Როდესაცრიცხვი თავისთავად მრავლდება ჩემთვის, მუშაობადაურეკა ხარისხი.

ასე რომ, 2.2 = 4, კვადრატი ან მეორე ხარისხში 2
2.2.2 = 8, კუბი ან მესამე სიმძლავრე.
2.2.2.2 = 16, მეოთხე ხარისხი.

ასევე, 10.10 = 100, მეორე სიმძლავრე არის 10.
10.10.10 = 1000, მესამე ხარისხი.
10.10.10.10 = 10000 მეოთხე ხარისხი.

და a.a = aa, მეორე ხარისხში a
ა.ა.ა = ააა, ა-ს მესამე ხარისხი
a.a.a.a = aaaa, მეოთხე ხარისხში a

ორიგინალურ ნომერს ეძახიან ფესვიამ რიცხვის გრადუსი, რადგან ეს არის ის რიცხვი, საიდანაც შეიქმნა ხარისხები.

თუმცა, არ არის ძალიან მოსახერხებელი, განსაკუთრებით მაღალი უფლებამოსილების შემთხვევაში, ყველა იმ ფაქტორის ჩამოწერა, რომლებიც ქმნიან უფლებამოსილებებს. ამიტომ, გამოიყენება შემოკლებული აღნიშვნის მეთოდი. გრადუსის ძირი იწერება მხოლოდ ერთხელ, გვერდით მარჯვნივ და ცოტა მაღლა, მაგრამ ოდნავ პატარა შრიფტით რამდენჯერ წერია. ფესვი მოქმედებს როგორც ფაქტორი. ამ ნომერს ან ასოს ეძახიან ექსპონენტიან ხარისხინომრები. მაშ ასე, a 2 უდრის a.a-ს ან aa-ს, რადგან a-ს ფესვი თავის თავზე ორჯერ უნდა გავამრავლოთ, რომ მივიღოთ aa-ს ხარისხი. ასევე, 3 ნიშნავს aaa, ანუ აქ მეორდება a სამჯერროგორც მულტიპლიკატორი.

პირველი სიმძლავრის მაჩვენებელი არის 1, მაგრამ ის ჩვეულებრივ არ იწერება. ასე რომ, 1 იწერება როგორც a.

არ უნდა აურიოთ გრადუსები კოეფიციენტები. კოეფიციენტი გვიჩვენებს, რამდენად ხშირად არის მიღებული მნიშვნელობა ნაწილიმთლიანი. ექსპონენტი მიუთითებს რამდენად ხშირად არის მიღებული მნიშვნელობა ფაქტორინაწარმოებში.
ასე რომ, 4a = a + a + a + a. მაგრამ a 4 = a.a.a.a

ექსპონენციალურ აღნიშვნას აქვს განსაკუთრებული უპირატესობა იმისა, რომ გამოხატვის საშუალებას გვაძლევს უცნობიხარისხი. ამ მიზნით რიცხვის ნაცვლად იწერება მაჩვენებელი წერილი. პრობლემის გადაჭრის პროცესში ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მნიშვნელობა, რომელიც, როგორც ვიცით, არის ზოგიერთისხვა სიდიდის ხარისხი. მაგრამ ჯერჯერობით არ ვიცით ეს კვადრატია, კუბი თუ სხვა უმაღლესი ხარისხი. ასე რომ, x გამოხატულებაში, მაჩვენებელი ნიშნავს, რომ ამ გამოსახულებას აქვს ზოგიერთიხარისხი, თუმცა არ არის განსაზღვრული რა ხარისხი. ასე რომ, b m და d n ამაღლებულია m და n-ის ხარისხებამდე. როდესაც მაჩვენებლის პოვნაა, ნომერიჩაანაცვლა წერილი. ასე რომ, თუ m=3, მაშინ b m = b 3; მაგრამ თუ m = 5 მაშინ b m =b 5 .

ექსპონენტებით მნიშვნელობების ჩაწერის მეთოდი ასევე დიდი უპირატესობაა გამოყენებისას გამონათქვამები. ამრიგად, (a + b + d) 3 არის (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), ანუ ტრინომის კუბი (a + b + d) . მაგრამ თუ ამ გამოთქმას კუბურების შემდეგ დავწერთ, ის ასე გამოიყურება
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

თუ ავიღებთ ძალაუფლების სერიას, რომლის მაჩვენებლები იზრდება ან მცირდება 1-ით, აღმოვაჩენთ, რომ ნამრავლი იზრდება საერთო ფაქტორიან შემცირდა საერთო გამყოფიდა ეს კოეფიციენტი ან გამყოფი არის საწყისი რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ხარისხზე.

ასე რომ, სერიაში აააა, ააა, ააა, აა, ა;
ან 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
ინდიკატორები, თუ დათვლილია მარჯვნიდან მარცხნივ, არის 1, 2, 3, 4, 5; და მათ მნიშვნელობებს შორის სხვაობა არის 1. თუ დავიწყებთ მარჯვნივ გამრავლება a, ჩვენ წარმატებით მივიღებთ მრავალ მნიშვნელობას.

ასე რომ a.a = a 2, მეორე წევრი. და 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, მესამე წევრი. a 4 .a = a 5 .

თუ დავიწყებთ დატოვა გაზიარებაზე,
მივიღებთ 5:a = a 4 და 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

მაგრამ ასეთი დაყოფის პროცესი შეიძლება გაგრძელდეს შემდგომში და მივიღებთ ღირებულებების ახალ კომპლექტს.

ასე რომ, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

სრული მწკრივი იქნება: აააა, ააა, აა, ა, ა, 1, 1/ა, 1/აა, 1/ააა.

ან 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

აქ ფასდება მარჯვნივერთეულიდან არის საპირისპირომნიშვნელობები ერთის მარცხნივ. ამიტომ ამ ხარისხებს შეიძლება ეწოდოს შებრუნებული სიმძლავრეებია. ასევე შეიძლება ითქვას, რომ მარცხნივ ძალაუფლება არის მარჯვნივ მდებარე ძალების ინვერსია.

ასე რომ, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. და 1:(1/a 3) = a 3.

იგივე ჩაწერის გეგმა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალწევრები. ასე რომ, a + b-სთვის ვიღებთ კომპლექტს,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

მოხერხებულობისთვის გამოიყენება ინვერსიული ძალების ჩაწერის სხვა ფორმა.

ამ ფორმის მიხედვით, 1/a ან 1/a 1 = a -1 . და 1/aaa ან 1/a 3 = a -3 .
1/aa ან 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ან 1/a 4 = a -4 .

და იმისთვის, რომ მაჩვენებლები იყოს სრული სერიები 1-ით ჯამური სხვაობით, a/a ან 1 განიხილება ისეთი, რომელსაც ხარისხი არ აქვს და იწერება როგორც 0.

შემდეგ, პირდაპირი და შებრუნებული ძალების გათვალისწინებით
ნაცვლად aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
შეგიძლიათ დაწეროთ 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , -1 , -2 , -3 , a -4 .
ან +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

და მხოლოდ ცალკე აღებულ ხარისხების სერიას ექნება ფორმა:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

ხარისხის ფესვი შეიძლება გამოისახოს ერთზე მეტი ასოთი.

