និយមន័យ. ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរពីរ ចំណុចអប្បបរមា និងអតិបរមានៃមុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា។ តម្លៃនៃមុខងារខ្លួនវានៅចំណុចខ្លាំងត្រូវបានគេហៅថា extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ .

និយមន័យ. ចំណុច ទំ(x0 , y 0 ) ហៅ z = z(x, y) ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះធំជាងចំនុចដែលនៅជិតនោះ។ តម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចអតិបរមាត្រូវបានគេហៅថា អតិបរមានៃមុខងារនៃអថេរពីរ .

និយមន័យ. ចំណុច ទំ(x0 , y 0 ) ហៅ ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារនៃអថេរពីរ z = z(x, y) ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះធំជាងចំនុចដែលនៅជិតនោះ។ តម្លៃមុខងារនៅចំណុចអតិបរមា ត្រូវបានគេហៅថាអតិបរមានៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ .

ទ្រឹស្តីបទ (សញ្ញាចាំបាច់នៃមុខងារនៃអថេរពីរ). ប្រសិនបើចំណុច ទំ(x0 , y 0 ) - ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរពីរ z = z(x, y) បន្ទាប់មកទីមួយ និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកមុខងារ (ដោយ "X" និង "Y") នៅចំណុចនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន៖

និយមន័យ. ចំណុចដែលដេរីវេភាគទីមួយនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចស្ថានី .

និយមន័យ. ចំណុចដែលដេរីវេភាគទីមួយនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ .

ដូចនៅក្នុងករណីនៃមុខងារនៃអថេរមួយ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាពនៃមុខងារនៃអថេរពីរគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។ មានមុខងារជាច្រើននៅក្នុងករណីដែលដេរីវេផ្នែកទីមួយនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន ប៉ុន្តែមិនមាន extrema នៅចំណុចដែលត្រូវគ្នានោះទេ។ រាល់ចំណុចខ្លាំងគឺជាចំណុចសំខាន់ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់ចំណុចសំខាន់ទាំងអស់សុទ្ធតែជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ .

សញ្ញាគ្រប់គ្រាន់នៃអត្ថិភាពនៃអត្ថិភាពនៃមុខងារនៃអថេរពីរ. នៅចំណុច ទំមានមុខងារនៃអថេរពីរ ប្រសិនបើនៅជិតចំណុចនេះ។ ការបង្កើនមុខងារពេញលេញមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ ដោយសារនៅចំណុចសំខាន់ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញទីមួយស្មើនឹងសូន្យ ការបង្កើនមុខងារកំណត់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញទីពីរ

ការយល់ដឹងដ៏ល្អបំផុតអំពីការអនុវត្តនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនឹងមកពីការសិក្សា និងអនុវត្តជំហានទី 3 និងទី 4 នៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ ដែលធ្វើតាមចំណុចទីពីរនៃមេរៀននេះ។

ធម្មជាតិក្នុងតំបន់នៃ extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ. អតិបរមានៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរនៅក្នុងផ្នែកណាមួយនៃដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍គឺមិនចាំបាច់ជាអតិបរមានៅក្នុងទាំងមូលនោះទេ។ ដែននៃនិយមន័យដូចជាអប្បបរមានៅក្នុងតំបន់ណាមួយមិនមែនជាអប្បបរមានៅក្នុងដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ។ ចូរយើងពិចារណាពីកម្ពស់រលកនៅក្នុងផ្នែកមួយនៃតំបន់ឆ្នេរនៃសមុទ្រ (ផ្នែកគឺតូចជាងតំបន់)។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងតំបន់នេះយើងអាចកត់ត្រា (យ៉ាងហោចណាស់ដោយមើលឃើញ) កម្ពស់រលកខ្ពស់បំផុត។ ប៉ុន្តែនៅតំបន់មួយទៀត ដែលខ្យល់បក់បោកខ្លាំង យើងនឹងកត់ត្រាកម្ពស់រលកអប្បបរមា។ នេះមានន័យថាកម្ពស់រលកអតិបរមានៅក្នុងផ្នែកទីមួយអាចតិចជាងកម្ពស់រលកអប្បបរមានៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។ ដូច្នេះ ដូចនៅក្នុងករណីនៃ extrema នៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយ វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់គោលគំនិតនេះ ហើយនិយាយអំពី extrema ដូចជា local extrema នៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ និងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក extrema នៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរគឺមានការចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងបំផុត ចាប់តាំងពីដំបូងវាខុសពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក extrema នៃមុខងារនៃអថេរមួយ ហើយទីពីរដោយការប្ៀបប្ដូចជាមួយវា algorithm សម្រាប់ការស្វែងរក មុខងារនៃអថេរបីអាចត្រូវបានបង្កើត។ ជាពិសេសវានឹងចាំបាច់ក្នុងការគណនា វគ្គជម្រុះ .

