სხვა არაფერია გარდა დაცემის კუთხის სინუსის შეფარდება გარდატეხის კუთხის სინუსთან
გარდატეხის ინდექსი დამოკიდებულია ნივთიერების თვისებებზე და გამოსხივების ტალღის სიგრძეზე, ზოგიერთი ნივთიერებისთვის რეფრაქციული ინდექსი საკმაოდ მკვეთრად იცვლება, როდესაც ელექტრომაგნიტური ტალღების სიხშირე იცვლება დაბალი სიხშირიდან ოპტიკურამდე და მის ფარგლებს გარეთ, ასევე შეიძლება უფრო მკვეთრად შეიცვალოს ზოგიერთში. სიხშირის მასშტაბის სფეროები. ნაგულისხმევი ჩვეულებრივ არის ოპტიკური დიაპაზონი, ან კონტექსტით განსაზღვრული დიაპაზონი.
n-ის მნიშვნელობა, ceteris paribus, ჩვეულებრივ ერთიანობაზე ნაკლებია, როდესაც სხივი გადადის უფრო მკვრივი გარემოდან ნაკლებად მკვრივ გარემოზე და ერთიანობაზე მეტი, როდესაც სხივი გადადის ნაკლებად მკვრივი გარემოდან უფრო მკვრივ გარემოზე (მაგალითად, აირის ან ვაკუუმიდან თხევადი ან მყარი). არსებობს გამონაკლისები ამ წესიდან და, შესაბამისად, ჩვეულებრივ, საშუალოს ვუწოდოთ ოპტიკურად მეტ-ნაკლებად მკვრივი, ვიდრე სხვა (არ უნდა აგვერიოს ოპტიკურ სიმკვრივეში, როგორც საშუალების გამჭვირვალობის საზომი).
ცხრილი გვიჩვენებს რეფრაქციული ინდექსის მნიშვნელობებს ზოგიერთი მედიისთვის:
უფრო მაღალი რეფრაქციული ინდექსის მქონე გარემო ოპტიკურად უფრო მკვრივია. ჩვეულებრივ იზომება სხვადასხვა მედიის რეფრაქციული ინდექსი ჰაერთან მიმართებაში. ჰაერის აბსოლუტური რეფრაქციული ინდექსი არის. ამრიგად, ნებისმიერი გარემოს აბსოლუტური რეფრაქციული ინდექსი დაკავშირებულია მის რეფრაქციულ ინდექსთან ჰაერთან მიმართებაში ფორმულით:
გარდატეხის ინდექსი დამოკიდებულია სინათლის ტალღის სიგრძეზე, ანუ მის ფერზე. სხვადასხვა ფერები შეესაბამება სხვადასხვა რეფრაქციულ მაჩვენებელს. ეს ფენომენი, რომელსაც დისპერსიას უწოდებენ, მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ოპტიკაში.
ციფრული რესურსის გამოყენება შესაძლებელია საბაზო და საშუალო სკოლის (საბაზო საფეხურის) პროგრამის ფარგლებში სწავლებისთვის.
მოდელი არის ანიმაციური ილუსტრაცია თემაზე "სინათლის რეფრაქციის კანონი". განიხილება წყალ-ჰაერის სისტემა. დახატულია ინციდენტის, არეკლილი და რეფრაქციული სხივების მიმდინარეობა.
მოკლე თეორია
სინათლის გარდატეხის კანონი ახსნას პოულობს ტალღის ფიზიკაში. ტალღის კონცეფციების მიხედვით, გარდატეხა არის ტალღის გავრცელების სიჩქარის ცვლილების შედეგი ერთი საშუალოდან მეორეზე გადასვლისას. გარდატეხის ინდექსის ფიზიკური მნიშვნელობა არის ტალღის გავრცელების სიჩქარის თანაფარდობა პირველ გარემოში υ 1 მათი გავრცელების სიჩქარეზე მეორე გარემოში υ 2:
მოდელთან მუშაობა
Start/Stop ღილაკი საშუალებას გაძლევთ დაიწყოთ ან შეაჩეროთ ექსპერიმენტი, გადატვირთვის ღილაკი საშუალებას გაძლევთ დაიწყოთ ახალი ექსპერიმენტი.
