აქ შეგიძლიათ გადაჭრათ წრფივი განტოლებათა სისტემა უფასოდ გაუსის მეთოდი ონლაინდიდი ზომები კომპლექსურ რიცხვებში ძალიან დეტალური გადაწყვეტით. ჩვენს კალკულატორს შეუძლია ონლაინ გადაჭრას წრფივი განტოლებების როგორც ჩვეულებრივი განსაზღვრული, ისე განუსაზღვრელი სისტემები გაუსის მეთოდის გამოყენებით, რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, პასუხში მიიღებთ ზოგიერთი ცვლადის დამოკიდებულებას სხვების, თავისუფალის მეშვეობით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ განტოლებების სისტემა თავსებადობისთვის ონლაინ რეჟიმში, გაუსიანი ამოხსნის გამოყენებით.
მეთოდის შესახებ
წრფივი განტოლებათა სისტემის ონლაინ გაუსის მეთოდით ამოხსნისას ტარდება შემდეგი ნაბიჯები.
- ჩვენ ვწერთ გაძლიერებულ მატრიცას.
- სინამდვილეში, გამოსავალი იყოფა გაუსის მეთოდის წინ და უკან ნაბიჯებად. გაუსის მეთოდის პირდაპირ მოძრაობას ეწოდება მატრიცის შემცირება საფეხურზე. გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობა არის მატრიცის შემცირება სპეციალურ საფეხურზე. მაგრამ პრაქტიკაში, უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გამორიცხოთ ის, რაც არის მოცემული ელემენტის ზემოთ და ქვემოთ. ჩვენი კალკულატორი იყენებს ზუსტად ამ მიდგომას.
- მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ გაუსის მეთოდით ამოხსნისას, მინიმუმ ერთი ნულოვანი მწკრივის მატრიცაში ყოფნა არანულოვანი მარჯვენა მხარით (თავისუფალი წევრების სვეტი) მიუთითებს სისტემის შეუსაბამობაზე. ხაზოვანი სისტემის ამოხსნა ამ შემთხვევაში არ არსებობს.
იმისათვის, რომ უკეთ გაიგოთ როგორ მუშაობს გაუსის ალგორითმი ონლაინში, შეიყვანეთ ნებისმიერი მაგალითი, აირჩიეთ „ძალიან დეტალური გადაწყვეტა“ და იხილეთ მისი გამოსავალი ონლაინ.
წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა დეტერმინანტების გამოთვლაზე დაფუძნებული მეთოდი ( კრამერის წესი). მისი უპირატესობა ის არის, რომ საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ გამოსავალი, განსაკუთრებით მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემის კოეფიციენტები არის არა რიცხვები, არამედ ზოგიერთი პარამეტრი. მისი მინუსი არის გამოთვლების სიმძიმე განტოლებების დიდი რაოდენობის შემთხვევაში, უფრო მეტიც, კრამერის წესი პირდაპირ არ ვრცელდება სისტემებზე, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას. ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ გამოიყენება გაუსის მეთოდი.
წრფივი განტოლებათა სისტემებს, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების ერთნაირი ნაკრები ეწოდება ექვივალენტი. ცხადია, წრფივი სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არ შეიცვლება, თუ რომელიმე განტოლება ერთმანეთს ენაცვლება, ან თუ ერთ-ერთი განტოლება გამრავლდება რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ან თუ ერთი განტოლება დაემატება მეორეს.
გაუსის მეთოდი (უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი) მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ ეტაპობრივ სისტემამდე. პირველი, პირველი განტოლების დახმარებით, xსისტემის ყველა შემდგომი განტოლების 1. შემდეგ, მე-2 განტოლების გამოყენებით, ჩვენ აღმოვფხვრით xმე-3 განტოლების 2 და ყველა შემდგომი განტოლება. ამ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი, გრძელდება მანამ, სანამ მხოლოდ ერთი უცნობი დარჩება ბოლო განტოლების მარცხენა მხარეს x n. ამის შემდეგ მზადდება გაუსიანი რევერსი– ბოლო განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ x n; ამის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. ბოლოს ვიპოვით x 1 პირველი განტოლებიდან.
გაუსის გარდაქმნები მოხერხებულად ხორციელდება გარდაქმნების შესრულებით არა თავად განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების მატრიცებით. განვიხილოთ მატრიცა:
დაურეკა გაფართოებული მატრიცული სისტემა,რადგან სისტემის მთავარი მატრიცის გარდა იგი მოიცავს თავისუფალი წევრების სვეტს. გაუსის მეთოდი ეფუძნება სისტემის ძირითადი მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე მიყვანას (ან ტრაპეციულ ფორმას არაკვადრატული სისტემების შემთხვევაში) სისტემის გაფართოებული მატრიცის ელემენტარული მწკრივის გარდაქმნების (!) გამოყენებით.
მაგალითი 5.1.ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით:
გამოსავალი. მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და პირველი რიგის გამოყენებით, ამის შემდეგ დავაყენებთ დანარჩენ ელემენტებს ნულზე:
ჩვენ ვიღებთ ნულებს პირველი სვეტის მე-2, მე-3 და მე-4 სტრიქონებში:
ახლა ჩვენ გვჭირდება ყველა ელემენტი მეორე სვეტის მე-2 რიგის ქვემოთ, რომ იყოს ნულის ტოლი. ამისათვის შეგიძლიათ მეორე სტრიქონი გაამრავლოთ -4/7-ზე და დაამატოთ მე-3 სტრიქონი. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან საქმე არ გვქონდეს, ჩვენ შევქმნით ერთეულს მეორე სვეტის მე-2 რიგში და მხოლოდ
ახლა სამკუთხა მატრიცის მისაღებად საჭიროა მე-3 სვეტის მეოთხე რიგის ელემენტის ნულოვანი გამორთვა, ამისთვის შეგიძლიათ მესამე მწკრივი გაამრავლოთ 8/54-ზე და დაამატოთ ის მეოთხეზე. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან არ გვქონდეს საქმე, გავცვლით მე-3 და მე-4 სტრიქონებს და მე-3 და მე-4 სვეტებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავაყენებთ მითითებულ ელემენტს. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც სვეტები გადანაწილებულია, შესაბამისი ცვლადები იცვლება და ეს უნდა დაიმახსოვროთ; სხვა ელემენტარული გარდაქმნები სვეტებით (შეკრება და რიცხვით გამრავლება) შეუძლებელია!