ដូច្នេះ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ.

មុខងារនៃអថេរពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

ជំហានទី 2យើងបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការពីសមភាពនៃនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះទៅសូន្យ (សមភាពរបស់ពួកគេទៅសូន្យគឺជាសញ្ញាចាំបាច់នៃអត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម)៖

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនេះគឺជាចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន - ចំណុចសំខាន់។

ជំហានទី 3ទុកជាចំណុចសំខាន់ដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ ដើម្បីប្រាកដថាមានមុខងារនៃអថេរពីរនៅវា យើងរកឃើញ និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកលំដាប់ទីពីរ

ជាដេរីវេភាគនៃលំដាប់ទីមួយ ដេរីវេទីវ័រផ្នែកដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 1។

ជំហានទី 4 ។យើងចាត់តាំងអក្សរឱ្យទៅជានិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីពីរដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 3៖

ជំហានទី 4 ។យើងរកឃើញកត្តាកំណត់៖

ពោលគឺមិនមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញទេ

ហើយ ពោលគឺ នៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ មានអប្បរមានៃមុខងារនៃអថេរពីរ

ហើយ ពោលគឺ នៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ មានអតិបរិមានៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

និយមន័យ ១. ចំណុច M(x 0; y 0) ត្រូវបានគេហៅថា អតិបរមា (អប្បបរមា) នៃអនុគមន៍ z = f(x; y) ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំនុច M នោះសម្រាប់គ្រប់ចំនុច (x; y) ពីនេះ សង្កាត់មានវិសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

f(x 0; y 0)  f(x; y), .

ទ្រឹស្តីបទ ១ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) . ប្រសិនបើអនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកបាន z = f(x; y) ឈានដល់កម្រិតខ្លាំងនៅចំណុច M(x 0 ; y 0) នោះនិស្សន្ទវត្ថុភាគនៃលំដាប់ទីមួយរបស់វានៅចំណុចនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺឧ។
;

ចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុភាគស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានីឬ ចំណុចសំខាន់។

ទ្រឹស្តីបទ ២ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម)

សូមអោយអនុគមន៍ z = f(x; y)៖

ក) បានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់នៃចំណុច (x 0 ; y 0) ដែលក្នុងនោះ
និង
;

ខ) មាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តនៃលំដាប់ទីពីរនៅចំណុចនេះ។

;

បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ  = AC  B 2 > 0 នោះនៅចំណុច (x 0 ; y 0) អនុគមន៍ z = f (x; y) មានចំនុចខ្លាំង ហើយប្រសិនបើ A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (ឬ C> 0) - អប្បបរមា។ កនុងករណី  = AC  B ២< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

ឧទាហរណ៍ ១.រកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍ z = x 2 + xy + y 2  3x  6y ។

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកលំដាប់ទីមួយ៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយមមួយ:

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ យើងរកឃើញកូអរដោនេ x និង y នៃចំនុចស្ថានី៖ x = 0; y = 3, i.e. M(0; 3) ។

ចូរយើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុភាគនៃលំដាប់ទីពីរ ហើយស្វែងរកតម្លៃរបស់វានៅចំណុច M ។

ក =
= 2; គ =
= 2;

ខ =
.

ចូរបង្កើតការរើសអើង  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0 ។ ដូច្នេះនៅចំណុច M(0; 3) អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់មានអប្បបរមា។ តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះគឺ z min = 9 ។

ស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុត។

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z = .
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៃអថេរពីរនៅក្នុងដែនបិទ

ដើម្បីស្វែងរក អស្ចារ្យបំផុត។និង យ៉ាងហោចណាស់តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅក្នុងតំបន់បិទជិត អ្នកត្រូវ៖

1) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ដែលមានទីតាំងនៅតំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយគណនាតម្លៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះ;

2) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៅលើព្រំដែននៃតំបន់និងគណនាតម្លៃធំបំផុតនិងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅពួកវា;

3) ពីតម្លៃដែលបានរកឃើញទាំងអស់ ជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។

ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ z =
ក្នុងរង្វង់ x 2 + y 2  1 ។

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចសំខាន់ៗដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងតំបន់ដែលកំពុងពិចារណា ដែលយើងគណនាដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍ z ហើយយកវាទៅសូន្យ។

ពេលណា x = 0, y = 0 ហើយដូច្នេះ M(0; 0) គឺជាចំណុចសំខាន់។

ចូរគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ z នៅចំនុច M(0; 0): z(0; 0) = 2 ។

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៅលើព្រំដែននៃតំបន់ - រង្វង់កំណត់ដោយសមីការ x 2 + y 2 = 1 ។ ការជំនួស y 2 = 1 - x 2 ទៅក្នុងអនុគមន៍ z = z (x; y) យើងទទួលបានអនុគមន៍ នៃអថេរមួយ។

z =
;

