მოცემულია რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის დადასტურება. დეტალურად განიხილება შემთხვევები, როდესაც რთული ფუნქცია დამოკიდებულია ერთ ან ორ ცვლადზე. განზოგადება ხდება ცვლადების თვითნებური რაოდენობის შემთხვევაში.

აქ წარმოგიდგენთ რთული ფუნქციის წარმოებულის შემდეგი ფორმულების წარმოშობას.
თუ, მაშინ
.
თუ, მაშინ
.
თუ, მაშინ
.

ერთი ცვლადის რთული ფუნქციის წარმოებული

მოდით x ცვლადის ფუნქცია წარმოდგენილი იყოს რთული ფუნქციის სახით შემდეგი ფორმით:
,
სად და არის რამდენიმე ფუნქცია. ფუნქცია დიფერენცირებადია x ცვლადის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. ფუნქცია დიფერენცირებადია ცვლადის მნიშვნელობისთვის.
მაშინ რთული (კომპოზიტური) ფუნქცია დიფერენცირებადია x წერტილში და მისი წარმოებული განისაზღვრება ფორმულით:
(1) .

ფორმულა (1) ასევე შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
;
.

მტკიცებულება

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა.
;
.
აქ არის ცვლადების ფუნქცია და , არის ცვლადების ფუნქცია და . მაგრამ ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ფუნქციების არგუმენტებს ისე, რომ არ გავაფუჭოთ გამოთვლები.

ვინაიდან ფუნქციები და დიფერენცირებადია x და პუნქტებში, შესაბამისად, ამ წერტილებში არის ამ ფუნქციების წარმოებულები, რომლებიც შემდეგი ლიმიტებია:
;
.

განვიხილოთ შემდეგი ფუნქცია:
.
u ცვლადის ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის არის ფუნქცია . აშკარაა რომ
.
მერე
.

ვინაიდან ფუნქცია არის დიფერენცირებადი ფუნქცია წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია ამ წერტილში. Ისე
.
მერე
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს.

.

ფორმულა დადასტურებულია.

შედეგი

თუ x ცვლადის ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რთული ფუნქციის კომპლექსის სახით
,
მაშინ მისი წარმოებული განისაზღვრება ფორმულით
.
აქ არის და არის რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქცია.

ამ ფორმულის დასამტკიცებლად ჩვენ თანმიმდევრულად ვიანგარიშებთ წარმოებულს რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით.
განვიხილოთ რთული ფუნქცია
.
მისი წარმოებული
.
განვიხილოთ ორიგინალური ფუნქცია
.
მისი წარმოებული
.

რთული ფუნქციის წარმოებული ორ ცვლადში

მოდით, რთული ფუნქცია რამდენიმე ცვლადზე იყოს დამოკიდებული. ჯერ განიხილეთ ორი ცვლადის რთული ფუნქციის შემთხვევა.

მოდით, x ცვლადზე დამოკიდებული ფუნქცია წარმოდგენილი იყოს ორი ცვლადის რთული ფუნქციის სახით შემდეგი სახით:
,
სადაც
და არსებობს x ცვლადის ზოგიერთი მნიშვნელობის დიფერენცირებადი ფუნქციები;
არის ორი ცვლადის ფუნქცია, დიფერენცირებადი წერტილში, . შემდეგ კომპლექსური ფუნქცია განისაზღვრება წერტილის რომელიმე მიდამოში და აქვს წარმოებული, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:
(2) .

მტკიცებულება

ვინაიდან ფუნქციები და დიფერენცირებადია წერტილში , ისინი განსაზღვრულია ამ წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში, წერტილში უწყვეტია და არსებობს მათი წარმოებულები წერტილში, რომლებიც შემდეგი საზღვრებია:
;
.
Აქ
;
.
ამ ფუნქციების უწყვეტობის გამო, ჩვენ გვაქვს:
;
.

ვინაიდან ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში , ის განსაზღვრულია ამ წერტილის ზოგიერთ მიმდებარედ, ამ წერტილში უწყვეტია და მისი ზრდა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:
(3) .
Აქ

- ფუნქცია increment, როდესაც მისი არგუმენტები იზრდება მნიშვნელობებით და ;
;

- ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ცვლადებთან და .
და-ს ფიქსირებული მნიშვნელობებისთვის და არსებობს ცვლადების ფუნქციები და. ისინი ნულისკენ მიდრეკილნი არიან როგორც და:
;
.
მას შემდეგ და მერე
;
.

ფუნქციის ზრდა:

. :
.
შემცვლელი (3):



.

ფორმულა დადასტურებულია.

რამდენიმე ცვლადის რთული ფუნქციის წარმოებული

ზემოაღნიშნული წარმოშობა ადვილად განზოგადდება იმ შემთხვევისთვის, როდესაც რთული ფუნქციის ცვლადების რაოდენობა ორზე მეტია.