ამრიგად, aa.aa ან (aa) 2 არის aa-ს მეორე ხარისხი.
და aa.aa.aa ან (aa) 3 არის aa-ს მესამე ხარისხი.

რიცხვი 1-ის ყველა ხარისხი ერთნაირია: 1.1 ან 1.1.1. 1-ის ტოლი იქნება.

ექსპონენტაცია არის ნებისმიერი რიცხვის მნიშვნელობის პოვნა ამ რიცხვის თავის თავზე გამრავლებით. ექსპონენტაციის წესი:

გაამრავლეთ მნიშვნელობა თავისთავად იმდენჯერ, რამდენჯერაც მითითებულია რიცხვის სიმძლავრეში.

ეს წესი საერთოა ყველა მაგალითისთვის, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას ექსპონენტაციის პროცესში. მაგრამ სწორი იქნება იმის ახსნა, თუ როგორ ეხება ის კონკრეტულ შემთხვევებს.

თუ მხოლოდ ერთი წევრი გაიზარდა ხარისხზე, მაშინ ის თავისთავად მრავლდება იმდენჯერ, რამდენჯერაც მაჩვენებელი მიუთითებს.

მეოთხე ხარისხი a არის 4 ან aaaa. (მუხ. 195.)
y-ის მეექვსე ხარისხი არის y 6 ან yyyyyy.
x-ის n-ე ხარისხი არის x n ან xxx..... n-ჯერ მეორდება.

თუ საჭიროა რამდენიმე ტერმინის გამოხატვის ძალაზე აყვანა, პრინციპი, რომ რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი ტოლია ამ ფაქტორების ხარისხზე ამაღლებული ნამრავლის.

ასე რომ (ay) 2 =a 2 y 2 ; (აი) 2 = აი.აი.
მაგრამ ay.ay = აიი = aayy = a 2 y 2.
ასე რომ, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3.

ამიტომ, პროდუქტის ხარისხის პოვნისას, ჩვენ შეგვიძლია ვიმოქმედოთ მთელ პროდუქტზე ერთდროულად, ან შეგვიძლია ვიმოქმედოთ თითოეულ ფაქტორზე ცალკე და შემდეგ გავამრავლოთ მათი მნიშვნელობები ხარისხებით.

მაგალითი 1. dhy-ის მეოთხე ხარისხი არის (dhy) 4 , ან d 4 h 4 y 4 .

მაგალითი 2. 4b-ის მესამე ხარისხი არის (4b) 3, ან 4 3 b 3, ან 64b 3.

მაგალითი 3. 6ad-ის n-ე ხარისხი არის (6ad) n ან 6 n a n d n.

მაგალითი 4. 3m.2y-ის მესამე სიმძლავრე არის (3m.2y) 3, ან 27m 3.8y 3.

ბინომის ხარისხი, რომელიც შედგება + და --ებით დაკავშირებული ტერმინებისგან, გამოითვლება მისი წევრების გამრავლებით. დიახ,

(a + b) 1 = a + b, პირველი ძალა.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, მეორე ძალა (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, მესამე ხარისხი.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, მეოთხე ხარისხი.

კვადრატი a - b, არის 2 - 2ab + b 2.

კვადრატი a + b + h არის 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

სავარჯიშო 1. იპოვეთ კუბი a + 2d + 3

სავარჯიშო 2. იპოვეთ მეოთხე ხარისხოვანი b + 2.

სავარჯიშო 3. იპოვეთ x + 1-ის მეხუთე ხარისხი.

სავარჯიშო 4. იპოვეთ მეექვსე ხარისხი 1 - ბ.

ჯამის კვადრატები თანხებიდა განსხვავებაორომალიები იმდენად გავრცელებულია ალგებრაში, რომ აუცილებელია მათი კარგად ცოდნა.

თუ გავამრავლებთ a + h თავისთავად, ან a - h თავისთავად,
ვიღებთ: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 ასევე, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

ეს გვიჩვენებს, რომ ყოველ შემთხვევაში, პირველი და ბოლო წევრი არის a და h-ის კვადრატები, ხოლო შუა წევრი ორჯერ არის a და h-ის ნამრავლი. მაშასადამე, ბინომების ჯამისა და სხვაობის კვადრატი შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი წესის გამოყენებით.

ბინომის კვადრატი, რომელიც ორივე დადებითია, უდრის პირველი წევრის კვადრატს + ორივე წევრის ნამრავლის ორჯერ, + ბოლო წევრის კვადრატს.

მოედანი განსხვავებაბინომი უდრის პირველი წევრის კვადრატს გამოკლებული ორივე წევრის ნამრავლის ორჯერ პლუს მეორე წევრის კვადრატი.

მაგალითი 1. კვადრატი 2a + b, არის 4a 2 + 4ab + b 2 .

მაგალითი 2. კვადრატი ab + cd არის 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

მაგალითი 3. კვადრატი 3d - h არის 9d 2 + 6dh + h 2 .

მაგალითი 4. კვადრატი a - 1 არის 2 - 2a + 1.

ბინომების უფრო მაღალი სიმძლავრის პოვნის მეთოდისთვის იხილეთ შემდეგი განყოფილებები.

ხშირ შემთხვევაში წერა ეფექტურია გრადუსიარ გამრავლება.

ასე რომ, კვადრატი a + b არის (a + b) 2.
n-ე ხარისხი bc + 8 + x არის (bc + 8 + x) n

ასეთ შემთხვევებში ფრჩხილები ფარავს ყველაწევრები დიპლომამდე.

მაგრამ თუ ხარისხის ფესვი შედგება რამდენიმესაგან მულტიპლიკატორები, ფრჩხილები შეიძლება მოიცავდეს მთელ გამონათქვამს, ან შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცალკე ფაქტორებზე, რაც დამოკიდებულია მოხერხებულობაზე.

ამრიგად, კვადრატი (a + b)(c + d) არის ან [(a + b).(c + d)] 2 ან (a + b) 2 .(c + d) 2 .

ამ გამონათქვამებიდან პირველისთვის შედეგი არის ორი ფაქტორის ნამრავლის კვადრატი, ხოლო მეორესთვის მათი კვადრატების ნამრავლი. მაგრამ ისინი ერთმანეთის ტოლები არიან.

კუბი a.(b + d), არის 3 , ან a 3 .(b + d) 3 .

ასევე აუცილებელია ჩართული წევრების წინაშე არსებული ნიშნის გათვალისწინება. ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ როდესაც ძალაუფლების ფესვი დადებითია, მისი ყველა პოზიტიური ძალა ასევე დადებითია. მაგრამ როდესაც ფესვი უარყოფითია, ფასდება საიდან კენტისიმძლავრეები უარყოფითია, ხოლო მნიშვნელობები თუნდაცგრადუსი დადებითია.

მეორე ხარისხი (- a) არის +a 2
მესამე ხარისხი (-a) არის -a 3
მეოთხე ხარისხი (-a) არის +a 4
მეხუთე ხარისხი (-a) არის -a 5

აქედან გამომდინარე ნებისმიერი კენტიმაჩვენებელს აქვს იგივე ნიშანი, რაც რიცხვს. მაგრამ თუნდაცხარისხი დადებითია, მიუხედავად იმისა, აქვს თუ არა რიცხვს უარყოფითი ან დადებითი ნიშანი.
ასე რომ, +a.+a = +a 2
და -a.-a = +a 2

მნიშვნელობა უკვე ამაღლებულია სიმძლავრემდე, კვლავ ამაღლდება სიმძლავრემდე მაჩვენებლების გამრავლებით.