កន្លែង x[1; ១]។

ដោយបានគណនាដេរីវេ
ហើយ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ យើង​ទទួល​បាន​ចំណុច​សំខាន់​លើ​ព្រំដែន​នៃ​តំបន់ x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

ចូររកតម្លៃនៃអនុគមន៍ z(x) =
នៅចំណុចសំខាន់ និងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសធំបំផុតនិងតូចបំផុតក្នុងចំណោមតម្លៃនៃមុខងារ z នៅចំណុចសំខាន់ដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងនិងនៅលើព្រំដែននៃរង្វង់។

ដូច្នេះ z អតិបរមា។ = z(0; 0) = 2

ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ គឺជាចំណុចនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ ដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវចំណាយលើតម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមា។ តម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា extrema (អប្បបរមា និងអតិបរមា) នៃអនុគមន៍.

និយមន័យ. ចំណុច x1 ដែនមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះធំជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលនៅជិតវាគ្រប់គ្រាន់ ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាពមាន f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 អតិបរមា។

និយមន័យ. ចំណុច x2 ដែនមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះគឺតិចជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលនៅជិតវាគ្រប់គ្រាន់ ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាពរក្សា f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ) ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាមុខងារមាននៅចំណុច x2 អប្បបរមា។

ចូរនិយាយថាចំណុច x1 - ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x1 មុខងារកើនឡើងដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0 ) និងក្នុងចន្លោះពេលក្រោយ x1 ដូច្នេះមុខងារថយចុះ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។តិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ចូរយើងសន្មតថាចំណុចនោះ។ x2 - ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x2 អនុគមន៍កំពុងថយចុះ ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺតិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 មុខងារកំពុងកើនឡើង ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0) ។ ក្នុងករណីនេះផងដែរនៅចំណុច x2 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺសូន្យ ឬមិនមាន។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat (សញ្ញាចាំបាច់នៃអត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំង). ប្រសិនបើចំណុច x0 - ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ ( f "(x) = 0 ) ឬមិនមាន។

និយមន័យ. ចំណុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ .

ឧទាហរណ៍ ១.តោះពិចារណាមុខងារ។

នៅចំណុច x= 0 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺសូន្យ ដូច្នេះចំនុច x= 0 គឺជាចំណុចសំខាន់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលអាចមើលឃើញនៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ វាកើនឡើងពាសពេញដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ ដូច្នេះចំណុច x= 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនេះទេ។

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ដោយសារឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍ផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញ ប៉ុន្តែមុខងារ មិនមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ត្រូវតែមានភស្តុតាងគ្រប់គ្រាន់អនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ធ្វើការវិនិច្ឆ័យថាតើមានភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុចសំខាន់ជាក់លាក់មួយ និងអ្វីដែលជាប្រភេទនៃភាពជ្រុលនិយម - អតិបរមា ឬអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (សញ្ញាដំបូងគ្រប់គ្រាន់នៃអត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំង) ។ចំណុចសំខាន់ x0 f(x) ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ ដេរីវេនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ហើយប្រសិនបើសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពី "បូក" ទៅ "ដក" នោះវាគឺជាចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី "ដក" ទៅ "បូក" នោះ វាជាចំណុចអប្បបរមា។

ប្រសិនបើនៅជិតចំណុច x0 នៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំរបស់វា ដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វា មានន័យថាមុខងារថយចុះ ឬកើនឡើងតែនៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់នៃចំណុចប៉ុណ្ណោះ។ x0 . ក្នុងករណីនេះនៅចំណុច x0 មិនមានអ្វីខ្លាំងនោះទេ។

ដូច្នេះ ដើម្បីកំណត់ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ អ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោម :

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ ហើយកំណត់ចំណុចសំខាន់។
3. ផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើក្រដាស សម្គាល់ចំណុចសំខាន់ៗនៅលើបន្ទាត់លេខ និងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៃមុខងារក្នុងចន្លោះលទ្ធផល។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពី “បូក” ទៅ “ដក” នោះចំណុចសំខាន់គឺចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី “ដក” ទៅ “បូក” នោះចំណុចអប្បបរមា។
4. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ .

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចូរយើងគណនាដេរីវេទៅសូន្យ ដើម្បីស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ៖

.

