მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების გადაჭრა აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების შესახებ ცოდნის გარეშე. წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?

წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მოცემული გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის ცვლილება - მისი მნიშვნელობების განსხვავება x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებული განმარტება:

ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.

წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:

რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? მაგრამ რომელი:

ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: ბილიკის დროის წარმოებული მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარის ტოლია.

მართლაც, სკოლის დღეებიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე პირადი გზაა. x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:

მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად ერთ დროს t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:

წესი პირველი: ამოიღეთ მუდმივი

მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას, როგორც წესი, მიიღეთ - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, აუცილებლად გაამარტივეთ .

მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:

წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული

ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.

ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

გამოსავალი:

აქ მნიშვნელოვანია ვთქვათ რთული ფუნქციების წარმოებულების გაანგარიშების შესახებ. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:

ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამოხატვის წარმოებულის გამოსათვლელად ჯერ განვიხილავთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.

წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:

ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჟღერს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლისას.

ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში, ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი კონტროლის გადაჭრაში და ამოცანების შესრულებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასოდეს გქონიათ შეხება წარმოებულების გამოთვლასთან.

და თეორემა რთული ფუნქციის წარმოებულზე, რომლის ფორმულირება ასეთია:

მოდით 1) $u=\varphi (x)$ ფუნქციას აქვს $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ რაღაც მომენტში $x_0$, 2) ფუნქცია $y=f(u)$ აქვს შესაბამის წერტილში $u_0=\varphi (x_0)$ წარმოებული $y_(u)"=f"(u)$. მაშინ კომპლექსურ ფუნქციას $y=f\left(\varphi (x) \right)$ აღნიშნულ წერტილში ასევე ექნება წარმოებული $f(u)$ და $\varphi ფუნქციების წარმოებულების ნამრავლის ტოლი. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \მარჯვნივ)\cdot \varphi"(x_0) $$

ან, უფრო მოკლე აღნიშვნით: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

ამ განყოფილების მაგალითებში ყველა ფუნქციას აქვს ფორმა $y=f(x)$ (ანუ განვიხილავთ მხოლოდ $x$ ცვლადის ფუნქციებს). შესაბამისად, ყველა მაგალითში $y"$ წარმოებული აღებულია $x$ ცვლადის მიმართ. იმის ხაზგასასმელად, რომ წარმოებული აღებულია $x$ ცვლადის მიმართ, ხშირად $y"_x$-ის ნაცვლად იწერება $y"_x$. y"$.

#1, #2 და #3 მაგალითები იძლევა დეტალურ პროცესს რთული ფუნქციების წარმოებულის მოსაძებნად. მაგალითი No4 განკუთვნილია წარმოებულების ცხრილის უფრო სრულყოფილი გაგებისთვის და აზრი აქვს გაეცნოთ მას.

მიზანშეწონილია No1-3 მაგალითებში მასალის შესწავლის შემდეგ გადავიდეთ No5, No6 და No7 მაგალითების დამოუკიდებლად გადაჭრაზე. #5, #6 და #7 მაგალითები შეიცავს მოკლე გადაწყვეტას, რათა მკითხველმა შეძლოს მისი შედეგის სისწორის შემოწმება.

მაგალითი #1

იპოვეთ $y=e^(\cos x)$ ფუნქციის წარმოებული.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $y"$ რთული ფუნქციის წარმოებული. ვინაიდან $y=e^(\cos x)$, მაშინ $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. იპოვეთ წარმოებული $ \left(e^(\cos x)\right)"$ გამოიყენეთ ფორმულა #6 წარმოებულების ცხრილიდან. იმისათვის, რომ გამოიყენოთ ფორმულა No6, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენს შემთხვევაში $u=\cos x$. შემდგომი გამოსავალი შედგება გამოხატვის $\cos x$-ის ნაცვლად $u$-ის ბანალურ ჩანაცვლებაში No6 ფორმულაში:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \მარჯვნივ)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ tag (1.1)$$

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა $(\cos x)"$. კვლავ მივმართავთ წარმოებულების ცხრილს, მისგან ვირჩევთ ფორმულას No10. $u=x$-ის ჩანაცვლებით მე-10 ფორმულაში გვაქვს. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. ახლა ვაგრძელებთ თანასწორობას (1.1) და ვავსებთ მას ნაპოვნი შედეგით:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ tag (1.2) $$

ვინაიდან $x"=1$, ჩვენ ვაგრძელებთ თანასწორობას (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ tag (1.3) $$

ასე რომ, ტოლობიდან (1.3) გვაქვს: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. ბუნებრივია, ახსნა-განმარტებები და შუალედური ტოლობები ჩვეულებრივ გამოტოვებულია, წარმოებულის ჩაწერა ერთ სტრიქონში, როგორც ტოლობაში. (1.3) ასე რომ, ნაპოვნია რთული ფუნქციის წარმოებული, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

მაგალითი #2

იპოვეთ $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ფუნქციის წარმოებული.

ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ წარმოებული $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მუდმივი (ანუ რიცხვი 9) შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \ tag (2.1) $$

ახლა მივმართოთ გამოთქმას $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. წარმოებულების ცხრილიდან სასურველი ფორმულის არჩევის გასაადვილებლად წარმოგიდგენთ გამონათქვამს. შეკითხვა ამ ფორმით: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. ახლა გასაგებია, რომ აუცილებელია No2 ფორმულის გამოყენება, ე.ი. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ჩაანაცვლეთ $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ და $\alpha=12$ ამ ფორმულაში:

ტოლობის (2.1) შევსების შედეგად მიღებული შედეგი გვაქვს:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ tag (2.2) $$

ამ სიტუაციაში ხშირად უშვებს შეცდომას, როდესაც ამომხსნელი პირველ საფეხურზე ირჩევს ფორმულას $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ფორმულის ნაცვლად. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. საქმე იმაშია, რომ ჯერ უნდა მოიძებნოს გარე ფუნქციის წარმოებული. იმის გასაგებად, თუ რომელი ფუნქცია იქნება გარე გამოხატვის $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ითვლით გამოხატვის $\arctg^(12)(4\cdot 5^) მნიშვნელობას. x)$ გარკვეული ღირებულებისთვის $x$. ჯერ გამოთვალეთ $5^x$-ის მნიშვნელობა, შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი 4-ზე და მიიღეთ $4\cdot 5^x$. ახლა ავიღებთ არქტანგენტს ამ შედეგიდან, ვიღებთ $\arctg(4\cdot 5^x)$. შემდეგ მივიღებთ მიღებულ რიცხვს მეთორმეტე ხარისხამდე, ვიღებთ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. ბოლო მოქმედება, ე.ი. ამაღლება 12-ის სიმძლავრემდე, - და იქნება გარე ფუნქცია. და სწორედ მისგან უნდა დაიწყოს წარმოებულის პოვნა, რომელიც გაკეთდა თანასწორობაში (2.2).

