Შემთხვევითი ცვლადიეწოდება ცვლადი, რომელიც ყოველი ტესტის შედეგად იღებს ერთ ადრე უცნობ მნიშვნელობას, შემთხვევითი მიზეზების მიხედვით. შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ მათი ტიპის მიხედვით, შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება იყოს დისკრეტულიდა უწყვეტი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი- ეს არის ისეთი შემთხვევითი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს არაუმეტეს თვლადი, ანუ სასრული ან თვლადი. დათვლა ნიშნავს, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები შეიძლება ჩამოთვალოს.

მაგალითი 1 . მოდით მოვიყვანოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

ა) მიზანზე დარტყმების რაოდენობა $n$ გასროლით, აქ შესაძლო მნიშვნელობებია $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

ბ) გერბების რაოდენობა, რომლებიც ამოვარდა მონეტის სროლისას, აქ შესაძლო მნიშვნელობებია $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

გ) გემების რაოდენობა, რომლებიც ჩამოვიდნენ გემზე (მნიშვნელობების დასათვლელი ნაკრები).

დ) ბირჟაზე შემოსული ზარების რაოდენობა (მნიშვნელობების დასათვლელი ნაკრები).

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი.

დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობები $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$. ამ მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობას შორის შესაბამისობა ეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი. როგორც წესი, ეს კორესპონდენცია მითითებულია ცხრილის გამოყენებით, რომლის პირველ სტრიქონში მითითებულია $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობები, ხოლო მეორე სტრიქონში ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ალბათობაა $. p_1, \ წერტილები, \ p_n$.

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \წერტილები & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \წერტილები & p_n \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

მაგალითი 2 . დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს კამათლის გაშვებისას გაშვებული ქულების რაოდენობა. ასეთ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5, \ 6$. ყველა ამ მნიშვნელობის ალბათობა უდრის $1/6$-ს. შემდეგ ალბათობის განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის $X$-ისთვის:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\ბოლო (მასივი)$

კომენტარი. ვინაიდან მოვლენები $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს $X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონში, ალბათობათა ჯამი უნდა იყოს ერთის ტოლი, ე.ი. $\sum( p_i)=1$.

2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინიგანსაზღვრავს მის "ცენტრალურ" მნიშვნელობას. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინი გამოითვლება, როგორც $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობების ნამრავლების ჯამი და ამ მნიშვნელობების შესაბამისი $p_1,\dots,\ p_n$ ალბათობები, ე.ი.: $M\მარცხენა(X\მარჯვნივ)=\ჯამობა ^n_(i=1)(p_ix_i)$. ინგლისურ ლიტერატურაში გამოიყენება სხვა აღნიშვნა $E\left(X\right)$.

მოლოდინის თვისებები$M\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)$:

1. $M\left(X\right)$ არის $X$ შემთხვევითი ცვლადის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს შორის.
2. მუდმივის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია თავად მუდმივის, ე.ი. $M\left(C\right)=C$.
3. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

მაგალითი 3 . მოდი ვიპოვოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი მაგალითიდან $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6)) +6\cdot ((1 )\ მეტი (6))=3.5.$$

ჩვენ შეგვიძლია შევამჩნიოთ, რომ $M\left(X\right)$ არის $X$ შემთხვევითი ცვლადის უმცირეს ($1$) და უდიდეს ($6$) მნიშვნელობებს შორის.

მაგალითი 4 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის $M\left(X\right)=2$. იპოვეთ $3X+5$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით მივიღებთ $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

მაგალითი 5 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის $M\left(X\right)=4$. იპოვეთ $2X-9$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით მივიღებთ $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.

შემთხვევითი ცვლადების შესაძლო მნიშვნელობები თანაბარი მათემატიკური მოლოდინებით შეიძლება განსხვავებულად გაიფანტოს მათი საშუალო მნიშვნელობების გარშემო. მაგალითად, ორ სტუდენტურ ჯგუფში ალბათობის თეორიის გამოცდის საშუალო ქულა აღმოჩნდა 4, მაგრამ ერთ ჯგუფში ყველა კარგი მოსწავლე აღმოჩნდა, მეორე ჯგუფში კი მხოლოდ C და წარჩინებული სტუდენტები. აქედან გამომდინარე, საჭიროა შემთხვევითი ცვლადის ისეთი რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების გავრცელებას მისი მათემატიკური მოლოდინის გარშემო. ეს მახასიათებელია დისპერსიულობა.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია$X$ არის:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\მარჯვნივ))^2).\ $$

ინგლისურ ლიტერატურაში გამოიყენება აღნიშვნა $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. ძალიან ხშირად, $D\left(X\right)$ დისპერსია გამოითვლება ფორმულით $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) მარცხენა(X \მარჯვნივ)\მარჯვნივ))^2$.

