თემა 3
	განაწილების ფუნქციის კონცეფცია
	მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება
	ერთგვაროვანი (მართკუთხა) განაწილება
	ნორმალური (გაუსური) განაწილება
	დისტრიბუცია
	ტ- სტუდენტური განაწილება
	ფ- განაწილება
	ორი შემთხვევითი დამოუკიდებელი ცვლადის ჯამის განაწილება
	მაგალითი: ორი დამოუკიდებელი ჯამის განაწილება თანაბრად განაწილებული რაოდენობით
	შემთხვევითი ცვლადის ტრანსფორმაცია
	მაგალითი: ჰარმონიული ტალღის განაწილება შემთხვევითი ფაზით
	ცენტრალური ლიმიტის თეორემა
	შემთხვევითი ცვლადის მომენტები და მათი თვისებები
ციკლის მიზანი ლექციები:		შეატყობინეთ პირველადი ინფორმაციის განაწილების ყველაზე მნიშვნელოვანი ფუნქციების და მათი თვისებების შესახებ

დისტრიბუციის ფუნქციები

დაე იყოს x(k)არის რაღაც შემთხვევითი ცვლადი. შემდეგ ნებისმიერი ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის x შემთხვევითი მოვლენა x(k) xგანისაზღვრება, როგორც ყველა შესაძლო შედეგის ნაკრები კისეთივე როგორც x(k) x. ნიმუშის სივრცეში მოცემული საწყისი ალბათობის საზომის თვალსაზრისით, განაწილების ფუნქციაP(x)განისაზღვრება, როგორც პუნქტების ნაკრებისთვის მინიჭებული ალბათობა კ x(k) x. გაითვალისწინეთ, რომ ქულების ნაკრები კუთანასწორობის დაკმაყოფილება x(k) x, არის პუნქტების სიმრავლის ქვესიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას x(k) . ფორმალურად

აშკარაა რომ

თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დიაპაზონი უწყვეტია, რაც ქვემოთ არის გათვალისწინებული, მაშინ ალბათობის სიმკვრივე(ერთგანზომილებიანი) p(x)განისაზღვრება დიფერენციალური მიმართებით

(4)

აქედან გამომდინარე,

(6)

იმისათვის, რომ შესაძლებელი იყოს დისკრეტული შემთხვევების გათვალისწინება, აუცილებელია ვაღიაროთ დელტა ფუნქციების არსებობა ალბათობის სიმკვრივის შემადგენლობაში.

ᲛᲝᲡᲐᲚᲝᲓᲜᲔᲚᲘ ᲦᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲔᲑᲐ

მოდით შემთხვევითი ცვლადი x(k)იღებს მნიშვნელობებს დიაპაზონიდან -  + -მდე. ნიშნავს(წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოსალოდნელი ღირებულებაან მოსალოდნელი ღირებულება) x(k)გამოითვლება მნიშვნელობების ნამრავლის ზღვრამდე შესაბამისი გადასვლის გამოყენებით x(k)ამ მოვლენების ალბათობაზე:

(8)

სადაც ე- კვადრატულ ფრჩხილებში გამოსახულების მათემატიკური მოლოდინი ინდექსის მიხედვით კ. ანალოგიურად არის განსაზღვრული რეალური ერთმნიშვნელოვანი უწყვეტი ფუნქციის მათემატიკური მოლოდინი გ(x)შემთხვევითი ცვლადიდან x(k)

(9)

სადაც p(x)- შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე x(k).კერძოდ, აღება g(x)=x,ვიღებთ საშუალო კვადრატი x(k) :

(10)

დისპერსიაx(k)განისაზღვრება, როგორც სხვაობის საშუალო კვადრატი x(k)და მისი საშუალო მნიშვნელობა,

ანუ ამ შემთხვევაში g(x)= და

ა-პრიორიტეტი, სტანდარტული გადახრაშემთხვევითი ცვლადი x(k),აღინიშნა , არის დისპერსიის კვადრატული ფესვის დადებითი მნიშვნელობა. სტანდარტული გადახრა იზომება იმავე ერთეულებში, როგორც საშუალო.