ეს მოდელი შეიძლება გამოვიყენოთ როგორც ილუსტრაცია ახალი მასალის შესწავლის გაკვეთილებზე თემაზე „სინათლის რეფრაქციის კანონი“. ამ მოდელის მაგალითის გამოყენებით, სტუდენტებს შეუძლიათ განიხილონ სხივის გზა ოპტიკურად ნაკლებად მკვრივი გარემოდან ოპტიკურად უფრო მკვრივ გარემოში გადასვლისას.
გაკვეთილის დაგეგმვის მაგალითი მოდელის გამოყენებით
თემა "სინათლის რეფრაქცია"
გაკვეთილის მიზანი: გავითვალისწინოთ სინათლის გარდატეხის ფენომენი, სხივის გზა ერთი გარემოდან მეორეზე გადასვლისას.
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ცხრილი 1. |
კითხვებისა და დავალებების მაგალითები
- სინათლე ვაკუუმიდან მინაზე გადადის, ხოლო დაცემის კუთხე არის α, გარდატეხის კუთხე β. რა არის სინათლის სიჩქარე მინაში, თუ სინათლის სიჩქარე ვაკუუმში არის c?
- წყლის, მინის და ალმასის რეფრაქციული ინდექსები ჰაერთან შედარებით არის 1.33, 1.5, 2.42 შესაბამისად. ამ ნივთიერებებიდან რომელში აქვს მთლიანი ასახვის შემზღუდველი კუთხე მინიმალური მნიშვნელობა?
- მყვინთავი ქვემოდან ზემოდან წყლიდან იკვლევს ნათურას, რომელიც ჩამოკიდებულია წყლის ზედაპირიდან 1 მ სიმაღლეზე. რა არის ნათურის აშკარა სიმაღლე წყალქვეშ?
რიგ შემთხვევებში, (C) ფორმის სერიების კოეფიციენტების გამოკვლევით ან შეიძლება დადგინდეს, რომ ეს სერიები ერთმანეთს ემთხვევა (შესაძლოა ცალკეული წერტილების გარდა) და არის ფურიეს სერიები მათი ჯამებისთვის (იხ., მაგალითად, წინა n°. ), მაგრამ ყველა ამ შემთხვევაში ბუნებრივად ჩნდება კითხვა
როგორ მოვძებნოთ ამ სერიების ჯამები ან, უფრო ზუსტად, როგორ გამოვხატოთ ისინი საბოლოო სახით ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით, თუ ისინი საერთოდ ასეთი ფორმითაა გამოხატული. ეილერმა (და ასევე ლაგრანჟმა) წარმატებით გამოიყენა რთული ცვლადის ანალიტიკური ფუნქციები ტრიგონომეტრიული სერიების საბოლოო სახით შესაჯამებლად. ეილერის მეთოდის იდეა შემდეგია.
დავუშვათ, რომ კოეფიციენტების გარკვეული სიმრავლისთვის, სერია (C) და ფუნქციებზე გადაიყრება ყველგან ინტერვალში, მხოლოდ ცალკეული წერტილების გამოკლებით. ახლა განვიხილოთ სიმძლავრის სერია იგივე კოეფიციენტებით, განლაგებული რთული ცვლადის სიმძლავრეებში
ერთეული წრის გარშემოწერილობაზე, ე.ი. ზე, ეს სერია იკრიბება დაშვებით, ცალკეული წერტილების გამოკლებით:
ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის სერიის კარგად ცნობილი თვისების მიხედვით, სერია (5) რა თქმა უნდა ემთხვევა ე.ი. ერთეული წრის შიგნით, რაც განსაზღვრავს რთული ცვლადის გარკვეულ ფუნქციას. ჩვენთვის ცნობილი გამოყენება [იხ. XII თავის § 5] რთული ცვლადის ელემენტარული ფუნქციების გაფართოების შესახებ, ხშირად შესაძლებელია ფუნქციის მათზე შემცირება.მაშინ ჩვენ გვაქვს:
და აბელის თეორემით, როგორც კი სერიები (6) გადაიყრება, მისი ჯამი მიიღება ლიმიტის სახით.