დისპერსიული თვისებები$D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)$:

1. დისპერსია ყოველთვის მეტია ან ტოლია ნულის, ე.ი. $D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)\ge 0$.
2. მუდმივიდან დისპერსია ნულის ტოლია, ე.ი. $D\მარცხნივ(C\მარჯვნივ)=0$.
3. მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიის ნიშნიდან, იმ პირობით, რომ ის კვადრატშია, ე.ი. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\მარჯვნივ)$.
4. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს, ე.ი. $D\left(X+Y\right)=D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)+D\მარცხნივ(Y\მარჯვნივ)$.
5. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების სხვაობის დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს, ე.ი. $D\left(X-Y\right)=D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)+D\მარცხნივ(Y\მარჯვნივ)$.

მაგალითი 6 . მოდით გამოვთვალოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია მაგალითიდან $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\მარჯვნივ))^2)=(1)\ზედა (6))\cdot (\ მარცხნივ(1-3,5\მარჯვნივ))^2+((1)\ზედა (6))\cdot (\ მარცხნივ(2-3,5\მარჯვნივ))^2+ \წერტილები +((1)\ზედა (6))\cdot (\ მარცხნივ(6-3,5\მარჯვნივ))^2=((35)\ზედ (12))\დაახლოებით 2,92.$$

მაგალითი 7 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია უდრის $D\left(X\right)=2$. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის $4X+1$.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ მარცხენა(X\მარჯვნივ)=16\cdot 2=32$.

მაგალითი 8 . ცნობილია, რომ $X$-ის დისპერსია უდრის $D\left(X\right)=3$. იპოვეთ $3-2X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიული.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ მარცხენა(X\მარჯვნივ)=4\cdot 3=12$.

4. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიის სახით წარმოდგენის მეთოდი არ არის ერთადერთი და რაც მთავარია, ის არ არის უნივერსალური, რადგან უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დაზუსტება განაწილების სერიის გამოყენებით შეუძლებელია. არსებობს შემთხვევითი ცვლადის წარმოდგენის კიდევ ერთი გზა - განაწილების ფუნქცია.

განაწილების ფუნქციაშემთხვევითი ცვლადი $X$ არის ფუნქცია $F\left(x\right)$, რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღოს ნაკლები მნიშვნელობა, ვიდრე ფიქსირებული $x$, ანუ $F\left(x\). მარჯვნივ)$ )=P\მარცხნივ(X< x\right)$

განაწილების ფუნქციის თვისებები:

1. $0\le F\მარცხნივ(x\მარჯვნივ)\le 1$.
2. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ იღებს მნიშვნელობებს $\left(\alpha ;\\beta \right)$ ინტერვალიდან, უდრის სხვაობას ამ ინტერვალის ბოლოებში განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის. : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - არ კლებულობს.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \მარჯვნივ)=1\ )$.

მაგალითი 9 . მოდით ვიპოვოთ განაწილების ფუნქცია $F\left(x\right)$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონისთვის $X$ მაგალითიდან $2$.

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

თუ $x\le 1$, მაშინ აშკარად $F\left(x\right)=0$ (მათ შორის $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

თუ $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

თუ $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

თუ $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

თუ $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

თუ $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

თუ $x > 6$ მაშინ $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\მარჯვნივ)+P\left(X=3\მარჯვნივ) + P\მარცხენა(X=4\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ(X=5\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ(X=6\მარჯვნივ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

ასე რომ, $F(x)=\მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა)
0,\ at\ x\le 1, \\
1/6, \ 1-ზე< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3-ზე< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ ზე \ 4< x\le 5,\\
1, \ x > 6-ისთვის.
\end(მატრიცა)\right.$

განმარტება 1

შემთხვევით ცვლადს $X$ ეწოდება დისკრეტული (შეწყვეტილი), თუ მისი მნიშვნელობების სიმრავლე არის უსასრულო ან სასრული, მაგრამ თვლადი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაოდენობას უწოდებენ დისკრეტულ, თუ მისი მნიშვნელობების ჩამოთვლა შესაძლებელია.

თქვენ შეგიძლიათ აღწეროთ შემთხვევითი ცვლადი განაწილების კანონის გამოყენებით.

$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება იყოს მოცემული ცხრილის სახით, რომლის პირველ რიგში შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა მითითებულია აღმავალი თანმიმდევრობით, ხოლო მეორე რიგში შესაბამისი ალბათობები. ამ ღირებულებებიდან:

სურათი 1.

სადაც $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

ეს მაგიდა არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მახლობლად.

თუ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების სიმრავლე უსასრულოა, მაშინ სერია $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის $1$-ს.

$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი გრაფიკულად, რომლისთვისაც კოორდინატთა სისტემაში აგებულია გატეხილი ხაზი (მართკუთხა), რომელიც თანმიმდევრულად აკავშირებს წერტილებს კოორდინატებთან $(xi;pi), i=1,2, ... n$. ხაზი რომ დაირეკა განაწილების პოლიგონი.

