სოციალურ-ეკონომიკურ კვლევაში გამოყენებული სტატისტიკური ინდიკატორების ყველაზე გავრცელებული ფორმაა საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც წარმოადგენს სტატისტიკური პოპულაციის ნიშნის განზოგადებულ რაოდენობრივ მახასიათებელს. საშუალო მნიშვნელობები, როგორც ეს იყო, დაკვირვებების მთელი სერიის "წარმომადგენლებია". ხშირ შემთხვევაში, საშუალო შეიძლება განისაზღვროს საშუალოს საწყისი თანაფარდობის (ISS) ან მისი ლოგიკური ფორმულის მეშვეობით: . ასე, მაგალითად, საწარმოს თანამშრომლების საშუალო ხელფასის გამოსათვლელად, საჭიროა ჯამური სახელფასო ფონდის გაყოფა დასაქმებულთა რაოდენობაზე: საშუალო საწყისი თანაფარდობის მრიცხველი მისი განმსაზღვრელი მაჩვენებელია. საშუალო ხელფასისთვის ასეთი განმსაზღვრელი მაჩვენებელია სახელფასო ფონდი. სოციალურ-ეკონომიკურ ანალიზში გამოყენებული თითოეული ინდიკატორისთვის შეიძლება შედგეს მხოლოდ ერთი ჭეშმარიტი საცნობარო კოეფიციენტი საშუალოს გამოსათვლელად. ასევე უნდა დაემატოს, რომ მცირე ნიმუშებისთვის სტანდარტული გადახრის უფრო ზუსტად შესაფასებლად (30-ზე ნაკლები ელემენტების რაოდენობა), ფესვის ქვეშ გამოხატული გამონათქვამის მნიშვნელი არ უნდა იყოს გამოყენებული. ნ, ა n- 1.

საშუალოების კონცეფცია და ტიპები

Საშუალო ღირებულება- ეს არის სტატისტიკური პოპულაციის განზოგადებული მაჩვენებელი, რომელიც აქრობს ინდივიდუალურ განსხვავებებს სტატისტიკური რაოდენობების მნიშვნელობებში, რაც საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ სხვადასხვა პოპულაციები ერთმანეთთან. არსებობს 2 კლასისაშუალო მნიშვნელობები: სიმძლავრე და სტრუქტურული. სტრუქტურული საშუალო არის მოდა და მედიანური , მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოყენებული სიმძლავრის საშუალოსხვადასხვა სახის.

სიმძლავრე საშუალოდ

სიმძლავრის საშუალო მაჩვენებლები შეიძლება იყოს მარტივიდა შეწონილი.

მარტივი საშუალო გამოითვლება, როდესაც არსებობს ორი ან მეტი დაუჯგუფებელი სტატისტიკური მნიშვნელობა, რომლებიც განლაგებულია თვითნებური თანმიმდევრობით საშუალო სიმძლავრის კანონის შემდეგი ზოგადი ფორმულის მიხედვით (k (m) სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის):

საშუალო შეწონილი გამოითვლება დაჯგუფებული სტატისტიკიდან შემდეგი ზოგადი ფორმულის გამოყენებით:

სადაც x - შესწავლილი ფენომენის საშუალო მნიშვნელობა; x i – საშუალო მახასიათებლის i-ე ვარიანტი;

f i არის i-ე ვარიანტის წონა.

სადაც X არის ინდივიდუალური სტატისტიკური მნიშვნელობების მნიშვნელობები ან დაჯგუფების ინტერვალების შუა წერტილები;
m - მაჩვენებელი, რომლის მნიშვნელობაზეა დამოკიდებული სიმძლავრის საშუალო შემდეგი ტიპები:
m = -1 ჰარმონიული საშუალო;
m = 0-ისთვის, გეომეტრიული საშუალო;
m = 1-ისთვის, საშუალო არითმეტიკული;
m = 2-ზე, ფესვის საშუალო კვადრატი;
m = 3-ზე, საშუალო კუბური.

მარტივი და შეწონილი საშუალოების ზოგადი ფორმულების გამოყენებით m სხვადასხვა მაჩვენებლით, ჩვენ ვიღებთ თითოეული ტიპის კონკრეტულ ფორმულებს, რომლებიც დეტალურად იქნება განხილული ქვემოთ.

Საშუალო არითმეტიკული

არითმეტიკული საშუალო - პირველი რიგის საწყისი მომენტი, შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების მათემატიკური მოლოდინი ცდების დიდი რაოდენობით;

საშუალო არითმეტიკული არის ყველაზე ხშირად გამოყენებული საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება m = 1-ის ზოგად ფორმულაში ჩანაცვლებით. Საშუალო არითმეტიკული მარტივიაქვს შემდეგი ფორმა:

ან

სადაც X არის იმ რაოდენობების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც აუცილებელია საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლა; N არის X მნიშვნელობების საერთო რაოდენობა (ერთეულების რაოდენობა შესწავლილ პოპულაციაში).

მაგალითად, მოსწავლემ ჩააბარა 4 გამოცდა და მიიღო შემდეგი შეფასებები: 3, 4, 4 და 5. გამოვთვალოთ საშუალო ქულა მარტივი არითმეტიკული საშუალო ფორმულით: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.Საშუალო არითმეტიკული შეწონილიაქვს შემდეგი ფორმა:

სადაც f არის იგივე X მნიშვნელობის მქონე მნიშვნელობების რაოდენობა (სიხშირე). >მაგალითად, სტუდენტმა ჩააბარა 4 გამოცდა და მიიღო შემდეგი შეფასებები: 3, 4, 4 და 5. გამოთვალეთ საშუალო ქულა საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულით: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.თუ X მნიშვნელობები მოცემულია ინტერვალებად, მაშინ გამოთვლებისთვის გამოიყენება X ინტერვალის შუა წერტილები, რომლებიც განისაზღვრება, როგორც ინტერვალის ზედა და ქვედა ზღვრების ჯამის ნახევარი. და თუ X ინტერვალს არ აქვს ქვედა ან ზედა ზღვარი (ღია ინტერვალი), მაშინ მის საპოვნელად გამოიყენება მიმდებარე X ინტერვალის დიაპაზონი (სხვაობა ზედა და ქვედა ზღვრებს შორის). მაგალითად, საწარმოში მუშაობს 10 თანამშრომელი 3 წლამდე სამუშაო გამოცდილებით, 20 - 3-დან 5 წლამდე, 5 თანამშრომელი - 5 წელზე მეტი სტაჟით. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ თანამშრომელთა მომსახურების საშუალო ხანგრძლივობას არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ფორმულის გამოყენებით, X ავიღებთ მომსახურების ხანგრძლივობის შუალედებს (2, 4 და 6 წელი): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 წელი.

AVERAGE ფუნქცია

ეს ფუნქცია ითვლის თავისი არგუმენტების საშუალო (არითმეტიკას).

საშუალო (ნომერი1, ნომერი2, ...)

Number1, number2, ... არის 1-დან 30-მდე არგუმენტები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო.

არგუმენტები უნდა იყოს რიცხვები ან სახელები, მასივები ან რიცხვების შემცველი მითითებები. თუ არგუმენტი, რომელიც არის მასივი ან ბმული, შეიცავს ტექსტებს, ლოგიკურ ან ცარიელ უჯრედებს, მაშინ ეს მნიშვნელობები იგნორირებულია; თუმცა, უჯრედები, რომლებიც შეიცავს null მნიშვნელობებს, ითვლება.

AVERAGE ფუნქცია

ითვლის არგუმენტების სიაში მოცემული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკას. რიცხვების გარდა, გამოთვლაში მონაწილეობის მიღება შეუძლია ტექსტს და ლოგიკურ მნიშვნელობებს, როგორიცაა TRUE და FALSE.

AVERAGE (მნიშვნელობა1, მნიშვნელობა2,...)

Value1, value2,... არის 1-დან 30 უჯრედამდე, უჯრედების დიაპაზონი ან მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო.

არგუმენტები უნდა იყოს რიცხვები, სახელები, მასივები ან მითითებები. ტექსტის შემცველი მასივები და ბმულები ინტერპრეტირებულია როგორც 0 (ნულოვანი). ცარიელი ტექსტი ("") ინტერპრეტირებულია როგორც 0 (ნულოვანი). TRUE მნიშვნელობის შემცველი არგუმენტები ინტერპრეტირებულია როგორც 1, არგუმენტები, რომლებიც შეიცავს მნიშვნელობას FALSE ინტერპრეტირებულია როგორც 0 (ნულოვანი).

არითმეტიკული საშუალო გამოიყენება ყველაზე ხშირად, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც საჭიროა სხვა ტიპის საშუალო. განვიხილოთ ასეთი შემთხვევები შემდგომში.

საშუალო ჰარმონიული

ჰარმონიული საშუალო ორმხრივთა საშუალო ჯამის დასადგენად;

საშუალო ჰარმონიულიგამოიყენება, როდესაც თავდაპირველი მონაცემები არ შეიცავს f სიხშირეს X-ის ცალკეული მნიშვნელობებისთვის, მაგრამ წარმოდგენილია როგორც მათი პროდუქტი Xf. Xf=w აღსანიშნავად გამოვხატავთ f=w/X და ამ აღნიშვნების შეწონილი არითმეტიკული საშუალო ფორმულით ჩანაცვლებით მივიღებთ შეწონილი ჰარმონიული საშუალო ფორმულას:

ამრიგად, ჰარმონიული შეწონილი საშუალო გამოიყენება, როდესაც f სიხშირეები უცნობია, მაგრამ w=Xf ცნობილია. იმ შემთხვევებში, როდესაც ყველა w=1, ანუ X-ის ინდივიდუალური მნიშვნელობები ხდება 1 ჯერ, გამოიყენება ჰარმონიული მარტივი საშუალო ფორმულა: ან მაგალითად, მანქანა A წერტილიდან B წერტილამდე მიდიოდა 90 კმ/სთ სიჩქარით და უკან 110 კმ/სთ სიჩქარით. საშუალო სიჩქარის დასადგენად, ჩვენ ვიყენებთ ჰარმონიულ მარტივ ფორმულას, რადგან მაგალითი იძლევა მანძილს w 1 \u003d w 2 (მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე იგივეა, რაც B-დან A-მდე), რაც უდრის ნამრავლს. სიჩქარის (X) და დროის (f). საშუალო სიჩქარე = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 კმ/სთ.

SRHARM ფუნქცია

აბრუნებს მონაცემთა ნაკრების ჰარმონიულ საშუალოს. ჰარმონიული საშუალო არის საპასუხო არითმეტიკული საშუალოს ორმხრივი.

SGARM (ნომერი1, ნომერი2, ...)

Number1, number2, ... არის 1-დან 30-მდე არგუმენტები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო. მძიმით გამოყოფილი არგუმენტების ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მასივი ან მასივის მითითება.

ჰარმონიული საშუალო ყოველთვის ნაკლებია გეომეტრიულ საშუალოზე, რომელიც ყოველთვის ნაკლებია საშუალო არითმეტიკაზე.

გეომეტრიული საშუალო

გეომეტრიული საშუალო შემთხვევითი ცვლადების საშუალო ზრდის ტემპის შესაფასებლად, მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობებისგან თანაბარი მანძილის მქონე მახასიათებლის მნიშვნელობის საპოვნელად;

გეომეტრიული საშუალოგამოიყენება საშუალო ფარდობითი ცვლილებების დასადგენად. გეომეტრიული საშუალო მნიშვნელობა იძლევა ყველაზე ზუსტ საშუალო შედეგს, თუ დავალება არის X-ის ისეთი მნიშვნელობის პოვნა, რომელიც თანაბარი დაშორება იქნება X-ის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობებისგან. მაგალითად, 2005-2008 წლებშიინფლაციის ინდექსი რუსეთში იყო: 2005 წელს - 1,109; 2006 წელს - 1090; 2007 წელს - 1119; 2008 წელს - 1 133. ვინაიდან ინფლაციის ინდექსი არის ფარდობითი ცვლილება (დინამიური ინდექსი), მაშინ თქვენ უნდა გამოთვალოთ საშუალო მნიშვნელობა გეომეტრიული საშუალოს გამოყენებით: (1.109 * 1.090 * 1.119 * 1.133) ^ (1/4) = 1.1126, ანუ პერიოდისთვის 2005 წლიდან 2008 წლამდე ფასები ყოველწლიურად გაიზარდა საშუალოდ 11,26%-ით. არითმეტიკული საშუალოზე მცდარი გამოთვლა მისცემს არასწორ შედეგს 11,28%.

SRGEOM ფუნქცია

აბრუნებს მასივის ან დადებითი რიცხვების დიაპაზონის გეომეტრიულ საშუალოს. მაგალითად, CAGEOM ფუნქცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას საშუალო ზრდის ტემპის გამოსათვლელად, თუ მოცემულია კომპოზიციური შემოსავალი ცვლადი განაკვეთებით.

SRGEOM (ნომერი1; ნომერი2; ...)