ბოლო გამარტივებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალის:
აქედან, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის გამოყენებით, ვხვდებით მეოთხე განტოლებიდან x 3 = -1; მესამედან x 4 = -2, მეორედან x 2 = 2 და პირველი განტოლებიდან x 1 = 1. მატრიცის სახით პასუხი იწერება როგორც
ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც სისტემა განსაზღვრულია, ე.ი. როდესაც გამოსავალი მხოლოდ ერთია. ვნახოთ, რა მოხდება, თუ სისტემა არათანმიმდევრული ან განუსაზღვრელია.
მაგალითი 5.2.გამოიკვლიეთ სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:
გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას
ჩვენ ვწერთ განტოლებათა გამარტივებულ სისტემას:
აი, ბოლო განტოლებაში აღმოჩნდა, რომ 0=4, ე.ი. წინააღმდეგობა. ამიტომ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ე.ი. ის არის შეუთავსებელი. à
მაგალითი 5.3.შეისწავლეთ და ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:
გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:
გარდაქმნების შედეგად ბოლო სტრიქონში მხოლოდ ნულები მიიღეს. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებების რაოდენობა შემცირდა ერთით:
ამრიგად, გამარტივების შემდეგ რჩება ორი განტოლება, ხოლო ოთხი უცნობი, ე.ი. ორი უცნობი "დამატებითი". დაე, "ზედმეტი", ან, როგორც ამბობენ, უფასო ცვლადები, იქნება x 3 და xოთხი . მერე
ვარაუდით x 3 = 2ადა x 4 = ბ, ვიღებთ x 2 = 1–ადა x 1 = 2ბ–ა; ან მატრიცის სახით
ამ გზით დაწერილ ამოხსნას ეწოდება გენერალი, ვინაიდან, პარამეტრების მიცემით ადა ბსხვადასხვა მნიშვნელობებით, შესაძლებელია სისტემის ყველა შესაძლო გადაწყვეტის აღწერა. ა
დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს გაუსის მეთოდთან წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის. თუ რას წარმოადგენს ეს სისტემები, შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა სტატიაში, რომელიც მიეძღვნა იგივე SLAE კრამერის მეთოდით ამოხსნას. გაუსის მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე კონკრეტულ ცოდნას, საჭიროა მხოლოდ ზრუნვა და თანმიმდევრულობა. მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის თვალსაზრისით სასკოლო მომზადება საკმარისია მისი გამოყენებისთვის, ამ მეთოდის ათვისება ხშირად უქმნის სირთულეებს მოსწავლეებს. ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით მათ არაფრამდე დავიყვანოთ!
გაუსის მეთოდი
მ გაუსის მეთოდიარის SLAE ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური მეთოდი (გარდა ძალიან დიდი სისტემებისა). ადრე განხილულისგან განსხვავებით, ის შესაფერისია არა მხოლოდ სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ უნიკალური გადაწყვეტა, არამედ სისტემებისთვისაც, რომლებსაც აქვთ გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა. აქ სამი ვარიანტია.
- სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი (სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი);
- სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
- არ არსებობს გადაწყვეტილებები, სისტემა არათანმიმდევრულია.
ამრიგად, ჩვენ გვაქვს სისტემა (დაე, მას ჰქონდეს ერთი გამოსავალი) და ვაპირებთ მის ამოხსნას გაუსის მეთოდით. Როგორ მუშაობს?
გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან - პირდაპირი და ინვერსიული.
პირდაპირი გაუსის მეთოდი
პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას. ამისათვის ჩვენ ვამატებთ თავისუფალი წევრების სვეტს მთავარ მატრიცას.
გაუსის მეთოდის მთელი არსი ელემენტარული გარდაქმნების საშუალებით მოცემული მატრიცის საფეხურზე (ან, როგორც ამბობენ, სამკუთხა) ფორმამდე მიყვანაა. ამ ფორმით, მატრიცის მთავარი დიაგონალის ქვეშ (ან ზემოთ) უნდა იყოს მხოლოდ ნულები.
Რა შეიძლება გაკეთდეს:
- შეგიძლიათ გადააწყოთ მატრიცის რიგები;
- თუ მატრიცაში არის იდენტური (ან პროპორციული) რიგები, შეგიძლიათ წაშალოთ ყველა, გარდა ერთისა;
- შეგიძლიათ სტრიქონი გაამრავლოთ ან გაყოთ ნებისმიერ რიცხვზე (ნულის გარდა);
- ნულოვანი ხაზები ამოღებულია;
- თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ სტრიქონი, რომელიც გამრავლებულია არანულოვან რიცხვზე.
უკუ გაუსის მეთოდი
მას შემდეგ რაც სისტემას ამ გზით გარდაქმნით, ერთი უცნობია xn ხდება ცნობილი და შესაძლებელია ყველა დარჩენილი უცნობის პოვნა საპირისპირო თანმიმდევრობით, უკვე ცნობილი x-ების ჩანაცვლება სისტემის განტოლებებში, პირველამდე.
როდესაც ინტერნეტი ყოველთვის ხელთ არის, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით ონლაინ .საკმარისია შეიყვანოთ შანსები ონლაინ კალკულატორში. მაგრამ უნდა აღიაროთ, გაცილებით სასიამოვნოა იმის გაცნობიერება, რომ მაგალითი გადაჭრა არა კომპიუტერული პროგრამით, არამედ საკუთარი ტვინით.
განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი გაუსის მეთოდით
ახლა კი - მაგალითი, რათა ყველაფერი ნათელი და გასაგები გახდეს. მოდით მივცეთ წრფივი განტოლებათა სისტემა და მისი ამოხსნა აუცილებელია გაუსის მეთოდით:
პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ გაძლიერებული მატრიცა:
ახლა მოდით გადახედოთ ტრანსფორმაციას. გახსოვდეთ, რომ ჩვენ უნდა მივაღწიოთ მატრიცის სამკუთხა ფორმას. გავამრავლოთ პირველი რიგი (3-ზე). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (-1). დავუმატოთ მე-2 რიგი პირველს და მივიღოთ:
შემდეგ გავამრავლოთ მე-3 რიგი (-1). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:
გავამრავლოთ პირველი რიგი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (13). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:
Voila - სისტემა მიყვანილია შესაბამის ფორმაში. რჩება უცნობის პოვნა:
ამ მაგალითში სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ცალკეულ სტატიაში განვიხილავთ სისტემების ამოხსნას გადაწყვეტილებების უსასრულო სიმრავლით. შესაძლოა თავიდან არ იცოდეთ საიდან დაიწყოთ მატრიცული გარდაქმნები, მაგრამ შესაბამისი პრაქტიკის შემდეგ თქვენ მიიღებთ ხელში და დააწკაპუნებთ Gaussian SLAE-ზე, როგორც კაკალი. და თუ მოულოდნელად წააწყდით SLAU-ს, რომელიც აღმოჩნდება ძალიან ხისტი თხილის გასატეხად, დაუკავშირდით ჩვენს ავტორებს! შეგიძლიათ განაცხადის დატოვებით კორესპონდენციაში. ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ ნებისმიერ პრობლემას!
1. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა
1.1 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის კონცეფცია
განტოლებათა სისტემა არის მდგომარეობა, რომელიც შედგება რამდენიმე განტოლების ერთდროულად შესრულებაში რამდენიმე ცვლადში. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა (შემდგომში SLAE), რომელიც შეიცავს m განტოლებებს და n უცნობებს არის სისტემის ფორმა:
სადაც a ij რიცხვებს სისტემის კოეფიციენტები ეწოდება, b i რიცხვები თავისუფალი წევრებია, აიჯდა ბ ი(i=1,…, m; b=1,…, n) არის ზოგიერთი ცნობილი რიცხვი და x 1,…, x n- უცნობი. კოეფიციენტების აღნიშვნაში აიჯპირველი ინდექსი i აღნიშნავს განტოლების რაოდენობას, ხოლო მეორე ინდექსი j არის უცნობის რიცხვი, რომელზეც დგას ეს კოეფიციენტი. ექვემდებარება პოვნის რიცხვს x n. მოსახერხებელია ასეთი სისტემის დაწერა კომპაქტური მატრიცის სახით: AX=B.აქ A არის სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა, რომელსაც ეწოდება მთავარი მატრიცა;
არის უცნობი xj-ის სვეტის ვექტორი. არის bi-ს თავისუფალი წევრების სვეტის ვექტორი.
A * X მატრიცების ნამრავლი განისაზღვრება, რადგან A მატრიცაში იმდენი სვეტია, რამდენი მწკრივია X მატრიცაში (n ცალი).
სისტემის გაფართოებული მატრიცა არის სისტემის A მატრიცა, რომელსაც ავსებს თავისუფალი ტერმინების სვეტი
1.2 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნა
განტოლებათა სისტემის ამოხსნა არის რიცხვების მოწესრიგებული სიმრავლე (ცვლადების მნიშვნელობები), ცვლადების ნაცვლად მათი ჩანაცვლებისას, სისტემის თითოეული განტოლება იქცევა ნამდვილ ტოლობაში.
სისტემის ამონახსნი არის უცნობი მნიშვნელობები x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, რომელთა ჩანაცვლებაც სისტემის ყველა განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლებად. სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს მატრიცა-სვეტის სახით
განტოლებათა სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი და არათანმიმდევრული, თუ მას არ აქვს ამონახსნები.
ერთობლივ სისტემას ეწოდება განსაზღვრული, თუ მას აქვს უნიკალური ამონახსნი და განუსაზღვრელი, თუ მას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნი. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, მის თითოეულ გადაწყვეტას სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტა ეწოდება. ყველა კონკრეტული ამოხსნის ერთობლიობას ზოგადი ამონახსნები ეწოდება.
სისტემის ამოხსნა ნიშნავს იმის გარკვევას, არის თუ არა ის თანმიმდევრული თუ არათანმიმდევრული. თუ სისტემა თავსებადია, იპოვეთ მისი ზოგადი გადაწყვეტა.
ორ სისტემას ეწოდება ეკვივალენტი (ექვივალენტი), თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ზოგადი ამონახსნები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სისტემები ექვივალენტურია, თუ ერთი მათგანის ყველა გამოსავალი არის მეორე გამოსავალი და პირიქით.
ტრანსფორმაციას, რომლის გამოყენება სისტემას აქცევს თავდაპირველის ექვივალენტურ ახალ სისტემად, ეწოდება ეკვივალენტური ან ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია. შემდეგი გარდაქმნები შეიძლება იყოს ეკვივალენტური გარდაქმნების მაგალითები: სისტემის ორი განტოლების შეცვლა, ორი უცნობის გაცვლა ყველა განტოლების კოეფიციენტებთან ერთად, სისტემის ნებისმიერი განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით.
წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი, თუ ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია:
ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან x1=x2=x3=…=xn=0 არის სისტემის ამონახსნი. ამ გადაწყვეტას ეწოდება ნულოვანი ან ტრივიალური.
2. გაუსის ელიმინაციის მეთოდი
2.1 გაუსის ელიმინაციის მეთოდის არსი
წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის კლასიკური მეთოდია უცნობის თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - გაუსის მეთოდი(მას ასევე უწოდებენ გაუსის ელიმინაციის მეთოდს). ეს არის ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, როდესაც, ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურიანი (ან სამკუთხა) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე, საიდანაც ყველა სხვა ცვლადი თანმიმდევრულად გვხვდება, დაწყებული ბოლო (რიცხვის მიხედვით) ცვლადები.
გაუსის გადაწყვეტის პროცესი შედგება ორი ეტაპისგან: წინ და უკან სვლები.
1. პირდაპირი მოძრაობა.
პირველ ეტაპზე ხორციელდება ეგრეთ წოდებული პირდაპირი მოძრაობა, როდესაც მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნებით სისტემა მიყვანილია საფეხურზე ან სამკუთხა ფორმამდე, ან დგინდება, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია. კერძოდ, მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტებს შორის არჩეულია არანულოვანი, სტრიქონების გადაცვლის გზით გადაინაცვლებს უმაღლეს პოზიციაზე და პერმუტაციის შემდეგ მიღებულ პირველ მწკრივს აკლდება დარჩენილ რიგებს, ამრავლებს მას. მნიშვნელობით, რომელიც უდრის თითოეული ამ მწკრივის პირველი ელემენტის შეფარდებას პირველი რიგის პირველ ელემენტთან, რითაც ნულდება მის ქვემოთ სვეტი.
მითითებული გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ, პირველი რიგი და პირველი სვეტი გონებრივად გადაიკვეთება და გრძელდება მანამ, სანამ არ დარჩება ნულოვანი ზომის მატრიცა. თუ პირველი სვეტის ელემენტებს შორის ზოგიერთ გამეორებაზე არ მოიძებნა არა ნულოვანი, მაშინ გადადით შემდეგ სვეტზე და შეასრულეთ მსგავსი ოპერაცია.
