რიცხვის კვადრატული ფესვი არის რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის a-ს. მაგალითად, რიცხვები -5 და 5 არის 25 რიცხვის კვადრატული ფესვები. ანუ x^2=25 განტოლების ფესვები არის 25 რიცხვის კვადრატული ფესვები. ახლა თქვენ უნდა ისწავლოთ კვადრატთან მუშაობა. root ოპერაცია: შეისწავლეთ მისი ძირითადი თვისებები.

პროდუქტის კვადრატული ფესვი

√(a*b) =√a*√b

ორი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლის კვადრატული ფესვი ტოლია ამ რიცხვების კვადრატული ფესვების ნამრავლის. მაგალითად, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ეს თვისება ასევე ეხება იმ შემთხვევებს, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არის სამი, ოთხი და ა.შ. არაუარყოფითი ფაქტორები.

ზოგჯერ არსებობს ამ ქონების სხვა ფორმულირება. თუ a და b არაუარყოფითი რიცხვებია, მაშინ სწორია შემდეგი ტოლობა: √(a*b) =√a*√b. მათ შორის აბსოლუტურად არანაირი განსხვავება არ არის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი ან სხვა ფორმულირება (რაც უფრო მოსახერხებელია თქვენთვის).

წილადის კვადრატული ფესვი

თუ a>=0 და b>0, მაშინ შემდეგი ტოლობა მართალია:

√(a/b) =√a/√b.

მაგალითად, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

ამ თვისებას ასევე აქვს განსხვავებული ფორმულირება, რაც, ჩემი აზრით, უფრო მოსახერხებელია დასამახსოვრებლად.
კოეფიციენტის კვადრატული ფესვი ფესვების კოეფიციენტის ტოლია.

აღსანიშნავია, რომ ეს ფორმულები მუშაობს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ. ანუ, საჭიროების შემთხვევაში, შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ფესვების პროდუქტი პროდუქტის ფესვად. იგივე ეხება მეორე ქონებას.

როგორც თქვენ შენიშნეთ, ეს თვისებები ძალიან მოსახერხებელია და მსურს იგივე თვისებები მქონდეს შეკრებისა და გამოკლებისთვის:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

მაგრამ, სამწუხაროდ, ასეთი თვისებები კვადრატულია ფესვები არ აქვს, და ამიტომ არის ასე გამოთვლებში შეუძლებელია.

ხარისხი რაციონალური ინდიკატორით,

დენის ფუნქცია IV

§ 79. ფესვების ამოღება პროდუქტისა და კოეფიციენტიდან

თეორემა 1.ფესვი პ დადებითი რიცხვების ნამრავლის მეათე ხარისხი უდრის ფესვების ნამრავლს პ ფაქტორების ე ხარისხი, ანუ როდის ა > 0, ბ > 0 და ბუნებრივი პ

ნ √აბ = ნ √ა ნ √ბ . (1)

მტკიცებულება.შეგახსენებთ, რომ ფესვი პ - დადებითი რიცხვის ხარისხში აბ არის დადებითი რიცხვი პ -რომლის ხარისხი უდრის აბ . მაშასადამე, თანასწორობის (1) მტკიცება იგივეა, რაც თანასწორობის დამტკიცება

(ნ √ა ნ √ბ ) ნ = აბ .

პროდუქტის სიმძლავრის თვისებით

(ნ √ა ნ √ბ ) ნ = (ნ √ა ) ნ (ნ √ბ ) ნ =.

მაგრამ ფესვის განმარტებით პ ხარისხი ( ნ √ა ) ნ = ა , (ნ √ბ ) ნ = ბ .

Ამიტომაც ( ნ √ა ნ √ბ ) ნ = აბ . თეორემა დადასტურდა.

მოთხოვნა ა > 0, ბ > 0 მნიშვნელოვანია მხოლოდ ლუწისთვის პ , რადგან უარყოფითი ა და ბ და კიდევ პ ფესვები ნ √ა და ნ √ბ არ არის განსაზღვრული. თუ პ კენტია, მაშინ ფორმულა (1) მოქმედებს ნებისმიერისთვის ა და ბ (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი).

მაგალითები: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

ფორმულა (1) სასარგებლოა ფესვების გამოთვლისას, როდესაც რადიკალური გამოხატულება წარმოდგენილია ზუსტი კვადრატების ნამრავლის სახით. Მაგალითად,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა 1 იმ შემთხვევისთვის, როდესაც (1) ფორმულის მარცხენა მხარეს რადიკალური ნიშანი არის ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი. სინამდვილეში, ეს თეორემა მართალია ნებისმიერი რაოდენობის დადებითი ფაქტორებისთვის, ანუ ნებისმიერი ბუნებრივისთვის კ > 2:

შედეგი.ამ იდენტობის წაკითხვისას მარჯვნიდან მარცხნივ, მივიღებთ შემდეგ წესს ფესვების გამრავლებისთვის იმავე მაჩვენებლებით;

ერთიდაიგივე მაჩვენებლებით ფესვების გასამრავლებლად საკმარისია რადიკალური გამონათქვამების გამრავლება, ძირეული ინდიკატორი იგივე დარჩეს.

მაგალითად, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

თეორემა 2. ფესვი პწილადის მე-თე ხარისხი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი დადებითი რიცხვებია, ტოლია მრიცხველის იგივე სიმძლავრის ფესვის კოეფიციენტის გაყოფა მნიშვნელის იგივე სიმძლავრის ფესვზე., ანუ როდის ა > 0 და ბ > 0

(2)

თანასწორობის დამტკიცება (2) ნიშნავს იმის ჩვენებას

წილადის ხარისხზე აყვანისა და ფესვის განსაზღვრის წესის მიხედვით ნ -მე ხარისხი გვაქვს:

ამრიგად, თეორემა დადასტურებულია.

მოთხოვნა ა > 0 და ბ > 0 მნიშვნელოვანია მხოლოდ ლუწისთვის პ . თუ პ არის უცნაური, მაშინ ფორმულა (2) ასევე მართალია უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის ა და ბ .