Number1, number2, ... არის 1-დან 30-მდე არგუმენტები, რომლებისთვისაც გამოითვლება გეომეტრიული საშუალო. მძიმით გამოყოფილი არგუმენტების ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მასივი ან მასივის მითითება.

ფესვი საშუალო კვადრატი

ფესვის საშუალო კვადრატი არის მეორე რიგის საწყისი მომენტი.

ფესვი საშუალო კვადრატიგამოიყენება, როდესაც X-ის საწყისი მნიშვნელობები შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგალითად, საშუალო გადახრების გაანგარიშებისას. კვადრატული საშუალოს ძირითადი გამოყენება არის X მნიშვნელობების ცვალებადობის გაზომვა.

საშუალო კუბური

საშუალო კუბური არის მესამე რიგის საწყისი მომენტი.

საშუალო კუბურიგამოიყენება უკიდურესად იშვიათად, მაგალითად, განვითარებადი ქვეყნებისთვის (HPI-1) და განვითარებული ქვეყნებისთვის (HPI-2) სიღარიბის ინდექსების გაანგარიშებისას, შემოთავაზებული და გამოთვლილი გაეროს მიერ.

უმეტეს შემთხვევაში, მონაცემები კონცენტრირებულია რომელიმე ცენტრალურ წერტილზე. ამრიგად, ნებისმიერი მონაცემთა ნაკრების აღსაწერად საკმარისია საშუალო მნიშვნელობის მითითება. განვიხილოთ თანმიმდევრულად სამი რიცხვითი მახასიათებელი, რომლებიც გამოიყენება განაწილების საშუალო მნიშვნელობის შესაფასებლად: საშუალო არითმეტიკული, მედიანა და რეჟიმი.

საშუალო

საშუალო არითმეტიკული (ხშირად მოხსენიებული უბრალოდ როგორც საშუალო) არის განაწილების საშუალო ყველაზე გავრცელებული შეფასება. ეს არის ყველა დაკვირვებული რიცხვითი მნიშვნელობების ჯამის გაყოფის შედეგი მათ რიცხვზე. ციფრების ნიმუშისთვის X 1, X 2, ..., Xნ, ნიმუშის მნიშვნელობა (აღნიშნულია სიმბოლოთი ) უდრის \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xნ) / ნ, ან

სად არის ნიმუშის საშუალო, ნ- ნიმუშის ზომა, Xმე– ნიმუშის i-ე ელემენტი.

ჩამოტვირთეთ შენიშვნა ფორმატში ან ფორმატში, მაგალითები ფორმატში

განვიხილოთ 15 ძალიან მაღალი რისკის მქონე ერთობლივი ფონდის ხუთწლიანი საშუალო წლიური შემოსავლების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა (სურათი 1).

ბრინჯი. 1. საშუალო წლიური შემოსავალი 15 ძალიან მაღალი რისკის მქონე ერთობლივი ფონდიდან

ნიმუშის საშუალო მაჩვენებელი გამოითვლება შემდეგნაირად:

ეს კარგი მოგებაა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც შევადარებთ 3-4%-იან ანაზღაურებას, რომელიც ბანკის ან საკრედიტო კავშირის მეანაბრეებმა მიიღეს იმავე დროის განმავლობაში. თუ თქვენ დაახარისხებთ დაბრუნების მნიშვნელობებს, ადვილად დაინახავთ, რომ რვა ფონდს აქვს შემოსავალი ზემოთ, ხოლო შვიდს - საშუალოზე დაბალი. საშუალო არითმეტიკული მოქმედებს როგორც საბალანსო წერტილი, ისე, რომ დაბალი შემოსავლის სახსრები აბალანსებს მაღალშემოსავლიან სახსრებს. ნიმუშის ყველა ელემენტი ჩართულია საშუალოს გამოთვლაში. განაწილების საშუალების არცერთ სხვა შემფასებელს არ აქვს ეს თვისება.

როდის გამოვთვალოთ საშუალო არითმეტიკული.ვინაიდან არითმეტიკული საშუალო დამოკიდებულია ნიმუშის ყველა ელემენტზე, უკიდურესი მნიშვნელობების არსებობა მნიშვნელოვნად მოქმედებს შედეგზე. ასეთ სიტუაციებში, საშუალო არითმეტიკამ შეიძლება დაამახინჯოს რიცხვითი მონაცემების მნიშვნელობა. ამიტომ უკიდურესი მნიშვნელობების შემცველი მონაცემთა ნაკრების აღწერისას აუცილებელია მიეთითოს მედიანა ან არითმეტიკული საშუალო და მედიანა. მაგალითად, თუ RS Emerging Growth-ის შემოსავალი ამოღებულია ნიმუშიდან, 14 ფონდის ანაზღაურების ნიმუშის საშუალო მაჩვენებელი მცირდება თითქმის 1%-ით 5,19%-მდე.

მედიანური

მედიანა არის რიცხვების მოწესრიგებული მასივის საშუალო მნიშვნელობა. თუ მასივი არ შეიცავს განმეორებით რიცხვებს, მაშინ მისი ელემენტების ნახევარი იქნება მედიანაზე ნაკლები და ნახევარი მეტი. თუ ნიმუში შეიცავს ექსტრემალურ მნიშვნელობებს, უმჯობესია გამოვიყენოთ მედიანა და არა საშუალო არითმეტიკული საშუალოს შესაფასებლად. ნიმუშის მედიანას გამოსათვლელად, ჯერ ის უნდა იყოს დახარისხებული.

ეს ფორმულა ორაზროვანია. მისი შედეგი დამოკიდებულია რიცხვზე ლუწი თუ კენტი. ნ:

• თუ ნიმუში შეიცავს ნივთების კენტ რაოდენობას, მედიანა არის (n+1)/2- ე ელემენტი.
• თუ ნიმუში შეიცავს ელემენტების ლუწი რაოდენობას, მედიანა დევს ნიმუშის ორ შუა ელემენტს შორის და უდრის ამ ორ ელემენტზე გამოთვლილ საშუალო არითმეტიკას.

იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ მედიანა 15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის ნიმუშისთვის, ჩვენ ჯერ უნდა დავახარისხოთ ნედლეული მონაცემები (სურათი 2). მაშინ მედიანა იქნება ნიმუშის შუა ელემენტის რაოდენობის საპირისპირო; ჩვენს მაგალითში ნომერი 8. Excel-ს აქვს სპეციალური ფუნქცია =MEDIAN(), რომელიც მუშაობს შეუკვეთებელ მასივებთანაც.

ბრინჯი. 2. მედიანა 15 ფონდი

ამრიგად, მედიანა არის 6.5. ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაღალი რისკის ფონდების ნახევარი არ აღემატება 6,5-ს, ხოლო მეორე ნახევარი ამას აკეთებს. გაითვალისწინეთ, რომ 6.5-ის მედიანა ოდნავ აღემატება 6.08-ის მედიანას.

თუ RS Emerging Growth-ის რენტაბელურობას ამოვიღებ ნიმუშიდან, მაშინ დარჩენილი 14 ფონდის მედიანა შემცირდება 6,2%-მდე, ანუ არა ისეთი მნიშვნელოვნად, როგორც საშუალო არითმეტიკული (ნახ. 3).

ბრინჯი. 3. მედიანა 14 ფონდი

მოდა

ტერმინი პირველად შემოიღო პირსონმა 1894 წელს. მოდა არის რიცხვი, რომელიც ყველაზე ხშირად გვხვდება ნიმუშში (ყველაზე მოდური). მოდა კარგად აღწერს, მაგალითად, მძღოლების ტიპურ რეაქციას საგზაო სიგნალზე მოძრაობის შეჩერების მიზნით. მოდის გამოყენების კლასიკური მაგალითია ფეხსაცმლის წარმოებული პარტიის ზომის ან შპალერის ფერის არჩევანი. თუ დისტრიბუციას აქვს მრავალი რეჟიმი, მაშინ ამბობენ, რომ ის არის მულტიმოდალური ან მულტიმოდალური (აქვს ორი ან მეტი "პიკი"). მულტიმოდალური განაწილება იძლევა მნიშვნელოვან ინფორმაციას შესწავლილი ცვლადის ბუნების შესახებ. მაგალითად, სოციოლოგიურ გამოკითხვებში, თუ ცვლადი წარმოადგენს რაიმეს მიმართ უპირატესობას ან დამოკიდებულებას, მაშინ მულტიმოდალობა შეიძლება ნიშნავს, რომ არსებობს რამდენიმე მკაფიოდ განსხვავებული მოსაზრება. მულტიმოდალობა ასევე არის მაჩვენებელი იმისა, რომ ნიმუში არ არის ერთგვაროვანი და რომ დაკვირვებები შეიძლება წარმოიქმნას ორი ან მეტი "გადახურული" განაწილებით. საშუალო არითმეტიკისგან განსხვავებით, გამოკვეთილები არ მოქმედებს რეჟიმზე. მუდმივად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადებისთვის, როგორიცაა საერთო სახსრების საშუალო წლიური შემოსავალი, რეჟიმი ზოგჯერ საერთოდ არ არსებობს (ან აზრი არ აქვს). ვინაიდან ამ ინდიკატორებს შეუძლიათ სხვადასხვა მნიშვნელობების მიღება, მნიშვნელობების განმეორება ძალზე იშვიათია.

მეოთხედი

მეოთხედები არის ზომები, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება მონაცემთა განაწილების შესაფასებლად დიდი რიცხვითი ნიმუშების თვისებების აღწერისას. მიუხედავად იმისა, რომ მედიანა ყოფს მოწესრიგებულ მასივს შუაზე (მაივის ელემენტების 50% ნაკლებია მედიანაზე და 50% მეტია), კვარტილები არღვევს მოწესრიგებულ მონაცემთა ბაზას ოთხ ნაწილად. Q 1, მედიანა და Q 3 მნიშვნელობები არის 25-ე, 50-ე და 75-ე პროცენტული, შესაბამისად. პირველი მეოთხედი Q 1 არის რიცხვი, რომელიც ნიმუშს ყოფს ორ ნაწილად: ელემენტების 25% ნაკლებია, ხოლო 75% მეტია პირველ კვარტალზე.

მესამე მეოთხედი Q 3 არის რიცხვი, რომელიც ასევე ყოფს ნიმუშს ორ ნაწილად: ელემენტების 75% ნაკლებია, ხოლო 25% მეტია მესამე მეოთხედზე.

2007 წლამდე Excel-ის ვერსიებში კვარტილების გამოსათვლელად გამოყენებული იყო ფუნქცია =QUARTILE (მასივი, ნაწილი). Excel 2010-დან დაწყებული, მოქმედებს ორი ფუნქცია:

• =QUARTILE.ON (მაივი, ნაწილი)
• =QUARTILE.EXC(მასივი, ნაწილი)

ეს ორი ფუნქცია იძლევა ოდნავ განსხვავებულ მნიშვნელობებს (სურათი 4). მაგალითად, 15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის საშუალო წლიური შემოსავლის შესახებ მონაცემების შემცველი ნიმუშის კვარტილების გაანგარიშებისას, Q 1 = 1,8 ან -0,7 QUARTILE.INC და QUARTILE.EXC შესაბამისად. სხვათა შორის, ადრე გამოყენებული QUARTILE ფუნქცია შეესაბამება თანამედროვე QUARTILE.ON ფუნქციას. Excel-ში კვარტილების გამოსათვლელად ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენებით, მონაცემთა მასივი შეიძლება დარჩეს უწესრიგოდ.

ბრინჯი. 4. გამოთვალეთ კვარტილები Excel-ში

კიდევ ერთხელ ხაზი გავუსვათ. Excel-ს შეუძლია კვარტილების გამოთვლა უნივარიატისთვის დისკრეტული სერია, რომელიც შეიცავს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს. კვარტილების გაანგარიშება სიხშირეზე დაფუძნებული განაწილებისთვის მოცემულია ქვემოთ მოცემულ ნაწილში.

გეომეტრიული საშუალო

საშუალო არითმეტიკისგან განსხვავებით, გეომეტრიული საშუალო ზომავს რამდენად შეიცვალა ცვლადი დროთა განმავლობაში. გეომეტრიული საშუალო არის ფესვი ნპროდუქტიდან ე ხარისხი ნმნიშვნელობები (ექსელში, ფუნქცია = CUGEOM გამოიყენება):

გ= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

მსგავსი პარამეტრი - დაბრუნების სიჩქარის გეომეტრიული საშუალო - განისაზღვრება ფორმულით:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

სადაც რ ი- დაბრუნების კოეფიციენტი მე- დროის მე-6 პერიოდი.