სურათი 2.

$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ანალიტიკურად (ფორმულის გამოყენებით):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

მოქმედებები დისკრეტულ ალბათობებზე

ალბათობის თეორიის მრავალი პრობლემის გადაჭრისას აუცილებელია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მუდმივზე გამრავლების ოპერაციების ჩატარება, ორი შემთხვევითი ცვლადის დამატება, მათი გამრავლება და სიმძლავრემდე მიყვანა. ამ შემთხვევებში აუცილებელია დაიცვან შემდეგი წესები შემთხვევითი დისკრეტული ცვლადების მიმართ:

განმარტება 3

გამრავლებითდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $X$ მუდმივამდე $K$ არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $Y=KX,$ რომელიც განპირობებულია ტოლობით: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

განმარტება 4

გამოიძახება ორი შემთხვევითი ცვლადი $x$ და $y$ დამოუკიდებელითუ რომელიმე მათგანის განაწილების კანონი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა შესაძლო მნიშვნელობებს შეიძინა მეორე მნიშვნელობა.

განმარტება 5

ჯამიორ დამოუკიდებელ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ და $Y$ ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი $Z=X+Y, $ განპირობებულია ტოლობით: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

განმარტება 6

გამრავლებითორ დამოუკიდებელ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ და $Y$ ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი $Z=XY, $ განპირობებულია ტოლობებით: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ მარცხენა(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

გავითვალისწინოთ, რომ ზოგიერთი პროდუქტი $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ შეიძლება იყოს ერთმანეთის ტოლი. ამ შემთხვევაში პროდუქტის დამატების ალბათობა უდრის შესაბამისი ალბათობების ჯამს.

მაგალითად, თუ $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, მაშინ $x_2y_3$ (ან იგივე $x_5y_7$) ალბათობა იქნება $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 $

ზემოაღნიშნული ასევე ეხება თანხას. თუ $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, მაშინ $x_1+\ y_2$ (ან იგივე $x_4+\ y_6$) ალბათობა იქნება $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$.

შემთხვევითი ცვლადები $X$ და $Y$ მოცემულია განაწილების კანონებით:

სურათი 3

სადაც $p_1+p_2+p_3=1, \ \ \ p"_1+p"_2=1.$ შემდეგ $X+Y$ ჯამის განაწილების კანონი ასე გამოიყურება

სურათი 4

და $XY$ პროდუქტის განაწილების კანონს ექნება ფორმა

სურათი 5

განაწილების ფუნქცია

შემთხვევითი ცვლადის სრული აღწერა მოცემულია აგრეთვე განაწილების ფუნქციით.

გეომეტრიულად, განაწილების ფუნქცია აიხსნება, როგორც ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც წარმოდგენილია რეალურ ხაზზე $x$ წერტილის მარცხნივ მდებარე წერტილით.

X; მნიშვნელობა ფ(5); შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xმიიღებს მნიშვნელობებს ინტერვალიდან. განაწილების მრავალკუთხედის აგება.

1. ცნობილია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია F(x). X:

მიუთითეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი Xცხრილის სახით.

1. მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X:

X	–28	–20	–12	–4
გვ	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. ალბათობა იმისა, რომ მაღაზიას აქვს ხარისხის სერთიფიკატები პროდუქციის სრული ასორტიმენტისთვის არის 0,7. კომისიამ რაიონში არსებულ ოთხ მაღაზიაში სერტიფიკატების ხელმისაწვდომობა შეამოწმა. შეადგინეთ განაწილების კანონი, გამოთვალეთ იმ მაღაზიების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება, რომლებშიც ხარისხის სერთიფიკატები ვერ იქნა ნაპოვნი შემოწმების დროს.

1. 350 იდენტური ყუთის პარტიაში ელექტრო ნათურების წვის საშუალო დროის დასადგენად, ტესტირებისთვის აიღეს თითო ელექტრო ნათურა. შეაფასეთ ქვემოდან ალბათობა იმისა, რომ არჩეული ელექტრული ნათურების წვის საშუალო დრო განსხვავდება მთელი პარტიის საშუალო წვის დროისგან 7 საათზე ნაკლები აბსოლუტური მნიშვნელობით, თუ ცნობილია, რომ ელექტრო ნათურების წვის დროის სტანდარტული გადახრა თითოეულ ყუთში 9 საათზე ნაკლებია.

1. სატელეფონო სადგურზე არასწორი კავშირი ხდება 0,002 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ 500 კავშირს შორის იქნება:

იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X. დახაზეთ ფუნქციები და. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის საშუალო, ვარიაცია, რეჟიმი და მედიანა X.

1. ავტომატური მანქანა აკეთებს ლილვაკებს. ითვლება, რომ მათი დიამეტრი არის ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი საშუალო მნიშვნელობით 10 მმ. რა არის სტანდარტული გადახრა, თუ 0.99 ალბათობით დიამეტრი 9.7 მმ-დან 10.3 მმ-მდეა.