შედეგი.იდენტურობის კითხვა მარჯვნიდან მარცხნივ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წესს ფესვების გაყოფისთვის იმავე მაჩვენებლებით:

ერთიდაიგივე მაჩვენებლებით ფესვების გამოსაყოფად საკმარისია გამოვყოთ რადიკალური გამონათქვამები, ძირეული ინდიკატორი იგივე დარჩეს.

Მაგალითად,

Სავარჯიშოები

554. თეორემა 1-ის დადასტურების რომელ მომენტში გამოვიყენეთ ის ფაქტი, რომ ა და ბ არიან ისინი დადებითი?

რატომ უცნაურად პ ფორმულა (1) ასევე მართალია უარყოფითი რიცხვებისთვის ა და ბ ?

რა ღირებულებებზე X თანასწორობის მონაცემები სწორია (No. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. გამოთვალეთ:

ა) √ 173 2 - 52 2; V) √ 200 2 - 56 2 ;

ბ) √ 373 2 - 252 2; გ) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა არის 205 სმ, ხოლო ერთი ფეხი არის 84 სმ.

563. რამდენჯერ:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - ნებისმიერი ნომერი. 558. X > 0. 559. X > ა . 560. X - ნებისმიერი ნომერი. 563. ა) სამჯერ.

გამარჯობა, კატები! ბოლო დროს დეტალურად განვიხილეთ რა არის ფესვები (თუ არ გახსოვთ, გირჩევთ წაიკითხოთ). მთავარი გამოსავალი ამ გაკვეთილიდან: არსებობს ფესვების მხოლოდ ერთი უნივერსალური განმარტება, რაც თქვენ უნდა იცოდეთ. დანარჩენი სისულელეა და დროის კარგვაა.

დღეს ჩვენ უფრო შორს მივდივართ. ვისწავლით ფესვების გამრავლებას, შევისწავლით გამრავლებასთან დაკავშირებულ ზოგიერთ პრობლემას (თუ ეს ამოცანები არ მოგვარდება, გამოცდაზე შეიძლება ფატალური გახდეს) და სათანადოდ ვივარჯიშოთ. ასე რომ, მოიმარაგეთ პოპკორნი, დაისვენეთ კომფორტულად და დავიწყოთ :)

შენც არ მოგიწევია ჯერ არა?

გაკვეთილი საკმაოდ გრძელი გამოდგა, ამიტომ ორ ნაწილად დავყავი:

1. პირველ რიგში გადავხედავთ გამრავლების წესებს. Cap, როგორც ჩანს, მიანიშნებს: ეს არის მაშინ, როდესაც არის ორი ფესვი, მათ შორის არის "გამრავლების" ნიშანი - და ჩვენ გვინდა რაღაც გავაკეთოთ მასთან.
2. მაშინ მოდით შევხედოთ საპირისპირო ვითარებას: არის ერთი დიდი ფესვი, მაგრამ ჩვენ გვინდოდა წარმოგვედგინა იგი, როგორც ორი მარტივი ფესვის პროდუქტი. რატომ არის ეს აუცილებელი, ეს ცალკე საკითხია. ჩვენ მხოლოდ ალგორითმს გავაანალიზებთ.

მათთვის, ვინც ვერ ითმენს, რომ დაუყოვნებლივ გადავიდეს მეორე ნაწილზე, მოგესალმებით. დანარჩენი თანმიმდევრობით დავიწყოთ.

გამრავლების ძირითადი წესი

დავიწყოთ უმარტივესი რამით - კლასიკური კვადრატული ფესვებით. იგივე, რაც აღინიშნება $\sqrt(a)$-ით და $\sqrt(b)$-ით. მათთვის ყველაფერი აშკარაა:

გამრავლების წესი. ერთი კვადრატული ფესვის მეორეზე გასამრავლებლად, თქვენ უბრალოდ გაამრავლეთ მათი რადიკალური გამონათქვამები და ჩაწერეთ შედეგი საერთო რადიკალის ქვეშ:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

არანაირი დამატებითი შეზღუდვა არ არის დაწესებული მარჯვნივ ან მარცხნივ რიცხვებზე: თუ ძირეული ფაქტორები არსებობს, მაშინ პროდუქტიც არსებობს.

მაგალითები. მოდით შევხედოთ ოთხ მაგალითს ერთდროულად რიცხვებით:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, ამ წესის მთავარი მნიშვნელობა არის ირაციონალური გამონათქვამების გამარტივება. და თუ პირველ მაგალითში ჩვენ თვითონ გამოვიყვანდით 25-ისა და 4-ის ძირებს ყოველგვარი ახალი წესების გარეშე, მაშინ ყველაფერი რთულდება: $\sqrt(32)$ და $\sqrt(2)$ თავისთავად არ განიხილება, მაგრამ მათი ნამრავლი აღმოჩნდება სრულყოფილი კვადრატი, ამიტომ მისი ფესვი რაციონალური რიცხვის ტოლია.

განსაკუთრებით მინდა გამოვყო ბოლო ხაზი. იქ ორივე რადიკალური გამონათქვამი წილადია. პროდუქტის წყალობით, მრავალი ფაქტორი გაუქმებულია და მთელი გამოხატულება იქცევა ადექვატურ რიცხვად.

რა თქმა უნდა, ყველაფერი ყოველთვის ასე ლამაზი არ იქნება. ზოგჯერ ფესვების ქვეშ სრული არეულობა იქნება - გაუგებარია რა უნდა გააკეთოს და როგორ გარდაქმნას იგი გამრავლების შემდეგ. ცოტა მოგვიანებით, როდესაც დაიწყებთ ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების შესწავლას, იქნება ყველანაირი ცვლადი და ფუნქცია. და ძალიან ხშირად, პრობლემური მწერლები ითვლიან იმ ფაქტს, რომ აღმოაჩენთ რამდენიმე გაუქმების პირობებს ან ფაქტორს, რის შემდეგაც პრობლემა ბევრჯერ გამარტივდება.