პირველ ეტაპზე (წინ გაშვება) სისტემა მცირდება საფეხურზე (კერძოდ, სამკუთხა) ფორმამდე.
ქვემოთ მოყვანილი სისტემა არის ეტაპობრივი:
,
aii კოეფიციენტებს სისტემის მთავარ (წამყვან) ელემენტებს უწოდებენ.
(თუ a11=0, გადააწყვეთ მატრიცის რიგები ისე, რომ ა 11 არ იყო 0-ის ტოლი. ეს ყოველთვის შესაძლებელია, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში მატრიცა შეიცავს ნულოვან სვეტს, მისი განმსაზღვრელი უდრის ნულს და სისტემა არათანმიმდევრულია).ჩვენ გარდაქმნით სისტემას უცნობი x1-ის აღმოფხვრით ყველა განტოლებაში პირველის გარდა (სისტემის ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით). ამისათვის გაამრავლეთ პირველი განტოლების ორივე მხარე
და ვამატებთ ტერმინით სისტემის მეორე განტოლებას (ან მეორე განტოლებას ვაკლებთ ტერმინით პირველს გამრავლებული ). შემდეგ ვამრავლებთ პირველი განტოლების ორივე ნაწილს და ვამატებთ სისტემის მესამე განტოლებას (ან პირველს ვაკლებთ მესამე წევრზე გამრავლებულს). ამრიგად, ჩვენ ზედიზედ ვამრავლებთ პირველ რიგს რიცხვზე და ვამატებთ მე-ე ხაზი, ამისთვის i= 2, 3, …,ნ.ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ ექვივალენტურ სისტემას:
- კოეფიციენტების ახალი მნიშვნელობები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის სისტემის ბოლო m-1 განტოლებებში, რომლებიც განისაზღვრება ფორმულებით: ამრიგად, პირველ საფეხურზე ნადგურდება ყველა კოეფიციენტი პირველი წამყვანი ელემენტის a 11-ის ქვეშ
0, მეორე ნაბიჯი ანადგურებს ელემენტებს მეორე წამყვანი ელემენტის ქვეშ a 22 (1) (თუ 22 (1) 0) და ა.შ. ამ პროცესის შემდგომი გაგრძელებით, ჩვენ საბოლოოდ შევამცირებთ თავდაპირველ სისტემას სამკუთხა სისტემამდე (m-1) საფეხურზე.თუ სისტემის ეტაპობრივ ფორმამდე დაყვანის პროცესში გამოჩნდება ნულოვანი განტოლებები, ე.ი. 0=0 ფორმის ტოლობები, ისინი უგულებელყოფილია. თუ არსებობს ფორმის განტოლება
ეს მიუთითებს სისტემის შეუთავსებლობაზე. ეს ასრულებს გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს.
2. საპირისპირო მოძრაობა.
მეორე ეტაპზე ტარდება ეგრეთ წოდებული საპირისპირო სვლა, რომლის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ გამოვხატოთ მიღებული ყველა ძირითადი ცვლადი არაძირითადი ცვლადების თვალსაზრისით და ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის აგება, ან, თუ ყველა ცვლადი ძირითადია, შემდეგ რიცხობრივად გამოხატეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ერთადერთი ამონახსნი.
ეს პროცედურა იწყება ბოლო განტოლებით, საიდანაც შესაბამისი საბაზისო ცვლადი გამოიხატება (მასში მხოლოდ ერთია) და ჩანაცვლებულია წინა განტოლებებით და ა.შ. „საფეხურებზე“ ასვლა.
თითოეული ხაზი შეესაბამება ზუსტად ერთ ძირითად ცვლადს, ასე რომ, ყოველ საფეხურზე, გარდა უკანასკნელისა (უმაღლესი), სიტუაცია ზუსტად იმეორებს ბოლო ხაზის შემთხვევას.
შენიშვნა: პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია მუშაობა არა სისტემასთან, არამედ მის გაფართოებულ მატრიცთან, მის რიგებზე ყველა ელემენტარული გარდაქმნის შესრულება. მოსახერხებელია, რომ კოეფიციენტი a11 იყოს 1-ის ტოლი (გადააწყვეთ განტოლებები, ან გაყავით განტოლების ორივე მხარე a11-ზე).
2.2 გაუსის მეთოდით SLAE ამოხსნის მაგალითები
ამ განყოფილებაში, სამი განსხვავებული მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება გამოვიყენოთ გაუსის მეთოდი SLAE-ის ამოსახსნელად.
მაგალითი 1. ამოხსენით მე-3 რიგის SLAE.
დააყენეთ კოეფიციენტები ნულზე
მეორე და მესამე სტრიქონებში. ამისათვის გაამრავლეთ ისინი შესაბამისად 2/3 და 1-ზე და დაამატეთ ისინი პირველ სტრიქონში:
კარლ ფრიდრიხ გაუსი, უდიდესი მათემატიკოსი, დიდხანს ყოყმანობდა, არჩევდა ფილოსოფიასა და მათემატიკას შორის. შესაძლოა, სწორედ ასეთმა აზროვნებამ მისცა მას ასე შესამჩნევად „დატოვება“ მსოფლიო მეცნიერებაში. კერძოდ, „გაუსის მეთოდის“ შექმნით ...
თითქმის 4 წელია, ამ საიტის სტატიები ეხება სასკოლო განათლებას, ძირითადად ფილოსოფიის თვალსაზრისით, ბავშვების გონებაში დანერგილი (არა)გაგების პრინციპებს. დრო დგება უფრო დეტალების, მაგალითების და მეთოდების... მე მჯერა, რომ ეს არის მიდგომა ნაცნობის, დამაბნეველისა და მნიშვნელოვანიცხოვრების სფეროები საუკეთესო შედეგებს იძლევა.
ჩვენ ადამიანები ისე ვართ მოწყობილი, რამდენზეც არ უნდა ილაპარაკო აბსტრაქტული აზროვნება, მაგრამ გაგება ყოველთვისმაგალითებით ხდება. თუ მაგალითები არ არის, მაშინ პრინციპების დაჭერა შეუძლებელია... რა შეუძლებელია იყო მთის მწვერვალზე სხვაგვარად, თუ არა ფეხიდან მთელი მისი ფერდობის გავლა.