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულების ცხრილის ფორმულას No. 19, ჩავანაცვლებთ მასში $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

მოდით ოდნავ გავამარტივოთ მიღებული გამონათქვამი, გავითვალისწინოთ $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ტოლობა (2.2) ახლა გახდება:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ tag (2.3) $$

რჩება $(4\cdot \ln x)"$-ის პოვნა. ჩვენ ვიღებთ მუდმივას (ე.ი. 4) წარმოებულის ნიშნიდან: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ $(\ln x)"$, ვიყენებთ ფორმულას No. 8, ჩანაცვლებით $u=x$ მასში: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. ვინაიდან $x"=1$, მაშინ $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ მიღებული შედეგის (2.3) ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

შეგახსენებთ, რომ რთული ფუნქციის წარმოებული ყველაზე ხშირად ერთ სტრიქონშია, როგორც ეს ბოლო ტოლობაში წერია. ამიტომ, სტანდარტული გამოთვლების ან ტესტების გაკეთებისას, სულაც არ არის საჭირო ხსნარის დახატვა იმავე დეტალებში.

უპასუხე: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

მაგალითი #3

იპოვეთ $y"$ ფუნქციის $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

პირველ რიგში, მოდით ოდნავ გარდავცვალოთ $y$ ფუნქცია რადიკალი (root) ხარისხად გამოსახვით: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9). ^x) \მარჯვნივ)^(\frac(3)(7))$. ახლა დავიწყოთ წარმოებულის პოვნა. ვინაიდან $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, მაშინ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას No. 2 წარმოებულების ცხრილიდან, ჩანაცვლებით $u=\sin(5\cdot 9^x)$ და $\alpha=\frac(3)(7)$ მასში:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

ჩვენ ვაგრძელებთ ტოლობას (3.1) მიღებული შედეგის გამოყენებით:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ tag (3.2) $$

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $(\sin(5\cdot 9^x))"$. ამისთვის ვიყენებთ ფორმულას No. 9 წარმოებულების ცხრილიდან, ჩავანაცვლებთ მასში $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

ტოლობის (3.2) შევსების შედეგად მიღებული შედეგი გვაქვს:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ tag (3.3) $$

რჩება $(5\cdot 9^x)"$-ის პოვნა. პირველ რიგში, ჩვენ ვიღებთ მუდმივას (რიცხვი $5$) წარმოებულის ნიშნიდან, ანუ $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. $(9^x)"$ წარმოებულის საპოვნელად, გამოვიყენებთ წარმოებულთა ცხრილის მე-5 ფორმულას, ჩავანაცვლებთ მასში $a=9$ და $u=x$: $. (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. ვინაიდან $x"=1$, მაშინ $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. ახლა შეგვიძლია გავაგრძელოთ თანასწორობა (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

თქვენ შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ ძალაუფლებიდან რადიკალებს (მაგ. ფესვებს) $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$-ად დაწერით $\ frac(1) )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. შემდეგ წარმოებული დაიწერება შემდეგი ფორმით:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

უპასუხე: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

მაგალითი #4

აჩვენეთ, რომ წარმოებულთა ცხრილის No3 და No4 ფორმულები ამ ცხრილის No2 ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

წარმოებულთა ცხრილის No2 ფორმულაში იწერება $u^\alpha$ ფუნქციის წარმოებული. $\alpha=-1$ ჩანაცვლებით ფორმულა #2-ში, მივიღებთ:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

ვინაიდან $u^(-1)=\frac(1)(u)$ და $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, თანასწორობა (4.1) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. ეს არის წარმოებულების ცხრილის ფორმულა ნომერი 3.

მოდით კვლავ მივმართოთ წარმოებულების ცხრილის No2 ფორმულას. ჩაანაცვლეთ $\alpha=\frac(1)(2)$ მასში:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

ვინაიდან $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ და $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, მაშინ ტოლობა (4.2) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

შედეგად მიღებული ტოლობა $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ არის წარმოებულების ცხრილის ფორმულა No. 4. როგორც ხედავთ, წარმოებულების ცხრილის No3 და No4 ფორმულები მიღებულია No2 ფორმულიდან $\alpha$-ის შესაბამისი მნიშვნელობის ჩანაცვლებით.

თუ ჩვენ მივყვებით განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. წΔ არგუმენტის ნამატამდე x:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოთვალოთ ამ ფორმულით, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ვ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ე xცოდვა x. თუ ყველაფერს აკეთებთ განსაზღვრებით, მაშინ რამდენიმე გვერდიანი გამოთვლების შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ე.წ. ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება განვასხვავოთ ფუნქციების მთელი მრავალფეროვნებისგან. ეს არის შედარებით მარტივი გამონათქვამები, რომელთა წარმოებულები დიდი ხანია გამოითვლება და შეტანილია ცხრილში. ასეთი ფუნქციების დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია, მათ წარმოებულებთან ერთად.

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული ფუნქციები არის ყველაფერი ჩამოთვლილი ქვემოთ. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. მეტიც, მათი დამახსოვრება არც ისე რთულია - ამიტომაც არიან ელემენტარული.

ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
მუდმივი	ვ(x) = C, C ∈ რ	0 (დიახ, დიახ, ნული!)
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით	ვ(x) = x ნ	ნ · x ნ − 1
სინუსი	ვ(x) = ცოდვა x	cos x
კოსინუსი	ვ(x) = cos x	- ცოდვა x(მინუს სინუსი)
ტანგენტი	ვ(x) = ტგ x	1/co 2 x
კოტანგენსი	ვ(x) = ctg x	− 1/ცოდვა2 x
ბუნებრივი ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი x	1/x
თვითნებური ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი ა x	1/(xლნ ა)
ექსპონენციალური ფუნქცია	ვ(x) = ე x	ე x(არაფერი შეცვლილა)

თუ ელემენტარული ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე, მაშინ ახალი ფუნქციის წარმოებული ასევე ადვილად გამოითვლება:

(C · ვ)’ = C · ვ ’.