გარდა ამისა, სულაც არ არის საჭირო ზუსტად ორი ფესვის გამრავლება. შეგიძლიათ ერთდროულად გაამრავლოთ სამი, ოთხი ან თუნდაც ათი! ეს წესს არ შეცვლის. Შეხედე:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ისევ მცირე შენიშვნა მეორე მაგალითზე. როგორც ხედავთ, მესამე ფაქტორში ფესვის ქვეშ არის ათობითი წილადი - გამოთვლების პროცესში ჩვენ ვცვლით მას ჩვეულებრივით, რის შემდეგაც ყველაფერი მარტივად მცირდება. ასე რომ: უაღრესად გირჩევთ, თავი დააღწიოთ ათობითი წილადებს ნებისმიერ ირაციონალურ გამონათქვამებში (ანუ შეიცავს მინიმუმ ერთ რადიკალურ სიმბოლოს). ეს დაზოგავს დიდ დროსა და ნერვებს მომავალში.

მაგრამ ეს იყო ლირიკული გადახვევა. ახლა განვიხილოთ უფრო ზოგადი შემთხვევა - როდესაც ფესვის მაჩვენებელი შეიცავს თვითნებურ რიცხვს $n$ და არა მხოლოდ "კლასიკურ" ორს.

თვითნებური ინდიკატორის შემთხვევა

ასე რომ, ჩვენ დავახარისხეთ კვადრატული ფესვები. რა ვუყოთ კუბურებს? ან თუნდაც $n$ თვითნებური ხარისხის ფესვებით? დიახ, ყველაფერი იგივეა. წესი იგივე რჩება:

$n$ ხარისხის ორი ფესვის გასამრავლებლად საკმარისია მათი რადიკალური გამონათქვამები გავამრავლოთ და შემდეგ ჩავწეროთ შედეგი ერთი რადიკალის ქვეშ.

ზოგადად, არაფერი რთული. გარდა იმისა, რომ გამოთვლების რაოდენობა შეიძლება მეტი იყოს. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითები. პროდუქტების გამოთვლა:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და კიდევ, ყურადღება მეორე გამოთქმაზე. ვამრავლებთ კუბურ ფესვებს, ვაშორებთ ათწილადის წილადს და ვამთავრებთ მნიშვნელს 625 და 25 რიცხვების ნამრავლი. ეს საკმაოდ დიდი რიცხვია - პირადად მე პირადად ვერ ვხვდები რის ტოლია ზემოდან. ჩემი თავის.

ასე რომ, ჩვენ უბრალოდ გამოვყავით ზუსტი კუბი მრიცხველში და მნიშვნელში და შემდეგ გამოვიყენეთ $n$th ფესვის ერთ-ერთი ძირითადი თვისება (ან, თუ გსურთ, განმარტება):

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\მარცხენა| a\ უფლება|. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასეთმა „მაქინაციებმა“ შეიძლება დაზოგოთ ბევრი დრო გამოცდაზე ან გამოცდაზე, ასე რომ გახსოვდეთ:

ნუ იჩქარებთ რიცხვების გამრავლებას რადიკალური გამონათქვამების გამოყენებით. პირველი, შეამოწმეთ: რა მოხდება, თუ რაიმე გამონათქვამის ზუსტი ხარისხი იქ „დაშიფრულია“?

მიუხედავად ამ შენიშვნის აშკარაა, უნდა ვაღიარო, რომ მოუმზადებელი სტუდენტების უმეტესობა ვერ ხედავს ზუსტ ხარისხებს წერტილამდე ცარიელ დიაპაზონში. სამაგიეროდ, ისინი ამრავლებენ ყველაფერს და მერე აინტერესებთ: რატომ მიიღეს ასეთი სასტიკი ნომრები?

თუმცა, ეს ყველაფერი ბავშვის საუბარია იმასთან შედარებით, რასაც ახლა შევისწავლით.

ფესვების გამრავლება სხვადასხვა მაჩვენებლით

კარგი, ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ფესვები იგივე მაჩვენებლებით. რა მოხდება, თუ ინდიკატორები განსხვავებულია? ვთქვათ, როგორ გავამრავლოთ ჩვეულებრივი $\sqrt(2)$ რაღაც სისულელეზე, როგორიცაა $\sqrt(23)$? შესაძლებელია კი ამის გაკეთება?

დიახ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ. ყველაფერი კეთდება ამ ფორმულის მიხედვით:

ფესვების გამრავლების წესი. $\sqrt[n](a)$-ზე $\sqrt[p](b)$-ზე გასამრავლებლად საკმარისია შემდეგი ტრანსფორმაციის შესრულება:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

თუმცა, ეს ფორმულა მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რადიკალური გამონათქვამები არანეგატიურია. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა, რომელსაც ცოტა მოგვიანებით დავუბრუნდებით.

ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ახლა გავარკვიოთ, საიდან გაჩნდა არანეგატიურობის მოთხოვნა და რა მოხდება, თუ მას დავარღვევთ.

ფესვების გამრავლება მარტივია

რატომ უნდა იყოს რადიკალური გამონათქვამები არანეგატიური?

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ სკოლის მასწავლებლებივით იყოთ და სახელმძღვანელოს ჭკვიანურად ციტირდეთ:

არანეგატიურობის მოთხოვნა დაკავშირებულია ლუწი და კენტი ხარისხის ფესვების განსხვავებულ განმარტებებთან (შესაბამისად, მათი განმარტების დომენებიც განსხვავებულია).

ისე, უფრო ნათელი გახდა? მე პირადად მე-8 კლასში რომ წავიკითხე ეს სისულელე, მივხვდი შემდეგს: „არანეგატიურობის მოთხოვნა ასოცირდება *#&^@(*#@^#)~%-თან“ - მოკლედ, მივხვდი. მაგ დროს რაღაც ვერ გავიგე :)

ასე რომ, ახლა მე ავხსნი ყველაფერს ნორმალურად.