2-ის მესამე ხარისხი არის 2.3 = a 6.

2-ისთვის = aa; კუბი aa არის aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; რომელიც არის a-ს მეექვსე ხარისხში, მაგრამ 2-ის მესამე ხარისხში.

მეოთხე ხარისხი a 3 b 2 არის 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

4a 2 x-ის მესამე სიმძლავრე არის 64a 6 x 3.

(a + b) 2-ის მეხუთე ხარისხი არის (a + b) 10 .

3-ის N-ე ხარისხი არის 3n

(x - y) m-ის n-ე ხარისხი არის (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

წესი თანაბრად ვრცელდება უარყოფითიგრადუსი.

მაგალითი 1. a -2-ის მესამე ხარისხი არის -3.3 =a -6.

-2 = 1/aa-სთვის და ამის მესამე ხარისხი
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

მეოთხე სიმძლავრე a 2 b -3 არის 8 b -12 ან 8 / b 12 .

კვადრატი b 3 x -1 არის b 6 x -2.

n-ე სიმძლავრის ax -m არის x -mn ან 1/x.

თუმცა აქ უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ ნიშანი წინახარისხი არის "-", მაშინ ის უნდა შეიცვალოს "+"-ით, როცა ხარისხი ლუწი რიცხვია.

მაგალითი 1. კვადრატი -a 3 არის +a 6. -a 3-ის კვადრატი არის -a 3 .-a 3 , რომელიც გამრავლების ნიშნების წესების მიხედვით არის +a 6 .

2. მაგრამ კუბი -a 3 არის -a 9 . -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9-ისთვის.

3. -a 3-ის N-ე ხარისხი არის 3n.

აქ შედეგი შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი იმისდა მიხედვით, n ლუწია თუ კენტი.

Თუ წილადიხარისხზე აყვანილი, მრიცხველი და მნიშვნელი მაღლა დგება.

კვადრატი a/b არის 2/b 2. წილადების გამრავლების წესის მიხედვით,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a-ის მეორე, მესამე და მე-n ხარისხები არის 1/a 2, 1/a 3 და 1/a n.

მაგალითები ორომალიებისადაც ერთ-ერთი ტერმინი არის წილადი.

1. იპოვეთ კვადრატი x + 1/2 და x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. კვადრატი a + 2/3 არის 2 + 4a/3 + 4/9.

3. კვადრატი x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 კვადრატი x - b/m არის x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2.

ადრე აჩვენეს, რომ წილადის კოეფიციენტიშეიძლება გადავიდეს მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე. შებრუნებული ძალების ჩაწერის სქემის გამოყენებით ჩანს, რომ ნებისმიერი მულტიპლიკატორიშეიძლება გადაადგილებაც თუ ხარისხის ნიშანი შეიცვალა.

ასე რომ, წილადში ax -2 /y შეგვიძლია x გადავიტანოთ მრიცხველიდან მნიშვნელზე.
შემდეგ ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

წილადში a/3-ით შეგვიძლია გადავიტანოთ y მნიშვნელიდან მრიცხველზე.
შემდეგ a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ კოეფიციენტი, რომელსაც აქვს დადებითი მაჩვენებლის მრიცხველი, ან უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე ფაქტორი მნიშვნელზე.

ასე რომ, ax 3 / b = a / bx -3. x 3-ისთვის ინვერსია არის x -3, რაც არის x 3 = 1/x -3.

მაშასადამე, ნებისმიერი წილადის მნიშვნელი შეიძლება მთლიანად მოიხსნას, ან მრიცხველი შემცირდეს ერთამდე, გამოხატვის მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე.

ასე რომ, a/b = 1/ba -1, ან ab -1.

რიცხვის ხარისხზე საუბრის გაგრძელებაში, ლოგიკურია, საქმე მივიღოთ ხარისხის მნიშვნელობის პოვნასთან. ამ პროცესს სახელი ეწოდა ექსპონენტაცია. ამ სტატიაში ჩვენ უბრალოდ შევისწავლით, თუ როგორ ხდება გაძლიერება, ხოლო შევეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს - ბუნებრივ, მთელ რიცხვს, რაციონალურ და ირაციონალურ. და ტრადიციულად, ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ გადაწყვეტილებებს რიცხვების სხვადასხვა ხარისხით ამაღლების მაგალითებზე.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს "ექსპონენტაცია"?

დავიწყოთ იმის ახსნით, რასაც ეძახიან ექსპონენტაციას. აქ არის შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

ექსპონენტაციაარის რიცხვის სიძლიერის მნიშვნელობის პოვნა.

ამრიგად, a-ს მნიშვნელობის პოვნა r მაჩვენებლით და a რიცხვის გაზრდა r-ის ხარისხამდე იგივეა. მაგალითად, თუ დავალება არის "გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0.5) 5", მაშინ მისი გადაფორმირება შესაძლებელია შემდეგნაირად: "აწიეთ რიცხვი 0.5 5-ის ხარისხზე".

ახლა თქვენ შეგიძლიათ პირდაპირ გადახვიდეთ წესებზე, რომლითაც სრულდება ექსპონენტაცია.

რიცხვის ამაღლება ბუნებრივ ძალამდე

პრაქტიკაში, საფუძველზე თანასწორობა ჩვეულებრივ გამოიყენება ფორმით. ანუ, a რიცხვის წილად ხარისხზე m/n-ზე აყვანისას, პირველ რიგში ამოიღება n-ე ხარისხის ფესვი a რიცხვიდან, რის შემდეგაც შედეგი ამაღლებულია მთელ რიცხვ ხარისხამდე m.

განვიხილოთ გადაწყვეტილებები წილადის ხარისხზე აწევის მაგალითებისთვის.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ხარისხის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვაჩვენებთ ორ გამოსავალს.

პირველი გზა. ხარისხის განსაზღვრებით წილადის მაჩვენებლით. ჩვენ ვიანგარიშებთ ხარისხის მნიშვნელობას ფესვის ნიშნის ქვეშ, რის შემდეგაც გამოვყოფთ კუბურ ფესვს: .

მეორე გზა. წილადი მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრით და ფესვების თვისებების საფუძველზე, ტოლობები ჭეშმარიტია . ახლა ამოიღეთ ფესვი და ბოლოს, ჩვენ ვზრდით მთელ ხარისხს .

ცხადია, წილადის სიმძლავრემდე აყვანის მიღებული შედეგები ემთხვევა.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ წილადის მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი წილადი ან შერეული რიცხვი, ამ შემთხვევაში ის უნდა შეიცვალოს შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადით და შემდეგ უნდა განხორციელდეს სიძლიერე.

მაგალითი.

გამოთვალეთ (44,89) 2,5 .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვწერთ მაჩვენებელს ჩვეულებრივი წილადის სახით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია): . ახლა ჩვენ ვასრულებთ ამაღლებას წილადის ხარისხზე:

პასუხი:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ისიც უნდა ითქვას, რომ რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანა საკმაოდ შრომატევადი პროცესია (განსაკუთრებით მაშინ, როცა წილადის მაჩვენებლის მრიცხველი და მნიშვნელი საკმაოდ დიდი რიცხვია), რომელიც ჩვეულებრივ ხორციელდება კომპიუტერული ტექნოლოგიის გამოყენებით.