ნიმუში A: 6 9 7 6 4 4

ნიმუში B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

ვარიანტი 17.

1. 35 ნაწილს შორის 7 არასტანდარტულია. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით არჩეული ორი ნაწილი სტანდარტულია.

1. ჩააგდე სამი კამათელი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოვარდნილ სახეებზე ქულების ჯამი იყოს 9-ის ჯერადი.

1. სიტყვა "თავგადასავალი" შედგება ბარათებისგან, თითოეულზე დაწერილი თითო ასო. ბარათები ირევა და ამოღებულია სათითაოდ დაბრუნების გარეშე. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებული ასოები წარმოადგენენ სიტყვას: ა) სათავგადასავლო; ბ) დაჭერა.

1. ურნა შეიცავს 6 შავ და 5 თეთრ ბურთულას. შემთხვევით გათამაშებულია 5 ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მათ შორის არის:
1. 2 თეთრი ბურთი;
2. 2-ზე ნაკლები თეთრი ბურთი;
3. მინიმუმ ერთი შავი ბურთი.

1. მაგრამერთ ტესტში არის 0.4. იპოვნეთ შემდეგი მოვლენების ალბათობა:
1. ღონისძიება მაგრამგამოვა 3-ჯერ 7 დამოუკიდებელი ცდის სერიაში;
2. ღონისძიება მაგრამგამოჩნდება მინიმუმ 220 და არა უმეტეს 235 ჯერ 400 გამოწვევის სერიაში.

1. ქარხანამ ბაზაზე 5000 მაღალი ხარისხის პროდუქტი გაგზავნა. ტრანზიტის დროს თითოეული პროდუქტის დაზიანების ალბათობა არის 0,002. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ გზაში 3-ზე მეტი პროდუქტი არ დაზიანდეს.

1. პირველი ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 9 შავ ბურთულას, ხოლო მეორე ურნა შეიცავს 7 თეთრ და 3 შავ ბურთულებს. პირველი ურნიდან შემთხვევით გამოყვანილია 3 ბურთი, ხოლო მეორე ურნიდან 4. იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა დახატული ბურთი ერთი ფერის იყოს.

1. მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X:

გამოთვალეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.

1. ყუთში არის 10 ფანქარი. შემთხვევით დახატულია 4 ფანქარი. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xარის ლურჯი ფანქრების რაოდენობა შერჩეულთა შორის. იპოვეთ მისი განაწილების კანონი, მე-2 და მე-3 რიგის საწყისი და ცენტრალური მომენტები.

1. ტექნიკური კონტროლის დეპარტამენტი 475 პროდუქტს ამოწმებს ხარვეზებზე. პროდუქტის დეფექტის ალბათობა არის 0,05. იპოვეთ 0,95 ალბათობით საზღვრები, რომლებიც შეიცავენ დეფექტურ პროდუქტებს შემოწმებულებს შორის.

1. სატელეფონო სადგურზე არასწორი კავშირი ხდება 0,003 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ 1000 კავშირს შორის იქნება:
1. მინიმუმ 4 არასწორი კავშირი;
2. ორზე მეტი არასწორი კავშირი.

1. შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია განაწილების სიმკვრივის ფუნქციით:

იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X. დახაზეთ ფუნქციები და. გამოთვალეთ X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია, რეჟიმი და მედიანა.

1. შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია განაწილების ფუნქციით:

1. ნიმუშის მიხედვით მაგრამგადაჭრით შემდეგი ამოცანები:
1. ვარიაციის სერიის გაკეთება;

ნიმუში საშუალო;

ნიმუშის ვარიაცია

რეჟიმი და მედიანა;

ნიმუში A: 0 0 2 2 1 4

1. გამოთვალეთ ვარიაციული სერიის რიცხვითი მახასიათებლები:

ნიმუში საშუალო;

ნიმუშის ვარიაცია

· სტანდარტული გადახრა;

რეჟიმი და მედიანა;

ნიმუში B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

ვარიანტი 18.

1. ლატარიის 10 ბილეთს შორის 2 გამარჯვებულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით გათამაშებული ხუთი ბილეთიდან ერთი იქნება გამარჯვებული.

1. ჩააგდე სამი კამათელი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ დახვეული ქულების ჯამი 15-ზე მეტია.

1. სიტყვა "PERIMETER" შედგება ბარათებისგან, რომელთაგან თითოეულს აქვს თითო ასო დაწერილი. ბარათები ირევა და ამოღებულია სათითაოდ დაბრუნების გარეშე. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებული ასოები წარმოადგენენ სიტყვას: ა) PERIMETER; ბ) მეტრი.