ზოგადად, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან. Მაგალითად:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლდეს, გაიყოს და მრავალი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, აღარ არის ძალიან ელემენტარული, მაგრამ ასევე დიფერენცირებადი გარკვეული წესების მიხედვით. ეს წესები განიხილება ქვემოთ.

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

დაუშვით ფუნქციები ვ(x) და გ(x), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:

1. (ვ + გ)’ = ვ ’ + გ ’
2. (ვ − გ)’ = ვ ’ − გ ’

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. Მაგალითად, ( ვ + გ + თ)’ = ვ ’ + გ ’ + თ ’.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს „გამოკლების“ ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. აქედან გამომდინარე, განსხვავება ვ − გშეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით ვ+ (−1) გ, და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.

ვ(x) = x 2 + სინქსი; გ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, ასე რომ:

ვ ’(x) = (x 2+ ცოდვა x)’ = (x 2)' + (ცოდვა x)’ = 2x+ cosx;

ჩვენ ანალოგიურად ვკამათობთ ფუნქციისთვის გ(x). მხოლოდ სამი ტერმინია (ალგებრას თვალსაზრისით):

გ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

პასუხი:
ვ ’(x) = 2x+ cosx;
გ ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

პროდუქტის წარმოებული

მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრს სჯერა, რომ თუ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა"\u003e ტოლია წარმოებულების ნამრავლს. მაგრამ ლეღვი შენთვის! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება სრულიად განსხვავებული ფორმულით. კერძოდ:

(ვ · გ) ’ = ვ ’ · გ + ვ · გ ’

ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად დავიწყებული. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად მოგვარებული პრობლემები.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = x 3 cosx; გ(x) = (x 2 + 7x− 7) · ე x .

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტი, ამიტომ ყველაფერი მარტივია:

ვ ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (კოს x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-ცოდვა x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x)

ფუნქცია გ(x) პირველი მულტიპლიკატორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემა აქედან არ იცვლება. ცხადია, ფუნქციის პირველი მულტიპლიკატორი გ(x) მრავალწევრია და მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ე x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ე x + (x 2 + 7x- 7) ( ე x)’ = (2x+ 7) · ე x + (x 2 + 7x− 7) · ე x = ე x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ე x = x(x+ 9) · ე x .

პასუხი:
ვ ’(x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x);
გ ’(x) = x(x+ 9) · ე x .

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო საფეხურზე ხდება წარმოებულის ფაქტორიზირება. ფორმალურად, ეს არ არის აუცილებელი, მაგრამ წარმოებულების უმეტესობა არ არის გამოთვლილი დამოუკიდებლად, არამედ ფუნქციის შესასწავლად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომში წარმოებული გაუტოლდება ნულს, გაირკვევა მისი ნიშნები და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უმჯობესია გამოთქმა იყოს ფაქტორებად დაშლილი.

თუ არსებობს ორი ფუნქცია ვ(x) და გ(x), და გ(x) ≠ 0 ჩვენთვის საინტერესო სიმრავლეზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია თ(x) = ვ(x)/გ(x). ასეთი ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:

სუსტი არაა, არა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? მაგრამ ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულა - თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარკვევა ბოთლის გარეშე. ამიტომ სჯობს მისი შესწავლა კონკრეტული მაგალითებით.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

თითოეული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის ელემენტარული ფუნქციები, ასე რომ, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა:

ტრადიციულად, მრიცხველს ფაქტორებად ვაქცევთ - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:

რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება ვ(x) = ცოდვა xდა შეცვალეთ ცვლადი x, ვთქვათ, on x 2 + ლნ x. თურმე ვ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x) რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ მისი პოვნა არ გამოდგება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით.

Როგორ უნდა იყოს? ასეთ შემთხვევებში, ცვლადის ჩანაცვლება და რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა ეხმარება:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ“, თუ xშეცვლილია ტ(x).

როგორც წესი, სიტუაცია ამ ფორმულის გაგებით კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებულთან. ამიტომ, ასევე უკეთესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითებით, თითოეული ნაბიჯის დეტალური აღწერით.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = ე 2x + 3 ; გ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x)

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციაში ვ(x) გამოთქმის ნაცვლად 2 x+3 ადვილი იქნება x, მაშინ ვიღებთ ელემენტარულ ფუნქციას ვ(x) = ე x. ამიტომ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით 2 x + 3 = ტ, ვ(x) = ვ(ტ) = ე ტ. ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ე ტ)’ · ტ ’ = ე ტ · ტ ’

ახლა კი - ყურადღება! საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულება: ტ = 2x+ 3. ჩვენ ვიღებთ:

ვ ’(x) = ე ტ · ტ ’ = ე 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ე 2x+ 3 2 = 2 ე 2x + 3

ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას გ(x). აშკარად გამოსაცვლელია. x 2 + ლნ x = ტ. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = გ ’(ტ) · ტ= (ცოდვა ტ)’ · ტ' = cos ტ · ტ ’

საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = x 2 + ლნ x. შემდეგ:

გ ’(x) = cos( x 2 + ლნ x) · ( x 2 + ლნ x)' = cos ( x 2 + ლნ x) · (2 x + 1/x).

Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა დაყვანილია ჯამის წარმოებულის გამოთვლაზე.

პასუხი:
ვ ’(x) = 2 ე 2x + 3 ;
გ ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2 + ლნ x).

ძალიან ხშირად ჩემს გაკვეთილებზე ტერმინი „წარმოებული“ ნაცვლად ვიყენებ სიტყვას „ინსულტი“. მაგალითად, ჯამის დარტყმა უდრის დარტყმების ჯამს. ეს უფრო ნათელია? ისე, კარგია.