ყველაზე მნიშვნელოვანი დისტრიბუციის ფუნქციები

ერთიანი (მართკუთხა) განაწილება.

დავუშვათ, რომ ექსპერიმენტი შედგება წერტილის შემთხვევით შერჩევაში ინტერვალიდან [ ა, ბ] , მისი ბოლო წერტილების ჩათვლით. ამ მაგალითში, როგორც შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა x(k)შეგიძლიათ აიღოთ არჩეული წერტილის რიცხვითი მნიშვნელობა. შესაბამის განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა

ამიტომ, ალბათობის სიმკვრივე მოცემულია ფორმულით

ამ მაგალითში, საშუალო და დისპერსიის გაანგარიშება (9) და (11) ფორმულების გამოყენებით იძლევა

NORMAL (GAUSSIAN) დისტრიბუცია

, - საშუალო არითმეტიკული, - RMS.

z-ის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება ალბათობას P(z)=1-, ე.ი.

ჩი - კვადრატული დისტრიბუცია

დაე იყოს - n დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები, რომელთაგან თითოეულს აქვს ნორმალური განაწილება ნულოვანი საშუალო და ერთეული დისპერსიით.

Chi-კვადრატული შემთხვევითი ცვლადი n თავისუფლების ხარისხით.

ალბათობის სიმკვრივე.

DF: 100 - პროცენტული პუნქტები - განაწილებები აღინიშნება , ე.ი.

საშუალო და დისპერსიული ტოლია

t - სტუდენტური დისტრიბუციები

y, z არის დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები; y - აქვს - განაწილება, z - ჩვეულებრივ განაწილებული ნულოვანი საშუალო და ერთეული დისპერსიით.

ღირებულება - აქვს ტ- სტუდენტის განაწილება თავისუფლების n ხარისხით

DF: 100 - პროცენტული წერტილი t - მითითებულია განაწილება

საშუალო და დისპერსიული ტოლია

F - დისტრიბუცია

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები; აქვს - განაწილება თავისუფლების ხარისხით; განაწილება თავისუფლების ხარისხით. შემთხვევითი მნიშვნელობა:

,

F არის განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი თავისუფლების ხარისხით და ხარისხით.

,

DF: 100 - პროცენტული პუნქტი:

საშუალო და განსხვავება ტოლია:

თანხის განაწილება

ორი შემთხვევითი ცვლადი

დაე იყოს x(k)და y(k)არის შემთხვევითი ცვლადები, რომლებსაც აქვთ ერთობლივი ალბათობის სიმკვრივე p(x,y).იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადების ჯამის ალბათობის სიმკვრივე

ფიქსირებულზე xჩვენ გვაქვს y=z–x.Ისე

ფიქსირებულზე ზღირებულებები xგაუშვით ინტერვალი –-დან +-მდე. Ისე

(37)

საიდანაც ჩანს, რომ ჯამის სასურველი სიმკვრივის გამოსათვლელად, უნდა იცოდეთ თავდაპირველი ერთობლივი ალბათობის სიმკვრივე. Თუ x(k)და y(k)არის დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები, რომლებსაც აქვთ სიმკვრივე და, შესაბამისად, შემდეგ და

(38)

მაგალითი:ორი დამოუკიდებელი, ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ჯამი.

დაე, ორ შემთხვევით დამოუკიდებელ ცვლადს ჰქონდეს ფორმის სიმკვრივე

სხვა შემთხვევებში ვიპოვოთ მათი ჯამის p(z) ალბათობის სიმკვრივე z= x+ y.

ალბათობის სიმკვრივე ამისთვის ანუ ამისთვის აქედან გამომდინარე, xნაკლები ვიდრე ზ. გარდა ამისა, არ არის ნულის ტოლი ფორმულისთვის (38), ჩვენ ვხვდებით, რომ

ილუსტრაცია:

ორი დამოუკიდებელი, ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ჯამის ალბათობის სიმკვრივე.