როგორც წესი, ეს ზღვარი უბრალოდ ტოლია, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ ფუნქცია საბოლოო სახით
მოდით, მაგალითად, სერია
წინა აბზაცში დადასტურებული დებულებები მიგვიყვანს დასკვნამდე, რომ ორივე სერია ერთმანეთს ემთხვევა (პირველი, 0 და პუნქტების გამოკლებით.
ემსახურება როგორც ფურიეს სერიებს მათ მიერ განსაზღვრული ფუნქციებისთვის, მაგრამ რა არის ეს ფუნქციები? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჩვენ ვქმნით სერიას
ლოგარითმული სერიების მსგავსებით, მისი ჯამი ადვილად დგინდება:
აქედან გამომდინარე,
ახლა მარტივი გაანგარიშება იძლევა:
ასე რომ, ამ გამოხატვის მოდული არის და არგუმენტი არის.
და ამით საბოლოოდ
ეს შედეგები ჩვენთვის ნაცნობია და ერთხელაც იქნა მიღებული „კომპლექსური“ მოსაზრებებით; მაგრამ პირველ შემთხვევაში დავიწყეთ ფუნქციებიდან და მეორეში - ანალიტიკური ფუნქციიდან.აქ პირველად სერიები იყო საწყისი წერტილი. მკითხველი იხილავს ამ სახის სხვა მაგალითებს შემდეგ ნაწილში.
ჩვენ კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამთ, რომ წინასწარ უნდა იყოს დარწმუნებული კონვერგენციასა და სერიებში (C) და იმისათვის, რომ გქონდეს უფლება განისაზღვროს მათი ჯამები შემზღუდველი ტოლობის გამოყენებით (7). ამ თანასწორობის მარჯვენა მხარეს მხოლოდ ლიმიტის არსებობა ჯერ კიდევ არ გვაძლევს საშუალებას დავასკვნათ, რომ აღნიშნული სერიები ერთმანეთს ემთხვევა. ამის მაგალითით საჩვენებლად, განიხილეთ სერია
მოდით ვაჩვენოთ, რომ თითქმის ნებისმიერი პერიოდული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიგით, რომლის წევრები მარტივი ჰარმონიებია, ე.წ. ტრიგონომეტრიული სერიების გამოყენებით.
განმარტება. ტრიგონომეტრიული სერია არის ფორმის ფუნქციური სერია
სად არის რეალური რიცხვები ა 0 , a n , ბ ნსერიის კოეფიციენტებს უწოდებენ.
სერიის თავისუფალი ვადა იწერება მოგვიანებით მიღებული ფორმულების ერთგვაროვნების სახით.
ორი კითხვაა საჭირო:
1) რა პირობებში ფუნქციონირებს f(x)პერიოდით 2π შეიძლება გაფართოვდეს სერიით (5.2.1)?
2) როგორ გამოვთვალოთ შანსები ა 0 ,… a n , ბ ნ ?
დავიწყოთ მეორე კითხვით. დაუშვით ფუნქცია f(x)არის უწყვეტი ინტერვალზე და აქვს წერტილი T=2π. ჩვენ წარმოგიდგენთ ფორმულებს, რომლებიც დაგვჭირდება შემდეგში.
ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის, რადგან ფუნქცია ლუწია.
ნებისმიერი მთლიანობისთვის.
(მდა ნმთელი რიცხვები)
ზე ( მდა ნმთელი რიცხვები) თითოეული ინტეგრალი (III, IV, V) გარდაიქმნება ინტეგრალების (I) ან (II) ჯამში. თუ , მაშინ ფორმულაში (IV) ვიღებთ:
ტოლობა (V) დადასტურებულია ანალოგიურად.
ახლა ვივარაუდოთ, რომ ფუნქცია ისეთი აღმოჩნდა, რომ მას აღმოაჩნდა გაფართოება კონვერგენტურ ფურიეს სერიაში, ე.ი.
(გაითვალისწინეთ, რომ შეჯამება აღემატება ინდექსს ნ).
თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ აღნიშნეთ მისი ჯამი S(x).