პირველ რიგში, მოდით გავარკვიოთ, საიდან მოდის ზემოთ მოცემული გამრავლების ფორმულა. ამისათვის შეგახსენებთ root-ის ერთ მნიშვნელოვან თვისებას:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ავიყვანოთ რადიკალური გამოხატულება ნებისმიერ ბუნებრივ სიმძლავრეზე $k$ - ამ შემთხვევაში ფესვის მაჩვენებლის გამრავლება იგივე სიმძლავრეზე უნდა მოხდეს. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია ადვილად შევამციროთ ნებისმიერი ფესვი საერთო მაჩვენებლამდე და შემდეგ გავამრავლოთ ისინი. აქედან მოდის გამრავლების ფორმულა:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((ბ)^(n)))\]

მაგრამ არის ერთი პრობლემა, რომელიც მკვეთრად ზღუდავს ყველა ამ ფორმულის გამოყენებას. გაითვალისწინეთ ეს რიცხვი:

ახლახან მოცემული ფორმულის მიხედვით, შეგვიძლია დავამატოთ ნებისმიერი ხარისხი. მოდით ვცადოთ $k=2$-ის დამატება:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

მინუსი სწორედ იმიტომ მოვხსენით, რომ კვადრატი წვავს მინუსს (როგორც ნებისმიერი სხვა ლუწი ხარისხი). ახლა მოდით შევასრულოთ საპირისპირო ტრანსფორმაცია: „შეამცირეთ“ ორი მაჩვენებლით და სიმძლავრით. ყოველივე ამის შემდეგ, ნებისმიერი თანასწორობის წაკითხვა შესაძლებელია როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ა); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ შემდეგ აღმოჩნდება, რომ ეს რაღაც სისულელეა:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

ეს არ შეიძლება მოხდეს, რადგან $\sqrt(-5) \lt 0$, და $\sqrt(5) \gt 0$. ეს ნიშნავს, რომ ლუწი ძალებისა და უარყოფითი რიცხვებისთვის ჩვენი ფორმულა აღარ მუშაობს. რის შემდეგაც გვაქვს ორი ვარიანტი:

1. კედელზე დარტყმა და იმის თქმა, რომ მათემატიკა სულელური მეცნიერებაა, სადაც „რაღაც წესებია, მაგრამ არაზუსტია“;
2. დანერგეთ დამატებითი შეზღუდვები, რომლითაც ფორმულა გახდება 100% მოქმედი.

პირველ ვარიანტში, ჩვენ მუდმივად მოგვიწევს "არასამუშაო" შემთხვევების დაჭერა - ეს რთული, შრომატევადი და ზოგადად უიღბლოა. ამიტომ მათემატიკოსებმა ამჯობინეს მეორე ვარიანტი.

მაგრამ არ ინერვიულო! პრაქტიკაში, ეს შეზღუდვა არანაირად არ მოქმედებს გამოთვლებზე, რადგან აღწერილი ყველა პრობლემა ეხება მხოლოდ უცნაური ხარისხის ფესვებს და მათგან მინუსების აღება შეიძლება.

მაშასადამე, მოდით ჩამოვაყალიბოთ კიდევ ერთი წესი, რომელიც ზოგადად ვრცელდება ფესვებით ყველა ქმედებაზე:

ფესვების გამრავლებამდე დარწმუნდით, რომ რადიკალური გამონათქვამები არაუარყოფითია.

მაგალითი. რიცხვში $\sqrt(-5)$ შეგიძლიათ ამოიღოთ მინუსი ძირის ნიშნის ქვეშ - მაშინ ყველაფერი ნორმალური იქნება:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \ბოლო(გასწორება)\]

გრძნობ განსხვავებას? თუ ფესვის ქვეშ დატოვებთ მინუსს, მაშინ როდესაც რადიკალური გამოხატულება კვადრატში იქნება, ის გაქრება და დაიწყება სისულელე. და თუ ჯერ ამოიღებთ მინუსს, მაშინ შეგიძლიათ მოედანზე/ამოიღოთ სანამ სახეზე არ გალურჯდებით - რიცხვი დარჩება უარყოფითი :)

ამრიგად, ფესვების გამრავლების ყველაზე სწორი და საიმედო გზა შემდეგია:

1. ამოიღეთ ყველა ნეგატივი რადიკალებისგან. მინუსები არსებობს მხოლოდ კენტი სიმრავლის ფესვებში - ისინი შეიძლება განთავსდეს ფესვის წინ და, საჭიროების შემთხვევაში, შემცირდეს (მაგალითად, თუ არის ამ მინუსებიდან ორი).
2. შეასრულეთ გამრავლება დღევანდელ გაკვეთილზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. თუ ფესვების მაჩვენებლები ერთნაირია, ჩვენ უბრალოდ ვამრავლებთ რადიკალურ გამონათქვამებს. და თუ ისინი განსხვავდებიან, ვიყენებთ ბოროტ ფორმულას \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. ისიამოვნეთ შედეგით და კარგი შეფასებებით. :)

კარგად? ვივარჯიშოთ?

მაგალითი 1: გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის უმარტივესი ვარიანტი: ფესვები იგივე და უცნაურია, ერთადერთი პრობლემა ის არის, რომ მეორე ფაქტორი უარყოფითია. ამ მინუსს ამოვიღებთ განტოლებიდან, რის შემდეგაც ყველაფერი მარტივად გამოითვლება.

მაგალითი 2: გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \მარჯვნივ))^(3))\cdot ((\ left(((2)^(2)) \მარჯვნივ))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( გასწორება)\]

აქ ბევრი დაბნეული იქნებოდა იმით, რომ გამომავალი ირაციონალური რიცხვი აღმოჩნდა. დიახ, ეს ხდება: ჩვენ ბოლომდე ვერ მოვიშორეთ ფესვი, მაგრამ მაინც მნიშვნელოვნად გავამარტივეთ გამოხატულება.

