცხვზე გამრავლების ოპერაცია შორს არის ერთი და იგივესგან.
, მაგრამ .

თუ კვადრატული მატრიცის რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი არის s წევრთა ჯამი (s არის ბუნებრივი რიცხვი ერთზე მეტი), მაშინ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება მიღებული მატრიცების s განმსაზღვრელთა ჯამისა. ორიგინალიდან, თუ მწკრივის (სვეტის) ელემენტებად დატოვეთ თითო ტერმინი. Მაგალითად,


მაგალითი.

დაამტკიცეთ, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მატრიცების განმსაზღვრელთა ჯამს .

გადაწყვეტილება.

ჩვენს მაგალითში მაშასადამე, მატრიცის დეტერმინანტის განხილული თვისების გამო, თანასწორობა . ჩვენ ვამოწმებთ მას 2-დან 2-ის რიგის მატრიცების შესაბამისი დეტერმინანტების გამოთვლით ფორმულის გამოყენებით .


მიღებული შედეგებიდან ჩანს, რომ . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

თუ მატრიცის გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ელემენტებს დავამატებთ სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, რომლებიც გამრავლებულია თვითნებური რიცხვით k-ზე, მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი.

მაგალითი.

დარწმუნდით, რომ თუ მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტები დაამატეთ ამ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული (-2-ზე) და დაამატეთ მატრიცის პირველი სვეტის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული თვითნებური რეალური რიცხვით, მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელი.

გადაწყვეტილება.

თუ დავიწყებთ დეტერმინანტის განხილული თვისებიდან, მაშინ ამოცანაში მითითებული ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება A მატრიცის განმსაზღვრელი.

პირველი, ჩვენ გამოვთვალეთ ორიგინალური მატრიცის A განმსაზღვრელი:



ახლა შევასრულოთ A მატრიცის აუცილებელი გარდაქმნები.

მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტებს დავუმატოთ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამისი ელემენტები, წინასწარ გავამრავლოთ ისინი (-2)-ზე. ამის შემდეგ, მატრიცა ასე გამოიყურება:


შედეგად მიღებული მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტებს ვამატებთ პირველი სვეტის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული:


გამოთვალეთ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი და დარწმუნდით, რომ ის უდრის A მატრიცის განმსაზღვრელს, ანუ -24:



კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამი მათი მიხედვით. ალგებრული დამატებები.



აქ არის მატრიცის ელემენტის ალგებრული დანამატი, .

ეს თვისება საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ 3-ზე 3-ზე მაღალი რიგის მატრიცების განმსაზღვრელი, მათი შემცირებით რიგის მატრიცების რამდენიმე განმსაზღვრელთა ჯამამდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის განმეორებადი ფორმულა ნებისმიერი რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოსათვლელად. ჩვენ გირჩევთ დაიმახსოვროთ ის საკმაოდ ხშირი გამოყენების გამო.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

შეუკვეთეთ 4 4-ით, გააფართოვეთ იგი

• მე -3 რიგის ელემენტებით,
• მე-2 სვეტის ელემენტებით.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას განმსაზღვრელი მე-3 რიგის ელემენტებით გაფართოებისთვის



Ჩვენ გვაქვს



ასე რომ, მე-4 რიგის მატრიცის 4-ით განმსაზღვრელი მატრიცის პოვნის პრობლემა შემცირდა მე-3 რიგის მატრიცების სამი დეტერმინანტის გამოთვლით:



მიღებული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივდივართ შედეგამდე:


ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას განმსაზღვრელი მე-2 სვეტის ელემენტებით გაფართოებისთვის


და ჩვენ ვიმოქმედებთ იგივე გზით.

ჩვენ დეტალურად არ აღვწერთ მესამე რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლას.



მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 4 4-ზე.

გადაწყვეტილება.

თქვენ შეგიძლიათ დაშალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ნებისმიერი სვეტის ან ნებისმიერი მწკრივის ელემენტებად, მაგრამ უფრო მომგებიანია აირჩიოთ სტრიქონი ან სვეტი, რომელიც შეიცავს ნულოვანი ელემენტების უდიდეს რაოდენობას, რადგან ეს დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ ზედმეტი გამოთვლები. მოდით გავაფართოვოთ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებით:



ჩვენ ვიანგარიშებთ 3 რიგის მატრიცების მიღებულ დეტერმინანტებს ჩვენთვის ცნობილი ფორმულის მიხედვით:



ჩვენ ვცვლით შედეგებს და ვიღებთ სასურველ მნიშვნელობას


მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 5-დან 5-ზე.