ამ აბზაცის დასასრულს, ჩვენ ვისაუბრებთ ნულის რიცხვის აგებულებაზე წილადის ხარისხამდე. ფორმის ნულის წილადის ხარისხს შემდეგი მნიშვნელობა მივეცით: რადგან გვაქვს , ხოლო მ/ნ სიმძლავრის ნული არ არის განსაზღვრული. ასე რომ, ნული დადებით წილად ხარისხამდე არის ნული, მაგალითად, . ხოლო ნულს წილადის უარყოფით ხარისხში აზრი არ აქვს, მაგალითად გამოთქმებს და 0 -4.3 აზრი არ აქვს.

ირაციონალურ ძალამდე ამაღლება

ზოგჯერ საჭირო ხდება ირაციონალური მაჩვენებლით რიცხვის ხარისხის მნიშვნელობის გარკვევა. ამ შემთხვევაში, პრაქტიკული მიზნებისთვის, როგორც წესი, საკმარისია ხარისხის მნიშვნელობის მიღება გარკვეულ ნიშანმდე. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ პრაქტიკაში ეს მნიშვნელობა გამოითვლება ელექტრონული გამოთვლითი ტექნოლოგიის გამოყენებით, რადგან ხელით ამაღლება ირაციონალურ სიმძლავრემდე მოითხოვს დიდი რაოდენობით უხერხულ გამოთვლებს. მაგრამ მიუხედავად ამისა, ჩვენ ზოგადად აღვწერთ მოქმედებების არსს.

ირაციონალური მაჩვენებლით a-ის მაჩვენებლის მიახლოებითი მნიშვნელობის მისაღებად, აღებულია მაჩვენებლის ათწილადი მიახლოება და გამოითვლება მაჩვენებლის მნიშვნელობა. ეს მნიშვნელობა არის ირაციონალური მაჩვენებლით a რიცხვის ხარისხის მიახლოებითი მნიშვნელობა. რაც უფრო ზუსტი იქნება რიცხვის ათწილადი მიახლოება თავდაპირველად, მით უფრო ზუსტი იქნება ხარისხის მნიშვნელობა საბოლოოდ.

მაგალითად, გამოვთვალოთ 2 1.174367 სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობა... . ავიღოთ ირაციონალური ინდიკატორის შემდეგი ათობითი მიახლოება: . ახლა ჩვენ ვზრდით 2-ს რაციონალურ სიმძლავრემდე 1.17 (ჩვენ აღვწერეთ ამ პროცესის არსი წინა აბზაცში), ვიღებთ 2 1.17 ≈ 2.250116. ამრიგად, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . თუ ავიღოთ ირაციონალური მაჩვენებლის უფრო ზუსტი ათობითი მიახლოება, მაგალითად, , მაშინ მივიღებთ თავდაპირველი ხარისხის უფრო ზუსტ მნიშვნელობას: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის ჟ სახელმძღვანელო 5 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 9 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

მნიშვნელოვანი შენიშვნები!
1. თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ აბრაკადაბრას, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. როგორ გავაკეთოთ ეს თქვენს ბრაუზერში წერია აქ:
2. სანამ სტატიის კითხვას დაიწყებთ, ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს ნავიგატორს ყველაზე სასარგებლო რესურსისთვის

რატომ არის საჭირო ხარისხები? სად გჭირდებათ ისინი? რატომ გჭირდებათ დროის დახარჯვა მათ შესწავლაზე?

იმისათვის, რომ გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, რისთვის არიან ისინი, როგორ გამოიყენოთ თქვენი ცოდნა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, წაიკითხეთ ეს სტატია.

და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ OGE ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებასა და თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში შესვლას.

მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)

პირველი დონე

გაძლიერება არის იგივე მათემატიკური ოპერაცია, როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება ან გაყოფა.

ახლა ყველაფერს ადამიანურ ენაზე აგიხსნით ძალიან მარტივი მაგალითებით. Ყურადღებით. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ახსნით მნიშვნელოვან საკითხებს.

დავიწყოთ დამატებით.

აქ ასახსნელი არაფერია. თქვენ უკვე ყველაფერი იცით: ჩვენ რვა ვართ. თითოეულს აქვს ორი ბოთლი კოლა. რამდენი კოლა? მართალია - 16 ბოთლი.

ახლა გამრავლება.

იგივე მაგალითი კოლასთან შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: . მათემატიკოსები ცბიერი და ზარმაცი ხალხია. ისინი ჯერ ამჩნევენ ზოგიერთ შაბლონს, შემდეგ კი იგონებენ მათ უფრო სწრაფად „დათვლას“. ჩვენს შემთხვევაში, მათ შენიშნეს, რომ რვა ადამიანიდან თითოეულს ჰქონდა იგივე რაოდენობის ბოთლი კოლას და გამოიგონეს ტექნიკა, რომელსაც გამრავლება ჰქვია. ვეთანხმები, ითვლება უფრო ადვილი და სწრაფი ვიდრე.

ასე რომ, უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე დათვლა, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გამრავლების ცხრილი. რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი ნელა, რთულად და შეცდომებით! მაგრამ…

აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.

და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:

და კიდევ რა რთული დათვლის ხრიკები მოიგონეს ზარმაცი მათემატიკოსებმა? სწორად - რიცხვის ძალამდე აყვანა.

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხუთჯერ გამრავლება, მაშინ მათემატიკოსები ამბობენ, რომ ეს რიცხვი მეხუთე ხარისხამდე უნდა აწიოთ. Მაგალითად, . მათემატიკოსებს ახსოვთ, რომ ორი მეხუთე ხარისხამდე არის. და ისინი გონებაში წყვეტენ ასეთ პრობლემებს - უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე.

ამისათვის საჭიროა მხოლოდ დაიმახსოვრეთ რა არის ფერად ხაზგასმული რიცხვების ხარისხების ცხრილში. დამიჯერე, ეს ბევრად გაგიადვილებს ცხოვრებას.

სხვათა შორის, რატომ ჰქვია მეორე ხარისხს კვადრატინომრები და მესამე კუბი? Რას ნიშნავს? ძალიან კარგი კითხვა. ახლა გექნებათ კვადრატებიც და კუბებიც.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #1

დავიწყოთ რიცხვის კვადრატით ან მეორე ხარისხით.

წარმოიდგინეთ კვადრატული აუზი, რომელიც ზომავს მეტრებს. აუზი თქვენს ეზოშია. ცხელა და ძალიან მინდა ბანაობა. მაგრამ ... აუზი ფსკერის გარეშე! აუზის ფსკერის დაფარვა აუცილებელია ფილებით. რამდენი ფილა გჭირდებათ? ამის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ აუზის ფსკერის ფართობი.

თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ თითის დაჭერით დათვალოთ, რომ აუზის ფსკერი მეტრზე მეტრზე კუბურებისგან შედგება. თუ თქვენი ფილები მეტრზე მეტრია, დაგჭირდებათ ნაჭრები. ადვილია... მაგრამ სად ნახე ასეთი ფილა? კრამიტი უფრო სმ-სმ-ზე იქნება და მერე „თითით დათვლა“ გატანჯავთ. მაშინ უნდა გაამრავლო. ასე რომ, აუზის ფსკერის ერთ მხარეს მოვათავსებთ ფილებს (ნაჭრებს), ხოლო მეორეზე ასევე ფილებს. გამრავლებით, თქვენ მიიღებთ ფილებს ().

შენიშნეთ, რომ ჩვენ გავამრავლეთ იგივე რიცხვი თავისთავად, რათა განვსაზღვროთ აუზის ფსკერის ფართობი? Რას ნიშნავს? ვინაიდან ერთი და იგივე რიცხვი მრავლდება, შეგვიძლია გამოვიყენოთ გაძლიერების ტექნიკა. (რა თქმა უნდა, როდესაც თქვენ გაქვთ მხოლოდ ორი რიცხვი, თქვენ მაინც გჭირდებათ მათი გამრავლება ან ხარისხზე აწევა. მაგრამ თუ ბევრი გაქვთ, მაშინ ხარისხზე აწევა ბევრად უფრო ადვილია და ასევე ნაკლებია შეცდომები გამოთვლებში. გამოცდისთვის ეს ძალიან მნიშვნელოვანია).
ასე რომ, ოცდაათი მეორე ხარისხი იქნება (). ან შეიძლება ითქვას, რომ ოცდაათი კვადრატი იქნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის მეორე ხარისხი ყოველთვის შეიძლება იყოს კვადრატის სახით. და პირიქით, თუ ხედავთ კვადრატს, ის ყოველთვის არის რომელიმე რიცხვის მეორე ხარისხში. კვადრატი არის რიცხვის მეორე ხარისხის გამოსახულება.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #2

აქ არის თქვენთვის დავალება, დათვალეთ რამდენი კვადრატია ჭადრაკის დაფაზე რიცხვის კვადრატის გამოყენებით ... უჯრედების ერთ მხარეს და მეორეზეც. მათი რიცხვის დასათვლელად რვა უნდა გაამრავლოთ რვაზე, ან... თუ შეამჩნევთ, რომ ჭადრაკის დაფა არის კვადრატი გვერდით, მაშინ შეგიძლიათ რვა კვადრატში. მიიღეთ უჯრედები. () Ისე?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #3

ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბ.

უბრალოდ აჩვენე თითი და დაითვალე! ერთი, ორი, სამი, ოთხი… ოცდაორი, ოცდასამი… რამდენი გამოვიდა? არ დაიკარგა? რთულია თითით დათვლა? Ამიტომ! აიღეთ მაგალითი მათემატიკოსებისგან. ისინი ზარმაცები არიან, ამიტომ შენიშნეს, რომ აუზის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ერთმანეთზე გაამრავლოთ. ჩვენს შემთხვევაში აუზის მოცულობა კუბების ტოლი იქნება... უფრო ადვილია, არა?

ახლა წარმოიდგინეთ, რა ზარმაცი და ეშმაკნი არიან მათემატიკოსები, თუ ამას ძალიან აადვილებენ. ყველაფერი ერთ მოქმედებამდე შეამცირა. მათ შენიშნეს, რომ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ტოლია და რომ იგივე რიცხვი მრავლდება თავისთავად... და რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხი. ასე რომ, რასაც ერთხელ თითით დათვალეთ, ისინი აკეთებენ ერთ მოქმედებას: კუბში სამი ტოლია. ასე წერია:

რჩება მხოლოდ დაიმახსოვრეთ გრადუსების ცხრილი. თუ, რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებივით ზარმაცი და მზაკვარი არ ხართ. თუ გიყვართ შრომა და შეცდომების დაშვება, შეგიძლიათ თითით დათვლა განაგრძოთ.

ისე, იმისთვის, რომ საბოლოოდ დაგარწმუნოთ, რომ ხარისხები ლოფერებმა და ეშმაკმა ადამიანებმა გამოიგონეს, რომ გადაჭრან თავიანთი ცხოვრებისეული პრობლემები და არა პრობლემები შეგიქმნან, აი, კიდევ ორიოდე მაგალითი ცხოვრებიდან.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #4

თქვენ გაქვთ მილიონი რუბლი. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე კიდევ მილიონს გამოიმუშავებთ. ანუ, ყოველი თქვენი მილიონი ყოველი წლის დასაწყისში გაორმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წლების განმავლობაში? თუ ახლა ზიხარ და "თითით ითვლი", მაშინ ძალიან შრომისმოყვარე და .. სულელი ხარ. მაგრამ დიდი ალბათობით რამდენიმე წამში გაგცემთ პასუხს, რადგან ჭკვიანი ხართ! ასე რომ, პირველ წელს - ორჯერ ორი ... მეორე წელს - რა მოხდა, კიდევ ორმა, მესამე წელს ... გაჩერდი! თქვენ შენიშნეთ, რომ რიცხვი თავისთავად მრავლდება ერთხელ. ასე რომ, ორი მეხუთე ხარისხამდე არის მილიონი! ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ კონკურსი და ვინც უფრო სწრაფად ითვლის, მიიღებს ამ მილიონებს... ღირს თუ არა დაიმახსოვროთ რიცხვების ხარისხი, რას ფიქრობთ?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #5

მილიონი გაქვს. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე ორს გამოიმუშავებთ. მშვენიერია არა? ყოველი მილიონი გასამმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წელიწადში? დავთვალოთ. პირველი წელი - გაამრავლე, მერე შედეგი მეორეზე... ეს უკვე მოსაწყენია, რადგან უკვე ყველაფერი გაიგე: სამი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, მეოთხე ძალა არის მილიონი. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ სამიდან მეოთხე ხარისხში არის ან.

ახლა თქვენ იცით, რომ რიცხვის ძლიერებამდე აყვანით, ბევრად გაგიადვილებთ ცხოვრებას. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ხარისხებით და რა უნდა იცოდეთ მათ შესახებ.

ტერმინები და ცნებები... ისე რომ არ აგერიოთ

ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ცნებები. Რას ფიქრობ, რა არის მაჩვენებელი? ეს ძალიან მარტივია – ეს ის რიცხვია, რომელიც რიცხვის სიმძლავრის „ზედაზეა“. არა მეცნიერული, მაგრამ გასაგები და ადვილად დასამახსოვრებელი ...

აბა, ამავდროულად, რა ხარისხის ასეთი ბაზა? კიდევ უფრო მარტივია რიცხვი, რომელიც არის ბოლოში, ძირში.

აი სურათი რომ დარწმუნდეთ.

ისე, ზოგადად, იმისათვის, რომ განვაზოგადოთ და უკეთ დავიმახსოვროთ ... ხარისხი ფუძით "" და ინდიკატორი "" იკითხება როგორც "ხარისხში" და იწერება შემდეგნაირად:

რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით

თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: რადგან მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ერთეულების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... როდესაც ვითვლით ერთეულებს, არ ვამბობთ: „მინუს ხუთი“, „მინუს ექვსი“, „მინუს შვიდი“. არც „ერთ მესამედს“ და არც „ნულ ქულას ხუთი მეათედი“ არ ვამბობთ. ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა არის ეს რიცხვები?