1. ურნა შეიცავს 5 შავ და 7 თეთრ ბურთულას. შემთხვევით გათამაშებულია 5 ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მათ შორის არის:
1. 4 თეთრი ბურთი;
2. 2-ზე ნაკლები თეთრი ბურთი;
3. მინიმუმ ერთი შავი ბურთი.

1. მოვლენის ალბათობა მაგრამერთ ტესტში არის 0.55. იპოვნეთ შემდეგი მოვლენების ალბათობა:
1. ღონისძიება მაგრამგამოჩნდება 3-ჯერ 5 გამოწვევის სერიაში;
2. ღონისძიება მაგრამგამოჩნდება მინიმუმ 130 და არა უმეტეს 200 ჯერ 300 გამოწვევის სერიაში.

1. დაკონსერვებული საკვების ქილაში გაჟონვის ალბათობაა 0,0005. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ 2000 ქილადან ორმა გაჟონოს.

1. პირველი ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 8 შავ ბურთულას, ხოლო მეორე ურნა შეიცავს 7 თეთრ და 4 შავ ბურთულას. პირველი ურნიდან შემთხვევით გამოყვანილია 2 ბურთი და მეორე ურნიდან 3 ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა დახატული ბურთი ერთი ფერის იყოს.

1. აწყობაზე მისულ ნაწილებს შორის, პირველი მანქანიდან 0,1% დეფექტურია, მეორიდან - 0,2%, მესამედან - 0,25%, მეოთხედან - 0,5%. მანქანების პროდუქტიულობა დაკავშირებულია შესაბამისად 4:3:2:1. შემთხვევით მიღებული ნაწილი სტანდარტული აღმოჩნდა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ნივთი დამზადდა პირველ მანქანაზე.

1. მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X:

გამოთვალეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.

1. ელექტრიკოსს აქვს სამი ნათურა, თითოეულს აქვს დეფექტი 0,1 ალბათობით.. ნათურები ხრახნიან ნათურებში და დენი ჩართულია. როდესაც დენი ჩართულია, დეფექტური ნათურა მაშინვე იწვის და იცვლება სხვა. იპოვეთ განაწილების კანონი, მათემატიკური მოლოდინი და შემოწმებული ნათურების რაოდენობის განსხვავება.

1. სამიზნეზე დარტყმის ალბათობა არის 0,3 900 დამოუკიდებელი გასროლისთვის. ჩებიშევის უთანასწორობის გამოყენებით შეაფასეთ ალბათობა იმისა, რომ სამიზნე მოხვდება მინიმუმ 240-ჯერ და მაქსიმუმ 300-ჯერ.

1. სატელეფონო სადგურზე არასწორი კავშირი ხდება 0,002 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ 800 კავშირს შორის იქნება:
1. მინიმუმ სამი არასწორი კავშირი;
2. ოთხზე მეტი არასწორი კავშირი.

1. შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია განაწილების სიმკვრივის ფუნქციით:

იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია. ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები და . გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის საშუალო, ვარიაცია, რეჟიმი და მედიანა X.

1. შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია განაწილების ფუნქციით:

1. ნიმუშის მიხედვით მაგრამგადაჭრით შემდეგი ამოცანები:
1. ვარიაციის სერიის გაკეთება;
2. ფარდობითი და დაგროვილი სიხშირეების გამოთვლა;
3. ემპირიული განაწილების ფუნქციის შედგენა და მისი გრაფიკის აგება;
4. გამოთვალეთ ვარიაციული სერიის რიცხვითი მახასიათებლები:

ნიმუში საშუალო;

ნიმუშის ვარიაცია

· სტანდარტული გადახრა;

რეჟიმი და მედიანა;

ნიმუში A: 4 7 6 3 3 4

1. B ნიმუშისთვის გადაწყვიტეთ შემდეგი ამოცანები:
1. შეადგინეთ დაჯგუფებული ვარიაციების სერია;
2. ჰისტოგრამის და სიხშირეების მრავალკუთხედის აგება;
3. გამოთვალეთ ვარიაციული სერიის რიცხვითი მახასიათებლები:

ნიმუში საშუალო;

ნიმუშის ვარიაცია

· სტანდარტული გადახრა;

რეჟიმი და მედიანა;

ნიმუში B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

ვარიანტი 19.

1. ადგილზე მუშაობს 16 ქალი და 5 მამაკაცი. პერსონალის ნომრის მიხედვით შემთხვევითობის პრინციპით შეირჩა 3 ადამიანი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა შერჩეული ადამიანი მამაკაცია.

2. ოთხი მონეტა გადაყრილია. იპოვეთ ალბათობა, რომ მხოლოდ ორ მონეტას ექნება გერბი.

3. სიტყვა „ფსიქოლოგია“ შედგება ბარათებისგან, რომელთაგან თითოეულს თითო ასო აწერია. ბარათები ირევა და ამოღებულია სათითაოდ დაბრუნების გარეშე. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებული ასოები წარმოადგენენ სიტყვას: ა) ფსიქოლოგია; ბ) პერსონალი.