გადაწყვეტილება.

მატრიცის მეოთხე რიგს აქვს ნულოვანი ელემენტების უდიდესი რაოდენობა ყველა მწკრივსა და სვეტს შორის, ამიტომ მიზანშეწონილია მატრიცის განმსაზღვრელი ზუსტად გავაფართოვოთ მეოთხე რიგის ელემენტებით, რადგან ამ შემთხვევაში ნაკლები გამოთვლები გვჭირდება.



4-დან 4 რიგის მატრიცების მიღებული დეტერმინანტები ნაპოვნი იქნა წინა მაგალითებში, ამიტომ გამოვიყენებთ მზა შედეგებს:



მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 7-დან 7-ზე.

გადაწყვეტილება.

დაუყოვნებლივ არ უნდა იჩქაროთ დეტერმინანტის დაშლა ნებისმიერი მწკრივის ან სვეტის ელემენტებით. თუ კარგად დააკვირდებით მატრიცას, შეამჩნევთ, რომ მატრიცის მეექვსე რიგის ელემენტების მიღება შესაძლებელია მეორე რიგის შესაბამისი ელემენტების ორზე გამრავლებით. ანუ თუ მეექვსე რიგის ელემენტებს დავამატებთ (-2)-ზე გამრავლებულ მეორე რიგის შესაბამის ელემენტებს, მაშინ განმსაზღვრელი არ შეიცვლება მეშვიდე თვისების გამო და შედეგად მიღებული მატრიცის მეექვსე მწკრივი შედგება. ნულები. ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი მეორე თვისებით ნულის ტოლია.

პასუხი:

უნდა აღინიშნოს, რომ განხილული თვისება საშუალებას იძლევა გამოთვალოს ნებისმიერი რიგის მატრიცების განმსაზღვრელი, თუმცა ბევრი გამოთვლითი ოპერაციების შესრულებაა საჭირო. უმეტეს შემთხვევაში, უფრო ხელსაყრელია მესამეზე მაღალი რიგის მატრიცების პოვნა გაუსის მეთოდით, რომელსაც ქვემოთ განვიხილავთ.

კვადრატული მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებისა და სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამი ნულის ტოლია.


მაგალითი.

აჩვენეთ, რომ მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტების ნამრავლების ჯამი პირველი სვეტის შესაბამისი ელემენტების ალგებრულ დანამატებზე ნულის ტოლია.

გადაწყვეტილება.




იმავე რიგის კვადრატული მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია მათი დეტერმინანტების ნამრავლის, ანუ, , სადაც m არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, A k , k=1,2,…,m არის იგივე რიგის კვადრატული მატრიცები.

მაგალითი.

დარწმუნდით, რომ ორი მატრიცის ნამრავლის განმსაზღვრელი და უდრის მათი დეტერმინანტების ნამრავლს.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვიპოვოთ A და B მატრიცების დეტერმინანტების ნამრავლი:


ახლა შევასრულოთ მატრიცის გამრავლება და გამოვთვალოთ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი:



ამრიგად, , რომელიც უნდა ეჩვენებინა.

მატრიცული დეტერმინანტის გაანგარიშება გაუსის მეთოდით.

მოდით აღვწეროთ ამ მეთოდის არსი. ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მატრიცა A მცირდება ისეთ ფორმამდე, რომ პირველ სვეტში ყველა ელემენტი, მათ გარდა, ხდება ნულოვანი (ეს ყოველთვის შესაძლებელია, თუ A მატრიცის განმსაზღვრელი არაა). ჩვენ აღვწერთ ამ პროცედურას ცოტა მოგვიანებით, მაგრამ ახლა ჩვენ აგიხსნით რატომ კეთდება ეს. ნულოვანი ელემენტები მიიღება იმისათვის, რომ მივიღოთ განმსაზღვრელი უმარტივესი გაფართოება პირველი სვეტის ელემენტებზე. A მატრიცის ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ, მერვე თვისების და , ვიღებთ

სად - მცირე (n-1)-ე რიგი, მიღებული მატრიციდან A-დან მისი პირველი რიგისა და პირველი სვეტის ელემენტების წაშლით.