ដោយសារតម្លៃណាមួយនៃ “x” ភាគបែងមិនស្មើនឹងសូន្យទេ យើងយកភាគយកទៅសូន្យ៖

ទទួលបានចំណុចសំខាន់មួយ។ x= ៣. ចូរយើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេលកំណត់ដោយចំណុចនេះ៖

នៅក្នុងជួរពីដកអណ្តែតទៅ 3 - សញ្ញាដក នោះគឺមុខងារថយចុះ។

នៅក្នុងចន្លោះពេលពី 3 ទៅ បូកគ្មានដែនកំណត់ មានសញ្ញាបូក នោះគឺជាមុខងារកើនឡើង។

នោះគឺរយៈពេល x= 3 គឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអប្បបរមា៖

ដូច្នេះចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារត្រូវបានរកឃើញ៖ (3; 0) ហើយវាគឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (សញ្ញាគ្រប់គ្រាន់ទីពីរនៃអត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំង) ។ចំណុចសំខាន់ x0 គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះមិនស្មើនឹងសូន្យ ( f ""(x) ≠ 0 ) ហើយប្រសិនបើដេរីវេទី 2 ធំជាងសូន្យ ( f ""(x) > 0 ) បន្ទាប់មកចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើដេរីវេទីពីរតិចជាងសូន្យ ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

ចំណាំ 1. ប្រសិនបើនៅចំណុច x0 ប្រសិនបើទាំងនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីររលាយបាត់ នោះនៅចំណុចនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការវិនិច្ឆ័យវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមដោយផ្អែកលើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកត្រូវប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់មុខងារខ្លាំងបំផុត។

កំណត់សម្គាល់ 2. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់ភាពខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារមួយគឺមិនអាចអនុវត្តបានទេ សូម្បីតែនៅពេលដែលដេរីវេទី 1 មិនមាននៅចំណុចស្ថានី (បន្ទាប់មកដេរីវេទី 2 ក៏មិនមានដែរ)។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏ត្រូវប្រើសញ្ញាដំបូងគ្រប់គ្រាន់នៃមុខងារខ្លាំងដែរ។

ធម្មជាតិក្នុងតំបន់នៃមុខងារខ្លាំង

ពីនិយមន័យខាងលើ វាដូចខាងក្រោមថា ភាពខ្លាំងនៃមុខងារគឺនៅក្នុងធម្មជាតិ - វាគឺជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃក្បែរនោះ។

ចូរនិយាយថាអ្នកកំពុងមើលប្រាក់ចំណូលរបស់អ្នកក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងខែឧសភាអ្នករកបាន 45,000 rubles ហើយនៅក្នុងខែមេសា 42,000 rubles និងនៅក្នុងខែមិថុនា 39,000 rubles នោះប្រាក់ចំណូលខែឧសភាគឺជាអតិបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃដែលនៅជិត។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងខែតុលាអ្នករកបាន 71,000 rubles ក្នុងខែកញ្ញា 75,000 rubles និងនៅក្នុងខែវិច្ឆិកា 74,000 rubles ដូច្នេះប្រាក់ចំណូលខែតុលាគឺជាអប្បបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃដែលនៅជិត។ ហើយអ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងងាយស្រួលថាអតិបរមាក្នុងចំណោមតម្លៃនៃខែមេសា - ឧសភា - មិថុនាគឺតិចជាងអប្បបរមានៃខែកញ្ញា - តុលា - វិច្ឆិកា។

និយាយជាទូទៅ នៅចន្លោះពេលមុខងារមួយអាចមាន extrema ជាច្រើន ហើយវាអាចបង្ហាញថាអប្បរមានៃមុខងារគឺធំជាងអតិបរមាណាមួយ។ ដូច្នេះ សម្រាប់មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ។

នោះគឺគេមិនគួរគិតថាអតិបរិមា និងអប្បរមានៃអនុគមន៍គឺរៀងគ្នា តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតរបស់វានៅលើផ្នែកទាំងមូលដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណា។ នៅចំណុចអតិបរិមា អនុគមន៍មានតម្លៃធំបំផុតត្រឹមតែប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះដែលវាមាននៅគ្រប់ចំណុចគ្រប់គ្រាន់ជិតដល់ចំណុចអតិបរមា ហើយនៅចំណុចអប្បបរមាវាមានតម្លៃតូចបំផុតតែប៉ុណ្ណោះបើប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះ។ ​ដែល​វា​មាន​គ្រប់​ចំណុច​គ្រប់​គ្រាន់​ជិត​ដល់​ចំណុច​អប្បបរមា។

ដូច្នេះ យើងអាចបញ្ជាក់គោលគំនិតខាងលើនៃចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារមួយ ហើយហៅចំណុចអប្បរមា ចំណុចអប្បបរមាក្នុងតំបន់ និងចំណុចអតិបរមា ចំណុចអតិបរមាក្នុងតំបន់។

យើងរកមើលភាពខ្លាំងនៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៣.