ტერმინალური ინტეგრაცია (ლეგიტიმური სერიების კონვერგენციის ვარაუდის გამო) დიაპაზონში დან-მდე იძლევა
რადგან პირველის გარდა ყველა წევრი ნულის ტოლია (I, II მიმართებები). აქედან ვპოულობთ
გამრავლება (5.2.2)-ზე ( მ=1,2,…) და ტერმინების მიხედვით ინტეგრირებისას დიაპაზონში დან მდე ვპოულობთ კოეფიციენტს a n.
ტოლობის მარჯვენა მხარეს ყველა წევრი ნულის ტოლია, გარდა ერთისა m=n(IV, V მიმართებები), აქედან ვიღებთ
გამრავლება (5.2.2)-ზე ( მ\u003d 1,2, ...) და ტერმინის მიხედვით ინტეგრირება დიაპაზონში დან მდე, ანალოგიურად ვპოულობთ კოეფიციენტს ბ ნ
მნიშვნელობებს - ფორმულებით განსაზღვრული (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) ეწოდება ფურიეს კოეფიციენტები, ხოლო ტრიგონომეტრიულ სერიას (5.2.2) არის ფურიეს სერია მოცემული ფუნქციისთვის. f(x).
ამრიგად, მივიღეთ ფუნქციის დაშლა f(x)ფურიეს სერიაში
დავუბრუნდეთ პირველ კითხვას და გავარკვიოთ რა თვისებები უნდა ჰქონდეს ფუნქციას f(x)ასე რომ, აგებული ფურიეს რიგი კონვერგენტულია და რიგის ჯამი ზუსტად ტოლი იქნება f(x).
განმარტება. ფუნქცია f(x) ეწოდება ცალმხრივ უწყვეტს, თუ ის უწყვეტია ან აქვს პირველი სახის შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა.
განმარტება. ფუნქცია f(x)ინტერვალზე მოცემული ე.წ ცალმხრივი მონოტონური, თუ სეგმენტი შეიძლება დაიყოს წერტილებით სასრულ ინტერვალებად, რომელთაგან თითოეულში ფუნქცია იცვლება მონოტონურად (იზრდება ან მცირდება).
განვიხილავთ ფუნქციებს f(x)მენსტრუაციის მქონე T=2π. ასეთ ფუნქციებს ე.წ 2π- პერიოდული.
ჩამოვაყალიბოთ თეორემა, რომელიც წარმოადგენს ფუნქციის გაფართოების საკმარის პირობას ფურიეს სერიაში.
დირიხლეს თეორემა(მიიღეთ მტკიცებულების გარეშე) . Თუ 2π- პერიოდული ფუნქცია f(x)სეგმენტზე არის ცალმხრივი უწყვეტი და ცალმხრივი ერთფეროვანი, მაშინ ფუნქციის შესაბამისი ფურიეს სერია კონვერგირდება ამ სეგმენტზე და ამ შემთხვევაში:
1. ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებში რიგის ჯამი ემთხვევა თავად ფუნქციას. S(x)=f(x);
2. ყოველ წერტილში x 0ფუნქციის შესვენება f(x)სერიის ჯამი არის,
იმათ. წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქციის ზღვრების საშუალო არითმეტიკული x 0 ;
3. წერტილებში (სეგმენტის ბოლოებზე) ფურიეს სერიის ჯამი არის,
იმათ. ფუნქციის ზღვრული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული სეგმენტის ბოლოებში, როდესაც არგუმენტი მიდრეკილია ამ წერტილებისკენ ინტერვალის შიგნიდან.
შენიშვნა: თუ ფუნქცია f(x) 2π პერიოდით არის უწყვეტი და დიფერენცირებადი მთელ ინტერვალში და მისი მნიშვნელობები ინტერვალის ბოლოებში ტოლია, ანუ პერიოდულობის გამო ეს ფუნქცია უწყვეტია მთელ რეალურ ღერძზე და ნებისმიერისთვის. Xმისი ფურიეს სერიის ჯამი იგივეა, რაც f(x).
ამრიგად, თუ ფუნქცია ინტეგრირებადია ინტერვალზე f(x)აკმაყოფილებს დირიხლეს თეორემის პირობებს, მაშინ ტოლობა ხდება ინტერვალზე (გაფართოება ფურიეს სერიაში):
კოეფიციენტები გამოითვლება (5.2.3) - (5.2.5) ფორმულებით.