იმ მატრიცით, რომელსაც მინორი შეესაბამება, იგივე პროცედურა ტარდება პირველ სვეტში ნულოვანი ელემენტების მისაღებად. და ასე შემდეგ დეტერმინანტის საბოლოო გაანგარიშებამდე.

ახლა რჩება პასუხის გაცემა კითხვაზე: "როგორ მივიღოთ ნულოვანი ელემენტები პირველ სვეტში"?

მოდით აღვწეროთ მოქმედებების ალგორითმი.

თუ , მაშინ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტები ემატება kth მწკრივის შესაბამის ელემენტებს, რომელშიც . (თუ გამონაკლისის გარეშე A მატრიცის პირველი სვეტის ყველა ელემენტი ნულია, მაშინ მისი განმსაზღვრელი მეორე თვისებით ნულის ტოლია და არ არის საჭირო გაუსის მეთოდი). ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ, "ახალი" ელემენტი განსხვავდება ნულიდან. „ახალი“ მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი მეშვიდე თვისების გამო.

ახლა ჩვენ გვაქვს მატრიცა, რომელსაც აქვს . როდესაც მეორე რიგის ელემენტებს ვამატებთ პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულს, მესამე რიგის ელემენტებს, პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული . და ა.შ. დასასრულს, n-ე რიგის ელემენტებს ვამატებთ პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული. ამრიგად, მიიღება გარდაქმნილი მატრიცა A, რომლის პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, გარდა , იქნება ნული. შედეგად მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი მეშვიდე თვისების გამო.

მაგალითის ამოხსნისას გავაანალიზოთ მეთოდი, ასე უფრო გასაგები იქნება.

მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი 5-ზე 5-ზე .

გადაწყვეტილება.

გამოვიყენოთ გაუსის მეთოდი. მოდით გარდავქმნათ A მატრიცა ისე, რომ მისი პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, გარდა , გახდეს ნული.

ვინაიდან ელემენტი თავდაპირველად არის , მაშინ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტებს ვამატებთ შესაბამის ელემენტებს, მაგალითად, მეორე რიგს, რადგან:

ნიშანი "~" ნიშნავს ეკვივალენტობას.

ახლა მეორე რიგის ელემენტებს ვამატებთ პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული , მესამე რიგის ელემენტებზე - პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და გააგრძელეთ ანალოგიურად მეექვსე სტრიქონამდე:

ვიღებთ

მატრიცით ჩვენ ვატარებთ იგივე პროცედურას პირველ სვეტში ნულოვანი ელემენტების მისაღებად:

აქედან გამომდინარე,

ახლა ჩვენ ვასრულებთ გარდაქმნებს მატრიცით :

კომენტარი.

გაუსის მეთოდით მატრიცის ტრანსფორმაციის გარკვეულ ეტაპზე შეიძლება წარმოიშვას სიტუაცია, როდესაც მატრიცის ბოლო რამდენიმე მწკრივის ყველა ელემენტი ნული გახდება. აქ საუბარი იქნება დეტერმინანტის ტოლობაზე.

შეაჯამეთ.

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომლის ელემენტებიც რიცხვებია, არის რიცხვი. ჩვენ განვიხილეთ სამი გზა დეტერმინანტის გამოსათვლელად:

1. მატრიცის ელემენტების კომბინაციების პროდუქტთა ჯამის მეშვეობით;
2. დეტერმინანტის გაფართოების გზით მატრიცის მწკრივის ან სვეტის ელემენტებით;
3. მატრიცის ზედა სამკუთხედამდე შემცირების მეთოდი (გაუსის მეთოდით).

მიღებული იქნა ფორმულები 2-ზე 2-ზე და 3-ზე 3-ის რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოსათვლელად.

ჩვენ გავაანალიზეთ მატრიცის დეტერმინანტის თვისებები. ზოგიერთი მათგანი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად გაიგოთ, რომ განმსაზღვრელი არის ნული.

3-ზე 3-ზე მაღალი რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლისას მიზანშეწონილია გამოიყენოთ გაუსის მეთოდი: შეასრულეთ მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნები და მიიყვანეთ იგი ზედა სამკუთხედამდე. ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ყველა ელემენტის ნამრავლს მთავარ დიაგონალზე.