იგივე სკოლაში: ახლა ცოცხალი ისტორიებისაკმარისი არ არის, ჩვენ ინსტინქტურად ვაგრძელებთ მას, როგორც ადგილად, სადაც ბავშვებს ასწავლიან გაგებას.
მაგალითად, გაუსის მეთოდის სწავლება...
გაუსის მეთოდი სკოლის მე-5 კლასში
მე მაშინვე გავაკეთებ დათქმას: გაუსის მეთოდს აქვს ბევრად უფრო ფართო გამოყენება, მაგალითად, ამოხსნისას წრფივი განტოლებათა სისტემები. რაზეც ვისაუბრებთ მე-5 კლასში ხდება. ის დაწყებარის გაგებით, ბევრად უფრო ადვილია უფრო "მოწინავე ვარიანტების" გაგება. ამ სტატიაში ჩვენ ვსაუბრობთ გაუსის მეთოდი (მეთოდი) რიგის ჯამის პოვნისას
აი, მაგალითი, რომელიც ჩემმა უმცროსმა ვაჟმა მოიყვანა სკოლიდან, მოსკოვის გიმნაზიის მე-5 კლასში.
გაუსის მეთოდის სკოლის ჩვენება
მათემატიკის მასწავლებელმა ინტერაქტიული დაფის გამოყენებით (სწავლების თანამედროვე მეთოდები) ბავშვებს აჩვენა პატარა გაუსის „მეთოდის შექმნის“ ისტორიის პრეზენტაცია.
სკოლის მასწავლებელმა პატარა კარლს (მოძველებული მეთოდი, რომელიც ახლა სკოლებში არ გამოიყენება) ურტყამდა, რომ იყო,
1-დან 100-მდე რიცხვების თანმიმდევრულად შეკრების ნაცვლად მათი ჯამის საპოვნელად შენიშნარომ არითმეტიკული პროგრესიის კიდეებიდან თანაბრად დაშორებული რიცხვების წყვილი ერთსა და იმავე რიცხვს ემატება. მაგალითად, 100 და 1, 99 და 2. ასეთი წყვილების რაოდენობის დათვლის შემდეგ, პატარა გაუსმა თითქმის მყისიერად გადაჭრა მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებული პრობლემა. რისთვისაც იგი სიკვდილით დასაჯეს გაოგნებული საზოგადოების წინაშე. დანარჩენისთვის ფიქრი უპატივცემულობა იყო.
რა გააკეთა პატარა გაუსმა განვითარებული რიცხვის გრძნობა? Შენიშნაგარკვეული თვისებარიცხვების სერია მუდმივი ნაბიჯით (არითმეტიკული პროგრესია). და ზუსტად ესმოგვიანებით ის დიდ მეცნიერად აქცია, შეუძლია შეამჩნია, ფლობს გრძნობა, გაგების ინსტინქტი.
ეს არის მათემატიკის ღირებულება, რომელიც ვითარდება ნახვის უნარიზოგადად კონკრეტულად - აბსტრაქტული აზროვნება. ამიტომ მშობლებისა და დამსაქმებლების უმეტესობა მათემატიკა ინსტინქტურად მიიჩნევს მნიშვნელოვან დისციპლინას ...
„მათემატიკა მოგვიანებით უნდა ისწავლებოდეს, რათა გონება მოწესრიგდეს.
მ.ვ. ლომონოსოვი“.
თუმცა, მათ მიმდევრებმა, ვინც მომავალ გენიოსებს ურტყამდნენ, მეთოდი საპირისპიროდ აქციეს. როგორც ჩემმა ხელმძღვანელმა თქვა 35 წლის წინ: „მათ გაიგეს კითხვა“. ან, როგორც ჩემმა უმცროსმა ვაჟმა თქვა გუშინ გაუსის მეთოდის შესახებ: "იქნებ არ ღირს ამაზე დიდი მეცნიერების გაკეთება, ჰა?"
„მეცნიერთა“ შემოქმედების შედეგები თვალსაჩინოა მიმდინარე სასკოლო მათემატიკის დონეზე, მისი სწავლებისა და უმრავლესობის მიერ „მეცნიერებათა დედოფლის“ გაგების დონეზე.
თუმცა, გავაგრძელოთ...
გაუსის მეთოდის ახსნის მეთოდები სკოლის მე-5 კლასში
მოსკოვის გიმნაზიის მათემატიკის მასწავლებელმა ვილენკინის სახით ახსნა გაუსის მეთოდი, გაართულა დავალება.
რა მოხდება, თუ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა (საფეხური) არის არა ერთი, არამედ მეორე რიცხვი? მაგალითად, 20.
დავალება მან მეხუთე კლასელებს მისცა:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
სანამ გიმნაზიის მეთოდს გავეცნობით, გადავხედოთ ინტერნეტს: როგორ აკეთებენ ამას სკოლის მასწავლებლები - მათემატიკის დამრიგებლები? ..
გაუსის მეთოდი: ახსნა #1
თავის YOUTUBE არხზე ცნობილი დამრიგებელი შემდეგ მსჯელობას ასახელებს:
"მოდით, 1-დან 100-მდე რიცხვები დავწეროთ ასე:
ჯერ რიცხვების სერია 1-დან 50-მდე და მკაცრად მის ქვემოთ რიცხვების სხვა სერია 50-დან 100-მდე, მაგრამ საპირისპირო თანმიმდევრობით"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თითოეული წყვილი რიცხვის ჯამი ზედა და ქვედა მწკრივებიდან იგივეა და უდრის 101-ს! მოდით დავთვალოთ წყვილების რაოდენობა, ეს არის 50 და გავამრავლოთ ერთი წყვილის ჯამი წყვილების რაოდენობაზე! Voila: პასუხი მზად არის!"
„თუ ვერ გაიგე, ნუ ნერვიულობ!“ – სამჯერ გაიმეორა მასწავლებელმა ახსნის დროს. „მე-9 კლასში ჩააბარებ ამ მეთოდს!
გაუსის მეთოდი: ახსნა #2
კიდევ ერთი დამრიგებელი, ნაკლებად ცნობილი (ნახვების რაოდენობის მიხედვით ვიმსჯელებთ) უფრო მეცნიერულ მიდგომას გვთავაზობს 5-პუნქტიანი ამოხსნის ალგორითმს, რომელიც უნდა დასრულდეს თანმიმდევრობით.