ដំណោះស្រាយ៖ មុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ដេរីវេរបស់វា។ ក៏មាននៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ដូច្នេះហើយ ក្នុងករណីនេះ ចំណុចសំខាន់គឺមានតែចំណុចដែល i.e. ពីណា និង . ចំណុចសំខាន់ និងបែងចែកដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ទៅជាបីចន្លោះពេលនៃ monotonicity: . ចូរជ្រើសរើសចំណុចត្រួតពិនិត្យមួយនៅក្នុងពួកវានីមួយៗ ហើយស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេនៅចំណុចនេះ។

សម្រាប់ចន្លោះពេល ចំណុចត្រួតពិនិត្យអាចជា៖ ស្វែងរក។ យកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងទទួលបាន ហើយយកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងមាន។ ដូច្នេះក្នុងចន្លោះពេល និង និងក្នុងចន្លោះពេល។ យោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងបង្អស់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម គឺមិនមានភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុចនោះទេ (ចាប់តាំងពីដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វាក្នុងចន្លោះពេល) ហើយនៅចំណុចនោះ មុខងារមានអប្បបរមា (ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីដកទៅបូកនៅពេលឆ្លងកាត់។ តាមរយៈចំណុចនេះ)។ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍៖ , a . នៅក្នុងចន្លោះពេលមុខងារថយចុះ ចាប់តាំងពីចន្លោះពេលនេះ ហើយក្នុងចន្លោះពេលវាកើនឡើង ចាប់តាំងពីក្នុងចន្លោះពេលនេះ។

ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីការសាងសង់ក្រាហ្វ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ នៅពេលដែលយើងទទួលបានសមីការដែលមានឫសគល់ និង ពោលគឺ ពីរពិន្ទុ (0; 0) និង (4; 0) នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រូវបានរកឃើញ។ ដោយប្រើព័ត៌មានទាំងអស់ដែលទទួលបាន យើងបង្កើតក្រាហ្វមួយ (សូមមើលឧទាហរណ៍ដើម)។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត .

ឧទាហរណ៍ 4 ។ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

ដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់លេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច ឧ។ .

ដើម្បីកាត់បន្ថយការសិក្សា អ្នកអាចប្រើការពិតដែលថាមុខងារនេះគឺសូម្បីតែ, ចាប់តាំងពី . ដូច្នេះក្រាហ្វរបស់វាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស អូហើយការសិក្សាអាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ចន្លោះពេលប៉ុណ្ណោះ។

ការស្វែងរកដេរីវេ និងចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ៖

1) ;

2) ,

ប៉ុន្តែមុខងារនេះទទួលរងការមិនដំណើរការនៅចំណុចនេះ ដូច្នេះវាមិនអាចជាចំណុចខ្លាំងបានទេ។

ដូច្នេះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមានចំណុចសំខាន់ពីរ: និង . ដោយគិតគូរពីភាពស្មើគ្នានៃមុខងារ យើងនឹងពិនិត្យមើលតែចំណុចដោយប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេទីពីរ ហើយកំណត់សញ្ញារបស់វានៅ៖ យើងទទួលបាន។ ចាប់តាំងពី និង វាគឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ និង .

ដើម្បីទទួលបានរូបភាពពេញលេញនៃក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ ចូរយើងស្វែងយល់ពីអាកប្បកិរិយារបស់វានៅព្រំដែននៃនិយមន័យនៃដែន៖

(នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញាបង្ហាញពីបំណងប្រាថ្នា xទៅសូន្យពីខាងស្តាំ និង xនៅតែវិជ្ជមាន; ដូចគ្នានេះដែរមានន័យថាសេចក្តីប្រាថ្នា xទៅសូន្យពីខាងឆ្វេង និង xនៅតែអវិជ្ជមាន) ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ។ បន្ទាប់យើងរកឃើញ

,

ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើ .

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សទេ។ រូបភាពគឺនៅដើមដំបូងនៃឧទាហរណ៍។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត .

យើងបន្តស្វែងរក extrema នៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៨.ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកដែននិយមន័យនៃមុខងារ។ ដោយសារវិសមភាពត្រូវតែពេញចិត្ត យើងទទួលបានពី .

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ។

ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញសម្រាប់ការស្វែងរក extrema ..

• ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
• យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​នេះ​ទៅ​សូន្យ
• យើងរកឃើញតម្លៃនៃអថេរនៃកន្សោមលទ្ធផល (តម្លៃនៃអថេរដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសូន្យ)
• ដោយប្រើតម្លៃទាំងនេះ យើងបែងចែកបន្ទាត់កូអរដោណេជាចន្លោះពេល (កុំភ្លេចអំពីចំណុចបំបែក ដែលត្រូវតែគូសនៅលើបន្ទាត់) ចំណុចទាំងអស់នេះត្រូវបានគេហៅថា "គួរឱ្យសង្ស័យ" ចំណុចខ្លាំងបំផុត។
• យើងគណនាចន្លោះពេលទាំងនេះ ដេរីវេនឹងវិជ្ជមាន ហើយមួយណានឹងអវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវជំនួសតម្លៃពីចន្លោះពេលទៅជាដេរីវេ។

ក្នុង​ចំណោម​ចំណុច​ដែល​គួរ​ឱ្យ​សង្ស័យ​សម្រាប់​ភាព​ជ្រុល​និយម វា​ជា​ការ​ចាំបាច់​ក្នុង​ការ​ស្វែង​រក . ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងមើលចន្លោះពេលរបស់យើងនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចណាមួយ សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក នោះចំណុចនេះនឹងក្លាយជា អតិបរមាហើយប្រសិនបើពីដកទៅបូក អប្បបរមា.