მაგალითად, თუ f არის სამი ცვლადის ფუნქცია, მაშინ
,
სადაც
, და არსებობს x ცვლადის ზოგიერთი მნიშვნელობის დიფერენცირებადი ფუნქციები;
არის დიფერენცირებადი ფუნქცია, სამ ცვლადში, წერტილში, , .
შემდეგ, ფუნქციის დიფერენციალურობის განსაზღვრებიდან გვაქვს:
(4)
.
ვინაიდან, უწყვეტობის გამო,
; ; ,
მაშინ
;
;
.

(4)-ზე გაყოფით და ზღვრამდე გადასვლისას მივიღებთ:
.

და ბოლოს, განიხილეთ ყველაზე ზოგადი შემთხვევა.
მოდით x ცვლადის ფუნქცია წარმოდგენილი იყოს, როგორც n ცვლადის რთული ფუნქცია შემდეგი ფორმით:
,
სადაც
არსებობს x ცვლადის ზოგიერთი მნიშვნელობის დიფერენცირებადი ფუნქციები;
- n ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქცია წერტილში
, , ... , .
მერე
.

განმარტება.დაე, ფუნქცია \(y = f(x) \) განისაზღვროს რაღაც ინტერვალში, რომელიც შეიცავს \(x_0 \) წერტილს შიგნით. მოდით გავზარდოთ \(\დელტა x\) არგუმენტამდე ისე, რომ არ დავტოვოთ ეს ინტერვალი. იპოვეთ \(\Delta y \) ფუნქციის შესაბამისი ნამატი (\(x_0 \) წერტილიდან \(x_0 + \Delta x\) წერტილზე გადასვლისას) და შეადგინეთ მიმართება \(\frac(\Delta y). )(\დელტა x) \). თუ ამ მიმართების ზღვარი არის \(\დელტა x \მარჯვნივ arrow 0 \), მაშინ მითითებული ლიმიტი ეძახიან. წარმოებული ფუნქცია\(y=f(x) \) წერტილში \(x_0 \) და აღვნიშნო \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \ to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

სიმბოლო y ხშირად გამოიყენება წარმოებულის აღსანიშნავად. გაითვალისწინეთ, რომ y" = f(x) არის ახალი ფუნქცია, მაგრამ ბუნებრივად ასოცირდება ფუნქციასთან y = f(x), განსაზღვრული ყველა x წერტილში, რომელზედაც ზემოაღნიშნული ზღვარი არსებობს. ამ ფუნქციას ასე ჰქვია: y \u003d f (x) ფუნქციის წარმოებული.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობაშედგება შემდეგი. თუ ტანგენსი, რომელიც არ არის პარალელურად y ღერძთან, შეიძლება დახაზოთ y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკზე x \u003d a აბსცისის წერტილში, მაშინ f (a) გამოხატავს ტანგენსის დახრილობას:
\(k = f"(a)\)

ვინაიდან \(k = tg(a) \), ტოლობა \(f"(a) = tg(a) \) მართალია.

და ახლა ჩვენ განვმარტავთ წარმოებულის განმარტებას მიახლოებითი თანასწორობების მიხედვით. დაე, ფუნქციას \(y = f(x) \) ჰქონდეს წარმოებული კონკრეტულ წერტილში \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \ to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ეს ნიშნავს, რომ x წერტილთან მიახლოებითი ტოლობა \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \დაახლოებით f"(x) \), ანუ \(\Delta y \დაახლოებით f"(x) \cdot \დელტაქსი\). მიღებული მიახლოებითი ტოლობის მნიშვნელობითი მნიშვნელობა ასეთია: ფუნქციის ზრდა „თითქმის პროპორციულია“ არგუმენტის ზრდასთან, ხოლო პროპორციულობის კოეფიციენტი არის წარმოებულის მნიშვნელობა მოცემულ x წერტილში. მაგალითად, \(y = x^2 \) ფუნქციისთვის მოქმედებს სავარაუდო ტოლობა \(\Delta y \დაახლოებით 2x \cdot \Delta x\). თუ ყურადღებით გავაანალიზებთ წარმოებულის განმარტებას, აღმოვაჩენთ, რომ იგი შეიცავს მის პოვნის ალგორითმს.

ჩამოვაყალიბოთ.

როგორ მოვძებნოთ y \u003d f (x) ფუნქციის წარმოებული?

1. დააფიქსირეთ მნიშვნელობა \(x \), იპოვეთ \(f(x) \)
2. გაზარდეთ \(x \) არგუმენტი \(\დელტა x\), გადადით ახალ წერტილში \(x+ \დელტა x\), იპოვეთ \(f(x+ \დელტა x) \)
3. იპოვეთ ფუნქციის ზრდა: \(\დელტა y = f(x + \დელტა x) - f(x) \)
4. შეადგინეთ მიმართება \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. გამოთვალეთ $$ \lim_(\Delta x \ to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ეს ზღვარი არის x-ზე ფუნქციის წარმოებული.

თუ ფუნქციას y = f(x) აქვს წარმოებული x წერტილში, მაშინ მას x წერტილში დიფერენცირებადი ეწოდება. y \u003d f (x) ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცედურა ეწოდება დიფერენციაციაფუნქციები y = f(x).

მოდით განვიხილოთ შემდეგი კითხვა: როგორ არის დაკავშირებული ფუნქციის უწყვეტობა და დიფერენცირება ერთ წერტილში?

დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს დიფერენცირებადი x წერტილში. მაშინ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახატვა შესაძლებელია M წერტილში (x; f (x)) და, გავიხსენოთ, ტანგენსის დახრილობა უდრის f "(x). ასეთი გრაფიკი არ შეიძლება "გატეხოს" წერტილი M, ანუ ფუნქცია უნდა იყოს უწყვეტი x-ზე.

ეს იყო მსჯელობა „თითებზე“. მოდით, უფრო მკაცრი არგუმენტი წარმოვადგინოთ. თუ ფუნქცია y = f(x) დიფერენცირებადია x წერტილში, მაშინ მოქმედებს სავარაუდო ტოლობა \(\Delta y \დაახლოებით f"(x) \cdot \Delta x \) ნული, მაშინ \(\Delta y \). ) ასევე მიისწრაფვის ნულისკენ და ეს არის ფუნქციის უწყვეტობის პირობა წერტილში.

Ისე, თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია x წერტილში, მაშინ ის ასევე უწყვეტია ამ წერტილში.

საპირისპირო არ შეესაბამება სიმართლეს. მაგალითად: ფუნქცია y = |x| უწყვეტია ყველგან, კერძოდ x = 0 წერტილში, მაგრამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი „ერთობლივ წერტილში“ (0; 0) არ არსებობს. თუ რაღაც მომენტში შეუძლებელია ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახატვა, მაშინ ამ ეტაპზე წარმოებული არ არის.

კიდევ ერთი მაგალითი. ფუნქცია \(y=\sqrt(x) \) უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე, x = 0 წერტილის ჩათვლით. და ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არსებობს ნებისმიერ წერტილში, მათ შორის x = 0 წერტილში. მაგრამ ამ მომენტში ტანგენსი ემთხვევა y-ღერძს, ანუ ის პერპენდიკულარულია აბსცისის ღერძზე, მის განტოლებას აქვს ფორმა x \u003d 0. ასეთი სწორი ხაზისთვის დახრილობა არ არის, რაც ნიშნავს რომ \ ( f "(0) \) არც არსებობს

ასე რომ, ჩვენ გავეცანით ფუნქციის ახალ თვისებას - დიფერენცირებადობას. როგორ შეგიძლიათ განასხვავოთ ფუნქცია ფუნქციის გრაფიკისგან?

პასუხი რეალურად მოცემულია ზემოთ. თუ რაღაც მომენტში შესაძლებელია ტანგენტის დახატვა ფუნქციის გრაფიკზე, რომელიც არ არის x ღერძის პერპენდიკულარული, მაშინ ამ დროს ფუნქცია დიფერენცირებადია. თუ რაღაც მომენტში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არ არსებობს ან ის პერპენდიკულარულია x-ღერძზე, მაშინ ამ დროს ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი.

დიფერენციაციის წესები

წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია. ამ ოპერაციის შესრულებისას ხშირად გიწევთ მუშაობა კოეფიციენტებთან, ჯამებთან, ფუნქციების პროდუქტებთან, ასევე „ფუნქციების ფუნქციებთან“, ანუ რთულ ფუნქციებთან. წარმოებულის განმარტებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ დიფერენციაციის წესები, რომლებიც ხელს უწყობს ამ სამუშაოს. თუ C არის მუდმივი რიცხვი და f=f(x), g=g(x) ზოგიერთი დიფერენცირებადი ფუნქციაა, მაშინ ჭეშმარიტია შემდეგი დიფერენციაციის წესები:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ რთული ფუნქციის წარმოებული:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ზოგიერთი ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი

$$ \left(\frac(1)(x) \მარჯვნივ) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \მარცხნივ(e^x \მარჯვნივ) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ დიფერენციაციის ტექნიკის გაუმჯობესებას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაერთიანებთ გაშუქებულ მასალას, განვიხილავთ უფრო რთულ წარმოებულებს და ასევე გავეცნობით წარმოებულის საპოვნელ ახალ ხრიკებს და ხრიკებს, კერძოდ, ლოგარითმული წარმოებულის.

იმ მკითხველებმა, რომლებსაც აქვთ მომზადების დაბალი დონე, უნდა მიმართონ სტატიას როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტის მაგალითებირაც საშუალებას მოგცემთ ამაღლოთ თქვენი უნარები თითქმის ნულიდან. შემდეგი, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ გვერდი რთული ფუნქციის წარმოებული, გაიგე და გადაწყვიტე ყველაჩემს მიერ მოყვანილი მაგალითები. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად ზედიზედ მესამეა და მისი დაუფლების შემდეგ თქვენ თავდაჯერებულად განასხვავებთ საკმაოდ რთულ ფუნქციებს. არასასურველია დარჩეს პოზიცია „სხვაგან სად? დიახ, და ეს საკმარისია! ”, რადგან ყველა მაგალითი და გამოსავალი აღებულია რეალური ტესტებიდან და ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ გამეორებით. გაკვეთილზე რთული ფუნქციის წარმოებულიჩვენ განვიხილეთ არაერთი მაგალითი დეტალური კომენტარებით. დიფერენციალური გამოთვლების და მათემატიკური ანალიზის სხვა განყოფილებების შესწავლის პროცესში, თქვენ მოგიწევთ ძალიან ხშირად დიფერენცირება და ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი (და არა ყოველთვის აუცილებელი) მაგალითების დეტალურად დახატვა. ამიტომ, ჩვენ ვივარჯიშებთ წარმოებულების ზეპირ პოვნაში. ამისათვის ყველაზე შესაფერისი "კანდიდატები" არის უმარტივესი ფუნქციების წარმოებულები, მაგალითად:

რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით :

სამომავლოდ მატანის სხვა თემების შესწავლისას ასეთი დეტალური ჩანაწერი ყველაზე ხშირად არ არის საჭირო, ვარაუდობენ, რომ სტუდენტს შეუძლია ავტოპილოტზე მსგავსი წარმოებულების პოვნა. წარმოვიდგინოთ, რომ დილის 3 საათზე ტელეფონმა დარეკა და სასიამოვნო ხმამ იკითხა: "რა არის ორი x-ის ტანგენსის წარმოებული?". ამას უნდა მოჰყვეს თითქმის მყისიერი და თავაზიანი პასუხი: .

პირველი მაგალითი დაუყოვნებლივ იქნება განკუთვნილი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 1

იპოვეთ შემდეგი წარმოებულები ზეპირად, ერთი ნაბიჯით, მაგალითად: . დავალების შესასრულებლად, თქვენ მხოლოდ უნდა გამოიყენოთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი(თუ მას უკვე არ ახსოვდა). თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გირჩევთ გაკვეთილის ხელახლა წაკითხვას რთული ფუნქციის წარმოებული.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

რთული წარმოებულები

წინასწარი საარტილერიო მომზადების შემდეგ, ფუნქციების 3-4-5 დანართი მაგალითები ნაკლებად საშინელი იქნება. შესაძლოა, შემდეგი ორი მაგალითი ზოგს რთულად მოეჩვენოს, მაგრამ თუ მათი გაგება (ვიღაც ზარალდება), მაშინ დიფერენციალურ გამოთვლებში თითქმის ყველაფერი ბავშვის ხუმრობად მოეჩვენება.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას, პირველ რიგში, აუცილებელია უფლებაინვესტიციების გაგება. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს ეჭვები, შეგახსენებთ სასარგებლო ხრიკს: ჩვენ ვიღებთ ექსპერიმენტულ მნიშვნელობას "x", მაგალითად, და ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა "საშინელი გამოხატულებით".

1) ჯერ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატულება, ასე რომ ჯამი არის ყველაზე ღრმა ბუდე.

2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ კუბური კოსინუსი:

5) მეხუთე საფეხურზე განსხვავება:

6) და ბოლოს, ყველაზე გარე ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი:

კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაციის ფორმულა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით, ყველაზე გარე ფუნქციიდან შინაგანამდე. Ჩვენ ვწყვეტთ:

როგორც ჩანს, შეცდომა არ არის...

(1) ვიღებთ კვადრატული ფესვის წარმოებულს.

(2) ჩვენ ვიღებთ სხვაობის წარმოებულს წესის გამოყენებით

(3) სამეულის წარმოებული ტოლია ნულის. მეორე წევრში ვიღებთ ხარისხის წარმოებულს (კუბი).

(4) ვიღებთ კოსინუსის წარმოებულს.

(5) ვიღებთ ლოგარითმის წარმოებულს.

(6) და ბოლოს, ჩვენ ავიღებთ ყველაზე ღრმა ბუდეების წარმოებულს.

შეიძლება ძალიან რთული ჩანდეს, მაგრამ ეს არ არის ყველაზე სასტიკი მაგალითი. აიღეთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და თქვენ დააფასებთ გაანალიზებული წარმოებულის მთელ ხიბლს და სიმარტივეს. შევამჩნიე, რომ მოსწონთ გამოცდაზე მსგავსი რამის მიცემა, რათა შეამოწმონ, ესმის თუ არა სტუდენტს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა, თუ არ ესმის.

შემდეგი მაგალითი არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მინიშნება: პირველ რიგში ვიყენებთ წრფივობის წესებს და პროდუქტის დიფერენციაციის წესს

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

დროა გადავიდეთ უფრო კომპაქტურ და ლამაზზე.
იშვიათი არაა სიტუაცია, როდესაც მაგალითში მოცემულია არა ორი, არამედ სამი ფუნქციის ნამრავლი. როგორ მოვძებნოთ სამი ფაქტორის ნამრავლის წარმოებული?

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჯერ ვუყურებთ, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა სამი ფუნქციის ნამრავლის ორი ფუნქციის ნამრავლად გადაქცევა? მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა ორი მრავალწევრი ნამრავლში, მაშინ შეგვიძლია გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ამ მაგალითში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ხარისხი, მაჩვენებელი და ლოგარითმი.

ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრულადგამოიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი ორჯერ

ხრიკი ის არის, რომ "y"-სთვის ჩვენ აღვნიშნავთ ორი ფუნქციის ნამრავლს: , ხოლო "ve" -სთვის - ლოგარითმს:. რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? Ეს არის - ეს არ არის ორი ფაქტორის პროდუქტი და წესი არ მუშაობს?! არაფერია რთული:

ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება ფრჩხილებში:

თქვენ მაინც შეგიძლიათ გარყვნილება და რაიმეს ამოღება ფრჩხილებიდან, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჯობია პასუხი ამ ფორმით დატოვოთ – გადამოწმება გაგიადვილდებათ.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითი შეიძლება მოგვარდეს მეორე გზით:

ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ექვივალენტურია.

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, ნიმუშში ის წყდება პირველი გზით.

განვიხილოთ მსგავსი მაგალითები წილადებით.

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ რამდენიმე გზით წასვლა:

ან ასე:

მაგრამ ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს უფრო კომპაქტურად, თუ, პირველ რიგში, გამოვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესს. მთელი მრიცხველის აღებით:

პრინციპში, მაგალითი მოგვარებულია და ამ ფორმით თუ დარჩა, შეცდომა არ იქნება. მაგრამ თუ დრო გაქვთ, ყოველთვის მიზანშეწონილია შეამოწმოთ პროექტი, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა პასუხის გამარტივება? მრიცხველის გამოსახულებას მივყავართ საერთო მნიშვნელთან და მოიშორეთ სამსართულიანი წილადი:

დამატებითი გამარტივების მინუსი არის ის, რომ არსებობს შეცდომის დაშვების რისკი არა წარმოებულის პოვნისას, არამედ ბანალური სკოლის გარდაქმნებისას. მეორეს მხრივ, მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ დავალებას და სთხოვენ წარმოებულის „გახსენებას“.

უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 7

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებულის პოვნის ტექნიკის დაუფლებას და ახლა განვიხილავთ ტიპიურ შემთხვევას, როდესაც დიფერენციაციისთვის შემოთავაზებულია "საშინელი" ლოგარითმი.

მაგალითი 8

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გრძელი გზა გაიაროთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის გამოყენებით:

მაგრამ პირველივე ნაბიჯი მაშინვე გიბიძგებს სასოწარკვეთილებაში - თქვენ უნდა აიღოთ წილადი ხარისხის უსიამოვნო წარმოებული, შემდეგ კი წილადიდან.

Ისე ადრეროგორ ავიღოთ "ლამაზი" ლოგარითმის წარმოებული, ის ადრე გამარტივებულია ცნობილი სკოლის თვისებების გამოყენებით:

! თუ ხელთ გაქვთ სავარჯიშო რვეული, დააკოპირეთ ეს ფორმულები იქვე. თუ რვეული არ გაქვთ, დახატეთ ისინი ფურცელზე, რადგან გაკვეთილის დანარჩენი მაგალითები ამ ფორმულების ირგვლივ ტრიალებს.

თავად გამოსავალი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია:

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:

თავად ფუნქციის წინასწარმა ტრანსფორმაციამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოსავალი. ამრიგად, როდესაც მსგავსი ლოგარითმი შემოთავაზებულია დიფერენციაციისთვის, ყოველთვის მიზანშეწონილია მისი "დაშლა".

ახლა კი რამდენიმე მარტივი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 9

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 10

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ყველა ტრანსფორმაცია და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებული

თუ ლოგარითმების წარმოებული ასეთი ტკბილი მუსიკაა, მაშინ ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა ზოგიერთ შემთხვევაში ლოგარითმის ხელოვნურად ორგანიზება? შეიძლება! და აუცილებელიც კი.

მაგალითი 11

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მსგავსი მაგალითები ჩვენ ახლახან განვიხილეთ. Რა უნდა ვქნა? შეიძლება თანმიმდევრულად გამოიყენოს კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი, შემდეგ კი პროდუქტის დიფერენცირების წესი. ამ მეთოდის მინუსი ის არის, რომ თქვენ მიიღებთ უზარმაზარ სამსართულიან წილადს, რომელსაც საერთოდ არ გსურთ გამკლავება.

მაგრამ თეორიასა და პრაქტიკაში არის ისეთი მშვენიერი რამ, როგორიცაა ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები შეიძლება ხელოვნურად დალაგდეს ორივე მხრიდან მათი „დაკიდებით“:

ახლა თქვენ უნდა "დაარღვიოთ" მარჯვენა მხარის ლოგარითმი მაქსიმალურად (ფორმულები თქვენს თვალწინ?). მე დეტალურად აღვწერ ამ პროცესს:

დავიწყოთ დიფერენცირებით.
ორივე ნაწილს ვასრულებთ ინსულტით:

მარჯვენა მხარის წარმოებული საკმაოდ მარტივია, მასზე კომენტარს არ გავაკეთებ, რადგან თუ კითხულობთ ამ ტექსტს, უნდა შეგეძლოთ დარწმუნებით გაუმკლავდეთ მას.

რაც შეეხება მარცხენა მხარეს?