გაუთვითცნობიერებელებისთვის: 5 არის ფიბონაჩის ერთ-ერთი რიცხვი, რომელიც ტრადიციულად ჯადოსნურად ითვლება. 5-საფეხურიანი მეთოდი ყოველთვის უფრო მეცნიერულია, ვიდრე 6-საფეხურიანი მეთოდი, მაგალითად. ... და ეს არ არის შემთხვევითი, სავარაუდოდ, ავტორი ფიბონაჩის თეორიის ფარული მიმდევარია.
არითმეტიკული პროგრესიის გათვალისწინებით: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
ალგორითმი რიგის რიცხვების ჯამის საპოვნელად გაუსის მეთოდით:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
ამავე დროს, თქვენ უნდა გახსოვდეთ პლუს ერთი წესი : ერთი უნდა დაემატოს მიღებულ კოეფიციენტს: წინააღმდეგ შემთხვევაში მივიღებთ შედეგს, რომელიც ერთით ნაკლებია წყვილების ნამდვილ რაოდენობაზე: 42 + 1 = 43.
ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის სასურველი ჯამი 4-დან 256-მდე 6-ის სხვაობით!
გაუსის მეთოდი: ახსნა მოსკოვის გიმნაზიის მე-5 კლასში
და აი, როგორ იყო საჭირო სერიის ჯამის პოვნის პრობლემის გადაჭრა:
20+40+60+ ... +460+480+500
მოსკოვის გიმნაზიის მე-5 კლასში, ვილენკინის სახელმძღვანელო (ჩემი შვილის მიხედვით).
პრეზენტაციის ჩვენების შემდეგ მათემატიკის მასწავლებელმა აჩვენა რამდენიმე გაუსიანი მაგალითი და კლასს მისცა დავალება 20-იანი ნაბიჯით რიგის რიცხვების ჯამი ეპოვათ.
ეს მოითხოვდა შემდეგს:
როგორც ხედავთ, ეს უფრო კომპაქტური და ეფექტური ტექნიკაა: რიცხვი 3 ასევე ფიბონაჩის მიმდევრობის წევრია.
ჩემი კომენტარები გაუსის მეთოდის სასკოლო ვერსიაზე
დიდი მათემატიკოსი აუცილებლად აირჩევდა ფილოსოფიას, თუ განჭვრეტდა, რაში გადააქცევდნენ მისი მიმდევრები მის „მეთოდიას“. გერმანულის მასწავლებელივინც კარლს ჯოხებით ურტყამდა. ის დაინახავდა "მასწავლებლების" სიმბოლიკას და დიალექტიკურ სპირალს და დაუმარცხებელ სისულელეს. ცდილობს გაზომოს ცოცხალი მათემატიკური აზრის ჰარმონია გაუგებრობის ალგებრასთან ....
სხვათა შორის, იცი. რომ ჩვენი განათლების სისტემა მე-18 და მე-19 საუკუნეების გერმანულ სკოლაშია ფესვგადგმული?
მაგრამ გაუსმა მათემატიკა აირჩია.
რა არის მისი მეთოდის არსი?
AT გამარტივება. AT დაკვირვება და დაჭერარიცხვების მარტივი ნიმუშები. AT მშრალი სკოლის არითმეტიკად გადაქცევა საინტერესო და სახალისო აქტივობა ააქტიურებს ტვინში გაგრძელების სურვილს და არ ბლოკავს ძვირადღირებულ გონებრივ აქტივობას.
შესაძლებელია თუ არა არითმეტიკული პროგრესიის რიცხვების ჯამის გამოთვლა ზემოთ ჩამოთვლილი „გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციით“ მყისიერად? "ალგორითმების" მიხედვით, პატარა კარლს გარანტირებული ექნებოდა, რომ თავიდან აიცილებდა დარტყმას, მათემატიკისადმი ზიზღს გამოემუშავებდა და კვირტში ჩაახშობდა მის შემოქმედებით იმპულსებს.
რატომ ურჩევდა დამრიგებელი ასე დაჟინებით მეხუთე კლასელებს, „არ შეგეშინდეთ მეთოდის გაუგებრობის“ და არწმუნებდა მათ, რომ „ასეთ“ პრობლემებს უკვე მე-9 კლასში მოაგვარებდნენ? ფსიქოლოგიურად გაუნათლებელი მოქმედება. კარგი აზრი იყო აღნიშვნა: "Გნახავ უკვე მე-5 კლასში შეგიძლიამოაგვარეთ პრობლემები, რომლებსაც მხოლოდ 4 წელიწადში გადალახავთ! რა კარგი ბიჭები ხართ!"
გაუსის მეთოდის გამოსაყენებლად საკმარისია კლასის მე-3 დონეროცა ნორმალურმა ბავშვებმა უკვე იციან 2-3-ნიშნა რიცხვების შეკრება, გამრავლება და გაყოფა. პრობლემები წარმოიქმნება ზრდასრული მასწავლებლების უუნარობის გამო, რომლებიც „არ შედიან“, როგორ ახსნან უმარტივესი რაღაცეები ნორმალურ ადამიანურ ენაზე და არა მხოლოდ მათემატიკურად... ისინი ვერ აინტერესებენ მათემატიკას და სრულებით თრგუნავენ „შემძლეებსაც“.
ან, როგორც ჩემმა შვილმა თქვა, „დიდი მეცნიერება შექმენით“.
გაუსის მეთოდი, ჩემი განმარტებები
მე და ჩემმა მეუღლემ ავუხსენით ეს "მეთოდი" ჩვენს შვილს, როგორც ჩანს, ჯერ კიდევ სკოლამდე ...
სიმარტივე სირთულის ნაცვლად ან კითხვების თამაში - პასუხები
""შეხედე, აქ არის რიცხვები 1-დან 100-მდე. რას ხედავ?"
საუბარი არ არის იმაზე, თუ რას ხედავს ბავშვი. ხრიკი არის მისი გარეგნობა.
"როგორ შეგიძლიათ მათი შეკრება?" ვაჟი მიხვდა, რომ ასეთ კითხვებს არ სვამენ "ისევე" და თქვენ უნდა შეხედოთ კითხვას "რაღაც სხვანაირად, ვიდრე ჩვეულებრივ აკეთებს"
არ აქვს მნიშვნელობა, ბავშვი დაუყოვნებლივ ხედავს გამოსავალს, ეს ნაკლებად სავარაუდოა. მნიშვნელოვანია, რომ ის შეწყვიტა ყურების შიში, ან როგორც მე ვამბობ: "გადატანა დავალება". ეს არის გაგების გზის დასაწყისი
"რა არის უფრო ადვილი: დაამატეთ, მაგალითად, 5 და 6 ან 5 და 95?" წამყვანი კითხვა... მაგრამ, ბოლოს და ბოლოს, ნებისმიერი ტრენინგი ადამიანის „პასუხისკენ“ „მიმართვაზე“ მოდის - მისთვის ნებისმიერი ფორმით მისაღებზე.
