ពិចារណាសមីការ x 2 = 4. ដោះស្រាយវាតាមក្រាហ្វិក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយយើងសាងសង់ប៉ារ៉ាបូឡា y = x 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 4 (រូបភាព 74) ។ ពួកគេប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ A (- 2; 4) និង B (2; 4) ។ abscissas នៃចំនុច A និង B គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = 4 ។ ដូច្នេះ x 1 = − 2, x 2 = 2 ។

ការវែកញែកតាមវិធីដូចគ្នានេះ យើងរកឃើញឫសនៃសមីការ x 2 = 9 (សូមមើលរូប 74): x 1 = − 3, x 2 = 3 ។

ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​សមីការ x 2 = 5; រូបភាពធរណីមាត្រត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។ 75. វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការនេះមានឫសពីរ x 1 និង x 2 ហើយលេខទាំងនេះដូចនៅក្នុងករណីមុនពីរគឺស្មើគ្នាក្នុងតម្លៃដាច់ខាត និងផ្ទុយគ្នាក្នុងសញ្ញា (x 1 - - x 2) - ប៉ុន្តែមិនដូចលេខមុន ករណីដែលឫសនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយគ្មានការលំបាក (ហើយពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញដោយមិនប្រើក្រាហ្វ) ជាមួយនឹងសមីការ x 2 = 5 នេះមិនមែនជាករណីទេ៖ យោងតាមគំនូរយើងមិនអាចបង្ហាញពីតម្លៃនៃ ឫស យើង​អាច​បញ្ជាក់​បាន​ថា ឫស​មួយ​មាន​ទីតាំង​បន្តិច​ទៅ​ខាង​ឆ្វេង​មាន ២ ចំណុច ហើយ​ឫស​ទីពីរ​នៅ​ខាង​ស្ដាំ​បន្តិច។

ពិន្ទុ 2 ។

តើលេខនេះ (ចំនុច) ស្ថិតនៅខាងស្ដាំនៃចំនុចទី 2 ហើយតើលេខមួយណានៅពេលការ៉េផ្តល់ 5? វាច្បាស់ណាស់ថានេះមិនមែនជា 3 ទេ ចាប់តាំងពី 3 2 = 9 ពោលគឺវាប្រែជាច្រើនជាងតម្រូវការ (9> 5)។

នេះមានន័យថាលេខដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺស្ថិតនៅចន្លោះលេខ 2 និង 3។ ប៉ុន្តែរវាងលេខ 2 និង 3 មានលេខសនិទានគ្មានកំណត់ ជាឧទាហរណ៍ ល. ប្រហែលជាក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមានប្រភាគដូចជា ? បន្ទាប់មក យើងនឹងមិនមានបញ្ហាជាមួយសមីការ x 2 - 5 ទេ យើងអាចសរសេរវាបាន

ប៉ុន្តែនៅទីនេះការភ្ញាក់ផ្អើលមិនល្អកំពុងរង់ចាំយើង។ វាប្រែថាមិនមានប្រភាគដែលសមភាពទទួលបាននោះទេ។
ភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានបញ្ជាក់គឺពិបាកណាស់។ យ៉ាង​ណា​មិញ យើង​បង្ហាញ​វា​ដោយ​សារ​វា​មាន​ភាព​ស្រស់​ស្អាត និង​មាន​ការ​ណែនាំ ហើយ​វា​មាន​ប្រយោជន៍​ខ្លាំង​ណាស់​ក្នុង​ការ​ព្យាយាម​ស្វែង​យល់​ពី​វា។

ចូរយើងសន្មត់ថាមានប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ដែលសមភាពមាន។ បន្ទាប់មក ឧ. m 2 = 5n 2 ។ សមភាពចុងក្រោយមានន័យថាលេខធម្មជាតិ m 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់ (នៅក្នុងកូតាវានឹងជា n2) ។

ដូច្នេះលេខ m 2 បញ្ចប់ដោយលេខ 5 ឬលេខ 0។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកលេខធម្មជាតិ m ក៏បញ្ចប់ដោយលេខ 5 ឬលេខ 0 ពោលគឺឧ។ លេខ m ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់។ ម៉្យាងទៀតប្រសិនបើលេខ m ត្រូវបានចែកនឹង 5 នោះកូតានឹងផ្តល់លទ្ធផលជាលេខធម្មជាតិ k ។ នេះ​មានន័យថា,
នោះ m = 5k ។
ឥឡូវនេះមើល៖
m 2 = 5n 2 ;
ចូរជំនួស 5k ជំនួសឱ្យ m ក្នុងសមភាពទីមួយ៖

(5k) 2 = 5n 2, i.e. 25k 2 = 5n 2 ឬ n 2 = 5k 2 ។
សមភាពចុងក្រោយមានន័យថាលេខ។ 5n 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់។ ហេតុផលដូចខាងលើ យើងសន្និដ្ឋានថាលេខ n ក៏បែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់។
ដូច្នេះ m ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5, n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដែលមានន័យថាប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ (ដោយ 5) ។ ប៉ុន្តែយើងសន្មត់ថាប្រភាគមិនអាចកាត់ថ្លៃបានទេ។ តើ​មាន​រឿង​អ្វី​កើតឡើង? ហេតុអីបានហេតុផលត្រឹមត្រូវ ពួកយើងមករករឿងមិនសមហេតុសមផល ឬដូចអ្នកគណិតវិទូច្រើនតែនិយាយថា យើងមានភាពផ្ទុយគ្នា!
ដូច្នេះយើងសន្និដ្ឋាន: មិនមានប្រភាគបែបនេះទេ។
វិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាងដែលយើងទើបតែបានប្រើត្រូវបានគេហៅថានៅក្នុងគណិតវិទ្យាថាវិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាងដោយការផ្ទុយ។ ខ្លឹមសាររបស់វាគឺដូចខាងក្រោម។ យើងត្រូវបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយ ហើយយើងសន្មត់ថាវាមិនជាប់ (គណិតវិទូនិយាយថា "សន្មតថាផ្ទុយ" - មិនមែនក្នុងន័យនៃ "មិនរីករាយ" ប៉ុន្តែនៅក្នុងន័យនៃ "ផ្ទុយពីអ្វីដែលត្រូវបានទាមទារ") ។
ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃហេតុផលត្រឹមត្រូវ យើងមកផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ នោះយើងសន្និដ្ឋាន៖ ការសន្មត់របស់យើងមិនពិត មានន័យថាអ្វីដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់គឺជាការពិត។

ដូច្នេះមានតែលេខសនិទានទេ (ហើយយើងមិនទាន់ដឹងលេខផ្សេងទៀតទេ) យើងមិនអាចដោះស្រាយសមីការ x 2 = 5 បានទេ។
ដោយបានជួបប្រទះស្ថានភាពបែបនេះជាលើកដំបូង គណិតវិទូបានដឹងថាពួកគេត្រូវតែបង្កើតវិធីដើម្បីពិពណ៌នាវាជាភាសាគណិតវិទ្យា។ ពួកគេបានណែនាំនិមិត្តសញ្ញាថ្មី ដែលពួកគេហៅថា ឫសការ៉េ ហើយដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញានេះ ឫសនៃសមីការ x 2 = 5 ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

វាអានថា "ឫសការ៉េនៃ 5") ឥឡូវនេះសម្រាប់សមីការណាមួយនៃទម្រង់ x 2 = a ដែល a > O អ្នកអាចរកឃើញឫស - ពួកគេគឺជាលេខ។ , (រូបភព 76) ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ផងដែរថាចំនួនមិនមែនជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគទេ។
នេះមានន័យថាវាមិនមែនជាលេខសមហេតុផលទេ វាគឺជាចំនួននៃធម្មជាតិថ្មី យើងនឹងនិយាយជាពិសេសអំពីលេខបែបនេះនៅពេលក្រោយនៅក្នុងជំពូកទី 5 ។
សម្រាប់ពេលនេះ យើងគ្រាន់តែចំណាំថា លេខថ្មីគឺនៅចន្លោះលេខ 2 និង 3 ចាប់តាំងពី 2 2 = 4 ដែលតិចជាង 5; 3 2 = 9 ហើយនេះគឺច្រើនជាង 5។ អ្នកអាចបញ្ជាក់៖

តាមពិត 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. អ្នកក៏អាច
បញ្ជាក់៖

ពិត 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
នៅក្នុងការអនុវត្ត ជាធម្មតាគេជឿថាចំនួនគឺស្មើនឹង 2.23 ឬវាស្មើនឹង 2.24 មានតែនេះមិនមែនជាសមភាពធម្មតាទេ ប៉ុន្តែជាសមភាពប្រហាក់ប្រហែលដែលតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា "" ។
ដូច្នេះ

នៅពេលពិភាក្សាអំពីដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x 2 = a យើងបានជួបប្រទះស្ថានភាពធម្មតានៃកិច្ចការសម្រាប់គណិតវិទ្យា។ ការរកឃើញខ្លួនឯងនៅក្នុងស្ថានភាពមិនស្តង់ដារ មិនប្រក្រតី (ដូចដែលអវកាសយានិកចូលចិត្តនិយាយ) និងមិនស្វែងរកផ្លូវចេញពីវាដោយប្រើមធ្យោបាយដែលគេស្គាល់ គណិតវិទូចេញមកជាមួយនឹងពាក្យថ្មី និងការរចនាថ្មី (និមិត្តសញ្ញាថ្មី) សម្រាប់គំរូគណិតវិទ្យាដែលពួកគេ ជួបដំបូង; ម្យ៉ាងវិញទៀត ពួកគេណែនាំគំនិតថ្មី ហើយបន្ទាប់មកសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរឿងនេះ
គំនិត។ ដូច្នេះ គំនិតថ្មី និងការកំណត់របស់វាក្លាយជាកម្មសិទ្ធនៃភាសាគណិតវិទ្យា។ យើងធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នា៖ យើងបានណែនាំពាក្យ "ឫសការ៉េនៃលេខ a" ណែនាំនិមិត្តសញ្ញាដើម្បីកំណត់វា ហើយបន្តិចទៀតយើងនឹងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគំនិតថ្មី។ មកដល់ពេលនេះ យើងដឹងតែរឿងមួយប៉ុណ្ណោះ៖ ប្រសិនបើ a > 0,
បន្ទាប់មកគឺជាចំនួនវិជ្ជមានដែលបំពេញសមីការ x 2 = a ។ ម៉្យាងទៀត វាជាចំនួនវិជ្ជមានដែលនៅពេលការ៉េបង្កើតលេខ a ។
ដោយសារសមីការ x 2 = 0 មានឫស x = 0 យើងបានយល់ព្រមសន្មតថា
ឥឡូវនេះយើងត្រៀមខ្លួនជាស្រេចដើម្បីផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹង។
និយមន័យ។ ឫស​ការេ​នៃ​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន a គឺជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​ការេ​ស្មើ​នឹង a ។

លេខនេះត្រូវបានតាងដោយលេខ ហើយត្រូវបានគេហៅថាលេខរ៉ាឌីកាល់។
ដូច្នេះ ប្រសិនបើ a ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន នោះ៖

ប្រសិនបើ ក< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
ដូច្នេះ កន្សោមមានន័យសម្រាប់តែ a > 0 ប៉ុណ្ណោះ។
ពួកគេនិយាយថា - គំរូគណិតវិទ្យាដូចគ្នា (ទំនាក់ទំនងដូចគ្នារវាងលេខមិនអវិជ្ជមាន
(a និង b) ប៉ុន្តែមានតែអក្សរទីពីរប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានពិពណ៌នាជាភាសាសាមញ្ញជាងទីមួយ (ប្រើនិមិត្តសញ្ញាសាមញ្ញជាង)។

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកឬសការេនៃចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថាការឬសការ៉េ។ ប្រតិបត្តិការនេះគឺជាការបញ្ច្រាសនៃការការ៉េ។ ប្រៀបធៀប៖

សូមចំណាំម្តងទៀតថាមានតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះដែលបង្ហាញក្នុងតារាង ដូចដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងនិយមន័យនៃឫសការ៉េ។ ហើយទោះបីជាឧទាហរណ៍ (- 5) 2 = 25 គឺជាសមភាពពិតក៏ដោយ ចូរចេញពីវាទៅជាសញ្ញាណដោយប្រើឫសការ៉េ (ឧ. សរសេរនោះ។)
វាត្រូវបានហាមឃាត់។ អា-priory, ។ គឺជាលេខវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថា .
ជារឿយៗពួកគេនិយាយថាមិនមែន "ឫសការ៉េ" ប៉ុន្តែ "ឫសការ៉េនព្វន្ធ" ។ យើងលុបចោលពាក្យ "នព្វន្ធ" សម្រាប់ភាពសង្ខេប។

ឃ) មិនដូចឧទាហរណ៍ពីមុនទេ យើងមិនអាចបង្ហាញតម្លៃពិតប្រាកដនៃលេខបានទេ។ វាច្បាស់ណាស់ថាវាធំជាង 4 ប៉ុន្តែតិចជាង 5 ចាប់តាំងពី

4 2 = 16 (នេះតិចជាង 17) និង 5 2 = 25 (នេះគឺច្រើនជាង 17)។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃលេខអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើមីក្រូគណនាដែលមានប្រតិបត្តិការនៃការស្រង់ចេញឫសការ៉េ។ តម្លៃនេះគឺ 4.123 ។
ដូច្នេះ
លេខដូចជាលេខដែលបានពិភាក្សាខាងលើ គឺមិនសមហេតុផលទេ។
ង) វាមិនអាចគណនាបានទេ ដោយសារឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនមាន។ ការចូលគឺគ្មានន័យទេ។ កិច្ចការដែលបានស្នើគឺមិនត្រឹមត្រូវទេ។
e) ចាប់តាំងពី 31 > 0 និង 31 2 = 961។ ក្នុងករណីបែបនេះ អ្នកត្រូវប្រើតារាងនៃចំនួនធម្មជាតិ ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខតូច។
g) ចាប់តាំងពី 75 > 0 និង 75 2 = 5625 ។
ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត តម្លៃនៃឫសការ៉េត្រូវបានគណនាភ្លាមៗ៖ ល ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្នកមិនមានតុ ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅនឹងដៃ? ចូរយើងឆ្លើយសំណួរនេះដោយដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ២.គណនា
ដំណោះស្រាយ។
ដំណាក់កាលដំបូង។វាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាចម្លើយនឹងមានចំនួន 50 ជាមួយនឹងកន្ទុយ។ តាមពិត 50 2 = 2500 និង 60 2 = 3600 ខណៈពេលដែលលេខ 2809 ស្ថិតនៅចន្លោះលេខ 2500 និង 3600។

ដំណាក់កាលទីពីរ។ចូរយើងស្វែងរក "កន្ទុយ", i.e. ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខដែលចង់បាន។ រហូតមកដល់ពេលនេះយើងដឹងថាប្រសិនបើយកឬសនោះចម្លើយអាចជា 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ឬ 59 ។ យើងគ្រាន់តែពិនិត្យមើលលេខពីរគឺ 53 និង 57 ព្រោះមានតែពួកគេប៉ុណ្ណោះ។ នៅពេលការ៉េនឹងផ្តល់លទ្ធផលជាលេខបួនខ្ទង់ដែលបញ្ចប់ដោយ 9 ដែលជាលេខដូចគ្នាដែលបញ្ចប់ដោយ 2809 ។
យើងមាន 532 = 2809 - នេះគឺជាអ្វីដែលយើងត្រូវការ (យើងមានសំណាង យើងបានបុកភ្នែកគោភ្លាមៗ)។ ដូច្នេះ = 53 ។
ចម្លើយ៖

53
ឧទាហរណ៍ ៣.ជ្រុងនៃត្រីកោណកែងគឺ 1 សង់ទីម៉ែត្រ និង 2 សង់ទីម៉ែត្រ តើអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណគឺជាអ្វី? (រូបភាព ៧៧)

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ដែលស្គាល់ពីធរណីមាត្រ៖ ផលបូកនៃការ៉េនៃប្រវែងជើងនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងការេនៃប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់វា ពោលគឺ a 2 + b 2 = c 2 ដែល a , b គឺជាជើង, c គឺជាអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំ។

មានន័យថា

ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញថា ការណែនាំនៃឫសការ៉េមិនមែនជាការចង់បានរបស់គណិតវិទូទេ ប៉ុន្តែជាតម្រូវការគោលបំណង៖ ក្នុងជីវិតពិត មានស្ថានភាពដែលគំរូគណិតវិទ្យាមានប្រតិបត្តិការនៃការទាញយកឫសការ៉េ។ ប្រហែលជាសំខាន់បំផុតនៃស្ថានភាពទាំងនេះទាក់ទងនឹង
ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ រហូតមកដល់ពេលនេះ នៅពេលជួបសមីការបួនជ្រុង ax 2 + bx + c = 0 យើងបានកំណត់ផ្នែកខាងឆ្វេង (ដែលមិនតែងតែដំណើរការ) ឬប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក (ដែលមិនគួរឱ្យទុកចិត្តបំផុត ទោះបីជាស្រស់ស្អាតក៏ដោយ) ។ ជាការពិតដើម្បីស្វែងរក
ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការ quadratic ax 2 + bx + c = 0 ក្នុងរូបមន្តគណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើប្រាស់

ដែលមាន, ដូចដែលអាចមើលឃើញ, សញ្ញាឫសការ៉េ រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្តដូចខាងក្រោម។ ជាឧទាហរណ៍ យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ 2x 2 + bx − 7 = 0. នៅទីនេះ a = 2, b = 5, c = − 7 ។
b2 − 4ac = 5 2 − 4 . ២. (-7) = 81. បន្ទាប់យើងរកឃើញ . មានន័យថា

យើងបានកត់សម្គាល់ខាងលើ នោះមិនមែនជាចំនួនសមហេតុផលទេ។
គណិតវិទូហៅលេខបែបនេះមិនសមហេតុផល។ លេខណាមួយនៃទម្រង់គឺមិនសមហេតុផល ប្រសិនបើឫសការ៉េមិនអាចយកបាន។ ឧទាហរណ៍, ល។ - លេខមិនសមហេតុផល។ នៅក្នុងជំពូកទី 5 យើងនឹងនិយាយបន្ថែមអំពីចំនួនសមហេតុសមផល និងអសមហេតុផល។ លេខសនិទានភាព និងលេខមិនសមហេតុផលរួមគ្នាបង្កើតជាសំណុំនៃចំនួនពិត ពោលគឺឧ។ សំណុំនៃលេខទាំងអស់ដែលយើងដំណើរការក្នុងជីវិតពិត (ជាការពិត
ness) ឧទាហរណ៍ ទាំងនេះគឺជាចំនួនពិតទាំងអស់។
ដូចដែលយើងកំណត់គោលគំនិតនៃឫសការ៉េខាងលើ យើងក៏អាចកំណត់គោលគំនិតនៃឫសគូបបានដែរ៖ ឫសគូបនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន a គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលគូបស្មើនឹង a ។ ម៉្យាងទៀត សមភាព មានន័យថា b 3 = a ។

យើងនឹងសិក្សាទាំងអស់នេះនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី១១។

គោលគំនិតនៃឫសការ៉េនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន

ពិចារណាសមីការ x2 = 4. ដោះស្រាយវាតាមក្រាហ្វិក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធមួយ។ កូអរដោនេចូរសង់ប៉ារ៉ាបូឡា y = x2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 4 (រូបភាព 74) ។ ពួកគេប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ A (- 2; 4) និង B (2; 4) ។ abscissas នៃចំនុច A និង B គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x2 = 4 ។ ដូច្នេះ x1 = − 2, x2 = 2 ។

ការវែកញែកតាមវិធីដូចគ្នានេះ យើងរកឃើញឫសនៃសមីការ x2 = 9 (សូមមើលរូប 74): x1 = − 3, x2 = 3 ។

ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​សមីការ x2 = 5; រូបភាពធរណីមាត្រត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។ 75. វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការនេះមានឫសពីរ x1 និង x2 ហើយលេខទាំងនេះដូចនៅក្នុងករណីមុនពីរគឺស្មើគ្នាក្នុងតម្លៃដាច់ខាត និងផ្ទុយគ្នាក្នុងសញ្ញា (x1 - - x2) - ប៉ុន្តែមិនដូចករណីមុនទេ ដែល ឫសនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយគ្មានការលំបាក (ហើយពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញដោយមិនប្រើក្រាហ្វ) នេះមិនមែនជាករណីជាមួយសមីការ x2 = 5 ទេ: ពីគំនូរយើងមិនអាចបង្ហាញពីតម្លៃនៃឫសទេយើងអាចកំណត់ថា មួយ។ ឫសមានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងនៃចំណុច - 2 ហើយទីពីរមានទីតាំងនៅខាងស្តាំចំណុច 2 បន្តិច។

ប៉ុន្តែនៅទីនេះការភ្ញាក់ផ្អើលមិនល្អកំពុងរង់ចាំយើង។ វាប្រែថាមិនមានរឿងបែបនេះទេ។ ប្រភាគ DIV_ADBLOCK32">

ឧបមាថាមានប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ដែលសមភាពមាន https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}ឧ. m2 = 5n2 ។ សមភាពចុងក្រោយមានន័យថា លេខធម្មជាតិ m2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់ (នៅក្នុងកូតាវាក្លាយជា n2) ។

ដូច្នេះ លេខ m2 បញ្ចប់ដោយលេខ 5 ឬលេខ 0។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកលេខធម្មជាតិ m ក៏បញ្ចប់ដោយលេខ 5 ឬលេខ 0 ពោលគឺលេខ m ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់។ ម៉្យាងទៀតប្រសិនបើលេខ m ត្រូវបានចែកនឹង 5 នោះកូតានឹងផ្តល់លទ្ធផលជាលេខធម្មជាតិ k ។ នេះមានន័យថា m = 5k ។

ឥឡូវនេះមើល៖

ចូរជំនួស 5k ជំនួសឱ្យ m ក្នុងសមភាពទីមួយ៖

(5k)2 = 5n2, ឧ. 25k2 = 5n2 ឬ n2 = 5k2 ។

សមភាពចុងក្រោយមានន័យថាលេខ។ 5n2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់។ ហេតុផលដូចខាងលើ យើងសន្និដ្ឋានថាលេខ n ក៏បែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មាន នៅសល់.

ដូច្នេះ m ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5, n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដែលមានន័យថាប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ (ដោយ 5) ។ ប៉ុន្តែយើងសន្មត់ថាប្រភាគមិនអាចកាត់ថ្លៃបានទេ។ តើ​មាន​រឿង​អ្វី​កើតឡើង? ហេតុអីបានហេតុផលត្រឹមត្រូវ ពួកយើងមករករឿងមិនសមហេតុសមផល ឬដូចអ្នកគណិតវិទូច្រើនតែនិយាយថា យើងមានភាពផ្ទុយគ្នា! ).

ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃហេតុផលត្រឹមត្រូវ យើងមកផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ នោះយើងសន្និដ្ឋាន៖ ការសន្មត់របស់យើងមិនពិត មានន័យថាអ្វីដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់គឺជាការពិត។

ដូច្នេះមានតែ លេខសមហេតុផល(ហើយយើងមិនទាន់ដឹងលេខផ្សេងទៀតទេ) យើងនឹងមិនអាចដោះស្រាយសមីការ x2 = 5 បានទេ។

ដោយបានជួបប្រទះស្ថានភាពបែបនេះជាលើកដំបូង គណិតវិទូបានដឹងថាពួកគេត្រូវតែបង្កើតវិធីដើម្បីពិពណ៌នាវាជាភាសាគណិតវិទ្យា។ ពួកគេបានណែនាំនិមិត្តសញ្ញាថ្មីមួយដែលពួកគេហៅថាឫសការ៉េ ហើយដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញានេះឫសនៃសមីការ x2 = 5 ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ ) ឥឡូវនេះសម្រាប់សមីការណាមួយនៃទម្រង់ x2 = a ដែល a > O អ្នកអាចរកឃើញឫស - ពួកគេគឺជាលេខhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}ទាំងទាំងមូល ឬមួយប្រភាគ។
នេះមានន័យថាវាមិនមែនជាលេខសមហេតុផលទេ វាគឺជាចំនួននៃធម្មជាតិថ្មី យើងនឹងនិយាយជាពិសេសអំពីលេខបែបនេះនៅពេលក្រោយនៅក្នុងជំពូកទី 5 ។
សម្រាប់ពេលនេះ យើងគ្រាន់តែចំណាំថាលេខថ្មីគឺនៅចន្លោះលេខ 2 និង 3 ចាប់តាំងពី 22 = 4 ដែលតិចជាង 5; Z2 = 9 ហើយនេះគឺច្រើនជាង 5។ អ្នកអាចបញ្ជាក់៖

សូមចំណាំម្តងទៀតថាមានតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះដែលបង្ហាញក្នុងតារាង ដូចដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងនិយមន័យនៃឫសការ៉េ។ ហើយទោះបីជាឧទាហរណ៍ = 25 គឺជាសមភាពពិតក៏ដោយ ចូរចេញពីវាទៅជាសញ្ញាសម្គាល់ដោយប្រើឫសការ៉េ (ឧទាហរណ៍សរសេរនោះ។ .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}គឺជាលេខវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថា https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. វាច្បាស់ណាស់ថាវាធំជាង 4 ប៉ុន្តែតិចជាង 5 ចាប់តាំងពី 42 = 16 (នេះតិចជាង 17) និង 52 = 25 (នេះគឺច្រើនជាង 17)។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃលេខអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើ ម៉ាស៊ីនគិតលេខខ្នាតតូចដែលមានប្រតិបត្តិការឫសការ៉េ; តម្លៃនេះគឺ 4.123 ។

លេខដូចជាលេខដែលបានពិភាក្សាខាងលើ គឺមិនសមហេតុផលទេ។
ង) វាមិនអាចគណនាបានទេ ដោយសារឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនមាន។ ការចូលគឺគ្មានន័យទេ។ កិច្ចការដែលបានស្នើគឺមិនត្រឹមត្រូវទេ។
ង) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="កិច្ចការ" width="80" height="33 id=">!}ចាប់តាំងពី 75 > 0 និង 752 = 5625 ។

ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត តម្លៃនៃឫសការ៉េត្រូវបានគណនាភ្លាមៗ៖

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="កិច្ចការ" width="65" height="42 id=">!}
ដំណោះស្រាយ។
ដំណាក់កាលដំបូង។វាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាចម្លើយនឹងមានចំនួន 50 ជាមួយនឹងកន្ទុយ។ តាមពិត 502 = 2500 និង 602 = 3600 ខណៈពេលដែលលេខ 2809 ស្ថិតនៅចន្លោះលេខ 2500 និង 3600។

ផ្ទៃដីទំហំ 81 dm²។ ស្វែងរកភាគីរបស់គាត់។ ឧបមាថាប្រវែងចំហៀងនៃការ៉េគឺ X decimeters ។ បន្ទាប់មកតំបន់នៃគ្រោងគឺ X² decimeter ការ៉េ។ ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌតំបន់នេះស្មើនឹង 81 dm² បន្ទាប់មក X² = 81. ប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងនៃការ៉េគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ លេខវិជ្ជមានដែលការ៉េគឺ 81 គឺជាលេខ 9 ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា ចាំបាច់ត្រូវរកលេខ x ដែលការេគឺ 81 ពោលគឺដោះស្រាយសមីការ។ X² = 81. សមីការនេះមានឫសពីរ៖ x 1 = 9 និង x 2 = − 9 ចាប់តាំងពី 9² = 81 និង (- 9)² = 81 ។ លេខទាំងពីរ 9 និង − 9 ត្រូវបានគេហៅថាឫសការ៉េនៃ 81 ។

ចំណាំថាមួយនៃឫសការ៉េ X= 9 គឺជាលេខវិជ្ជមាន។ វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ឫស​ការេ​នព្វន្ធ​នៃ 81 និង​ត្រូវ​បាន​តំណាង √81 ដូច្នេះ √81 = 9 ។

ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃចំនួនមួយ។ កគឺ​ជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​ការ៉េ​ស្មើ ក.

ឧទាហរណ៍ លេខ 6 និង - 6 គឺជាឫសការេនៃលេខ 36។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លេខ 6 គឺជាឫសការ៉េនព្វន្ធនៃ 36 ដោយហេតុថា 6 ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន និង 6² = 36។ លេខ - 6 មិនមែនជាលេខ ឫសនព្វន្ធ។

ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃចំនួនមួយ។ កសម្គាល់ដូចខាងក្រោមៈ √ ក.

សញ្ញា​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​នព្វន្ធ​សញ្ញា​ឫស​ការ៉េ; ក- ហៅថាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ កន្សោម √ កអាន ដូច​នេះ៖ នព្វន្ធ​ឫស​ការ៉េ​នៃ​ចំនួន​មួយ។ ក.ឧទាហរណ៍ √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7 ។ ក្នុងករណីដែលវាច្បាស់ថាយើងកំពុងនិយាយអំពីឫសនព្វន្ធ ពួកគេនិយាយយ៉ាងខ្លីថា “ឫសការ៉េនៃ ក«.

សកម្មភាពនៃការស្វែងរកឫសការ៉េនៃចំនួនមួយត្រូវបានគេហៅថា ឫសការ៉េ។ សកម្មភាពនេះគឺជាការបញ្ច្រាសនៃការការ៉េ។

អ្នក​អាច​ការ៉េ​លេខ​ណា​មួយ ប៉ុន្តែ​អ្នក​មិន​អាច​ដក​ឫស​ការ៉េ​ចេញ​ពី​លេខ​ណា​មួយ​បាន​ទេ។ ឧទាហរណ៍ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្រង់ចេញឫសការ៉េនៃលេខ - 4. ប្រសិនបើមានឫសគល់បែបនេះ នោះមានន័យថាវាដោយអក្សរ។ Xយើងនឹងទទួលបានសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ x² = - 4 ព្រោះមានលេខមិនអវិជ្ជមាននៅខាងឆ្វេង និងលេខអវិជ្ជមាននៅខាងស្តាំ។

កន្សោម √ កធ្វើឱ្យយល់បានតែនៅពេលដែល a ≥ 0. និយមន័យនៃឫសការ៉េអាចសរសេរដោយសង្ខេបដូចជា៖ √ a ≥ 0, (√ក)² = ក. សមភាព (√ ក)² = កមានសុពលភាពសម្រាប់ a ≥ 0. ដូច្នេះដើម្បីធានាថាឫសការ៉េនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន កស្មើ ខ, i.e. នៅក្នុងការពិតដែលថា √ ក =ខអ្នកត្រូវពិនិត្យមើលថាលក្ខខណ្ឌទាំងពីរខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ b ≥ 0, ខ² = ក.

ឫសការ៉េនៃប្រភាគ

ចូរយើងគណនា។ ចំណាំថា √25 = 5, √36 = 6 ហើយយើងពិនិត្យមើលថាតើសមភាពមានឬអត់។

ដោយសារតែ ហើយបន្ទាប់មកសមភាពគឺជាការពិត។ ដូច្នេះ .

ទ្រឹស្តីបទ៖ប្រសិនបើ ក≥ 0 និង ខ> 0 នោះគឺឫសនៃប្រភាគស្មើនឹងឫសនៃភាគយកដែលបែងចែកដោយឫសនៃភាគបែង។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ថា: និង .

ចាប់តាំងពី √ ក≥0 និង √ ខ> 0 បន្ទាប់មក។

នៅលើទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបង្កើនប្រភាគទៅជាអំណាចមួយ និងនិយមន័យនៃឫសការ៉េមួយ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

គណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទបង្ហាញ .

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ បញ្ជាក់ , ប្រសិនបើ ក ≤ 0, ខ < 0. .

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ គណនា។

.

ការបំប្លែងឫសការ៉េ

ការដកមេគុណចេញពីក្រោមសញ្ញាឫស។ សូមឱ្យការបញ្ចេញមតិត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើ ក≥ 0 និង ខ≥ 0 បន្ទាប់មកដោយប្រើទ្រឹស្តីបទឫសផលិតផលយើងអាចសរសេរ៖

ការផ្លាស់ប្តូរនេះត្រូវបានគេហៅថាការដកកត្តាចេញពីសញ្ញាឫស។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ;

គណនានៅ X= 2. ការជំនួសដោយផ្ទាល់ X= 2 នៅក្នុងកន្សោមរ៉ាឌីកាល់នាំឱ្យមានការគណនាស្មុគស្មាញ។ ការគណនាទាំងនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ប្រសិនបើអ្នកដកកត្តាចេញពីក្រោមសញ្ញាឫសគល់ជាមុនសិន៖ . ឥឡូវជំនួស x = 2 យើងទទួលបាន: ។

ដូច្នេះនៅពេលដកកត្តាចេញពីក្រោមសញ្ញាឫស កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលដែលកត្តាមួយឬច្រើនជាការ៉េនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកអនុវត្តទ្រឹស្តីបទឫសផលិតផល និងយកឫសនៃកត្តានីមួយៗ។ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម A = √8 + √18 − 4√2 ដោយយកកត្តាក្នុងពាក្យពីរដំបូងពីក្រោមសញ្ញាឫស យើងទទួលបាន : ។ ចូរយើងសង្កត់ធ្ងន់លើសមភាពនោះ។ មានសុពលភាពតែនៅពេល ក≥ 0 និង ខ≥ 0. ប្រសិនបើ ក < 0, то .

ខ្ញុំបានមើលផ្លាកសញ្ញាម្តងទៀត... ហើយតោះទៅ!

តោះចាប់ផ្តើមជាមួយអ្វីដែលសាមញ្ញ៖

ត្រឹមតែ​មួយ​នាទី។ នេះមានន័យថាយើងអាចសរសេរវាដូចនេះ៖

យល់ទេ? នេះជាកម្មវិធីបន្ទាប់សម្រាប់អ្នក៖

តើឫសនៃលេខលទ្ធផលមិនត្រូវបានស្រង់ចេញពិតប្រាកដមែនទេ? គ្មានបញ្ហា - នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

ចុះបើមិនមានពីរ ប៉ុន្តែមេគុណច្រើន? ដូច​គ្នា! រូបមន្តសម្រាប់គុណឫស ដំណើរការជាមួយកត្តាមួយចំនួន៖

ឥឡូវនេះទាំងស្រុងដោយខ្លួនឯង៖

ចម្លើយ៖ល្អ​ណាស់! យល់ស្របអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺងាយស្រួលណាស់រឿងសំខាន់គឺត្រូវដឹងពីតារាងគុណ!

ការបែងចែកឫស

យើង​បាន​តម្រៀប​ចេញ​គុណ​នៃ​ឫស ឥឡូវ​យើង​បន្ត​ទៅ​លើ​ទ្រព្យ​នៃ​ការ​ចែក។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថារូបមន្តទូទៅមើលទៅដូចនេះ:

ដែលមានន័យថា ឫសនៃកូតាគឺស្មើនឹងកូតានៃឫស។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

នោះហើយជាវិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់។ នេះជាឧទាហរណ៍៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនរលូនដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូងទេប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកបានឃើញមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ។

ចុះ​បើ​អ្នក​ជួប​ឃ្លា​នេះ៖

អ្នកគ្រាន់តែត្រូវអនុវត្តរូបមន្តក្នុងទិសដៅផ្ទុយ៖

ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយ៖

អ្នកក៏អាចជួបប្រទះកន្សោមនេះផងដែរ៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា មានតែនៅទីនេះប៉ុណ្ណោះដែលអ្នកត្រូវចាំពីរបៀបបកប្រែប្រភាគ (ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំ សូមក្រឡេកមើលប្រធានបទ ហើយត្រលប់មកវិញ!) តើ​អ្នក​ចាំ​ទេ? ឥឡូវ​យើង​សម្រេច​ចិត្ត!

ខ្ញុំ​ប្រាកដ​ថា​អ្នក​បាន​ស៊ូទ្រាំ​នឹង​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង ឥឡូវ​នេះ​យើង​ព្យាយាម​លើក​ឫស​ទៅ​កម្រិត។

និទស្សន្ត

តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើឫសការ៉េត្រូវបានការ៉េ? វាសាមញ្ញ ចងចាំអត្ថន័យនៃឫសការ៉េនៃចំនួនមួយ - នេះគឺជាលេខដែលឫសការ៉េស្មើនឹង។

ដូច្នេះ​បើ​យើង​ដាក់​លេខ​ដែល​ឫស​ការ៉េ​ស្មើ តើ​យើង​បាន​អ្វី?

មែនហើយ !

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

វាសាមញ្ញមែនទេ? ចុះបើឫសមានកម្រិតខុសគ្នា? មិន​អី​ទេ!

ធ្វើតាមតក្កវិជ្ជាដូចគ្នា ហើយចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិ និងសកម្មភាពដែលអាចកើតមានជាមួយនឹងដឺក្រេ។

អានទ្រឹស្តីលើប្រធានបទ "" ហើយអ្វីៗនឹងច្បាស់សម្រាប់អ្នក។

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍ ជា​កន្សោម​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ សញ្ញាបត្រ​គឺ​ស្មើ ប៉ុន្តែ​ចុះ​បើ​វា​សេស? ជាថ្មីម្តងទៀត អនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាច និងកត្តាគ្រប់យ៉ាង៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់ជាមួយនេះ ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទាញយកឫសនៃលេខទៅជាថាមពលមួយ? នេះជាឧទាហរណ៍៖

សាមញ្ញណាស់មែនទេ? ចុះបើសញ្ញាបត្រធំជាងពីរ? យើងធ្វើតាមតក្កវិជ្ជាដូចគ្នាដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖

មែនហើយ តើអ្វីៗទាំងអស់ច្បាស់ទេ? បន្ទាប់មកដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយខ្លួនឯង៖

ហើយខាងក្រោមនេះជាចម្លើយ៖

ចូលនៅក្រោមសញ្ញានៃឫស

អ្វីដែលយើងមិនបានរៀនធ្វើជាមួយឫស! អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវអនុវត្តការបញ្ចូលលេខនៅក្រោមសញ្ញាឫស!

វាពិតជាងាយស្រួលណាស់!

ឧបមាថាយើងសរសេរលេខ

តើយើងអាចធ្វើអ្វីជាមួយវា? ជាការប្រសើរណាស់, លាក់បីនៅក្រោមឫស, ចងចាំថាទាំងបីគឺជាឫសការ៉េនៃ!

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការវា? បាទ/ចាស ដើម្បីពង្រីកសមត្ថភាពរបស់យើងនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍៖

តើអ្នកចូលចិត្តទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ឫសនេះដោយរបៀបណា? តើវាធ្វើឱ្យជីវិតកាន់តែងាយស្រួលទេ? សម្រាប់​ខ្ញុំ​ពិត​ជា​ត្រឹម​ត្រូវ! តែប៉ុណ្ណោះ យើងត្រូវតែចងចាំថាយើងអាចបញ្ចូលលេខវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាឫសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍នេះដោយខ្លួនឯង -
តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ? តោះមើលអ្វីដែលអ្នកគួរទទួលបាន៖

ល្អ​ណាស់! អ្នក​អាច​បញ្ចូល​លេខ​ក្រោម​សញ្ញា​ឫស! ចូរបន្តទៅអ្វីដែលសំខាន់ដូចគ្នា - តោះមើលរបៀបប្រៀបធៀបលេខដែលមានឫសការ៉េ!

ការប្រៀបធៀបឫស

ហេតុអ្វីយើងត្រូវរៀនប្រៀបធៀបលេខដែលមានឫសការ៉េ?

សាមញ្ញ​ណាស់។ ជាញឹកញយ ក្នុងការបញ្ចេញមតិធំ និងវែងដែលជួបប្រទះនៅក្នុងការប្រឡង យើងទទួលបានចម្លើយមិនសមហេតុផល (ចាំថានេះជាអ្វី? យើងបាននិយាយរួចហើយអំពីរឿងនេះនៅថ្ងៃនេះ!)

យើងត្រូវដាក់ចម្លើយដែលបានទទួលនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ជាឧទាហរណ៍ ដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលណាមួយដែលសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ។ ហើយនៅទីនេះបញ្ហាកើតឡើង៖ មិនមានម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅក្នុងការប្រឡងទេ ហើយបើគ្មានវា តើអ្នកអាចស្រមៃមើលថាលេខមួយណាធំជាង និងមួយណាតិចជាង? នោះ​ហើយ​ជា​វា!

ឧទាហរណ៍ កំណត់ថាមួយណាធំជាង៖ ឬ?

អ្នកមិនអាចប្រាប់ភ្លាមៗបានទេ។ អញ្ចឹងតោះ​ប្រើ​លក្ខណសម្បត្តិ​ដែល​បាន​បំបែក​នៃ​ការ​បញ្ចូល​លេខ​ក្រោម​សញ្ញា​ឬស?

បន្ទាប់មកទៅមុខ៖

ជាការប្រសើរណាស់, លេខធំជាងនៅក្រោមសញ្ញាឫស, ឫសរបស់វាកាន់តែធំ!

ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើនោះ .

ពីនេះយើងសន្និដ្ឋានយ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់។ ហើយគ្មាននរណាម្នាក់នឹងបញ្ចុះបញ្ចូលយើងបើមិនដូច្នេះទេ!

ការដកឫសពីចំនួនធំ

មុននេះយើងបានបញ្ចូលមេគុណនៅក្រោមសញ្ញានៃឫសប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកវាចេញ? អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបញ្ចូលវាទៅជាកត្តា ហើយស្រង់អ្វីដែលអ្នកស្រង់ចេញ!

វាអាចទៅរួចដើម្បីដើរតាមផ្លូវផ្សេង ហើយពង្រីកទៅកត្តាផ្សេងទៀត៖

មិនអាក្រក់ទេមែនទេ? វិធីសាស្រ្តណាមួយនេះគឺត្រឹមត្រូវ សម្រេចចិត្តតាមដែលអ្នកចង់បាន។

Factoring មានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមិនស្តង់ដារដូចជា៖

កុំខ្លាចអី តែធ្វើសកម្មភាព! ចូរបំបែកកត្តានីមួយៗនៅក្រោមឫសទៅជាកត្តាដាច់ដោយឡែក៖

ឥឡូវនេះសាកល្បងវាដោយខ្លួនឯង (ដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ! វានឹងមិនមានការប្រឡងទេ)៖

តើនេះជាទីបញ្ចប់ទេ? កុំឈប់ពាក់កណ្ដាលផ្លូវ!

ប៉ុណ្ណឹង វាមិនគួរឱ្យខ្លាចទេមែនទេ?

បានកើតឡើង? ធ្វើបានល្អ នោះហើយជាត្រូវ!

ឥឡូវសាកល្បងឧទាហរណ៍នេះ៖

ប៉ុន្តែ​ឧទាហរណ៍​នេះ​គឺជា​គ្រាប់​ដ៏​លំបាក​មួយ​ក្នុង​ការ​បំបែក ដូច្នេះ​អ្នក​មិន​អាច​ដឹង​ភ្លាម​ថា​ត្រូវ​ទៅ​ជិត​វា​ដោយ​របៀប​ណា​ទេ។ ប៉ុន្តែជាការពិតណាស់ យើងអាចដោះស្រាយវាបាន។

មែនហើយ តោះចាប់ផ្តើម Factoring? អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាអ្នកអាចបែងចែកលេខដោយ (ចងចាំសញ្ញានៃការបែងចែក):

ឥឡូវនេះ សូមសាកល្បងវាដោយខ្លួនឯង (ម្តងទៀត ដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ!)៖

មែនហើយ តើវាដំណើរការទេ? ធ្វើបានល្អ នោះហើយជាត្រូវ!

ចូរសរុបមក

1. ឫសការ៉េ (ឬសការេនព្វន្ធ) នៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលការេស្មើនឹង។
   .
2. ប្រសិនបើយើងយកឫសការ៉េនៃអ្វីមួយ យើងតែងតែទទួលបានលទ្ធផលដែលមិនអវិជ្ជមាន។
3. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធ៖
4. នៅពេលប្រៀបធៀបឫសការ៉េ វាចាំបាច់ត្រូវចាំថាលេខធំជាងនៅក្រោមសញ្ញាឫស ឫសរបស់វាកាន់តែធំ។

តើឫសការ៉េយ៉ាងម៉េចដែរ? ច្បាស់លាស់​ទាំងអស់?

យើងបានព្យាយាមពន្យល់អ្នកដោយមិនមានការរំខានអ្វីទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវដឹងនៅក្នុងការប្រឡងអំពីឫសការ៉េ។

ដល់វេន​អ្នក។ សរសេរមកយើងថាតើប្រធានបទនេះពិបាកសម្រាប់អ្នកឬអត់។

តើ​អ្នក​បាន​រៀន​អ្វី​ដែល​ថ្មី​ឬ​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ច្បាស់​លាស់​ហើយ?

សរសេរនៅក្នុងមតិយោបល់និងសំណាងល្អក្នុងការប្រឡងរបស់អ្នក!

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងណែនាំ គំនិតនៃឫសនៃចំនួនមួយ។. យើងនឹងបន្តតាមលំដាប់លំដោយ៖ យើងនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយឫសការ៉េ ពីទីនោះយើងនឹងបន្តទៅការពិពណ៌នានៃឫសគូប បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងធ្វើឱ្យគំនិតទូទៅនៃឫសមួយដោយកំណត់ឫសទី n ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងនឹងណែនាំនិយមន័យ កំណត់ចំណាំ ផ្តល់ឧទាហរណ៍អំពីឫសគល់ និងផ្តល់ការពន្យល់ និងយោបល់ចាំបាច់។

ឫសការ៉េ ឫសការ៉េនព្វន្ធ

ដើម្បីយល់ពីនិយមន័យនៃឫសនៃចំនួនមួយ និងឫសការេ ជាពិសេសអ្នកត្រូវមាន . នៅចំណុចនេះ ជាញឹកញាប់យើងនឹងជួបប្រទះអំណាចទីពីរនៃចំនួនមួយ - ការេនៃចំនួនមួយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ និយមន័យឫសការ៉េ.

និយមន័យ

ឫសការ៉េនៃ កគឺជាលេខដែលការ៉េស្មើនឹង a ។

ដើម្បីនាំយក ឧទាហរណ៍នៃឫសការ៉េយកលេខជាច្រើនឧទាហរណ៍ 5, −0.3, 0.3, 0 ហើយការ៉េពួកវាយើងទទួលបានលេខ 25, 0.09, 0.09 និង 0 រៀងគ្នា (5 2 = 5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 និង 0 2 =0·0=0)។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យខាងលើ លេខ 5 គឺជាឫសការេនៃលេខ 25 លេខ −0.3 និង 0.3 គឺជាឫសការ៉េនៃ 0.09 ហើយ 0 គឺជាឫសការ៉េនៃសូន្យ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនសម្រាប់លេខណាមួយទេដែលមានការេដែលស្មើនឹង a ។ មានន័យថា សម្រាប់លេខអវិជ្ជមានណាមួយ a មិនមានចំនួនពិត b ដែលការេស្មើនឹង a ។ តាមពិត សមភាព a=b 2 គឺមិនអាចធ្វើទៅរួចសម្រាប់អវិជ្ជមាន a ទេ ព្រោះ b 2 គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់ b ណាមួយ។ ដូច្នេះ មិនមានឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមាននៅលើសំណុំនៃចំនួនពិតទេ។. ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅលើសំណុំនៃចំនួនពិត ឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានកំណត់ និងគ្មានន័យអ្វីឡើយ។

នេះនាំឱ្យមានសំណួរឡូជីខល: "តើមានឫសការ៉េនៃ a សម្រាប់ការមិនអវិជ្ជមានណាមួយ"? ចម្លើយគឺបាទ។ ការពិតនេះអាចត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតដោយវិធីសាស្រ្តស្ថាបនាដែលប្រើដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃឫសការ៉េ។

បន្ទាប់មកសំណួរឡូជីខលបន្ទាប់កើតឡើង: "តើចំនួនឫសការ៉េទាំងអស់នៃចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមានដែលបានផ្តល់ឱ្យ a - មួយ, ពីរ, បីឬច្រើនជាងនេះគឺជាអ្វី"? នេះជាចម្លើយ៖ ប្រសិនបើ a ជាសូន្យ នោះឫសការ៉េតែមួយគត់នៃសូន្យគឺសូន្យ។ ប្រសិនបើ a គឺជាចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន នោះចំនួនឫសការ៉េនៃចំនួន a គឺពីរ ហើយឫសគឺ . ចូរយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃរឿងនេះ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណី a=0 ។ ជាដំបូង សូមបង្ហាញថាសូន្យគឺពិតជាឫសការ៉េនៃសូន្យ។ វាធ្វើតាមសមភាពជាក់ស្តែង 0 2 =0·0=0 និងនិយមន័យនៃឫសការ៉េ។

ឥឡូវ​សូម​បញ្ជាក់​ថា 0 គឺ​ជា​ឫស​ការ​ការ៉េ​តែ​មួយ​គត់​នៃ​សូន្យ។ ចូរយើងប្រើវិធីផ្ទុយ។ ឧបមាថាមានលេខមិនសូន្យ b ដែលជាឫសការ៉េនៃសូន្យ។ បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌ b 2 = 0 ត្រូវតែពេញចិត្ត ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះសម្រាប់តម្លៃណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ b តម្លៃនៃកន្សោម b 2 គឺវិជ្ជមាន។ យើងបានមកដល់ភាពផ្ទុយគ្នា។ នេះបង្ហាញថា 0 គឺជាឫសការ៉េតែមួយគត់នៃសូន្យ។

ចូរបន្តទៅករណីដែល a ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ យើងបាននិយាយខាងលើថា តែងតែមានឫសការេនៃចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមាន សូមឲ្យឫសការេនៃ a ជាលេខ b ។ ចូរនិយាយថាមានលេខ c ដែលជាឫសការេនៃ a ។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យនៃឫសការេ ភាពស្មើគ្នា b 2 = a និង c 2 = a គឺពិត ដែលវាធ្វើតាមថា b 2 −c 2 = a−a = 0 ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី b 2 −c 2 = ( b−c)·( b+c) បន្ទាប់មក (b−c)·(b+c)=0 ។ សមភាពលទ្ធផលគឺត្រឹមត្រូវ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនពិតអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ b−c=0 ឬ b+c=0 ។ ដូច្នេះលេខ b និង c គឺស្មើគ្នាឬផ្ទុយ។

ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាមានលេខ d ដែលជាឫសការេមួយទៀតនៃលេខ a បន្ទាប់មកដោយហេតុផលស្រដៀងនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយនោះ វាត្រូវបានបង្ហាញថា d ស្មើនឹងលេខ b ឬលេខ c ។ ដូច្នេះចំនួនឫសការ៉េនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺពីរ ហើយឫសការ៉េគឺជាលេខផ្ទុយ។

សម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការធ្វើការជាមួយឫសការ៉េឫសអវិជ្ជមានត្រូវបាន "បំបែក" ពីវិជ្ជមាន។ ចំពោះគោលបំណងនេះវាត្រូវបានណែនាំ និយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ.

និយមន័យ

ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន aគឺ​ជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​ការ​ការ៉េ​ស្មើ​នឹង a ។

សញ្ញាណសម្រាប់ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃ a គឺ . សញ្ញា​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​សញ្ញា​ឫស​ការ៉េ​នព្វន្ធ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញារ៉ាឌីកាល់ផងដែរ។ ដូច្នេះជួនកាលអ្នកអាចឮទាំង "ឫស" និង "រ៉ាឌីកាល់" ដែលមានន័យថាវត្ថុដូចគ្នា។

លេខក្រោមសញ្ញាឫសការ៉េនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា លេខរ៉ាឌីកាល់ហើយកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាឫសគឺ ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ខណៈពេលដែលពាក្យ "ចំនួនរ៉ាឌីកាល់" ជារឿយៗត្រូវបានជំនួសដោយ "ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់" ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងសញ្ញាណលេខ ១៥១ គឺជាលេខរ៉ាឌីកាល់ ហើយនៅក្នុងសញ្ញាណ កន្សោម a គឺជាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។

នៅពេលអានពាក្យ "នព្វន្ធ" ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល ជាឧទាហរណ៍ ធាតុត្រូវបានអានជា "ឫសការ៉េនៃប្រាំពីរចំណុច ម្ភៃប្រាំបួន" ។ ពាក្យ "នព្វន្ធ" ត្រូវបានប្រើតែនៅពេលដែលពួកគេចង់បញ្ជាក់ថាយើងកំពុងនិយាយជាពិសេសអំពីឫសការ៉េវិជ្ជមាននៃចំនួនមួយ។

ដោយពន្លឺនៃសញ្ញាណដែលបានណែនាំ វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ ដែលសម្រាប់ចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមាន a .

ឫស​ការ៉េ​នៃ​ចំនួន​វិជ្ជមាន a ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ដោយ​ប្រើ​សញ្ញា​ឫស​ការ៉េ​នព្វន្ធ​ជា និង . ឧទាហរណ៍ ឫសការ៉េនៃ 13 គឺ និង . ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃសូន្យគឺសូន្យ ពោលគឺ . ចំពោះលេខអវិជ្ជមាន a យើងនឹងមិនភ្ជាប់អត្ថន័យទៅនឹងសញ្ញាណទេ រហូតដល់យើងសិក្សា លេខស្មុគស្មាញ. ឧទាហរណ៍ កន្សោម និងគ្មានន័យ។

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃឫសការ៉េ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េត្រូវបានបង្ហាញ ដែលជារឿយៗត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត។

នៅក្នុងសេចក្តីសន្និដ្ឋាននៃចំណុចនេះ យើងកត់សំគាល់ថាឫសការ៉េនៃចំនួន a គឺជាដំណោះស្រាយនៃទម្រង់ x 2 = a ទាក់ទងនឹងអថេរ x ។

ឫសគូបនៃលេខមួយ។

និយមន័យនៃឫសគូបនៃចំនួន a ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នាទៅនឹងនិយមន័យនៃឫសការ៉េ។ មានតែវាទេដែលផ្អែកលើគោលគំនិតនៃគូបនៃលេខ មិនមែនការ៉េទេ។

និយមន័យ

ឫសគូបនៃ កគឺជាលេខដែលគូបស្មើនឹង a ។

ចូរយើងផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍នៃឫសគូប. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយកលេខជាច្រើនឧទាហរណ៍ 7, 0, −2/3 ហើយគូបពួកវា: 7 3 = 7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . បន្ទាប់មក ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃឫសគូប យើងអាចនិយាយបានថា លេខ 7 គឺជាឫសគូបនៃ 343, 0 គឺជាឫសគូបនៃសូន្យ ហើយ −2/3 គឺជាឫសគូបនៃ −8/27 ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាឫសគូបនៃចំនួនមួយមិនដូចឫសការ៉េទេ តែងតែមាន មិនត្រឹមតែសម្រាប់ a ដែលមិនអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយផងដែរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តដូចគ្នាដែលយើងបានលើកឡើងនៅពេលសិក្សាឫសការ៉េ។

ជាងនេះទៅទៀត មានឫសគូបតែមួយនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះពិចារណាករណីចំនួនបីដាច់ដោយឡែកពីគ្នា: a គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន, a = 0 និង a គឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថា ប្រសិនបើ a វិជ្ជមាន ឫសគូបនៃ a មិនអាចជាលេខអវិជ្ជមាន ឬសូន្យទេ។ ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យ b ជាឫសគូបនៃ a បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ យើងអាចសរសេរសមភាព b 3 =a ។ វាច្បាស់ណាស់ថាសមភាពនេះមិនអាចជាការពិតសម្រាប់អវិជ្ជមាន b និងសម្រាប់ b=0 ទេ ព្រោះក្នុងករណីទាំងនេះ b 3 = b·b·b នឹងជាលេខអវិជ្ជមាន ឬសូន្យរៀងគ្នា។ ដូច្នេះឫសគូបនៃចំនួនវិជ្ជមាន a គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។

ឥឡូវឧបមាថាបន្ថែមលើលេខ b មានឫសគូបមួយទៀតនៃលេខ a ចូរយើងសម្គាល់វា c ។ បន្ទាប់មក c 3 = ក។ ដូច្នេះ b 3 −c 3 = a −a = 0 ប៉ុន្តែ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(នេះគឺជារូបមន្តគុណសង្ខេប ភាពខុសគ្នានៃគូប), whence (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0។ សមភាពលទ្ធផលគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ b−c=0 ឬ b 2 +b·c+c 2 = 0 ។ ពីសមភាពទីមួយយើងមាន b=c ហើយសមភាពទីពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេ ព្រោះផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាជាលេខវិជ្ជមានសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ b និង c ជាផលបូកនៃពាក្យវិជ្ជមានបី b 2 b·c និង c 2 ។ នេះបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃឫសគូបនៃចំនួនវិជ្ជមាន a ។

នៅពេល a=0 ឫសគូបនៃលេខ a គឺគ្រាន់តែជាលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះ។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាមានលេខ b ដែលជាឫសគូបដែលមិនមែនជាសូន្យនៃសូន្យ នោះសមភាព b 3 = 0 ត្រូវតែកាន់ ដែលអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ b = 0 ។

សម្រាប់អវិជ្ជមាន a អាគុយម៉ង់ស្រដៀងនឹងករណីសម្រាប់វិជ្ជមាន a អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដំបូង យើងបង្ហាញថាឫសគូបនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនអាចស្មើនឹងចំនួនវិជ្ជមាន ឬសូន្យទេ។ ទីពីរ យើងសន្មត់ថាមានឫសគូបទីពីរនៃលេខអវិជ្ជមាន ហើយបង្ហាញថាវានឹងចាំបាច់ស្របគ្នានឹងលេខទីមួយ។

ដូច្នេះ វាតែងតែមានឫសគូបនៃចំនួនពិតដែលបានផ្តល់ឱ្យ a និងតែមួយគត់។

ចូរយើងផ្តល់ឱ្យ និយមន័យនៃឫសគូបនព្វន្ធ.