რიცხვები, როგორიცაა "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი" ეხება მთელი რიცხვები.ზოგადად, მთელი რიცხვები მოიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს, ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვებს (ანუ აღებული მინუს ნიშნით) და რიცხვს. ნული ადვილი გასაგებია - ეს მაშინ, როცა არაფერია. და რას ნიშნავს უარყოფითი ("მინუს") რიცხვები? მაგრამ ისინი გამოიგონეს, პირველ რიგში, ვალების აღსანიშნავად: თუ თქვენს ტელეფონზე ბალანსი რუბლებში გაქვთ, ეს ნიშნავს, რომ ოპერატორის რუბლები გაქვთ.

ყველა წილადი რაციონალური რიცხვია. როგორ გაჩნდნენ, როგორ ფიქრობთ? Ძალიან მარტივი. რამდენიმე ათასი წლის წინ ჩვენმა წინაპრებმა აღმოაჩინეს, რომ მათ არ ჰქონდათ საკმარისი ბუნებრივი რიცხვები სიგრძის, წონის, ფართობის გასაზომად და ა.შ. და გამოვიდნენ რაციონალური რიცხვი... საინტერესოა, არა?

არის ირაციონალური რიცხვებიც. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, უსასრულო ათობითი წილადი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მაშინ მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.

Შემაჯამებელი:

განვსაზღვროთ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

1. ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
2. რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავის თავზე გამრავლებას:
3. რიცხვის კუბირება ნიშნავს მის სამჯერ გამრავლებას:

განმარტება.რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
.

ხარისხის თვისებები

საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.

ვნახოთ რა არის და ?

ა-პრიორიტეტი:

რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?

ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ ფაქტორებს დავამატეთ ფაქტორები და შედეგი არის ფაქტორები.

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხი მაჩვენებლით, ანუ: , რომელიც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:

მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზი უნდა იყოს!
მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დაწეროთ ეს.

2. ანუ - რიცხვის ხარისხში

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?

მაგრამ ეს ასე არ არის, ნამდვილად.

ხარისხი უარყოფითი ბაზით

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.

მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?

გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელისაფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი. მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ? პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთზე, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ გამოდის.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

მოახერხე?

აი პასუხები: პირველ ოთხ მაგალითში იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალითში 5), ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება.

კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი!

6 პრაქტიკის მაგალითი

ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი

მთლიანივასახელებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.

დადებითი მთელი რიცხვიდა ის არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, საკუთარ თავს ვეკითხებით: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული სიმძლავრე ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე, რაც იყო -. რა რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).

ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რა არის ამის სიმართლე? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ ის ნულოვან სიმძლავრემდე.

მოდით წავიდეთ უფრო შორს. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელ რიცხვებში შედის უარყოფითი რიცხვები. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე: ჩვენ გავამრავლებთ ზოგიერთ ნორმალურ რიცხვს იმავეზე უარყოფით ხარისხში:

აქედან უკვე ადვილია სასურველის გამოხატვა:

ახლა ჩვენ ვაფართოებთ შედეგად წესს თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

რიცხვი უარყოფით ხარისხზე არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხზე. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

შევაჯამოთ:

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:

ამოცანების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი ამოხსნა, თუ ვერ ამოხსნით და გაიგებთ, თუ როგორ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ გამოცდაზე!

მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.

ახლა განიხილეთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები, უფრო მეტიც.

იმის გასაგებად რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განვიხილოთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა დაიმახსოვრე წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-6 ხარისხის ფესვის განმარტება.

შეგახსენებთ: რიცხვის () მეათე ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე აყვანისას ტოლია.

ანუ, th ხარისხის ფესვი არის შებრუნებული მოქმედების სიძლიერე: .

თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაგრძელდეს: .

ახლა დაამატეთ მრიცხველი: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლება-ძალაში წესით:

მაგრამ შეიძლება თუ არა საფუძველი იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.

არცერთი!

დაიმახსოვრე წესი: ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ლუწი ხარისხზეა გაზრდილი, დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ხარისხის ფესვების ამოღება შეუძლებელია!

და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შემცირებული წილადების სახით, მაგალითად, ან.

და გამოდის, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, და ეს არის მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერი ერთი და იგივე ნომრით.

ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ როგორც კი ინდიკატორს სხვანაირად ვწერთ, ისევ გვიჭირს: (ანუ მივიღეთ სრულიად განსხვავებული შედეგი!).

ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, გაითვალისწინეთ მხოლოდ დადებითი ბაზის მაჩვენებლები წილადის მაჩვენებლით.

ასე რომ, თუ:

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ძალები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:

5 პრაქტიკის მაგალითი

ტრენინგის 5 მაგალითის ანალიზი

კარგი, ახლა - ყველაზე რთული. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხებისთვის, გარდა

მართლაც, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.

მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე;

...ნულოვანი სიმძლავრე- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ ის ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული ”მომზადება ნომერი“, კერძოდ ნომერი;

...უარყოფითი მთელი რიცხვი- თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლით ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ხარისხზე ამაღლების უკვე ჩვეულებრივი წესით:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

• — ხარისხის საფუძველი;
• - ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

ერექცია ნულოვანი სიმძლავრისკენ:

გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ე ხარისხის არის ეს.

თუ მაჩვენებელი არის მთელი უარყოფითინომერი:

(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

კიდევ ერთხელ ნულის შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.

მაგალითები:

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხის თვისებები

პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.

ვნახოთ: რა არის და?

ა-პრიორიტეტი:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს მიიღება შემდეგი პროდუქტი:

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : .

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე საფუძველი უნდა ჰქონდეს. მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავწერო ეს.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაწყოთ ასე:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის --ე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:!

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს ასე არ არის, ნამდვილად.

ძალა უარყოფითი ბაზისით.

ამ დრომდე ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის, რაც უნდა იყოს მაჩვენებელიხარისხი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .

მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი. მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ?

პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთში, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ -.

და ასე შემდეგ უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით, ნიშანი შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ეს მარტივი წესები:

1. თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
2. უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
3. ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
4. ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალითში 5), ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია ბაზა - ხარისხი თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ გახსოვთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთში, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:

სანამ ბოლო წესს გავაანალიზებთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:

გადაწყვეტილებები :

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

როგორ ვაპირებთ ამის დამტკიცებას? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ:

აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასო იქნება? ჯერ გამრავლებით - როგორ გამოიყურება? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: სულ იყო მულტიპლიკატორები. ანუ, ეს არის, განსაზღვრებით, რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე; რიცხვი ნულოვანი ხარისხით არის, თითქოს, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული „რიცხვის მომზადება“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი მთელი რიცხვის უარყოფითი ინდიკატორით - თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). პირიქით, ეს არის წმინდა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გააფართოვონ გრადუსის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

1)

2)

3)

პასუხები:

ნაწილის შეჯამება და ძირითადი ფორმულა

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

მაჩვენებელი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხის თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
• ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
• ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
• ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? შემატყობინეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ დენის თვისებებთან დაკავშირებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს შოულობენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ მათ წინაშე ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ დროულად მოაგვარეთ პრობლემები.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებელი არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არის ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!