მაგალითი 3: გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \მარჯვნივ))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))) = \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(გასწორება)\]

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო ამ ამოცანაზე. აქ არის ორი წერტილი:

1. ფესვი არ არის კონკრეტული რიცხვი ან სიმძლავრე, არამედ ცვლადი $a$. ერთი შეხედვით, ეს ცოტა უჩვეულოა, მაგრამ სინამდვილეში, მათემატიკური ამოცანების ამოხსნისას, ყველაზე ხშირად ცვლადებთან გიწევთ საქმე.
2. საბოლოოდ, ჩვენ მოვახერხეთ რადიკალური ინდიკატორისა და რადიკალური გამოხატვის ხარისხის „შემცირება“. ეს ხდება საკმაოდ ხშირად. და ეს ნიშნავს, რომ შესაძლებელი იყო გამოთვლების მნიშვნელოვნად გამარტივება, თუ არ იყენებდით ძირითად ფორმულას.

მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \მარჯვნივ))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\ბოლო (გასწორება)\]

ფაქტობრივად, ყველა ტრანსფორმაცია განხორციელდა მხოლოდ მეორე რადიკალით. და თუ დეტალურად არ აღწერთ ყველა შუალედურ საფეხურს, მაშინ საბოლოოდ გამოთვლების რაოდენობა მნიშვნელოვნად შემცირდება.

ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე შევხვდით მსგავს ამოცანას ზემოთ, როდესაც გადავჭრით მაგალითი $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. ახლა უფრო მარტივად შეიძლება დაიწეროს:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \მარჯვნივ))^(2))) = \\ & =\sqrt(((\left(75 \მარჯვნივ))^(2))) =\sqrt(75). \ბოლო (გასწორება)\]

ისე, ჩვენ დავახარისხეთ ფესვების გამრავლება. ახლა განვიხილოთ საპირისპირო ოპერაცია: რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც ფესვის ქვეშ არის პროდუქტი?

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ არითმეტიკულ კვადრატულ ფესვებს.

პირდაპირი რადიკალური გამოთქმის შემთხვევაში ვივარაუდებთ, რომ ძირის ნიშნის ქვეშ მოცემული ასოები აღნიშნავენ არაუარყოფით რიცხვებს.

1. ნაწარმოების ძირი.

განვიხილოთ ეს მაგალითი.

მეორეს მხრივ, გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი 2601 არის ორი ფაქტორის პროდუქტი, საიდანაც ფესვის ამოღება მარტივად შეიძლება:

ავიღოთ თითოეული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გავამრავლოთ ეს ფესვები:

იგივე შედეგი მივიღეთ, როდესაც ფესვის ქვეშ მყოფი პროდუქტიდან ამოვიღეთ ფესვი და როდესაც ფესვი თითოეული ფაქტორიდან ცალ-ცალკე ამოვიღეთ და შედეგები გავამრავლეთ.

ხშირ შემთხვევაში, მეორე მეთოდი უფრო ადვილია შედეგის პოვნა, რადგან თქვენ უნდა აიღოთ უფრო მცირე რიცხვების ფესვი.

თეორემა 1. პროდუქტის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, შეგიძლიათ ამოიღოთ იგი თითოეული ფაქტორიდან ცალ-ცალკე და გაამრავლოთ შედეგები.

მოდით დავამტკიცოთ თეორემა სამი ფაქტორისთვის, ანუ დავამტკიცოთ თანასწორობა:

ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას პირდაპირი გადამოწმებით, არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრის საფუძველზე. ვთქვათ, უნდა დავამტკიცოთ თანასწორობა:

(A და B არაუარყოფითი რიცხვებია). კვადრატული ფესვის განმარტებით, ეს ნიშნავს იმას

მაშასადამე, საკმარისია დამტკიცებული ტოლობის მარჯვენა მხარის კვადრატი და დარწმუნდით, რომ მარცხენა მხარის რადიკალური გამოხატულება მიიღება.

გამოვიყენოთ ეს მსჯელობა თანასწორობის მტკიცებულებაზე (1). მოდი, კვადრატში გავასწოროთ მარჯვენა მხარე; მაგრამ მარჯვენა მხარეს არის ნამრავლი, ხოლო ნამრავლის კვადრატისთვის საკმარისია თითოეული ფაქტორის კვადრატი და შედეგების გამრავლება (იხ. § 40);

შედეგი არის რადიკალური გამოხატულება მარცხენა მხარეს. ეს ნიშნავს, რომ თანასწორობა (1) მართალია.

ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა სამი ფაქტორისთვის. მაგრამ მსჯელობა იგივე დარჩება, თუ ფესვის ქვეშ არის 4 და ა.შ. თეორემა მართალია ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებისთვის.

შედეგი ადვილად ხვდება პერორალურად.

2. წილადის ფესვი.

გამოვთვალოთ

ექსპერტიზა.

Მეორეს მხრივ,

დავამტკიცოთ თეორემა.

თეორემა 2. წილადის ფესვის ამოსაღებად შეგიძლიათ ამოიღოთ ფესვი მრიცხველისა და მნიშვნელისგან განცალკევებით და პირველი შედეგი გაყოთ მეორეზე.

თანასწორობის მართებულობის დასადასტურებლად საჭიროა:

ამის დასამტკიცებლად გამოვიყენებთ მეთოდს, რომლითაც დადასტურდა წინა თეორემა.

მოდით კვადრატში მარჯვენა მხარე. Მექნება:

მარცხენა მხარეს მივიღეთ რადიკალური გამოხატულება. ეს ნიშნავს, რომ თანასწორობა (2) მართალია.

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი ვინაობა:

და ჩამოაყალიბა ნაწარმოების კვადრატული ფესვისა და კოეფიციენტის გამოტანის შესაბამისი წესები. ზოგჯერ ტრანსფორმაციების შესრულებისას თქვენ უნდა გამოიყენოთ ეს იდენტობები, წაიკითხოთ ისინი მარჯვნიდან მარცხნივ.