დირიხლეს პირობები აკმაყოფილებს ფუნქციების უმეტესობას, რომლებიც გვხვდება მათემატიკაში და მის გამოყენებაში.
ფურიეს სერიები, ისევე როგორც სიმძლავრის სერიები, გამოიყენება ფუნქციის მნიშვნელობების სავარაუდო გამოსათვლელად. თუ ფუნქციის გაფართოება f(x)ტრიგონომეტრიულ სერიაში ხდება, მაშინ ყოველთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ მიახლოებითი ტოლობა, შეცვალოთ ეს ფუნქცია რამდენიმე ჰარმონიის ჯამით, ე.ი. ნაწილობრივი ჯამი (2 ნ+1) ფურიეს სერიის ვადა.
ტრიგონომეტრიული სერიები ფართოდ გამოიყენება ელექტროტექნიკაში, მათი დახმარებით ისინი წყვეტენ მათემატიკური ფიზიკის ბევრ პრობლემას.
გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში ფუნქცია 2π პერიოდით, მოცემული ინტერვალზე (-π; π).
გადაწყვეტილება. იპოვეთ ფურიეს სერიის კოეფიციენტები:
მივიღეთ ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში
უწყვეტობის წერტილებში ფურიეს სერიის ჯამი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას f(x)=S(x), წერტილში x=0 S(x)=1/2, წერტილებში x=π,2π,… S(x)=1/2.
ნავიერის ხსნარი შესაფერისია მხოლოდ კონტურის გასწვრივ ჩამოკიდებული ფირფიტების გამოსათვლელად. უფრო ზოგადია ლევის გამოსავალი. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფირფიტა, რომელიც ჩამოკიდებულია ორ პარალელურ მხარეს, თვითნებური სასაზღვრო პირობებით თითოეულ დანარჩენ ორ მხარეს.
მართკუთხა ფირფიტაში, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 5.11, (a), დაკიდებული კიდეები არის ღერძის პარალელურად წ. ამ კიდეებზე სასაზღვრო პირობებს აქვს ფორმა
 |
ბრინჯი. 5.11
აშკარაა, რომ უსასრულო ტრიგონომეტრიული რიგის ყოველი წევრი
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; გადახრის ფუნქციის მეორე ნაწილობრივი წარმოებულები
(5.45)
ზე x = 0 და x = აასევე ნულოვანია, რადგან ისინი შეიცავს https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)
(5.46) ჩანაცვლება (5.18) იძლევა
მიღებული განტოლების ორივე მხარის გამრავლება 0-დან ინტეგრირებაზე ადა ამის გახსენება
,
ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ფუნქცია იმასეთი წრფივი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით
. (5.48)
თუ, აღნიშვნის შესამცირებლად, აღნიშნეთ
განტოლება (5.48) იღებს ფორმას
. (5.50)
არაჰომოგენური განტოლების ზოგად ამოხსნას (5.50), როგორც ცნობილია დიფერენციალური განტოლებების კურსიდან, აქვს ფორმა
იმ(წ) = ჯმ (წ)+ fm(წ), (5.51)
სადაც ჯმ (წ) არის არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნები (5.50); მისი ფორმა დამოკიდებულია განტოლების მარჯვენა მხარეს (5.50), ანუ რეალურად დატვირთვის ტიპზე. ქ (x, წ);
fm(წ)= Am შამy + Bmchამy+y(სმ შამy + Dmchამწ), (5.52)
ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა
ოთხი თვითნებური მუდმივი Ვარ,ATმ ,Cმდა დმუნდა განისაზღვროს ფირფიტის კიდეების დამაგრების ოთხი პირობიდან ფირფიტაზე გამოყენებული ღერძის პარალელურად. მუდმივი ქ (x, წ) = ქგანტოლების მარჯვენა მხარე (5.50) იღებს ფორმას
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)
ვინაიდან განტოლების (5.55) მარჯვენა მხარე მუდმივია, მისი მარცხენა მხარეც მუდმივია; ასე რომ, ყველა წარმოებული ჯმ (წ) არის ნული და
, (5.56)
, (5.57)
სადაც მითითებულია: .