შემთხვევითი კონვერტაცია

ღირებულებები

დაე იყოს x(t)- შემთხვევითი ცვლადი ალბათობის სიმკვრივით p(x),გაუშვი g(x)არის ერთმნიშვნელოვანი რეალური უწყვეტი ფუნქცია x. ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც შებრუნებული ფუნქცია x(g)ასევე არის ერთმნიშვნელოვანი უწყვეტი ფუნქცია გ.ალბათობის სიმკვრივე p(g),შემთხვევითი ცვლადის შესაბამისი g(x(k)) = g(k),შეიძლება განისაზღვროს ალბათობის სიმკვრივიდან p(x)შემთხვევითი ცვლადი x(k)და წარმოებული dg/dxიმ ვარაუდით, რომ წარმოებული არსებობს და განსხვავდება ნულისაგან, კერძოდ:

(12)

ამიტომ, ლიმიტში dg/dx#0

(13)

ამ ფორმულის გამოყენებით, ცვლადის ნაცვლად მიჰყვება მის მარჯვენა მხარეს xშეცვალეთ შესაბამისი მნიშვნელობა გ.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც შებრუნებული ფუნქცია x(g)მოქმედებს ნ- ღირებული ფუნქცია გ, სად ნარის მთელი რიცხვი და ყველა n მნიშვნელობა თანაბრად სავარაუდოა. მერე

(14)

მაგალითი:

ჰარმონიული ფუნქციის განაწილება.

ჰარმონიული ფუნქცია ფიქსირებული ამპლიტუდით Xდა სიხშირე ვიქნება შემთხვევითი ცვლადი, თუ მისი საწყისი ფაზის კუთხე  =  (k)- შემთხვევითი მნიშვნელობა. კერძოდ, მოდით ტფიქსირებული და თანაბარი ტ ოდა მოდით ჰარმონიულ შემთხვევით ცვლადს ჰქონდეს ფორმა

მოდი ვიჩვენოთ, რომ  (k)აქვს ერთიანი ალბათობის სიმკვრივე p( ) კეთილი

იპოვეთ ალბათობის სიმკვრივე p(x)შემთხვევითი ცვლადი x(k).

ამ მაგალითში პირდაპირი ფუნქცია x( ) ცალსახად და შებრუნებული ფუნქცია  (x)ორაზროვანი.

პრაქტიკაში ხშირად ხდება საჭირო შემთხვევითი ცვლადების ჯამისთვის განაწილების კანონის პოვნა.

დაე, იყოს სისტემა (X b X 2)ორი უწყვეტი ს. in. და მათი ჯამი

ვიპოვოთ განაწილების სიმკვრივე c. in. U. წინა აბზაცის ზოგადი ამოხსნის შესაბამისად ვპოულობთ სიბრტყის რეგიონს, სადაც x + x 2 (ნახ. 9.4.1):

ამ გამოხატვის დიფერენცირებით y-სთან მიმართებაში, ვიღებთ ap-ს. შემთხვევითი ცვლადი Y \u003d X + X 2:

ვინაიდან ფუნქცია φ (x b x 2) = Xj + x 2 სიმეტრიულია მის არგუმენტებთან მიმართებაში, მაშინ

თუ თან. in. Xდა X 2 დამოუკიდებელია, შემდეგ ფორმულები (9.4.2) და (9.4.3) იღებენ ფორმას:

იმ შემთხვევაში, როდესაც დამოუკიდებელი გ. in. x xდა X 2,საუბარი განაწილების კანონების შემადგენლობაზე. აწარმოე შემადგენლობაორი განაწილების კანონი - ეს ნიშნავს განაწილების კანონის პოვნას ორი დამოუკიდებელი გ-ის ჯამისთვის. გ., განაწილებული ამ კანონების მიხედვით. სიმბოლური აღნიშვნა გამოიყენება განაწილების კანონების შემადგენლობის აღსანიშნავად

რომელიც არსებითად აღინიშნება ფორმულებით (9.4.4) ან (9.4.5).

მაგალითი 1. განიხილება ორი ტექნიკური მოწყობილობის (TD) მუშაობა. პირველი, TU მუშაობს მას შემდეგ, რაც მისი მარცხი (მარცხი) შედის TU 2-ის მუშაობაში. მუშაობის დრო TU TU TU 2 - x xდა X 2 - დამოუკიდებელნი არიან და ნაწილდებიან ექსპონენციალური კანონების მიხედვით A,1 და პარამეტრებით X 2 .ამიტომ, დრო ი TU-ს უპრობლემოდ მუშაობა, რომელიც შედგება TU! და TU 2 განისაზღვრება ფორმულით

საჭიროა პ.რ. შემთხვევითი ცვლადი Y,ანუ ორი ექსპონენციალური კანონის შემადგენლობა პარამეტრებით და X 2 .