მარცხენა და მარჯვენა მხარეების გადალაგებით, ჩვენ ხელახლა ვწერთ დადასტურებულ იდენტობებს შემდეგნაირად:

ფესვების გასამრავლებლად, შეგიძლიათ გაამრავლოთ რადიკალური გამონათქვამები და ამოიღოთ ფესვი პროდუქტიდან.

ფესვების გამოსაყოფად, შეგიძლიათ გამოყოთ რადიკალური გამონათქვამები და ამოიღოთ ფესვი კოეფიციენტიდან.

3. ხარისხის ფესვი.

გამოვთვალოთ

დროა დაალაგოთ ფესვის მოპოვების მეთოდები. ისინი ეფუძნება ფესვების თვისებებს, კერძოდ, ტოლობას, რაც მართალია ნებისმიერი არაუარყოფითი b რიცხვისთვის.

ქვემოთ სათითაოდ განვიხილავთ ფესვების ამოღების ძირითად მეთოდებს.

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით - ნატურალური რიცხვებიდან ფესვების ამოღება კვადრატების ცხრილის, კუბების ცხრილის და ა.შ.

თუ კვადრატების, კუბების და ა.შ. თუ ხელთ არ გაქვთ, ლოგიკურია გამოიყენოთ ფესვის ამოღების მეთოდი, რომელიც გულისხმობს რადიკალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

განსაკუთრებული აღნიშვნის ღირსია, რა არის შესაძლებელი კენტი მაჩვენებლების მქონე ფესვებისთვის.

და ბოლოს, განვიხილოთ მეთოდი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს თანმიმდევრულად ვიპოვოთ ძირეული მნიშვნელობის ციფრები.

Დავიწყოთ.

კვადრატების ცხრილის, კუბების ცხრილის და ა.შ.

უმარტივეს შემთხვევაში, კვადრატების, კუბების და ა.შ ცხრილები საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ ფესვები. რა არის ეს მაგიდები?

მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილი 0-დან 99-ის ჩათვლით (ქვემოთ ნაჩვენები) შედგება ორი ზონისგან. ცხრილის პირველი ზონა მდებარეობს ნაცრისფერ ფონზე, კონკრეტული მწკრივისა და კონკრეტული სვეტის არჩევით, ის საშუალებას გაძლევთ შეადგინოთ რიცხვი 0-დან 99-მდე. მაგალითად, ავირჩიოთ 8 ათეულიანი მწკრივი და 3 ერთეული სვეტი, ამით დავაფიქსირეთ რიცხვი 83. მეორე ზონა იკავებს ცხრილის დანარჩენ ადგილს. თითოეული უჯრედი მდებარეობს გარკვეული მწკრივისა და გარკვეული სვეტის კვეთაზე და შეიცავს შესაბამისი რიცხვის კვადრატს 0-დან 99-მდე. ჩვენი არჩეული 8 ათეულის და სვეტის 3-ის კვეთაზე არის უჯრედი ნომრით 6,889, რომელიც არის 83 რიცხვის კვადრატი.

კუბების ცხრილები, 0-დან 99-მდე რიცხვების მეოთხე ხარისხების ცხრილები და ასე შემდეგ კვადრატების ცხრილის მსგავსია, მხოლოდ ისინი შეიცავს მეორე ზონაში კუბებს, მეოთხე ხარისხებს და ა.შ. შესაბამისი ნომრები.

კვადრატების, კუბების, მეოთხე ხარისხების ცხრილები და ა.შ. საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ კვადრატული ფესვები, კუბური ფესვები, მეოთხე ფესვები და ა.შ. შესაბამისად ამ ცხრილების რიცხვებიდან. ავხსნათ მათი გამოყენების პრინციპი ფესვების მოპოვებისას.

ვთქვათ, უნდა გამოვყოთ a რიცხვის n-ე ფესვი, ხოლო რიცხვი a შეიცავს n-ე ხარისხების ცხრილში. ამ ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ b რიცხვს, რომ a=b n. მერე , შესაბამისად, რიცხვი b იქნება n-ე ხარისხის სასურველი ფესვი.

მაგალითად, მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ კუბური ცხრილი 19683-ის კუბის ფესვის ამოსაღებად. კუბების ცხრილში ვპოულობთ რიცხვს 19683, მისგან ვხვდებით, რომ ეს რიცხვი არის 27 რიცხვის კუბი, შესაბამისად, .

ნათელია, რომ n-ე ძალების ცხრილები ძალიან მოსახერხებელია ფესვების ამოსაღებად. თუმცა, ისინი ხშირად არ არიან ხელთ და მათი შედგენა გარკვეულ დროს მოითხოვს. უფრო მეტიც, ხშირად საჭიროა ფესვების ამოღება რიცხვებიდან, რომლებიც არ არის მოცემული შესაბამის ცხრილებში. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა მიმართოთ ფესვების მოპოვების სხვა მეთოდებს.

რადიკალური რიცხვის ფაქტორირება მარტივ ფაქტორებად

ბუნებრივი რიცხვის ფესვის ამოღების საკმაოდ მოსახერხებელი გზა (თუ, რა თქმა უნდა, ფესვი ამოღებულია) არის რადიკალური რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად. მისი საქმე ამაშია: ამის შემდეგ საკმაოდ მარტივია მისი წარმოდგენა სიმძლავრის სახით სასურველი მაჩვენებლით, რაც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ფესვის მნიშვნელობა. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი.

ავიღოთ a ნატურალური რიცხვის n-ე ფესვი და მისი მნიშვნელობა ტოლი b. ამ შემთხვევაში ტოლობა a=b n მართალია. რიცხვი b, ისევე როგორც ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მისი ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლი p 1 , p 2 , …, p m სახით p 1 ·p 2 ·…·p m , და რადიკალური რიცხვი a ამ შემთხვევაში. წარმოდგენილია როგორც (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . ვინაიდან რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლა უნიკალურია, a რადიკალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლას ექნება ფორმა (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, რაც შესაძლებელს ხდის ფესვის მნიშვნელობის გამოთვლას. როგორც.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a რადიკალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლა შეუძლებელია (p 1 ·p 2 ·…·p m) n სახით, მაშინ ასეთი რიცხვის n-ე ფესვი ბოლომდე არ არის ამოღებული.