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចខ្លាំងបំផុត។ បន្ទាប់មកជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។
យើងរកឃើញដេរីវេ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖

យើងកំណត់តម្លៃដែលទទួលបាននៃអថេរនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ហើយគណនាសញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។ ជាការប្រសើរណាស់, ឧទាហរណ៍, សម្រាប់ទីមួយសូមយក-2 បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើគ្នា-0,24 សម្រាប់លើកទីពីរដែលយើងនឹងយក0 បន្ទាប់មក ដេរីវេនឹងត្រូវបាន2 ហើយសម្រាប់ទីបីយើងយក2 បន្ទាប់មក ដេរីវេនឹងត្រូវបាន-0.24 ។ យើងដាក់សញ្ញាសមរម្យ។

យើងឃើញថានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច -1 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក មានន័យថានេះនឹងក្លាយជាចំណុចអប្បបរមា ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់លេខ 1 វានឹងប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដករៀងៗខ្លួន។ ចំណុចអតិបរមា។

សេចក្តីផ្តើម

នៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងក្នុងសកម្មភាពជាក់ស្តែង ជារឿយៗមនុស្សម្នាក់ត្រូវដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារមួយ។ ការពិតគឺថា បច្ចេកទេស សេដ្ឋកិច្ច ជាដើម។ ដំណើរការត្រូវបានយកគំរូតាមមុខងារមួយ ឬមុខងារជាច្រើនដែលអាស្រ័យលើអថេរ - កត្តាដែលមានឥទ្ធិពលលើស្ថានភាពនៃបាតុភូតដែលកំពុងត្រូវបានយកគំរូតាម។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារបែបនេះដើម្បីកំណត់ស្ថានភាព (សមហេតុផល) និងការគ្រប់គ្រងដំណើរការដ៏ល្អប្រសើរ។ ដូច្នេះនៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ចបញ្ហានៃការបង្រួមអប្បបរមាឬប្រាក់ចំណេញអតិបរមាត្រូវបានដោះស្រាយជាញឹកញាប់ - បញ្ហាមីក្រូសេដ្ឋកិច្ចរបស់ក្រុមហ៊ុន។ នៅក្នុងការងារនេះ យើងមិនគិតពីបញ្ហាគំរូទេ ប៉ុន្តែពិចារណាតែក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុតក្នុងកំណែសាមញ្ញបំផុត នៅពេលដែលគ្មានការរឹតបន្តឹងលើអថេរ (ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ) ហើយភាពខ្លាំងបំផុតត្រូវបានស្វែងរកសម្រាប់មុខងារគោលបំណងតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

EXTREMA នៃមុខងារ

ពិចារណាក្រាហ្វនៃមុខងារបន្ត y=f(x)បង្ហាញក្នុងរូប។ តម្លៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ x 1 នឹង​ធំ​ជាង​តម្លៃ​អនុគមន៍​នៅ​ចំណុច​ជិត​ខាង​ទាំង​អស់​ទាំង​ខាង​ឆ្វេង​និង​ខាង​ស្ដាំ​នៃ x១. ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាមុខងារមាននៅចំណុច x 1 អតិបរមា។ នៅចំណុច xអនុគមន៍ 3 ច្បាស់ណាស់ក៏មានអតិបរមាផងដែរ។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាចំណុច x 2 បន្ទាប់មកតម្លៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺតិចជាងតម្លៃជិតខាងទាំងអស់។ ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាមុខងារមាននៅចំណុច x 2 អប្បបរមា។ ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់ចំណុច x 4 .

មុខងារ y=f(x)នៅចំណុច x 0 មាន អតិបរមាប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះធំជាងតម្លៃរបស់វានៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលមួយចំនួនដែលមានចំណុច x 0, i.e. ប្រសិនបើមានសង្កាត់បែបនេះ x 0 ដែល​គឺ​សម្រាប់​អ្នក​រាល់​គ្នា​ x≠x 0 , ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់នេះ វិសមភាពមាន f(x)<f(x 0 ) .