ამ ეტაპზე შეიძლება უკვე იყოს ვარაუდები იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა "დაზოგოთ" გამოთვლებზე.
ყველაფერი რაც ჩვენ გავაკეთეთ არის მინიშნება: "ფრონტალური, ხაზოვანი" დათვლის მეთოდი არ არის ერთადერთი შესაძლებელი. თუ ბავშვმა შეკვეცა ეს, შემდეგ ის კიდევ ბევრ ასეთ მეთოდს გამოიგონებს, იმიტომ რომ საინტერესოა!!!და აუცილებლად აიცილებს მათემატიკის „გაუგებრობას“, არ იგრძნობს მის მიმართ ზიზღს. მან მოიგო!
Თუ ბავშვმა აღმოაჩინარომ რიცხვების წყვილის დამატება, რომლებიც ასამდე მიიღებენ, წვრილმანი ამოცანაა "არითმეტიკული პროგრესია 1 სხვაობით"- საკმაოდ საზარელი და ბავშვისთვის უინტერესო რამ - უცებ სიცოცხლე მისცა მას . ქაოსიდან გამოვიდა წესრიგი და ეს ყოველთვის ენთუზიაზმია: ასე ვართ ჩვენ!
შეავსეთ კითხვა: რატომ, ბავშვის მიერ მიღებული გამჭრიახობის შემდეგ, ისევ მშრალი ალგორითმების ჩარჩოში შეყვანა, უფრო მეტიც, ამ შემთხვევაში ფუნქციურად უსარგებლო?!
რატომ აკეთებთ სულელურ გადაწერასთანმიმდევრობითი რიცხვები რვეულში: ისე, რომ ქმედუნარიანებსაც არ ჰქონდეთ გაგების ერთი შანსი? სტატისტიკურად, რა თქმა უნდა, მაგრამ მასობრივი განათლება ორიენტირებულია "სტატისტიკაზე" ...
სად წავიდა ნული?
და მაინც, 100-მდე ჯამური რიცხვების შეკრება ბევრად უფრო მისაღებია გონებისთვის, ვიდრე 101-ის მიცემა...
„სასკოლო გაუსის მეთოდი“ ზუსტად ამას მოითხოვს: უაზროდ დაკეცავსრიცხვების წყვილის პროგრესირების ცენტრიდან თანაბარი დაშორებით, არ აქვს მნიშვნელობა რა.
რა მოხდება, თუ შეხედავ?
მიუხედავად ამისა, ნული არის კაცობრიობის უდიდესი გამოგონება, რომელიც 2000 წელზე მეტია. და მათემატიკის მასწავლებლები აგრძელებენ მის იგნორირებას.
ბევრად უფრო ადვილია 1-დან დაწყებული რიცხვების სერიის გადაქცევა 0-დან დაწყებულ სერიებად. ჯამი არ შეიცვლება, არა? თქვენ უნდა შეწყვიტოთ "წიგნებში ფიქრი" და დაიწყოთ ძებნა ...და იმის დანახვა, რომ წყვილები 101 ჯამით შეიძლება მთლიანად შეიცვალოს წყვილებით ჯამით 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
როგორ გავაუქმოთ „წესი პლუს 1“?
მართალი გითხრათ, პირველად გავიგე ასეთი წესის შესახებ იმ YouTube-ის დამრიგებლისგან...
რა გავაკეთო მაინც, როცა მჭირდება სერიის წევრების რაოდენობის დადგენა?
თანმიმდევრობას ვუყურებ:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
და როდესაც მთლიანად დაიღალა, მაშინ უფრო მარტივ რიგში:
1, 2, 3, 4, 5
და მე გამოვთვლი: თუ ერთს გამოაკლებ 5-ს, მიიღებ 4-ს, მაგრამ მე სრულიად გასაგები ვარ იხილეთ 5 ნომერი! ამიტომ, თქვენ უნდა დაამატოთ ერთი! რიცხვის გრძნობა, განვითარებული დაწყებით სკოლაში, ვარაუდობს, რომ იმ შემთხვევაშიც კი, თუ სერიაში წევრების მთელი Google იქნება (10-დან მეასე ხარისხამდე), ნიმუში იგივე დარჩება.
წესებს სწყალობ?..
ისე, რომ ორიოდე-სამ წელიწადში შეავსო მთელი სივრცე შუბლსა და თავის ზურგს შორის და შეწყვიტო ფიქრი? რაც შეეხება პურის და კარაქის შოვნას? ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ თანაბარ რიგებში გადავდივართ ციფრული ეკონომიკის ეპოქაში!
მეტი გაუსის სასკოლო მეთოდის შესახებ: "რატომ გამოვიყვანოთ მეცნიერება ამისგან? .."
ტყუილად არ დავდე სკრინშოტი ჩემი შვილის რვეულიდან...
"რა იყო გაკვეთილზე?"
”კარგი, მაშინვე დავთვალე, ხელი ავწიე, მაგრამ მან არ მკითხა. ამიტომ, სანამ სხვები ითვლიდნენ, რუსულად დავიწყე DZ-ის გაკეთება, რომ დრო არ დავკარგო. მერე, როცა დანარჩენებმა დაასრულეს წერა (?? ?), მან დამირეკა დაფასთან, მე ვუთხარი პასუხი."
– ასეა, მაჩვენე, როგორ მოაგვარე, – თქვა მასწავლებელმა. მე ვაჩვენე. მან თქვა: "არასწორია, თქვენ უნდა დათვალოთ, როგორც მე ვაჩვენე!"
”კარგია, რომ მე არ ჩავდე დუიმი. და მე მაიძულა დამეწერა” გადაწყვეტის კურსი ”თავისებურად რვეულში. რატომ უნდა გამოვიტანო ამისგან დიდი მეცნიერება? ..
მათემატიკის მასწავლებლის მთავარი დანაშაული
ძლივს შემდეგ რომ საქმეკარლ გაუსმა განიცადა მაღალი პატივისცემა მათემატიკის სკოლის მასწავლებლის მიმართ. მაგრამ თუ იცოდა როგორ იმ მასწავლებლის მიმდევრები ამახინჯებს მეთოდის არსს... ის აღშფოთებით იღრიალა და ინტელექტუალური საკუთრების მსოფლიო ორგანიზაციის WIPO-ს მეშვეობით მიაღწევდა აკრძალვას მისი პატიოსანი სახელის სასკოლო სახელმძღვანელოებში! ..