გადაწყვეტილება. ფორმულით (9.4.4) ვიღებთ (y > 0)

თუ არსებობს ორი ექსპონენციალური კანონის შემადგენლობა ერთი და იგივე პარამეტრებით (?c = X 2 = Y), შემდეგ გამონათქვამში (9.4.8) მიიღება 0/0 ტიპის გაურკვევლობა, რომლის გაფართოება მივიღებთ:

ამ გამოთქმის (6.4.8) გამონათქვამთან შედარება, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ორი იდენტური ექსპონენციალური კანონის შემადგენლობა (?c = X 2 = x)არის მეორე რიგის ერლანგის კანონი (9.4.9). სხვადასხვა პარამეტრით ორი ექსპონენციალური კანონის შედგენისას x xდა A-2 მიიღეთ მეორე რიგის განზოგადებული ერლანგის კანონი (9.4.8). ?

ამოცანა 1. ორი ს-ის სხვაობის განაწილების კანონი. in. სისტემასთან ერთად. in. (X და X 2)აქვს ერთობლივი r.p./(x x x 2). იპოვეთ p.r. მათი განსხვავებები Y=X - X 2 .

გადაწყვეტილება. სისტემისთვის in. (X b - X 2)და ა.შ. იქნება / (x b - x 2),ანუ სხვაობა შევცვალეთ ჯამით. ამიტომ, ა.რ. შემთხვევითი ცვლადი U ექნება ფორმა (იხ. (9.4.2), (9.4.3)):

Თუ თან. in. X x iX 2 დამოუკიდებელი, მაშინ

მაგალითი 2. იპოვეთ ფ.რ. ორი დამოუკიდებელი ექსპონენციალურად განაწილებული ს-ის სხვაობა. in. პარამეტრებით x xდა X 2 .

გადაწყვეტილება. ფორმულის მიხედვით (9.4.11) ვიღებთ

ბრინჯი. 9.4.2 ბრინჯი. 9.4.3

ნახაზი 9.4.2 გვიჩვენებს გვ. გ(y). თუ გავითვალისწინებთ ორი დამოუკიდებელი ექსპონენციურად განაწილებული ს-ის განსხვავებას. in. იგივე პარამეტრებით (ა-ი= X 2 = მაგრამ,),მაშინ გ(y) \u003d / 2 - უკვე ნაცნობი

ლაპლასის კანონი (სურ. 9.4.3). ?

მაგალითი 3. იპოვეთ განაწილების კანონი ორი დამოუკიდებელი გ-ის ჯამისთვის. in. Xდა X 2,ნაწილდება პუასონის კანონის მიხედვით პარამეტრებით ნაჯახიდა ა 2 .

გადაწყვეტილება. იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

ამიტომ, ს. in. Y= X x + X 2 განაწილებული პუასონის კანონის მიხედვით პარამეტრით a x2) - a x + a 2. ?

მაგალითი 4. იპოვეთ განაწილების კანონი ორი დამოუკიდებელი გ-ის ჯამისთვის. in. x xდა X 2,განაწილებული ბინომალური კანონების მიხედვით პარამეტრებით p x ri p 2, გვშესაბამისად.

გადაწყვეტილება. წარმოიდგინე ერთად. in. x xროგორც:

სადაც X 1) -მოვლენის მაჩვენებელი მაგრამ wu "th გამოცდილება:

განაწილების დიაპაზონი. in. X, - აქვს ფორმა

მსგავს წარმოდგენას გავაკეთებთ ს. in. X 2:სადაც X] 2) - მოვლენის მაჩვენებელი მაგრამ y"-ე გამოცდილებაში:

აქედან გამომდინარე,

სად არის X? 1)+(2) თუ მოვლენის მაჩვენებელი მაგრამ:

ამრიგად, ჩვენ ვაჩვენეთ ეს in. მამამთილის თანხა (u + n 2)მოვლენის ინდიკატორები მაგრამ, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ ს. in. ^ განაწილებულია ბინომიალური კანონის მიხედვით პარამეტრებით ( n x + n 2), გვ.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ალბათობა რექსპერიმენტების სხვადასხვა სერიაში განსხვავებულია, შემდეგ ორი დამოუკიდებელი ს-ის დამატების შედეგად. გ., ორობითი კანონების მიხედვით განაწილებული, გამოდის გ. გ., განაწილებული არა ბინომალური კანონის მიხედვით. ?