მაგალითად, დავუშვათ, საწყისი ინვესტიცია არის $100,000. პირველი წლის ბოლოს, ის მცირდება $50,000-მდე, ხოლო მეორე წლის ბოლოს, იგი აღდგება თავდაპირველ $100,000-მდე. ამ ინვესტიციის ანაზღაურების მაჩვენებელი ორ- წლის პერიოდი უდრის 0-ს, ვინაიდან სახსრების საწყისი და საბოლოო ოდენობა ერთმანეთის ტოლია. თუმცა, ანაზღაურების წლიური განაკვეთების საშუალო არითმეტიკული არის = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ან 25%, რადგან ანაზღაურების მაჩვენებელი პირველ წელს R 1 = (50,000 - 100,000) / 100,000 = -0,5 , და მეორეში R 2 = (100,000 - 50,000) / 50,000 = 1. ამავე დროს, ანაზღაურების კოეფიციენტის გეომეტრიული საშუალო ორი წლის განმავლობაში არის: G = [(1–0,5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. ამრიგად, გეომეტრიული საშუალო უფრო ზუსტად ასახავს ცვლილებას (უფრო ზუსტად, ცვლილების არარსებობას) ინვესტიციების მოცულობის ორწლიანი პერიოდის განმავლობაში, ვიდრე საშუალო არითმეტიკული.

Საინტერესო ფაქტები.პირველი, გეომეტრიული საშუალო ყოველთვის ნაკლები იქნება იმავე რიცხვების საშუალო არითმეტიკაზე. გარდა იმ შემთხვევისა, როცა ყველა აღებული რიცხვი ერთმანეთის ტოლია. მეორეც, მართკუთხა სამკუთხედის თვისებების გათვალისწინებით, შეიძლება გავიგოთ, თუ რატომ ეწოდება საშუალოს გეომეტრიული. მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე, დაშვებული ჰიპოტენუზაზე, არის საშუალო პროპორციულობა ჰიპოტენუზაზე ფეხების პროექციას შორის და თითოეული ფეხი არის საშუალო პროპორციულობა ჰიპოტენუზასა და მის პროექციას შორის ჰიპოტენუზაზე (ნახ. 5). ეს გვაძლევს გეომეტრიულ გზას ორი (სიგრძის) სეგმენტის გეომეტრიული საშუალოს ასაგებად: თქვენ უნდა ააგოთ წრე ამ ორი სეგმენტის ჯამზე, როგორც დიამეტრი, შემდეგ კი სიმაღლე, აღდგენილი მათი შეერთების წერტილიდან კვეთამდე. წრე, მისცემს სასურველ მნიშვნელობას:

ბრინჯი. 5. გეომეტრიული საშუალოს გეომეტრიული ბუნება (სურათი ვიკიპედიიდან)

რიცხვითი მონაცემების მეორე მნიშვნელოვანი თვისებაა მათი ვარიაციაახასიათებს მონაცემთა დისპერსიის ხარისხს. ორი განსხვავებული ნიმუში შეიძლება განსხვავდებოდეს როგორც საშუალო მნიშვნელობებში, ასევე ვარიაციებში. თუმცა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 6 და 7, ორ ნიმუშს შეიძლება ჰქონდეს იგივე ვარიაცია, მაგრამ განსხვავებული საშუალებები, ან იგივე საშუალო და სრულიად განსხვავებული ვარიაცია. B მრავალკუთხედის შესაბამისი მონაცემები ნახ. 7 ბევრად ნაკლებია, ვიდრე ის მონაცემები, საიდანაც აშენდა პოლიგონი A.

ბრინჯი. 6. ორი სიმეტრიული ზარის ფორმის განაწილება ერთნაირი გავრცელებით და სხვადასხვა საშუალო მნიშვნელობებით

ბრინჯი. 7. ორი სიმეტრიული ზარის ფორმის განაწილება ერთი და იგივე საშუალო მნიშვნელობებით და განსხვავებული სკატერით

არსებობს მონაცემების ცვალებადობის ხუთი შეფასება:

• დიაპაზონი,
• კვარტლთაშორისი დიაპაზონი,
• დისპერსია,
• სტანდარტული გადახრა,
• ვარიაციის კოეფიციენტი.

ფარგლები

დიაპაზონი არის განსხვავება ნიმუშის უდიდეს და უმცირეს ელემენტებს შორის:

გადაფურცვლა = Xმაქს-Xმინ

ნიმუშის დიაპაზონი, რომელიც შეიცავს 15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის საშუალო წლიურ შემოსავალს, შეიძლება გამოითვალოს შეკვეთილი მასივის გამოყენებით (იხ. სურათი 4): დიაპაზონი = 18.5 - (-6.1) = 24.6. ეს ნიშნავს, რომ სხვაობა უმაღლეს და ყველაზე დაბალ საშუალო წლიურ შემოსავალს შორის ძალიან მაღალი რისკის ფონდებისთვის არის 24.6%.

დიაპაზონი ზომავს მონაცემთა საერთო გავრცელებას. მიუხედავად იმისა, რომ ნიმუშის დიაპაზონი არის მონაცემთა მთლიანი გავრცელების ძალიან მარტივი შეფასება, მისი სისუსტე ის არის, რომ არ ითვალისწინებს ზუსტად როგორ ნაწილდება მონაცემები მინიმალურ და მაქსიმალურ ელემენტებს შორის. ეს ეფექტი კარგად ჩანს ნახ. 8, რომელიც ასახავს იგივე დიაპაზონის მქონე ნიმუშებს. B მასშტაბი აჩვენებს, რომ თუ ნიმუში შეიცავს მინიმუმ ერთ უკიდურეს მნიშვნელობას, ნიმუშის დიაპაზონი არის მონაცემთა გაფანტვის ძალიან არასწორი შეფასება.

ბრინჯი. 8. სამი ნიმუშის ერთნაირი დიაპაზონის შედარება; სამკუთხედი განასახიერებს ბალანსის მხარდაჭერას და მისი მდებარეობა შეესაბამება ნიმუშის საშუალო მნიშვნელობას

ინტერკვარტილური დიაპაზონი

ინტერკვარტილი, ანუ საშუალო დიაპაზონი არის განსხვავება ნიმუშის მესამე და პირველ მეოთხედს შორის:

ინტერკვარტილური დიაპაზონი \u003d Q 3 - Q 1

ეს მნიშვნელობა შესაძლებელს ხდის ელემენტების 50%-ის გავრცელების შეფასებას და ექსტრემალური ელემენტების გავლენის გათვალისწინებას. ინტერკვარტილური დიაპაზონი ნიმუშისთვის, რომელიც შეიცავს მონაცემებს 15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის საშუალო წლიურ შემოსავალზე, შეიძლება გამოითვალოს ნახ. 4 (მაგალითად, QUARTILE.EXC ფუნქციისთვის): ინტერკვარტილური დიაპაზონი = 9.8 - (-0.7) = 10.5. 9.8-დან -0.7-მდე ინტერვალს ხშირად შუა ნახევარს უწოდებენ.

უნდა აღინიშნოს, რომ Q 1 და Q 3 მნიშვნელობები და, შესაბამისად, ინტერკვარტილური დიაპაზონი, არ არის დამოკიდებული გამონაყარის არსებობაზე, რადგან მათი გაანგარიშება არ ითვალისწინებს რაიმე მნიშვნელობას, რომელიც იქნება Q 1-ზე ნაკლები ან Q 3-ზე მეტი. . ჯამურ რაოდენობრივ მახასიათებლებს, როგორიცაა მედიანა, პირველი და მესამე კვარტლები და ინტერკვარტილური დიაპაზონი, რომლებზეც გავლენას არ მოახდენს გარე ნიშნები, ეწოდება მძლავრი ინდიკატორები.

მიუხედავად იმისა, რომ დიაპაზონი და მეოთხედი დიაპაზონი იძლევა ნიმუშის მთლიანი და საშუალო გაფანტვის შეფასებას, შესაბამისად, არცერთი ეს შეფასება არ ითვალისწინებს ზუსტად როგორ არის განაწილებული მონაცემები. ვარიაცია და სტანდარტული გადახრათავისუფალი ამ ნაკლისგან. ეს ინდიკატორები საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ მონაცემების რყევის ხარისხი საშუალოზე. ნიმუშის ვარიაციაარის საშუალო არითმეტიკული მიახლოება, რომელიც გამოითვლება კვადრატული განსხვავებებიდან თითოეულ ნიმუშის ელემენტსა და ნიმუშის საშუალოს შორის. X 1 , X 2 , ... X n-ის ნიმუშისთვის, ნიმუშის ვარიაცია (აღნიშნული სიმბოლო S 2 მოცემულია შემდეგი ფორმულით:

ზოგადად, ნიმუშის ვარიაცია არის კვადრატული განსხვავებების ჯამი ნიმუშის ელემენტებსა და ნიმუშის საშუალოს შორის, გაყოფილი მნიშვნელობით, რომელიც უდრის ნიმუშის ზომას მინუს ერთი:

სადაც - საშუალო არითმეტიკული, ნ- ნიმუშის ზომა, X ი - მე-ე ნიმუში ელემენტი X. Excel-ში 2007 ვერსიამდე, ფუნქცია =VAR() გამოიყენებოდა ნიმუშის დისპერსიის გამოსათვლელად, ვინაიდან 2010 წლის ვერსიიდან გამოიყენება ფუნქცია =VAR.V().

მონაცემთა გაფანტვის ყველაზე პრაქტიკული და ფართოდ მიღებული შეფასებაა სტანდარტული გადახრა. ეს მაჩვენებელი აღინიშნება S სიმბოლოთი და უდრის ნიმუშის დისპერსიის კვადრატულ ფესვს:

Excel-ში 2007 ვერსიამდე, =STDEV() ფუნქცია გამოიყენებოდა სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, 2010 წლის ვერსიიდან გამოიყენება =STDEV.B() ფუნქცია. ამ ფუნქციების გამოსათვლელად, მონაცემთა მასივი შეიძლება იყოს უწესრიგო.

არც ნიმუშის განსხვავება და არც ნიმუშის სტანდარტული გადახრა არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. ერთადერთი სიტუაცია, რომელშიც S 2 და S ინდიკატორები შეიძლება იყოს ნულოვანი, არის თუ ნიმუშის ყველა ელემენტი თანაბარია. ამ სრულიად წარმოუდგენელ შემთხვევაში დიაპაზონი და ინტერკვარტილური დიაპაზონი ასევე ნულის ტოლია.

რიცხვითი მონაცემები არსებითად არასტაბილურია. ნებისმიერ ცვლადს შეუძლია მიიღოს მრავალი განსხვავებული მნიშვნელობა. მაგალითად, სხვადასხვა ურთიერთდახმარების ფონდებს აქვთ განსხვავებული ანაზღაურება და ზარალი. რიცხვითი მონაცემების ცვალებადობის გამო ძალზე მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ საშუალო შეფასებების შესწავლა, რომლებიც შემაჯამებელი ხასიათისაა, არამედ დისპერსიის შეფასებები, რომლებიც ახასიათებს მონაცემთა გაფანტვას.

განსხვავება და სტანდარტული გადახრა საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ მონაცემების გავრცელება საშუალოზე, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განვსაზღვროთ ნიმუშის რამდენი ელემენტია საშუალოზე ნაკლები და რამდენი მეტი. დისპერსიას აქვს რამდენიმე ღირებული მათემატიკური თვისება. თუმცა, მისი ღირებულება არის საზომი ერთეულის კვადრატი - კვადრატული პროცენტი, კვადრატული დოლარი, კვადრატული ინჩი და ა.შ. მაშასადამე, დისპერსიის ბუნებრივი შეფასება არის სტანდარტული გადახრა, რომელიც გამოიხატება ჩვეულებრივი საზომი ერთეულებით - შემოსავლის პროცენტი, დოლარი ან ინჩი.

სტანდარტული გადახრა საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ ნიმუშის ელემენტების რყევების რაოდენობა საშუალო მნიშვნელობის გარშემო. თითქმის ყველა სიტუაციაში, დაკვირვებული მნიშვნელობების უმრავლესობა მდგომარეობს საშუალოდან პლუს ან მინუს ერთი სტანდარტული გადახრის ფარგლებში. მაშასადამე, ნიმუშის ელემენტების საშუალო არითმეტიკული და სტანდარტული ნიმუშის გადახრის ცოდნით, შესაძლებელია განისაზღვროს ინტერვალი, რომელსაც ეკუთვნის მონაცემების დიდი ნაწილი.

უკუგების სტანდარტული გადახრა 15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდებზე არის 6.6 (სურათი 9). ეს ნიშნავს, რომ სახსრების დიდი ნაწილის მომგებიანობა განსხვავდება საშუალო ღირებულებისგან არაუმეტეს 6,6%-ით (ანუ ის მერყეობს დიაპაზონში – ს= 6.2 – 6.6 = –0.4-მდე +S= 12.8). სინამდვილეში, ეს ინტერვალი შეიცავს სახსრების ხუთწლიან საშუალო წლიურ შემოსავალს 53.3% (15-დან 8).

ბრინჯი. 9. სტანდარტული გადახრა

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული განსხვავებების შეჯამების პროცესში, ერთეულები, რომლებიც საშუალოდან უფრო შორს არიან, უფრო მეტ წონას იძენენ, ვიდრე უფრო ახლოს. ეს თვისება არის მთავარი მიზეზი, რის გამოც არითმეტიკული საშუალო ყველაზე ხშირად გამოიყენება განაწილების საშუალოს შესაფასებლად.