მარცხენა მხარეს გვაქვს რთული ფუნქცია. მე ვგეგმავ კითხვას: "რატომ, არის ერთი ასო "y" ლოგარითმის ქვეშ?".

ფაქტია, რომ ეს "ერთი ასო y" - არის ფუნქცია თავისთავად(თუ ეს არ არის ძალიან ნათელი, იხილეთ სტატია ირიბად მითითებული ფუნქციის წარმოებული). მაშასადამე, ლოგარითმი არის გარეგანი ფუნქცია, ხოლო "y" არის შიდა ფუნქცია. და ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს :

მარცხენა მხარეს, თითქოს ჯადოსნურად, გვაქვს წარმოებული. გარდა ამისა, პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ვყრით "y"-ს მარცხენა მხარის მნიშვნელიდან მარჯვენა მხარის ზევით:

ახლა კი გვახსოვს, რა სახის "თამაშის" ფუნქციაზე ვისაუბრეთ დიფერენცირებისას? მოდით შევხედოთ მდგომარეობას:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 12

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამ ტიპის მაგალითის ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებულის დახმარებით შესაძლებელი გახდა 4-7 მაგალითის რომელიმე ამოხსნა, სხვა საქმეა, რომ იქ ფუნქციები უფრო მარტივია და, შესაძლოა, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება არც თუ ისე გამართლებულია.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ამ ფუნქციას. ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს და ხარისხი და ბაზა დამოკიდებულია "x"-ზე. კლასიკური მაგალითი, რომელიც მოგცემთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ან ლექციაზე:

როგორ მოვძებნოთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული?

აუცილებელია გამოვიყენოთ ახლახან განხილული ტექნიკა - ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები ორივე მხარეს ვკიდებთ:

როგორც წესი, ხარისხი ამოღებულია ლოგარითმის ქვეშ მარჯვენა მხარეს:

შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის პროდუქტი, რომელიც დიფერენცირებული იქნება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით. .

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს, ამისათვის ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ:

შემდეგი ნაბიჯები მარტივია:

საბოლოოდ:

თუ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია ბოლომდე გასაგები არ არის, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მაგალითი #11-ის განმარტებები.

პრაქტიკულ ამოცანებში ექსპონენციალური ფუნქცია ყოველთვის უფრო რთული იქნება, ვიდრე განხილული ლექციის მაგალითი.

მაგალითი 13

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმულ წარმოებულს.

მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფაქტორის - "x" და "x-ის ლოგარითმის ლოგარითმი" მუდმივი და ნამრავლი (ლოგარითმის ქვეშ მოთავსებულია სხვა ლოგარითმი). მუდმივის დიფერენცირებისას, როგორც გვახსოვს, სჯობს მაშინვე გამოვიყვანოთ წარმოებულის ნიშნიდან, რათა ხელი არ შეუშალოს; და, რა თქმა უნდა, გამოიყენეთ ნაცნობი წესი :

როგორც ხედავთ, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენების ალგორითმი არ შეიცავს რაიმე განსაკუთრებულ ხრიკს ან ხრიკს და ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის პოვნა, როგორც წესი, არ ასოცირდება „ტანჯვასთან“.

თუ ჩვენ მივყვებით განსაზღვრებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილი არის Δ ფუნქციის ნამატის შეფარდების ზღვარი. წΔ არგუმენტის ნამატამდე x:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოთვალოთ ამ ფორმულით, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ვ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ე xცოდვა x. თუ ყველაფერს აკეთებთ განსაზღვრებით, მაშინ რამდენიმე გვერდიანი გამოთვლების შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ე.წ. ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება განვასხვავოთ ფუნქციების მთელი მრავალფეროვნებისგან. ეს არის შედარებით მარტივი გამონათქვამები, რომელთა წარმოებულები დიდი ხანია გამოითვლება და შეტანილია ცხრილში. ასეთი ფუნქციების დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია, მათ წარმოებულებთან ერთად.

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული ფუნქციები არის ყველაფერი ჩამოთვლილი ქვემოთ. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. უფრო მეტიც, მათი დამახსოვრება არ არის რთული - ამიტომაც ისინი ელემენტარულია.

ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
მუდმივი	ვ(x) = C, C ∈ რ	0 (დიახ, დიახ, ნული!)
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით	ვ(x) = x ნ	ნ · x ნ − 1
სინუსი	ვ(x) = ცოდვა x	cos x
კოსინუსი	ვ(x) = cos x	- ცოდვა x(მინუს სინუსი)
ტანგენტი	ვ(x) = ტგ x	1/co 2 x
კოტანგენსი	ვ(x) = ctg x	− 1/ცოდვა2 x
ბუნებრივი ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი x	1/x
თვითნებური ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი ა x	1/(xლნ ა)
ექსპონენციალური ფუნქცია	ვ(x) = ე x	ე x(არაფერი შეცვლილა)

თუ ელემენტარული ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე, მაშინ ახალი ფუნქციის წარმოებული ასევე ადვილად გამოითვლება:

(C · ვ)’ = C · ვ ’.