მაგალითები 3 და 4 ადვილად განზოგადებულია ტერმინების თვითნებურ რაოდენობაზე. პუასონის კანონების პარამეტრებით შედგენისას a b a 2, ..., ტპარამეტრით კვლავ მიიღება პუასონის კანონი a (t) \u003d a x + a 2 + ... + და ტ.

პარამეტრებთან ორობითი კანონების შედგენისას (n r); (მე 2, რ) , (n t, p)კვლავ ვიღებთ ორანომულ კანონს პარამეტრებით (“(“), რ),სადაც n (t) \u003d u + n 2 + ... + და ა.შ.

ჩვენ დავამტკიცეთ პუასონის კანონისა და ბინომიალური კანონის მნიშვნელოვანი თვისებები: „სტაბილურობის თვისება“. განაწილების კანონი ე.წ მდგრადი,თუ ერთი და იმავე ტიპის ორი კანონის შედგენის შედეგად მიიღება ერთი და იმავე ტიპის კანონი (განსხვავდება მხოლოდ ამ კანონის პარამეტრები). 9.7 ქვეპუნქტში ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ნორმალურ კანონს აქვს იგივე სტაბილურობის თვისება.

ალბათობის თეორიის უაღრესად მნიშვნელოვანი ობიექტია დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამი. სწორედ დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამების განაწილების კვლევამ ჩაუყარა საფუძველი ალბათობის თეორიის ანალიტიკური მეთოდების შემუშავებას.

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის განაწილება

ამ განყოფილებაში ჩვენ მივიღებთ ზოგად ფორმულას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის განაწილების ფუნქცია და განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი.

ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის განაწილება. კონვოლუციის ფორმულა

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები განაწილების ფუნქციებით

შესაბამისად

შემდეგ განაწილების ფუნქცია ფშემთხვევითი ცვლადების ჯამები

შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულით ( კონვოლუციის ფორმულა)

ამის დასამტკიცებლად ვიყენებთ ფუბინის თეორემას.

ფორმულის მეორე ნაწილი ანალოგიურად არის დადასტურებული.

ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის განაწილების სიმკვრივე

თუ ორივე შემთხვევითი ცვლადის განაწილებას აქვს სიმკვრივე, მაშინ ამ შემთხვევითი ცვლადების ჯამის სიმკვრივე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

თუ შემთხვევითი ცვლადის (ან ) განაწილებას აქვს სიმკვრივე, მაშინ ამ შემთხვევითი ცვლადების ჯამის სიმკვრივე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

ამ მტკიცებების დასამტკიცებლად საკმარისია გამოვიყენოთ სიმკვრივის განმარტება.

მრავალჯერადი კონვოლუცია

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების სასრული რაოდენობის ჯამის გამოთვლა ხორციელდება კონვოლუციის ფორმულის თანმიმდევრული გამოყენების გამოყენებით. ჯამის განაწილების ფუნქცია კდამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადები განაწილების ფუნქციით ფ

დაურეკა კ-განაწილების ფუნქციის დასაკეცი კონვოლუცია ფდა აღნიშნა

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამების განაწილების გამოთვლის მაგალითები

ამ პარაგრაფში მოცემულია სიტუაციების მაგალითები, შემთხვევითი ცვლადების შეჯამებისას დაცულია განაწილების ფორმა. მტკიცებულებები არის სავარჯიშოები ინტეგრალების შეჯამებისა და გამოთვლის შესახებ.