მოდით გავარკვიოთ ეს მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი.

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

გამოსავალი.

თუ გადავხედავთ წინა აბზაცში მოცემულ კვადრატების ცხრილს, ნათლად ხედავთ, რომ 144 = 12 2, საიდანაც ნათლად ჩანს, რომ 144-ის კვადრატული ფესვი უდრის 12-ს.

მაგრამ ამ წერტილის გათვალისწინებით, ჩვენ გვაინტერესებს, თუ როგორ ხდება ფესვის ამოღება რადიკალური რიცხვი 144 პირველ ფაქტორებად დაშლით. მოდით შევხედოთ ამ გამოსავალს.

დავშალოთ 144 მთავარ ფაქტორებამდე:

ანუ 144=2·2·2·2·3·3. შედეგად დაშლის საფუძველზე, შეიძლება განხორციელდეს შემდეგი გარდაქმნები: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. აქედან გამომდინარე, .

ხარისხებისა და ფესვების თვისებების გამოყენებით, გამოსავალი შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს: .

პასუხი:

მასალის კონსოლიდაციისთვის, განიხილეთ კიდევ ორი ​​მაგალითის გადაწყვეტილებები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ფესვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

243 რადიკალური რიცხვის უბრალო ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა 243=3 5 . ამრიგად, .

პასუხი:

მაგალითი.

არის თუ არა ძირეული მნიშვნელობა მთელი რიცხვი?

გამოსავალი.

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით, რადიკალური რიცხვი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად და ვნახოთ, შეიძლება თუ არა მისი წარმოდგენა მთელი რიცხვის კუბის სახით.

გვაქვს 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2. შედეგად მიღებული გაფართოება არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მთელი რიცხვის კუბი, რადგან პირველი ფაქტორის 7 სიძლიერე არ არის სამის ნამრავლი. მაშასადამე, 285,768-ის კუბური ფესვის სრულად ამოღება შეუძლებელია.

პასუხი:

არა.

ფესვების ამოღება წილადი რიცხვებიდან

დროა გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა ამოიღოთ წილადი რიცხვის ფესვი. წილადი რადიკალური რიცხვი დაიწეროს როგორც p/q. კოეფიციენტის ფესვის თვისების მიხედვით ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობა. ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს წილადის ფესვის ამოღების წესი: წილადის ფესვი ტოლია მრიცხველის ფესვის მნიშვნელის ძირზე გაყოფილი მრიცხველის.

მოდით შევხედოთ წილადიდან ფესვის ამოღების მაგალითს.

მაგალითი.

რა არის საერთო წილადის კვადრატული ფესვი 25/169?

გამოსავალი.

კვადრატების ცხრილის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ თავდაპირველი წილადის მრიცხველის კვადრატული ფესვი უდრის 5-ს, ხოლო მნიშვნელის კვადრატული ფესვი უდრის 13-ს. მერე . ეს ასრულებს 25/169 საერთო წილადის ფესვის ამოღებას.

პასუხი:

ათობითი წილადის ან შერეული რიცხვის ფესვი ამოღებულია რადიკალური რიცხვების ჩვეულებრივი წილადებით ჩანაცვლების შემდეგ.

მაგალითი.

აიღეთ ათობითი წილადის კუბური ფესვი 474.552.

გამოსავალი.

წარმოვიდგინოთ საწყისი ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად: 474.552=474552/1000. მერე . რჩება კუბური ფესვების ამოღება, რომლებიც არის მიღებული წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში. იმიტომ რომ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 და 1 000 = 10 3, მაშინ და . რჩება მხოლოდ გამოთვლების დასრულება .

პასუხი:

.

უარყოფითი რიცხვის ფესვის აღება

ღირს შეჩერება უარყოფითი რიცხვებიდან ფესვების ამოღებაზე. ფესვების შესწავლისას ჩვენ ვთქვით, რომ როდესაც ფესვის მაჩვენებელი კენტი რიცხვია, მაშინ ძირის ნიშნის ქვეშ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. ჩვენ მივეცით ამ ჩანაწერებს შემდეგი მნიშვნელობა: უარყოფითი რიცხვისთვის -a და ფესვის კენტი მაჩვენებლისთვის 2 n−1, . ეს თანასწორობა იძლევა უარყოფითი რიცხვებიდან კენტი ფესვების ამოღების წესი: უარყოფითი რიცხვის ფესვის ამოსაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ საპირისპირო დადებითი რიცხვის ფესვი და შედეგის წინ დააყენოთ მინუს ნიშანი.

მოდით შევხედოთ გამოსავლის მაგალითს.

მაგალითი.

იპოვნეთ ფესვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

მოდით გადავიტანოთ ორიგინალური გამოხატულება ისე, რომ ძირის ნიშნის ქვეშ იყოს დადებითი რიცხვი: . ახლა შეცვალეთ შერეული რიცხვი ჩვეულებრივი წილადით: . ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივი წილადის ფესვის ამოღების წესს: . რჩება ფესვების გამოთვლა მიღებული წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში: .

აქ მოცემულია გადაწყვეტის მოკლე შინაარსი: .

პასუხი:

.

ძირეული მნიშვნელობის ბიტიური განსაზღვრა

ზოგადად, ფესვის ქვეშ არის რიცხვი, რომელიც, ზემოთ განხილული ტექნიკის გამოყენებით, არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ნებისმიერი რიცხვის n-ე ხარისხი. მაგრამ ამ შემთხვევაში საჭიროა ვიცოდეთ მოცემული ფესვის მნიშვნელობა, ყოველ შემთხვევაში გარკვეულ ნიშანმდე. ამ შემთხვევაში, ფესვის ამოსაღებად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ თანმიმდევრულად მიიღოთ სასურველი რიცხვის ციფრული მნიშვნელობების საკმარისი რაოდენობა.