Რა სკოლის მიდგომის მთავარი შეცდომა? ან, როგორც მე ვთქვი, სკოლის მათემატიკის მასწავლებლების დანაშაული ბავშვების მიმართ?
გაუგებრობის ალგორითმი
რას აკეთებენ სკოლის მეთოდოლოგები, რომელთა აბსოლუტურმა უმრავლესობამ არ იცის როგორ იფიქროს?
შექმენით მეთოდები და ალგორითმები (იხ.). ის თავდაცვითი რეაქცია, რომელიც იცავს მასწავლებლებს კრიტიკისგან ("ყველაფერი კეთდება ...") და ბავშვებს გაგებისგან. და ამდენად - მასწავლებლების კრიტიკის სურვილიდან!(ბიუროკრატიული „სიბრძნის“ მეორე წარმოებული, პრობლემისადმი მეცნიერული მიდგომა). ადამიანი, რომელიც ვერ ხვდება მნიშვნელობას, უფრო მეტად დააბრალებს საკუთარ გაუგებრობას და არა სკოლის სისტემის სისულელეს.
რა ხდება: მშობლები ბავშვებს ადანაშაულებენ, მასწავლებლები კი... იგივე ბავშვებს, რომლებსაც „მათემატიკა არ ესმით! ..
საზრიანი ხარ?
რა გააკეთა პატარა კარლმა?
აბსოლუტურად არატრადიციულად მიუახლოვდა შაბლონის ამოცანას. ეს არის მისი მიდგომის კვინტესენცია. ის მთავარი, რაც სკოლაში უნდა ისწავლო, არის ფიქრი არა სახელმძღვანელოებით, არამედ შენი თავით. რა თქმა უნდა, არის ასევე ინსტრუმენტული კომპონენტი, რომლის გამოყენებაც შესაძლებელია ... ძიებაში უფრო მარტივი და ეფექტური დათვლის მეთოდები.
გაუსის მეთოდი ვილენკინის მიხედვით
სკოლაში ასწავლიან, რომ გაუსის მეთოდია
რა, თუ მწკრივში ელემენტების რაოდენობა კენტია, როგორც დავალებაში, რომელიც შვილს დაევალა? ..
"ხრიკი" არის ის, რომ ამ შემთხვევაში თქვენ უნდა იპოვოთ სერიის "დამატებითი" ნომერიდა დაამატეთ წყვილების ჯამს. ჩვენს მაგალითში ეს რიცხვია 260.
როგორ აღმოვაჩინოთ? ყველა წყვილი რიცხვის გადაწერა ბლოკნოტში!(სწორედ ამიტომ აიძულებდა მასწავლებელმა ბავშვებს გააკეთონ ეს სულელური საქმე, ცდილობდნენ ასწავლონ "კრეატიულობა" გაუსის მეთოდით... და ამიტომ ასეთი "მეთოდი" პრაქტიკულად გამოუსადეგარია დიდი მონაცემთა სერიებისთვის და ამიტომაც არ არის გაუსიანი. მეთოდი).
ცოტა კრეატიულობა სასკოლო რუტინაში...
ვაჟი სხვანაირად მოიქცა.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
ადვილია, არა?
მაგრამ პრაქტიკაში ეს კიდევ უფრო ადვილი ხდება, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ 2-3 წუთი დისტანციური ზონდირებისთვის რუსულ ენაზე, ხოლო დანარჩენი "ითვლიან". გარდა ამისა, ინარჩუნებს მეთოდოლოგიის საფეხურების რაოდენობას: 5, რაც არ იძლევა მიდგომის არამეცნიერულობის კრიტიკის საშუალებას.
ცხადია, ეს მიდგომა უფრო მარტივი, სწრაფი და მრავალმხრივია მეთოდის სტილში. მაგრამ... მასწავლებელმა არათუ არ შეაქო, არამედ მაიძულა გადამეწერა „სწორად“ (იხ. სკრინშოტი). ანუ, მან სასოწარკვეთილი მცდელობა ჩაახშო შემოქმედებითი იმპულსი და მათემატიკის გაგების უნარი კვირტში! როგორც ჩანს, იმისთვის, რომ მოგვიანებით რეპეტიტორად დასაქმებულიყო... მან არასწორს შეუტია...
ყველაფერი რაც ამდენ ხანს და დამღლელად აღვწერე მაქსიმუმ ნახევარ საათში ნორმალურ ბავშვს შეიძლება აუხსნას. მაგალითებთან ერთად.
და ისე, რომ ის არასოდეს დაივიწყოს.
და იქნება ნაბიჯი გაგებისკენ...არა მხოლოდ მათემატიკა.
აღიარეთ: რამდენჯერ დაამატეთ თქვენს ცხოვრებაში გაუსის მეთოდით? და მე არასოდეს!
მაგრამ გაგების ინსტინქტი, რომელიც ვითარდება (ან ქრება) სკოლაში მათემატიკური მეთოდების შესწავლის პროცესში... ოჰ!.. ეს მართლაც შეუცვლელი რამაა!
განსაკუთრებით საყოველთაო დიგიტალიზაციის ეპოქაში, რომელშიც ჩუმად შევედით პარტიისა და მთავრობის მკაცრი ხელმძღვანელობით.
ორიოდე სიტყვა მასწავლებლების დასაცავად...
უსამართლო და არასწორია სწავლების ამ სტილისთვის მთელი პასუხისმგებლობის დაკისრება მხოლოდ სკოლის მასწავლებლებზე. სისტემა მუშაობს.
Ზოგიერთიმასწავლებლებს ესმით იმის აბსურდულობა, რაც ხდება, მაგრამ რა უნდა გააკეთონ? კანონი განათლების შესახებ, ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტები, მეთოდები, გაკვეთილის ბარათები... ყველაფერი უნდა გაკეთდეს „შესაბამისად და საფუძველზე“ და ყველაფერი დოკუმენტირებული იყოს. განზე გადექი - გათავისუფლების რიგში იდგა. ნუ ვიქნებით თვალთმაქცები: მოსკოვის მასწავლებლების ხელფასი ძალიან კარგია... სამსახურიდან რომ გაათავისუფლონ, სად უნდა წავიდნენ?..
ამიტომ ეს საიტი არა განათლებაზე. ის არის დაახლოებით ინდივიდუალური განათლება, ხალხში გასვლის ერთადერთი შესაძლო გზა თაობა Z ...