განვიხილოთ ფირფიტა მოჭედილიღერძის პარალელურად კიდეების გასწვრივ X(ნახ. 5.11, (გ)).
სასაზღვრო პირობები კიდეებზე წ = ± ბ/2
. (5.59)
ღერძის გარშემო ფირფიტის გადახრის სიმეტრიის გამო ოxზოგად გადაწყვეტაში (5.52) უნდა შენარჩუნდეს მხოლოდ ლუწი ფუნქციების შემცველი ტერმინები. რადგან შ ამწკენტი ფუნქციაა და сh ამ წ- თანაბარი და, ღერძის მიღებული პოზიციით ოჰ, წშ ამწ- თუნდაც, შიგნით ზეჩვ ამ წკენტია, მაშინ განსახილველ შემთხვევაში ზოგადი ინტეგრალი (5.51) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც
. (5.60)
ვინაიდან (5.44) არ არის დამოკიდებული არგუმენტის მნიშვნელობაზე წ, სასაზღვრო პირობების მეორე წყვილი (5.58), (5.59) შეიძლება დაიწეროს როგორც:
იმ = 0, (5.61)
ი¢ მ = = 0. (5.62)
ამბმშ ამy + სმ(შ ამy+yამჩვ ამწ)
(5.60)-დან - (5.63) მოყვება
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)
განტოლების (5.64) გამრავლება ზე და განტოლება (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
(5.66) (5.64) განტოლებაში ჩანაცვლება საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ბმ
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)
ამ ფუნქციის გამოხატვით იმ. ფორმულა (5.44) გადახრის ფუნქციის დასადგენად იღებს ფორმას
(5.69)
სერია (5.69) სწრაფად იყრის თავს. მაგალითად, კვადრატული ფირფიტისთვის მის ცენტრში, ე.ი x=ა/2, წ = 0
(5.70)
(5.70) სერიის მხოლოდ ერთი ტერმინის შენარჩუნება, ანუ აღება 
, ვიღებთ გადახრის მნიშვნელობას, რომელიც გადაჭარბებულია 2,47%-ზე ნაკლებით. იმის გათვალისწინებით, რომ გვ 5 =
306.02, იპოვნეთ ვარიაცია" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V.. Ritz-ის ვარიაციული მეთოდი ეფუძნება მე-2 ნაწილში ჩამოყალიბებულ ლაგრანგის ვარიაციულ პრინციპს.
განვიხილოთ ეს მეთოდი, როგორც გამოიყენება ფირფიტის მოხრის პრობლემაზე. წარმოიდგინეთ ფირფიტის მოხრილი ზედაპირი მწკრივის სახით
, (5.71)
სადაც ფი(x, წ) უწყვეტი კოორდინატთა ფუნქციები, რომელთაგან თითოეული უნდა აკმაყოფილებდეს კინემატიკურ სასაზღვრო პირობებს; ციუცნობი პარამეტრებია განსაზღვრული ლაგრანგის განტოლებიდან. ეს განტოლება
(5.72)
მივყავართ სისტემამდე ნალგებრული განტოლებები პარამეტრებთან მიმართებაში ცი.
ზოგადად, ფირფიტის დეფორმაციის ენერგია შედგება U და მემბრანის U-ისგან მნაწილები
, (5.73)
, (5.74)
სადაც მჰ.,მწ. ,მxy- მოხრის ძალები; ნX., ნი. , Nxy- მემბრანის ძალები. ენერგიის ნაწილი, რომელიც შეესაბამება განივი ძალებს, მცირეა და შეიძლება უგულებელყო.
Თუ u, ვდა ვარის ფაქტობრივი გადაადგილების კომპონენტები, px. , pyდა პზარის ზედაპირული დატვირთვის ინტენსივობის კომპონენტები, რმე- კონცენტრირებული ძალა, დ მეშესაბამისი ხაზოვანი გადაადგილება, მჯ- ორიენტირებული მომენტი ქჯ- მის შესაბამისი ბრუნვის კუთხე (ნახ. 5.12), მაშინ გარე ძალების პოტენციური ენერგია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
თუ ფირფიტის კიდეები მოძრაობის საშუალებას იძლევა, მაშინ კიდეები ძალები vn. , წთ. , მტ(ნახ. 5.12, (ა)) გაზრდის გარე ძალების პოტენციალს
 |
|
 |
|
ბრინჯი. 5.12
Აქ ნდა ტ- ნორმალური და კიდეზე ტანგენტიანი ელემენტი დს.