4. ურნა შეიცავს 6 შავ და 7 თეთრ ბურთულას. შემთხვევით გათამაშებულია 5 ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მათ შორის არის:

ა. 3 თეთრი ბურთი;

ბ. 3-ზე ნაკლები თეთრი ბურთი;

გ. მინიმუმ ერთი თეთრი ბურთი.

5. მოვლენის ალბათობა მაგრამერთ ტესტში არის 0.5. იპოვნეთ შემდეგი მოვლენების ალბათობა:

ა. ღონისძიება მაგრამგამოვა 3-ჯერ 5 დამოუკიდებელი ცდის სერიაში;

ბ. ღონისძიება მაგრამგამოჩნდება მინიმუმ 30 და არა უმეტეს 40 ჯერ 50 გამოწვევის სერიაში.

6. არის 100 ერთნაირი სიმძლავრის მანქანა, რომელიც მუშაობს ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად იმავე რეჟიმში, რომლებშიც მათი დისკი ჩართულია 0,8 სამუშაო საათის განმავლობაში. რა არის იმის ალბათობა, რომ ნებისმიერ დროს ჩართული იქნება 70-დან 86-მდე მანქანა?

7. პირველი ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 7 შავ ბურთულას, ხოლო მეორე ურნა შეიცავს 8 თეთრ და 3 შავ ბურთულას. პირველი ურნიდან შემთხვევით გამოყვანილია 4 ბურთი და მეორე ურნიდან 1 ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ გათამაშებულ ბურთებს შორის მხოლოდ 4 შავი ბურთია.

8. ავტოდილერს ყოველდღიურად მიეწოდება სამი მარკის ავტომობილი მოცულობით: მოსკვიჩი - 40%; "ოკა" - 20%; "ვოლგა" - ყველა იმპორტირებული მანქანების 40%. Moskvich-ის მარკის მანქანებს შორის 0,5%-ს აქვს ქურდობის საწინააღმდეგო მოწყობილობა, Oka-ს - 0,01%, ვოლგას - 0,1%. იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტირებისთვის მიღებულ მანქანას აქვს ქურდობის საწინააღმდეგო მოწყობილობა.

9. ნომრები და არჩეულია შემთხვევით სეგმენტზე. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს რიცხვები აკმაყოფილებენ უტოლობას.

10. მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X:

X
გვ	0,1	0,2	0,3	0,4

იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X; მნიშვნელობა ფ(2); შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xმიიღებს მნიშვნელობებს ინტერვალიდან. განაწილების მრავალკუთხედის აგება.

ამ გვერდზე ჩვენ შევიკრიბეთ საგანმანათლებლო გადაჭრის მაგალითები პრობლემები დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადებზე. ეს არის საკმაოდ ვრცელი განყოფილება: სხვადასხვა განაწილების კანონები (ბინომიური, გეომეტრიული, ჰიპერგეომეტრიული, პუასონი და სხვა), თვისებები და რიცხვითი მახასიათებლები შესწავლილია, გრაფიკული წარმოდგენები შეიძლება აშენდეს თითოეული განაწილების სერიისთვის: ალბათობების პოლიგონი (პოლიგონი), განაწილების ფუნქცია. .

ქვემოთ ნახავთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების შესახებ გადაწყვეტილებების მაგალითებს, რომლებშიც საჭიროა გამოიყენოს ცოდნა ალბათობის თეორიის წინა სექციებიდან განაწილების კანონის შესაქმნელად და შემდეგ გამოთვალოს მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია, სტანდარტული გადახრა, ააშენოს განაწილების ფუნქცია. , უპასუხეთ კითხვებს DSV-ის შესახებ და ა.შ. პ.

ალბათობის განაწილების პოპულარული კანონების მაგალითები:

კალკულატორები DSV-ის მახასიათებლებისთვის

• DSV-ის მათემატიკური მოლოდინის, დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის გამოთვლა.

მოგვარებული პრობლემები DSV-ის შესახებ

განაწილება გეომეტრიულთან ახლოს

დავალება 1.მანქანის გზაზე არის 4 შუქნიშანი, რომელთაგან თითოეული კრძალავს მანქანის შემდგომ მოძრაობას 0,5 ალბათობით. იპოვეთ ავტომობილის მიერ გავლილი შუქნიშნების რაოდენობის განაწილების რაოდენობა პირველ გაჩერებამდე. რა არის ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია?

დავალება 2.მონადირე ისვრის თამაშში პირველ დარტყმამდე, მაგრამ ახერხებს არაუმეტეს ოთხი გასროლის გაკეთებას. ჩაწერეთ განაწილების კანონი გაშვებების რაოდენობისთვის, თუ სამიზნის ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,7. იპოვეთ ამ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.