ცვალებადობის კოეფიციენტი

წინა სკატერული შეფასებისგან განსხვავებით, ვარიაციის კოეფიციენტი ფარდობითი შეფასებაა. ის ყოველთვის იზომება პროცენტულად და არა თავდაპირველ მონაცემთა ერთეულებში. ცვალებადობის კოეფიციენტი, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოებით CV, ზომავს მონაცემთა გაფანტვას საშუალოზე. ცვალებადობის კოეფიციენტი ტოლია სტანდარტული გადახრის გაყოფა არითმეტიკული საშუალოზე და გამრავლებული 100%-ზე:

სადაც ს- სტანდარტული ნიმუშის გადახრა, - ნიმუში ნიშნავს.

ცვალებადობის კოეფიციენტი საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ ორი ნიმუში, რომელთა ელემენტები გამოხატულია გაზომვის სხვადასხვა ერთეულში. მაგალითად, ფოსტის მიწოდების სერვისის მენეჯერი აპირებს სატვირთო მანქანების ფლოტის განახლებას. პაკეტების ჩატვირთვისას გასათვალისწინებელია ორი სახის შეზღუდვა: თითოეული პაკეტის წონა (ფუნტებში) და მოცულობა (კუბურ ფუტებში). დავუშვათ, რომ 200 ტომრის ნიმუშში საშუალო წონაა 26.0 ფუნტი, წონის სტანდარტული გადახრა არის 3.9 ფუნტი, პაკეტის საშუალო მოცულობა არის 8.8 კუბური ფუტი და მოცულობის სტანდარტული გადახრა არის 2.2 კუბური ფუტი. როგორ შევადაროთ პაკეტების წონა და მოცულობა?

ვინაიდან წონისა და მოცულობის საზომი ერთეულები განსხვავდება ერთმანეთისგან, მენეჯერმა უნდა შეადაროს ამ მნიშვნელობების ფარდობითი გავრცელება. წონის ცვალებადობის კოეფიციენტი არის CV W = 3.9 / 26.0 * 100% = 15%, ხოლო მოცულობის ცვალებადობის კოეფიციენტი CV V = 2.2 / 8.8 * 100% = 25%. ამრიგად, პაკეტის მოცულობის ფარდობითი გაფანტვა გაცილებით დიდია, ვიდრე მათი წონის ფარდობითი გაფანტვა.

განაწილების ფორმა

ნიმუშის მესამე მნიშვნელოვანი თვისებაა მისი განაწილების ფორმა. ეს განაწილება შეიძლება იყოს სიმეტრიული ან ასიმეტრიული. განაწილების ფორმის აღსაწერად აუცილებელია მისი საშუალო და მედიანას გამოთვლა. თუ ეს ორი ზომა ერთნაირია, ამბობენ, რომ ცვლადი სიმეტრიულად არის განაწილებული. თუ ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა საშუალოზე მეტია, მის განაწილებას აქვს დადებითი დახრილობა (ნახ. 10). თუ მედიანა საშუალოზე მეტია, ცვლადის განაწილება უარყოფითად არის დახრილი. დადებითი დახრილობა ხდება მაშინ, როდესაც საშუალო იზრდება უჩვეულოდ მაღალ მნიშვნელობებამდე. უარყოფითი დახრილობა ხდება მაშინ, როდესაც საშუალო მცირდება უჩვეულოდ მცირე მნიშვნელობებამდე. ცვლადი განაწილებულია სიმეტრიულად, თუ ის არ იღებს რაიმე უკიდურეს მნიშვნელობებს არც ერთი მიმართულებით, ისე, რომ ცვლადის დიდი და მცირე მნიშვნელობები გააუქმებენ ერთმანეთს.

ბრინჯი. 10. სამი სახის განაწილება

A სკალაზე გამოსახულ მონაცემებს უარყოფითი დახრილობა აქვს. ეს ფიგურა გვიჩვენებს უჩვეულოდ მცირე მნიშვნელობებით გამოწვეულ გრძელ კუდს და მარცხენა დახრილობას. ეს უკიდურესად მცირე მნიშვნელობები გადააქვს საშუალო მნიშვნელობას მარცხნივ და ის ხდება მედიანზე ნაკლები. B სკალაზე ნაჩვენები მონაცემები განაწილებულია სიმეტრიულად. განაწილების მარცხენა და მარჯვენა ნახევარი მათი სარკისებური გამოსახულებაა. დიდი და პატარა მნიშვნელობები ერთმანეთს აბალანსებს, საშუალო და მედიანა თანაბარია. B სკალაზე გამოსახულ მონაცემებს დადებითი დახრილობა აქვს. ეს ფიგურა გვიჩვენებს გრძელ კუდს და დახრილობას მარჯვნივ, რაც გამოწვეულია უჩვეულოდ მაღალი მნიშვნელობების არსებობით. ეს ძალიან დიდი მნიშვნელობები ცვლის საშუალოს მარჯვნივ და ის უფრო დიდი ხდება ვიდრე მედიანა.

Excel-ში აღწერითი სტატისტიკის მიღება შესაძლებელია დანამატის გამოყენებით საანალიზო პაკეტი. გაიარეთ მენიუ მონაცემები → Მონაცემთა ანალიზი, ფანჯარაში, რომელიც იხსნება, აირჩიეთ ხაზი Აღწერითი სტატისტიკადა დააწკაპუნეთ Კარგი. ფანჯარაში Აღწერითი სტატისტიკააუცილებლად მიუთითეთ შეყვანის ინტერვალი(სურ. 11). თუ გსურთ იხილოთ აღწერილობითი სტატისტიკა იმავე ფურცელზე, როგორც ორიგინალური მონაცემები, აირჩიეთ რადიო ღილაკი გამომავალი ინტერვალიდა მიუთითეთ უჯრედი, სადაც გსურთ განათავსოთ ნაჩვენები სტატისტიკის ზედა მარცხენა კუთხე (ჩვენს მაგალითში $C$1). თუ გსურთ მონაცემების გამოტანა ახალ ფურცელზე ან ახალ სამუშაო წიგნში, უბრალოდ აირჩიეთ შესაბამისი რადიო ღილაკი. შეამოწმეთ ყუთი გვერდით საბოლოო სტატისტიკა. სურვილისამებრ, ასევე შეგიძლიათ აირჩიოთ Რთული ტური,კ-უმცირესი დაკ- უდიდესი.

თუ დეპოზიტზეა მონაცემებიტერიტორიაზე ანალიზითქვენ არ ხედავთ ხატს Მონაცემთა ანალიზი, ჯერ უნდა დააინსტალიროთ დანამატი საანალიზო პაკეტი(იხილეთ, მაგალითად,).

ბრინჯი. 11. ძალიან მაღალი რისკის მქონე სახსრების ხუთწლიანი საშუალო წლიური შემოსავლის აღწერითი სტატისტიკა, გამოთვლილი დანამატის გამოყენებით Მონაცემთა ანალიზი Excel პროგრამები

Excel ითვლის ზემოთ განხილული სტატისტიკის რაოდენობას: საშუალო, მედიანა, რეჟიმი, სტანდარტული გადახრა, ვარიაცია, დიაპაზონი ( ინტერვალი), მინიმალური, მაქსიმალური და ნიმუშის ზომა ( ჩეკი). გარდა ამისა, Excel ითვლის რამდენიმე ახალ სტატისტიკას ჩვენთვის: სტანდარტული შეცდომა, დახრილობა და დახრილობა. სტანდარტული შეცდომაუდრის სტანდარტული გადახრას გაყოფილი ნიმუშის ზომის კვადრატულ ფესვზე. ასიმეტრიაახასიათებს გადახრას განაწილების სიმეტრიიდან და არის ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია ნიმუშის ელემენტებსა და საშუალო მნიშვნელობას შორის განსხვავებების კუბზე. კურტოზი არის მონაცემთა ფარდობითი კონცენტრაციის საზომი საშუალოს ირგვლივ განაწილების კუდებთან მიმართებაში და დამოკიდებულია ნიმუშსა და მეოთხე ხარისხზე ამაღლებულ საშუალოს შორის განსხვავებაზე.

ზოგადი მოსახლეობის აღწერითი სტატისტიკის გაანგარიშება

ზემოთ განხილული განაწილების საშუალო, გაფანტვა და ფორმა არის ნიმუშზე დაფუძნებული მახასიათებლები. თუმცა, თუ მონაცემთა ნაკრები შეიცავს მთელი პოპულაციის რიცხვით გაზომვებს, მაშინ მისი პარამეტრები შეიძლება გამოითვალოს. ეს პარამეტრები მოიცავს პოპულაციის საშუალო, დისპერსიას და სტანდარტულ გადახრას.

Მოსალოდნელი ღირებულებაუდრის საერთო პოპულაციის ყველა მნიშვნელობის ჯამს გაყოფილი საერთო პოპულაციის მოცულობაზე:

სადაც µ - მოსალოდნელი ღირებულება, Xმე- მე-ე ცვლადი დაკვირვება X, ნ- საერთო მოსახლეობის მოცულობა. Excel-ში მათემატიკური მოლოდინის გამოსათვლელად გამოიყენება იგივე ფუნქცია, რაც საშუალო არითმეტიკისთვის: =AVERAGE().

პოპულაციის ცვალებადობაუდრის საერთო პოპულაციის ელემენტებს შორის კვადრატული განსხვავებების ჯამს. მოლოდინი გაყოფილი მოსახლეობის რაოდენობაზე:

სადაც σ2არის საერთო პოპულაციის ვარიაცია. Excel 2007 ვერსიამდე იყენებს =VAR() ფუნქციას პოპულაციის დისპერსიის გამოსათვლელად, დაწყებული 2010 ვერსიით =VAR.G().

მოსახლეობის სტანდარტული გადახრაუდრის პოპულაციის ვარიაციის კვადრატულ ფესვს:

Excel 2007 ვერსიამდე იყენებს =STDEV() პოპულაციის სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, დაწყებული 2010 ვერსიით =STDEV.Y(). გაითვალისწინეთ, რომ პოპულაციის დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის ფორმულები განსხვავდება ნიმუშის დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის ფორმულებისგან. ნიმუშის სტატისტიკის გაანგარიშებისას S2და სწილადის მნიშვნელი არის n - 1, და პარამეტრების გაანგარიშებისას σ2და σ - საერთო მოსახლეობის მოცულობა ნ.

ემპირიული წესი

უმეტეს სიტუაციებში, დაკვირვებების დიდი ნაწილი კონცენტრირებულია მედიანის ირგვლივ და ქმნის კლასტერს. პოზიტიური დახრილობის მქონე მონაცემთა ნაკრებებში ეს კლასტერი მდებარეობს მათემატიკური მოლოდინის მარცხნივ (ანუ ქვემოთ), ხოლო უარყოფითი დახრილობის მქონე კომპლექტებში ეს კლასტერი მდებარეობს მათემატიკური მოლოდინის მარჯვნივ (ანუ ზემოთ). სიმეტრიულ მონაცემებს აქვთ ერთი და იგივე საშუალო და მედიანა, და დაკვირვებები გროვდება საშუალოზე და ქმნის ზარის ფორმის განაწილებას. თუ განაწილებას არ აქვს გამოხატული დახრილობა და მონაცემები კონცენტრირებულია გარკვეული სიმძიმის ცენტრის გარშემო, ცვალებადობის შესაფასებლად შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცერის წესი, რომელიც ამბობს: თუ მონაცემებს აქვს ზარის ფორმის განაწილება, მაშინ დაახლოებით 68%. დაკვირვებები არის მათემატიკური მოლოდინის ერთი სტანდარტული გადახრის ფარგლებში, დაკვირვებების დაახლოებით 95% არის მოსალოდნელი მნიშვნელობის ორი სტანდარტული გადახრის ფარგლებში, და დაკვირვებების 99.7% არის მოსალოდნელი მნიშვნელობის სამი სტანდარტული გადახრის ფარგლებში.

ამრიგად, სტანდარტული გადახრა, რომელიც არის საშუალო რყევის შეფასება მათემატიკური მოლოდინის გარშემო, გვეხმარება იმის გაგებაში, თუ როგორ არის განაწილებული დაკვირვებები და ამომწურავი ფაქტორების იდენტიფიცირება. ცერი წესიდან გამომდინარეობს, რომ ზარის ფორმის განაწილებისთვის, ოციდან მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან ორზე მეტი სტანდარტული გადახრით. ამიტომ, მნიშვნელობები ინტერვალის გარეთ μ ± 2σ, შეიძლება ჩაითვალოს გარედან. გარდა ამისა, 1000 დაკვირვებიდან მხოლოდ სამი განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან სამზე მეტი სტანდარტული გადახრით. ამრიგად, მნიშვნელობები ინტერვალის გარეთ μ ± 3σთითქმის ყოველთვის გამოკვეთილია. განაწილებისთვის, რომლებიც ძალიან დახრილია ან ზარის ფორმის გარეშე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას Biename-Chebyshev ცერის წესი.