ამრიგად, წარმოებულის გაანგარიშება ხდება სწორედ ამ დარტყმების მოშორებაზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. როგორც საბოლოო მაგალითი, დავუბრუნდეთ წარმოებულ ძალას რაციონალური მაჩვენებლით:

(x ნ)’ = ნ · x ნ − 1

ცოტამ თუ იცის ეს როლში ნშეიძლება იყოს წილადი რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის x 0.5 . მაგრამ რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ არის რაღაც სახიფათო? ისევ რთული ფუნქცია გამოვა - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებში და გამოცდებში.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

პირველ რიგში, მოდით გადავიწეროთ ფესვი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

ვ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით x 2 + 8x − 7 = ტ. წარმოებულს ვპოულობთ ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ტ 0.5)' ტ' = 0,5 ტ−0,5 ტ ’.

ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = x 2 + 8x− 7. გვაქვს:

ვ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

და ბოლოს, დავუბრუნდეთ ფესვებს:

პირველი დონე

ფუნქციის წარმოებული. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

წარმოიდგინეთ სწორი გზა, რომელიც გადის მთიან მხარეში. ანუ ადის და ქვევით, მაგრამ არ უხვევს მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ ღერძი მიმართულია გზის გასწვრივ ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად, მაშინ გზის ხაზი ძალიან წააგავს რაიმე უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკს:

ღერძი არის ნულოვანი სიმაღლის გარკვეული დონე, ცხოვრებაში ჩვენ ვიყენებთ ზღვის დონეს როგორც მას.

წინ მივდივართ ასეთი გზის გასწვრივ, ჩვენც მივდივართ ზემოთ ან ქვემოთ. ასევე შეგვიძლია ვთქვათ: როდესაც არგუმენტი იცვლება (აბსცისის ღერძის გასწვრივ მოძრაობა), იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა (ორდინატთა ღერძის გასწვრივ მოძრაობა). ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ როგორ განვსაზღვროთ ჩვენი გზის "ციცაბო"? რა შეიძლება იყოს ეს ღირებულება? ძალიან მარტივია: რამდენად შეიცვლება სიმაღლე გარკვეული მანძილის წინ გადაადგილებისას. მართლაც, გზის სხვადასხვა მონაკვეთზე, წინ მივდივართ (აბსცისის გასწვრივ) ერთი კილომეტრით, ზღვის დონიდან (ორდინატის გასწვრივ) ავწევთ ან ჩამოვწევთ სხვადასხვა რაოდენობის მეტრს.

ჩვენ აღვნიშნავთ წინსვლას (წაიკითხეთ "დელტა x").

ბერძნული ასო (დელტა) ჩვეულებრივ გამოიყენება მათემატიკაში, როგორც პრეფიქსი, რაც ნიშნავს "ცვლილებას". ანუ - ეს არის სიდიდის ცვლილება, - ცვლილება; მაშინ რა არის? მართალია, ზომის ცვლილება.

მნიშვნელოვანია: გამოხატულება არის ერთი ერთეული, ერთი ცვლადი. არასდროს არ უნდა გააწყვეტინო "დელტა" "x"-დან ან სხვა ასოდან! ანუ, მაგალითად,.

ასე რომ, ჩვენ გადავედით წინ, ჰორიზონტალურად. თუ გზის ხაზს შევადარებთ ფუნქციის გრაფიკს, მაშინ როგორ აღვნიშნოთ აწევა? Რა თქმა უნდა, . ანუ, როდესაც წინ მივდივართ, ჩვენ მაღლა ავწევთ.

მნიშვნელობის გამოთვლა მარტივია: თუ თავიდან სიმაღლეზე ვიყავით, გადაადგილების შემდეგ კი სიმაღლეზე, მაშინ. თუ საბოლოო წერტილი საწყის წერტილზე დაბალი აღმოჩნდა, ის უარყოფითი იქნება - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ არ აღმავალთ, არამედ დაღმავალს ვართ.

დაბრუნება "ციცაბოზე": ეს არის მნიშვნელობა, რომელიც მიუთითებს, თუ რამდენად (ციცაბო) იზრდება სიმაღლე, როდესაც წინ მიიწევთ ერთეულ მანძილზე:

დავუშვათ, რომ ბილიკის ზოგიერთ მონაკვეთზე, კმ-ით წინსვლისას, გზა მაღლა ადის კმ-ით. მაშინ ამ ადგილას ციცაბო ტოლია. და თუ გზა m-ით წინსვლისას კმ-ით ჩაიძირა? მაშინ დახრილობა ტოლია.

ახლა განიხილეთ გორაკის მწვერვალი. თუ მონაკვეთის დასაწყისს ნახევარი კილომეტრით აიღებთ ზევით, ხოლო ბოლოს - ნახევარი კილომეტრის შემდეგ, ხედავთ, რომ სიმაღლე თითქმის იგივეა.

ანუ ჩვენი ლოგიკით გამოდის, რომ აქ ციცაბო თითქმის ნულის ტოლია, რაც აშკარად არ შეესაბამება სინამდვილეს. ბევრი რამ შეიძლება შეიცვალოს რამდენიმე მილის დაშორებით. უფრო მცირე ტერიტორიები უნდა იყოს გათვალისწინებული ციცაბოს უფრო ადეკვატური და ზუსტი შეფასებისთვის. მაგალითად, თუ გაზომავთ სიმაღლის ცვლილებას ერთი მეტრის გადაადგილებისას, შედეგი გაცილებით ზუსტი იქნება. მაგრამ ეს სიზუსტეც კი შეიძლება არ იყოს საკმარისი ჩვენთვის - ბოლოს და ბოლოს, თუ შუა გზაზე ბოძია, შეგვიძლია უბრალოდ გადავცუროთ. რა მანძილი უნდა ავირჩიოთ მაშინ? სანტიმეტრი? მილიმეტრი? ნაკლები უკეთესია!

რეალურ ცხოვრებაში, მანძილის გაზომვა უახლოეს მილიმეტრამდე საკმარისზე მეტია. მაგრამ მათემატიკოსები ყოველთვის სრულყოფილებისკენ ისწრაფვიან. ამიტომ, კონცეფცია იყო უსასრულოდ მცირე, ანუ მოდულის მნიშვნელობა ნაკლებია ნებისმიერ რიცხვზე, რომლის დასახელებაც შეგვიძლია. მაგალითად, თქვენ ამბობთ: ერთი ტრილიონედი! რამდენით ნაკლები? და თქვენ გაყავით ეს რიცხვი - და ეს კიდევ უფრო ნაკლები იქნება. Და ასე შემდეგ. თუ გვინდა დავწეროთ, რომ მნიშვნელობა უსასრულოდ მცირეა, ვწერთ ასე: (ვკითხულობთ „x მიდრეკილია ნულისკენ“). ძალიან მნიშვნელოვანია გაგება რომ ეს რიცხვი ნულის ტოლი არ არის!მაგრამ ძალიან ახლოს. ეს ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაიყოს.