დავალება 3.მსროლელი, რომელსაც აქვს 3 ვაზნა, ისვრის სამიზნეს პირველ დარტყმამდე. პირველი, მეორე და მესამე გასროლის ალბათობა არის 0.6, 0.5, 0.4 შესაბამისად. ს.ვ. $\xi$ - დარჩენილი ვაზნების რაოდენობა. შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია, იპოვეთ r.v.-ის მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია, სტანდარტული გადახრა, ააგეთ r.v.-ის განაწილების ფუნქცია, იპოვეთ $P(|\xi-m| \le \sigma$).

დავალება 4.ყუთი შეიცავს 7 სტანდარტულ და 3 დეფექტურ ნაწილს. ნაწილები იღებენ თანმიმდევრობით, სანამ სტანდარტული არ გამოჩნდება, უკან დაბრუნების გარეშე. $\xi$ - ამოღებული დეფექტური ნაწილების რაოდენობა.
შეადგინეთ განაწილების კანონი დისკრეტული შემთხვევითი $\xi$ ცვლადისთვის, გამოთვალეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია, სტანდარტული გადახრა, დახაზეთ განაწილების პოლიგონი და განაწილების ფუნქციის გრაფიკი.

ამოცანები დამოუკიდებელი მოვლენებით

დავალება 5.ალბათობის თეორიაში ხელახალი გამოცდაზე 3 სტუდენტი მივიდა. პირველის გამოცდის ჩაბარების ალბათობა არის 0,8, მეორე - 0,7, მესამე - 0,9. იპოვეთ გამოცდა ჩაბარებული სტუდენტების შემთხვევითი $\xi$ ცვლადის განაწილების სერია, შექმენით განაწილების ფუნქციის გრაფიკი, იპოვეთ $M(\xi), D(\xi)$.

დავალება 6.მიზანში ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,8 და ყოველ გასროლაზე მცირდება 0,1-ით. შეადგინეთ სამიზნეზე დარტყმების რაოდენობის განაწილების კანონი, თუ სამი გასროლა მოხდა. იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და ს.კ.ო. ეს შემთხვევითი ცვლადი. დახაზეთ განაწილების ფუნქცია.

დავალება 7.მიზანში ისვრის 4 გასროლა. ამ შემთხვევაში დარტყმის ალბათობა იზრდება შემდეგნაირად: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. იპოვეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - დარტყმების რაოდენობა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ $X \ge 1$.

დავალება 8.გადაყრილია ორი სიმეტრიული მონეტა, დათვლილია გერბების რაოდენობა მონეტების ორივე ზედა მხარეს. ჩვენ განვიხილავთ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ - გერბების რაოდენობა ორივე მონეტაზე. ჩაწერეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, იპოვეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი.

DSV-ის განაწილების სხვა ამოცანები და კანონები

დავალება 9.ორი კალათბურთელი სამჯერ ურტყამს კალათას. პირველი კალათბურთელისთვის დარტყმის ალბათობა არის 0,6, მეორის - 0,7. დაე, $X$ იყოს სხვაობა პირველი და მეორე კალათბურთელთა წარმატებული სროლების რაოდენობას შორის. იპოვეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია, რეჟიმი და განაწილების ფუნქცია. ააგეთ განაწილების მრავალკუთხედი და დახაზეთ განაწილების ფუნქცია. გამოთვალეთ მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა. იპოვეთ მოვლენის ალბათობა $(-2 \lt X \le 1)$.

დავალება 10.არარეზიდენტი გემების რაოდენობა, რომლებიც ყოველდღიურად ჩამოდიან გარკვეულ პორტში ჩასატვირთად, არის შემთხვევითი ღირებულება $X$, რომელიც მოცემულია შემდეგნაირად:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
ა) დარწმუნდით, რომ განაწილების სერია დაყენებულია,
ბ) იპოვნეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია,
გ) თუ მოცემულ დღეს სამზე მეტი გემი ჩამოდის, პორტი იღებს პასუხისმგებლობას ხარჯებზე დამატებითი მძღოლების და მტვირთავების დაქირავების საჭიროების გამო. რა არის იმის ალბათობა, რომ პორტს დამატებითი ხარჯები დაეკისროს?
დ) იპოვეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა.

დავალება 11.ჩაყარეთ 4 კამათელი. იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი ქულების რაოდენობის ჯამისა, რომელიც დაეცემა ყველა სახეზე.

დავალება 12.ორი მოთამაშე რიგრიგობით აგდებს მონეტას გერბის პირველ გამოჩენამდე. მოთამაშე, რომლის გერბიც ჩამოვარდა, იღებს 1 რუბლს სხვა მოთამაშისგან. იპოვეთ თითოეული მოთამაშის ანაზღაურების მათემატიკური მოლოდინი.