დეკარტის კოორდინატებში, ძალების და გამრუდების ცნობილი გამონათქვამების გათვალისწინებით
, (5.78)
მართკუთხა ზომის ფირფიტის მთლიანი პოტენციური ენერგია E ა ´ ბ, მხოლოდ ვერტიკალური დატვირთვის მოქმედებით პზ
(5.79)
მაგალითად, განვიხილოთ მართკუთხა ფირფიტა ასპექტის თანაფარდობით 2 ა'' 2 ბ(სურ. 5.13).
ფირფიტა დამაგრებულია კონტურის გასწვრივ და იტვირთება ერთიანი დატვირთვით
პზ = q = კონსტ. ამ შემთხვევაში გამოთქმა (5.79) ენერგიის E გამარტივებულია
. (5.80)
მიღება ვ(x, y) რიგი
რომელიც აკმაყოფილებს კონტურულ პირობებს
 |  |
ბრინჯი. 5.13
შეინახეთ სერიის მხოლოდ პირველი წევრი
.
შემდეგ (5.80) მიხედვით
.
ენერგიის E მინიმიზაცია (5..gif" width="273 height=57" height="57"> მიხედვით.
.
კვადრატული ფირფიტის ცენტრის გადახრა ზომა 2 ა'' 2 ა
,
რაც 2,5%-ით მეტია ზუსტ 0,0202 ხსნარზე ქა 4/დ. გაითვალისწინეთ, რომ ოთხ მხარეს დაყრდნობილი ფირფიტის ცენტრის გადახრა 3,22-ჯერ მეტია.
ეს მაგალითი ასახავს მეთოდის უპირატესობებს: სიმარტივეს და კარგი შედეგის მიღების შესაძლებლობას. ფირფიტას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული კონტურები, ცვლადი სისქე. სირთულეები ამ მეთოდში, ისევე როგორც სხვა ენერგეტიკულ მეთოდებში, წარმოიქმნება შესაფერისი კოორდინატთა ფუნქციების არჩევისას.
5.8. ორთოგონალიზაციის მეთოდი
ორთოგონალიზაციის მეთოდი შემოთავაზებული და ეფუძნება ორთოგონალური ფუნქციების შემდეგ თვისებებს ჯმე. , ჯჯ
. (5.82)
ორთოგონალური ფუნქციების მაგალითი ინტერვალზე ( – გვ, გვ) შეიძლება იყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები cos nxდა ცოდვა nxრისთვისაც
თუ ერთ-ერთი ფუნქცია, მაგალითად ფუნქცია ჯმე (x) იდენტურად უდრის ნულს, მაშინ პირობა (5.82) დაკმაყოფილებულია თვითნებური ფუნქციისთვის ჯჯ (x).
ფირფიტის მოხრის პრობლემის გადასაჭრელად, განტოლება არის
შეიძლება ასე წარმოვიდგინოთ
, (5.83)
სადაც ფარის ფირფიტის კონტურით შემოსაზღვრული ფართობი; ჯიჯარის ფუნქციები მითითებული ისე, რომ ისინი აკმაყოფილებენ პრობლემის კინემატიკურ და ძალის სასაზღვრო პირობებს.
წარმოვადგენთ ფირფიტის მოღუნვის განტოლების (5.18) სავარაუდო ამონახსნის სერიას.