ასზე მეტი წლის წინ მათემატიკოსებმა ბიენამაიმ და ჩებიშევმა დამოუკიდებლად აღმოაჩინეს სტანდარტული გადახრის სასარგებლო თვისება. მათ დაადგინეს, რომ ნებისმიერი მონაცემთა ნაკრებისთვის, განურჩევლად განაწილების ფორმისა, დაკვირვების პროცენტი, რომელიც მდებარეობს არაუმეტეს მანძილზე კსტანდარტული გადახრები მათემატიკური მოლოდინიდან, არანაკლებ (1 – 1/ 2)*100%.

მაგალითად, თუ კ= 2, ბინამე-ჩებიშევის წესი ამბობს, რომ დაკვირვების მინიმუმ (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% უნდა იყოს ინტერვალში. μ ± 2σ. ეს წესი მართალია ნებისმიერისთვის კერთზე მეტი. Biename-Chebyshev წესი ძალიან ზოგადი ხასიათისაა და მოქმედებს ნებისმიერი სახის განაწილებისთვის. იგი მიუთითებს დაკვირვებების მინიმალურ რაოდენობაზე, საიდანაც მათემატიკური მოლოდინის მანძილი არ აღემატება მოცემულ მნიშვნელობას. თუმცა, თუ განაწილება ზარის ფორმისაა, ცერის წესი უფრო ზუსტად აფასებს მონაცემთა კონცენტრაციას საშუალოზე.

აღწერითი სტატისტიკის გამოთვლა სიხშირეზე დაფუძნებული განაწილებისთვის

თუ ორიგინალური მონაცემები არ არის ხელმისაწვდომი, სიხშირის განაწილება ხდება ინფორმაციის ერთადერთი წყარო. ასეთ სიტუაციებში შეგიძლიათ გამოთვალოთ განაწილების რაოდენობრივი მაჩვენებლების მიახლოებითი მნიშვნელობები, როგორიცაა საშუალო არითმეტიკული, სტანდარტული გადახრა, კვარტილები.

თუ ნიმუშის მონაცემები წარმოდგენილია სიხშირის განაწილების სახით, შეიძლება გამოითვალოს საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის მიახლოებითი მნიშვნელობა, იმ ვარაუდით, რომ თითოეული კლასის ყველა მნიშვნელობა კონცენტრირებულია კლასის შუა წერტილში:

სადაც - საშუალო ნიმუში, ნ- დაკვირვებების რაოდენობა ან ნიმუშის ზომა, თან- კლასების რაოდენობა სიხშირის განაწილებაში, მჯ- შუა წერტილი ჯ-მე კლასი, ვჯ- შესაბამისი სიხშირე ჯ-მე კლასი.

სიხშირის განაწილებიდან სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, ასევე ვარაუდობენ, რომ თითოეული კლასის ყველა მნიშვნელობა კონცენტრირებულია კლასის შუა წერტილში.

იმის გასაგებად, თუ როგორ განისაზღვრება სერიის კვარტილები სიხშირეებზე დაყრდნობით, განვიხილოთ ქვედა კვარტილის გაანგარიშება 2013 წლის მონაცემების საფუძველზე რუსეთის მოსახლეობის განაწილების შესახებ ერთ სულ მოსახლეზე საშუალო ფულადი შემოსავლით (ნახ. 12).

ბრინჯი. 12. რუსეთის მოსახლეობის წილი ერთ სულ მოსახლეზე ფულადი შემოსავლით საშუალოდ თვეში, რუბლი.

ინტერვალის ვარიაციის სერიის პირველი მეოთხედის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

სადაც Q1 არის პირველი მეოთხედის მნიშვნელობა, xQ1 არის პირველი მეოთხედის შემცველი ინტერვალის ქვედა ზღვარი (ინტერვალი განისაზღვრება დაგროვილი სიხშირით, პირველი აღემატება 25%); i არის ინტერვალის მნიშვნელობა; Σf არის მთელი ნიმუშის სიხშირეების ჯამი; ალბათ ყოველთვის უდრის 100%-ს; SQ1–1 არის ინტერვალის კუმულაციური სიხშირე, რომელიც წინ უძღვის ქვედა კვარტილის შემცველ ინტერვალს; fQ1 არის ქვედა კვარტილის შემცველი ინტერვალის სიხშირე. მესამე კვარტილის ფორმულა განსხვავდება იმით, რომ ყველა ადგილას, Q1-ის ნაცვლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ Q3 და ჩაანაცვლოთ ¾ ნაცვლად ¼-ისა.

ჩვენს მაგალითში (ნახ. 12) ქვედა კვარტლი არის 7000,1 - 10,000 დიაპაზონში, რომლის კუმულაციური სიხშირე 26,4%-ია. ამ ინტერვალის ქვედა ზღვარი არის 7000 რუბლი, ინტერვალის მნიშვნელობა არის 3000 რუბლი, დაგროვილი სიხშირე ინტერვალის წინა კვარტილის შემცველი ინტერვალით არის 13,4%, ქვედა მეოთხედის შემცველი ინტერვალის სიხშირე არის 13,0%. ამრიგად: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 \u003d 9677 რუბლი.

ხაფანგები, რომლებიც დაკავშირებულია აღწერილ სტატისტიკასთან

ამ ჩანაწერში ჩვენ შევხედეთ, თუ როგორ უნდა აღვწეროთ მონაცემთა ნაკრები სხვადასხვა სტატისტიკის გამოყენებით, რომელიც აფასებს მის საშუალოს, გაფანტვას და განაწილებას. შემდეგი ნაბიჯი არის მონაცემების ანალიზი და ინტერპრეტაცია. აქამდე ჩვენ შევისწავლეთ მონაცემთა ობიექტური თვისებები და ახლა მივმართავთ მათ სუბიექტურ ინტერპრეტაციას. მკვლევარს ორი შეცდომა ელის: არასწორად შერჩეული ანალიზის საგანი და შედეგების არასწორი ინტერპრეტაცია.

15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის მუშაობის ანალიზი საკმაოდ მიუკერძოებელია. მან მიიყვანა სრულიად ობიექტური დასკვნები: ყველა ურთიერთდახმარების ფონდს აქვს განსხვავებული ანაზღაურება, ფონდის ანაზღაურების გავრცელება მერყეობს -6,1-დან 18,5-მდე, ხოლო საშუალო ანაზღაურება არის 6,08. მონაცემთა ანალიზის ობიექტურობას უზრუნველყოფს განაწილების ჯამური რაოდენობრივი მაჩვენებლების სწორი არჩევანი. განხილული იყო მონაცემთა საშუალო და გაფანტვის შეფასების რამდენიმე მეთოდი და მითითებული იყო მათი დადებითი და უარყოფითი მხარეები. როგორ ავირჩიოთ სწორი სტატისტიკა, რომელიც უზრუნველყოფს ობიექტურ და მიუკერძოებელ ანალიზს? თუ მონაცემთა განაწილება ოდნავ გადახრილია, უნდა ავირჩიოთ მედიანა არითმეტიკული საშუალოზე? რომელი მაჩვენებელი უფრო ზუსტად ახასიათებს მონაცემთა გავრცელებას: სტანდარტული გადახრა თუ დიაპაზონი? უნდა მიეთითოს თუ არა განაწილების დადებითი დახრილობა?

მეორე მხრივ, მონაცემთა ინტერპრეტაცია სუბიექტური პროცესია. სხვადასხვა ადამიანი მიდის სხვადასხვა დასკვნამდე, ერთსა და იმავე შედეგებს. ყველას თავისი თვალსაზრისი აქვს. ვიღაც 15 ფონდის საშუალო წლიურ შემოსავალს ძალიან მაღალი რისკის მქონე კარგად მიიჩნევს და საკმაოდ კმაყოფილია მიღებული შემოსავლით. სხვებმა შეიძლება იფიქრონ, რომ ამ სახსრებს ძალიან დაბალი შემოსავალი აქვს. ამრიგად, სუბიექტურობა უნდა ანაზღაურდეს პატიოსნებით, ნეიტრალიტეტით და დასკვნების სიცხადით.

ეთიკური საკითხები

მონაცემთა ანალიზი განუყოფლად არის დაკავშირებული ეთიკურ საკითხებთან. კრიტიკული უნდა იყოს გაზეთების, რადიოს, ტელევიზიისა და ინტერნეტის მიერ გავრცელებული ინფორმაციის მიმართ. დროთა განმავლობაში თქვენ ისწავლით იყოთ სკეპტიკურად განწყობილი არა მხოლოდ შედეგების, არამედ კვლევის მიზნების, საგნისა და ობიექტურობის მიმართ. ცნობილმა ბრიტანელმა პოლიტიკოსმა ბენჯამინ დიზრაელმა ეს ყველაზე კარგად თქვა: ”არსებობს სამი სახის ტყუილი: ტყუილი, დაწყევლილი ტყუილი და სტატისტიკა”.

როგორც შენიშვნაშია აღნიშნული, ეთიკური საკითხები ჩნდება იმ შედეგების არჩევისას, რომლებიც უნდა იყოს წარმოდგენილი ანგარიშში. უნდა გამოქვეყნდეს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი შედეგები. ამასთან, ანგარიშის ან წერილობითი ანგარიშის შედგენისას, შედეგები უნდა იყოს წარმოდგენილი პატიოსნად, ნეიტრალურად და ობიექტურად. განასხვავეთ ცუდი და არაკეთილსინდისიერი პრეზენტაციები. ამისათვის აუცილებელია განისაზღვროს, რა იყო მოსაუბრეს განზრახვები. ზოგჯერ მოსაუბრე გამოტოვებს მნიშვნელოვან ინფორმაციას უცოდინრობის გამო, ზოგჯერ კი განზრახ (მაგალითად, თუ ის იყენებს არითმეტიკულ საშუალოს მკაფიოდ დახრილი მონაცემების საშუალო შესაფასებლად სასურველი შედეგის მისაღებად). ასევე არაკეთილსინდისიერია შედეგების ჩახშობა, რომლებიც არ შეესაბამება მკვლევარის თვალსაზრისს.

გამოყენებულია მასალები წიგნიდან Levin et al., სტატისტიკა მენეჯერებისთვის. - M.: Williams, 2004. - გვ. 178–209 წწ

QUARTILE ფუნქცია შენარჩუნებულია Excel-ის ადრინდელ ვერსიებთან შესასწორებლად

საშუალო მნიშვნელობა ყველაზე ღირებულია ანალიტიკური თვალსაზრისით და სტატისტიკური მაჩვენებლების გამოხატვის უნივერსალური ფორმა. ყველაზე გავრცელებული საშუალო - საშუალო არითმეტიკული - აქვს მთელი რიგი მათემატიკური თვისებები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას მის გამოთვლაში. ამავდროულად, კონკრეტული საშუალოს გაანგარიშებისას ყოველთვის მიზანშეწონილია დაეყრდნოთ მის ლოგიკურ ფორმულას, რომელიც არის ატრიბუტის მოცულობის თანაფარდობა პოპულაციის მოცულობასთან. თითოეული საშუალოსთვის არსებობს მხოლოდ ერთი ჭეშმარიტი მითითების კოეფიციენტი, რომელიც, არსებული მონაცემებიდან გამომდინარე, შეიძლება მოითხოვდეს საშუალების სხვადასხვა ფორმებს. თუმცა, ყველა შემთხვევაში, როდესაც საშუალო მნიშვნელობის ბუნება გულისხმობს წონების არსებობას, შეუძლებელია მათი დაუწონავი ფორმულების გამოყენება საშუალო შეწონილი ფორმულების ნაცვლად.

საშუალო მნიშვნელობა არის ატრიბუტის ყველაზე დამახასიათებელი მნიშვნელობა მოსახლეობისთვის და მოსახლეობის ატრიბუტის ზომა, რომელიც თანაბარი წილით არის განაწილებული მოსახლეობის ერთეულებს შორის.

მახასიათებელს, რომლისთვისაც გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა ეწოდება საშუალოდ .

საშუალო მნიშვნელობა არის მაჩვენებელი, რომელიც გამოითვლება აბსოლუტური ან ფარდობითი მნიშვნელობების შედარებით. საშუალო მნიშვნელობა არის

საშუალო მნიშვნელობა ასახავს შესწავლილ ფენომენზე მოქმედი ყველა ფაქტორის გავლენას და არის შედეგი მათთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ინდივიდუალური გადახრების ანაზღაურება და შემთხვევების გავლენის აღმოფხვრა, საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც ასახავს ამ მოქმედების შედეგების ზოგად ზომას, მოქმედებს როგორც შესწავლილი ფენომენის ზოგადი ნიმუში.