មុខងារ y=f(x)វា​មាន អប្បបរមានៅចំណុច x 0 , ប្រសិនបើមានសង្កាត់បែបនេះ x 0 , នោះគឺសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា x≠x 0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់នេះ វិសមភាពមាន f(x)>f(x 0.

ចំនុចដែលអនុគមន៍ឈានដល់អតិបរិមា និងអប្បរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំង ហើយតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា extrema នៃអនុគមន៍។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាមុខងារដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែកមួយអាចឈានដល់អតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វាបានតែនៅចំណុចដែលមាននៅក្នុងផ្នែកដែលកំពុងពិចារណាប៉ុណ្ណោះ។

ចំណាំថាប្រសិនបើអនុគមន៍មួយមានអតិបរមានៅចំណុចមួយ នេះមិនមានន័យថានៅចំណុចនោះមុខងារមានតម្លៃធំបំផុតនៅក្នុងដែននិយមន័យទាំងមូលនោះទេ។ នៅក្នុងរូបភាពដែលបានពិភាក្សាខាងលើមុខងារនៅចំណុច x 1 មានអតិបរមា ទោះបីជាមានចំណុចដែលតម្លៃមុខងារធំជាងនៅចំណុចក៏ដោយ។ x 1 . ជាពិសេស, f(x 1) < f(x 4) i.e. អប្បបរមានៃមុខងារគឺធំជាងអតិបរមា។ ពីនិយមន័យនៃអតិបរមាវាគ្រាន់តែធ្វើតាមថានេះគឺជាតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារនៅចំណុចគ្រប់គ្រាន់ជិតដល់ចំណុចអតិបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ 1. (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាព។ ) ប្រសិនបើមុខងារខុសគ្នា y=f(x)មាននៅចំណុច x=x 0 extremum បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វានៅចំណុចនេះក្លាយជាសូន្យ។

ភស្តុតាង. អនុញ្ញាតឱ្យ, សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់, នៅចំណុច x 0 មុខងារមានអតិបរមា។ បនា្ទាប់មក សម្រាប់ការបង្កើនតិចតួច Δ xយើង​មាន f(x 0 + Δ x) 0 ) , i.e.

ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់មក

ឆ្លងកាត់វិសមភាពទាំងនេះទៅដែនកំណត់នៅΔ x→ 0 និងយកទៅក្នុងគណនីថាដេរីវេ f "(x 0) មានហើយដូច្នេះដែនកំណត់នៅខាងឆ្វេងមិនអាស្រ័យលើរបៀបដែលΔ x→ 0 យើងទទួលបាន៖ នៅ Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 a នៅ Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. ចាប់តាំងពី f"(x 0) កំណត់លេខមួយ បន្ទាប់មកវិសមភាពទាំងពីរនេះគឺត្រូវគ្នាលុះត្រាតែ f"(x 0) = 0.

ទ្រឹស្តីបទដែលបង្ហាញឱ្យឃើញចែងថា ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាអាចស្ថិតនៅក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងនោះនៃអាគុយម៉ង់ដែលដេរីវេទីវក្លាយជាសូន្យ។

យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលមុខងារមួយមានដេរីវេនៅគ្រប់ចំណុចនៃផ្នែកជាក់លាក់មួយ។ តើ​មាន​ស្ថានភាព​យ៉ាង​ណា​ក្នុង​ករណី​ដែល​និស្សន្ទវត្ថុ​មិន​មាន? សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

y=|x|.

មុខងារមិនមានដេរីវេនៅចំណុចនោះទេ។ x=0 (នៅចំណុចនេះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានតង់សង់ដែលបានកំណត់ទេ) ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះ អនុគមន៍មានអប្បបរមា ចាប់តាំងពី y(0)=0 និងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា x≠ 0y > 0.

មិនមានដេរីវេនៅ x=0 ចាប់តាំងពីវាទៅគ្មានដែនកំណត់នៅ x=0. ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះមុខងារមានអតិបរមា។ មិនមានដេរីវេនៅ x=0 តាំងពីពេលណា x→0. នៅចំណុចនេះ មុខងារមិនមានអតិបរមា ឬអប្បបរមាទេ។ ពិតជា f(x)=0 និងនៅ x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

ដូច្នេះ ពីឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្កើត វាច្បាស់ណាស់ថា អនុគមន៍មួយអាចមានភាពជ្រុលនិយមតែក្នុងករណីពីរប៉ុណ្ណោះ៖ 1) នៅចំណុចដែលដេរីវេមាន និងស្មើនឹងសូន្យ។ 2) នៅចំណុចដែលដេរីវេមិនមាន។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើនៅចំណុចណាមួយ។ x 0 យើងដឹង f "(x 0 ) =0 បន្ទាប់មកគេមិនអាចសន្និដ្ឋានពីចំណុចនេះបានទេ។ x 0 មុខងារមានកម្រិតខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍។

.