. (5.84)
თუ ამონახსნი (5.84) ზუსტი იყო, მაშინ განტოლება (5.83) იდენტური იქნებოდა კოორდინატთა ფუნქციების ნებისმიერი სისტემისთვის. ჯიჯ. , რადგან ამ შემთხვევაში დ c2c2 wn – ქ = 0. ჩვენ ვითხოვთ, რომ განტოლება დ c2c2 wn – ქიყო ორთოგონალური ფუნქციების ოჯახის მიმართ ჯიჯ, და ჩვენ ვიყენებთ ამ მოთხოვნას კოეფიციენტების დასადგენად Cij. . (5.84) ჩანაცვლებით (5.83) მივიღებთ
. (5.85)
გარკვეული გარდაქმნების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ალგებრული განტოლებების შემდეგ სისტემას განსასაზღვრად Cიჯ
, (5.86)
და თიჯ = თჯი.
ბუბნოვ-გალერკინის მეთოდს შეიძლება მივცეთ შემდეგი ინტერპრეტაცია. ფუნქცია დ c2c2 wn – ქ = 0 არსებითად წონასწორობის განტოლებაა და არის გარე და შიდა ძალების პროექცია, რომლებიც მოქმედებენ ფირფიტის მცირე ელემენტზე ვერტიკალური ღერძის მიმართულებით. ზ. გადახრის ფუნქცია wnარის მოძრაობა იმავე ღერძის მიმართულებით და ფუნქციები ჯიჯშეიძლება ჩაითვალოს შესაძლო მოძრაობები. მაშასადამე, განტოლება (5.83) დაახლოებით გამოხატავს ყველა გარე და შინაგანი ძალების მუშაობის ტოლობას შესაძლო გადაადგილებაზე. ჯიჯ. . ამრიგად, ბუბნოვ-გალერკინის მეთოდი არსებითად ვარიაციულია.
მაგალითად, განვიხილოთ მართკუთხა ფირფიტა, რომელიც დამაგრებულია კონტურის გასწვრივ და დატვირთულია თანაბრად განაწილებული დატვირთვით. ფირფიტის ზომები და კოორდინატთა ღერძების მდებარეობა იგივეა, რაც ნახ. 5.6.
სასაზღვრო პირობები
ზე x = 0, x= ა: ვ = 0, ,
ზე წ = 0, წ = ბ: ვ = 0, .
ჩვენ ვირჩევთ გადახრის ფუნქციის სავარაუდო გამოსახულებას სერიის სახით (5.84), სადაც ფუნქცია ჯიჯ
აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს; Cijარის სასურველი კოეფიციენტები. შეზღუდულია სერიის ერთი წევრით
ვიღებთ შემდეგ განტოლებას
ინტეგრაციის შემდეგ
სად შეიძლება გამოვთვალოთ კოეფიციენტი თან 11
,
რომელიც სრულად შეესაბამება კოეფიციენტს თან 11. მეთოდით მიღებული
V. Ritz -.
როგორც პირველი მიახლოება, გადახრის ფუნქცია შემდეგია
.
მაქსიმალური გადახრა კვადრატული ფირფიტის ცენტრში ა ´ ა
.
5.9. სასრული განსხვავების მეთოდის გამოყენება
განვიხილოთ სასრული სხვაობის მეთოდის გამოყენება რთული კონტურის მქონე მართკუთხა ფირფიტებისთვის. განსხვავების ოპერატორი არის ფირფიტის მრუდი ზედაპირის დიფერენციალური განტოლების ანალოგი (5.18), კვადრატული ბადით, D-სთვის. x = დ წ = D იღებს ფორმას (3.54)
20 ვი, ჯ + 8 (ვი, ჯ+ 1 + ვი, ჯ– 1 + ვი– 1, ჯ + ვი+ 1, ჯ) + 2 (ვი– 1, ჯ– 1 + ვი– 1, ჯ+ 1 +
ბრინჯი. 5.14
ფირფიტის დატვირთვისა და დეფორმაციების სამი ღერძის არსებობის გათვალისწინებით, შეგვიძლია შემოვიფარგლოთ მისი მერვე განხილვით და განვსაზღვროთ გადახრის მნიშვნელობები მხოლოდ 1 ... 10 კვანძებში (ნახ. 5.14, (ბ) ). ნახ. 5.14, (ბ) გვიჩვენებს ბადის და კვანძის ნუმერაციას (D = ა/4).
ვინაიდან ფირფიტის კიდეები დაჭიმულია, კონტურის პირობების ჩაწერა (5.25), (5.26) სასრულ სხვაობებში