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამები. Ნორმალური დისტრიბუცია

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამები ბინომალური განაწილება

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამები.პუასონის განაწილება

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამები გამა განაწილება

პუასონის პროცესი

დამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობა, რომელსაც აქვს ექსპონენციალური განაწილება პარამეტრთან

პუნქტების შემთხვევითი თანმიმდევრობა

არაუარყოფით ნახევრადღერძზე ეწოდება პუასონის (წერტილის) პროცესი.

გამოვთვალოთ ქულების რაოდენობის განაწილება

პუასონის პროცესი ინტერვალში (0,t)

ეკვივალენტები, ასე რომ

მაგრამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილება

არის k რიგის ერლანგის განაწილება, ასე

ამრიგად, პუასონის პროცესის წერტილების რაოდენობის განაწილება ინტერვალში (o,t) არის პუასონის განაწილება პარამეტრით.

პუასონის პროცესი გამოიყენება შემთხვევითი მოვლენების წარმოშობის მომენტების სიმულაციისთვის - რადიოაქტიური დაშლის პროცესი, სატელეფონო სადგურზე ზარების მიღების მომენტები, მომსახურების სისტემაში მომხმარებლების გამოჩენის მომენტები, აღჭურვილობის უკმარისობის მომენტები.

მოდით გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ზოგადი მეთოდი ერთი პრობლემის გადასაჭრელად, კერძოდ, ვიპოვოთ განაწილების კანონი ორი შემთხვევითი ცვლადის ჯამისთვის. არსებობს ორი შემთხვევითი ცვლადის სისტემა (X,Y) განაწილების სიმკვრივით f(x,y).

განვიხილოთ X და Y შემთხვევითი ცვლადების ჯამი: და იპოვეთ Z მნიშვნელობის განაწილების კანონი. ამისთვის xOy სიბრტყეზე ვაშენებთ წრფეს, რომლის განტოლებაც. (ნახ. 6.3.1). ეს არის სწორი ხაზი, რომელიც წყვეტს z-ის ტოლ სეგმენტებს ღერძებზე. პირდაპირ ყოფს xy სიბრტყეს ორ ნაწილად; მარჯვნივ და ზემოთ ; მარცხნივ და ქვემოთ

რეგიონი D ამ შემთხვევაში არის xOy სიბრტყის ქვედა მარცხენა ნაწილი, რომელიც დაჩრდილულია ნახ. 6.3.1. ფორმულის მიხედვით (6.3.2) გვაქვს:

ეს არის ორი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის განაწილების სიმკვრივის ზოგადი ფორმულა.

X და Y-სთან მიმართებაში პრობლემის სიმეტრიის მიზეზების გამო, შეგვიძლია დავწეროთ იგივე ფორმულის სხვა ვერსია:

საჭიროა ამ კანონების შემადგენლობის გამომუშავება, ანუ რაოდენობის განაწილების კანონის პოვნა: .

ჩვენ ვიყენებთ ზოგად ფორმულას განაწილების კანონების შემადგენლობისთვის:

ამ გამონათქვამების ჩანაცვლება იმ ფორმულაში, რომელიც უკვე შეგვხვდა

და ეს სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი კანონი დისპერსიული ცენტრით

იგივე დასკვნის გაკეთება ბევრად უფრო მარტივად შეიძლება შემდეგი თვისებრივი მსჯელობით.

ფრჩხილების გახსნის გარეშე და ინტეგრანდში გარდაქმნების გარეშე (6.3.3), მაშინვე მივდივართ დასკვნამდე, რომ მაჩვენებელი არის კვადრატული ტრინომი x-ის მიმართ.

სადაც z-ის მნიშვნელობა საერთოდ არ შედის A კოეფიციენტში, ის შედის B კოეფიციენტში პირველ ხარისხში, ხოლო C კოეფიციენტი შედის კვადრატში. ამის გათვალისწინებით და (6.3.4) ფორმულის გამოყენებით, დავასკვნათ, რომ g(z) არის ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის მაჩვენებელი არის კვადრატული ტრინომი z და განაწილების სიმკვრივე; ამ ტიპის შეესაბამება ნორმალურ კანონს. ამრიგად, ჩვენ; მივდივართ წმინდა ხარისხობრივ დასკვნამდე: z-ის განაწილების კანონი ნორმალური უნდა იყოს. ამ კანონის პარამეტრების საპოვნელად - და - გამოიყენეთ მათემატიკური მოლოდინების დამატების თეორემა და დისპერსიების შეკრების თეორემა. მათემატიკური მოლოდინების შეკრების თეორემის მიხედვით . დისპერსიის მიმატების თეორემის მიხედვით ან აქედან მოდის ფორმულა (6.3.7).