უსასრულოდ პატარას საპირისპირო კონცეფცია არის უსასრულოდ დიდი (). თქვენ ალბათ უკვე შეგხვედრიათ მას, როცა უტოლობაზე მუშაობდით: ეს რიცხვი მოდულში უფრო დიდია, ვიდრე ნებისმიერი რიცხვი, რომელზეც შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ. თუ თქვენ მიიღებთ ყველაზე დიდ რაოდენობას, უბრალოდ გაამრავლეთ ის ორზე და მიიღებთ კიდევ უფრო მეტს. და უსასრულობა კიდევ უფრო მეტია, ვიდრე ის, რაც ხდება. ფაქტობრივად, უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ პატარა არის შებრუნებული ერთმანეთის მიმართ, ანუ at, და პირიქით: at.

ახლა ისევ ჩვენს გზას. იდეალურად გამოთვლილი ფერდობი არის დახრილობა, რომელიც გამოითვლება ბილიკის უსასრულოდ მცირე სეგმენტზე, ანუ:

აღვნიშნავ, რომ უსასრულოდ მცირე გადაადგილებით, სიმაღლის ცვლილებაც უსასრულოდ მცირე იქნება. მაგრამ შეგახსენებთ, რომ უსასრულოდ მცირე არ ნიშნავს ნულის ტოლს. თუ უსასრულოდ მცირე რიცხვებს ერთმანეთზე გაყოფთ, შეგიძლიათ მიიღოთ სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვი, მაგალითად,. ანუ, ერთი მცირე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ზუსტად ორჯერ დიდი მეორეზე.

რატომ ეს ყველაფერი? გზა, ციცაბო... მიტინგზე არ მივდივართ, მაგრამ მათემატიკას ვსწავლობთ. და მათემატიკაში ყველაფერი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ სხვანაირად უწოდებენ.

წარმოებულის ცნება

ფუნქციის წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ზრდაზე.

მატებამათემატიკაში ცვლილებას უწოდებენ. რამდენად შეიცვალა არგუმენტი () ღერძის გასწვრივ მოძრაობისას ეწოდება არგუმენტის ზრდადა აღინიშნება იმით, თუ რამდენად შეიცვალა ფუნქცია (სიმაღლე) ღერძის გასწვრივ მანძილით წინ გადაადგილებისას ე.წ. ფუნქციის გაზრდადა აღინიშნება.

ამრიგად, ფუნქციის წარმოებული არის კავშირი როდისთან. წარმოებულს აღვნიშნავთ იგივე ასოებით, როგორც ფუნქცია, მხოლოდ ზემოდან მარჯვნივ: ან უბრალოდ. მოდით დავწეროთ წარმოებული ფორმულა ამ აღნიშვნების გამოყენებით:

როგორც გზის ანალოგიაში, აქაც, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როცა მცირდება, უარყოფითი.

მაგრამ წარმოებული ტოლია ნულის? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, თუ ვმოძრაობთ ბრტყელ ჰორიზონტალურ გზაზე, ციცაბო არის ნულის ტოლი. მართლაც, სიმაღლე საერთოდ არ იცვლება. ასე რომ, წარმოებულთან: მუდმივი ფუნქციის წარმოებული (მუდმივი) ნულის ტოლია:

ვინაიდან ასეთი ფუნქციის ზრდა არის ნული ნებისმიერისთვის.

ავიღოთ გორაკზე მაგალითი. აღმოჩნდა, რომ შესაძლებელი იყო სეგმენტის ბოლოების დალაგება წვეროს მოპირდაპირე მხარეებზე ისე, რომ ბოლოებში სიმაღლე აღმოჩნდეს იგივე, ანუ სეგმენტი ღერძის პარალელურად იყოს:

მაგრამ დიდი სეგმენტები არაზუსტი გაზომვის ნიშანია. ჩვენ ავწევთ ჩვენს სეგმენტს თავის პარალელურად, შემდეგ მისი სიგრძე შემცირდება.

საბოლოო ჯამში, როდესაც ჩვენ უსასრულოდ ახლოს ვართ ზევით, სეგმენტის სიგრძე უსასრულოდ მცირე გახდება. მაგრამ ამავე დროს, ის დარჩა ღერძის პარალელურად, ანუ მის ბოლოებში სიმაღლის სხვაობა ნულის ტოლია (არ მიდრეკილია, მაგრამ უდრის). ასე რომ წარმოებული

ეს შეიძლება გავიგოთ შემდეგნაირად: როდესაც ჩვენ ვდგავართ ზევით, მცირე ცვლა მარცხნივ ან მარჯვნივ ცვლის ჩვენს სიმაღლეს უმნიშვნელოდ.

ასევე არის წმინდა ალგებრული ახსნა: ზემოდან მარცხნივ ფუნქცია იზრდება, მარჯვნივ კი მცირდება. როგორც უკვე გავარკვიეთ, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როდესაც მცირდება, უარყოფითი. მაგრამ ის იცვლება შეუფერხებლად, ნახტომების გარეშე (რადგან გზა მკვეთრად არსად არ ცვლის ფერდობას). აქედან გამომდინარე, უნდა იყოს უარყოფითი და დადებითი მნიშვნელობები. ეს იქნება იქ, სადაც ფუნქცია არც იზრდება და არც მცირდება - წვეროს წერტილში.

იგივე ეხება ხეობას (არეალი, სადაც ფუნქცია მცირდება მარცხნივ და იზრდება მარჯვნივ):

ცოტა მეტი დანამატების შესახებ.

ასე რომ, ჩვენ ვცვლით არგუმენტს მნიშვნელობაზე. რა ღირებულებიდან ვცვლით? რა გახდა ის (არგუმენტი) ახლა? ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ნებისმიერი წერტილი და ახლა ჩვენ ვიცეკვებთ მისგან.