კალკულატორი გეხმარებათ სწრაფად აიყვანოთ ნომერი ონლაინ რეჟიმში. ხარისხის საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი (როგორც მთელი, ასევე რეალური). მაჩვენებელი ასევე შეიძლება იყოს მთელი ან რეალური, ასევე დადებითიც და უარყოფითიც. უნდა გვახსოვდეს, რომ უარყოფითი რიცხვებისთვის აწევა არა მთელი რიცხვის ხარისხზე არ არის განსაზღვრული და, შესაბამისად, კალკულატორი შეატყობინებს შეცდომას, თუ მაინც შეეცდებით ამის გაკეთებას.

ხარისხის კალკულატორი

ამაღლება ძალამდე

ექსპონენტაცია: 24601

რა არის რიცხვის ბუნებრივი ძალა?

რიცხვს p ეწოდება a რიცხვის n-ე ხარისხს, თუ p უდრის რიცხვს a გამრავლებული თავისთავად n-ჯერ: p \u003d a n \u003d a ... a
ნ - დაუძახა ექსპონენტიდა ნომერი a - ხარისხის საფუძველი.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი ბუნებრივ ხარისხზე?

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ სხვადასხვა რიცხვი ბუნებრივ ძალებზე, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1. აწიეთ რიცხვი სამი მეოთხე ხარისხამდე. ანუ აუცილებელია 3 4-ის გამოთვლა
გადაწყვეტილება: როგორც ზემოთ აღინიშნა, 3 4 = 3 3 3 3 = 81.
უპასუხე: 3 4 = 81 .

მაგალითი 2. აწიეთ რიცხვი ხუთი მეხუთე ხარისხამდე. ანუ აუცილებელია 5 5-ის გამოთვლა
გადაწყვეტილება: ანალოგიურად, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125.
უპასუხე: 5 5 = 3125 .

ამგვარად, რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე ასაყვანად საკმარისია მისი თავის თავზე n-ჯერ გამრავლება.

რა არის რიცხვის უარყოფითი ძალა?

უარყოფითი სიძლიერე -n a არის ერთი გაყოფილი a-ზე n-ის ხარისხზე: a -n = .

ამ შემთხვევაში, უარყოფითი ხარისხი არსებობს მხოლოდ არანულოვანი რიცხვებისთვის, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში მოხდება ნულზე გაყოფა.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით რიცხვამდე?

ნულოვანი რიცხვის უარყოფით ხარისხზე ასაყვანად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამ რიცხვის მნიშვნელობა იმავე დადებით ხარისხზე და ერთი გაყოთ შედეგზე.

მაგალითი 1. აწიეთ რიცხვი ორი მინუს მეოთხე ხარისხამდე. ანუ აუცილებელია 2 -4-ის გამოთვლა

გადაწყვეტილება: როგორც ზემოთ აღინიშნა, 2 -4 = = = 0.0625.

უპასუხე: 2 -4 = 0.0625 .

ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის რიცხვის ხარისხი ზოგადად. ახლა ჩვენ უნდა გავიგოთ, როგორ სწორად გამოვთვალოთ ის, ე.ი. აწიეთ რიცხვები ძალაუფლებამდე. ამ მასალაში გავაანალიზებთ ხარისხის გამოთვლის ძირითად წესებს მთელი რიცხვის, ბუნებრივი, წილადი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლის შემთხვევაში. ყველა განმარტება იქნება ილუსტრირებული მაგალითებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ექსპონენტაციის კონცეფცია

დავიწყოთ ძირითადი განმარტებების ფორმულირებით.

განმარტება 1

ექსპონენტაციაარის რომელიმე რიცხვის სიმძლავრის მნიშვნელობის გამოთვლა.

ანუ სიტყვები „ხარისხის ღირებულების გამოთვლა“ და „გამდიდრება“ ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ასე რომ, თუ დავალება არის "აწიეთ რიცხვი 0, 5 მეხუთე ხარისხამდე", ეს უნდა გავიგოთ, როგორც "გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0, 5) 5.

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად წესებს, რომლებიც უნდა დაიცვან ასეთ გამოთვლებში.

გაიხსენეთ რა არის რიცხვის ხარისხში ბუნებრივი მაჩვენებლით. სიმძლავრისთვის a ბაზისით და n მაჩვენებლით, ეს იქნება n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს შეიძლება დაიწეროს ასე:

ხარისხის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლების ოპერაცია, ანუ გაამრავლოთ ხარისხის საფუძვლები მითითებულ რაოდენობაზე. ხარისხის კონცეფცია ბუნებრივი მაჩვენებლით ემყარება სწრაფად გამრავლების უნარს. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 1

მდგომარეობა: აწევა - 2 4-ის ხარისხზე.

გადაწყვეტილება

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ვწერთ: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . შემდეგი, ჩვენ უბრალოდ უნდა მივყვეთ ამ ნაბიჯებს და მივიღოთ 16.

ავიღოთ უფრო რთული მაგალითი.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ მნიშვნელობა 3 2 7 2

გადაწყვეტილება

ეს ჩანაწერი შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3 2 7 · 3 2 7 . ადრე ჩვენ განვიხილეთ, თუ როგორ სწორად გავამრავლოთ პირობითში აღნიშნული შერეული რიცხვები.

შეასრულეთ ეს ნაბიჯები და მიიღეთ პასუხი: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

თუ დავალება მიუთითებს ირაციონალური რიცხვების ბუნებრივ ხარისხზე აყვანის აუცილებლობაზე, ჩვენ დაგვჭირდება ჯერ მათი ფუძეების დამრგვალება ციფრამდე, რომელიც მოგვცემს სასურველ სიზუსტის პასუხს. ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი 3

შეასრულეთ π რიცხვის კვადრატი.

გადაწყვეტილება

ჯერ დავამრგვალოთ მეასედამდე. შემდეგ π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. თუ π ≈ 3 . 14159, მაშინ მივიღებთ უფრო ზუსტ შედეგს: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

გაითვალისწინეთ, რომ ირაციონალური რიცხვების სიმძლავრის გამოთვლის აუცილებლობა პრაქტიკაში შედარებით იშვიათად ჩნდება. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პასუხი როგორც თავად სიმძლავრე (ln 6) 3 ან გადავიყვანოთ, თუ ეს შესაძლებელია: 5 7 = 125 5 .

ცალკე უნდა მიეთითოს რა არის რიცხვის პირველი ხარისხი. აქ შეგიძლიათ უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ პირველ ხარისხზე ამაღლებული ნებისმიერი რიცხვი თავისთავად დარჩება:

ეს ირკვევა ჩანაწერიდან. .

ეს არ არის დამოკიდებული ხარისხზე.

მაგალითი 4

ასე რომ, (− 9) 1 = − 9 , და 7 3 ამაღლებული პირველ ხარისხზე რჩება 7 3-ის ტოლი.

მოხერხებულობისთვის ცალ-ცალკე გავაანალიზებთ სამ შემთხვევას: თუ მაჩვენებელი დადებითი მთელი რიცხვია, თუ არის ნული და თუ არის უარყოფითი მთელი რიცხვი.