ფესვ-საშუალო კვადრატის გადახრებიდან მათ პროპორციულ სავარაუდო გადახრებზე გადასვლისას მივიღებთ:
.

ამრიგად, ჩვენ მივედით შემდეგ წესამდე: როდესაც ნორმალური კანონები შედგენილია, ისევ ნორმალური კანონი მიიღება და მათემატიკური მოლოდინები და დისპერსიები (ან სავარაუდო გადახრების კვადრატი) ჯამდება.

ნორმალური კანონების შემადგენლობის წესი შეიძლება განზოგადდეს დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების თვითნებური რაოდენობის შემთხვევაში.

თუ არსებობს n დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადი: ექვემდებარება ნორმალურ კანონებს დისპერსიული ცენტრებით და სტანდარტული გადახრები, მაშინ მნიშვნელობა ასევე ექვემდებარება ნორმალურ კანონს პარამეტრებით.

თუ შემთხვევითი ცვლადების სისტემა (X, Y) განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით, მაგრამ X, Y სიდიდეები დამოკიდებულია, მაშინ ადვილი დასამტკიცებელია, ისევე როგორც ადრე, ზოგადი ფორმულის საფუძველზე (6.3.1). რომ რაოდენობის განაწილების კანონიც ნორმალური კანონია. გაფანტვის ცენტრები კვლავ ალგებრულად ემატება, მაგრამ სტანდარტული გადახრებისთვის წესი უფრო რთული ხდება: , სადაც, r არის X და Y მნიშვნელობების კორელაციის კოეფიციენტი.

რამდენიმე დამოკიდებული შემთხვევითი ცვლადის დამატებისას, რომლებიც მთლიანობაში ემორჩილებიან ნორმალურ კანონს, ჯამის განაწილების კანონიც ნორმალური აღმოჩნდება პარამეტრებით.

სად არის X i, X j სიდიდეების კორელაციის კოეფიციენტი და ჯამი ვრცელდება სიდიდეების ყველა სხვადასხვა წყვილთა კომბინაციაზე.

ჩვენ დავინახეთ ნორმალური კანონის ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება: როდესაც ნორმალური კანონები გაერთიანებულია, ადამიანი კვლავ იღებს ნორმალურ კანონს. ეს არის ეგრეთ წოდებული „სტაბილურობის თვისება“. განაწილების კანონი ითვლება სტაბილურად, თუ ამ ტიპის ორი კანონის შედგენით კვლავ მიიღება იგივე ტიპის კანონი. ჩვენ ზემოთ ვაჩვენეთ, რომ ნორმალური კანონი სტაბილურია. ძალიან ცოტა განაწილების კანონს აქვს სტაბილურობის თვისება. ერთგვაროვანი სიმკვრივის კანონი არასტაბილურია: 0-დან 1-მდე მონაკვეთებში ერთგვაროვანი სიმკვრივის ორი კანონის შედგენისას მივიღეთ სიმპსონის კანონი.

ნორმალური კანონის სტაბილურობა მისი პრაქტიკაში ფართო გამოყენების ერთ-ერთი აუცილებელი პირობაა. თუმცა, სტაბილურობის თვისებას, გარდა ნორმალურისა, გააჩნია სხვა განაწილების კანონებიც. ნორმალური კანონის თავისებურება ის არის, რომ როდესაც შედგენილია საკმარისად დიდი რაოდენობის პრაქტიკულად თვითნებური განაწილების კანონები, მთლიანი კანონი აღმოჩნდება თვითნებურად ახლოს ნორმალურთან, მიუხედავად იმისა, თუ როგორი იყო ტერმინების განაწილების კანონები. ამის ილუსტრაცია შეიძლება, მაგალითად, ერთიანი სიმკვრივის სამი კანონის შემადგენლობის შედგენით 0-დან 1-მდე მონაკვეთებში. მიღებული განაწილების კანონი g(z) ნაჩვენებია ნახ. 6.3.1. როგორც ნახატიდან ჩანს, g(z) ფუნქციის გრაფიკი ძალიან ჰგავს ჩვეულებრივი კანონის გრაფიკს.

მოდით არსებობდეს ორი შემთხვევითი ცვლადის სისტემა Xდა ი, რომლის ერთობლივი განაწილება ცნობილია. ამოცანაა იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილება. როგორც მაგალითები SV ზშეგიძლიათ მიიღოთ მოგება ორი საწარმოდან; ამომრჩეველთა რაოდენობა, რომლებმაც ხმა მისცეს გარკვეული გზით ორი განსხვავებული უბნიდან; ორ კამათელზე ქულების ჯამი.

1. ორი DSV-ის საქმე.როგორი მნიშვნელობებიც არ უნდა იყოს მიღებული დისკრეტული CV-ები (სასრული ათობითი წილადის სახით, სხვადასხვა ნაბიჯებით), სიტუაცია თითქმის ყოველთვის შეიძლება შემცირდეს შემდეგ კონკრეტულ შემთხვევამდე. რაოდენობები Xდა იშეუძლია მიიღოს მხოლოდ მთელი მნიშვნელობები, ე.ი. სადაც . თუ თავდაპირველად ისინი იყო ათობითი წილადები, მაშინ მათი დამზადება შესაძლებელია 10 კ-ზე გამრავლებით. და გამოტოვებულ მნიშვნელობებს მაღალ და დაბალ დონეებს შორის შეიძლება მიენიჭოს ნულოვანი ალბათობა. მოდით ცნობილი იყოს ერთობლივი ალბათობის განაწილება. მაშინ, თუ მატრიცის სტრიქონებს და სვეტებს დავთვლით წესების მიხედვით: , მაშინ ჯამის ალბათობა არის:

მატრიცის ელემენტები ემატება ერთ-ერთი დიაგონალის გასწვრივ.

2. ორი NSW-ის საქმე.მოდით ცნობილი იყოს ერთობლივი განაწილების სიმკვრივე. მაშინ ჯამის განაწილების სიმკვრივე:

Თუ Xდა იდამოუკიდებელი, ე.ი. , მაშინ

მაგალითი 1 X, Y– დამოუკიდებელი, ერთნაირად განაწილებული სვ:

ვიპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე.

აშკარაა რომ ,

სვ ზშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები ინტერვალში ( გ+დ; a+b), მაგრამ არა ყველასთვის x. ამ ინტერვალის გარეთ. კოორდინატულ სიბრტყეზე ( x, ზ) რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობების დიაპაზონი ზარის პარალელოგრამი გვერდებით x=თან; x=ა; z=x+d; z=x+b. ინტეგრაციის საზღვრების ფორმულაში იქნება გდა ა. თუმცა იმის გამო, რომ ჩანაცვლებაში y=z-x, ზოგიერთი ღირებულებისთვის ზფუნქცია . მაგალითად, თუ გ , შემდეგ ზე z=x+cდა ნებისმიერი xმექნება: . ამიტომ, ინტეგრალის გამოთვლა ცალკე უნდა განხორციელდეს მნიშვნელობის ცვლილების სხვადასხვა სფეროსთვის ზ, რომელთაგან თითოეულში ინტეგრაციის საზღვრები განსხვავებული იქნება, მაგრამ ყველასთვის xდა ზ. ჩვენ ამას გავაკეთებთ განსაკუთრებული შემთხვევისთვის, როდესაც ა+დ< b+c . განვიხილოთ რაოდენობის ცვლილების სამი განსხვავებული რეგიონი ზდა თითოეულ მათგანს ვპოულობთ.

1) c+d ≤ z ≤ a+d. მერე

2) a+d ≤ z ≤ b+c. მერე

3) b+c ≤ z ≤ a+b. მერე

ამ განაწილებას სიმპსონის კანონი ეწოდება. ნახაზები 8, 9 გვიჩვენებს SW განაწილების სიმკვრივის გრაფიკებს at თან=0, დ=0.