საშუალოების გამოყენების პირობები:

Ø შესწავლილი პოპულაციის ჰომოგენურობა. თუ შემთხვევითი ფაქტორის გავლენის ქვეშ მყოფი პოპულაციის ზოგიერთ ელემენტს აქვს შესწავლილი მახასიათებლის მნიშვნელოვნად განსხვავებული მნიშვნელობები დანარჩენისგან, მაშინ ეს ელემენტები გავლენას მოახდენს ამ პოპულაციის საშუალო ზომაზე. ამ შემთხვევაში, საშუალო არ გამოხატავს მახასიათებლის ყველაზე ტიპურ მნიშვნელობას პოპულაციისთვის. თუ შესწავლილი ფენომენი ჰეტეროგენულია, საჭიროა მისი დაშლა ერთგვაროვანი ელემენტების შემცველ ჯგუფებად. ამ შემთხვევაში, გამოითვლება ჯგუფის საშუალო მნიშვნელობა - ჯგუფის საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც გამოხატავს ფენომენის ყველაზე დამახასიათებელ მნიშვნელობას თითოეულ ჯგუფში, შემდეგ კი გამოითვლება საერთო საშუალო მნიშვნელობა ყველა ელემენტისთვის, რაც ახასიათებს ფენომენს მთლიანობაში. იგი გამოითვლება ჯგუფური საშუალებების საშუალოდ, შეწონილი თითოეულ ჯგუფში შემავალი პოპულაციის ელემენტების რაოდენობის მიხედვით;

Ø ერთეულების საკმარისი რაოდენობა აგრეგატში;

Ø თვისების მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები შესწავლილ პოპულაციაში.

საშუალო მნიშვნელობა (ინდიკატორი)- ეს არის ნიშან-თვისების განზოგადებული რაოდენობრივი მახასიათებელი სისტემურ პოპულაციაში ადგილისა და დროის სპეციფიკურ პირობებში..

სტატისტიკაში გამოიყენება საშუალოების შემდეგი ფორმები (ტიპები), რომელსაც ეწოდება სიმძლავრე და სტრუქტურული:

Ø საშუალო არითმეტიკული(მარტივი და წონიანი);

მარტივი

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ საშუალო მნიშვნელობა.

საშუალო(მათემატიკასა და სტატისტიკაში) რიცხვების სიმრავლე - ყველა რიცხვის ჯამი გაყოფილი მათ რიცხვზე. ეს არის ცენტრალური ტენდენციის ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული საზომი.

იგი შემოთავაზებული იყო (გეომეტრიულ საშუალოსა და ჰარმონიულ საშუალოსთან ერთად) პითაგორელთა მიერ.

არითმეტიკული საშუალოს განსაკუთრებული შემთხვევებია საშუალო (ზოგადი პოპულაციის) და შერჩევის საშუალო (ნიმუშების).

შესავალი

მიუთითეთ მონაცემთა ნაკრები X = (x 1 , x 2 , …, x ნ), მაშინ ნიმუშის საშუალო ჩვეულებრივ აღინიშნება ჰორიზონტალური ზოლით ცვლადის თავზე (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , გამოითქმის " xტირეთი").

ბერძნული ასო μ გამოიყენება მთელი მოსახლეობის არითმეტიკული საშუალოს აღსანიშნავად. შემთხვევითი ცვლადისთვის, რომლისთვისაც საშუალო მნიშვნელობა არის განსაზღვრული, μ არის ალბათობა ნიშნავსან შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი. თუ კომპლექტი Xარის შემთხვევითი რიცხვების კრებული, საშუალო ალბათობით μ, შემდეგ ნებისმიერი ნიმუშისთვის x მეამ კოლექციიდან μ = E( x მე) არის ამ ნიმუშის მოლოდინი.

პრაქტიკაში, განსხვავება μ და x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) შორის არის ის, რომ μ არის ზოგადი ცვლადი, რადგან თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ნიმუში და არა მთელი პოპულაცია. ამიტომ, თუ ნიმუში წარმოდგენილია შემთხვევით (ალბათობის თეორიის თვალსაზრისით), მაშინ x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (მაგრამ არა μ) შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს ალბათობის განაწილება ნიმუშზე ( საშუალოს ალბათობის განაწილება).

ორივე ეს რაოდენობა გამოითვლება ერთნაირად:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Თუ Xარის შემთხვევითი ცვლადი, შემდეგ მათემატიკური მოლოდინი Xშეიძლება ჩაითვალოს მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულად რაოდენობის განმეორებით გაზომვებში X. ეს არის დიდი რიცხვების კანონის გამოვლინება. ამიტომ, შერჩევის საშუალო გამოიყენება უცნობი მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად.

ელემენტარულ ალგებრაში დადასტურებულია, რომ საშუალო ნ+ 1 რიცხვი საშუალოზე მაღალი ნრიცხვები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ახალი რიცხვი აღემატება ძველ საშუალოს, ნაკლებია თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ახალი რიცხვი საშუალოზე ნაკლებია და არ იცვლება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ახალი რიცხვი საშუალოს უდრის. Უფრო ნ, მით უფრო მცირეა სხვაობა ახალ და ძველ საშუალოებს შორის.

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს რამდენიმე სხვა "საშუალება", მათ შორის ძალაუფლების კანონის საშუალო, კოლმოგოროვის საშუალო, ჰარმონიული საშუალო, არითმეტიკურ-გეომეტრიული საშუალო და სხვადასხვა შეწონილი საშუალებები (მაგ., არითმეტიკურად შეწონილი საშუალო, გეომეტრიული შეწონილი საშუალო, ჰარმონიული შეწონილი საშუალო) .

მაგალითები

• სამი რიცხვისთვის, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ 3-ზე:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• ოთხი რიცხვისთვის, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ 4-ზე:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

ან უფრო ადვილია 5+5=10, 10:2. იმიტომ, რომ დავამატეთ 2 რიცხვი, რაც იმას ნიშნავს, რომ რამდენ რიცხვს დავამატებთ, იმდენზე ვყოფთ.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი

უწყვეტად განაწილებული მნიშვნელობისთვის f (x) (\displaystyle f(x)) საშუალო არითმეტიკული ინტერვალზე [a; b ] (\displaystyle ) განისაზღვრება განსაზღვრული ინტეგრალის მეშვეობით:

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

საშუალო გამოყენების ზოგიერთი პრობლემა

სიმტკიცის ნაკლებობა

მთავარი სტატია: გამძლეობა სტატისტიკაში

მიუხედავად იმისა, რომ საშუალო არითმეტიკული ხშირად გამოიყენება როგორც საშუალება ან ცენტრალური ტენდენციები, ეს კონცეფცია არ ვრცელდება მყარ სტატისტიკაზე, რაც ნიშნავს, რომ არითმეტიკული საშუალოზე დიდ გავლენას ახდენს "დიდი გადახრები". აღსანიშნავია, რომ დიდი დახრილობის მქონე დისტრიბუციებისთვის, საშუალო არითმეტიკული შეიძლება არ შეესაბამებოდეს "საშუალო" კონცეფციას, ხოლო საშუალო სტატისტიკის მნიშვნელობები (მაგალითად, მედიანა) უკეთესად აღწერს ცენტრალურ ტენდენციას.

კლასიკური მაგალითია საშუალო შემოსავლის გაანგარიშება. საშუალო არითმეტიკული შეიძლება არასწორად იქნას განმარტებული, როგორც მედიანა, რამაც შეიძლება მიგვიყვანოს დასკვნამდე, რომ უფრო მეტი ადამიანია, რომელსაც უფრო მეტი შემოსავალი აქვს, ვიდრე რეალურად არის. „საშუალო“ შემოსავალი ისეა განმარტებული, რომ ადამიანების უმეტესობის შემოსავალი ამ რიცხვთან ახლოსაა. ეს "საშუალო" (საშუალო არითმეტიკული გაგებით) შემოსავალი უფრო მაღალია, ვიდრე ადამიანების უმეტესობის შემოსავალი, რადგან მაღალი შემოსავალი საშუალოდან დიდი გადახრით ხდის საშუალო არითმეტიკის მკვეთრად დახრილობას (განსხვავებით, მედიანური შემოსავალი "წინააღმდეგობს" ასეთი დახრილობა). თუმცა, ეს „საშუალო“ შემოსავალი არაფერს ამბობს მედიანურ შემოსავალთან ახლოს მყოფი ადამიანების რაოდენობაზე (და არაფერს ამბობს მოდალურ შემოსავალთან მახლობლად მყოფი ადამიანების რაოდენობაზე). თუმცა, თუ „საშუალო“ და „უმრავლესობის“ ცნებებს მსუბუქად მივიღებთ, მაშინ შეიძლება არასწორად დავასკვნათ, რომ ადამიანების უმეტესობას უფრო მაღალი შემოსავალი აქვს, ვიდრე რეალურად არის. მაგალითად, მოხსენება მედინაში, ვაშინგტონის "საშუალო" წმინდა შემოსავალზე, რომელიც გამოითვლება მაცხოვრებლების ყველა წლიური წმინდა შემოსავლის არითმეტიკული საშუალოდ, ბილ გეითსის გამო საოცრად მაღალ რიცხვს მისცემს. განვიხილოთ ნიმუში (1, 2, 2, 2, 3, 9). საშუალო არითმეტიკული არის 3.17, მაგრამ ექვსი მნიშვნელობიდან ხუთი ამ საშუალოზე დაბალია.

Საერთო ინტერესი

მთავარი სტატია: ROI

თუ ნომრები გამრავლება, მაგრამ არა ჩამოყაროს, თქვენ უნდა გამოიყენოთ გეომეტრიული საშუალო და არა საშუალო არითმეტიკული. ყველაზე ხშირად, ეს ინციდენტი ხდება ფინანსებში ინვესტიციის ანაზღაურების გაანგარიშებისას.

მაგალითად, თუ აქციები დაეცა 10%-ით პირველ წელს და გაიზარდა 30%-ით მეორე წელს, მაშინ არასწორია ამ ორი წლის განმავლობაში "საშუალო" ზრდის გამოთვლა საშუალო არითმეტიკულად (−10% + 30%) / 2. = 10%; სწორი საშუალო ამ შემთხვევაში მოცემულია რთული წლიური ზრდის ტემპით, საიდანაც წლიური ზრდა არის მხოლოდ დაახლოებით 8,16653826392% ≈ 8,2%.

ამის მიზეზი ის არის, რომ პროცენტებს ყოველ ჯერზე ახალი საწყისი წერტილი აქვთ: 30% არის 30%. პირველი წლის დასაწყისში ფასზე ნაკლები რიცხვიდან:თუ აქცია $30-დან დაიწყო და 10%-ით დაეცა, მეორე წლის დასაწყისში 27$ ღირს. თუ აქცია გაიზარდა 30%, მეორე წლის ბოლოს ღირს $35.1. ამ ზრდის საშუალო არითმეტიკული მაჩვენებელია 10%, მაგრამ ვინაიდან აქცია მხოლოდ $5.1 გაიზარდა 2 წლის განმავლობაში, საშუალო ზრდა 8.2% იძლევა საბოლოო შედეგს $35.1:

[30$ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. თუ 10%-ის არითმეტიკული საშუალოს ანალოგიურად გამოვიყენებთ, ვერ მივიღებთ რეალურ მნიშვნელობას: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

რთული პროცენტი 2 წლის ბოლოს: 90% * 130% = 117%, ანუ მთლიანი ზრდა 17%, ხოლო საშუალო წლიური ნაერთი პროცენტი არის 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \დაახლოებით 108,2\%), ანუ საშუალო წლიური ზრდა 8,2%.

მიმართულებები

მთავარი სტატია: დანიშნულების სტატისტიკა

ზოგიერთი ცვლადის არითმეტიკული საშუალოს გამოთვლისას, რომელიც ციკლურად იცვლება (მაგალითად, ფაზა ან კუთხე), განსაკუთრებული სიფრთხილეა საჭირო. მაგალითად, 1° და 359° საშუალო იქნება 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. ეს რიცხვი არასწორია ორი მიზეზის გამო.

• პირველი, კუთხის ზომები განისაზღვრება მხოლოდ 0°-დან 360°-მდე დიაპაზონისთვის (ან 0-დან 2π-მდე რადიანებში გაზომვისას). ამრიგად, რიცხვების ერთი და იგივე წყვილი შეიძლება დაიწეროს როგორც (1° და −1°) ან როგორც (1° და 719°). თითოეული წყვილის საშუალო მაჩვენებლები განსხვავებული იქნება: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• მეორე, ამ შემთხვევაში, 0°-ის (360°-ის ექვივალენტური) მნიშვნელობა იქნება გეომეტრიულად საუკეთესო საშუალო, ვინაიდან რიცხვები 0°-დან ნაკლებად გადახრილია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა მნიშვნელობიდან (0° მნიშვნელობას აქვს ყველაზე მცირე განსხვავება). შეადარეთ:
  • რიცხვი 1° გადაიხრება 0°-დან მხოლოდ 1°-ით;
  • რიცხვი 1° გამოითვლება გამოთვლილი საშუალოდან 180° 179°-ით.