განვიხილოთ წერტილი კოორდინატით. მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია. შემდეგ ჩვენ ვაკეთებთ იგივე ზრდას: გავზარდოთ კოორდინატი. რა არგუმენტია ახლა? ძალიან ადვილია:. რა არის ფუნქციის ღირებულება ახლა? სადაც არგუმენტი მიდის, ფუნქცია მიდის იქ: . რაც შეეხება ფუნქციის გაზრდას? ახალი არაფერია: ეს არის ის თანხა, რომლითაც ფუნქცია შეიცვალა:

ივარჯიშეთ ნამატების პოვნაში:

1. იპოვნეთ ფუნქციის ნამატი წერტილში არგუმენტის ნამატის ტოლი.
2. იგივეა ფუნქციისთვის წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

სხვადასხვა წერტილში, არგუმენტის ერთიდაიგივე გაზრდით, ფუნქციის ზრდა განსხვავებული იქნება. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებულს თითოეულ წერტილში აქვს თავისი (ეს თავიდანვე განვიხილეთ - სხვადასხვა წერტილში გზის ციცაბოობა განსხვავებულია). ამიტომ, როდესაც ჩვენ ვწერთ წარმოებულს, უნდა მივუთითოთ რა წერტილში:

დენის ფუნქცია.

სიმძლავრის ფუნქციას უწოდებენ ფუნქციას, სადაც არგუმენტი გარკვეულწილად არის (ლოგიკური, არა?).

და - ნებისმიერი ზომით: .

უმარტივესი შემთხვევაა, როდესაც მაჩვენებელი არის:

მოდი ვიპოვოთ მისი წარმოებული ერთ წერტილში. გახსოვდეთ წარმოებულის განმარტება:

ასე რომ, არგუმენტი იცვლება. რა არის ფუნქციის ზრდა?

ზრდა არის. მაგრამ ფუნქცია ნებისმიერ წერტილში უდრის მის არგუმენტს. Ამიტომაც:

წარმოებული არის:

წარმოებული არის:

ბ) ახლა განვიხილოთ კვადრატული ფუნქცია (): .

ახლა ეს გავიხსენოთ. ეს ნიშნავს, რომ ნამატის მნიშვნელობა შეიძლება უგულებელვყოთ, რადგან ის უსასრულოდ მცირეა და, შესაბამისად, უმნიშვნელო სხვა ტერმინის ფონზე:

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სხვა წესი:

გ) ვაგრძელებთ ლოგიკურ სერიას: .

ეს გამოთქმა შეიძლება გამარტივდეს სხვადასხვა გზით: გახსენით პირველი ფრჩხილი ჯამის კუბის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით, ან დაშალეთ მთელი გამოხატულება ფაქტორებად კუბურების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით. სცადეთ ეს თავად გააკეთოთ რომელიმე შემოთავაზებული გზით.

ასე რომ, მე მივიღე შემდეგი:

და კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ყველა ტერმინი, რომელიც შეიცავს:

ვიღებთ: .

დ) მსგავსი წესების მიღება შესაძლებელია დიდი სიმძლავრის შემთხვევაში:

ე) გამოდის, რომ ეს წესი შეიძლება განზოგადდეს ძალაუფლების ფუნქციისთვის თვითნებური მაჩვენებლით და არა მთელი რიცხვით:

(2)

თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ წესი სიტყვებით: ”ხარისხი გამოდის წინ, როგორც კოეფიციენტი, შემდეგ კი მცირდება”.

ამ წესს მოგვიანებით (თითქმის ბოლოს) დავამტკიცებთ. ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებული:

1. (ორი გზით: ფორმულით და წარმოებულის განმარტებით - ფუნქციის ნამატის დათვლით);

1. . დაიჯერეთ თუ არა, ეს არის დენის ფუნქცია. თუ თქვენ გაქვთ შეკითხვები, როგორიცაა „როგორ არის? და სად არის ხარისხი? ”, დაიმახსოვრე თემა“ ”!
   დიახ, დიახ, ფესვიც არის ხარისხი, მხოლოდ წილადი:.
   ასე რომ, ჩვენი კვადრატული ფესვი არის მხოლოდ სიმძლავრე მაჩვენებლით:
   .
   ჩვენ ვეძებთ წარმოებულს ახლახანს ნასწავლი ფორმულის გამოყენებით:

   თუ ამ ეტაპზე ისევ გაუგებარი გახდა, გაიმეორეთ თემა "" !!! (დაახლოებით ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით)

2. . ახლა მაჩვენებელი:

   ახლა კი განმარტებით (კიდევ დაგავიწყდათ?):
   ;
   .
   ახლა, როგორც ყოველთვის, ჩვენ უგულებელყოფთ ტერმინს, რომელიც შეიცავს:
   .

3. . წინა შემთხვევების კომბინაცია: .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

აქ ჩვენ გამოვიყენებთ ერთ ფაქტს უმაღლესი მათემატიკიდან:

როცა გამოხატულება.

მტკიცებულებას ინსტიტუტის პირველ კურსზე გაიგებთ (და მისასვლელად, გამოცდა კარგად უნდა ჩააბაროთ). ახლა მხოლოდ გრაფიკულად გაჩვენებთ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ როდესაც ფუნქცია არ არსებობს - გრაფიკის წერტილი პუნქციაა. მაგრამ რაც უფრო ახლოსაა მნიშვნელობასთან მით უფრო ახლოსაა ფუნქცია.ეს არის სწორედ „სწრაფვა“.

გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს წესი კალკულატორით. დიახ, დიახ, არ მორცხვდეთ, აიღეთ კალკულატორი, ჩვენ ჯერ არ ვართ გამოცდაზე.

მოდით ვცადოთ: ;

არ დაგავიწყდეთ კალკულატორის გადართვა Radians რეჟიმში!

და ა.შ. ჩვენ ვხედავთ, რომ რაც უფრო მცირეა, მით უფრო უახლოვდება თანაფარდობის მნიშვნელობა.

ა) განვიხილოთ ფუნქცია. როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვპოულობთ მის ზრდას:

სინუსების სხვაობა პროდუქტად ვაქციოთ. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (გაიხსენეთ თემა ""):.

ახლა წარმოებული:

გავაკეთოთ ჩანაცვლება: . მაშინ უსასრულოდ პატარასთვის ის ასევე უსასრულოდ მცირეა: . გამოთქმა for იღებს ფორმას:

და ახლა ჩვენ გვახსოვს ეს გამონათქვამით. და ასევე, რა მოხდება, თუ უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი ჯამში (ანუ at).

ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წესს: სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის:

ეს არის ძირითადი ("ცხრილი") წარმოებულები. აქ ისინი ერთ სიაშია:

მოგვიანებით მათ კიდევ რამდენიმეს დავამატებთ, მაგრამ ეს არის ყველაზე მნიშვნელოვანი, რადგან ისინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

ვარჯიში:

1. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილი;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

გადაწყვეტილებები:

1. პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს ზოგადი ფორმით და შემდეგ ვანაცვლებთ მის მნიშვნელობას:
   ;
   .
2. აქ გვაქვს რაღაც სიმძლავრის ფუნქციის მსგავსი. ვცადოთ მისი მიყვანა
   ნორმალური ხედი:
   .
   კარგი, ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:
   .
   .
3. . ეეეეეე….. რა არის????

კარგი, მართალი ხარ, ჩვენ ჯერ კიდევ არ ვიცით როგორ მოვძებნოთ ასეთი წარმოებულები. აქ ჩვენ გვაქვს რამდენიმე ტიპის ფუნქციის კომბინაცია. მათთან მუშაობისთვის, თქვენ უნდა ისწავლოთ კიდევ რამდენიმე წესი:

ექსპონენტური და ბუნებრივი ლოგარითმი.

მათემატიკაში არის ასეთი ფუნქცია, რომლის წარმოებული ნებისმიერისთვის უდრის თავად ფუნქციის მნიშვნელობას იმავესთვის. მას ეწოდება "ექსპონენტი" და არის ექსპონენციალური ფუნქცია

ამ ფუნქციის საფუძველი - მუდმივი - არის უსასრულო ათობითი წილადი, ანუ ირაციონალური რიცხვი (როგორიცაა). მას „ეილერის რიცხვს“ უწოდებენ, რის გამოც იგი ასოებით აღინიშნება.

ასე რომ, წესი ასეთია:

ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

ისე, ჩვენ შორს არ წავალთ, მაშინვე განვიხილავთ შებრუნებულ ფუნქციას. რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.

რისი ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენტი და ბუნებრივი ლოგარითმი წარმოებულის თვალსაზრისით ცალსახად მარტივი ფუნქციებია. ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ერთად ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენციაციის წესები

რა წესები? კიდევ ერთი ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

მხოლოდ და ყველაფერი. რა არის სხვა სიტყვა ამ პროცესისთვის? არა proizvodnovanie... მათემატიკის დიფერენციალს ეწოდება ფუნქციის თვით ზრდა. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესიც მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. მოდით, ან უფრო ადვილია.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

1. წერტილში;
2. წერტილში;
3. წერტილში;
4. წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

1. (წარმოებული ყველა წერტილში ერთნაირია, რადგან ის წრფივი ფუნქციაა, გახსოვს?);

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ფუნქციას და ვპოულობთ მის ზრდას:

წარმოებული:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ მაჩვენებლის (დაგავიწყდათ კიდევ რა არის?).

მაშ სად არის რაღაც რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე მივიყვანოთ:

ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან ჰგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ეს არის მხოლოდ რიცხვი, რომლის გამოთვლა შეუძლებელია კალკულატორის გარეშე, ანუ არ შეიძლება ჩაწეროთ უფრო მარტივი ფორმით. მაშასადამე, პასუხში ის დარჩა ამ ფორმით.

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

მაშასადამე, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმიდან განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა მივიყვანოთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა ამის ნაცვლად დავწერთ:

მნიშვნელი აღმოჩნდა მხოლოდ მუდმივი (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული ძალიან მარტივია:

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები გამოცდაზე თითქმის არ გვხვდება, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც რკალის ტანგენსი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთული გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი რთულად მოგეჩვენებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და ყველაფერი გამოვა), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ობიექტებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი მას ლენტით აკრავს. გამოდის ასეთი კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი გამოვასწორებთ მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ისინი გვაძლევენ რიცხვს (შოკოლადი), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც მისი მნიშვნელობის საპოვნელად ვაკეთებთ პირველ მოქმედებას პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მეორე მოქმედებასთან ერთად, რაც მოხდა პირველის შედეგად.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე ნაბიჯები გავაკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატულობთ და შემდეგ ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს:. ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

პირველი მაგალითისთვის,.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ბოლო მოქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ, იქნება დაძახებული "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადის ჩანაცვლებას: მაგალითად, ფუნქციაში

1. რა ქმედებებს მივიღებთ პირველ რიგში? ჯერ ვიანგარიშებთ სინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ ავწევთ მას კუბამდე. ასე რომ, ეს არის შიდა ფუნქცია და არა გარეგანი.
   ხოლო ორიგინალური ფუნქციაა მათი შემადგენლობა: .
2. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
3. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
4. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
5. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.

ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

კარგი, ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადს - მოძებნეთ წარმოებული. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალური მაგალითისთვის, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს, ყველაფერი მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

გადაწყვეტილებები:

1) შიდა: ;

გარე: ;

2) შიდა: ;

(უბრალოდ მოჭრას ჯერ არ ეცადოთ! კოსინუსის ქვემოდან არაფერია ამოღებული, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

გარე: ;

მაშინვე ცხადი ხდება, რომ აქ არის სამ დონის რთული ფუნქცია: ბოლოს და ბოლოს, ეს უკვე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან ფესვს მაინც გამოვყოფთ, ანუ ვასრულებთ მესამე მოქმედებას (შოკოლადი ჩავდოთ შესაფუთში. და ლენტით პორტფელში). მაგრამ შიშის საფუძველი არ არის: ყოველ შემთხვევაში, ჩვენ ამ ფუნქციას "გახსნით" იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ყოველთვის: ბოლოდან.

ანუ ჯერ განვასხვავებთ ფესვს, შემდეგ კოსინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამონათქვამს ფრჩხილებში. და შემდეგ ვამრავლებთ ყველაფერს.

ასეთ შემთხვევებში მოსახერხებელია მოქმედებების დანომრვა. ანუ წარმოვიდგინოთ რა ვიცით. რა თანმიმდევრობით შევასრულებთ მოქმედებებს ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ მაგალითს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება შესაბამისი ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა - როგორც ადრე:

აქ ბუდე ძირითადად 4 დონისაა. მოდით განვსაზღვროთ მოქმედების კურსი.