პირველ შემთხვევაში, ეს იგივეა, რაც ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა: ბოლოს და ბოლოს, დადებითი მთელი რიცხვები მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს. ჩვენ უკვე აღვწერეთ, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ ასეთ ხარისხებთან ზემოთ.

ახლა ვნახოთ, როგორ სწორად ავწიოთ ნულოვანი სიმძლავრე. ბაზით, რომელიც არ არის ნულოვანი, ეს გაანგარიშება ყოველთვის აწარმოებს გამომავალს 1-ს. ჩვენ ადრე ავუხსენით, რომ a-ს 0-ე ხარისხი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი და a 0 = 1.

მაგალითი 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - არ არის განსაზღვრული.

ჩვენ დაგვრჩენია მხოლოდ გრადუსის შემთხვევა უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ, რომ ასეთი გრადუსები შეიძლება დაიწეროს წილადად 1 a z, სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ წილადის მნიშვნელი სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი ხარისხი დადებითი მთელი რიცხვით და უკვე ვისწავლეთ მისი გამოთვლა. მოდით მივცეთ დავალებების მაგალითები.

მაგალითი 6

აწიეთ 3 -2 სიმძლავრემდე.

გადაწყვეტილება

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ჩვენ ვწერთ: 2 - 3 = 1 2 3

ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ წილადის მნიშვნელს და ვიღებთ 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

მაშინ პასუხია: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

მაგალითი 7

გაზარდეთ 1, 43 -2 სიმძლავრემდე.

გადაწყვეტილება

ხელახლა ფორმულირება: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

ჩვენ ვიანგარიშებთ კვადრატს მნიშვნელში: 1,43 1,43. ათწილადები შეიძლება გამრავლდეს ამ გზით:

შედეგად მივიღეთ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . ჩვენთვის რჩება ეს შედეგი ჩვეულებრივი წილადის სახით დავწეროთ, რისთვისაც აუცილებელია მისი 10 ათასზე გამრავლება (იხილეთ მასალა წილადების გარდაქმნის შესახებ).

პასუხი: (1, 43) - 2 = 10000 20449

ცალკე შემთხვევა არის რიცხვის აწევა მინუს პირველ ხარისხზე. ასეთი ხარისხის მნიშვნელობა უდრის ფუძის ორიგინალური მნიშვნელობის საპირისპირო რიცხვს: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

მაგალითი 8

მაგალითი: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

როგორ გავზარდოთ რიცხვი წილადის ხარისხამდე

ასეთი ოპერაციის შესასრულებლად, ჩვენ უნდა გავიხსენოთ ხარისხის ძირითადი განმარტება წილადის მაჩვენებლით: a m n \u003d a m n ნებისმიერი დადებითი a, მთელი რიცხვი m და ბუნებრივი n.

განმარტება 2

ამრიგად, წილადი ხარისხის გამოთვლა უნდა განხორციელდეს ორ ეტაპად: აწევა მთელ რიცხვამდე და n-ე ხარისხის ფესვის პოვნა.

გვაქვს ტოლობა a m n = a m n , რომელიც, ფესვების თვისებების გათვალისწინებით, ჩვეულებრივ გამოიყენება ამოცანების ამოსახსნელად m n = a n m სახით. ეს ნიშნავს, რომ თუ რიცხვს ავწევთ a წილადის ხარისხზე m/n, მაშინ ჯერ გამოვყავით n-ე ხარისხის ფესვი a-დან, შემდეგ მივიღებთ შედეგს ხარისხამდე, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი მაჩვენებლით.

ილუსტრირებას მოდი მაგალითით.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 8 - 2 3 .

გადაწყვეტილება

მეთოდი 1. ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს, როგორც: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

ახლა გამოვთვალოთ ხარისხი ფესვის ქვეშ და გამოვყოთ მესამე ფესვი შედეგიდან: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

მეთოდი 2. გადავცვალოთ ძირითადი ტოლობა: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

ამის შემდეგ გამოვყავით ფესვი 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 და კვადრატში გამოვყავით შედეგი: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

ჩვენ ვხედავთ, რომ გადაწყვეტილებები იდენტურია. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი გზა, რომელიც მოგწონთ.

არის შემთხვევები, როცა ხარისხს აქვს შერეული რიცხვის ან ათობითი წილადის სახით გამოხატული ინდიკატორი. გაანგარიშების სიმარტივისთვის, უმჯობესია შეცვალოთ იგი ჩვეულებრივი წილადით და დათვალოთ, როგორც ზემოთ არის მითითებული.

მაგალითი 10

აწიეთ 44,89 2,5 ხარისხამდე.

გადაწყვეტილება

გადავიყვანოთ ინდიკატორის მნიშვნელობა ჩვეულებრივ წილადად - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

და ახლა ჩვენ ვასრულებთ ზემოთ მითითებულ ყველა მოქმედებას თანმიმდევრობით: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 11 501 = 20 13 501, 25107

პასუხი: 13501, 25107.

თუ წილადი მაჩვენებლის მრიცხველსა და მნიშვნელში დიდი რიცხვია, მაშინ რაციონალური მაჩვენებლებით ასეთი მაჩვენებლების გამოთვლა საკმაოდ რთული სამუშაოა. ეს ჩვეულებრივ მოითხოვს კომპიუტერულ ტექნოლოგიას.

ცალკე, ჩვენ ვცხოვრობთ ხარისხზე ნულოვანი ფუძით და წილადის მაჩვენებლით. 0 m n ფორმის გამოხატულებას შეიძლება მივცეთ შემდეგი მნიშვნელობა: თუ m n > 0, მაშინ 0 m n = 0 m n = 0 ; თუ მ ნ< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ირაციონალურ ძალამდე

იმ ხარისხის მნიშვნელობის გამოთვლის საჭიროება, რომლის ინდიკატორში არის ირაციონალური რიცხვი, არც ისე ხშირად ჩნდება. პრაქტიკაში, ამოცანა ჩვეულებრივ შემოიფარგლება მიახლოებითი მნიშვნელობის გამოთვლით (ათწილადების გარკვეულ რაოდენობამდე). ეს ჩვეულებრივ გამოითვლება კომპიუტერზე ასეთი გამოთვლების სირთულის გამო, ამიტომ ჩვენ ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ მთავარ დებულებებს მივუთითებთ.

თუ a ხარისხის სიდიდე უნდა გამოვთვალოთ a ირაციონალური მაჩვენებლით, მაშინ ავიღებთ მაჩვენებლის ათობითი მიახლოებას და ვითვლით მისგან. შედეგი იქნება სავარაუდო პასუხი. რაც უფრო ზუსტია ათობითი მიახლოება, მით უფრო ზუსტი იქნება პასუხი. მაგალითით ვაჩვენოთ:

მაგალითი 11

გამოთვალეთ 21-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა 174367 ....

გადაწყვეტილება

ჩვენ შემოვიფარგლებით ათწილადის მიახლოებით a n = 1, 17. მოდით გამოთვლები გავაკეთოთ ამ რიცხვის გამოყენებით: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . თუ ავიღებთ, მაგალითად, მიახლოებას a n = 1, 1743, მაშინ პასუხი ცოტა უფრო ზუსტი იქნება: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter