ស៊េរី Trigonometric Fourier ដោយប្រើ Mathcad ។
គោលដៅនៃការងារ
រៀនពង្រីកអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ទៅជាត្រីកោណមាត្រស៊េរី Fourier ដោយប្រើ Mathcad និងបង្កើតក្រាហ្វនៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី Fourier ។
បរិក្ខារ
កញ្ចប់កម្មវិធី MathCAD ។
វឌ្ឍនភាព
ជម្រើស
1) ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ត្រីកោណមាត្រ
2) ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាត្រីកោណមាត្រស៊េរី Fourier ក្នុងកូស៊ីនុស
3) ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស
ការអនុញ្ញាតឱ្យធ្វើការ
3.2.1 ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier នៃអនុគមន៍ គឺជាស៊េរីមុខងារនៃទម្រង់
3.2.4 មេគុណ Fourier ត្រូវបានគណនាសម្រាប់អនុគមន៍ f(x) (នៅពេលពង្រីកក្នុងកូស៊ីនុស)
a 1 = 5, a 2 = 6, a 3 = 7
សរសេរស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier
3.2.5 មុខងារ f(x) ត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ទាក់ទងនឹងស៊ីនុស (សេស) បន្ទាប់មក
| សន្លឹក |
| ឯកសារលេខ។ |
| ហត្ថលេខា |
| សន្លឹក |
| ឯកសារលេខ |
| ហត្ថលេខា |
| កាលបរិច្ឆេទ |
| សន្លឹក |
៣.១.២. ស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ x (x គឺជាការឈ្នះរបស់ម្ចាស់ឆ្នោតមួយសន្លឹក)។
____ សំបុត្រត្រូវបានចាប់នៅក្នុងឆ្នោត។
ក្នុងចំណោមទាំងនេះ ពួកគេឈ្នះ ____ rubles គ្នា។
ក្នុងចំណោមទាំងនេះ ពួកគេឈ្នះ ____ rubles គ្នា។
៣.១.៣. ស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ “x”
ក). 0.15 ខ) -0.35 គ) 0.35 ឃ) 0.25 e) មិនអាចកំណត់បានទេ។
3.2.3 មានសំបុត្រចំនួន 200 នៅក្នុងឆ្នោត។ មានសំបុត្រឈ្នះចំនួន 30 សន្លឹក។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលសំបុត្រនោះមិនមែនជាអ្នកឈ្នះ?
ក). 1.7 ខ) 0.7 គ) 0.17 ឃ) 0.85 ឃ) 0.15
៣.២.៤ សរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។
3.2.5 សរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។
________________________________________________________________________________
៣.២.៦. D (y) = 25. តើអ្វីជាគម្លាតស្តង់ដារ?
ក). ± 5 ខ) 5 គ) -5 ឃ) មិនអាចកំណត់បានទេ។
3.2.7 តើអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការក្នុង MathCAD ដោយរបៀបណា
______________________________________________________________________________
______________ ត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យធ្វើការ
លទ្ធផលការងារ
៤.១. M(x) = ____________ D(x) = ____________ σ (x) = ___________
| សន្លឹក |
| ឯកសារលេខ |
| ហត្ថលេខា |
| កាលបរិច្ឆេទ |
| សន្លឹក |
| PR.140448.00.00 |
ស្វែងរកចំណុច និងចន្លោះពេលប៉ាន់ស្មាន
ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយមិនស្គាល់នៅក្នុង Excel
1. គោលបំណងនៃការងារ
ដោយប្រើគំរូដែលបានផ្តល់ឱ្យ រៀនកំណត់លក្ខណៈជាលេខនៃគំរូ និងប៉ាន់ប្រមាណប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមិនស្គាល់នៃប្រជាជនទូទៅ ហើយប៉ាន់ស្មានការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃប្រជាជនទូទៅជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជឿជាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
2. បរិក្ខារ៖
IBM PC, សែល Microsoft Excel ។
វឌ្ឍនភាព
3. 1 ជម្រើស
ការប៉ាន់ប្រមាណជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេទំនុកចិត្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ γ = ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃប្រជាជនទូទៅសម្រាប់គំរូដែលបានផ្តល់ឱ្យ
_____________________________________________________________________________________
3.2 ការអនុញ្ញាតឱ្យធ្វើការ
1. តើសំណាកគំរូត្រូវបានគណនាដោយរបៀបណា?
2. តើភាពប្រែប្រួលគំរូត្រូវបានគណនាដោយរបៀបណា?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. តើគម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានគណនាដោយរបៀបណា?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. តើបំរែបំរួលគំរូដែលត្រូវបានកែតម្រូវត្រូវបានគណនាដោយរបៀបណា?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. តើការប៉ាន់ប្រមាណចំណុចនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយមិនស្គាល់ខុសគ្នាពីការប៉ាន់ប្រមាណចន្លោះពេលយ៉ាងដូចម្តេច?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. តើចន្លោះពេលត្រូវបានគណនាដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួនប្រជាជនយ៉ាងដូចម្តេច?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. តើមេគុណសិស្សតំណាងឱ្យអ្វី?
| ផ្លាស់ប្តូរ |
| សន្លឹក |
| ឯកសារលេខ |
| ហត្ថលេខា |
| កាលបរិច្ឆេទ |
| សន្លឹក |
| PR.140448.00.00 |
8. តើតម្លៃនៃមេគុណសិស្សពឹងផ្អែកលើអ្វី?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ខាងក្រោមនេះត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យធ្វើការ៖ ___________________________________________________________
លទ្ធផលការងារ
σ ក្នុង = S ក្នុង = t γ =
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ក្នុងដំណើរការនៃការងារនេះ ខ្ញុំបានអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណចំណុច និងចន្លោះពេល ____________________________________________________________
_________________________________________________________________
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ទំ
Glushach V.S. UIT-44
ស្ទាត់ជំនាញការងារក្នុង MathCad ។ ការទទួលបានជំនាញក្នុងការប្រើប្រាស់ការផ្លាស់ប្តូរ Laplace ដើម្បីវិភាគសមាសធាតុវិសាលគមនៃសញ្ញា។ ការសិក្សាអំពីមាត្រដ្ឋានពេលវេលា និងប្រេកង់នៃស៊េរីពេលវេលា និងការផ្លាស់ប្តូរ Fourier ។
1. បង្កើតស៊េរីពេលវេលានៃ sinusoids បី។ ចំនួនពិន្ទុត្រូវតែជា 2^n
2. កំណត់មធ្យម និងបំរែបំរួល។
3. យើងធ្វើការបំប្លែងដោយផ្ទាល់ និងបញ្ច្រាស F. យើងដាក់សញ្ញាបំប្លែងពីរដងលើក្រាហ្វនៃស៊េរីពេលវេលាដើម។
4. ស្វែងរកទំនាក់ទំនងរវាងមាត្រដ្ឋានស៊េរីពេលវេលាតាមអ័ក្សពេលវេលា និង Fourier បំប្លែងតាមអ័ក្សប្រេកង់។
1. ជ្រើសរើស time discreteness dt និងចំនួនពិន្ទុក្នុងស៊េរីពេលវេលាក្នុងទម្រង់ nl:= 2 k
អនុញ្ញាតឱ្យ k:= 9 nl:= 2 k nl=512 ប្រវែងគំរូនៅក្នុងពេលវេលា T:=512
ស 
ag ដោយ Or បានផ្តល់ឱ្យថា nl-1
ពេលវេលាគឺប្រហែលស្មើនឹង nl បន្ទាប់មក i:=0..nl-l t ។ := i*dt
2. យើងបង្កើតសញ្ញាបញ្ចូល x ជាផលបូកនៃសញ្ញាអាម៉ូនិកបី ហើយកំណត់ស្ថិតិមូលដ្ឋានរបស់វា។
А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706
A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792x10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353
A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362x10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177
x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= mean(x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809
1. Direct Fourier transform in MathCad F:= fft(x)
រយៈពេលអតិបរមានៃសមាសធាតុអាម៉ូនិកដែលអាចស្ថិតនៅក្នុងស៊េរីពេលវេលាគឺស្មើនឹងប្រវែងគំរូ។ សមាសធាតុអាម៉ូនិកនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រេកង់អប្បបរមាដែលអាចធ្វើទៅបាននៅលើមាត្រដ្ឋានប្រេកង់ Fourier បំលែង frnin ហើយយោងទៅតាមជំហានតាមបណ្តោយអ័ក្សហ្វ្រេកង់ Fourier df ។
Tmax:= Tfrnin:= 
df:= frnin df = 1.953 x 10 −3
ដូច្នេះជំហានប្រេកង់ និងប្រេកង់អប្បបរមានៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier គឺស្មើនឹង frnin = df = 1/T ។
ការបំប្លែង Fourier មានចំនួននៃការតែងតាំងប្រេកង់ដែលមានទំហំធំជាងពាក់កណ្តាលនៃចំនួនការចាត់តាំងស៊េរីពេលវេលា។ នៅក្នុងពេលវេលា n2=nl/2 ឬរួមទាំងចំណុចសូន្យ (ដែលការបំប្លែង Fourier មិនត្រូវបានកំណត់)
n2:= 1 + 2 k −1 n2 = 257 j:= l..n2
សន្ទស្សន៍ប្រេកង់បច្ចុប្បន្នផ្លាស់ប្តូរពី j=l ទៅ j=n2
ក្នុងករណីនេះ ប្រេកង់ប្រែប្រួលពី fmin =df= 1/T ប្រេកង់អតិបរមា finax:= n2*df fmax = 0.502
រហូតដល់ frnax=n2*df ប្រេកង់បច្ចុប្បន្ន f i:= i*df
f 1 = 1.953 x 10 −3 f 257 = 0.502
អំពី 
សូមចំណាំថាការបំប្លែង Fourier ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែប្រេកង់ក្នុងជួរពី f=finin ទៅ f=fmax ប៉ុណ្ណោះ។
ក្នុងករណីនេះ កំពូលនៅលើក្រាហ្វវិសាលគម Fourier ត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រេកង់នៃ sinusoids ដើម ពោលគឺការបំប្លែង Fourier អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកញែកសមាសធាតុប្រេកង់នៃសញ្ញា។ ប៉ុន្តែទំហំនៃសមាសធាតុអាម៉ូនិកឥឡូវនេះមិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីទំហំនៃសមាសធាតុនៃស៊េរីពេលវេលាដើម (ដែល A1=1, A2=0.5, A3=0.25)
ចូរយើងកត់សំគាល់ផងដែរថានៅ dt = 1 ប្រេកង់អតិបរមានៅក្នុងវិសាលគមនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier គឺ frnax = 0.5 oscillations ក្នុងមួយខ្នាតពេលវេលាឯកតា។ នៅ dt = 1 វិនាទីនេះត្រូវគ្នាទៅនឹង fmax = 0.5 Hz ។ ក្នុងករណីនេះរយៈពេលនៃប្រេកង់អតិបរមាគឺ Tfmax=1/0.5=2 ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់រយៈពេលមួយនៃប្រេកង់អតិបរមាមានជម្រើសពីរនៃស៊េរីពេលវេលា។ នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Kotelnikov យោងទៅតាមការដែលដើម្បីស្តារសញ្ញាបន្តអាម៉ូនិកពីសញ្ញាដាច់ពីគ្នាដោយមិនបាត់បង់ព័ត៌មានសម្រាប់រយៈពេលមួយ ត្រូវតែមានយ៉ាងហោចណាស់គំរូពីរនៅក្នុងពេលវេលា។
3. ចូរពិនិត្យមើលភាពចៃដន្យនៃស៊េរីពេលវេលាមុន និងក្រោយការបំប្លែង Fourier ទ្វេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងទទួលបានបំលែង Fourier បញ្ច្រាសពីការបំប្លែងដោយផ្ទាល់លទ្ធផល។ វាគួរតែស្របគ្នាជាមួយនឹងស៊េរីពេលវេលាដើម ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយក្រាហ្វខាងក្រោម FF:= ifft(F)
Mathcad មានមុខងារសម្រាប់អនុវត្តការបំប្លែង Fourier discrete (FFT) និងការបញ្ច្រាសរបស់វា។ Mathcad PLUS ក៏ផ្តល់នូវការបំប្លែងរលកដាច់ពីគ្នាមួយវិមាត្រ និងការបញ្ច្រាសរបស់វា។ មុខងារទាំងអស់នេះមានអាគុយម៉ង់វ៉ិចទ័រ។ នៅពេលកំណត់វ៉ិចទ័រ vដើម្បីស្វែងរកការផ្លាស់ប្តូររលក ឬ Fourier transform សូមប្រាកដថាធាតុដំបូងនៃវ៉ិចទ័រមានសន្ទស្សន៍សូន្យ៖ v 0 ។ ប្រសិនបើ v 0 មិនត្រូវបានកំណត់ Mathcad កំណត់វាដោយស្វ័យប្រវត្តិទៅ 0។ វាអាចបណ្តាលឱ្យមានលទ្ធផលខុស។
ការណែនាំអំពីការផ្លាស់ប្តូរ Fourier ដាច់ដោយឡែក
Mathcad រួមបញ្ចូលមុខងារបំប្លែង Fourier ដាច់ដោយឡែកពីរប្រភេទ៖ fft/ifftនិង cfft /icfft . មុខងារទាំងនេះគឺដាច់ពីគ្នា៖ ពួកគេយកវ៉ិចទ័រ និងម៉ាទ្រីសជាអាគុយម៉ង់ ហើយបញ្ជូនពួកវាមកវិញ។ ពួកវាមិនអាចប្រើជាមួយមុខងារផ្សេងទៀតបានទេ។ សូមប្រើមុខងារ fftនិង ifft , ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងពីរខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖- អាគុយម៉ង់គឺពិតប្រាកដ
- វ៉ិចទ័រទិន្នន័យមានធាតុ 2 ម៉ែត្រ។
ប្រើលក្ខណៈពិសេស cfftនិង icfftនៅក្នុងករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់។
លក្ខខណ្ឌដំបូងគឺចាំបាច់ពីព្រោះមុខងារ fft/ifftប្រើការពិតដែលថាសម្រាប់ទិន្នន័យពិតប្រាកដពាក់កណ្តាលទីពីរនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញនៃទីមួយ។ Mathcad បោះបង់ពាក់កណ្តាលទីពីរនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផល។ វាជួយសន្សំសំចៃទាំងពេលវេលា និងការចងចាំកំឡុងពេលគណនា។
មុខងារជាគូ cfft/icfftមិនប្រើស៊ីមេទ្រីក្នុងការបំប្លែង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើពួកវាសម្រាប់ទិន្នន័យស្មុគ្រស្មាញ។ ដោយសារចំនួនពិតគឺជាសំណុំរងនៃចំនួនកុំផ្លិច អ្នកក៏អាចប្រើគូបានដែរ។ cfft/icfftសម្រាប់ចំនួនពិត។
លក្ខខណ្ឌទីពីរគឺត្រូវបានទាមទារដោយសារតែមុខងារគូ fft/ifftប្រើក្បួនដោះស្រាយបំលែង Fourier លឿនដែលមានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវ៉ិចទ័រនៃអាគុយម៉ង់ដែលប្រើជាមួយ fft, ត្រូវតែមានធាតុ 2 ម៉ែត្រ។ នៅក្នុងមុខងារ сfft/icfftក្បួនដោះស្រាយមួយត្រូវបានប្រើដែលទទួលយកទាំងម៉ាទ្រីស និងវ៉ិចទ័រនៃទំហំបំពានជាអាគុយម៉ង់។ នៅពេលដែលអនុគមន៍គូនេះត្រូវបានប្រើជាមួយម៉ាទ្រីសជាអាគុយម៉ង់ ការបំលែង Fourier ពីរវិមាត្រត្រូវបានគណនា។
សូមចំណាំថាប្រសិនបើមុខងារត្រូវបានប្រើ fftសម្រាប់ការបំប្លែងដោយផ្ទាល់ អ្នកត្រូវប្រើមុខងារ ifftសម្រាប់ផ្ទុយ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើអ្នកប្រើសម្រាប់ការបំប្លែងដោយផ្ទាល់ cfftបន្ទាប់មកសម្រាប់ការបញ្ច្រាសវាចាំបាច់ត្រូវប្រើ icfft.
ទម្រង់ផ្សេងគ្នានៃនិយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier ប្រើមេគុណនៃការធ្វើធម្មតា និងអនុសញ្ញាផ្សេងគ្នាអំពីសញ្ញានៃឯកតាស្រមើលស្រមៃនៅក្នុងនិទស្សន្តនៃការផ្លាស់ប្តូរទៅមុខ និងបញ្ច្រាស។ មុខងារ fft, ifft, cfftនិង icfftប្រើ 1/ ជាកត្តាធម្មតា និងនិទស្សន្តវិជ្ជមានក្នុងការបំប្លែងដោយផ្ទាល់។ មុខងារ FFT , IFFT , CFFT និង ICFFTប្រើ 1/N ជាកត្តាធម្មតា និងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានក្នុងការបំប្លែងដោយផ្ទាល់។ មុខងារទាំងនេះត្រូវតែប្រើជាគូ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើអ្នកប្រើ CFFTនៅក្នុងការបម្លែងដោយផ្ទាល់, ចាំបាច់ប្រើ ICFFTផ្ទុយ។
ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier នៅក្នុងដែនពិតប្រាកដ
សម្រាប់វ៉ិចទ័រតម្លៃពិតដែលមានធាតុ 2 m អ្នកអាចប្រើមុខងារពីរបី fft/ifft. ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាមុខងារទាំងនេះទាញយកអត្ថប្រយោជន៍ពីស៊ីមេទ្រីដែលមានសម្រាប់តែទិន្នន័យពិតប៉ុណ្ណោះ។ វាជួយសន្សំសំចៃទាំងពេលវេលា និងអង្គចងចាំដែលត្រូវការសម្រាប់ការគណនា។ វ៉ិចទ័រ vត្រូវតែមានធាតុ 2 ម៉ែត្រ។ លទ្ធផលគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានតម្លៃស្មុគស្មាញនៃវិមាត្រ 1+2 m-1 ។ ប្រសិនបើ vមានវិមាត្រក្រៅពី 2 ម៉ែត្រ Mathcad បង្ហាញសារកំហុស " ទំហំវ៉ិចទ័រខុស”.ធាតុនៃវ៉ិចទ័របានត្រឡប់មកវិញ fft,គណនាដោយរូបមន្ត
ធាតុក្នុងវ៉ិចទ័រត្រឡប់ដោយអនុគមន៍ fft, ត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រេកង់ផ្សេងគ្នា។ ដើម្បីស្ដារប្រេកង់ពិតប្រាកដ វាចាំបាច់ត្រូវដឹងពីប្រេកង់រង្វាស់នៃសញ្ញាដើម។ ប្រសិនបើ vមាន ន- វ៉ិចទ័រវិមាត្របានបញ្ជូនទៅមុខងារ fftនិងភាពញឹកញាប់នៃការវាស់វែងនៃសញ្ញាដើម - fsបន្ទាប់មកប្រេកង់ដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹង
ចំណាំថាវាធ្វើឱ្យវាមិនអាចរកឃើញប្រេកង់ខ្ពស់ជាងប្រេកង់វាស់នៃសញ្ញាដើម។ នេះគឺជាការកំណត់ដែលមិនបានកំណត់ដោយ Mathcad ទេ ប៉ុន្តែដោយខ្លឹមសារនៃបញ្ហា។ ដើម្បីបង្កើតសញ្ញាឡើងវិញបានត្រឹមត្រូវពីការបំប្លែង Fourier របស់វា វាចាំបាច់ក្នុងការវាស់វែងសញ្ញាដើមនៅប្រេកង់យ៉ាងហោចណាស់ពីរដងនៃកម្រិតបញ្ជូន។ ការពិភាក្សាពេញលេញនៃបាតុភូតនេះគឺហួសពីវិសាលភាពនៃសៀវភៅណែនាំនេះ ប៉ុន្តែអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាដំណើរការសញ្ញាឌីជីថលណាមួយ។
វ៉ិចទ័រ vត្រូវតែមានធាតុ 1+ 2 m, ដែលជាកន្លែងដែល ម-ទាំងមូល។ លទ្ធផលគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានតម្លៃស្មុគស្មាញនៃវិមាត្រ 2 m+1 ។ ប្រសិនបើ vមានវិមាត្រក្រៅពី 1+ 2 m Mathcad បង្ហាញសារកំហុស “ ទំហំវ៉ិចទ័រខុស".អាគុយម៉ង់ v- វ៉ិចទ័រស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបង្កើតដោយអនុគមន៍ fft.ដើម្បីគណនាលទ្ធផល Mathcad ដំបូងបង្កើតវ៉ិចទ័រថ្មី។ វ, conjugate ស្មុគស្មាញ vហើយបន្ថែមវាទៅវ៉ិចទ័រ v. បន្ទាប់មក Mathcad គណនាវ៉ិចទ័រ ឃធាតុរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier នៅក្នុងដែនស្មុគស្មាញ
មានមូលហេតុពីរយ៉ាងដែលគូបំប្លែងមិនអាចប្រើបាន fft/ifft,បានពិភាក្សានៅផ្នែកមុន៖- ទិន្នន័យអាចមានតម្លៃស្មុគស្មាញ។ នេះមានន័យថា Mathcad មិនអាចទាញយកស៊ីមេទ្រីដែលកើតឡើងក្នុងករណីពិតទៀតទេ។
- វ៉ិចទ័រទិន្នន័យអាចមានវិមាត្រលើសពី 2 ម៉ែត្រ។ នេះមានន័យថា Mathcad មិនអាចទាញយកអត្ថប្រយោជន៍ពីក្បួនដោះស្រាយ FFT ដែលមានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់ដែលប្រើដោយគូនោះទេ។ fft/ifft.
រូបភាពទី 3៖ ការប្រើប្រាស់ Fast Fourier Transforms នៅក្នុង Mathcad ។
ការផ្លាស់ប្តូរពីរបី cfft/icfftអាចធ្វើការជាមួយអារេនៃទំហំណាមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ពួកវាដំណើរការលឿនជាងនៅពេលដែលចំនួនជួរដេក និងជួរឈរអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃកត្តាតូចៗមួយចំនួនធំ។ ឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែង 2 m គឺនៅក្នុងថ្នាក់នេះ ដូចជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងដូចជា 100 ឬ 120។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងជាលេខបឋមធំនឹងពន្យឺតការគណនាបំប្លែង Fourier ។
មុខងារ cfftនិង icfft- បញ្ច្រាសគ្នាទៅវិញទៅមក។ នោះគឺ icfft(cfft(v))=v ។ រូបភាពទី 3 បង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ Fourier transform នៅក្នុង Mathcad ។
នៅពេលដែលជាអាគុយម៉ង់ cfftម៉ាទ្រីសត្រូវបានប្រើ លទ្ធផលគឺជាការបំប្លែង Fourier ពីរវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីសដើម។
ទម្រង់ជំនួសនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier
និយមន័យនៃការបំប្លែង Fourier ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ មិនមែនជាអ្វីដែលអាចធ្វើទៅបាននោះទេ។ ឧទាហរណ៍ និយមន័យខាងក្រោមសម្រាប់ការបំប្លែង Fourier ដាច់ដោយឡែក និងការបញ្ច្រាសរបស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសៀវភៅដោយ Ronald Bracewells, ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier និងកម្មវិធីរបស់វា។(McGraw-Hill, 1986)៖
និយមន័យទាំងនេះគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍បច្ចេកទេស។ ដើម្បីប្រើនិយមន័យទាំងនេះជំនួសឱ្យអ្វីដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកមុន សូមប្រើមុខងារ FFT, IFFT, CFFTនិង ICFFT. ពួកវាខុសគ្នាដូចខាងក្រោមៈ មុខងារ FFT, IFFT, CFFTនិង ICFFTត្រូវបានប្រើស្រដៀងនឹងមុខងារដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកមុន។
ការបម្លែងរលក
Mathcad PLUS រួមបញ្ចូលមុខងារបំប្លែងរលកពីរ៖ សម្រាប់អនុវត្តការបំប្លែងរលកដាច់ពីគ្នាមួយវិមាត្រផ្ទាល់ និងការបញ្ច្រាសរបស់វា។ ការបម្លែងត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើមូលដ្ឋានរលក Daubechi មេគុណបួន។ផ្នែកទី 3. ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៅក្នុង Mathcad
ស៊េរី Fourier នៅលើផ្នែកដែលបំពាន
ផ្នែកទី 2. ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier
សកម្មភាពជាមួយចំនួនកុំផ្លិច
ផ្នែកទី 1. ការគណនាជាមួយចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុង Mathcad
បាឋកថាលេខ ៥
ប្រធានបទ៖ « អថេរស្មុគស្មាញ។ ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier ។ ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល»
នៅក្នុង Mathcad ឯកតាស្រមើលស្រមៃ i ត្រូវបានកំណត់៖ ហើយដូច្នេះ ចំនួនកុំផ្លិច និងប្រតិបត្តិការជាមួយពួកវាត្រូវបានកំណត់។
Z=a+bi- ទម្រង់ពិជគណិតនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច។
ក - ផ្នែកពិត ខ - ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ
ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (និទស្សន្ត) នៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច,
A - ម៉ូឌុល, φ - អាគុយម៉ង់ (ដំណាក់កាល)
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច។
ទំនាក់ទំនងរវាងបរិមាណ៖ a = A cos φ b = A sin φ
Z1=a1+j b1, Z2=a2+j b2
ក) បូក (ដក) Z3=Z1±Z2=(a1±a2)+j·(b1±b2)
ខ) គុណ c·Z1=a·c+j·b·c
Z3=Z1·Z2=(a1·a2-b1·b2)+j·(a1·b2+a2·b1)=A1A2ej(φ1+φ2)
គ) ផ្នែក
ឃ) ការបង្កើនថាមពល n (ធម្មជាតិ)
ង) ការទាញយកឫស៖ ដែល k = 0,1,2…n-1
ម៉ាស៊ីនទទួលយកតែរ៉ាដ្យង់ប៉ុណ្ណោះ!!! រ៉ាដៀន = ដឺក្រេ ដឺក្រេ = រ៉ាដៀន
ឧទាហរណ៍:
អនុគមន៍ f(x) គឺអាចបញ្ចូលគ្នាបានយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើចន្លោះ [-p;p] ប្រសិនបើមានអាំងតេក្រាលមួយ។ អនុគមន៍ដែលអាចបញ្ចូលគ្នាបានយ៉ាងពិតប្រាកដ f(x) នៅលើចន្លោះពេល [-p;p] អាចត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយស៊េរី Fourier ត្រីកោណមាត្ររបស់វា៖
មេគុណនៃត្រីកោណមាត្រស៊េរី Fourier ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ Fourier ហើយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ-ហ្វួរីៈ ,
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីផលបូកផ្នែកទី 9 នៃស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍រលោងមួយដុំ f(x) នៅលើចន្លោះ [-p;p] ។ គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
សម្រាប់អនុគមន៍ព្រំដែនណាមួយ f(x) ដែលអាចរួមបញ្ចូលនៅលើ [-p;p] ផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី Fourier របស់វាគឺជាពហុនាមត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនប្រហាក់ប្រហែលដ៏ល្អបំផុតនៃសញ្ញាបត្រទី n ។
ឧទាហរណ៍៖
ក្រាហ្វបង្ហាញពីរបៀបដែលផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី Fourier បញ្ចូលគ្នា។ នៅក្នុងបរិវេណនៃចំនុចនៃការបន្តនៃអនុគមន៍ f(x) ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x និងតម្លៃនៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីនៅចំណុចនេះមានទំនោរទៅសូន្យជាn®¥ ដែលជា ស្របទាំងស្រុងជាមួយនឹងទ្រឹស្តី ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាភាពខុសគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យកាន់តែលឿននៅពេលដែលចំនុច x ទៀតស្ថិតនៅពីចំនុចដាច់នៃអនុគមន៍។
ឧទាហរណ៍៖
សម្រាប់មុខងាររលូនជាដុំៗនៅលើចន្លោះពេល [-L;L] នៃអនុគមន៍ f(x) បញ្ហានៃការពង្រីកស៊េរី Fourier នៅលើចន្លោះពេល [-L;L] ដោយការជំនួសលីនេអ៊ែរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហានៃការពង្រីកមុខងារ។ នៅចន្លោះពេល [-p;p]៖
ចូរយើងពិចារណាពីភាពសាមញ្ញនៅក្នុងស៊េរី Fourier ក្រោមលក្ខខណ្ឌស៊ីមេទ្រីផ្សេងៗ៖
រូបមន្ត (1) រូបមន្ត (2)
អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ
ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ភារកិច្ចនេះត្រូវបានគេហៅថា បញ្ហារសើប . អនុញ្ញាតឱ្យយើងពង្រីកមុខងារដែលចង់បានទៅជាស៊េរីនៅជិតចំណុច ហើយកំណត់ខ្លួនយើងទៅនឹងលក្ខខណ្ឌពីរដំបូងនៃការពង្រីក។ ដោយយកសមីការ (1) ទៅក្នុងគណនីនិងការបង្ហាញវា យើងទទួលបានរូបមន្តនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តជាច្រើនដងដោយការស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចថ្មីបន្ថែមទៀត។
វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តរបស់អយល័រ . តាមធរណីមាត្រ វិធីសាស្ត្ររបស់ អយល័រ មានន័យថា នៅជំហាននីមួយៗ យើងប៉ាន់ស្មានដំណោះស្រាយ (ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល) ដោយផ្នែកតង់ហ្សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វដំណោះស្រាយនៅដើមចន្លោះពេល។ ភាពត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្រ្តគឺទាបហើយស្ថិតនៅលើលំដាប់នៃ ម៉ោង. ពួកគេនិយាយថាវិធីសាស្ត្ររបស់អយល័រគឺជាវិធីសាស្ត្រលំដាប់ទីមួយ ពោលគឺភាពត្រឹមត្រូវរបស់វាកើនឡើងតាមលំដាប់លំដោយជាមួយនឹងការថយចុះ។ ម៉ោង.
មានការកែប្រែផ្សេងៗនៃវិធីសាស្ត្ររបស់អយល័រ ដើម្បីបង្កើនភាពត្រឹមត្រូវរបស់វា។ ពួកវាទាំងអស់គឺផ្អែកលើការពិតដែលថាដេរីវេដែលបានគណនានៅដើមចន្លោះពេលត្រូវបានជំនួសដោយតម្លៃមធ្យមនៃដេរីវេនៃចន្លោះពេលនេះ។
Mod (x, y) - នៅសល់នៃការបែងចែក x ដោយ y ។ លទ្ធផលមានសញ្ញាដូចគ្នានឹង x; មុំ (x, y) - មុំ (គិតជារ៉ាដ្យង់) រវាងអ័ក្ស x វិជ្ជមាន និងវ៉ិចទ័រ (x, y) នៅក្នុងយន្តហោះ XY ។ អាគុយម៉ង់ត្រូវតែពិតប្រាកដ។ ត្រឡប់តម្លៃរវាង 0 និង 2π ។ ceil(3.25) = 4 floor(3.25) = 3 mantissa(x) := x − floor(x) mantissa (3.45) = 0.45 ការមូលបែបប្រពៃណី: roundoff (x) := if(mantissa (x))< 0.5, floor(x) , ceil(x)) roundoff (3.46) = 3 roundoff (3.56) = 4 Рис. 14. Создание функций округления На рис. 14 показано, как из этих функций могут быть сформированы функции округления. 4.4. Дискретное преобразование Фурье В Mathcad входят два типа функций для дискретного прямого и об- ратного преобразования Фурье: fft/ifft и cfft/icfft. Эти функции дискрет- ны: они берут в качестве аргументов и возвращают векторы и матрицы. Они не могут быть использованы с другими функциями. Используйте функции fft и ifft, если выполнены два следующих ус- ловия: аргументы вещественны, и вектор данных имеет 2m элементов. Первое условие необходимо, потому что функции fft/ifft используют тот факт, что для вещественных данных вторая половина преобразова- ния Фурье является комплексно сопряженной с первой. Mathcad отбра- сывает вторую половину вектора-результата. Это сохраняет время и память при вычислениях. Пара функций cfft/icfft не использует симметрию в преобразова- нии. По этой причине необходимо использовать их для комплексных данных. 41 Второе условие требуется, потому что пара функций fft/ifft исполь- зует высоко эффективный алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для этого вектор аргумента, используемого с fft, должен иметь 2m эле- ментов. В функциях cfft/icfft использован алгоритм, который допускает в качестве аргументов как матрицы, так и векторы произвольного раз- мера. Когда эта пара функций используется с матрицей в качестве аргу- мента, вычисляется двумерное преобразование Фурье. Следует иметь в виду, что если для прямого преобразования исполь- зована функция fft, то для обратного преобразования необходимо ис- пользовать функцию ifft. Аналогично используются функции cfft/icfft. 4.5. Преобразование Фурье в вещественной области Для вещественных векторов с 2m элементами предпочтительно ис- пользовать функции fft/ifft. Функция fft(v) возвращает дискретное пре- образование Фурье, векторный аргумент которой можно интерпретиро- вать как результат измерений через равные промежутки времени некоторого сигнала. Вектор v должен содержать 2m элементов. Резуль- тат – комплекснозначный вектор размерности 1 + 2m–1. Если v имеет размерность, отличную от 2m, Mathcad выдает сообщение об ошибке "неверный размер вектора". Элементы вектора, возвращаемого fft, вычисляются по формуле n −1 ∑ vk e 2 πi (j n) k . 1 Cj = n k =0 В этой формуле n – число элементов в v, i – мнимая единица. Эле- менты в векторе, возвращенном функцией fft, соответствуют различ- ным частотам. Чтобы восстановить фактическую частоту, необходимо знать частоту измерения исходного сигнала. Если v есть n-мерный век- тор, переданный функции fft, и частота измерения исходного сигнала – fs, то частота, соответствующая Ck k fk = fs. n Обратите внимание, что это делает невозможным обнаружить часто- ты выше частоты измерения исходного сигнала. Это ограничение, нала- гаемое не Mathcad, а самой сутью проблемы. Чтобы правильно восста- новить сигнал по его преобразованию Фурье, необходимо произвести 42 i:= 0 .. 63 xi:= sin π⋅ + rnd (1) − 0.5 i Формирование сигнала: 10 Применяется комплексное преобразование Фурье: c:= fft(x) N:= last (c) N = 32 Обращение преобразования Фурье: z:= ifft(c) N2:= last (z) N2 = 63 j:= 0 .. N k:= 0 .. N2 Графическое представление сигнала zk = xj = 2 –0.499 –0.499 2.34·10 –3 2.34·10–3 0.673 0.673 xi 0 0.659 0.659 1.274 1.274 0.674 0.674 –2 0 20 40 60 80 1.162 1.162 i 0.613 0.613 Фурье-образ 0.179 0.179 4 –0.044 –0.044 0.489 0.489 –0.69 –0.69 cj 2 –1.079 –1.079 –0.777 –0.777 –0.849 –0.849 –1.334 –1.334 0 0 10 20 30 40 j Рис. 15. Быстрые пр6еобразования Фурье в Mathcad 43 измерения исходного сигнала с частотой, по крайней мере, вдвое боль- шей, чем ширина полосы частот. Подробное обсуждение этой пробле- мы содержится в специальных курсах. Функция ifft(v) возвращает обратное дискретное преобразование Фурье. Вектор v должен иметь 1 + 2m элементов, где m – целое. Резуль- тат есть вектор размерности 2m+1. Аргумент v – вектор, подобный созданному функцией fft. Чтобы вы- числить результат, Mathcad сначала создает новый вектор w, комплекс- но сопряженный v, и присоединяет его к вектору v. Затем Mathcad вы- числяет вектор d, элементы которого вычисляются по формуле n −1 ∑ wk e−2πi(j n)k . 1 dj = n k =0 Это та же самая формула, что и для fft, кроме знака минус в функции экспоненты. Функции fft и ifft – точные обращения. Для всех веще- ственных v справедливо ifft(fft(v)) = v. Пример использования прямого и обратного преобразований Фурье приведен на рис. 15. 4.6. Альтернативные формы преобразования Фурье Определения преобразования Фурье, рассмотренные выше, не явля- ются единственно возможными. Например, часто используются следу- ющие определения прямого и обратного преобразований Фурье: n n ∑ f (τ)e−2πi(ν n)τ ; f (τ) = ∑ F (ν) e () . 1 2 πi τ / n ν F (ν) = n τ=1 v =1 Эти определения реализованы во встроенных функциях FFT/IFFT и ICFFT. Они отличаются от быстрого преобразования Фурье следующим: вместо коэффициента 1 n перед обеими формулами стоит коэф- фициент 1/n и коэффициент 1 в обратном преобразовании; знак минус появляется в показателе экспоненты прямого преобразо- вания и исчезает в формуле обратного. 4.7. Кусочно-непрерывные функции Кусочно-непрерывные функции полезны для управления ветвлени- ями и остановками вычислительных процессов. Имеются пять функций 44 Использование условных операторов 2 x:= −2 , − 1.8 .. 2 f (x) := x − 1 g (x) := if(f (x) >0 , f (x), 0) g(x) ស្មើនឹង f(x) នៅពេលដែល f(x) > 0, បើមិនដូច្នេះទេ 0 4 4 2 f (x) g(x) 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 x x h (x) := if(x ≥ 1 , f (x) , − f (x)) បើមិនដូច្នេះទេ –f(x) 5 h(x) 0 បន្តការគណនារហូតដល់លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ 5 2 0 2 2 quess − ក< err x −2 N:= 100 i:= 0 .. N a:= 1000 quess 0:= 10 err:= 10 quess i + a quess i quess i+ 1:= until (quess i) − a − err , 2 2 N2:= last (quess) − 1 j:= 0 .. N2 j= quess j = (quess j)2 = 0 10 100 Число итераций N2 = 5 1 55 3.025·10 3 answer:= quess N2 2 36.591 1.339·10 3 3 31.96 1.021·10 3 answer = 31.623 4 31.625 1·10 3 5 31.623 1·10 3 Рис. 16. Условные выражения в Mathcad 45 Mathcad, относящихся к этому классу. Функция if полезна для выбора одного из двух значений, определяемого условием. Ступенчатая функ- ция Хевисайда Ф(х) и символ Кронекера δ(m, n) во многом аналогичны функции if. Функция until используется, чтобы управлять процессом итераций. Функция if(cond, tval, fval) возвращает значение tval, если cond отли- чен от 0 (истина) и возвращает fval, если cond равен 0 (ложь). Обычно в качестве аргумента cond выбирается булево выражение вида w = z, x >y, x< y, x ≥ y, x ≤ y, w ≠ z. Можно объединять булевы операторы, чтобы записать более сложные условия. Например, условие (x < 1) ⋅ (x >0) ធ្វើសកម្មភាពដូចជា "និង" តក្កវិជ្ជា ដែលត្រឡប់ 1 លុះត្រាតែ x ស្ថិតនៅចន្លោះ 0 និង 1។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ កន្សោម (x > 1) + (x< 0) действует подобно логическому "или", возвращающему 1, если x >1 ឬ x< 0, и 0, если x заключено между 0 и 1. Функция until (x, z) возвращает z, пока выражение x не становится отрицательным; должно содержать дискретный аргумент. Функция until позволяет останавливать вычисления для последовательных значений дискретного аргумента. Функция until полезна в итеративных процес- сах с определенным условием сходимости. На рис. 16 приведены примеры использования функций if и until. Функция Хевисайда эквивалентна следующей функции: Ф (x) := if (x < 0,0,1) Символ Кронекера δ(m, n) возвращает 1, если m = n; иначе 0. Оба аргумента должны быть целочисленными. Символ Кронекера эквива- лентен функции δ (m, n) := if (m = n,1,0) Ступенчатая функция Хевисайда может быть использована для со- здания импульса шириной w: pulse (x, w) := Ф (x) − Ф (x − w) Можно определить также две полезные функции lowpass и highpass. Они обе являются фильтрами – умножение на них какого-либо сигнала 46 вырезает из этого сигнала кусок вокруг точки x, имеющий ширину 2w. Разница состоит в том, что lowpass оставляет только вырезанный ку- сок, highpass – все, кроме вырезанного куска. lowpass (x, w) := pulse (x+w, 2 ⋅ w) highpass (x, w) := 1 − pulse (x+w, 2 ⋅ w) 4.8. Статистические функции Для вычисления статистических оценок случайных совокупностей чисел в Mathcad могут использоваться следующие функции: mean(A) – возвращает среднее значение элементов массива А раз- мерности m × n по формуле m −1 n −1 ∑ ∑ Aij ; 1 mean(A) = mn i =0 j =0 var(A) – возвращает дисперсию элементов массива А размерности m × n согласно формуле m −1 n −1 ∑ ∑ Aij − mean(A) 1 2 var(A) = ; mn i =0 j =0 stdev(A) - возвращает среднеквадратичное отклонение (квадратный корень из дисперсии) элементов m × n массива А stdev(A) = var(A). 4.9. Плотности распределения вероятности Эти функции показывают отношение вероятности того, что случай- ная величина попадает в малый диапазон значений с центром в задан- ной точке, к величине этого диапазона. В Mathcad имеются функции семнадцати плотностей вероятностей. Отметим только некоторые из них: dnorm(x, µ, σ) – возвращает плотность вероятности нормального рас- пределения 1 (x − µ) 2 dnorm(x, µ, σ) = exp − , 2πσ 2σ 2 47 в котором µ и σ есть среднее значение и среднеквадратичное отклоне- ние, σ >0; dunif(x,a,b) - គណនាដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចែកចាយឯកសណ្ឋាន 1, x ∈ , dunif(x, a, b) = b − a 0, x ∉ ដែល a និង b ជាព្រំដែន ចន្លោះពេលពិន្ទុ, ក< b. 4.10. Функции распределения Эти функции возвращают вероятность того, что случайная величи- на меньше или равна определенному значению. Функция распределе- ния вероятности – это функция плотности вероятности, проинтегриро- ванная от минус бесконечности до определенного значения. Приведем две из них: pnorm(x, µ, σ) – возвращает функцию нормального распределения со средним µ и среднеквадратическим отклонением σ (σ >0); punif(x, a, b) – ត្រឡប់មុខងារចែកចាយឯកសណ្ឋាន។ a និង b គឺជាតម្លៃព្រំដែននៃចន្លោះពេល (a< b). Mathcad имеет ряд функций для генерирования случайных чисел, имеющих разнообразные распределения вероятностей. Приведем две из них: rnorm(m, µ, σ) – возвращает вектор m случайных чисел, имеющих нормальное распределение (σ >0); runif (m, a, b) - ត្រឡប់វ៉ិចទ័រនៃលេខចៃដន្យ m ដែលមានការចែកចាយឯកសណ្ឋានដែលក្នុងនោះ a និង b គឺជាចំនុចព្រំដែននៃចន្លោះពេល (a< b). Остальные встроенные статистические функции и их описания мож- но посмотреть, выбрав команду Функция из меню Вставка. 4.11. Интерполяция и функции предсказания Интерполяция заключается в использовании значений некоторой функции, заданных в ряде точек, чтобы предсказать значения между ними. В Mathcad можно или соединять точки данных прямыми линия- ми (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция). 48 В отличие от функций регрессии, обсуждаемых в следующем разде- ле, функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую че- рез заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошиб- кам данных. Если данные зашумлены, следует рассмотреть возможность использования регрессии вместо интерполяции. Для линейной интерполяции используется функция linterp(vx, vy, x), которая по векторным данным vx и vy возвращает линейно интерполи- руемое значение y, соответствующее третьему аргументу x. Аргументы vx и vy должны быть векторами одинаковой длины. Вектор vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возраста- ния. Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, созда- вая, таким образом, ломаную линию. Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки ломаной. Пример линейной интерполяции показан на рис. 17. Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трех смежных то- чек. Кубические полиномы состыковываются друг с другом, чтобы об- разовать одну кривую. Чтобы провести кубический сплайн через набор точек: создайте векторы vx и vy, содержащие координаты x и y, через кото- рые нужно провести кубичный сплайн. Элементы vx должны быть рас- положены в порядке возрастания; вычислите вектор vs:=cspline(vx, vy). Вектор vs содержит вторые про- изводные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках. Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке, ска- жем х0, вычислите interp(vs, vx, vy, x0), где vs, vx и vy – векторы, опи- санные ранее. Обратите внимание, что можно сделать то же самое, вычисляя interp(cspline(vx, vy),vx,vy, x0). Пример использования кубической сплайн-интерполяции приведен на рис. 17 внизу. 49 Линейная интерполяция i:= 0 .. 5 VXi:=i VYi:=vd(1) VXi = VYi = –3 linterp(VX, VY, 1.5) = 0.389 0 1.268·10 1 0.193 linterp(VX, VY, 3.75) = 0.705 2 0.585 linterp(VX, VY, 4.1) = 0.758 3 0.35 4 0.823 x:= 0 , 0.1.. 5 5 0.174 1 linterp(VX , VY , x) 0.5 VYi 0 0 2 4 6 x , VX i Кубическая сплайн-интерполяция i:= 0 .. 5 VXi:= i VYi:= rnd (1) VS:= lspline (VX, VY) interp (VS, VX, VY, 1.5) = 0.188 interp (VS, VX, VY, 3.75) = 0.868 interp (VS, VX, VY, 4.1) = 0.989 1 VYi = 0.71 interp(VS , VX , VY , x) 0.304 0.5 VYi 0.091 0.147 0.989 0 0 2 4 6 0.119 x , VX i Рис. 17. Примеры интерполяции 50