როგორც ცნობილია, შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები შემთხვევის მიხედვით. შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით (X, Y, Z), ხოლო მათი მნიშვნელობები - შესაბამისი მცირე ასოებით (x, y, z). შემთხვევითი ცვლადები იყოფა წყვეტილ (დისკრეტულ) და უწყვეტად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს მხოლოდ სასრულ ან უსასრულო (დათვლადი) მნიშვნელობების სიმრავლეს გარკვეული არანულოვანი ალბათობით.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს მათ შესაბამის ალბათობებთან. განაწილების კანონი შეიძლება დაზუსტდეს ერთ-ერთი შემდეგი გზით.

1 . განაწილების კანონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილით:

სადაც λ>0, k = 0, 1, 2, ... .

in)მეშვეობით განაწილების ფუნქცია F(x) , რომელიც განსაზღვრავს თითოეული x მნიშვნელობისთვის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი X იღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას, ე.ი. F(x) = P(X< x).

F(x) ფუნქციის თვისებები

3 . განაწილების კანონი შეიძლება დაინიშნოს გრაფიკულად – განაწილების მრავალკუთხედი (მრავალკუთხედი) (იხ. ამოცანა 3).

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად არ არის აუცილებელი განაწილების კანონის ცოდნა. ზოგიერთ შემთხვევაში, საკმარისია იცოდეთ ერთი ან მეტი რიცხვი, რომელიც ასახავს განაწილების კანონის ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს. ეს შეიძლება იყოს რიცხვი, რომელსაც აქვს შემთხვევითი ცვლადის „საშუალო მნიშვნელობის“ მნიშვნელობა, ან რიცხვი, რომელიც აჩვენებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის საშუალო ზომას მისი საშუალო მნიშვნელობიდან. ამ ტიპის რიცხვებს ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები :

• მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის (საშუალო მნიშვნელობა). M(X)=Σ x i p i.
  ბინომური განაწილებისთვის M(X)=np, პუასონის განაწილებისთვის M(X)=λ
• დისპერსია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი D(X)=M2ან D(X) = M(X 2) - 2. განსხვავება X–M(X) ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის გადახრას მისი მათემატიკური მოლოდინიდან.
  ბინომური განაწილებისთვის D(X)=npq, პუასონის განაწილებისთვის D(X)=λ
• Სტანდარტული გადახრა (სტანდარტული გადახრა) σ(X)=√D(X).

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე "დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი"

დავალება 1.

გაიცა 1000 ლატარიის ბილეთი: მათგან 5 მოიგებს 500 რუბლს, 10 მოიგებს 100 რუბლს, 20 მოიგებს 50 რუბლს და 50 მოიგებს 10 რუბლს. დაადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი - მოგება ბილეთზე.

გადაწყვეტილება. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია X შემთხვევითი ცვლადის შემდეგი მნიშვნელობები: 0, 10, 50, 100 და 500.

მოგების გარეშე ბილეთების რაოდენობაა 1000 - (5+10+20+50) = 915, შემდეგ P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა სხვა ალბათობას: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. წარმოგიდგენთ მიღებულ კანონს ცხრილის სახით:

იპოვეთ X-ის მათემატიკური მოლოდინი: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

დავალება 3.

მოწყობილობა შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. ერთ ექსპერიმენტში თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა არის 0,1. შეადგინეთ განაწილების კანონი ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის, შექმენით განაწილების პოლიგონი. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) და დახაზეთ იგი. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

გადაწყვეტილება. 1. დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს X=(ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა) აქვს შემდეგი შესაძლო მნიშვნელობები: x 1 =0 (მოწყობილობის არცერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 2 =1 (ერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 3 =2 ( ორი ელემენტი ვერ მოხერხდა ) და x 4 \u003d 3 (სამი ელემენტი ვერ მოხერხდა).

ელემენტების გაუმართაობა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია, თითოეული ელემენტის გაუმართაობის ალბათობა ერთმანეთის ტოლია, შესაბამისად, იგი გამოიყენება ბერნულის ფორმულა . იმის გათვალისწინებით, რომ პირობით, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობების ალბათობებს:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
შეამოწმეთ: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

ამრიგად, სასურველ ბინომიალური განაწილების კანონს X აქვს ფორმა:

აბსცისის ღერძზე გამოვსახავთ შესაძლო მნიშვნელობებს x i, ხოლო ორდინატთა ღერძზე შესაბამის ალბათობებს р i. ავაშენოთ წერტილები M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). ამ წერტილების ხაზის სეგმენტებთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიღებთ სასურველ განაწილების მრავალკუთხედს.

3. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) = P(X

x ≤ 0-ისთვის გვაქვს F(x) = P(X<0) = 0;
0-ისთვის< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ისთვის< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ისთვის< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3-ისთვის იქნება F(x) = 1, რადგან მოვლენა გარკვეულია.

F(x) ფუნქციის გრაფიკი

4. ბინომალური X განაწილებისთვის:
- მათემატიკური მოლოდინი М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- დისპერსია D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- სტანდარტული გადახრა σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.