ციკლური ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით, ხელოვნურად გადაინაცვლებს რეალურ საშუალოსთან შედარებით რიცხვითი დიაპაზონის შუაში. ამის გამო, საშუალო გამოითვლება სხვაგვარად, კერძოდ, საშუალო მნიშვნელობად არჩეულია ყველაზე მცირე დისპერსიის მქონე რიცხვი (ცენტრალური წერტილი). ასევე, გამოკლების ნაცვლად, გამოიყენება მოდულის მანძილი (ანუ წრეწირის მანძილი). მაგალითად, მოდულური მანძილი 1°-სა და 359°-ს შორის არის 2° და არა 358° (წრეში 359°-დან 360°==0°-მდე - ერთი გრადუსი, 0°-დან 1°-მდე - ასევე 1°, საერთო ჯამში. - 2 °).

4.3. საშუალო მნიშვნელობები. საშუალოების არსი და მნიშვნელობა

Საშუალო ღირებულებასტატისტიკაში უწოდებენ განზოგადებულ ინდიკატორს, რომელიც ახასიათებს ფენომენის ტიპურ დონეს ადგილისა და დროის კონკრეტულ პირობებში, რომელიც ასახავს ხარისხობრივად ერთგვაროვანი მოსახლეობის ერთეულზე განსხვავებული ატრიბუტის სიდიდეს. ეკონომიკურ პრაქტიკაში გამოიყენება ინდიკატორების ფართო სპექტრი, რომლებიც გამოითვლება საშუალოდ.

მაგალითად, სააქციო საზოგადოებაში (სს) დასაქმებულთა შემოსავლის განზოგადებული მაჩვენებელი არის ერთი მუშაკის საშუალო შემოსავალი, რომელიც განისაზღვრება განსახილველი პერიოდის სახელფასო ფონდისა და სოციალური გადასახადების თანაფარდობით (წელი, კვარტალი, თვე). ) სს-ში დასაქმებულთა რაოდენობაზე.

საშუალოს გამოთვლა ერთ-ერთი გავრცელებული განზოგადების ტექნიკაა; საშუალო მაჩვენებელი ასახავს ზოგადს, რომელიც ტიპიურია (ტიპიური) შესწავლილი პოპულაციის ყველა ერთეულისთვის, ამავდროულად ის უგულებელყოფს განსხვავებებს ცალკეულ ერთეულებს შორის. ყველა ფენომენში და მის განვითარებაში არის კომბინაცია შანსიდა საჭიროება.საშუალოების გაანგარიშებისას, დიდი რიცხვების კანონის მოქმედების გამო, შემთხვევითობა არღვევს ერთმანეთს, აბალანსებს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აბსტრაქტული ფენომენის უმნიშვნელო მახასიათებლებიდან, ატრიბუტის რაოდენობრივი მნიშვნელობებიდან თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში. ინდივიდუალური მნიშვნელობების შემთხვევითობისგან აბსტრაქციის უნარში, რყევები მდგომარეობს საშუალოების სამეცნიერო მნიშვნელობაში, როგორც შემაჯამებელიაგრეგატის მახასიათებლები.

სადაც არის განზოგადების საჭიროება, ასეთი მახასიათებლების გამოთვლა იწვევს ატრიბუტის მრავალი განსხვავებული ინდივიდუალური მნიშვნელობის შეცვლას. საშუალოინდიკატორი, რომელიც ახასიათებს ფენომენების მთლიანობას, რაც შესაძლებელს ხდის მასობრივი სოციალური ფენომენების თანდაყოლილი შაბლონების იდენტიფიცირებას, ცალკეულ ფენომენებში შეუმჩნეველი.

საშუალო ასახავს შესწავლილი ფენომენების დამახასიათებელ, ტიპურ, რეალურ დონეს, ახასიათებს ამ დონეებს და მათ ცვლილებებს დროსა და სივრცეში.

საშუალო არის პროცესის კანონზომიერების შემაჯამებელი მახასიათებელი იმ პირობებში, რომელშიც ის მიმდინარეობს.

4.4. საშუალოების ტიპები და მათი გამოთვლის მეთოდები

საშუალო ტიპის არჩევანი განისაზღვრება გარკვეული ინდიკატორის ეკონომიკური შინაარსითა და საწყისი მონაცემებით. თითოეულ შემთხვევაში გამოიყენება ერთ-ერთი საშუალო მნიშვნელობა: არითმეტიკა, გარმონიკური, გეომეტრიული, კვადრატული, კუბურიდა ა.შ. ჩამოთვლილი საშუალოები ეკუთვნის კლასს ძალასაშუალო.

გარდა ძალაუფლების კანონის საშუალო მაჩვენებლებისა, სტატისტიკურ პრაქტიკაში გამოიყენება სტრუქტურული საშუალო მაჩვენებლები, რომლებიც განიხილება რეჟიმად და მედიანად.

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ ენერგიის საშუალებებზე.

Საშუალო არითმეტიკული

საშუალო ყველაზე გავრცელებული ტიპია საშუალო არითმეტიკა.იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც ცვლადი ატრიბუტის მოცულობა მთელი მოსახლეობისთვის არის მისი ცალკეული ერთეულების ატრიბუტების მნიშვნელობების ჯამი. სოციალურ ფენომენებს ახასიათებს ცვალებადი ატრიბუტის მოცულობების დანამატობა (ჯამობა), ეს განსაზღვრავს საშუალო არითმეტიკის ფარგლებს და ხსნის მის გავრცელებას, როგორც განზოგადებულ ინდიკატორს, მაგალითად: მთლიანი სახელფასო ფონდი არის ყველა ხელფასის ჯამი. მუშები, მთლიანი მოსავალი არის წარმოებული პროდუქციის ჯამი მთელი სათესი ფართობიდან.

საშუალო არითმეტიკის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაყოთ ყველა მახასიათებლის მნიშვნელობის ჯამი მათი რიცხვით.

არითმეტიკული საშუალო გამოიყენება ფორმაში მარტივი საშუალო და შეწონილი საშუალო.მარტივი საშუალო ემსახურება როგორც საწყისი, განმსაზღვრელი ფორმა.

მარტივი არითმეტიკული საშუალოუდრის საშუალო მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების მარტივ ჯამს, გაყოფილი ამ მნიშვნელობების მთლიან რაოდენობაზე (იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს მახასიათებლის დაუჯგუფებელი ინდივიდუალური მნიშვნელობები):

სადაც
- ცვლადის ინდივიდუალური მნიშვნელობები (ოფციები); მ - მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა.

ფორმულებში შეჯამების შემდგომი ლიმიტები არ იქნება მითითებული. მაგალითად, საჭიროა ერთი მუშის (მბრძანებლის) საშუალო გამომუშავების პოვნა, თუ ცნობილია 15 მუშადან თითოეულმა რამდენი ნაწილი გამოუშვა, ე.ი. მოცემული ნიშან-თვისების რიგი ინდივიდუალური მნიშვნელობების, ც.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

მარტივი არითმეტიკული საშუალო გამოითვლება ფორმულით (4.1), 1 ც.:

ვარიანტების საშუალოს, რომლებიც განსხვავებულად მეორდება, ან ამბობენ, რომ განსხვავებული წონა აქვთ, ეწოდება შეწონილი.წონები არის ერთეულების რაოდენობა მოსახლეობის სხვადასხვა ჯგუფში (ჯგუფი აერთიანებს ერთსა და იმავე ვარიანტებს).

საშუალო შეწონილი არითმეტიკული- საშუალო დაჯგუფებული მნიშვნელობები, - გამოითვლება ფორმულით:

, (4.2)

სადაც
- წონა (იგივე მახასიათებლების გამეორების სიხშირე);

- თვისებების სიდიდის ნამრავლების ჯამი მათი სიხშირეების მიხედვით;

- მოსახლეობის ერთეულების საერთო რაოდენობა.

ჩვენ განვიხილავთ არითმეტიკული შეწონილი საშუალოს გამოთვლის ტექნიკას ზემოთ განხილული მაგალითის გამოყენებით. ამისათვის ვაჯგუფებთ საწყის მონაცემებს და ვათავსებთ ცხრილში. 4.1.

ცხრილი 4.1

მუშების განაწილება ნაწილების განვითარებისთვის

ფორმულის მიხედვით (4.2), არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ტოლია, ცალი:

ზოგიერთ შემთხვევაში, წონა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს არა აბსოლუტური მნიშვნელობებით, არამედ ფარდობითი მნიშვნელობებით (ერთეულის პროცენტებში ან წილადებში). შემდეგ არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ფორმულა ასე გამოიყურება:

სადაც
- კონკრეტულად, ე.ი. თითოეული სიხშირის წილი საერთო ჯამში

თუ სიხშირეები დათვლილია წილადებში (კოეფიციენტებში), მაშინ
= 1 და არითმეტიკურად შეწონილი საშუალო ფორმულა არის:

არითმეტიკული შეწონილი საშუალოს გამოთვლა ჯგუფის საშუალოებიდან ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:

,

სადაც ვ- ერთეულების რაოდენობა თითოეულ ჯგუფში.

ჯგუფური საშუალებების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის შედეგები მოცემულია ცხრილში. 4.2.

ცხრილი 4.2

მუშაკთა განაწილება საშუალო სტაჟის მიხედვით

ამ მაგალითში, ვარიანტები არ არის ინდივიდუალური მონაცემები ცალკეული მუშაკების მომსახურების ხანგრძლივობის შესახებ, არამედ საშუალო თითოეული სახელოსნოსათვის. სასწორები ვარის მაღაზიებში დასაქმებულთა რაოდენობა. მაშასადამე, საწარმოში დასაქმებულთა საშუალო სამუშაო გამოცდილება იქნება წლები:

.

საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლა განაწილების სერიაში

თუ საშუალოდ ატრიბუტის მნიშვნელობები მოცემულია ინტერვალებად ("-დან --მდე"), ე.ი. ინტერვალის განაწილების სერიები, შემდეგ არითმეტიკული საშუალო მნიშვნელობის გაანგარიშებისას, ამ ინტერვალების შუა წერტილები მიიღება ჯგუფებში მახასიათებლების მნიშვნელობებად, რის შედეგადაც იქმნება დისკრეტული სერია. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი (ცხრილი 4.3).

მოდით გადავიდეთ ინტერვალის სერიიდან დისკრეტულზე, ინტერვალის მნიშვნელობების მათი საშუალო მნიშვნელობებით ჩანაცვლებით / (მარტივი საშუალო

ცხრილი 4.3

AO მუშაკების განაწილება ყოველთვიური ხელფასის დონის მიხედვით

მუშათა ჯგუფები ამისთვის	მუშათა რაოდენობა	შუა შუალედი
ხელფასი, რუბლს შეადგენს.	პერს., ვ	რუბლს შეადგენს, X
900 და მეტი

ღია ინტერვალების მნიშვნელობები (პირველი და ბოლო) პირობითად უტოლდება მათ მიმდებარე ინტერვალებს (მეორე და წინაბოლო).

საშუალოს ასეთი გაანგარიშებით, დაშვებულია გარკვეული უზუსტობა, რადგან კეთდება ვარაუდი ჯგუფში ატრიბუტის ერთეულების ერთგვაროვანი განაწილების შესახებ. თუმცა, შეცდომა იქნება უფრო მცირე, ვიწრო ინტერვალი და მეტი ერთეული ინტერვალში.

ინტერვალების შუა წერტილების აღმოჩენის შემდეგ, გამოთვლები კეთდება ისე, როგორც დისკრეტულ სერიაში - ოფციები მრავლდება სიხშირეებზე (წონით) და პროდუქციის ჯამი იყოფა სიხშირეების (წონით) ჯამზე. ათასი რუბლი:

.

ასე რომ, სს-ში მუშაკთა ანაზღაურების საშუალო დონეა 729 რუბლი. თვეში.

არითმეტიკული საშუალოს გამოთვლა ხშირად დაკავშირებულია დროისა და შრომის დიდ ხარჯებთან. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, საშუალო გამოთვლის პროცედურა შეიძლება გამარტივდეს და გაადვილდეს მისი თვისებების გამოყენებით. წარმოვადგინოთ (დამტკიცების გარეშე) არითმეტიკული საშუალოს რამდენიმე ძირითადი თვისება.

საკუთრება 1. თუ ყველა ინდივიდუალური მახასიათებელი მნიშვნელობა (ე.ი. ყველა ვარიანტი) შემცირება ან გაზრდა მეჯერ, შემდეგ საშუალო მნიშვნელობა ახალი ფუნქციის შესაბამისად შემცირდება ან გაიზრდება მეერთხელ.

საკუთრება 2. თუ შემცირებულია საშუალო მახასიათებლის ყველა ვარიანტიშეკერეთ ან გაზარდეთ A რიცხვით, შემდეგ საშუალო არითმეტიკითმნიშვნელოვნად შემცირდება ან იზრდება იგივე რიცხვი A.

საკუთრება 3. თუ ყველა საშუალო ვარიანტის წონა შემცირდება ან გაზრდამდე რომ ჯერ არითმეტიკული საშუალო არ შეიცვლება.