ប៉ុន្តែរយៈពេល x=0 មិន​មែន​ជា​ចំណុច​ខ្លាំង​ទេ ព្រោះ​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​នៃ​ចំណុច​នេះ តម្លៃ​មុខងារ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​អ័ក្ស គោនិងនៅខាងស្តាំខាងលើ។

តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ពីដែននៃអនុគមន៍ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍បាត់ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់.

ពីចំណុចទាំងអស់ខាងលើ វាដូចខាងក្រោមថា ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារគឺស្ថិតក្នុងចំណោមចំណុចសំខាន់ ហើយទោះជាយ៉ាងណា មិនមែនគ្រប់ចំណុចសំខាន់ទាំងអស់សុទ្ធតែជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗទាំងអស់នៃមុខងារ ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលចំណុចនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់អតិបរមា និងអប្បបរមា។ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមបម្រើគោលបំណងនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាព។ x 0 និងអាចខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលនេះ (លើកលែងតែ ប្រហែលជាចំណុចខ្លួនឯង x 0). ប្រសិនបើនៅពេលផ្លាស់ទីពីឆ្វេងទៅស្តាំឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក បន្ទាប់មកនៅចំណុច x = x 0 មុខងារមានអតិបរមា។ ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ x 0 ពីឆ្វេងទៅស្តាំ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក បន្ទាប់មកមុខងារមានអប្បបរមានៅចំណុចនេះ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ

f "(x)> 0 នៅ x<x 0 និង f "(x)< 0 នៅ x> x 0 បន្ទាប់មក x 0 - ចំណុចអតិបរមា;

នៅ x<x 0 និង f "(x) > 0 នៅ x> x 0 បន្ទាប់មក x 0 - ចំណុចអប្បបរមា។

ភស្តុតាង. ចូរយើងសន្មតជាមុនថានៅពេលឆ្លងកាត់ x 0 ការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីបូកទៅដក, i.e. នៅចំពោះមុខមនុស្សគ្រប់គ្នា xជិតដល់ចំណុច x 0 f "(x) > 0 សម្រាប់ x< x 0 , f "(x)< 0 សម្រាប់ x> x 0. ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange ទៅនឹងភាពខុសគ្នា f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), កន្លែងណា គស្ថិតនៅចន្លោះ xនិង x 0 .

អនុញ្ញាតឱ្យ x< x 0. បន្ទាប់មក គ< x 0 និង f "(c) > 0. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល f "(c)(x- x 0)< 0 ហើយដូច្នេះ

f(x) - f(x 0 )< 0, i.e. f(x)< f(x 0 ).

អនុញ្ញាតឱ្យ x > x 0. បន្ទាប់មក c>x 0 និង f "(c)< 0. មធ្យោបាយ f "(c)(x- x 0)< 0. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

ដូច្នេះសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ xជិតល្មម x 0 f(x)< f(x 0 ) . ហើយនេះមានន័យថានៅចំណុច x 0 មុខងារមានអតិបរមា។

ផ្នែកទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទអប្បបរមាត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ចូរយើងបង្ហាញពីអត្ថន័យនៃទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងរូប។ អនុញ្ញាតឱ្យ f "(x 1 ) =0 និងសម្រាប់ណាមួយ។ x,ជិតល្មម x 1, វិសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត

f "(x)< 0 នៅ x< x 1 , f "(x) > 0 នៅ x> x 1 .

បន្ទាប់មកទៅខាងឆ្វេងនៃចំណុច x 1 មុខងារកើនឡើង និងថយចុះនៅខាងស្តាំ ដូច្នេះនៅពេល x = x 1 អនុគមន៍​ចាប់​ពី​ការ​កើន​ឡើង​ទៅ​ការ​ថយ​ចុះ ពោល​គឺ​វា​មាន​អតិបរមា។

ស្រដៀងគ្នាដែរ យើងអាចពិចារណាចំណុច x 2 និង x 3 .

ទាំងអស់ខាងលើអាចត្រូវបានបង្ហាញជាគ្រោងការណ៍នៅក្នុងរូបភាព:

ច្បាប់សម្រាប់សិក្សាមុខងារ y=f(x) សម្រាប់ extremum

ស្វែងរកដែននៃមុខងារមួយ។ f(x)

ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ f "(x).

កំណត់ចំណុចសំខាន់សម្រាប់រឿងនេះ៖

ស្វែងរកឫសពិតនៃសមីការ f "(x)=0;

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ xដែលដេរីវេ f "(x)មិន​មាន។

កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃចំណុចសំខាន់។ ដោយសារសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅតែថេររវាងចំណុចសំខាន់ពីរ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចំនុចមួយទៅខាងឆ្វេង និងមួយចំនុចទៅខាងស្តាំនៃចំនុចសំខាន់។

គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចខ្លាំង។