និយមន័យ

ឫសគូបនព្វន្ធនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន aគឺ​ជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​គូប​ស្មើ​នឹង a ។

ឫសគូបនព្វន្ធនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន a ត្រូវបានតំណាងថាជាសញ្ញាត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញានៃឫសគូបនព្វន្ធលេខ 3 នៅក្នុងសញ្ញានេះត្រូវបានគេហៅថា សន្ទស្សន៍ឫស. លេខនៅក្រោមសញ្ញាឫសគឺ លេខរ៉ាឌីកាល់កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាឫសគឺ ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់.

ទោះបីជាឫសគូបនព្វន្ធត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន a ក៏ដោយ វាក៏ងាយស្រួលប្រើសញ្ញាសម្គាល់ដែលលេខអវិជ្ជមានត្រូវបានរកឃើញនៅក្រោមសញ្ញាឫសគូបនព្វន្ធ។ យើងនឹងយល់ពីពួកគេដូចខាងក្រោម៖ ដែល a ជាលេខវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍, .

យើងនឹងនិយាយអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសគូបនៅក្នុងអត្ថបទទូទៅ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឫស។

ការគណនាតម្លៃនៃឫសគូបត្រូវបានគេហៅថាការស្រង់ឫសគូប សកម្មភាពនេះត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទដកស្រង់ឫស: វិធីសាស្រ្តឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីបញ្ចប់ចំណុចនេះ ចូរនិយាយថាឫសគូបនៃចំនួន a គឺជាដំណោះស្រាយនៃទម្រង់ x 3 = a ។

nth root, ឫសនព្វន្ធនៃដឺក្រេ n

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសង្ខេបគំនិតនៃឫសនៃលេខមួយ - យើងណែនាំ និយមន័យនៃឫស nthសម្រាប់ n ។

និយមន័យ

ឫស nth នៃ aគឺ​ជា​ចំនួន​ដែល​មាន​អំណាច​ទី n ស្មើ​នឹង a ។

តាមនិយមន័យនេះ វាច្បាស់ណាស់ថា ឫសដឺក្រេទីមួយនៃលេខ a គឺជាលេខខ្លួនឯង ចាប់តាំងពីពេលសិក្សាដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ យើងយក 1 =a ។

ខាងលើយើងបានមើលករណីពិសេសនៃឫសទី n សម្រាប់ n=2 និង n=3 - ឫសការ៉េ និងឫសគូប។ នោះគឺឫសការ៉េគឺជាឫសនៃដឺក្រេទីពីរ ហើយឫសគូបគឺជាឫសនៃដឺក្រេទីបី។ ដើម្បីសិក្សាឫសនៃសញ្ញាបត្រទី n សម្រាប់ n = 4, 5, 6, ... វាជាការងាយស្រួលក្នុងការបែងចែកពួកវាជាពីរក្រុម៖ ក្រុមទីមួយ - ឫសនៃដឺក្រេគូ (នោះគឺសម្រាប់ n = 4, 6, 8 ។ , ... ), ក្រុមទីពីរ - ឫសដឺក្រេសេស (នោះគឺជាមួយ n = 5, 7, 9, ... ) ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាឫសនៃអំណាចសូម្បីតែស្រដៀងនឹងឫសការ៉េហើយឫសនៃអំណាចសេសគឺស្រដៀងនឹងឫសគូប។ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយពួកគេម្តងមួយៗ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយឬសដែលអំណាចគឺលេខគូ 4, 6, 8, ... ដូចដែលយើងបាននិយាយរួចមកហើយ ពួកវាស្រដៀងនឹងឫសការ៉េនៃលេខ a ។ នោះគឺឫសនៃកម្រិតគូណាមួយនៃចំនួន a មានសម្រាប់តែ a មិនអវិជ្ជមាន។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើ a=0 នោះឫសនៃ a មានតែមួយគត់ និងស្មើសូន្យ ហើយប្រសិនបើ a> 0 នោះមានឫសពីរនៃដឺក្រេគូនៃចំនួន a ហើយពួកវាជាលេខផ្ទុយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ b ជាឫសគូ (យើងសម្គាល់វាជា 2·m ដែល m ជាលេខធម្មជាតិ) នៃចំនួន a ។ ឧបមាថាមានលេខ c - ឫសមួយទៀតនៃដឺក្រេ 2 ·m ពីលេខ a ។ បន្ទាប់មក b 2·m −c 2·m = a−a=0 ។ ប៉ុន្តែយើងដឹងពីទម្រង់ b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)បន្ទាប់មក (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. ពីសមភាពនេះវាធ្វើតាមថា b−c=0 ឬ b+c=0 ឬ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ភាពស្មើគ្នាពីរដំបូងមានន័យថាលេខ b និង c គឺស្មើគ្នា ឬ b និង c គឺផ្ទុយគ្នា។ ហើយសមភាពចុងក្រោយមានសុពលភាពសម្រាប់តែ b=c=0 ប៉ុណ្ណោះ ព្រោះនៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាមានកន្សោមដែលមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់ b និង c ជាផលបូកនៃលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។

ចំពោះឫសនៃសញ្ញាបត្រ n សម្រាប់សេស n ពួកវាស្រដៀងទៅនឹងឫសគូប។ នោះគឺជាឫសគល់នៃដឺក្រេសេសនៃចំនួន a មានសម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a ហើយសម្រាប់លេខដែលផ្តល់ឱ្យ a វាមានតែមួយគត់។

ភាពប្លែកនៃឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេស 2·m+1 នៃលេខ a ត្រូវបានបង្ហាញដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងភស្តុតាងនៃភាពប្លែកនៃឫសគូបនៃ a ។ មានតែនៅទីនេះជំនួសឱ្យសមភាព a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)សមភាពនៃទម្រង់ b 2 m + 1 −c 2 m + 1 = ត្រូវបានប្រើ (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1·c+b 2·m−2·c 2 +… +c 2·m). កន្សោម​នៅ​ក្នុង​តង្កៀប​ចុង​ក្រោយ​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ឡើង​វិញ​ជា b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ឧទាហរណ៍ជាមួយ m = 2 យើងមាន b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). នៅពេលដែល a និង b មានទាំងវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរអវិជ្ជមាន ផលិតផលរបស់ពួកគេគឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកកន្សោម b 2 +c 2 +b·c ក្នុងវង់ក្រចកដែលដាក់ជាប់ខ្ពស់បំផុតគឺវិជ្ជមានដែលជាផលបូកនៃចំនួនវិជ្ជមាន។ ឥឡូវនេះ ការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ទៅកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបនៃកម្រិតមុននៃការដាក់សំបុក យើងត្រូវបានគេជឿជាក់ថាពួកគេក៏វិជ្ជមានផងដែរដែលជាផលបូកនៃចំនួនវិជ្ជមាន។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមភាព b 2 m + 1 −c 2 m + 1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1·c+b 2·m−2·c 2 +… +c 2·m)=0អាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ b−c=0 នោះគឺនៅពេលដែលលេខ b ស្មើនឹងចំនួន c ។

វាដល់ពេលហើយដើម្បីយល់ពីសញ្ញាណនៃឫសទី។ ចំពោះគោលបំណងនេះវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និយមន័យនៃឫសនព្វន្ធនៃដឺក្រេទី n.

និយមន័យ

ឫសនព្វន្ធនៃដឺក្រេទី n នៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន aគឺ​ជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​អំណាច​ទី n ស្មើ​នឹង a ។