ზოგადად, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან. Მაგალითად:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლდეს, გაიყოს და ბევრი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, აღარ არის ძალიან ელემენტარული, მაგრამ ასევე დიფერენცირებადი გარკვეული წესების მიხედვით. ეს წესები განიხილება ქვემოთ.

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

დაუშვით ფუნქციები ვ(x) და გ(x), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:

1. (ვ + გ)’ = ვ ’ + გ ’
2. (ვ − გ)’ = ვ ’ − გ ’

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულების ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. Მაგალითად, ( ვ + გ + თ)’ = ვ ’ + გ ’ + თ ’.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს „გამოკლების“ ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. აქედან გამომდინარე, განსხვავება ვ − გშეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით ვ+ (−1) გ, და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.

ვ(x) = x 2 + სინქსი; გ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, ასე რომ:

ვ ’(x) = (x 2+ ცოდვა x)’ = (x 2)' + (ცოდვა x)’ = 2x+ cosx;

ჩვენ ანალოგიურად ვკამათობთ ფუნქციისთვის გ(x). მხოლოდ სამი ტერმინია (ალგებრას თვალსაზრისით):

გ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

პასუხი:
ვ ’(x) = 2x+ cosx;
გ ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

პროდუქტის წარმოებული

მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრს სჯერა, რომ თუ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა"\u003e ტოლია წარმოებულების ნამრავლს. მაგრამ ლეღვი შენთვის! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება სრულიად განსხვავებული ფორმულით. კერძოდ:

(ვ · გ) ’ = ვ ’ · გ + ვ · გ ’

ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად დავიწყებული. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად მოგვარებული პრობლემები.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = x 3 cosx; გ(x) = (x 2 + 7x− 7) · ე x .

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტი, ამიტომ ყველაფერი მარტივია:

ვ ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (კოს x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-ცოდვა x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x)

ფუნქცია გ(x) პირველი მულტიპლიკატორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემა აქედან არ იცვლება. ცხადია, ფუნქციის პირველი მულტიპლიკატორი გ(x) მრავალწევრია და მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ე x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ე x + (x 2 + 7x− 7) ( ე x)’ = (2x+ 7) · ე x + (x 2 + 7x− 7) · ე x = ე x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ე x = x(x+ 9) · ე x .

პასუხი:
ვ ’(x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x);
გ ’(x) = x(x+ 9) · ე x .

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო საფეხურზე ხდება წარმოებულის ფაქტორიზირება. ფორმალურად, ეს არ არის აუცილებელი, მაგრამ წარმოებულების უმეტესობა არ არის გამოთვლილი დამოუკიდებლად, არამედ ფუნქციის შესასწავლად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომში წარმოებული გაუტოლდება ნულს, გაირკვევა მისი ნიშნები და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უმჯობესია გამოთქმა იყოს ფაქტორებად დაშლილი.

თუ არსებობს ორი ფუნქცია ვ(x) და გ(x), და გ(x) ≠ 0 ჩვენთვის საინტერესო სიმრავლეზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია თ(x) = ვ(x)/გ(x). ასეთი ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:

სუსტი არაა, არა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? მაგრამ ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულა - თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარკვევა ბოთლის გარეშე. ამიტომ ჯობია მისი შესწავლა კონკრეტული მაგალითებით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

თითოეული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის ელემენტარული ფუნქციები, ასე რომ, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა:

ტრადიციულად, ჩვენ მრიცხველს ვაქცევთ ფაქტორებად - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:

რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება ვ(x) = ცოდვა xდა შეცვალეთ ცვლადი x, ვთქვათ, on x 2 + ლნ x. თურმე ვ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x) რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ მისი პოვნა არ გამოდგება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით.

Როგორ უნდა იყოს? ასეთ შემთხვევებში, ცვლადის ჩანაცვლება და რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა ეხმარება:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ“, თუ xჩანაცვლებულია ტ(x).

როგორც წესი, სიტუაცია ამ ფორმულის გაგებით კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებულთან. ამიტომ, ასევე უკეთესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითებით, თითოეული ნაბიჯის დეტალური აღწერით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = ე 2x + 3 ; გ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x)

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციაში ვ(x) გამოთქმის ნაცვლად 2 x+3 ადვილი იქნება x, მაშინ ვიღებთ ელემენტარულ ფუნქციას ვ(x) = ე x. ამიტომ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით 2 x + 3 = ტ, ვ(x) = ვ(ტ) = ე ტ. ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ე ტ)’ · ტ ’ = ე ტ · ტ ’

ახლა კი - ყურადღება! საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულება: ტ = 2x+ 3. ჩვენ ვიღებთ:

ვ ’(x) = ე ტ · ტ ’ = ე 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ე 2x+ 3 2 = 2 ე 2x + 3

ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას გ(x). აშკარად გამოსაცვლელია. x 2 + ლნ x = ტ. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = გ ’(ტ) · ტ= (ცოდვა ტ)’ · ტ' = cos ტ · ტ ’

საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = x 2 + ლნ x. შემდეგ:

გ ’(x) = cos( x 2 + ლნ x) · ( x 2 + ლნ x)' = cos ( x 2 + ლნ x) · (2 x + 1/x).

Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა დაყვანილია ჯამის წარმოებულის გამოთვლაზე.

პასუხი:
ვ ’(x) = 2 ე 2x + 3 ;
გ ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2 + ლნ x).

ძალიან ხშირად ჩემს გაკვეთილებზე ტერმინის „წარმოებული“ ნაცვლად ვიყენებ სიტყვას „ინსულტი“. მაგალითად, ჯამის დარტყმა უდრის დარტყმების ჯამს. ეს უფრო ნათელია? ისე, კარგია.

ამრიგად, წარმოებულის გაანგარიშება ხდება სწორედ ამ დარტყმების მოშორებაზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. როგორც საბოლოო მაგალითი, დავუბრუნდეთ წარმოებულ ძალას რაციონალური მაჩვენებლით:

(x ნ)’ = ნ · x ნ − 1

ცოტამ თუ იცის ეს როლში ნშეიძლება იყოს წილადი რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის x 0.5 . მაგრამ რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ არის რაღაც სახიფათო? ისევ რთული ფუნქცია გამოვა - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებში და გამოცდებში.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

პირველი, მოდით გადავიწეროთ ფესვი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

ვ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით x 2 + 8x − 7 = ტ. წარმოებულს ვპოულობთ ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ტ 0.5)' ტ' = 0,5 ტ−0,5 ტ ’.

ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = x 2 + 8x− 7. გვაქვს:

ვ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

და ბოლოს, დავუბრუნდეთ ფესვებს:

„ძველ“ სახელმძღვანელოებში მას „ჯაჭვის“ წესსაც უწოდებენ. ასე რომ, თუ y \u003d f (u) და u \u003d φ (x), ე.ი

y \u003d f (φ (x))

კომპლექსი - შედგენილი ფუნქცია (ფუნქციების შედგენა) მაშინ

სადაც , გაანგარიშების შემდეგ განიხილება ზე u = φ (x).

გაითვალისწინეთ, რომ აქ ჩვენ ავიღეთ "სხვადასხვა" კომპოზიციები ერთი და იგივე ფუნქციებიდან და დიფერენცირების შედეგი, ბუნებრივია, დამოკიდებული იყო "შერევის" თანმიმდევრობაზე.

ჯაჭვის წესი ბუნებრივად ვრცელდება სამი ან მეტი ფუნქციის შემადგენლობაზე. ამ შემთხვევაში, იქნება სამი ან მეტი "რგოლი" "ჯაჭვში", რომელიც ქმნის წარმოებულს, შესაბამისად. აქ არის ანალოგია გამრავლებასთან: „გვაქვს“ - წარმოებულების ცხრილი; "იქ" - გამრავლების ცხრილი; "ჩვენთან" არის ჯაჭვის წესი და "იქ" არის გამრავლების წესი "სვეტით". ასეთი "რთული" წარმოებულების გამოთვლისას, რა თქმა უნდა, არ არის შემოტანილი დამხმარე არგუმენტები (u¸v და ა. მითითებული ბრძანება.

. აქ ხუთ ოპერაციას ასრულებენ „x“-ით „y“-ს მნიშვნელობის მისაღებად, ანუ ხდება ხუთი ფუნქციის შედგენა: „გარე“ (მათგან უკანასკნელი) - ექსპონენციალური - e ; მაშინ საპირისპირო მიზნით არის ძალაუფლების კანონი. (♦) 2; ტრიგონომეტრიული ცოდვა (); ძალა. () 3 და ბოლოს ლოგარითმული ln.(). Ისე

შემდეგი მაგალითები „მოკლავს ჩიტების წყვილს ერთი ქვით“: ვივარჯიშებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირებაში და შევავსებთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილს. Ისე:

4. სიმძლავრის ფუნქციისთვის - y \u003d x α - მისი გადაწერა ცნობილი "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის" გამოყენებით - b \u003d e ln b - x α \u003d x α ln x სახით ვიღებთ

5. თვითნებური ექსპონენციალური ფუნქციისთვის, იგივე ტექნიკის გამოყენებით, გვექნება

6. თვითნებური ლოგარითმული ფუნქციისთვის, ახალ ბაზაზე გადასვლის კარგად ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, თანმიმდევრულად ვიღებთ

.

7. ტანგენტის (კოტანგენტის) დიფერენცირებისთვის ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესს:

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების მისაღებად ვიყენებთ მიმართებას, რომელიც აკმაყოფილებს ორი ურთიერთშებრუნებული ფუნქციის წარმოებულებს, ანუ φ (x) და f (x) ფუნქციებს, რომლებიც დაკავშირებულია ურთიერთობებით:

აქ არის თანაფარდობა

ეს არის ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების ამ ფორმულიდან

და
,

დასასრულ, ჩვენ ვაჯამებთ ამ და ზოგიერთ სხვა, ისევე ადვილად მოსაპოვებელ წარმოებულებს, შემდეგ ცხრილში.