ამ ალგორითმის პირველი ნაბიჯი არის იმის გარკვევა, თუ რა არის ფესვის მნიშვნელობის ყველაზე მნიშვნელოვანი ბიტი. ამისათვის რიცხვები 0, 10, 100, ... თანმიმდევრულად ამაღლებულია n ხარისხამდე, სანამ არ მიიღება რიცხვი რადიკალურ რიცხვს გადააჭარბებს. შემდეგ რიცხვი, რომელიც წინა ეტაპზე გავზარდეთ n-მდე, მიუთითებს შესაბამის ყველაზე მნიშვნელოვან ციფრზე.

მაგალითად, განიხილეთ ალგორითმის ეს ნაბიჯი ხუთის კვადრატული ფესვის ამოღებისას. აიღეთ რიცხვები 0, 10, 100, ... და კვადრატში, სანამ არ მივიღებთ 5-ზე მეტ რიცხვს. გვაქვს 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, რაც ნიშნავს, რომ ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრი იქნება ერთი ციფრი. ამ ბიტის მნიშვნელობა, ისევე როგორც ქვედა, გამოჩნდება ფესვის ამოღების ალგორითმის შემდეგ ნაბიჯებში.

ალგორითმის ყველა შემდგომი ნაბიჯი მიზნად ისახავს ფესვის მნიშვნელობის თანმიმდევრულად გარკვევას, ფესვის სასურველი მნიშვნელობის შემდეგი ბიტების მნიშვნელობების მოძიებით, ყველაზე მაღალიდან დაწყებული და ყველაზე დაბალზე გადასვლის გზით. მაგალითად, ფესვის მნიშვნელობა პირველ საფეხურზე გამოდის 2, მეორეზე – 2.2, მესამეზე – 2.23 და ასე შემდეგ 2.236067977…. მოდით აღვწეროთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ბიტების მნიშვნელობები.

ციფრები იპოვება მათი შესაძლო მნიშვნელობების ძიებით 0, 1, 2, ..., 9. ამ შემთხვევაში, პარალელურად გამოითვლება შესაბამისი რიცხვების n-ე ხარისხები და შედარებულია რადიკალურ რიცხვთან. თუ გარკვეულ ეტაპზე ხარისხის მნიშვნელობა აჭარბებს რადიკალურ რიცხვს, მაშინ ჩაითვლება ნაპოვნი ციფრის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება წინა მნიშვნელობას და ხდება გადასვლა ფესვის ამოღების ალგორითმის შემდეგ ეტაპზე, თუ ეს არ მოხდება; მაშინ ამ ციფრის მნიშვნელობა არის 9.

მოდით ავხსნათ ეს წერტილები ხუთის კვადრატული ფესვის გამოყვანის იგივე მაგალითის გამოყენებით.

ჯერ ვპოულობთ ერთეულების ციფრის მნიშვნელობას. ჩვენ გავივლით მნიშვნელობებს 0, 1, 2, ..., 9, გამოვთვლით 0 2, 1 2, ..., 9 2, შესაბამისად, სანამ არ მივიღებთ რადიკალურ რიცხვზე მეტ მნიშვნელობას. მოსახერხებელია ყველა ამ გამოთვლების წარმოდგენა ცხრილის სახით:

ასე რომ, ერთეულის ციფრის მნიშვნელობა არის 2 (რადგან 2 2<5 , а 2 3 >5). მოდით გადავიდეთ მეათე ადგილის მნიშვნელობის პოვნაზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ კვადრატში გამოვყოფთ რიცხვებს 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, შევადარებთ მიღებულ მნიშვნელობებს რადიკალურ რიცხვთან 5:

2.2 2 წლიდან<5 , а 2,3 2 >5, მაშინ მეათე ადგილის მნიშვნელობა არის 2. შეგიძლიათ გააგრძელოთ მეასედების მნიშვნელობის პოვნა:

ასე იპოვეს ხუთის ფესვის შემდეგი მნიშვნელობა, ის უდრის 2,23-ს. ასე რომ, შეგიძლიათ გააგრძელოთ მნიშვნელობების პოვნა: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

მასალის კონსოლიდაციისთვის, ჩვენ გავაანალიზებთ ფესვის ამოღებას მეასედების სიზუსტით განხილული ალგორითმის გამოყენებით.

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ ყველაზე მნიშვნელოვან ციფრს. ამისათვის ჩვენ კუბირებთ რიცხვებს 0, 10, 100 და ა.შ. სანამ არ მივიღებთ 2,151,186-ზე მეტ რიცხვს. გვაქვს 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, ასე რომ, ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრი არის ათეულის ციფრი.

მოდით განვსაზღვროთ მისი ღირებულება.

103 წლიდან<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, მაშინ ათეულების ადგილის მნიშვნელობა არის 1. მოდით გადავიდეთ ერთეულებზე.

ამრიგად, ერთის ციფრის მნიშვნელობა არის 2. გადავიდეთ მეათედებზე.

ვინაიდან თუნდაც 12,9 3 ნაკლებია რადიკალურ რიცხვზე 2 151,186, მაშინ მეათე ადგილის მნიშვნელობა არის 9. რჩება ალგორითმის ბოლო საფეხურის შესრულება საჭირო სიზუსტით.

ამ ეტაპზე, ფესვის მნიშვნელობა ზუსტია მეასედამდე: .

ამ სტატიის დასასრულს, მინდა ვთქვა, რომ ფესვების ამოღების მრავალი სხვა გზა არსებობს. მაგრამ უმრავლესობისთვის საკმარისია ის, რაც ზემოთ შევისწავლეთ.

ბიბლიოგრაფია.

• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებში.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების მე-10 - მე-11 კლასების სახელმძღვანელო.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში მოსულთათვის).