როგორც საშუალო წონა, აბსოლუტური მაჩვენებლების ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კონკრეტული წონები მთლიან ჯამში (წილები ან პროცენტები). ეს ამარტივებს საშუალოს გამოთვლას.

საშუალოს გამოთვლების გასამარტივებლად, ისინი მიჰყვებიან ვარიანტების და სიხშირეების მნიშვნელობების შემცირების გზას. უდიდესი გამარტივება მიიღწევა როცა მაგრამყველაზე მაღალი სიხშირის მქონე ერთ-ერთი ცენტრალური ვარიანტის მნიშვნელობა არჩეულია, როგორც / - ინტერვალის მნიშვნელობა (იგივე ინტერვალებით მწკრივებისთვის). L-ის მნიშვნელობას ეწოდება საწყისი, ამიტომ საშუალო გამოთვლის ამ მეთოდს ეწოდება "პირობითი ნულიდან დათვლის მეთოდი" ან "მომენტების მეთოდი".

დავუშვათ, რომ ყველა ვარიანტი Xჯერ შემცირდა იგივე რიცხვით A და შემდეგ შემცირდა მეერთხელ. ჩვენ ვიღებთ ახალი ვარიანტების ვარიაციის განაწილების სერიას .

მერე ახალი პარამეტრებიგამოხატული იქნება:

,

და მათი ახალი არითმეტიკული საშუალო , -პირველი შეკვეთის მომენტი- ფორმულა:

.

იგი უდრის ორიგინალური ვარიანტების საშუალოს, ჯერ შემცირებული მაგრამ,და შემდეგ შიგნით მეერთხელ.

რეალური საშუალოს მისაღებად საჭიროა პირველი რიგის მომენტი მ 1 , გავამრავლოთ მედა დაამატეთ მაგრამ:

.

ვარიაციული სერიებიდან საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის ამ მეთოდს ე.წ "მომენტების მეთოდი".ეს მეთოდი გამოიყენება რიგებში თანაბარი ინტერვალებით.

საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა მომენტების მეთოდით ილუსტრირებულია ცხრილში მოცემული მონაცემებით. 4.4.

ცხრილი 4.4

მცირე საწარმოების განაწილება რეგიონში ძირითადი საწარმოო საშუალებების (OPF) ღირებულებით 2000 წ.

საწარმოთა ჯგუფები OPF ღირებულებით, ათასი რუბლი	საწარმოთა რაოდენობა ვ	შუა ინტერვალები, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

პირველი შეკვეთის მომენტის პოვნა

.

შემდეგ, ვივარაუდოთ A = 19 და იცოდეთ ეს მე= 2, გამოთვალეთ X,ათასი მანეთი.:

საშუალო მნიშვნელობების ტიპები და მათი გაანგარიშების მეთოდები

სტატისტიკური დამუშავების სტადიაზე შეიძლება დაისვას სხვადასხვა კვლევითი ამოცანები, რომელთა გადაწყვეტისთვის საჭიროა შესაბამისი საშუალოს შერჩევა. ამ შემთხვევაში, აუცილებელია იხელმძღვანელოთ შემდეგი წესით: მნიშვნელობები, რომლებიც წარმოადგენს საშუალო მრიცხველს და მნიშვნელს, ლოგიკურად უნდა იყოს დაკავშირებული ერთმანეთთან.

• სიმძლავრის საშუალო;
• სტრუქტურული საშუალო.

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა:

მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო;

საშუალო, სადაც ზემოთ მოცემული სტრიქონი მიუთითებს, რომ ხდება ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო შეფასება;

სიხშირე (ინდივიდუალური ნიშან-თვისებების მნიშვნელობების განმეორებადობა).

სხვადასხვა საშუალებები მიღებულია ზოგადი სიმძლავრის საშუალო ფორმულიდან:

(5.1)

k = 1-ისთვის - საშუალო არითმეტიკული; k = -1 - ჰარმონიული საშუალო; k = 0 - გეომეტრიული საშუალო; k = -2 - ფესვის საშუალო კვადრატი.

საშუალოები არის მარტივი ან შეწონილი. შეწონილი საშუალოებისიდიდეებს უწოდებენ, რომლებიც ითვალისწინებენ, რომ ატრიბუტის მნიშვნელობების ზოგიერთ ვარიანტს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული რიცხვები და, შესაბამისად, თითოეული ვარიანტი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „წონები“ არის მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა სხვადასხვა ჯგუფში, ე.ი. თითოეული ვარიანტი "წონით" ხდება მისი სიხშირით. სიხშირე f ეწოდება სტატისტიკური წონაან საშუალო წონით.

Საშუალო არითმეტიკული- ყველაზე გავრცელებული ტიპის საშუალო. იგი გამოიყენება, როდესაც გაანგარიშება ხორციელდება დაუჯგუფებელ სტატისტიკურ მონაცემებზე, სადაც გსურთ მიიღოთ საშუალო ჯამი. საშუალო არითმეტიკული არის მახასიათებლის ისეთი საშუალო მნიშვნელობა, რომლის მიღების შემდეგ მახასიათებლის მთლიანი მოცულობა პოპულაციაში უცვლელი რჩება.

საშუალო არითმეტიკული ფორმულა ( მარტივი) აქვს ფორმა

სადაც n არის მოსახლეობის ზომა.

მაგალითად, საწარმოს თანამშრომლების საშუალო ხელფასი გამოითვლება როგორც საშუალო არითმეტიკული:

აქ განმსაზღვრელი ინდიკატორებია თითოეული თანამშრომლის ხელფასი და საწარმოში დასაქმებულთა რაოდენობა. საშუალო გაანგარიშებისას, ხელფასის მთლიანი ოდენობა იგივე დარჩა, მაგრამ განაწილდა, როგორც ეს, თანაბრად ყველა მუშაკს შორის. მაგალითად, აუცილებელია გამოვთვალოთ მცირე კომპანიის თანამშრომლების საშუალო ხელფასი, სადაც 8 ადამიანია დასაქმებული:

საშუალოების გაანგარიშებისას, საშუალოდ შეფასებული ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები შეიძლება განმეორდეს, ამიტომ საშუალო გამოითვლება დაჯგუფებული მონაცემების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსაუბრობთ გამოყენებაზე საშუალო შეწონილი არითმეტიკული, რომელიც ჰგავს

(5.3)

ასე რომ, საფონდო ბირჟაზე უნდა გამოვთვალოთ სააქციო საზოგადოების აქციების საშუალო ფასი. ცნობილია, რომ ტრანზაქცია განხორციელდა 5 დღის ვადაში (5 ტრანზაქცია), გაყიდული აქციების რაოდენობა გაყიდული კურსით ასე გადანაწილდა:

1 - 800 აკ. - 1010 რუბლი

2 - 650 აკ. - 990 რუბლი.

3 - 700 აკ. - 1015 რუბლი.

4 - 550 აკ. - 900 რუბლი.

5 - 850 წ. - 1150 რუბლი.

აქციების საშუალო ფასის განსაზღვრის საწყისი თანაფარდობა არის ტრანზაქციის მთლიანი თანხის (OSS) თანაფარდობა გაყიდული აქციების რაოდენობასთან (KPA).

Excel-ში საშუალო მნიშვნელობის საპოვნელად (იქნება ეს რიცხვითი, ტექსტური, პროცენტული თუ სხვა მნიშვნელობა), ბევრი ფუნქციაა. და თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი მახასიათებლები და უპირატესობები. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ ამოცანაში შეიძლება დაწესდეს გარკვეული პირობები.

მაგალითად, Excel-ში რიცხვების სერიის საშუალო მნიშვნელობები გამოითვლება სტატისტიკური ფუნქციების გამოყენებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ხელით შეიყვანოთ თქვენი ფორმულა. განვიხილოთ სხვადასხვა ვარიანტები.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვების საშუალო არითმეტიკული?

საშუალო არითმეტიკის საპოვნელად, თქვენ უმატებთ სიმრავლის ყველა რიცხვს და ყოფთ ჯამს რიცხვზე. მაგალითად, მოსწავლის შეფასებები კომპიუტერულ მეცნიერებაში: 3, 4, 3, 5, 5. რა ეხება მეოთხედს: 4. ჩვენ ვიპოვეთ საშუალო არითმეტიკული ფორმულის გამოყენებით: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

როგორ გავაკეთოთ ეს სწრაფად Excel ფუნქციების გამოყენებით? მაგალითად ავიღოთ შემთხვევითი რიცხვების სერია სტრიქონში:

ან: გააქტიურეთ უჯრედი და უბრალოდ ხელით შეიყვანეთ ფორმულა: =AVERAGE(A1:A8).

ახლა ვნახოთ კიდევ რისი გაკეთება შეუძლია AVERAGE ფუნქციას.

იპოვეთ პირველი ორი და ბოლო სამი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული. ფორმულა: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1). შედეგი:



საშუალო მდგომარეობით

არითმეტიკული საშუალოს პოვნის პირობა შეიძლება იყოს რიცხვითი კრიტერიუმი ან ტექსტური. ჩვენ გამოვიყენებთ ფუნქციას: =AVERAGEIF().

იპოვეთ რიცხვების საშუალო არითმეტიკული რიცხვები, რომლებიც 10-ზე მეტი ან ტოლია.

ფუნქცია: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

AVERAGEIF ფუნქციის გამოყენების შედეგი პირობით ">=10":

მესამე არგუმენტი - "საშუალო დიაპაზონი" - გამოტოვებულია. ჯერ ერთი, ეს არ არის საჭირო. მეორეც, პროგრამის მიერ გაანალიზებული დიაპაზონი შეიცავს მხოლოდ ციფრულ მნიშვნელობებს. პირველ არგუმენტში მითითებულ უჯრედებში ძიება განხორციელდება მეორე არგუმენტში მითითებული პირობის მიხედვით.

ყურადღება! ძებნის კრიტერიუმი შეიძლება მითითებული იყოს უჯრედში. და ფორმულაში, რომ მივმართოთ მას.

ტექსტის კრიტერიუმით ვიპოვოთ რიცხვების საშუალო მნიშვნელობა. მაგალითად, პროდუქტის საშუალო გაყიდვები "მაგიდები".

ფუნქცია ასე გამოიყურება: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). დიაპაზონი - სვეტი პროდუქტის სახელებით. ძიების კრიტერიუმი არის უჯრედის ბმული სიტყვა "ცხრილები" (შეგიძლიათ ჩასვათ სიტყვა "ცხრილები" A7 ბმულის ნაცვლად). საშუალო დიაპაზონი - ის უჯრედები, საიდანაც მონაცემები იქნება აღებული საშუალო მნიშვნელობის გამოსათვლელად.

ფუნქციის გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობას:

ყურადღება! ტექსტის კრიტერიუმისთვის (პირობით) უნდა იყოს მითითებული საშუალო დიაპაზონი.

როგორ გამოვთვალოთ საშუალო შეწონილი ფასი Excel-ში?

როგორ გავიგოთ საშუალო შეწონილი ფასი?

ფორმულა: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

SUMPRODUCT ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიგებთ მთლიან შემოსავალს საქონლის მთელი რაოდენობის გაყიდვის შემდეგ. ხოლო SUM ფუნქცია - აჯამებს საქონლის რაოდენობას. საქონლის რეალიზაციიდან მიღებული მთლიანი შემოსავლის გაყოფით საქონლის მთლიან რაოდენობაზე ვიპოვეთ საშუალო შეწონილი ფასი. ეს მაჩვენებელი ითვალისწინებს თითოეული ფასის "წონას". მისი წილი ღირებულებათა მთლიან მასაში.

სტანდარტული გადახრა: ფორმულა Excel-ში

განასხვავებენ სტანდარტულ გადახრას საერთო პოპულაციისა და ნიმუშისთვის. პირველ შემთხვევაში, ეს არის ზოგადი დისპერსიის საფუძველი. მეორეში, ნიმუშის დისპერსიიდან.

ამ სტატისტიკური ინდიკატორის გამოსათვლელად შედგენილია დისპერსიის ფორმულა. ფესვი მისგან არის აღებული. მაგრამ Excel-ში არის მზა ფუნქცია სტანდარტული გადახრის პოვნისთვის.

სტანდარტული გადახრა უკავშირდება წყაროს მონაცემების მასშტაბს. ეს არ არის საკმარისი გაანალიზებული დიაპაზონის ვარიაციის ფიგურალური წარმოდგენისთვის. მონაცემებში სკატერის ფარდობითი დონის მისაღებად გამოითვლება ცვალებადობის კოეფიციენტი:

სტანდარტული გადახრა / საშუალო არითმეტიკული

Excel-ში ფორმულა ასე გამოიყურება:

STDEV (მნიშვნელობების დიაპაზონი) / AVERAGE (მნიშვნელობების დიაპაზონი).

ცვალებადობის კოეფიციენტი გამოითვლება პროცენტულად. ამიტომ, ჩვენ ვაყენებთ პროცენტულ ფორმატს უჯრედში.