1. რადიკალური გამოხატულება. .

2. ფესვი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ყველაფრის ერთად შეკრება:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნაზრდით:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან:

ჯამის წარმოებული:

წარმოებული პროდუქტი:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

1. ჩვენ განვსაზღვრავთ "შინაგან" ფუნქციას, ვპოულობთ მის წარმოებულს.
2. ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას, ვიპოვით მის წარმოებულს.
3. ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.

რთული ფუნქციის წარმოებული. გადაწყვეტის მაგალითები

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით როგორ მოვძებნოთ რთული ფუნქციის წარმოებული. გაკვეთილი არის გაკვეთილის ლოგიკური გაგრძელება როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?, რომელზედაც გავაანალიზეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენციაციის წესებს და წარმოებულების პოვნის რამდენიმე ტექნიკურ მეთოდს. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად ფუნქციების წარმოებულებით ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის ბოლომდე გასაგები, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვთ, სერიოზულ განწყობას შეუდგეთ - მასალა ადვილი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და ნათლად წარმოვაჩინო.

პრაქტიკაში, რთული ფუნქციის წარმოებულთან ძალიან ხშირად გიწევს საქმე, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ცხრილში განვიხილავთ კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No5):

ჩვენ გვესმის. უპირველეს ყოვლისა, მოდით შევხედოთ აღნიშვნას. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია - და და ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ჩადებულია ფუნქციაში. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

დავრეკავ ფუნქციას გარე ფუნქციადა ფუნქცია – შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. არაფორმალურ გამოთქმებს „გარე ფუნქცია“, „შინაგანი“ ფუნქცია ვიყენებ მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ, ჩვენ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "x", არამედ მთელი გამოხატულება, ამიტომ წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან დაუყოვნებლივ არ იმუშავებს. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ შეუძლებელია სინუსის „დაშლა“:

ამ მაგალითში, უკვე ჩემი ახსნა-განმარტებიდან, ინტუიციურად ირკვევა, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია (ჩანერგვა) და გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯი, რომელიც უნდა შესრულდეს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის გააცნობიეროს რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

მარტივი მაგალითების შემთხვევაში, აშკარად ჩანს, რომ პოლინომი მოთავსებულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ეს არ არის აშკარა? როგორ განვსაზღვროთ ზუსტად რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს გონებრივად ან მონახაზზე.

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოთქმის მნიშვნელობა კალკულატორით (ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

რა გამოვთვალოთ პირველ რიგში? Პირველ რიგშითქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება: , ასე რომ, მრავალწევრი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცთქვენ უნდა იპოვოთ, ასე რომ, სინუსი - იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ გაიგეშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციის წესი.

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას. გაკვეთილიდან როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვამაგრებთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვათავსებთ შტრიხს ზედა მარჯვნივ:

Პირველივპოულობთ გარეგანი ფუნქციის წარმოებულს (სინუსს), დავაკვირდებით ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილს და ვამჩნევთ, რომ . ყველა ცხრილის ფორმულა გამოიყენება მაშინაც კი, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გაითვალისწინეთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების საბოლოო შედეგი ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, დაწერეთ გადაწყვეტილება ქაღალდზე და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

ჩვენ ვხვდებით, სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად არის შიდა. ამისათვის ჩვენ ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა . რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ რის ტოლია ფუძე:, რაც ნიშნავს, რომ პოლინომი არის შიდა ფუნქცია:

და, მხოლოდ ამის შემდეგ ხორციელდება ექსპონენტაცია, შესაბამისად, დენის ფუნქცია არის გარე ფუნქცია:

ფორმულის მიხედვით, ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში, ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ სასურველ ფორმულას ცხრილში:. კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "x", არამედ რთული გამოსახულებისთვისაც. ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგია:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შიდა ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ "დავარცხნა":

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის გაგების გასამყარებლად, მაგალითს მივცემ კომენტარის გარეშე, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ, მიზეზი, სად არის გარეგანი და სად შინაგანი ფუნქცია, რატომ წყდება ამოცანები ასე?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირების მიზნით, ის ხარისხით უნდა იყოს წარმოდგენილი. ამრიგად, ჩვენ პირველ რიგში მივყავართ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი არის შიდა ფუნქცია, ხოლო სიძლიერე გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს:

ხარისხი კვლავ წარმოდგენილია როგორც რადიკალი (ფესვი), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულისთვის, ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს ვიყენებთ:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთქმა საერთო მნიშვნელამდე მიიყვანოთ ფრჩხილებში და დაწეროთ ყველაფერი ერთ წილადად. მშვენიერია, რა თქმა უნდა, მაგრამ როდესაც უხერხული გრძელი წარმოებულები მიიღება, უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, ზედმეტი შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის არასასიამოვნო იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი გარყვნილებას სასაცილოდ გამოიყურება. აქ არის ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - ამოვიღებთ წარმოებულის მინუს ნიშანს და ვზრდით კოსინუსს მრიცხველამდე:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი წესი:

ჩვენ ვპოულობთ შიდა ფუნქციის წარმოებულს, კოსინუსს უკან ვაყენებთ:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ ნიშნებში არ დაიბნეთ. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ ის წესით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე განვიხილეთ შემთხვევები, როცა კომპლექსურ ფუნქციაში მხოლოდ ერთი ბუდე გვქონდა. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ გვესმის ამ ფუნქციის დანართები. ჩვენ ვცდილობთ შევაფასოთ გამოხატულება ექსპერიმენტული მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ბუდე:

მაშინ ერთიანობის ეს რკალი უნდა დაიწიოს კვადრატში:

და ბოლოს, ჩვენ ვაყენებთ შვიდს ძალამდე:

ანუ, ამ მაგალითში გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი ბუდე, ხოლო ყველაზე შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას

წესის მიხედვით, ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვუყურებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რომელიც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგია:

ტირე ქვეშ, ჩვენ კვლავ გვაქვს სახიფათო ფუნქცია! მაგრამ ეს უკვე უფრო ადვილია. ადვილი მისახვედრია, რომ შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო გარე ფუნქცია არის ხარისხი. რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით, ჯერ უნდა აიღოთ ხარისხის წარმოებული.